ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN – TIN HỌC
________________
Hướng dẫn: GS.TS Đặng Đức Trọng
Đặng Vinh – Vũ Đức Thạch Sơn
Nguyễn Bá Lâm – Nguyễn Thị Mai Phương –Lữ Quốc Hưng
Sinh viên khóa 2012 CNTN

Tiểu luận

LƯU HÀNH NỘI BỘ


TIỂU LUẬN LÝ THUYẾT ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT

Chịu trách nhiệm nội dung
VŨ ĐỨC THẠCH SƠN
ĐẶNG VINH
NGUYỄN BÁ LÂM
LỮ QUỐC HƯNG
NGUYỄN THỊ MAI PHƯƠNG
Biên tập
ĐẶNG VINH
VŨ ĐỨC THẠCH SƠN
Sửa bản in
ĐẶNG VINH
LỮ QUỐC HƯNG
Trình bày bìa
ĐẶNG VINH

Tháng 12 năm 2013


ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN TIN HỌC

Hướng dẫn: GS.TS Đặng Đức Trọng
Đặng Vinh - Vũ Đức Thạch Sơn
Nguyễn Bá Lâm - Nguyễn Thị Mai Phương - Lữ Quốc Hưng
Sinh viên khóa 2012 CNTN

Tiểu luận
LÝ THUYẾT ĐỘ ĐO
&
XÁC SUẤT

Tháng 12 năm 2013

1


2


LỜI CẢM ƠN
Xin được dành những dòng đầu tiên trong bài tiểu luận này để nói lời
tri ân sâu sắc nhất đến các Thầy Cô của Khoa Toán - Tin học, Trường Đại
học Khoa Học Tự Nhiên TP. Hồ Chí Minh đã tận tình truyền dạy kiến thức
cho chúng em. Đặc biệt, nhóm chúng em xin được bày tỏ lòng biết ơn đến

thầy Đặng Đức Trọng, người đã trực tiếp hướng dẫn chúng em trong môn
Lý thuyết Độ đo và Xác suất, và tạo rất nhiều điều kiện để nhóm chúng em
có thể hoàn thành bài tiểu luận này.
Mặc dù thời gian làm tiểu luận chỉ trong hai tháng nhưng nhóm đã cố
gắng hết sức và thể hiện một tinh thần đoàn kết tuyệt vời. Công việc được
phân công cụ thể và tất cả các thành viên đã làm tốt nhiệm vụ của mình.
Với cương vị là người tổng hợp và biên tập, xin gửi lời cảm ơn chân thành
đến tất cả thành viên của nhóm đã làm việc hết mình cho đứa con tinh thần
chung có thể được xem là đầu tay của đời sinh viên này. Đặc biệt, phải kể
đến sự cống hiến đầy nhiệt huyết của thành viên Vũ Đức Thạch Sơn - người
có kiến thức sâu rộng nhất trong nhóm, đã góp công lớn làm cho nội dung
của tiểu luận thêm phần phong phú.
Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 20 tháng 11 năm 2013
Trưởng nhóm biên soạn
Đặng Vinh

3


4


MỞ ĐẦU
Có thể nói Lý thuyết Độ đo và Xác suất là một môn học giao thoa của nhiều
phần kiến thức quan trọng. Dựa trên lịch sử và phát triển của lý thuyết xác suất,
mạch kiến thức trong môn học được sắp xếp theo thứ tự : Không gian đo - không
gian xác suất; Tích phân Lebesgue; Biến số ngẫu nhiên; và Các định lý giới hạn.
Do vậy, khối kiến thức không chỉ gói gọn trong xác suất thống kê, mà còn liên
quan đến phần cơ bản là nền tảng chặt chẽ xây dựng nên lý thuyết xác suất, đó
chính là lý thuyết về độ đo và tích phân Lebesgue. Điều này có nghĩa sinh viên

phải nắm chắc kiến thức ngay từ những bài đầu tiên. Một trong những phương
pháp hiệu quả nhất chính là giải bài tập. Nắm được yêu cầu đó, nhóm biên soạn
đã thực hiện Tiểu luận Lý thuyết Độ đo và Xác suất, dựa trên nội dung của Giáo
trình Lý thuyết độ đo và xác suất (Đinh Ngọc Thanh - Đặng Đức Trọng),
mong muốn sẽ hỗ trợ phần nào cho việc học môn học này thêm hiệu quả.
Với sự tôn trọng được đặt lên hàng đầu, nhóm biên soạn luôn trình bày Tiểu
luận theo thứ tự đúng với bố cục trong Giáo trình. Bên cạnh đó, nhóm cố gắng
đào sâu, tìm hiểu và bổ sung thêm nhiều kiến thức hay, và hơn nữa là những thông
tin mang tính lịch sử về Toán học nói chung, lý thuyết Xác suất nói riêng, nhằm
đem lại sự hứng thú khi nghiên cứu một môn học nặng về lý thuyết nhưng vẫn có
tính ứng dụng cao như Lý thuyết Độ đo và Xác suất.
Tiểu luận này gồm hai phần chính. Phần đầu trình bày tóm tắt lý thuyết trong
Lý thuyết độ đo và xác suất (Đinh Ngọc Thanh - Đặng Đức Trọng). Trong
mỗi định lý hay mệnh đề, nhóm biên soạn luôn cố gắng tường minh hóa những
bước chứng minh hay tìm ra cách chứng minh có phần khác so với trong Giáo
trình. Tuy không chắc đó là cách chứng minh tối ưu hơn, nhưng hi vọng rằng việc
chia sẻ với đọc giả tư duy chủ quan của nhóm có thể sẽ giúp ích cho quá trình học
môn học này. Phần thứ hai bao gồm lời giải chi tiết của các bài tập trong Giáo
trình Lý thuyết độ đo và xác suất (Đinh Ngọc Thanh - Đặng Đức Trọng). Và
thêm nữa là lời giải của các bài tập bổ sung mà nhóm đã sưu tầm, tuyển chọn và
biên soạn. Phần cuối tiểu luận là một số bài đọc thêm.
Mặc dù đã được kiểm tra rất nhiều lần một cách độc lập bởi các thành viên
khác nhau trong nhóm biên soạn, tuy nhiên với khả năng và thời gian có hạn, chắc
chắn tài liệu này vẫn còn một số sai sót nhất định. Nhóm biên soạn luôn cố gắng
chỉnh sửa để tài liệu này ngày càng được hoàn thiện hơn.
Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 20 tháng 11 năm 2013
Nhóm biên soạn

