THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN

ThS. Nguyễn Hữu Quang
Bộ môn GCVL & DCCN

3/2014

1


Nội dung môn học (dự kiến)
•
•
•
•
•

Giới thiệu
Mô hình toán học của các hệ thống kỹ thuật
Phân tích và thiết kế các hệ thống điều khiển
Ứng dụng phần mềm MATLAB
Phần tùy chọn (thay thế cho bài thi giữa kỳ): Project “Điều khiển tốc độ
động cơ một chiều, sử dụng vi điều khiển”

3/2014

2


Tài liệu tham khảo chính
•

•
•

Lý thuyết điều khiển tuyến tính – Nguyễn Doãn Phước
Matlab & Simulink dành cho kỹ sư điều khiển tự động – Nguyễn Phùng
Quang
Modern control engineering – 4th – Katsuhiko Ogata (pdf file)

3/2014

3


PHẦN MỘT: MÔ HÌNH TOÁN HỌC
•
•
•
•

Mô hình hàm truyền đạt
Mô hình trạng thái
Một số ví dụ xây dựng mô hình của các hệ cơ-điện
Tuyến tính hóa mô hình

3/2014

4


Mô hình hàm truyền đạt

•

Phép biến đổi Laplace:

L ⎡⎣ f ( t ) ⎤⎦ = F ( s ) =
•

∞

∫

f ( t ) e − st dt

0−

Phép biến đổi Laplace ngược:

L−1 ⎡⎣ F ( s ) ⎤⎦ = f ( t ) =

3/2014

1

c + j∞

2π j c −∫j∞

F ( s ) e st ds , t > 0

5



Mô hình hàm truyền đạt
•

Một số tính chất của phép biến đổi Laplace:

3/2014

6


Mô hình hàm truyền đạt
•

Khái niệm: Hàm truyền đạt của hệ tuyến tính tham số hằng là tỉ số giữa ảnh
Laplace của tín hiệu ra và ảnh Laplace của tín hiệu vào, với giả sử các điều
kiện đầu bằng 0.

•

Xét hệ tuyến tính tham số hằng mô tả bằng ptvp:

an y ( ) + an−1 y (
n

n −1)

+ ... + a1 y + a0 y = bmu ( ) + bm−1u (
m


m −1)

+ ... + b1u + b0u

Với giả sử các điều kiện đầu bằng 0 và n ≥ m .
Hàm truyền đạt của hệ là:

Y (s)

bm s m + bm−1s m−1 + ... + b1s + b0
G (s) =
=
U ( s ) an s n + an−1s n−1 + ... + a1s + a0

3/2014

7


Mô hình hàm truyền đạt
•

Ví dụ 1: Tìm hàm truyền đạt của hệ sau

G (s) =

•

X (s)

F (s)

=

1
ms 2 + cs + k

Ví dụ tương tự: Tìm hàm truyền đạt của hệ sau

3/2014

8


Mô hình hàm truyền đạt
•

Ví dụ 2: Tìm hàm truyền đạt của hệ sau
Giả sử:
-Trục quay có độ cứng hữu hạn K;
-Tác động mô-men vào phía trái và đo
chuyển dịch góc ở phía phải;

Mô hình đơn giản hóa:

3/2014

9



Mô hình hàm truyền đạt
•

Ví dụ 3: Tìm hàm truyền đạt động cơ một chiều

Mô-men
cản nhớt

u

L

Tm (t )
Mô-men
động cơ

3/2014

di
= u − Ri − eb
dt

Tm = kt i

Eb

Suy ra:

eb = keω


J

dω
= Tm − k f ω
dt

Tốc độ góc

d 2ω
dω
JL 2 + ( JR + Lk f )
+ ( kt ke + Rk f ) ω = kt u
dt
dt
ω (s)
kt / R
kt
=
G (s) =
≈
u ( s ) ( Ls + R ) ( Js + k f ) + kt ke
Js + k f + kt ke / R

10


Mô hình hàm truyền đạt
• Biểu diễn hàm truyền đạt bằng sơ đồ khối:
Hình 1: Biểu diễn
một khối


Hình 2: Biểu diễn
một hệ kín

3/2014

11


Mô hình hàm truyền đạt
•

Rút gọn sơ đồ khối:

C (s)
R(s)

C (s)
R(s)

C (s)
R(s)

3/2014

= G1 ( s ) G2 ( s )

= G1 ( s ) + G2 ( s )

=


G1 ( s )

1 + G1 ( s ) G2 ( s )

12


Mô hình không gian trạng thái
•

Trạng thái của một hệ thống là tập hợp các biến mà giá trị của biến cùng
với giá trị của tín hiệu vào sẽ cho phép xác định trạng thái tương lai của hệ
thống, và tín hiệu ra của hệ thống.

