Phép quay và các ứng dụng của phép quay trong hình học phẳng

MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU ........................................................................................... 2
I. LÝ THUYẾT ......................................................................................... 3
I.1.Các khái niệm mở đầu ..................................................................... 3
I.1.1 Phép biến hình........................................................................... 3
I.1.2 Phép dời hình ............................................................................ 3
I.2. Phép quay ........................................................................................ 4
I.2.1.Định nghĩa về phép quay .......................................................... 4
I.2.2.Tính chất ................................................................................... 5
I.2.3 Biểu thức tọa độ của phép quay ................................................ 5
II.BÀI TẬP ................................................................................................ 7
II.1 Hệ trục tọa độ với phép quay.......................................................... 7
II.2 Sử dụng phép quay làm bài toán dựng hình ................................... 9
II.3 Sử dụng phép quay để chứng minh các tính chất hình học. ......... 11
II.5 Sử dụng phép quay để làm các bài toán tìm cực trị, định lượng. 13
II.6 Bài tập về tích phép quay. ............................................................ 15
KẾT LUẬN ............................................................................................. 17
Tài liệu tham khảo ................................................................................... 18

1


Phép quay và các ứng dụng của phép quay trong hình học phẳng
LỜI MỞ ĐẦU
Trong chương trình dạy và học toán ở phổ thông, phép biến hình và các phép dời hình
trong mặt phẳng thường được lựa chọn để giải nhiều dạng toán khác nhau. Hiện nay, nội
dung phép biến hình trong mặt phẳng được đưa vào chương trình Hình học 11. Nhưng
đối với những bài toán có thể giải được về cơ bản chỉ cần kiến thức hình học thuộc các
lớp trung học cơ sở, chúng ta có thể giải lại bằng phương pháp biến hình. Bên cạnh đó,

các tài liệu tham khảo về phép biến hình không nêu rõ phương pháp ứng dụng chúng để
giải toán. Do đó, học sinh chưa hiểu rõ và không vận dụng được một cách có hiệu quả.
Đề tài này tập trung nghiên cứu sâu về phép quay và ứng dụng phép quay trong mặt
phẳng.

2


Phép quay và các ứng dụng của phép quay trong hình học phẳng
I. LÝ THUYẾT
I.1.Các khái niệm mở đầu
I.1.1 Phép biến hình.
Định nghĩa: Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm M của mặt phẳng xác định
được một điểm duy nhất M’ của mặt phẳng. Điểm M’ gọi là ảnh của M qua phép biến
hình đó.
Kí hiệu: f là một phép biến hình nào đó, và M’ là ảnh của M qua phép biến hình f.
f
Ta viết: M '  f (M) hay f (M)  M' hay f : M  M ' hay M 
M '
Lưu ý: + Điểm M gọi là tạo ảnh, M’ là ảnh.
+ f là phép biến hình đồng nhất ⟺ f (M)  M với mọi M. Điểm M gọi là điểm
bất động, điểm kép, bất biến.
+ f1 , f 2 là các phép biến hình thì f1 f 2 là phép biến hình.
Nếu H là một hình nào đó thì tập hợp các điểm M '  f (M) , với M ∈ H, tạo thành hình H’
được gọi là ảnh của H qua phép biến hình f , và ta viết H '  f (H)
I.1.2 Phép dời hình
Định nghĩa: Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa 2
điểm bất kỳ, tức là với 2 điểm bất kỳ M,N và ảnh M’, N’ của chúng, ta luôn có: M’N’ =
MN (bảo toàn khoảng cách).
Tính chất: Phép dời hình biến:

- 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng, 3 điểm không thẳng hàng thành 3 điểm không thẳng
hàng.
- đường thẳng thành đường thẳng.
- tia thành tia.
- đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
- tam giác thành tam giác bằng nó (trực tâm → trực tâm, trọng tâm → trọng tâm)
- đường tròn thành đường tròn bằng nó (tâm biến thành tâm: I → I’, R = R’).
- góc thành góc bằng nó.

