1

MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa ............................................................................................................... i
Lời cam đoan............................................................................................................... ii
Lời cảm ơn ................................................................................................................. iii
Mục lục ....................................................................................................................... 1
Các kí hiệu sử dụng trong luận văn .............................................................................. 3
MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 4

CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Một số công thức lƣợng giác .................................................................... 6
1.1.1. Các hệ thức cơ bản .......................................................................... 6
1.1.2. Công thức cộng ............................................................................... 6
1.1.3. Công thức nhân đôi ......................................................................... 6
1.1.4. Công thức nhân ba .......................................................................... 7
1.1.5. Công thức hạ bậc ............................................................................ 7
1.1.6. Công thức biến đổi tích thành tổng ................................................ 7
1.1.7. Công thức biến đổi tổng thành tích ................................................ 7
1.2. Các hàm số lƣợng giác ............................................................................. 7
1.2.1. Hàm số tuần hoàn ........................................................................... 7
1.2.2. Hàm số y = sinx và y = cosx ............................................................ 8
1.2.3. Hàm số y = tanx và y = cotx............................................................. 9
1.3. Cách thức xây dựng hệ thống bài tập phƣơng trình lƣợng giác .......... 10


2

CHƢƠNG 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP
PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC

2.1. Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản ........................................................... 12
2.2. Phƣơng trình bậc nhất đối với một hàm số lƣợng giác ........................ 24
2.3. Phƣơng trình bậc nhất đối với sin(x) và cos(x) ..................................... 29
2.4. Phƣơng trình bậc hai đối với một hàm số lƣợng giác ........................... 36
2.5. Phƣơng trình bậc hai đối với hàm sin(x) và cos(x) ............................... 43
2.6. Phƣơng trình lƣợng giác đối xứng......................................................... 53
2.7. Một số dạng phƣơng trình lƣợng giác khác .......................................... 64
2.8. Bài tập tổng hợp ..................................................................................... 81
2.9. Bài tập trắc nghiệm ................................................................................ 96
Kết luận khóa luận ............................................................................................... 105
Tài liệu tham khảo ................................................................................................. 106


3

CÁC KÍ HIỆU SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN

1. HS

: Học sinh.

2. PT

: Phƣơng trình.

3. PTLGCB : Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản.
4. VD

: Ví dụ.


5. (n)

: Nhận.

6. (l)

: Loại.

7. VN

: Vô nghiệm.

8. ĐKXĐ

: Điều kiện xác định.

9.

 ?

10. 

: Đặt câu hỏi.
: Định hƣớng giải phƣơng trình.


4

MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài

Toán học là một ngành khoa học cơ bản đặt nền tảng cho các ngành khoa học
khác. Môn toán là môn học có thể giúp học sinh rèn luyện và phát triển những năng lực
tƣ duy cơ bản nhất của con ngƣời nhƣ suy nghĩ, lập luận, logic…
Trong giải tích toán học, chủ đề về phƣơng trình lƣợng giác là một chủ đề chứa
đựng nhiều kiến thức mang tính trừu tƣợng nhƣ: các khái niệm về lƣợng giác (đƣờng
tròn lƣợng giác, các hàm số lƣợng giác, phƣơng trình lƣợng giác…), các phƣơng pháp
giải phƣơng trình lƣợng giác…, đòi hỏi học sinh cần rèn luyện năng lực tƣ duy, đặc
biệt là tƣ duy logic và tƣ duy trừu tƣợng cùng với các thao tác tƣ duy nhƣ: phân tích,
tổng hợp, khái quát hóa, trừu tƣợng hóa, đặc biệt hóa…
Phƣơng trình lƣợng giác nằm trong chƣơng trình Giải tích – 11 tiếp nối chƣơng
trình Lƣợng giác ở Học kỳ 2 lớp 10, chiếm một tỉ trọng ít trong chƣơng trình toán 11
nhƣng có khối lƣợng kiến thức khá lớn cùng với nhiều công thức và các dạng bài tập
khác nhau. Do đó, việc nắm vững lý thuyết và vận dụng làm bài tập đối với học sinh
thực sự rất khó khăn. Học sinh thƣờng gặp không ít lung túng, sai sót khi giải bài tập.
Điều này không chỉ do tính phức tạp, đa dạng, phong phú của công việc này mà còn do
chính nhƣợc điểm mắc phải khi các giáo viên soạn thảo hệ thống bài tập, phân dạng và
hƣớng dẫn học sinh giải bài tập.
Dựa vào cơ sở những lý do trên cùng với sự đổi mới giáo dục trong những năm
gần đây, chúng tôi đã quyết định chọn đề tài nghiên cứu: “Rèn luyện kỹ năng định
hƣớng tìm lời giải phƣơng trình lƣợng giác”.
II. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng hệ thống bài tập phƣơng trình lƣợng giác nhầm giúp học sinh THPT
rèn luyện kỹ năng định hƣớng tìm lời giải phƣơng trình lƣợng giác.


