HỆ THỐNG LÝ THUYẾT - BÀI TẬP
CHUYÊN ĐỀ
LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ

DAO ĐỘNG CƠ HỌC
GIÁO VIÊN: Bùi Quốc Thành
TRƯỜNG: THPT Văn Lâm

CHỦ ĐỀ 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ

1 | 220P a g e


PHẦN I. KIẾN THỨC CHUNG:
1. Dao động cơ,
Dao động cơ là chuyển động qua lại của vật quanh 1 vị trí cân bằng.
2. Dao động tuần hoàn
Dao động tuần hoàn là dao động mà sau những khoảng thời gian bằng nhau vật
trở lại vị trí và chiều chuyển động như cũ (trở lại trạng thái ban đầu)
3. Dao động điều hòa
+ Dao động điều hòa là dao động trong đó li độ của vật là một hàm côsin (hoặc
sin) của thời gian.
+ Phương trình dao động:
Trong đó:
(m;cm hoặc rad): Li độ (toạ độ) của vật; cho biết độ lệch và chiều lệch của vật so với
VTCB.
A>0 (m;cm hoặc rad): Là biên độ (li độ cực đại của vật); cho biết độ lệch cực đại của
vật so với VTCB.
(ωt + ϕ) (rad): Là pha của dao động tại thời điểm t; cho biết trạng thái dao động (vị
trí và chiều chuyển động) của vật ở thời điểm t.
ϕ (rad): Là pha ban đầu của dao động; cho biết trạng thái ban đầu của vật.

ω (rad/s): Là tần số góc của dao động điều hoà; cho biết tốc độ biến thiên góc pha
+ Điểm P dao động điều hòa trên một đoạn thẳng luôn luôn có thể dược coi là hình
chiếu của một điểm M chuyển động tròn đều trên đường kính là đoạn thẳng đó.
* Chu kỳ, tần số của dao động điều hoà
+ Chu kì T(s): Là khoảng thời gian để thực hiện một dao động toàn phần. Chính là
khoảng thời gian ngắn nhất để vật trở lại vị trí và chiều chuyển động như cũ (trở lại
trạng thái ban đầu).
+ Tần số f(Hz):Là số dao động toàn phần thực hiện được trong một giây.
+ Liên hệ giữa ω, T và f:
* Vận tốc và gia tốc của vật dao động điều hoà
+ Vận tốc là đạo hàm bậc nhất của li độ theo thời gian:
Vận tốc của vật dao động điều hòa biến thiên điều hòa cùng tần số nhưng sớm pha
π
2

hơn so với với li độ.
- Ở vị trí biên (x = ± A): Độ lớn |v|min = 0
- Ở vị trí cân bằng (x = 0): Độ lớn |v|min =ωA.
2 | 220P a g e


Giá trị đại số:
vmax = ωA khi v>0 (vật chuyển động theo chiều dương qua vị trí cân bằng)
vmin = -ωA khi v<0 (vật chuyển động theo chiều âm qua vị trí cân bằng)
+ Gia tốc là đạo hàm bậc nhất của vận tốc (đạo hàm bậc 2 của li độ) theo thời gian:
Gia tốc của vật dao động điều hòa biến thiên điều hòa cùng tần số nhưng ngược pha
π
2

với li độ (sớm pha so với vận tốc).

Véc tơ gia tốc của vật dao động điều hòa luôn hướng về vị trí cân bằng và tỉ lệ với độ
lớn của li độ.
- Ở vị trí biên (x = ± A), gia tốc có độ lớn cực đại : |a|max = ω2A.
Giá trị đại số: amax=ω2A khi x=-A; amin=-ω2A khi x=A;.
- Ở vị trí cân bằng (x = 0), gia tốc bằng 0.
+ Đồ thị của dao động điều hòa là một đường hình sin.
+ Quỹ đạo dao động điều hoà là một đoạn thẳng.
* Dao động tự do (dao động riêng)
+ Là dao động của hệ xảy ra dưới tác dụng chỉ của nội lực
+ Là dao động có tần số (tần số góc, chu kỳ) chỉ phụ thuộc các đặc tính của hệ không
phụ thuộc các yếu tố bên ngoài.
Khi đó: ω gọi là tần số góc riêng; f gọi là tần số riêng; T gọi là chu kỳ riêng
TÓM TẮT CÔNG THỨC
1. Phương trình dao động:
2. Vận tốc tức thời:
luôn cùng chiều với chiều chuyển động (vật chuyển động theo chiều dương thì v>0,
theo chiều âm thì v<0)
3. Gia tốc tức thời:
luôn hướng về vị trí cân bằng
4. Vật ở VTCB: x = 0; vMax =

ω

A; aMin = 0

Vật ở biên: x = ±A; vMin = 0; aMax =
5. Hệ thức độc lập:
6. Cơ năng:
Cơ năng:
Động năng:

Thế năng:

3 | 220P a g e

ω

2

A


7. Dao động điều hoà có tần số góc là

ω

ω

, tần số f, chu kỳ T. Thì động năng và thế

năng biến thiên với tần số góc 2 , tần số 2f, chu kỳ T/2
8. Động năng và thế năng trung bình trong thời gian nT/2 ( n - N *, T là chu kỳ dao
động) là:
9. Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x 1 đến
x2 ( sử dụng mối liên hệ giữa giao động điều hòa và chuyển
động tròn đều)

M1

M2


∆ϕ

x2
O
-A
Tùy điều kiện cụ thể của bài toán để chúng ta tìm được
Ví dụ:
∆ϕ
10. Chiều dài quỹ đạo:
11. Quãng đường đi trong
M'2
+1 chu kỳ luôn là 4A
+1/2 chu kỳ luôn là 2A
+l/4 chu kỳ là A khi vật đi từ VTCB đến vị trí biên hoặc ngược lại
12. Quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 đến t2.

∆

x1

M'1

∆

Phân tích: t2 – t1 = nT + t (n N; 0 ≤ t < T)
Xác định vị trí và vận tốc của vật tại các thời điểm và (v 1 và v2 chỉ cần xác định dấu)
→ Quãng đường đi được trong thời gian Δt là ∆S
Quãng đường đi được trong thời gian nT là S = 4nA, trong thời gian
Quãng đường tổng cộng là S = S + ∆S
Lưu ý:


∆

t là ΔS.