5



6


MỤC LỤC
Lời cảm ơn
Mở đầu
Mục lục
Phần A: Tóm tắt lý thuyết
Chương I. Không gian đo – không gian xác suất
1.1 Kí hiệu và một số thuật ngữ thường dùng.....................................11
1.2 Không gian mẫu,biến cố................................................................15
1.3 Xác suất của một biến cố..............................................................16
1.4 Không gian đo...............................................................................17
1.5 Không gian xác suất.......................................................................25
1.6 Một số kiến thức bổ sung...............................................................32
Chương II. Tích phân Lebesgue
2.1 Hàm đo được.................................................................................49
2.2 Tích phân hàm dương...................................................................57
2.2 Tích phân hàm tổng quát...............................................................64
2.4 Tập có độ đo không.......................................................................70
2.5 Độ đo Lebesgue.............................................................................72
2.6 Tích phân hàm thông dụng............................................................77
2.7 Định lý Radon - Nikodym và các vấn đề khác..............................79
Chương III. Biến số ngẫu nhiên
3.1 Biến số ngẫu nhiên........................................................................93
3.2 Các hàm mật độ xác suất thường dùng...........................................97
3.3 Tham số đặc trưng trong biến số ngẫu nhiên.................................105
3.4 Mật độ xác suất của hàm theo biến số ngẫu nhiên.........................125
3.5 Vector ngẫu nhiên.........................................................................129

3.6 Một số kiến thức bổ sung..............................................................143
Chương IV. Các định lý giới hạn
4.1 Bất đẳng thức Chebyshev và luật số lớn dạng yếu........................172
4.2 Định lý giới hạn trung tâm............................................................175
4.3 Dạng mạnh của luật số lớn............................................................177
4.4 Một số bất đẳng thức khác............................................................179
4.5 Một số kiến thức bổ sung..............................................................180

7


Phần B: Lời giải bài tập
Chương I. Không gian đo – không gian xác suất
I. Bài tập lý thuyết..............................................................................221
II. Bài tập ứng dụng............................................................................251
III. Bài tập lý thuyết bổ sung..............................................................263
IV. Bài tập ứng dụng bổ sung..............................................................270
Chương II. Tích phân Lebesgue
I. Bài tập lý thuyết..............................................................................293
II. Bài tập ứng dụng............................................................................308
III. Bài tập lý thuyết bổ sung..............................................................322
IV. Bài tập ứng dụng bổ sung..............................................................336
Chương III: Biến số ngẫu nhiên
I. Bài tập lý thuyết..............................................................................343
II. Bài tập ứng dụng............................................................................352
III. Bài tập lý thuyết bổ sung..............................................................374
IV. Bài tập ứng dụng bổ sung..............................................................380
Chương IV: Các định lý giới hạn
I. Bài tập lý thuyết..............................................................................402
II. Bài tập ứng dụng............................................................................409

III. Bài tập lý thuyết bổ sung..............................................................416
IV. Bài tập ứng dụng bổ sung..............................................................423
Bài đọc thêm
Bảng số thống kê....................................................................................435
Hướng dẫn sử dụng chức năng của máy tính bỏ túi.................................448
Một số thuật ngữ....................................................................................450
Những câu chuyện thú vị về xác suất.......................................................455
Tài liệu tham khảo

8


PHẦN A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT

9


10


Đại học Khoa Học Tự Nhiên TPHCM

Khoa Toán Tin học

Tiểu luận Lý thuyết Độ đo và Xác suất

________________________________________________________________________________________

Chương I

KHƠNG GIAN ĐO - KHƠNG GIAN XÁC SUẤT

1.1 Kí hiệu và một số thuật ngữ thường dùng
Tập hợp thường được kí hiệu bằng chữ hoa như A, B, C, ....Ω, ... được xác
định bằng các phần tử của nó. Có hai cách xác định tập hợp thường dùng:
phương pháp liệt kê, chẳng hạn A = {x1 , x2 , ...xn } để chỉ tập hợp với các
phần tử là x1 , x2 , ...xn ; phương pháp trưng tính, nghĩa là đưa ra một tính
chất, chẳng hạn {x ∈ U : P (x)} để chỉ tập hợp các phần tử của U mà P (x)
có chân trị là đúng. Kí hiệu Ø để chỉ tâp rỗng, tập khơng có phần tử nào cả.
Ta viết x ∈ A khi x là một phần tử của A. Ngược lại ta viết x ∈
/ A. Ta
viết B ⊂ A khi mọi phần tử của B đều thuộc A. Tất cả các tập con của U
được kí hiệu là P(U ) : P(U ) = {A : A ⊂ U }.
Khi B ⊂ A và A ⊂ B ta nói A và B là hai tập bằng nhau tức là A và B có
chung tất cả các phần tử, kí hiệu A = B. Trường hợp B ⊂ A mà B = A, ta
nói B là một tập con riêng của A. Tập rỗng là con của mọi tập hợp, Ø ⊂ U
hay Ø ∈ P(U ) với mọi tập U .
Với hai tập con A, B của U , phần hội A ∪ B để chỉ tập hợp các phần tử
của U nằm trong ít nhất một trong hai tập A, B
A ∪ B = {x ∈ U : x ∈ A hay x ∈ B}
phần giao A ∩ B chứa các phần tử của U nằm trong cả hai tập hợp A và B
A ∩ B = {x ∈ U : x ∈ A v`
a x ∈ B}
Tổng qt, với (Aα ) chỉ một họ các tập con của U trong đó α chạy trên
một tập (khơng rỗng) các chỉ số I, phần hội α∈I Aα để chỉ các phần tử của
U nằm trong ít nhất một tập Aα , và phần giao α∈I Aα chứa các phần tử của
U nằm trong tất cả các Aα :
Aα = {x ∈ U : ∃α ∈ I, x ∈ Aα }
α∈I