•

Mô hình trạng thái của hệ thống: Hệ ptvp bậc nhất của các biến trạng thái

⎧ x1 = a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn + b11u1 + b12u2 + ... + +b1mum
⎪ x = a x + a x + ... + a x + b u + b u + ... + +b u
⎪ 2
21 1
22 2
2n n
21 1
22 2
2m m
⎨
⎪...

⎪⎩ xn = an1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn + bn1u1 + bn 2u2 + ... + +bnmum
3/2014

x = Ax + Bu

13


Mô hình không gian trạng thái
• Ví dụ: Mô hình trạng thái của động cơ một chiều

1
R km
⎧ di
=
−
−
+
ω
i
u
⎪⎪ dt
L
L
L
⎨
⎪ dω = km i − k f ω
⎪⎩ dt
J
J

⎛ R
−
⎜
i
⎛
⎞
d
L
=
⎜
dt ⎜⎝ ω ⎟⎠ ⎜ km
⎜
⎝ J

3/2014

km ⎞
L ⎟⎛ i ⎞ ⎛ 1
+
⎟
k f ⎟ ⎜⎝ ω ⎟⎠ ⎜⎝ L
− ⎟
J ⎠

−

1 ⎞⎛ u ⎞
− ⎟⎜ ⎟
J ⎠⎝ 0 ⎠


14


Tuyến tính hóa mô hình phi tuyến
•

Đối tượng bình mức:

3/2014

Qi

Lưu lượng nước chảy vào bình

Qi max

Lưu lượng nước chảy vào bình max

Qo

Lưu lượng nước chảy ra khỏi bình

H
H max

Mức nước trong bình
Mức nước cao nhất trong bình

A
a

V

Tiết diện bình
Tiết diện đường ống dẫn nước
ra khỏi bình
Thể tích nước trong bình

g

Gia tốc trọng trường (9.8 )

p

Vị trí góc mở của van lưu lượng,
thay đổi từ 0 tới 1
15


Tuyến tính hóa mô hình phi tuyến
•

Đối tượng bình mức:
Pt Berloulli:

Qo = a 2 gH

Pt cân bằng
vật chất:

dV

dH
Qi − Qo =
=A
dt
dt

Lưu lượng vào Qi = pQi max = Qi max ∫ u
phụ thuộc góc
mở van

Suy ra:

3/2014

⎧ dH
⎪⎪ A dt = Qi − a 2 gH
⎨
⎪ dQi = Q u
i max
⎪⎩ dt

Phi tuyến

16


Tuyến tính hóa mô hình phi tuyến
• Đối tượng bình mức:

Đặt H = H 0 + h

dH
= Qi − a 2 gH
dt
d ( H0 + h)
⇔A
= Qi − a 2 g ( H 0 + h )
dt
dh
h
⇔ A = Qi − a 2 gH 0 1 +
dt
H0
A

Ta có công thức xấp xỉ:
Suy ra: A

⎛
dh
h ⎞
= Qi − a 2 gH 0 ⎜ 1 +
⎟
dt
H
2
0 ⎠
⎝

⎛
g

= −⎜ a
⎝ 2H 0
3/2014Đặt

⎞
⎟ h + Qi − a 2 gH 0
⎠

(

Qi − a 2 gH 0 = q

)

1+

h
h
≈ 1+
H0
2H 0

⎧ dh
⎛a
g ⎞
q
⎪ = −⎜
⎟h +
⎪ dt
A

H
A
2
0 ⎠
⎝
⎨
⎪ dq
⎪⎩ dt = Qi max u
Tuyến tính !!!

17


Tuyến tính hóa mô hình phi tuyến
• Đối tượng bình mức:
Mô hình hàm truyền:
G (s) =

h(s)

u (s)

=

Qi max
a

2H 0
1
g ⎛ ⎛ A 2H 0

s ⎜1 + ⎜
⎜
g
⎝ ⎝a

⎞ ⎞
⎟ s ⎟⎟
⎠ ⎠

Hệ thống cụ thể:

G (s) =

3/2014

4.5175
s (1 + 9.0351s )

Tham số

Giá trị

A

1

a

0.05


Qi max
H max
H0

0.5
2
1
18


PHẦN HAI: PHÂN TÍCH HỆ THỐNG
• Điểm cực, điểm không và đáp ứng của hệ thống trên miền thời gian
• Phân tích tính chất ổn định tuyệt đối
• Phân tích sai lệch tĩnh

3/2014

19


Điểm cực, điểm không và đáp ứng của hệ thống
trên miền thời gian
• Điểm cực là các giá trị của biến phức s làm cho hàm truyền đạt có giá trị
bằng vô cùng.
• Nghiệm của đa thức mẫu số của mô hình hàm truyền đạt là các điểm cực.
• Trị riêng của ma trận hệ thống của mô hình biến trạng thái là các điểm cực.
• Điểm không là các giá trị của biến phức s làm cho hàm truyền đạt có giá trị
bằng không.
• Nghiệm của đa thức tử số của mô hình hàm truyền đạt là các điểm không.