∆

+ Nếu t = T/2 thì ΔS = 2A
+ Tính S2 bằng cách định vị trí x1, x2 và chiều chuyển động của vật trên trục Ox
+ Trong một số trường hợp có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa
dao động điều hoà và chuyển động tròn đều sẽ đơn giản hơn.
13. Bài toán tính quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất vật đi được trong khoảng thời
∆

gian 0 < t < T/2.
Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB, nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên trong cùng
một khoảng thời gian quãng đường đi được càng lớn khi vật ở càng gần VTCB và
càng nhỏ khi càng gần vị trí biên.
Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển đường tròn đều.
Góc quét

∆ϕ = ω.∆t

M 2

M 1

M 2

P


∆ϕ
2
A

-A
P 2

4 | 220P a g e

O

P

1

x

-A

O

∆ϕ
2

A

P

x


M 1

A


+) Quãng đường lớn nhất khi vật đi từ M1 đến M2 đối xứng qua trục sin (hình 1)
Quãng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M1 đến M2 đối xứng qua trục cos (hình 2)
Lưu ý:

∆

+ Trong trường hợp t > T/2
Tách trong đó
Trong thời gian quãng đường luôn là 2nA
∆

Trong thời gian t’ thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất tính như trên.
13. Tốc độ trung bình của vật đi từ thời điểm t1 đến t2:
với S là quãng đường tính như trên.
Tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất của trong khoảng thời gian
và
vớiSMax; SMin tính như trên.
14. Các bước lập phương trình dao động dao động điều hoà:
* Tính A
* Tính

ϕ

∆


t:

dựa vào điều kiện đầu: lúc t = t0 (thường t0 = 0)

Lưu ý:
+ Vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0, ngược lại v < 0
ϕ

ϕ

+ Trước khi tính
cần xác định rõ
thuộc góc phần tư thứ mấy của đường tròn
lượng giác (thường lấy -π < φ ≤ π)
+ nếu t0 = 0 thì lấy φ >0 khi v<0 và lấy φ<0 khi v>0
15. Các bước giải bài toán tính thời điểm vật đi qua vị trí đã biết x (hoặc v, a, W t, Wđ,
F) lần thứ n
* Giải phương trình lượng giác lấy các nghiệm của t (Với t > 0 thuộc phạm vi
giá trị của k )
* Liệt kê n nghiệm đầu tiên (thường n nhỏ)
* Thời điểm thứ n chính là giá trị lớn thứ n
Lưu ý:
+ Đề ra thường cho giá trị n nhỏ, còn nếu n lớn thì tìm quy luật để suy ra nghiệm thứ
n
+ Có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và
chuyển động tròn đều
16. Các bước giải bài toán tìm số lần vật đi qua vị trí đã biết x (hoặc v, a, W t, Wđ, F)
từ thời điểm t1 đến t2.
* Giải phương trình lượng giác được các nghiệm

* Từ t1 < t ≤ t2 thuộc Phạm vi giá trị của (Với k ϵ Z)
* Tổng số giá trị của k chính là số lần vật đi qua vị trí đó.
Lưu ý:
5 | 220P a g e


+ Có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và
chuyển động tròn đều.
+ Trong mỗi chu kỳ (mỗi dao động) vật qua mỗi vị trí biên 1 lần còn các vị trí khác 2
lần.
17. Các bước giải bài toán tìm li độ, vận tốc dao động sau (trước) thời điểm t một
khoảng thời gian ∆t. Biết tại thời điểm t vật có li độ x = x0.
* Từ phương trình dao động điều hoà: x = Acos(ωt +φ) cho x = x0
Lấy nghiệm ∆t + t = α với ứng với x đang giảm (vật chuyển động theo chiều âm vì v
< 0) hoặc ∆t + t = - α ứng với x đang tăng (vật chuyển động theo chiều dương)
* Li độ và vận tốc dao động sau (trước) thời điểm đó ∆t giây là

18. Dao động có phương trình đặc biệt:
* x = aωAcos(ωt +φ)với a = const
Biên độ là A, tần số góc là ω, pha ban đầu φ, x là toạ độ, x0 = Acos(ωt +φ) là li độ.
Toạ độ vị trí cân bằng x = a, toạ độ vị trí biên x = a < A. Vận tốc v = x’ = x0’, gia tốc a
= v’ = x” = x0”. Hệ thức độc lập: a = -ω2x0
*x=a

ω

2

ω


Acos ( t +
ω

ϕ

) (ta hạ bậc)

Biên độ A/2; tần số góc 2 , pha ban đầu 2

ϕ

PHẦN II: PHÂN DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP.
DẠNG 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
I. Phương pháp.
+ Muốn xác định x, v, a, F ph ở một thời điểm hay ứng với pha dã cho ta chỉ cần thay
t hay pha đã cho vào các công thức :
6 | 220P a g e


x = A.cos (ω.t + ϕ )

hoặc

x = A.sin(ω.t + ϕ ) v = − A.ω.sin(ω.t + ϕ )

;

hoặc

Fph = −k .x


a = − A.ω .sin(ω.t + ϕ )

a = − A.ω .cos (ω.t + ϕ )
2

v = A.ω.cos (ω.t + ϕ )

2

hoặc
và
.
+ Nếu đã xác định được li độ x, ta có thể xác định gia tốc, lực phục hồi theo biểu
a = −ω 2 .x

thức như sau :
+ Chú ý :
v ff 0; a

Fph = − k .x = − m.ω 2 .x

và

0; Fph f o

- Khi
trục toạ độ.

: Vận tốc, gia tốc, lực phục hồi cùng chiều với chiều dương


v p 0; a p 0; Fph p 0

- Khi
: Vận tốc , gia tốc, lực phục hồi ngược chiều với chiều dương
trục toạ độ.
VD1. Cho các phương trình dao động điều hoà như sau. Xác định A, ω, ϕ, f của các
dao động điều hoà đó?
π
x = 5.cos(4.π .t + )
6

a)

x = −5.cos(π .t )

c)

(cm).

b)

(cm).

d)

π
x = −5.cos(2.π .t + )
4


π
x = 10.sin(5.π .t + )
3

(cm).
(cm).

π
VD2. Phương trình dao động của một vật là: x = 6cos(4πt + 6 ) (cm), với x tính bằng

cm, t tính bằng s. Xác định li độ, vận tốc và gia tốc của vật khi t = 0,25 s.
HD:a)
T=

b)

π
x = 5.cos(4.π .t + )
6

⇒ A = 5(cm); ω = 4.π ( Rad / s); ϕ =

(cm).

π
( Rad );
6

2.π 2.π
1

1
=
= 0,5( s); f = =
= 2( Hz )
ω
4.π
T 0,5

π
π
5.π
x = −5.cos(2.π .t + ) = 5.cos(2.π .t + + π ) = 5.cos(2.π .t +
).
4
4
4

(cm).