3


Phép quay và các ứng dụng của phép quay trong hình học phẳng
I.2. Phép quay
I.2.1.Định nghĩa về phép quay
Để trình bày khái niệm về phép quay ta đưa khái niệm góc định hướng và mặt phẳng định
hướng.
Định nghĩa góc định hướng:
Góc tạo bởi 2 tia Ox, Oy có phân biệt thứ tự tia đầu và tia cuối được gọi là góc định
hướng.
Nếu tia Ox là tia đầu, Oy là tia cuối thì người ta kí hiệu góc định hướng là (Ox, Oy)
y



x

O

Mặt phẳng định hướng nếu trong 2 chiều quay của một tia xung quanh mỗi điểm của nó

được chọn 1 chiều làm chiều dương, 1 chiều làm chiều âm
Ta chọn chiều (+): là chiều ngược chiều kim đồng hồ
chiều (-): là chiều cùng chiều kim đồng hồ
Tính chất của góc định hướng trong mặt phẳng định hướng:
+ cho 2 góc định hướng 1 ,  2 , khi đó: 1  2 nếu cùng độ lớn, cùng hướng và 1  2
nếu cùng độ lớn, ngược hướng.
+ Nếu Ox quay tới Oy theo chiều dương thì (Ox, Oy) > 0
Nếu Ox quay tới Oy theo chiều âm thì (Ox, Oy) < 0
+



= (Ox, Oy) thì

  k

được gọi là góc định hướng suy rộng. Góc định hướng

suy rộng bằng nhau nếu hiệu của chúng là

k

.Như vậy

  k  

Định nghĩa phép quay: Phép biến hình trong mặt phẳng biến điểm O thành chính nó,
biến điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM=OM’ và (OM, OM')   được gọi
là phép quay tâm O, góc




Kí hiệu phép quay tâm O góc




là: QO

4


Phép quay và các ứng dụng của phép quay trong hình học phẳng
2k

Q : là phép đồng nhất, ∀ k ∈ Z

Lưu ý: +

I

(2 k 1)

+ QI

: là phép đối xứng tâm I, ∀ k ∈ Z

I.2.2.Tính chất.
1) Phép quay mang đầy đủ tính chất của 1 phép dời hình.
2) Các tính chất riêng của phép quay:

a) Cho đường thẳng d đi qua O, khi đó ảnh của d là d’ cũng đi qua O và góc định hướng
giữa d và d’ là:
+  nếu   900
+ 1800   nếu   900
+ Q  nếu   900
O

b) A’, B’ là ảnh của 2 điểm A, B bất kỳ trong mặt phẳng thì
qua

Q


O

: (AB, A’B’)= α (00< α < 1800).

M''

c) Tích của 2 phép quay cùng tâm:
Giả sử có 2 phép quay




O

O

Q  Q .Q


Q


O

và

Q


O

thì

M'



là một phép quay có tâm



M

O

O và góc quay là

   


d) Tích của 2 phép quay không cùng tâm:
Định lý: Cho 2 điểm phân biệt O1, O2 và các góc định


0    

0  
hướng α, β thỏa mãn điều kiện: 
  


 2
Khi đó phép biến đổi





O1

O2

Q Q Q

một phép quay với góc

M'

M

M''

là



d1
/2
O1


+

d2
O2

O

5

/2


Phép quay và các ứng dụng của phép quay trong hình học phẳng
quay φ = α + β, và tâm O được
xác định như sau: .
O = d1∩ d2, trong đó:







d1  Q (O1O2 ) , d 2  Q 2 (O1O2 )
2

O1

O1

Nếu φ = 2π thì Q là phép tịnh tiến
I.2.3 Biểu thức tọa độ của phép quay
i) Quay quanh điểm O(0;0)


Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M(x,y), M’(x’,y’)= QO (M(x,y)).
Đặt OM = r, góc lượng giác (Ox, OM) = α thì

 x  r cos 
M
 y  rsin 
Mặt khác: (Ox,OM')    
Do đó:

y

M'
y'

y


 x '  r.cos(   )
M '
 y '  r.sin(   )
 x '  r.cos  .cos   r.sin  .sin 
⇒ 
⇒
 y '  r.sin  .cos   r.cos  .sin 