5

III. Đối tƣợng và khách thể nghiên cứu
a. Đối tƣợng nghiên cứu
Nghiên cứu cách xây dựng bài tập phƣơng trình lƣợng giác nhầm giúp học sinh

THPT rèn luyện kỹ năng định hƣớng tìm lời giải phƣơng trình lƣợng giác .
b. Khách thể nghiên cứu
Hệ thống bài tập phƣơng trình lƣợng giác.
IV. Giả thuyết nghiên cứu
Nếu xây dựng đƣợc một hệ thống bài tập phƣơng trình lƣợng giác có tính chất
phân hóa khi dạy học ở lớp 11 trƣờng THPT thì sẽ góp phần nâng cao chất lƣợng dạy
học và phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo trong việc giải bài tập phƣơng trình
lƣợng giác cho từng học sinh.
V. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về vấn đề xây dựng hệ thống bài tập phƣơng trình lƣợng giác nhầm
giúp học sinh THPT rèn luyện kỹ năng định hƣớng tìm lời giải phƣơng trình lƣợng
giác trong chƣơng trình môn Toán THPT lớp 11.
VI. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phƣơng pháp nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài.
VII. Phạm vi nghiên cứu
Từ tháng 12/2016 đến tháng 05/2017.
VIII. Đóng góp của luận văn
-

Về mặt lý luận: Khóa luận tổng hợp các kiến thức về chủ đề “Phƣơng trình

lƣợng giác”.
-

Về mặt thực tiễn: Khóa luận là đề tài tham khảo cho giáo viên và học sinh trong

giảng dạy và học tập về chủ đề “Phƣơng trình lƣợng giác”.
PHẦN NỘI DUNG: gồm 2 chƣơng
CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.
CHƢƠNG 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC.



6

CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Một số công thức lƣợng giác
Trong phần này, chúng tôi chỉ trình bày công thức mà không chứng minh. Các
chứng minh xem trong [1].
Với điều kiện biểu thức thức có nghĩa, ta có
1.1.1. Các hệ thức cơ bản

tan  

sin 
;
cos

tan .cot   1;

1  tan 2  

cot  

cos
sin 

cos2  sin 2   1

1
1

; 1  cot 2   2
2
cos 
sin 

1.1.2. Công thức cộng
sin(   )  sin .cos   cos  .sin
sin(   )  sin .cos   cos  .sin
cos(   )  cos  .cos   sin .sin
cos(   )  cos  .cos   sin .sin

tan   tan 
1  tan  tan 
tan   tan 
tan(   ) 
1  tan  tan 
tan(   ) 

1.1.3. Công thức nhân đôi

sin 2  2sin  .cos
cos2  cos 2  sin 2   2cos 2  1  1  2sin 2 
tan2 

2 tan 
1  tan 2 


7


1.1.4. Công thức nhân ba
sin 3  3sin   4sin 3 
cos 3  4cos3   3cos 

1.1.5. Công thức hạ bậc

sin 2  

1  cos 2
2

cos 2 

1  cos 2
2

tan 2  

1  cos 2
1  cos 2

1.1.6. Công thức biến đổi tích thành tổng

1
cos(   )  cos(   )
2
1
sin  sin    cos(   )  cos(   )
2
1

sin  cos  sin (   )  sin (   ) 
2
cos cos 

1.1.7. Công thức biến đổi tổng thành tích

sin   sin   2sin



cos



2
2

 
sin   sin   2cos
sin
2
2

 
cos   cos   2cos
cos
2
2

 

cos   cos   2sin
sin
2
2
1.2. Các hàm số lƣợng giác
1.2.1. Hàm số tuần hoàn
Định nghĩa: Hàm số f ( x) xác định trên tập hợp D gọi là tuần hoàn nếu tồn tại một số
dƣơng T sao cho với mọi x  D ta có
( x  T )  D, ( x  T )  D và f ( x  T )  f ( x).