5.π
2.π
1
⇒ A = 5(cm); ω = 2.π (rad / s ); ϕ =
( Rad ) ⇒ T =
= 1(s ); f = = 1( Hz ).
4
ω
T

c)


x = −5.cos(π .t )(cm) = 5.cos(π .t + π )(cm)

⇒ A = 5(cm); ω = π ( Rad / s ); ϕ = π ( Rad ); T =

d)

2.π
= 2( s ); f = 0,5( Hz ).
π

π
π π
π
x = 10.sin(5.π .t + )cm = 10.cos(5.π .t + − )cm = 10.cos(5.π .t − )cm
3
3 2
6

7 | 220P a g e

.


⇒ A = 10(cm); ω = 5.π ( Rad / s); ϕ =

π
2.π
1
( Rad ); T =

= 0.4( s); f =
= 2,5( Hz )
6
5.π
0, 4

π
7π
2. Khi t = 0,25 s thì x = 6cos(4π.0,25 + 6 ) = 6cos 6 = - 3 3 (cm);
π
7π
v = - 6.4πsin(4πt + 6 ) = - 6.4πsin 6 = 37,8 (cm/s);

.

a = - ω2x = - (4π)2. 3 3 = - 820,5 (cm/s2).
VD3. Một vật nhỏ khối lượng 100 g dao động điều hòa trên quỹ đạo thẳng dài 20 cm
với tần số góc 6 rad/s. Tính vận tốc cực đại và gia tốc cực đại của vật.
L
2

20
2

HD: Ta có: A = =
= 10 (cm) = 0,1 (m); vmax = ωA = 0,6 m/s; amax = ω2A = 3,6
m/s2.
VD4. Một vật dao động điều hoà trên quỹ đạo dài 40 cm. Khi ở vị trí có li độ x = 10
cm vật có vận tốc 20π 3 cm/s. Tính vận tốc và gia tốc cực đại của vật.
L

2

40
= 2 = 20 (cm); ω =

v

A − x = 2π rad/s; vmax = ωA = 2πA = 40π
HD. Ta có: A =
cm/s; amax = ω2A = 800 cm/s2.
VD5. Một chất điểm dao động điều hoà với chu kì 0,314 s và biên độ 8 cm. Tính vận
tốc của chất điểm khi nó đi qua vị trí cân bằng và khi nó đi qua vị trí có li độ 5 cm.
2

2

2π 2.3,14
=
T
0,314 = 20 (rad/s). Khi x = 0 thì v = ± ωA = ±160 cm/s.
HD; Ta có: ω =

Khi x = 5 cm thì v = ± ω A − x = ± 125 cm/s.
VD6. Một chất điểm dao động theo phương trình: x = 2,5cos10t (cm). Vào thời điểm
2

2

π
nào thì pha dao động đạt giá trị 3 ? Lúc ấy li độ, vận tốc, gia tốc của vật bằng bao


nhiêu?

π
π
π
π
HD. Ta có: 10t = 3  t = 30 (s). Khi đó x = Acos 3 = 1,25 (cm); v = - ωAsin 3 = -

21,65 (cm/s);
a = - ω2x = - 125 cm/s2.
VD7. Một vật dao động điều hòa với phương trình: x = 5cos(4πt + π) (cm). Vật đó đi
qua vị trí cân bằng theo chiều dương vào những thời điểm nào? Khi đó độ lớn của vận
tốc bằng bao nhiêu?
π
2

HD : Khi đi qua vị trí cân bằng thì x = 0  cos(4πt + π) = 0 = cos(± ). Vì v > 0 nên
4πt + π = -

π
2

8 | 220P a g e

+ 2kπ  t = -

3
8


+ 0,5k với k ∈ Z. Khi đó |v| = vmax = ωA = 62,8 cm/s.


VD8. Một vật nhỏ có khối lượng m = 50 g, dao động điều hòa với phương trình: x =
π
2

20cos(10πt + ) (cm). Xác định độ lớn và chiều của các véc tơ vận tốc, gia tốc và lực
kéo về tại thời điểm t = 0,75T.
0, 75.2π
ω

π
= 0,15 s thì x = 20cos(10π.0,15 + 2 ) = 20cos2π = 20

HD. Khi t = 0,75T =
cm; v = - ωAsin2π = 0; a = - ω2x = - 200 m/s2; F = - kx = - mω2x = - 10 N; a và F đều
có giá trị âm nên gia tốc và lực kéo về đều hướng ngược với chiều dương của trục tọa
độ.
2

VD9. Một vật dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ
10

0,2 s. Tính độ lớn của gia tốc của vật khi nó có vận tốc 10
HD. Ta có: ω =
m/s2.

2π
T


2

= 10π rad/s; A2 = x2 +

v
ω2

2

=

cm và với chu kì

cm/s.

2

v
a
+ 4
2
ω ω

ω 4 A2 − ω 2 v 2

 |a| =

= 10


π
2

VD10. Một vật dao động điều hòa với phương trình: x = 20cos(10πt + ) (cm). Xác
định thời điểm đầu tiên vật đi qua vị trí có li độ x = 5 cm theo chiều ngược chiều với
chiều dương kể từ thời điểm t = 0.
HD. Ta có: x = 5 = 20cos(10πt +

π
2

π
2

)  cos(10πt +

π
2

) = 0,25 = cos(±0,42π).

Vì v < 0 nên 10πt + = 0,42π + 2kπ  t = - 0,008 + 0,2k; với k ∈ Z. Nghiệm dương
nhỏ nhất trong họ nghiệm này (ứng với k = 1) là 0,192 s.
VD11. Một vật dao động điều hòa với phương trình: x = 4cos(10πt định thời điểm gần nhất vận tốc của vật bằng 20π
0.
HD. Ta có: v = x’ = - 40πsin(10πt  cos(10πt +

9 | 220P a g e

π

6

)=

3
2

π
6

π
3

3

π
3

) (cm). Xác

cm/s và đang tăng kể từ lúc t =

) = 40πcos(10πt +

π
6

) = 20π

= cos(± ). Vì v đang tăng nên: 10πt +


π
6

3

=-

π
6

+ 2kπ


1
30

t=+ 0,2k. Với k ∈ Z. Nghiệm dương nhỏ nhất trong họ nghiệm này là t =
VD12. Cho các chuyển động được mô tả bởi các phương trình sau:
a)
b)

x = 5.cos(π .t ) + 1

1
6

s.

(cm)


π
x = 2.sin 2 (2.π .t + )
6

(cm)

x = 3.sin(4.π .t ) + 3.cos(4.π .t )

c)
(cm)
Chứng minh rằng những chuyển động trên đều là những dao động điều hoà. Xác
định biên độ, tần số, pha ban đầu, và vị trí cân bằng của các dao động đó.
HD:
a)

x = 5.cos(π .t ) + 1

Đặt x-1 = X.

⇒ x − 1 = 5.cos (π .t )

ta có

A = 5(cm); f =

Với

X = 5.cos(π .t )


⇒

Đó là một dao động điều hoà

ω
π
=
= 0,5( Hz ); ϕ = 0( Rad )
2.π 2.π

VTCB của dao động là :
b)

.