M


x


O

x'

x

 x '  x.cos   y.sin 

 y '  x.sin   y.cos 

 x '  x.cos   y.sin 
M '
 y '  x.sin   y cos 
ii)Bằng phép dịch chuyển tâm với I(a,b) bất kỳ ta có:


 x  r cos   a
M
⇒
 y  rsin   b

 x  a  r.cos 

 y b  r.sin 

6


Phép quay và các ứng dụng của phép quay trong hình học phẳng
y

 x '  r.cos(   )  a
M '
 y  r.sin(   )  b
 x '  r.cos  .cos   r.sin  .sin   a

 y'  r.sin  .cos   r.cos  .sin   b
 x '  (x  a).cos   (y b).sin   a
M
'

Suy ra:
 y'  (y b).cos   (x  a).sin   b

M'


y'

r
y

M

r


b


I

x
O

a

x'

x

II.BÀI TẬP
Lưu ý khi làm bài tập về phép quay:
+ Chọn cách vẽ hình bài toán sao cho thực hiện từng phép quay riêng biệt là phép quay
theo chiều dương.
+ Nếu trong bài toán có sử dụng tích các phép quay thì việc tìm tâm là quan trọng nhất.
+ Nhiều bài toán mà trong giả thiết xuất hiện yếu tố đặc biệt như góc 300, 600, 900, …có

độ dài bằng nhau gợi ý tưởng dùng phép quay.

II.1 Hệ trục tọa độ với phép quay
0

Bài 1: Trong mp Oxy cho phép quay

Q 45 . Tìm ảnh:
O

a) Điểm M(2;2) b) Đường tròn (C): (x-1)2 + y2 = 4.
45

QO
 M (x'; y') . Thì:
Giải: Gọi M (x; y) 

 x '  x.cos 45  y.sin 45
M '
 y '  x.sin 45  y.cos 45


2
2
.x 
.y
x ' 

2
2

hay M ' 
 y '  2 .x  2 . y

2
2


45

QO
 A '(0; 2 2)
a) A(2; 2)  

2
2
45
 I (1; 0) Q O
;
)
 I '(

(C') : 
2
2
b) (C) : 
R  2
R  R '  2

Vậy (C') : (x 


2 2
2 2
)  (y
) 4
2
2

7


Phép quay và các ứng dụng của phép quay trong hình học phẳng
Bài 2: Trong mp tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): x+y-2=0. Tìm ảnh (d’) của đường
thẳng (d) qua phép quay Q 90
O

Cách 1:
Lấy 2 điểm A, B trên (d), tìm ảnh A’, B’ của A, B
Đường thẳng (d’) là đường thẳng qua 2 điểm A’, B’.
Giả sử A(0;2) ϵ (d) và B(2;0) ∈ (d)


QO
 A '(2;0)
 A(0; 2) 
Ta có: 
90
QO
B(2;0) 
 B'(0; 2)


90

A ' B '  (2; 2)  n d '  (1; 1) .Vậy (d’):

x y20

Cách 2:
90

QO
M (x; y)  (d) 
 M '(x'; y')  (d')

 x '  x.cos90  y.sin 90
x '   y
M '
 M '
 y '  x.sin 90  y.cos90
y'  x

Lúc đó:

Suy ra:

x  y '

, thay vào pt (d) ta được: y ' ( x')  2  0  x' y' 2  0
 y  x '

Hay đường thẳng (d’) có pt: x  y  2  0

Bài 3: Tìm ảnh của điểm M(1;1) trong phép quay tâm I(-1;0) với góc quay α = 600
Bài giải:
600

Giả sử M '(x'; y')  Q I ( 1;0)(M(1;1)) .
Áp dụng công thức:

8


Phép quay và các ứng dụng của phép quay trong hình học phẳng
 x '  (x  a).cos   (y b).sin   a

 y'  (y b).cos   (x  a).sin   b
a  1
,
b  0

với 

x  1
3 1
0

;  3)
,     60 . Suy ra: M '(
2 2
y 1

Bài tập tự giải

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (∆): 2x-y+1=0.
thẳng qua phép quay :
a) Tâm O(0;0), góc quay α= -600
b) Tâm I(1;1), góc quay α= 600.