3/2014

20


Điểm cực, điểm không và đáp ứng của hệ thống
trên miền thời gian
• Đáp ứng của hệ thống trên miền thời gian có thể tìm được bằng cách biến
đổi Laplace ngược từ ảnh Laplace của tín hiệu ra.
• Đáp ứng của hệ thống trên miền thời gian gồm đáp ứng tự nhiên và đáp
ứng cưỡng bức.

3/2014

21


Điểm cực, điểm không và đáp ứng của hệ thống
trên miền thời gian
• Khảo sát hệ bậc nhất G ( s ) =
Đáp ứng với tín hiệu bước nhảy:
.
− t /T
c (t ) = 1 − e ( )

c(t)

1
Ts + 1


T được gọi là hằng số thời
gian.
Khoảng thời gian đáp ứng tăng
từ 10% tới 90% giá trị xác lập
gọi là thời gian tăng, Tr.
Tr = 2.2T
Khoảng thời gian để đáp ứng
tiến tới và ở lại trong miền sai
lệch 2% của giá trị xác lập gọi
là thời gian xác lập, Ts.
Ts = 4T

3/2014

22


Điểm cực, điểm không và đáp ứng của hệ thống
trên miền thời gian
•

ωn2
Khảo sát hệ bậc hai: G ( s ) = 2
s + 2ζωn s + ωn2
– Trường hợp ζ > 1: Hệ có 2 điểm cực thực phân biệt

s1,2 = −ζωn ± ωn ζ 2 − 1
Đáp ứng với tín hiệu bước nhảy: c ( t ) = 1 −

⎛ 1 s1t 1 s2t ⎞

⎜ e − e ⎟ .
2
s2
2 ζ − 1 ⎝ s1
⎠

ωn

– Trường hợp ζ = 1: Hệ có 2 điểm cực thực trùng nhau

s1 = s2 = −ωn

Đáp ứng với tín hiệu bước nhảy: c ( t ) = 1 − (1 + ωnt ) e.−ωnt

– Trường hợp 0 < ζ < 1 : Hệ có 2 điểm cực phức liên hợp
s1,2 = −ζωn ± jωn 1 − ζ 2
Đáp ứng với tín hiệu bước nhảy: c ( t ) = 1 −

3/2014

Trong đó: ωd = ωn 1 − ζ

2

, θ = tan

−1

1− ζ 2


ζ

1
1− ζ 2

.

e −ζωnt sin (ωd t + θ ) .

23


Điểm cực, điểm không và đáp ứng của hệ thống
trên miền thời gian
•

ωn2
Khảo sát hệ bậc hai: G ( s ) = 2
s + 2ζωn s + ωn2
– Ứng dụng Matlab: Vẽ đáp ứng quá độ của hệ bậc hai

wn=1;
for zeta=[0,0.1,0.4,0.7,1.0,1.4,2.0]
sys=tf(wn*wn,[1,2*zeta*wn,wn*wn]);
step(sys,20)
hold on
end

Step Response


ζ =0

2
1.8

ζ =0.1

1.6
1.4

ζ =0.4

Amplitude

1.2

ζ =0.7

1

ζ =1
0.8

ζ =1.4

0.6

ζ =2

0.4

0.2
0

3/2014

0

2

4

6

8

10
Time (sec)

12

14

16

18

24

20



Điểm cực, điểm không và đáp ứng của hệ thống
trên miền thời gian
•

Khi 0<ξ<1 ta có hệ dao động bậc hai. Hai điểm cực của hệ dao động bậc
hai là hai số phức liên hợp.
Pole-Zero Map
1

0.84

0.74

0.6

0.42

0.22

0.8
0.91
0.6

Imaginary Axis

0.4

0.96


0.2 0.99
0

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

Vị trí các điểm cực
khi 0<ξ<1

0.2

-0.2 0.99
-0.4

0.96

-0.6
0.91
-0.8
-1


0.84
-1.5

3/2014

0.74
-1

0.6

0.42

0.22

-0.5

0
Real Axis

0.5

1

25