X = 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇒ x = 1(cm).

π
π
x = 2.sin 2 (2.π .t + ) = 1 − cos(4.π .t + )
6
3

Đặt X = x-1

π
π
⇒ X = −cos(4.π .t − ) = cos(4π t + )
6
3


A = 1(cm); f =

Với

ω
4.π
π
=
= 2( s ); ϕ = ( Rad )
2.π 2.π
3

⇒

Đó là một dao động điều hoà.

c)

π
π
π
π
x = 3.sin(4.π .t ) + 3.cos(4.π .t ) = 3.2sin(4.π t + ).cos( − ) ⇒ x = 3. 2.sin(4.π .t + )(cm) = 3 2cos(4.π .t − )(cm
4
4
4
4
A = 3. 2(cm); f =


⇒

4.π
π
= 2( s ); ϕ = − ( Rad )
2.π
4

Đó là một dao động điều hoà. Với
VD13. Một chất điểm có khối lượng m = 100g dao động điều hoà theo phương trình :
π
x = 5.sin(2.π .t + )
6

(cm) . Lấy
trong các trường hợp sau :
a) Ở thời điểm t = 5(s).
b) Khi pha dao động là 1200.

π 2 ≈ 10.

Xác định li độ, vận tốc, gia tốc, lực phục hồi

Lời Giải
10 | 220P a g e


π
x = 5.sin(2.π .t + )
6


Từ phương trình

(cm)

⇒ A = 5(cm); ω = 2.π ( Rad / s)

k = m.ω 2 = 0,1.4.π 2 ≈ 4( N / m).

Vậy

π
π
v = x ' = A.ω.cos (ω.t + ϕ ) = 5.2.π .cos (2.π .t + ) = 10.π .cos(2.π .t + )
6
6

Ta có
a) Thay t= 5(s) vào phương trình của x, v ta có :

π
π
x = 5.sin(2.π .5 + ) = 5.sin( ) = 2,5( cm).
6
6
v = 10.π .cos (2.π .5 +

π
π
3

) = 10.π .cos ( ) = 10.π .
= 5. 30
6
6
2

a = −ω 2 .x = −4.π 2 .2,5 = −100(

(cm/s).

cm
m
) = −1( 2 )
2
s
s

.
Dấu “ – “ chứng tỏ gia tốc ngược chiều với chiều dương trục toạ độ.
Fph = −k .x = −4.2,5.10−2 = −0,1( N ).

Dấu “ – “ chứng tỏ Lực phục hồi ngược chiều với chiều dương trục toạ độ.
b) Khi pha dao động là 1200 thay vào ta có :
-

x = 5.sin1200 = 2,5. 3

Li độ :

v = 10.π .cos120 = −5.π


(cm).

0

-

Vận tốc :

-

(cm/s).

a = −ω .x = −4.π .2,5. 3 = − 3
2

Gia tốc :
Lực phục hồi :

2

(cm/s2).

Fph = − k .x = −4.2,5. 3 = −0,1. 3

(N).

x = 4.cos (4.π .t )

VD 14. Toạ độ của một vật biến thiên theo thời gian theo định luật :

(cm). Tính tần số dao động , li độ và vận tốc của vật sau khi nó bắt đầu dao động được
5 (s).
Lời Giải
Từ phương trình

x = 4.cos (4.π .t )

(cm)

A = 4cm; ω = 4.π ( Rad / s ) ⇒ f =

Ta có :
-

ω
= 2( Hz )
2.π

.

Li độ của vật sau khi dao động được 5(s) là :

x = 4.cos(4.π .5) = 4

(cm).

v = x = −4.π .4.sin(4.π .5) = 0
'

Vận tốc của vật sau khi dao động được 5(s) là :


11 | 220P a g e

cm/s


DẠNG 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
PHƯƠNG PHÁP:
Chọn hệ quy chiếu:
+ Trục ox...
+ gốc toạ độ tại VTCB
+ Chiều dương...
+ gốc thời gian...
Phương trình dao động có dạng: x = Acos(ωt + ϕ) cm
Phương trình vận tốc:
v = -Aωsin(ωt + ϕ) cm/s
1.Xác định tần số góc ω : (ω >0)
+ ω = 2πf =

2π
T

T=

, với
ω=

+ Nếu con lắc lò xo:

∆t

N

k
m

, N: tống số dao động
, ( k: N/m, m: kg)

+ khi cho độ giản của lò xo ở VTCB

∆l

k .∆l = mg ⇒

:

k
g
⇒ω =
=
m ∆l

v

ω=

A2 − x 2

+
2) Xác định biên độ dao động A:(A>0)

+ A=

d
2

, d: là chiều dài quỹ đạo của vật dao động
A=

+ Nếu đề cho chiều daig lớn nhất và nhở nhất của lò xo:

v2
x + 2
ω
2

+ Nếu đề cho ly độ x ứng với vận tốc v thì ta có: A =
(nếu buông nhẹ v = 0)
A2 =

+ Nếu đề cho vận tốc và gia tốc:

v2 a 2
+
ω2 ω4
A=

+ Nếu đề cho vận tốc cực đại: Vmax thì:
A=

+ Nếu đề cho gia tốc cực đại aMax : thì


vMax
ω

aMax
ω2

F

+ Nếu đề cho lực phục hồi cực đại Fmax thì →
12 | 220P a g e

max

l max − l min
2

= kA

g
∆l


A=

+ Nếu đề cho năng lượng của dao động Wthì →

2W
k


−π ≤ ϕ ≤ π

3) Xác định pha ban đầu ϕ : (
)
Dựa vào cách chọn gốc thời gian để xác định ra ϕ

Khi t=0 thì

x0

cosϕ = A
⇒
 x = x0
 x0 = Acosϕ
sin ϕ = v0


v
=
−
A
ω
sin
ϕ
v
=
v

ωA ⇒ϕ


0 ⇔  0

+ Nếu lúc vật đi qua VTCB thì

=?

cosϕ = 0

0 = Acosϕ
⇒
v0
ϕ = ?
A=−
>0⇒


ω sin ϕ
v0 = − Aω sinϕ

A = ?

x

A= 0 >0

 x0 = Acosϕ ⇒ 
cosϕ
ϕ = ?
⇒



sin ϕ = 0
0 = − Aω sinϕ

A = ?