Tìm ảnh của đường

Bài 2: Trong mp tọa độ Oxy, tìm phép quay Q biến điểm A(-1;5) thành điểm B(5;1)

II.2 Sử dụng phép quay làm bài toán dựng hình
Như ta đã biết hình H là một tập con của P – tập hợp các điểm trong mặt phẳng ⇒ H là
một tập hợp điểm. Vì vậy để dựng hình H thông thường ta dựng các điểm của H
Để dựng các điểm M đôi khi dễ dàng nếu ta dựng được ảnh M’ của M qua 1 phép dời
hình nào đó. Ta dựa vào đặc trưng của điểm cần dựng và tính chất của phép biến hình để
chọn phép biến hình thích hợp.
Các bước: - bước 1: phân tích.
- bước 2: dựng hình.
- bước 3: chứng minh.
- bước 4: biện luận.
Bài toán: Cho ∆ABC, điểm M thuộc cạnh AB. Dựng trên BC, AC các điểm N,P tương
ứng sao cho thỏa mãn 2 điều kiện:
- MP = MN
- đường tròn qua A, M, P tiếp xúc với NM.
Phân tích:
Giả sử dựng được 2 điểm M, P thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nghĩa là: MP = MN và MN là tiếp tuyến của đường tròn qua 3 diểm A, M, P tại M. Khi
đó:
+Ta có: NMP  MAP ( cùng chắn cung MP)
Mà: MP = MN nên xác định được phép quay


Q : N  P với   BAC cố định
M

9


C

Phép quay và các ứng dụng của phép quay trong hình học phẳng
⇒ N là tạo ảnh của P qua phép quay

Q



M'

M

1500

+ Lại có: P ∈ AC nên N ∈ A’C’ – là tạo ảnh của AC qua

Q , trong đó:
M

M




Q : A’ ⟶ A

60 0

M

C’ ⟶ C
Mà N ∈ BC nên suy ra N là giao của BC và A’C’.

1500
B

A

Cách dựng:
- Dựng A’, C’ là ảnh của A, C qua phép Q  , nghĩa là: MA’ = MA, MC’ = MC,
M
(MA’,MA) = (MC’, MC) = α
- Xác định giao điểm của BC với A’C’ là N
- P = Q  (N)

A



M

Chứng minh:

P



Q : A’ ⟶ A
M

A'



M

C’ ⟶ C
N = BC ∩ A’C’ ⇒ N ∈ A’C’
N

⇒P=


Q (N) ∈ AC

C

B

M

(MN, MP) = α, MP = MN⟹ thỏa mãn điều kiện
C'
N ∈ BC, P ∈ AC, MP = MN
Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn ngoai tiếp ∆AMP

Xét đường tròn (O) ngoại tiếp ∆AMP có MAP là góc nội tiếp chắn cung MP
N ∉ (O), NMP  MAP = α ⇒ MN là tiếp tuyến của (O)
Biện luận:
Vì ∆ABC cho trước, M cho trước ⟹ A   cố định ⟹ Q  là xác định
M

A’, C’ xác định duy nhất ⟹ N xác định duy nhất ⟹ P xác định duy nhất.
Vậy bài toán có 1 nghiệm hình.
Bài tập tự giải
Bài 1: Dựng tam giác đều ABC biết rằng các đỉnh của nó nằm trên 3 đường thẳng song
song d1, d2, d3 cho trước.

10


Phép quay và các ứng dụng của phép quay trong hình học phẳng
Bài 2: Cho 4 điểm trên một đường thẳng. Hãy dựng hình vuông mà phần kéo dài các
cạnh của nó cắt đường đó tại các điểm đã cho.