Aα = {x ∈ U : ∀α ∈ I, x ∈ Aα }
α∈I

11
_________________________________________________________________________________________
Đặng Vinh - Vũ Đức Thạch Sơn - Nguyễn Bá Lâm - Nguyễn Thò Mai Phương - Lữ Quốc Hưng


Đại học Khoa Học Tự Nhiên TPHCM

Khoa Toán Tin học

Tiểu luận Lý thuyết Độ đo và Xác suất

________________________________________________________________________________________

Đặc biệt, khi I là tập N các số tự nhiên, ta thường dùng kí hiệu ∞
α=1 Aα
∞
và α=1 Aα thay cho α∈I Aα và α∈I Aα
Kí hiệu A \ B chỉ các phần tử nằm trong A nhưng khơng nằm trong B:
A \ B = {x ∈ U : x ∈ A v`
ax ∈
/ B}
và tập U \ A còn được viết là Ac và gọi là phần bù của A (trong U ) khi U
được ngầm hiểu mà khơng gây nhầm lẫn.

1.1.1 Mệnh đề: Luật De Morgan
Cho (Aα )α∈I là một họ các tập con của U . Với mọi tập con A ⊂ U , ta có:
A\


(A \ Aα ) v`
aA \

Aα =
α∈I

α∈I

(A \ Aα ).

Aα =
α∈I

α∈I

Đặc biệt, khi A = U ta có
(
α∈I

Aα )c =

Acα v`
a(
α∈I

Aα )c =

α∈I


Acα .
α∈I

Chứng minh: xem Bài tập 1 phần lý thuyết Chương I.
Tập tích A1 × ... × An của các tập hợp A1 , ..., An bao gồm các phần tử
của các bộ n thứ tự (a1 , ..., an ) trong đó ai ∈ Ai với i = 1, n.
Với đường thẳng thực, kí hiệu R, và k ∈ N, ta có khơng gian Euclide
Rk = R × R × ... × R (tích k thừa số).
Đường thẳng thực nới rộng, kí hiệu R, để chỉ R bổ sung thêm hai phần
từ kí hiệu ∞ và −∞, với quan hệ thứ tự nới rộng
−∞ < x < ∞, ∀x ∈ R
Với a, b ∈ R, khoảng đóng [a, b] và khoảng mở (a, b) được xác định là
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} v`
a (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}
Ta cũng viết
[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} v`
a (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}
Với các kí hiệu về khoảng này, R còn được viết thành [−∞, ∞].
12
_________________________________________________________________________________________
Đặng Vinh - Vũ Đức Thạch Sơn - Nguyễn Bá Lâm - Nguyễn Thò Mai Phương - Lữ Quốc Hưng


Đại học Khoa Học Tự Nhiên TPHCM

Khoa Toán Tin học

Tiểu luận Lý thuyết Độ đo và Xác suất

________________________________________________________________________________________


Khi E là một tập con khơng rỗng của R, chận trên nhỏ nhất của E kí
hiệu là supE, và chận dưới lớn nhất của E kí hiệu là inf E ln ln tồn tại
trong R. Khi supE = ∞ ta nói E là tập bị chận trên và khi inf E = −∞ ta
nói E là tập bị chận dưới. E là tập bị chận khi nó vừa bị chận trên vừa bị
chận dưới. Trường hợp supE ∈ E, ta còn viết maxE thay cho supE. Tương
tự, khi inf E ∈ E ta viết minE thay cho inf E.
Kí hiệu
f : X −→ Y
để chỉ ánh xạ từ tập X vào tập Y , gán mỗi phần tử x ∈ X với một phần tử
của Y , kí hiệu f (x). Với A ⊂ X và B ⊂ Y, ảnh của A qua f , kí hiệu f (A),
và tiền ảnh của B qua f, kí hiệu f −1 (B), là các tập hợp
f (A) = {y ∈ Y : ∃x ∈ X, y = f (x)},
f −1 (B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B}.
Chú ý rằng f −1 (B) có thể là tập rỗng cho dù B = Ø.
Ta có kết quả là mệnh đề sau đây

1.1.2 Mệnh đề
Cho ánh xạ
f : X −→ Y,
Cho A ⊂ Y và (Aα )α∈I là một họ các tập con của Y.
Ta có
i)
f −1 (Y \ A) = X \ f −1 (A)
ii) f −1 α∈I Aα = α∈I f −1 (Aα )
iii) f −1 α∈I Aα = α∈I f −1 (Aα )
Chứng minh: xem Bài tập 2 phần lý thuyết Chương I.
Với ánh xạ f : X −→ Y, X được gọi là miền xác định, Y được gọi là
miền ảnh của f. Tập f (X) được gọi là ảnh của f . Khi f (X) = Y , f được gọi
là một tồn ánh, hay vắn tắt f là ánh xạ trên.