+ Nếu lúc buông nhẹ vật
Chú ý:
khi thả nhẹ, buông nhẹ vật v0 = 0 , A=x
Khi vật đi theo chiều dương thì v>0 (Khi vật đi theo chiều âm thì v<0)
Pha dao động là: (ωt + ϕ)
π
2

sin(x) = cos(x- )
π

-cos(x) = cos(x+ )
VD1. Một con lắc lò xo dao động với biên độ A = 5cm, chu kỳ T = 0,5s. Viết phương
trình dao động của con lắc trong các trường hợp:
a) t = 0 , vật qua VTCB theo chiều dương.
b) t = 0 , vật cách VTCB 5cm, theo chiều dương.
c) t = 0 , vật cách VTCB 2,5cm, đang chuyển động theo chiều dương.
Lời Giải
Phương trình dao động có dạng :

x = A.sin(ω.t + ϕ )

.


v = x = A.ω.cos (ω.t + ϕ )
'

Phương trình vận tốc có dạng :
Vận tốc góc :

2.π 2.π
ω=
=
= 4π ( Rad / s )
T
0,5

x0 = A.sin ϕ

a) t = 0 ;

.

0 = 5.sin ϕ

v0 = A.ω.cosϕ ⇔ v0 = 5.4.π .cosϕ f 0 ⇒ ϕ = 0

13 | 220P a g e

.

. Vậy

x = 5.sin(4.π .t )


(cm).


x0 = A.sin ϕ
b) t = 0 ;

v0 = A.ω.cosϕ ⇔ v0 = 5.4.π .cosϕ f 0

x0 = A.sin ϕ

c) t = 0 ;

5 = 5.sin ϕ

⇒ϕ =

π
(rad )
2

π
x = 5.sin(4.π .t + )
2

Vậy

.

(cm).


2,5 = 5.sin ϕ
π
⇒ ϕ = (rad )
v0 = A.ω.cosϕ ⇔ v0 = 5.4.π .cosϕ f 0
6

π
x = 5.sin(4.π .t + )
6

.

Vậy
(cm).
VD 2. Một con lắc lò xo dao động với chu kỳ T = 1(s). Lúc t = 2,5(s), vật qua vị trí
x = −5. 2

có li độ
của con lắc.

v = −10.π . 2

(cm) với vận tốc

(cm/s). Viết phương trình dao động

Lời Giải

Phương trình dao động có dạng :


x = A.sin(ω.t + ϕ )

.

v = x = A.ω.cos (ω.t + ϕ )
'

Phương trình vận tốc có dạng :

2.π 2.π
ω=
=
= 2π ( Rad / s)
T
1

Vận tốc góc :

.

2
2
v 2 ⇒ A = x 2 + v = (−5. 2) 2 + (−10.π . 2)
A =x + 2
ω2
(2.π ) 2
ω
2


ADCT :

.

2

Điều kiện ban đầu : t = 2,5(s) ;
⇒ tan ϕ = 1

⇒ϕ =

= 10 (cm).

−5. 2 = A.sin ϕ
x = A.sin ϕ
v = A.ω.cosϕ ⇔ −10.π . 2 = A.2.π .cosϕ

π
x = 10.sin(2.π .t + )
4

π
(rad )
4

.
Vậy
(cm).
VD3. Một vật có khối lượng m = 100g được treo vào đầu dưới của một lò xo có độ
cứng k = 100(N/m). Đầu trên của lò xo gắn vào một điểm cố định. Ban đầu vật được

giữ sao cho lò xo không bị biến dạng. Buông tay không vận tốc ban đầu cho vật dao
động. Viết phương trình daô động của vật. Lấy g = 10 (m/s2);
Lời Giải
Phương trình dao động có dạng :

x = A.sin(ω.t + ϕ ) ⇒

Tại VTCB lò xo dãn ra một đoạn là :
14 | 220P a g e

.

ω=

π 2 ≈ 10

.

k
100
=
= 10.π
m
0,1

(Rad/s).

m.g 0,1.10
∆l =
=

= 10−2 (m) = 1cm ⇒ A = ∆l = 1cm
k
100

.


Điều kiện ban đầu t = 0 , giữ lò xo sao cho nó không biến dạng tức x0 = x0 = −∆l = −1 = A.sin ϕ

t=0;

v0 = A.ω.cosϕ f 0

⇒ϕ = −

π
(rad )
2

.

Vậy

π
x = sin(10.π .t − )
2

∆l

. Ta có


(cm).

VD 4. Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox. Lúc vật qua vị trí có li độ
v = −π . 2

x=− 2

a = 2.π 2

(cm) thì có vận tốc
(cm/s) và gia tốc
(cm/s2). Chọn gốc toạ độ ở vị
trí trên. Viết phương trình dao động của vật dưới dạng hàm số cosin.
Lời Giải
Phương trình có dạng : x = A.cos(
Phương trình vận tốc : v = - A.

ω.t + ϕ

).

ω.sin(ω.t + ϕ )

.

ω .cos(ω.t + ϕ )
2

Phương trình gia tốc : a= - A.

.
Khi t = 0 ; thay các giá trị x, v, a vào 3 phương trình đó ta có :
x = − 2 = A.cosϕ ; v = −π . 2 = − A.ω.sin ϕ ; a = π 2 . 2 = −ω 2 . Acosϕ

Lấy a chia cho x ta được :

ω = π (rad / s )

.

tan ϕ = −1 ⇒ ϕ =

Lấy v chia cho a ta được :
⇒ A = 2cm

3.π
(rad )
4

x = 2.COS(π .t +

.

Vậy :

3.π
)
4

.


(vì

cosϕ

<0)

(cm).

DẠNG 3: TÌM THỜI GIAN VẬT ĐI TỪ LI ĐỘ X1 TỚI X2
PHƯƠNG PHÁP:
Ta dùng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều để tính.
Khi vật dao động điều hoà từ x1 đến x2 thì tương ứng vứoiu vật chuyển động tròn đều
từ M đến N(chú ý x1 và x2 là hình chiếu vuông góc của M và N lên trục OX
Thời gian ngắn nhất vật dao động đi từ x1 đến x2 bằng thời gianNvật chuyển động Mtròn
đều từ M đến N

15 | 220P a g e

-A

x2

O

x1

N X



Δt = t MN =

gócMON
T
360

ˆ ) = | x1 |
Sin(x1MO
A

,

,

ˆ = x MO
ˆ + ONx
ˆ
gócMON
1
2

ˆ ) = | x2 |
Sin(ONx
2
A
x=±

+ khi vật đi từ: x = 0 ->
x=±


+ khi vật đi từ:

với

A
2

A
2

∆t =

T
12

∆t =

T
6

thì

±

-> x= A thì
x=±

+ khi vật đi từ: x=0 ->

A 2

2
x=±

+ vật 2 lần liên tiếp đi qua

x=±

và
A 2
2

A 2
2
∆t =

thì

±

-> x= A thì

∆t =

T
8

T
4
v=


∆S
∆t

Vận tốc trung bình của vật dao dộng lúc này:
Ví dụ 1: Vật dao động điều hòa với phương trình . Tính:
a) Thời gian vật đi từ VTCB đến A/2
b) Thời gian vật đi từ biên đến –A/2 đến A/2 theo chiều dương.
c) Tính vận tốc trung bình của vật trong câu a
giải
a) Khi vật đi từ vị trí cân bằng đến A/2, tương ứng với vật chuyển động trên
đường tròn từ A đến B được một góc 300 (bạn đọc tự tính) như hình vẽ bên.