II.3 Sử dụng phép quay để chứng minh các tính chất hình học.
Sử dụng phép quay hay phép dời hình làm bài toán chứng minh, ta có thể chứng minh
được rất nhiều bài toán như: chứng minh góc, chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, chứng
minh các đoạn thẳng vuông góc, song song, đồng quy, thẳng hàng, …
- Trong trường hợp chứng minh hình H=H’, ta chỉ cần chỉ ra tồn tại một phép dời hình
biến H → H’. Các yếu tố góc bằng nhau, đoạn thẳng bằng nhau là những yếu tố hướng ta
nghĩ tới phép quay.
Cách giải: - Bước 1: Thực hiện một phép dời hình thích hợp
- Bước 2: Sử dụng các tính chất của phép dời hình để giải quyết yêu cầu bài
tập.
Bài toán: Cho 3 điểm A, B, C theo thứ tự thẳng hàng. Vẽ cùng phía dựng 2 tam giác đều

ABE và BCF. Gọi M, N tương ứng là 2 trung điểm của AF và CE. Chứng minh rằng:
∆BMN đều.
Giải:
Xét phép quay Q 60 ta có:
B
0

60

0

Q

B

(A)  E ,

60

0

Q

B

(F)  C

E

Suy ra: Q 60 (AF)  EC

B
0

Do M là trung điểm của AF, N là trung điểm
của EC, nên: Q 60 (M)  N  BM  BN và

N

0

B

F

MBN  600 ⟹ ∆BMN đều.
Bài tập tự giải:

M
A

B

Bài 1: Trên các cạnh BC, CD của hình vuông ABCD lấy các điểm M và K tương ứng sao
cho BAM  MAK .Chứng minh rằng: BM + KD = AK
Bài 2: Trên các cạnh của tam giác ABC bất kỳ, về phía ngoài, dựng các tam giác đều
ABC1, AB1C, A1BC. Chứng minh rằng:
a) AA1 = BB1 = CC1
b) Các đường thẳng AA1, BB1, CC1 đồng quy.

II.4 Sử dụng phép quay để làm bài toán tìm quỹ tích.

Tìm tập hợp điểm M có tính chất α nào đó thực ra là tìm 1 hình F có tính chất α. Để tìm

11

C


Phép quay và các ứng dụng của phép quay trong hình học phẳng
tập hợp H dựa vào phép dời hình f người ta thường chuyển về tìm tập hợp ảnh F’ của F
qua phép dời hình trong đó F’ dễ dàng tìm hơn so với F. Do tính chất 1-1 của phép dời
hình ta sẽ suy ra F  f 1 (F')
Vì phép dời hình là một song ánh nên ta chỉ cần làm phần thuận.
Thông thường có 2 cách tìm quỹ tích điểm M
Cách 1: Bước 1: Chỉ ra phép dời hình f : M  M '
Bước 2: Xác định quỹ tích điểm M’, giả sử là F’
Bước 3: Quỹ tích của M là ảnh của F’ qua f.
Cách 2: Bước 1: Bằng thực nghiệm dự đoán về quỹ tích M cần tìm (dựng 1 số điểm đặc
biệt khi M di chuyển), giả sử là F
Bước 2: Xác định điểm F’ sao cho f : F'  F
Bước 3: Với M bất kỳ thuộc F, chứng minh thỏa mãn bài tập nếu f(M) thuộc F’
thì quỹ tích là F  f (F') .
Bài toán: Cho ∆ABC đều. Tìm tập hợp điểm M trong tam giác sao cho:

MA2  MB2  MC 2 .
Phân tích: Giả thiết ∆ABC đều nên ta có: AB  AC  BC ,
A  B  C  600

⟹ Nghĩ tới phép quay 600 hoặc -600 .
Điểm M thỏa mãn biểu thức: MA2  MB2  MC 2 liên quan tới độ lớn, mà phép
quay bảo toàn khoảng cách.

⟹ Ta nghĩ tới việc tìm ảnh của các điểm cố định trong biểu thức rồi thay vào biểu thức
và tìm ra quỹ tích.
Lời giải:
Giữ nguyên vế phải của biểu thức, ta biểu diễn vế phải của phép quay sao cho vế trái co
liên quan tới vế phải.
Ta thấy Q 60 (B)  C, Q 60 (A)  C
0

A

0

B

Ta sẽ chọn phép quay sao cho có thể biểu diễn MA2, MB2 qua C, M’ – là ảnh của M.
0

Chọn Q 60
A

: B  C, M  M '