Với mỗi y ∈ Y, ta viết f −1 (y) thay cho f −1 ({y}).Khi f −1 (y) chứa nhiều
nhất một phần tử, f được gọi là một đơn ánh, hay vắn tắt là ánh xạ một-một.

13
_________________________________________________________________________________________
Đặng Vinh - Vũ Đức Thạch Sơn - Nguyễn Bá Lâm - Nguyễn Thò Mai Phương - Lữ Quốc Hưng


Đại học Khoa Học Tự Nhiên TPHCM

Khoa Toán Tin học

Tiểu luận Lý thuyết Độ đo và Xác suất

________________________________________________________________________________________

Bấy giờ, ánh xạ ngược của f , kí hiệu f −1 , được định nghĩa là ánh xạ từ f (X)
vào X xác định bởi
f −1 (y) = x khi f (x) = y
Với ánh xạ f : X −→ [−∞, ∞] và E ⊂ X, ta thường viết supf (x) thay
x∈E

cho sup f (E) và inf f (x) thay cho inf f (E).
x∈E

Với ánh xạ f : X −→ Y và g : Y −→ Z, ánh xạ hợp g ◦ f : X −→ Z
xác định bởi
g ◦ f (x) = g(f (x)), ∀x ∈ X
Khi miền ảnh của f là đường thẳng thực R (hoặc mặt phẳng phức C),
ta nói f là hàm thực (hoặc hàm phức).

Ta cũng có một số kết quả sau đây mà ta dễ dàng chứng minh được.

1.1.3 Mệnh đề
Cho ánh xạ f : X → Y , cho A, B ⊂ X và C, D ⊂ Y . Ta có
i) Nếu A ⊂ B thì f (A) ⊂ f (B)
ii) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B)
iii) f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B)
iv) Khi f là đơn ánh thì f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B)
v) Nếu C ⊂ D thì f −1 (C) ⊂ f −1 (D)
vi) f −1 (C ∪ D) = f −1 (C) ∪ f −1 (D)
vii) f −1 (C ∩ D) = f −1 (C) ∩ f −1 (D)
Chứng minh:
i) Cho y ∈ f (A) thì ∃x ∈ A sao cho y = f (x). Mà A ⊂ B nên x ∈ B.
Suy ra f (x) ∈ f (B). Vậy y ∈ f (B).
ii) và iii) xem Bài tập 3 lý thuyết Chương I.
iv) Từ kết quả iii) nên ta chỉ cần chứng minh f (A ∩ B) ⊃ f (A) ∩ f (B)
khi f đơn ánh.
Cho y ∈ f (A) ∩ f (B) thì y ∈ f (A) và y ∈ f (B) . Suy ra ∃x1 ∈ A sao cho
y = f (x1 ) và ∃x2 ∈ A sao cho y = f (x2 ). Vì f đơn ánh nên x1 = x2 = x,
nói cách khác chỉ tồn tại duy nhất x ∈ A ∩ B sao cho y = f (x). Suy ra
f (x) ∈ f (A ∩ B). Vậy y ∈ f (A ∩ B).
v) Cho x ∈ f −1 (C) thì ∃y ∈ C sao cho y = f (x). Mà C ⊂ D nên y ∈ D.
Suy ra f −1 (y) ∈ f −1 (D). Vậy x ∈ f −1 (D).
14
_________________________________________________________________________________________
Đặng Vinh - Vũ Đức Thạch Sơn - Nguyễn Bá Lâm - Nguyễn Thò Mai Phương - Lữ Quốc Hưng


Đại học Khoa Học Tự Nhiên TPHCM


Khoa Toán Tin học

Tiểu luận Lý thuyết Độ đo và Xác suất

________________________________________________________________________________________

vi) và vii) chứng minh như ii) và iii).

1.2 Khơng gian mẫu, biến cố
Đối tượng khảo sát của xác suất là các hiện tượng ngẫu nhiên, hiện tượng
mà mỗi lần quan sát, gọi là thực hiện các phép thử τ, kết quả xảy ra khơng
tiên đáon được. Tuy nhiên, dù kết quả của mỗi lần thực hiện phép thử là
khơng thể xác định trước được nhưng ta có thể xác định tất cả các khả năng
có thể xảy ra khi thực hiện một phép thử. Tập tất cả các khả năng có thể
xảy ra của một phép thử được gọi là một “khơng gian mẫu” của phép thử đó
và thường được kí hiệu là Ω.
Xét phép thử τ với một khơng gian mẫu Ω. Một tập con E ⊂ Ω được gọi
là một “biến cố”. Khi thực hiện phép thử τ , ta nhận được một kết quả ω ∈ Ω
(ω còn gọi là biến cố sơ cấp) mà nếu ω ∈ E, ta nói rằng biến cố E “xảy ra”.
Ngược lại ta nói E “khơng xảy ra”.
“Biến cố tổng” kí hiệu A ∪ B, chỉ biến cố “ít nhất một trong các biến cố
A, B xảy ra”.
“Biến cố tích” kí hiệu A ∩ B hay vắn tắt AB, chỉ biến cố “tất cả các biến
cố A, B đều xảy ra”.
“Biến cố đối lập” kí hiệu Ω \ A hay vắn tắt là A, chỉ biến cố “A khơng
xảy ra”.
Đặc biệt, biến cố Ø ⊂ Ω được gọi là biến cố “khơng bao giờ xảy ra” và
biến cố Ω ⊂ Ω được gọi là biến cố “chắc chắn”, biến cố ln ln xảy ra. Khi
A ∩ B = Ø ta nói rằng A, B là hai biến cố “xung khắc”, chúng khơng bao giờ
cùng xảy ra. Bấy giờ, người ta còn dùng kí hiệu A + B thay cho A ∪ B.