Nhận thấy: Vật quay một vòng 3600 hết một chu kỳ
Vậy khi vật quay 300 hết khỏng thời gian
Dùng quy tắc tam suất ta tính được

16 | 220P a g e

T
t


b) Khi vật đi từ vị trí –A/2 đến A/2, tương ứng với vật chuyển động trên đường
tròn từ A đến B được một góc π/6 + π/6 = 900 (bạn đọc tự tính) như hình vẽ bên.

Nhận thấy: Vật quay một vòng 3600 hết một chu kỳ
Vậy khi vật quay 900 hết khỏng thời gian
Dùng quy tắc tam suất ta tính được
c) Vận tốc trung bình của vật: Vtb =


T
t

π
x = 10.sin(2.π .t + )
2

VD2. Một vật dao động với phương trình :
(cm). Tìm thời điểm vật
đi qua vị trí có li độ x = 5(cm) lần thứ hai theo chiều dương.
Lời Giải
các thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x = 5cm được xác định bởi phương trình:
π π
= + k .2π
2 6
π 5.π
π
π
1
2.π .t + =
+ k .2π
x = 10.sin(2.π .t + ) = 5 ⇒ sin(2π t + ) =
2
6
2
2
2 ⇒
2.π .t +

Ta có :


π
v = x ' = 2.π .10.cos (2π t + )
2

π
v = x ' = 2.π .10.cos (2π t + )
2
2.π .t +

(

k ∈ Z;

. Vì vật đi theo chiều dương nên v > 0

t > 0)
⇔

> 0. Để thoả mãn điều kiện này ta chọn

π π
−1
= + k .2π
t=
+k
⇒
2 6
6


với k = 1, 2, 3, 4,... (vì t > 0)

Vật đi qua vị trí x = 5cm lần hai theo chiều dương
1
11
− +2=
6
6

⇒

k = 2. Vậy ta có

t=
(s).
VD3. Một vật dao động điều hoà có biên độ bằng 4 (cm) và chu kỳ bằng 0,1 (s).
Viết phương trình dao động của vật khi chọn t = 0 là lúc vật đi qua vị trí cân bằng theo
chiều dương.
17 | 220P a g e


Tính khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x 1 = 2 (cm) đến vị trí x 2 = 4
(cm).
Lời Giải
x = A.sin(ω.t + ϕ )

a) Phương trình dao động : Phương trình có dạng :
ω=

x(cm)


4

2π 2π
=
= 20π (rad / s )
T
0,1

2

Trong đó: A = 4cm,
.
Chọn t = 0 là lúc vật qua VTCB theo chiều dương, ta có :
x0 = A.sin

ϕ

ω

= 0, v0 = A. .cos

x = 4.sin(20π .t )

ϕ

>0

⇒ ϕ = 0(rad )


ω
α

O

.

Vậy
(cm)
b) Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x1 = 2 (cm) đến vị trí
x2 = 4 (cm).
x = x1 ⇔ 4sin(20π .t ) = 2 ⇒ sin(20π .t ) =

+ Cách 1: -

1
1
t1 =
( s)
2⇒
120

( vì v > 0 )

1
x = x2 ⇔ 4sin(20π .t ) = 4 ⇒ sin(20π .t ) = 1 ⇒ t2 = 40 ( s )

( vì v > 0 )
Kết luận : Khoảng thời gian ngắn nhất đẻ vật đi từ vị trí có li độ x 1 = 2 (cm) đến
1

1
1
−
= ( s)
40 120 60

vị trí x2 = 4 (cm) là : t = t2 – t1 =
.
+ Cách 2: Chọn t = 0 là lúc vật đi qua vị trí có li độ x 0 = x1 = 2cm theo chiều dương, ta
x = 4.sin(ϕ ) = x0 = x1 = 2 ⇒ sin ϕ =

có :
⇒

x = 4.sin(20π .t +

π
)
6

1
π
⇒ϕ =
2
6

(rad)

( vì v > 0 )


(cm).
Thời gian để vật đi từ vị trí x 0 đến vị trí x = 4cm được xác định bởi phương trình:
π
π
1
x = 4.sin(20π .t + ) = 4 ⇒ sin(20.π .t + ) = 1 ⇒ t = ( s)
6
6
60

VD4: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 8cos(2πt) cm. Thời điểm thứ
nhất vật đi qua vị trí cân bằng là:
1
s
4

A)
Giải: Chọn A

B)

1
s
2

C)

1
s
6


D)

M1

t=

Cách 1: Vật qua VTCB: x = 0 ⇒ 2πt = π/2 + kπ ⇒
Thời điểm thứ nhất ứng với k = 0 ⇒ t = 1/4 (s)
18 | 220P a g e

1
s
3

1 k
+
k ∈N
4 2

-A

O
M2

M0
A x


Cách 2: Sử dụng mối liên hệ giữa dđđh và chuyển động tròn đều.

Vật đi qua VTCB, ứng với vật chuyển động tròn đều qua M1 và M2.
Vì ϕ = 0, vật xuất phát từ M 0 nên thời điểm thứ nhất vật qua VTCB ứng với vật qua
t=

∆ϕ 1
= s
ω 4

M1.Khi đó bán kính quét 1 góc ∆ϕ = π/2 ⇒
DẠNG 4: XÁC ĐỊNH QUÃNG ĐƯỜNG ĐI ĐƯỢC ( S, Smax, Smin)
Phương pháp
Phương trình dao động có dạng: x = Acos(ωt + ϕ) cm
Phương trình vận tốc:
v = -Aωsin(ωt + ϕ) cm/s
N=

t2 − t1
m
= n+
T
T

Tính số chu kỳ dao động từ thời điểm t1 đến t2 :
Trong một chu kỳ :
+ vật đi được quãng đường 4A
+ Vật đi qua ly độ bất kỳ 2 lần
* Nếu m= 0 thì: + Quãng đường đi được: ST = 4nA
+ Số lần vật đi qua x0 là MT= 2n

T=


, với

2π
ω

≠0

* Nếu m
thì:
+ Khi t=t1 ta tính x1 = Acos(ωt1 + ϕ)cm và v1 dương hay âm (không tính v1)
+ Khi t=t2 ta tính x2 = Acos(ωt2 + ϕ)cm và v2 dương hay âm (không tính v2)
m
T