8

1.2.2. Hàm số y = sinx và y = cosx
Hàm số y = sinx

Hàm số y = cosx

 Tập xác định: D  .

 Tập xác định: D  .

 Tập giá trị:  1;1.

 Tập giá trị:  1;1.

 Là hàm số lẻ.

 Là hàm số chẵn.


 Là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2 .

 Là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2 .

 Đồng biến trên mỗi khoảng

 Đồng biến trên mỗi khoảng



 
   k 2 ;  k 2  , k  .
2
 2


   k 2 ; k 2  , k 

.

 Nghịch biến trên mỗi khoảng
 Nghịch biến trên mỗi khoảng

3


  k 2 ;  k 2  , k  .
2
2



 k 2 ;  k 2  , k 

.

 Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ làm

 Đồ thị hàm số nhận trục tung làm

tâm đối xứng.

trục đối xứng.

Hình 1.1. Đồ thị hàm số y  sin x.


9

Hình 1.2. Đồ thị hàm số y  cos x.
1.2.3. Hàm số y = tanx và y = cotx
Hàm số y = tanx
 Tập xác định: D 
 Tập giá trị:



\   k , k   .
2



Hàm số y = cotx
 Tập xác định: D 
 Tập giá trị:

\ k , k 

.

.

.
 Là hàm số lẻ.

 Là hàm số lẻ.
 Là hàm số tuần hoàn với chu kỳ  .
 Đồng biến trên mỗi khoảng

 Là hàm số tuần hoàn với chu kỳ  .
 Nghịch biến trên mỗi khoảng

 k ;  k  , k 



 
   k ;  k  , k  .
2
 2



.

 Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ làm tâm  Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ làm tâm
đối xứng và nhận mỗi đƣờng thẳng
đối xứng và nhận mỗi đƣờng thẳng

x
cận.


2

 k , k 

x  k , k 

làm một đƣờng tiệm

làm một đƣờng tiệm cận.


10

Hình 1.3. Đồ thị hàm số y  tan x.

Hình 1.4. Đồ thị hàm số y  cot x.
1.3. Cách thức xây dựng hệ thống bài tập phƣơng trình lƣơng giác
Mục đích: Xây dựng hệ thống bài tập khoa học, lấy rèn luyện kỹ năng định hƣớng

-


tìm lời giải phƣơng trình lƣợng giác cho HS làm trọng tâm.
Kiến thức: Hệ thống kiến thức về Lƣợng Giác và Phƣơng Trình Lƣợng Giác

-

trong chƣơng trình Đại số 10 và 11.
Phƣơng hƣớng:

-

 Xây dựng hệ thống bài tập tự luận và trắc nghiệm.


Hệ thống bài tập tự luận đƣợc xây dựng theo sơ đồ:
Ví dụ mở đầu  Ví dụ tổng quát  Ví dụ minh họa  Ví dụ nâng cao 
Bài tập tự rèn luyện  Bài tập tổng hợp.
+ Ví dụ mở đầu có mục đích hình thành hướng tiếp cận giúp HS xây dựng cách
giải tổng quát cho từng dạng phương trình lượng giác.
+ Ví dụ minh họa với bài tập có mức độ tăng dần (6 thang nhận thức của
Bloom) để giúp HS củng cố, rèn luyện và nâng cao kỹ năng giải PTLG.
+ Ví dụ nâng cao giúp HS nâng cao khả năng phân tích, tổng hợp và tư duy.


11

+ Bài tập tự rèn luyện giúp HS rèn luyện kỹ năng giải PT và tinh thần tự học.
+ Bài tập tổng hợp giúp HS phân biệt được các dạng của PTLG.



Trong các ví dụ bao gồm 2 phần: quá trình định lƣớng tìm lời giải và lời giải
chi tiết. Trong đó, quá trình định hƣớng tìm lời giải bao gồm:

+ Phân tích đặc điểm của PT, các câu hỏi gợi ý, để dẫn dắt HS đi đến cách giải PT
một cách tự nhiên nhất. Những câu hỏi hay gợi ý đƣợc đặt ra sẽ là những vấn đề
cho HS giải quyết và từ đó đi đến cách giải.
+ Đề xuất cách giải: Dựa vào những phân tích đƣa ra, đề xuất một cách giải hợp lý.
+ Các lƣu ý khi giải phƣơng trình.
 Đề xuất cách giải phƣơng trình dựa trên sơ đồ tƣ duy: Giúp học sinh dễ dàng hệ
thống kiến thức và hệ thống phƣơng pháp giải.