Chú ý rằng hai biến cố đối lập, A và A cũng là hai biến cố xung khắc.
Chiều ngược lại khơng đúng trong trường hợp tổng qt (xem Bài tập 4 phần
lý thuyết Chương I).
Tổng qt, với họ các biến cố (Aα ) trong đó α thuộc một tập chỉ số I,
nghĩa là Aα ⊂ Ω, với mọi α ∈ I, α∈I Aα chỉ biến cố “ít nhất một biến cố Aα
xảy ra” và α∈I Aα chỉ biến cố “tất cả các biến cố Aα đều xảy ra”. Khi I = N,
∞
(Aα ) được gọi là dãy các biến cố và ta dùng kí hiệu ∞
α=1 Aα và
α=1 Aα lần
lượt thay cho α∈I Aα và α∈I Aα .
1.3 Xác suất của một biến cố
Để khảo sát các hiện tượng ngẫu nhiên, người ta tìm cách gán cho mỗi
mội biến cố A phát sinh từ hiện tượng ngẫu nhiên đó một con số, gọi là “xác
15
_________________________________________________________________________________________
Đặng Vinh - Vũ Đức Thạch Sơn - Nguyễn Bá Lâm - Nguyễn Thò Mai Phương - Lữ Quốc Hưng


Đại học Khoa Học Tự Nhiên TPHCM

Khoa Toán Tin học

Tiểu luận Lý thuyết Độ đo và Xác suất

________________________________________________________________________________________

suất” của biến cố đó, kí hiệu là P (A), nhằm mục đích đặc trưng cho “khả
năng xuất hiện” của nó. Các khơng gian mẫu đầu tiên được khảo sát là các
tập hữu hạn, chẳng hạn Ω = {ω1 , ..., ωn }, và các biến cố sơ cấp được coi là

có cùng khả năng xuất hiện. Khi đó, ta nói rằng khơng gian Ω là đồng xác
suất. Với kí hiệu P (ωi ) thay cho P ({ωi }), khái niệm đồng xác suất cho ta
P (ωi ) = P (ωj ) = p ∈ R, ∀i, j = 1, 2, ..., n.
Bằng cách chọn p = n1 , ta được định nghĩa “xác suất cổ điển”
P (A) =

|A|
, ∀A ⊂ Ω
|Ω|

trong đó kí hiệu |X| để chỉ số phần tử của X.
Ý tưởng “đồng xác suất” mặc dù đã sản sinh được nhiều áp dụng quan
trọng nhưng khơng đúng trong rất nhiều trường hợp và đã nhận được rất
nhiều chỉ trích. Nhằm khắc phục khiếm khuyết từ định nghĩa xác suất một
biến cố dựa trên tư tưởng “đồng xác suất”, người ta đưa ra định nghĩa xác
suất bằng “tần suất”, nghĩa là bằng phương pháp thống kê như sau.
Với khơng gian mẫu Ω của phép thử τ , người ta thực hiện phép thử này
n lần và đếm số lần biến cố A ⊂ Ω xuất hiện, kí hiệu n(A). Khi đó, xác suất
của A được định nghĩa (xấp xỉ) bởi tần suất
P (A) =

n(A)
.
n

Thực chất, giả định của trường phái “tần suất” tin rằng nếu xác suất của
một biến cố A là p thì người ta sẽ có
n(A)
=p
n→∞ n

lim

và đó chính là ý tưởng của giả định về “Luật số lớn” mà ta sẽ đề cập đến
trong chương IV. Do vậy ta có thể chấp nhận các giá trị xấp xỉ bằng tần
suất như là các giá trị xấp xỉ của số π. Hơn nữa, khi khơng gian mẫu có vơ
hạn phần tử, khơng nhất thiết ta phải quan tâm đến tất cả các biến cố với
vai trò là một tập con của khơng gian mẫu.

16
_________________________________________________________________________________________
Đặng Vinh - Vũ Đức Thạch Sơn - Nguyễn Bá Lâm - Nguyễn Thò Mai Phương - Lữ Quốc Hưng


Đại học Khoa Học Tự Nhiên TPHCM

Khoa Toán Tin học

Tiểu luận Lý thuyết Độ đo và Xác suất

________________________________________________________________________________________

1.4 Khơng gian đo
Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu những tiên đề và định nghĩa cơ bản, hết
sức quan trong trong việc đặt nền móng cho Lý thuyết xác suất một cách hệ
thống.

1.4.1 Tiên đề
Cho M là một họ các tập con của một tập X. Ta nói M là một σ−đại
số trên X nếu M thỏa các tiên đề sau
Tiên đề 1: X ∈ M.

Tiên đề 2: Nếu A ∈ M thì Ac ∈ M
Tiên đề 3: Nếu (An ) là một dãy các phần tử của M, nghĩa là An ∈
M, ∀n ∈ N, và A = ∞
n=1 An thì A ∈ M.
Khi M là một σ−đại số trên X, (X, M) được gọi là “khơng gian đo được”
và phần tử của M được gọi là các tập đo được.
Với ngơn ngữ của phép tốn trên tập hợp, các tiên đề 2 và 3 của một
σ−đại số M trên X có thể phát biểu lại là
Tiên đề 2: M bền với phép lấy phần bù.
Tiên đề 3: M bền với phép lấy phần hội đếm được.