Sau đó vẽ hình của vật trong phần lẽ
chu kỳ rồi dựa vào hình vẽ để tính Slẽ và số
lần Mlẽ vật đi qua x0 tương ứng.
Khi đó:
+ Quãng đường vật đi được là: S=ST +Slẽ
+ Số lần vật đi qua x0 là: M=MT+ Mlẽ
 x1 > x0 > x2

v1 > 0, v2 > 0

Ví dụ:
ta -A x2
Khi đó + Số lần
+ Quãng đường đi được:


x0

x2

O

X

A

có hình vẽ:
vật đi qua x0 là Mlẽ= 2n

x2

Slẽ = 2A+(A-x1)+(A- ) =4A-x1đối xứng qua trục sin (hình 1)
S Max = 2A sin

x1

Quãng đường lớn nhất khi vật đi từ M1 đến M2

∆ϕ
2

Quãng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M1 đến M2 đối xứng qua trục cos (hình 2)
S Min = 2 A(1 − cos

∆ϕ
)

2

Lưu ý: + Trong trường hợp

M2

M1

∆

∆ϕ
2

t > T/2
-A

A
P2

19 | 220P a g e

M2

P

O

P

1


x

-A

O

∆ϕ
2

A

P

x

M1


∆t = n

Tách

T
+ ∆t '
2

n ∈ N * ; 0 < ∆t ' <

trong đó

n

Trong thời gian
luôn là 2nA
Trong thời gian

∆

T
2

T
2

quãng đường

t’ thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất tính như trên.

VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 4 cos(2πt + π/3). Tính
quãng đường mà vật đi được trong thời gian 3,75s.
Giải.
Dễ dàng nhận thấy, trong thời gian 1 chu kỳ T vật dao động đi được quãng
đường 4A
Chu kỳ dao động của vật:
T = 1s
(bạn đọc tự tính)
Khoảng thời gian 3,75s = 3 chu kỳ T + 0,75s
+ Quãng đường vật đi được trong 3s = quãng đường vật đi trong 3 chu kỳ = 3 × 4A =
48

+ Quãng đường vật đi được trong 0,75s được xác định theo hình vẽ dưới đây:

S0,75s = AO + OB + BO + OC = AO + 4 + 4 + OC = 10 + 2
0

0
trong đó OA = 4. sin 30 = 2 cm và OC = 4 . sin 60 = 2

3

cm

3

cm
3

Vậy tổng quãng đường mà vật đi được:
S = 58 + 2 cm = 61,6 cm
Các em làm mấy bài tập 21,22,24,23 trong phần trắc nghiệm tổng hợp nhé!

20 | 220P a g e


DẠNG 5: BÀI TOÁN THỜI GIAN TRONG DĐ ĐH
Tìm t để:
+vật đi được quãng đường S.
+ vật đi qua ly độ x0, có giá trị vận tốc v0 (theo chiều âm, dương) lần thứ n
PHƯƠNG PHÁP
Phương trình dao động có dạng: x = Acos(ωt + ϕ) cm

Phương trình vận tốc:
v = -Aωsin(ωt + ϕ) cm/s
1) Khi vật đi qua ly độ x0 thì x0= Acos(ωt + ϕ)
⇒ ωt + ϕ = ±b + k 2π

⇒t =

±b − ϕ k 2π
+
ω
ω

⇒

∈

cos(ωt + ϕ) =
±b − ϕ

x0
A

=cosb

∈

s với k N khi
>0 và k N* khi
Khi có điều kiện của vật thì ta loại bớt một nghiệm t


2) Khi vật đạt vận tốc v0 thì v0 = -Aωsin(ωt + ϕ)

21 | 220P a g e

⇒

−

sin(ωt + ϕ) =

v0
Aω

±b − ϕ

=cosd

<0


 d − ϕ k 2π
t = ω + ω
⇒
ωt + ϕ = d + k 2π
t = π − d − ϕ + k 2π
⇒

ω
ω
ωt + ϕ = π − d + k 2π

d − ϕ > 0

π − d − ϕ > 0

∈

∈

với k N khi
và k N* khi
3) Tìm ly độ vật khi vận tốc có giá trị v1:

d − ϕ < 0

π − d − ϕ < 0

2

2

v 
v 
2
A = x + 1 ÷ ⇒ x = ± A − 1 ÷
ω 
ω 
2

2


Ta dùng
4) Tìm vận tốc khi đi qua ly độ x1:
2

v 
A2 = x 2 +  1 ÷
2
2
 ω  ⇒ v = ±ω A − x

Ta dùng
VÍ DỤ MINH HỌA:

khi vật đi theo chiều dương thì v>0

VD 1: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 4cos(4πt +
thứ 3 vật qua vị trí x = 2cm theo chiều dương.
A) 9/8 s
B) 11/8 s
C) 5/8 s
D) 1,5 s
HD Giải: Chọn B

Cách 1: Ta có

π
6

π


x = 4cos(4π t + ) = 2
 x = 2 
π
π
6
⇒
⇒ 4π t + = − + k 2π

6
3
v > 0 v = −16π sin(4π t + π ) > 0

6

1 k
t=− +
k ∈ N*
8 2

t=

) cm. Thời điểm

M1
M0
-A

11
s
8


O

A
M2

⇒
Thời điểm thứ 3 ứng với k = 3 ⇒
Cách 2: Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều.
Vật qua x = 2 theo chiều dương là qua M2.
Qua M2 lần thứ 3 ứng với vật quay được 2 vòng (qua 2 lần) và lần cuối cùng đi từ M 0
đến M2.
Góc quét ∆ϕ = 2.2π +

3π
2

t=

⇒

∆ϕ 11
= s
ω
8

VD 2: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 4cos(4πt +
thứ 2009 vật qua vị trí x=2cm.
A)


12049
s
24

22 | 220P a g e

B)

12061
s
24

C)

12025
s
24

π
6

) cm. Thời điểm

D) Đáp án khác

x


HD Giải: Chọn A


Cách 1:

Vật qua lần thứ 2009 (lẻ) ứng với nghiệm trên
t=

M1

π π
1 k


4
π
t
+
=
+
k
2
π
t
=

 24 + 2 k ∈ N
6 3
x=2⇒ 
⇒
 4π t + π = − π + k 2π
t = − 1 + k k ∈ N*



8 2
6
3

M0
O

-A

2009 − 1
k=
= 1004
2

A
M2

⇒

1
12049
+ 502 =
s
24
24

Cách 2: Vật qua x =2 là qua M1 và M2.Vật quay 1 vòng (1 chu kỳ) qua x = 2 là 2 lần.
Qua lần thứ 2009 thì phải quay 1004 vòng rồi đi từ M0 đến M1.
∆ϕ = 1004.2π +