12

CHƢƠNG 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP
PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC

2.1.

PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN (PTLGCB)
2.1.1. Nhắc lại kiến thức

sin x  a

cos x  a

ĐK có

1  a  1


nghiệm

 x    k 2
 x      k 2 (k  ) ,

   
với   arcsin a ;   ;  ,
 2 2
Công thức
nghiệm

 x  b0  k 3600
(k  ) .

0
0
0
x

180

b

k
360


 x  b0  k 3600
(k  )


0
0
x


b

k
360

với

với

b  arcsin a ; b  90 ;90  .
o

o

o

sin u  sin v
Tổng quát

với   arccos a ;  0;  ,
hoặc

hoặc

o


 x    k 2
 x    k 2 (k  ) ,


u  v  k 2

(k  ).
u



v

k
2



bo  arccos a ; bo  0o ;180o 
cos u  cos v
u  v  k 2

(k  ).
u  v  k 2


13

tan x  a


cot x  a

x    k (k  )

Công thức
nghiệm

x    k (k  )

   
với   arctan a ;  
; ,
 2 2

với   arccot a ;   0;  ,

hoặc x  b0  k1800 (k  )

hoặc x  b0  k1800 (k  )
với

với

b  arctan a ; b   90 ;90
o

Tổng quát

o


o

o

bo  arccot a ; bo   0o ;180o 



tan u  tan v

cot u  cot v

cos u  0 (hay cos v  0)

u  v  k (k  )

sin u  0 (hay sin v  0)

u  v  k (k  )
.

2.1.2.

Các ví dụ minh họa

Ví dụ 2.1.2.1: Giải các phƣơng trình sau:

a)sin x 


2
2


2

c)sin  2 x   
3 2


b)sin2x 

1
3

1
3
2
d ) sin 2 x 
cos 2 x 
2
2
2

 Định hướng tìm lời giải
- Ở câu a,b: PT có dạng PTLGCB, ta áp dụng công thức để giải.
- Ở câu c: ? PT có dạng nào?

 PTLGCB (hàm sin có góc là một biểu thức theo x) (giải tƣơng tự a).
- Ở câu d: ? Nhận xét hệ số đứng trƣớc sinx và cosx?


cos


3



1

3
2
và sin 
. PT đề bài  sin(a  b) 
(tƣơng tự c).
3
2
2
2

.


14

Bài giải






x


k
2

x

 k 2


2

4
4
a)sin x 
 sin x  sin  

(k  )

3

2
4
 x     k 2
x 
 k 2

4

4

3


Vậy tập nghiệm của phƣơng trình: S    k 2 ;
 k 2 k   .
4
4


1
1
1


2 x  arcsin  k 2
x  arcsin  k


1
3
2
3
b)sin2x   

(k  )
3
 2 x    arcsin 1  k 2
 x    1 arcsin 1  k



3
2 2
3
1
 1
1
1

Vậy tập nghiệm của phƣơng trình: S   arcsin  k ;  arcsin  k k   .
3
2 2
3
2


7

x

 k


2




24

c)sin  2 x   
 sin  2 x    sin  
(k  )
13

3 2
3
4


x 
 k

12
13
 7

Vậy tập nghiệm của phƣơng trình: S  
 k ;
 k k   .
12
 24


1
3
2


2

d ) sin 2 x 
cos 2 x 
 sin 2 x.cos  cos 2 x.sin 
2
2
2
3
3
2


x

 k




12
 sin  2 x    sin  
(k  )
5

3
4

x 
 k

12

5
 

Vậy tập nghiệm của phƣơng trình: S  
 k ;
 k k   .
12
 12



15

Nhận xét: Trong VD trên, câu a và b ta đã sử dụng thao tác phân tích đơn giản để đề
xuất hướng giải. Tương tự câu c,d là sự phân tích và tổng hợp các kiến thức đã có từ
câu a,b để đề xuất hướng giải.
Ví dụ 2.1.2.2: Giải các phƣơng trình sau:






a)cos  2 x    cos
5
5


b)cos3x  sin




c) t an2x  tan  x  
4


d )cot 3x  tan

10
2
5

 Định hướng tìm lời giải
- Ở câu a: PT có dạng cos u  cos v .