1.4.2 Bổ đề
Cho X là một tập con khác rỗng. Gọi P(X) là họ tất cả các tập con của
X. Ta có P(X) cũng là một σ−đại số.
Chứng minh:
Ta sẽ lần lượt kiểm tra 3 tiên đề của một σ−đại số cho P(X)
Tiên đề 1: Hiển nhiên X ∈ P(X).
Tiên đề 2: Nếu A ∈ P(X) thì A ⊂ X . Suy ra Ac = X \ A ⊂ X nên
c
A ∈ P(X).
Tiên đề 3: Nếu (An ) là một dãy các phần tử của P(X), nghĩa là An ∈
P(X), ∀n ∈ N, tức là An ⊂ X, ∀n ∈ N. Suy ra A = ∞
n=1 An ⊂ X nên
A ∈ P(X)

1.4.3 Hệ quả
Cho (X, M) là một khơng gian đo. Ta có
i) Ø ∈ M
17
_________________________________________________________________________________________

Đặng Vinh - Vũ Đức Thạch Sơn - Nguyễn Bá Lâm - Nguyễn Thò Mai Phương - Lữ Quốc Hưng


Đại học Khoa Học Tự Nhiên TPHCM

Khoa Toán Tin học

Tiểu luận Lý thuyết Độ đo và Xác suất

________________________________________________________________________________________

ii) Với mọi dãy (An ) các phần tử của M thì
∞

An ∈ M
n=1

Chứng minh: xem Bài tập 6 phần lý thuyết Chương I.
Sau đây cũng là một định lý quan trọng mà kết quả của nó sẽ được sử
dụng nhiều trong các chứng minh

1.4.4 Định lý
Cho (Mα )α∈I là một họ các σ−đại số trên X. Khi đó M =
là một σ− đại số trên X.
Chứng minh: xem Bài tập 7 phần lý thuyết Chương I.

α∈I

Mα cũng


Định lý sau đây cho thấy sự tồn tại của nhiều σ−đại số khác trên X

1.4.5 Định lý
Với một họ F bất kì các tập con của một tập hợp X, tồn tại σ−đại số M
trên X nhỏ nhất chứa F, nghĩa là F⊂ M và nếu M là một σ−đại số bất kì
sao cho F⊂ M, ta có M ⊂ M .
M được gọi là σ−đại số sinh bởi F, kí hiệu σ(F)
Chứng minh:
Ta có F là một họ bất kì các tập con của một tập hợp X. Suy ra F⊂ P(X)
Gọi O là họ tất cả các σ−đại số chứa F. Vì F⊂ P(X) mà P(X) cũng
là một σ−đại số (Bổ đề 1.4.2) do đó P(X) ∈ O. Suy ra O khác rỗng.
Đặt M là phần giao của tất cả các phần tử của O. M = N∈O N, dễ thấy
rằng N ∈ O, ∀N nên hiển nhiên F⊂ N, ∀N và do đó F⊂ M. Ta có M là một
σ−đại số (Định lý 1.4.5). Ta sẽ chứng minh M là σ−đại số nhỏ nhất chứa F
Chọn M là σ−đại số bất kì thuộc O sao cho F⊂ M’.
Vì M ∈ O nên M = M ∈O M ⊂ M

1.4.6 Mệnh đề

18
_________________________________________________________________________________________
Đặng Vinh - Vũ Đức Thạch Sơn - Nguyễn Bá Lâm - Nguyễn Thò Mai Phương - Lữ Quốc Hưng


Đại học Khoa Học Tự Nhiên TPHCM

Khoa Toán Tin học

Tiểu luận Lý thuyết Độ đo và Xác suất


________________________________________________________________________________________

Cho M là một σ−đại số trên tập hợp X và F, G là các họ tập con của
X. Ta có:
i) Nếu F ⊂ M thì σ (F) ⊂ M.
ii) σ (M) = M.
iii) Nếu F ⊂ G thì σ (F) ⊂ σ (G).
iv) Nếu F ⊂ σ (G)thì σ (F) ⊂ σ (G).
Chứng minh: xem Bài tập 8 phần lý thuyết Chương I.
Chú ý rằng trong Lý thuyết xác suất khi mà khơng gian mẫu Ω bao gồm
các biến cố sơ cấp, σ−đại số sinh bởi chính Ω thường được xem như là khơng
gian các biến cố “nhỏ nhất” mà ta cần khảo sát. Khi Ω là một tập hữu hạn
hay vơ hạn đếm được (mà ta còn gọi là tập q lắm đếm được) thì σ−đại số
sinh bởi Ω chính là P(Ω). Kết quả này khơng đúng cho trường hợp khơng
gian mẫu Ω là tập vơ hạn khơng đếm được (xem Bài tập 9 phần lý thuyết
Chương I).
1.4.7 Bổ đề
Cho M là một σ−đại số trên tập hợp X sao cho M có hữu hạn phần tử.
Khi đó ta có điều sau về lực lượng của M
card M = 2n , n ∈ N
Chứng minh:
Chọn một phần tử A bất kì trong M. Do M bền với phép lấy phần bù,
ta ln tìm được Ac là phần bù của phần tử đó. Vậy A và Ac tạo thành một
cặp 2 phần tử của σ−đại số M. Với mỗi phần tử trong M, ta có thể phân
hoạch nó với phần bù của nó nhờ các tính chất của σ−đại số. Cách phân
hoạch này đưa đến một phân hoạch đặc biệt. Dùng ý tưởng đó, ta có thể lấy
bất kỳ tổ hợp các phần tử của X sao cho các tập hợp của các phần tử này
của X tạo nên một phân hoạch của X. Quan sát họ các phân hoạch X, chọn
phân hoạch có nhiều ơ nhất bằng cách lấy sup của tất cả các phân hoạch có
nhiều ơ nhất trong họ phân hoạch đó. Giả sử có n ơ cho một phân hoạch đặc

biệt của X. Lấy S là tập gồm n ơ này. Ta có P (S) = 2n , với n là số lớn nhất
các ơ trong các phân hoạch có thể thực hiện được của X. Từ P (S), ta tạo
ra được một phân hoạch khác của X. Suy ra, S là tập sinh của M.
Một loại σ−đại số quan trọng khơng những trong phép tính vi phân mà
cả trong lý thuyết xác suất là σ−đại số Borel. Trước hết ta cần một số thuật
ngữ.
19
_________________________________________________________________________________________
Đặng Vinh - Vũ Đức Thạch Sơn - Nguyễn Bá Lâm - Nguyễn Thò Mai Phương - Lữ Quốc Hưng