⇒ MB  M ' C, MA  M ' A (AM, AM')  600
⇒ ∆AMM’ đều
⇒ MM’ = MA

12


Phép quay và các ứng dụng của phép quay trong hình học phẳng

⇒ MA2  MB2  MC 2
⇒ M ' C 2  MM '2  MC 2
⇒ ∆MM’C vuông tại M’ (định lý Pitago)
⇒ CM ' M  900
⇒ AM ' C  CM ' M  AM ' M  900  600  1500
Như vậy: Q 60 : A  A; M  M '; B  C ⇒ AMB  AM ' C ⇒ AMB  1500
0

A

⇒ M thuộc cung nhỏ chứa góc 1500 dựng trên dây AB.
Đảo lại: Nếu M thuộc cung trên thì MA2  MB2  MC 2

Bài tập tự giải:
Bài 1: Cho đường thẳng d và điểm O cố định không thuộc d, M là điểm di động trên d.
Tìm tập hợp các điểm N sao cho ΔOMN đều.
Bài 2: Cho nửa đường tròn đường kính AB, gọi C là điểm chạy trên nửa đường tròn, trên
AC lấy điểm D sao cho AD = CB. Tìm quỹ tích điểm D khi C thay đổi.

II.5 Sử dụng phép quay để làm các bài toán tìm cực trị, định lượng.

Bài toán: Cho tam giác nhọn ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA + MB + MC
nhỏ nhất.
Phân tích:
Giả sử M là điểm nằm trong tam giác thỏa mãn MA  MB  MC nhỏ nhất. Ta sẽ tìm một
phép dời hình thích hợp và biểu diễn tổng trên qua các phép dời hình ấy với điều kiện
tổng sau khi được biểu diễn có thể đánh giá được vị trí của M.
⟹ ta chọn phép quay Q góc quay 600 và tâm quay là một trong ba đỉnh của tam giác. Giả
sử là đỉnh A, khi đó rõ ràng ∆AMM’ đều
Nên: AM’ = AM = MM’

⟹ tổng qua phép quay sẽ biểu diễn được qua M và ảnh M’ của nó.
Lời giải:

13


Phép quay và các ứng dụng của phép quay trong hình học phẳng
Giả sử M là điểm nằm trong ∆ABC.
Xét Q 60 :

C'

0

A

Giả sử: BM  MM ' M ' C '
⟹ MB  M ' B ', MC  M ' C ', MA  M ' A

M'
B'

Có (AM, AM')  600 ⟹ ∆MAM’ đều ⟹ MA = MM’
⟹ MA  MB  MC  BM  MM ' M ' C '
⟹MA + MB + MC nhỏ nhất
⟺ BM  MM ' M ' C ' nhỏ nhất
⟺ đường gấp khúc BMM’C’ là 1 đoạn thẳng

C


A
M

B

⟺ BMA  AMM '  MM ' A  AM ' C '  1800
⟺ BMA  AM ' C '  1200
Vì phép quay bảo toàn góc nên AMC  1200
⟹ BMA  AMC  MBC  120
⟹M là giao điểm của cung chưa góc 1200 chắn trên các đoạn AB, BC, AC ⟹∆ABC
nhọn ⟹ M nằm trong tam giác
0

Đảo lại: với điểm M xác định như trên ta chứng minh được MA  MB  MC nhỏ
nhất.

Bài toán: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) có BAC  800 . Bên trong tam giac ta lấy
0
điểm M sao cho MBC  300 , MCB  10 . Tính MAC

Giải:
A

M

C

B

E


14


Phép quay và các ứng dụng của phép quay trong hình học phẳng
E và CAE  60

0

Thực hiện phép quay Q A,60 : C


0

0
Tia AE nằm trong góc BAC . Tam giác ACE là tam giác đều , do đó ACE  60 .

Vì ACB  500
Suy ra BCE  100 . Ta thấy rằng 3 điểm B, E, C cùng nằm trên đường trong tâm A
nên EBC  300 . BMC  BEC (c.g.c) nên CE = CM = CA. Các điểm E, M, A
0
cùng nằm trên đường tròn tâm C nên 2MAE  MCE  200 . Vậy MAE  10
suy ra MAC  700

Bài tập tự giải:
Khoảng cách từ điểm P cố định tới 2 điểm A, B của một tam giác đều là 2 và 3. Xác định
khoảng cách lớn nhất từ P tới C.