 Vận dụng công thức đã học để giải.
- Ở câu b: VT chứa hàm cos và VP chứa hàm sin .

 Biến đổi sin thành cos để đƣa PT về dạng tƣơng tự câu a.
- Ở câu c và câu d, giải tƣơng tự câu a và b.
Bài giải



x   k




a)cos  2 x    cos 

(k  )
5

5
5

 x  k


Vậy tập nghiệm của phƣơng trình là: S    k ; k k   .
5



x 

  
b) cos3x  sin  cos3x  cos     
10
 2 10 
x 


2
2
k
15
3
(k  )
2

2
k
15
3

2 2
2
 2

Vậy tập nghiệm của phƣơng trình là: S  
k
;
k
k  .
3 15
3
 15



16

 



cos  x    0
x

 k


  

4

4
c) t an2x  tan  x    

(k  )

4


 2 x  x   k
 x   k

4

4
Vậy phƣơng trình vô nghiệm.

sin 3x  0
2

  2 
d ) cot 3 x  tan
 cot 3 x  cot  


5

3
x

 k ( k  )
2 5 

10
x


30

k


3

(k  )




Vậy tập nghiệm của phƣơng trình là: S    k k   .
3
 30

Ví dụ 2.1.2.3: Giải các phƣơng trình sau:

a)cos  x  150    cos 45o
b)sin 2 x  cos2 ( x  45o )

c)cos( x  300 )  2cos2 150  1
 Định hướng tìm lời giải
- Ở câu a: PT có dạng cos u   cos v .

 Biến đổi PT đƣa về dạng cos u  cos v .
- Ở câu b: cả hai vế của PT đều là các hàm lƣợng giác bậc 2 .

 Vận dụng công thức hạ bậc để đƣa PT về dạng cos u  cos v (cùng góc).
- Ở câu c: PT có hàm cos bậc 2 và bậc 1 .

 Tƣơng tự câu b.
Nhận xét: Bằng cách phân tích đặc điểm PT và tổng hợp các kiến thức liên quan (công
thức hạ bậc) để quy về các phương trình quen thuộc. Từ đó ta tìm được hướng giải VD
trên.


17

Bài giải

a) cos  x  150    cos 45o
 cos( x  150 )  cos1350
 x  150  1350  k 3600

(k  )
0
0
0
x


15


135

k
360

 x  1500  k 3600

(k  )
0
0
x


120

k
360

Vậy tập nghiệm của phƣơng trình là: S  150o  k 360o ;  120o  k 360o k 

.

b) sin 2 x  cos 2 ( x  30o )
1  cos 2 x 1  cos(2 x  60o )

2
2

o
 cos(2 x  60 )   cos 2 x


 cos(2 x  60o )  cos(180o  2 x)
 2 x  60o  180o  2 x  k 360o

(k  )
o
o
o
 2 x  60  180  2 x  k 360
 x  30o  k 90o (k  )
Vậy tập nghiệm của phƣơng trình là: S  30o  k 90o k 

.

c) cos( x  300 )  2cos 2 150  1
 cos( x  300 )  cos300  0
 cos( x  300 )  cos1500
 x  1200  k 3600

(k  )
0
0
x


180


k
360

Vậy tập nghiệm của phƣơng trình là: S  120o  k 360o ;  180o  k 360o k 

.


18

2.1.3 Bài tập ứng dụng tìm điều kiện xác định của phƣơng trình
Ví dụ 2.1.3.1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) y 

1
1

sin x cos x

b) y 

1  cos x
2sin x  2

c) y 

tan x
1  tan x


 Định hướng tìm lời giải
- Câu a, b, c: hàm số xác định khi mẫu thức khác 0.

 Vận dụng kiến thức giải PT để giải.
Bài giải

a) y 

1
1

sin x cos x

 x  k1
 sin x  0

Hàm số xác định khi: 

(k1 , k2  )

cos
x

0
x


k



2

2




Vậy tập xác định của hàm số: D  R \   k1 k1   \ k2 k2 
2


b) y 

.

1  cos x
2sin x  2

Hàm số xác định khi: 2sin x  2  0

 sin x  

2
 
 sin   
2
 4




 x   4  k1 2

(k1 , k2  )
5

x 
 k2 2

4
 
  5

Vậy tập xác định của hàm số: D  R \   k1 2 k1   \   k2 2 k2  .
 4
  4



19

c) y 

tan x
1  tan x



x   k1

cos x  0


2

(k1 , k2  )
Hàm số xác định khi: 
 tan x  1  x     k 
2

4

  

Vậy tập xác định của hàm số: D  R \   k1 , k1   \   k2 , k2   .
2
  4

2.1.4.