Đại học Khoa Học Tự Nhiên TPHCM

Khoa Toán Tin học

Tiểu luận Lý thuyết Độ đo và Xác suất

________________________________________________________________________________________

1.4.8 Định nghĩa
Với X là một tập khơng rỗng và τ là một họ các tập con của X, τ ⊂
P(X), ta nói τ là một topo trên X nếu
i) Ø, X ∈ τ
ii) Nếu Vi ∈ τ, i = 1, 2, ..., n thì V1 ∩ V2 ∩ ... ∩ Vn ∈ τ
iii) Nếu (Vα )α∈I là một họ các phần tử của τ thì α∈I Vα ∈ τ
Bấy giờ (X, τ ), hay vắn tắt là X khi topo τ được ngầm hiểu, được gọi là
một “khơng gian topo”, phần tử của τ được gọi là một “tập mở” (trong X) và
tập có phần bù (trong X) là một tập mở được gọi là một “tập đóng” (trong
X).
Giống như đối với khái niệm về σ−đại số , trên một tập bất X bất kì,

các họ {Ø, X} và P(X) là các σ−đại số trên X, và với F là một họ bất kì
các tập con của X, tồn tại topo τF trên X, nhỏ nhất chứa F (xem Bài tập
10 phần lý thuyết Chương I), tức là
i) τF là một topo trên X, F⊂ τF
ii) Với mọi topo τ trên X chứa F, ta có τ ⊂ τ
Khi X là một khơng gian mêtric, τ chính là topo sinh bởi họ các quả cầu
mở, B(a; r) = {x ∈ X : d(x, a) < r}, với a ∈ X, r > 0 và d là mêtric trên
X. Chẳng hạn với đường thẳng thực R, τ chính là topo sinh bởi các khoảng
mở (a, b) và topo τ trên mặt phẳng R2 sinh bởi các dĩa mở {(x, y) ∈ R2 :
(x − a)2 + (y − b)2 < r}, (a, b) ∈ R2 , r > 0. Đặc biệt, với đường thẳng thực nới
rộng, X = [−∞, ∞], τ là topo sinh bởi các khoảng mở (a, b), (a, ∞], [−∞, b),
với a, b ∈ R.

1.4.9 Định nghĩa
Cho (X, τ ) là một khơng gian topo, σ−đại số B sinh bởi τ được gọi là
“σ−đại số Borel” trên X, kí hiệu B(X). Khi đó phần tử của B được gọi là
“tập con Borel của X”.
Do các σ−đại số đều bền đối với phép lấy phần bù, ta suy ra rằng đối
với một khơng gian topo X bất kì, các tập đóng của X đều là các tập Borel.
Hơn nữa, do các σ−đại số cũng bền với phép lấy phần hội cũng như phần
giao đếm được, ta suy ra rằng các tập Fσ (hội đếm được các tập đóng) và
Gδ (giao đếm được các tập mở) đều là các tập Borel. Chẳng hạn, với đường
thẳng thực R, hiển nhiên các khoảng đóng và các khoảng mở là các tập Borel,
các “nửa khoảng mở”, [a, b) và (a, b], cũng đều là các tập Borel. Tóm lại, các
20
_________________________________________________________________________________________
Đặng Vinh - Vũ Đức Thạch Sơn - Nguyễn Bá Lâm - Nguyễn Thò Mai Phương - Lữ Quốc Hưng


Đại học Khoa Học Tự Nhiên TPHCM


Khoa Toán Tin học

Tiểu luận Lý thuyết Độ đo và Xác suất

________________________________________________________________________________________

khoảng là các tập Borel trên R và hơn thế nữa.(xem Bài tập 11,12 phần lý
thuyết Chương I).

1.4.10 Mệnh đề
Cho F = {[a, ∞) : a ∈ R} ⊂ P(R). Ta có σ−đại số sinh bởi F chính là
σ−đại số Borel trên R, nghĩa là σ(F) = B(R).
Hơn nữa, với khơng gian đo được (X, M), xét tập con (khơng rỗng) Y ⊂ X
và đặt
MY = {A ∩ Y : A ∈ M} ⊂ P(Y ).
Ta có định lý sau đây

1.4.11 Định lý
(Y, MY ) là một khơng gian đo được. Khơng gian đo được (Y, MY ) còn
được gọi là khơng gian đo được thu hẹp trên Y của (X, M) và MY còn được
kí hiệu là M ∩ Y .
Chứng minh: xem Bài tập 15 phần lý thuyết Chương I.

1.4.12 Định nghĩa
Cho khơng gian đo được (X, M). Một ánh xạ µ : M −→ [0, ∞] khơng
tầm thường, nghĩa là tồn tại A ∈ M sao cho µ(A) < ∞, thỏa tính chất “cộng
tính đếm được”, nghĩa là
∞


µ

∞

An

=

n=1

µ(An )
n=1

với mọi dãy (An ) các phần tử của M đơi một rời nhau (nghĩa là Ai ∩ Aj = Ø
khi i = j), được gọi là một “độ đo (dương)” trên khơng gian đo được (X, M).
Bấy giờ (X, M, µ) được gọi là một “khơng gian đo”.