Góc quét

π
∆ϕ
1 12049
⇒t =
= 502 +
=
s
6
ω
24
24

VD3. Một vật dao động điều hoà với phương trình :

π
x = 10.sin(π .t − )
2

(cm) . Xác định

5 2

thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x = (cm) lần thứ ba theo chiều âm.
Lời Giải
Thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x = phương trình sau :

π

π
= − + k .2π
2
4
π
π
π t − = π + + k .2π
2
4

5 2

(cm) theo chiều âm được xác định theo

π
π
2
π
x = 10.sin(π .t − ) = −5 2 ⇒ sin(π t − ) = −
= sin( − )
2
2
2
4

. Suy ra

πt −

(


k ∈Z

) . Ta có vận tốc của vật là :

Vì vật đi qua vị trí có li độ x = π
v = x ' = π .10.cos(π t − )
2

⇒

t=

7
+ 2.k
4

(

< 0. Để thoả mãn điều kiện này ta chọn

t=

23 | 220P a g e

(cm) theo chiều âm nên v < 0. Vậy ta có:
πt −

k = 0,1, 2,3,...


chiều âm, lần 3 là :

5 2

π
v = x ' = π .10.cos(π t − )
2

;t>0)

7
23
+ 2.2 =
4
4

(s).

⇒

π
π
= π + + k .2π
2
4

Vật đi qua vị trí có li độ x = -

5 2


(cm) theo

x


π
x = 10.sin(10.π .t + )
2

VD4. Một vật dao động điều hoà với phương trình :
(cm). Xác
định thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x = 5cm lần thứ 2008.
Lời Giải
Thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x = 5cm được xác định từ phương trình:
π π
= + k .2π
2 6
π 5π
π
π
1
10.π .t + =
+ k .2π
x = 10.sin(10.π .t + ) = 5 ⇒ sin(10.π .t + ) =
2
6
2
2
2 ⇒
10.π .t +


1 k
t=− +
30 5

vì t > 0 nên ta có

với k = 1, 2, 3, 4,...

(1)

1 k
t=
+
30 5

Hoặc
với k = 0, 1, 2, 3, 4,...
(2)
+ (1) ứng với các thời điểm vật đi qua vị trí x = 5cm theo chiều dương ( v > 0 ).
π
v = x ' = 100π .cos (10π t + )
2

> 0 và t > 0
+ (2) ứng với các thời điểm vật đi qua vị trí x = 5cm theo chiều âm ( v < 0 ).
π
v = x ' = 100π .cos (10π t + )
2
⇒


x = 10.sin

< 0 và t > 0

π
= 10cm
2

+ Khi t = 0
, vật bắt đầu dao động từ vị trí biên dương. Vật đi qua
vị trí x = 5cm lần thứ nhất theo chiều âm, qua vị trí này lần 2 theo chiều dương. Ta có
ngay vật qua vị trí x = 5cm lần thứ 2008 theo chiều dương, trong số 2008 lần vật qua
vị trí x = 5cm thì có 1004 lần vật qua vị trí đó theo chiều dương. Vậy thời điểm vật
t=−

qua vị trí x = 5cm lần thứ 2008 là :
t=−

1 k
+
30 5

1 1004 6024 − 1 6023
+
=
=
30
5
30

30

với k = 1004.

(s).
Dạng 6: Vận tốc trung bình và tốc độ trung bình ( vmax, vmin)
PHƯƠNG PHÁP:
+ Tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất của trong khoảng thời gian
vtbMax =

S Max
∆t

vtbMin =

S Min
∆t

∆

t:

và
với SMax; SMin tính như dạng 5 ở trên.
DẠNG 7: XÁC ĐỊNH SỐ LẦN VẬT QUA LI ĐỘ X TRONG THỜI GIAN t
PHƯƠNG PHÁP:
24 | 220P a g e


- Trong một chu kỳ T vật qua li độ x theo chiều dương 1 lần, theo chiều âm 1 lần.

=> Trong một chu kỳ T vật qua li độ x 2lần.
=> để tìm số lần qua li độ x ta thực hiện lập tỉ số t/T= n,abc
=> tách n,abc = n+abc => t = n.T +

∆t

trong đó :
∆t

∆t

= 0,abc.T

Tìm số lần vật qua li độ x trong thời gian
( 1lần, 2 lần, hoặc không lần nào)
=> số lần qua li độ x
Ví dụ minh họa: câu 38 – đề số 2, câu 37/đề số 3

PHẦN III. ĐỀ TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP:
ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ - SỐ 1

Câu 1: Một chất điểm thực hiện dao động điều hòa với chu kì T = 3,14s và biên độ A
= 1m. Tại thời điểm chất điểm đi qua vị trí cân bằng thì vận tốc của nó có độ lớn bằng
A. 0,5m/s.
B. 1m/s.
C. 2m/s.
D. 3m/s.
Câu 2: Một vật dao động điều hoà khi vật có li độ x1 = 3cm thì vận tốc của nó là v1 =
40cm/s, khi vật qua vị trí cân bằng vật có vận tốc v 2 = 50cm. Li độ của vật khi có vận
tốc v3 = 30cm/s là

A. 4cm.

B.

±

4cm.

C. 16cm.

D. 2cm.

π

Câu 3: Phương trình dao động của một vật dao động điều hoà có dạng x = 6cos(10 t
π

+ )(cm). Li độ của vật khi pha dao động bằng(-600) là
A. -3cm.
B. 3cm.
C. 4,24cm.
D. - 4,24cm.
Câu 4: Một vật dao động điều hoà, trong thời gian 1 phút vật thực hiện được 30 dao
động. Chu kì dao động của vật là
A. 2s.
B. 30s.
C. 0,5s.
D. 1s.
π


π

Câu 5: Một vật dao động điều hoà có phương trình dao động là x = 5cos(2 t + /3)
(cm). Vận tốc của vật khi có li độ x = 3cm là
A. 25,12cm/s.

B.

±

25,12cm/s.

C.

±

12,56cm/s.

D. 12,56cm/s.

π

π

Câu 6: Một vật dao động điều hoà có phương trình dao động là x = 5cos(2 t + /3)
π2

(cm). Lấy
= 10. Gia tốc của vật khi có li độ x = 3cm là
A. -12cm/s2.

B. -120cm/s2.
C. 1,20m/s2.
D. - 60cm/s2.
Câu 7: Một vật dao động điều hòa trên đoạn thẳng dài 10cm và thực hiện được 50
dao động trong thời gian 78,5 giây. Tìm vận tốc và gia tốc của vật khi đi qua vị trí có
li độ x = -3cm theo chiều hướng về vị trí cân bằng.
25 | 220P a g e