Bài tập nâng cao

Ví dụ 2.1.4.2: Giải các phƣơng trình sau:



a)cos 2 2 x  sin 2 ( x  )
3

b)sin 4 x  cos 4 x 

5

8

 Định hướng tìm lời giải
- Ở câu a: 2 vế của PT đều có bậc 2.

 Vận dụng công thức hạ bậc để biến đổi PT về dạng cơ bản cos u  cos v .
- Ở câu b: VT PT có các hàm sin và cos ở dạng bậc bốn.

 Vận công thức để hạ bậc để đƣa PT về dạng cơ bản (tƣơng tự a) .

? Ngoài ra, ta có thể hạ bậc VT PT đó dựa trên khai triển nào?
 Khai triển hằng đẳng thức số 1.
Bài giải





a) cos 2 2 x  sin 2  x    cos 4 x  cos   2 x 
3

3




 x  18  k 3

(k  )
 x     k


6

 


Vậy tập nghiệm của phƣơng trình là: S    k ;
 k k   .
3 6
18



20

b)sin 4 x  cos 4 x 

5
(1)
8

 1  cos 2 x   1  cos 2 x  5
C1: PT (1)  
 
 
2
2

 
 8

1
 cos 4 x 
2



x  6  k 2

(k  )
x     k 

6
2
2

2

 



Vậy tập nghiệm của phƣơng trình là: S    k ;
 k k  .
2 6
2
6

C 2 : PT (1)  (sin 2 x  cos 2 x) 2  2sin 2 x.cos 2 x 
 cos 4 x  


5
8

1
2




x  6  k 2

(k  )


x    k

6
2

 



Vậy tập nghiệm của phƣơng trình là: S    k ;
 k k  .
2 6
2
6

Ví dụ 2.1.3.3: Giải các phƣơng trình sau:


1 3
2

a)cos x  cos 2 x  sin x  sin2x

b)sin x  cos x 

c)2sin3x.sin x  cos 2 x  1

d )sin x.cos x.cos3x  sin3x.cos2 x  sin x  0

 Định hướng tìm lời giải
- Ở câu a: ? Hai vế PT có dạng công thức nào?


21

VT và VP của PT có dạng cos A  cos B và sin A  sin B .

 Áp dụng công thức tổng thành tích tìm nhân tử chung.
- Ở câu b: ? Nhận xét gì về hệ số ở VP?
VP có sin


6



1


3
;cos 
2
6
2

 PT cũng có dạng tƣơng tự câu a.
- Ở câu c: ? Nhận xét gì về cung trong tích này ?
Ta thấy 3x – x = 2x.

 Vận dụng công thức tích thành tổng ta triệt tiêu cos2x.
- Ở câu d: VT có hai hạng tử là tích của hàm lƣợng giác (có cung x và 3x).

 Vận dụng công thức tƣơng tự câu c.
Bài giải

a ) cos x  cos 2 x  sin x  sin2x
 cos

3x 
x
 x 
cos  sin    

2 
2
 2 

3x


cos 2  0 (1)

cos x  sin   x  (2)



2
 2

PT (1)  x 


3

k

2
3

(k  )

x
x 
    k 2


x 
 x
2

PT (2)  sin     sin      2 2
x
 k 2 (k  )
x

x
2
2 2
 2
      k 2
 2 2
2
2 


Vậy tập nghiệm của phƣơng trình là: S    k
;
 k 2 k   .
3 2
3



22

b)sin x  cos x 
 sin x  sin


6


1 3
2

 cos x  cos



6
x  
x  
x  
x  
 2cos    .sin     2sin    .sin   
 2 12 
 2 12 
 2 12 
 2 12 
x    x  
 x  
 sin    . cos     sin      0
 2 12    2 12 
 2 12  
 x  
sin  2  12   0 (1)



 x  
x  

cos      sin    (2)
 2 12 
  2 12 

PT (1)  x 


6

 k 2 (k  )

 x  x 7
 2  12  2  12  k 2
x  
 x 7 
PT (2)  cos     cos  
(k  )
  x 
 2 12 
 2 12 
     x  7   k 2