21
_________________________________________________________________________________________
Đặng Vinh - Vũ Đức Thạch Sơn - Nguyễn Bá Lâm - Nguyễn Thò Mai Phương - Lữ Quốc Hưng


Đại học Khoa Học Tự Nhiên TPHCM

Khoa Toán Tin học

Tiểu luận Lý thuyết Độ đo và Xác suất

________________________________________________________________________________________


1.4.13 Định nghĩa
Cho X là khơng gian đo được với một σ−đại số M, cho hàm µ : M −→ C.
Ta nói µ là một độ đo phức trên M nếu µ thoả mãn tính chất sau
∞

µ

∞

An

µ(An ), ∀An ∈ M, n = 1, 2, ...

=

n=1

n=1

và Ai ∩ Aj = Ø, ∀i = j

1.4.14 Định nghĩa
Cho X là một khơng gian đo được với một σ−đại số M và cho hàm µ là
một độ đo (dương hoặc phức) trên M. Ta nói (X, M, µ) là một khơng gian
đo.

1.4.15 Định lý
Cho µ là một độ đo dương trên một σ−đại số M. Ta có
a) µ(Ø) = 0.
b) Nếu A, B ∈ M và A ⊂ B thì µ(A) ≤ µ(B).

c) ∀i = 1, n, ∀Ai ∈ M,µ ( ni=1 Ai ) ≤ ni=1 Ai .
Nếu (A1 , ..., An ) là dãy các phần tử đơi một rời nhau thì
µ ( ni=1 Ai ) = ni=1 Ai .
d) Nếu A = ∞
n=1 An với các An ∈ M tạo thành dãy tăng,
nghĩa là A1 ⊂ A2 ⊂ ... ⊂ An ⊂ ... thì µ(An ) −→ µ(A) khi n → ∞
e) Nếu A = ∞
n=1 An với các An ∈ M tạo thành dãy giảm,
nghĩa là A1 ⊃ A2 ⊃ ... ⊃ An ⊃ ... và µ(A1 ) < ∞
thì µ(An ) −→ µ(A) khi n → ∞
Chứng minh:
a) Vì µ là một độ đo dương trên một σ−đại số M nên tồn tại A ∈ M sao
cho µ(A) < ∞, thỏa tính chất “cộng tính đếm được”
Lấy A1 = A, A2 = A3 = ... = An = ... = Ø.
Dễ dàng nhận thấy Ai ∩ Aj = Ø, ∀i = j
Theo tính chất “cộng tính đếm được” ta suy ra:
∞

µ(A) = µ

∞

An
n=1

=

∞

Ai = µ(A) +

n=1

µ(Ø)
n=1

22
_________________________________________________________________________________________
Đặng Vinh - Vũ Đức Thạch Sơn - Nguyễn Bá Lâm - Nguyễn Thò Mai Phương - Lữ Quốc Hưng


Đại học Khoa Học Tự Nhiên TPHCM

Khoa Toán Tin học

Tiểu luận Lý thuyết Độ đo và Xác suất

________________________________________________________________________________________

Suy ra µ(Ø) = 0
b) Vì A ⊂ B nên B = (B \ A) ∪ A với (B \ A) ∈ M. Mà (B \ A) ∩ A = Ø
suy ra (B \ A) xung khắc A
Suy ra µ(B \ A) + µ(A) = µ(B). Do đó µ(A) ≤ µ(B).
c) Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp tốn học
Với n = 2: Ta có A1 ∪ A2 = A1 ∪ (A2 \ A1 ) và A1 ∩ (A2 \ A1 ) = Ø. Do đó
theo tính chất cộng tính đếm được, ta suy ra
µ(A1 ∪ A2 ) = µ(A1 ) + µ(A2 \ A1 )
mà (A2 \ A1 ) ⊂ A2 nên từ kết quả tính chất (b) ta có µ(A2 \ A1 ) ≤ µ(A2 ).
Suy ra
µ(A1 ∪ A2 ) ≤ µ(A1 ) + µ(A2 )
Với n = k: Ta giả sử mệnh đề đúng, tức là

k

k

µ

Ai

≤

i=1

Ai
i=1

Với n = k + 1: Ta chứng minh mệnh đề sau đúng
k+1

µ

k+1

Ai

≤

i=1

Ta có µ


k+1
i=1

Ai = µ (

mà ( ki=1 Ai ) ∩ (Ak+1 \
thiết quy nạp ta suy ra
k+1

µ

k
i=1

Ai ) = Ø,Ak+1 \

k
i=1

k

Ai ) + µ(Ak+1 \

= µ(

k
i=1

Ai ) ∪ Ak+1 = µ (


k

Ai
i=1

k
i=1

Ai
i=1

i=1

Ai ) ∪ (Ak+1 \

k
i=1

Ai ⊂ Ak+1 . Theo giả

k

Ai ) ≤ µ(
i=1

Ai ) + µ(Ak+1 )
i=1

suy ra
k+1


µ

k+1

Ai
i=1

≤

Ai
i=1

Bằng cách chọn Am = Ø với mọi m > n, trực tiếp từ tính chất cộng tính
đếm được ta suy ra đẳng thức của hữu hạn tập hợp:
23
_________________________________________________________________________________________
Đặng Vinh - Vũ Đức Thạch Sơn - Nguyễn Bá Lâm - Nguyễn Thò Mai Phương - Lữ Quốc Hưng

Ai )