II.6 Bài tập về tích phép quay.


Bài toán: Cho tam giác ABC. Dựng các tam giác đều BCA1, CAB1, ABC1 về phía ngoài
của tam giác. Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác vừa dựng là đỉnh của một tam
giác đều.
Giả sử A0, B0, C0 lần lượt là trọng tâm của tam giác BCA1, CAB1, ABC1. Ta có:
120
120
120
120
Q : B  A , Q : A  C , Q Q
Q :BC
0

0

B0

C0

0

B0

C0

Theo định lý về tích 2 phép quay không cùng tâm ở phần lý thuyết thì góc của tích 2 phép
quay Q bằng 2400 hoặc bằng -1200. Tâm của phép quay được xác định như sau:

Q

600

C0

: C0 B0  C0 x

Q

600
B0

: B0 C0  B0 y

M  B0 y  C0 x . Vậy phép quay
Q

1200
M

:B C

B1

.

A

Mặt khác: Q 120
A

0


:B C

B0

C1

0

C0

Từ đó suy ra 2 phép quay
trùng nhau, tức M≡A0.

Q

1200
A0

1200

và Q
M

B

C

A0

15

A1


Phép quay và các ứng dụng của phép quay trong hình học phẳng
Tam giác A0B0C0 có các góc tại đỉnh B0, C0 bằng 600 nên tam giác này đều.

Bài tập tự giải:
Bài 1: Trên các cạnh của một hình bình hành, về phía ngoài dựng các hình vuông. Chứng
minh rằng các tâm của các hình vuông vừa dựng tạo thành một hình vuông.
Bài 2: Trên các cạnh của ∆ABC dựng các tam giác đều A’BC, B’AC về phía ngoài và
C’AB về phía trong. Gọi M là tâm của ∆C’AB. Chứng minh rằng A’B’M là một tam giac
cân với góc AMB’ =1200.

16


Phép quay và các ứng dụng của phép quay trong hình học phẳng
KẾT LUẬN
Đề tài đã được tiến hành nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Trần Nam Dũng và
đã trình bày được cơ sở lý thuyết của phép quay trong mặt phẳng. Phương pháp giải toán,
và các ứng dụng được thể hiện qua các ví dụ, bài tập minh họa và các bài tập đề nghị.
Việc ứng dụng phép biến hình vào việc giải toán ở trường phổ thông cơ sở có một ý
nghĩa quan trọng: Nó giúp học sinh rèn luyện kĩ năng, thao tác tư duy, phương pháp suy
luận và khả năng sáng tạo, từ đó liên hệ các phép biến hình trong giải toán hình học với
các phương pháp sử dụng ở cấp trung học cơ sở; việc lựa chọn các công cụ thích hợp cho
mỗi loại bài toán là một việc làm cần thiết, giúp tiết kiệm thời gian và công sức để giải
toán một cách tối ưu nhất. Đồng thời, nó cũng giúp cho các giáo viên tự nâng cao trình độ
chuyên môn của mình.

17



Phép quay và các ứng dụng của phép quay trong hình học phẳng
Tài liệu tham khảo
[1]. Văn Như Cương (chủ biên), 2007, Hình học 11 nâng cao, NXB Giáo dục.
[2]. Đoàn Quỳnh (chủ biên), 2013, Tài liệu chuyên Toán hình học 10, NXB Giáo dục
Việt Nam.
[3]. Nguyễn Đăng Phất, 2006, Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học phổ
thông – Các phép biến hình trong mặt phẳng và ứng dụng giải toán hình học, NXB Giáo
dục.
[4].V.V Praxolov, 2002, Các bài toán về hình học phẳng – Tài liệu tham khảo cho học
sinh giỏi toán thi vô địch toán quốc gia & quốc tế, Tập 1, NXB Đại học quốc gia
TP.HCM, người dịch Hoàng Đức Chính, Nguyễn Đễ.

[5] Internet, Phép quay, />[6] Internet, Các phép biến hình,
/>m

18