 2 12
 2 12 
2
x
 k 2 (k  )
3



 2

Vậy tập nghiệm của phƣơng trình là: S  
 k 2 ;  k 2 k   .
6
 3

c)2sin 3 x.sin x  cos 2 x  1
 cos 2 x  cos 4 x  cos 2 x  1
 cos 4 x  1
x


4

k


2

(k  )




Vậy tập nghiệm của phƣơng trình là: S    k k   .
2
4




23

d )sin x.cos x.cos3 x  sin3x.cos 2 x  sin x  0
1
1
cos x.(sin 4 x  sin 2 x)  cos x.(sin 4 x+sin2x)  sin x  0
2
2
1
 cos x.(2sin 2 x)  sin x  0
2


 sin x.(1  2cos 2 x)  0
 sin x.cos 2 x  0
 x  k
sin x  0



 (k  )

cos
2
x

0
x



k

4
2





Vậy tập nghiệm của phƣơng trình là: S    k ; k k   .
2
4

2.1.5.

 x 
1/ sin 
 5

Bài tập tự rèn luyện: Giải các phƣơng trình sau:

 1

 2

29
 11


ĐS: S  
 k10 ;
 k10 k  
6
 6


  2

2 / cos  x   
18  5


2
 

ĐS: S  
 arccos  k 2 k  
5
 18


1
3 / sin 2 x   ,0  x  
2

ĐS: S  

4 / cos3x  sin 2 x  0



2
 

ĐS: S  
 k 2 ;  k
k 
10
5
 12


x
x
5 / 4sin .cos .cos x  1
2
2



ĐS: S    k k  
4


6 / 3 cos x  sin x  2cos 2 x


2
 


ĐS: S  
 k 2 ;  k
k 
18
3
 6


7 / cos(2 x  100 )  sin(800  2 x)  1  0 ĐS: S  55o  k180o ;  65o  k180o k 




24

1
 2x  1 
8 / cot 
  tan
3
 6 

 3 3

ĐS: S     k 3 k  
2 2


9 / tan(2 x  30o )  tan10o  0


ĐS: S  20o  k 90o k 

x
10 / cot x  sin x(1  tan x.tan )  4
2

5


ĐS: S    k ;
 k k  
12
12




2.2. PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC
2.2.1. Nhắc lại kiến thức
Phƣơng trình bậc nhất đối với hàm số lƣợng giác là phƣơng trình có dạng:

at  b  0 (2.2)
trong đó a, b là các hằng số (a  0) và t là một trong các hàm số lƣợng giác.
2.2.2. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 2.2.2.1: Giải các phƣơng trình sau:


3

a)sin  x   

6 2




b)2sin  x    3  0
6


c)2cos 2 x  3  0

d ) 3 tan  x  45o   3  0

 Định hướng tìm lời giải
- Ở câu a: PT có dạng PTLGCB.
- Ở câu b, c, d: PT có dạng PT (2.2).

 Biến đổi về dạng tƣơng tự câu a (PTLGCB).
Bài giải


3

a)sin  x   
6 2



25



  

x    k 2
x   k 2





6 3
6
 sin  x    sin  

(k  )
6
3

 x        k 2
 x    k 2


6
3
2



Vậy tập nghiệm của phƣơng trình là: S    k 2 ;  k 2 k   .
2

6



3


b)2sin  x    3  0  sin  x   
6
6 2



  

 x  6  3  k 2
 x  2  k 2


(k  )
5



 x      k 2
x 
 k 2

6
6

3



 5

Vậy tập nghiệm của phƣơng trình là: S    k 2 ;  k 2 k   .
2
6

c)2cos 2 x  3  0  cos 2 x 

3
2

Vậy phƣơng trình vô nghiệm.

d ) 3 tan  x  45o   3  0  tan  x  45o  

3
 tan 60o
3
 x  45o  60o  k180o (k  )
 x  105o  k180o ( k  )

Vậy tập nghiệm của phƣơng trình là: S  105o  k180o k 

.

Ví dụ 2.2.2.2: Giải các phƣơng trình sau:


a)2sin x.cos x  1  0

b)8sin x.cos x.cos 2 x  2  0

 Định hướng tìm lời giải
- Ở câu a: VT có hạng tử chứa 2sinx.cosx.

 Vận dụng công thức ta có thể biến đổi hạng tử này về sin2x.
- Ở câu b: VT có hạng tử chứa sinx.cosx.cos2x.