BÀI TOÁN THỂ TÍCH - TỈ SỐ THỂ TÍCH
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN.
1
1. Thể tích khối chóp: V  B.h .
3
B : Diện tích mặt đáy.
h : Chiều cao của khối chóp.

2. Thể tích khối lăng trụ: V  B.h .
B : Diện tích mặt đáy.
h : Chiều cao của khối chóp.
Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cũng là cạnh
bên.
3. Thể tích hình hộp chứ nhật: V  a.b.c
 Thể tích hình lập phương: V  a3 .

4. Tỉ số thể tích:

VS . ABC  SA SB SC 
.

.
.
VS . ABC
SA SB SC





h
B  B  BB .
3
Với B , B , h là diện tích hai đáy và chiều cao.

5. Hình chóp cụt: V 

Câu 1:

[2H1-1] Có bao nhiêu khối đa diện đều?
A. 4 .
B. 5 .

C. 3 .
Lời giải.

D. 2 .

Chọn B.
Có 5 khối đa diện đều là: tứ diện đều, hình lập phương, khối 8 mặt đều, khối 12 mặt đều, khối
20 mặt đều.
L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn
chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


Câu 2:

[2H1-1] Cho khối đa diện đều  p; q , chỉ số p là gì?
B.Số mặt của đa diện.
D.Số đỉnh của đa diện.

Lời giải.

A.Số cạnh của mỗi mặt.
C.Số cạnh của đa diện.

Câu 3:

Chọn A.
[2H1-1] Cho khối đa diện đều  p; q , chỉ số q là gì?
A. Số đỉnh của đa diện.
C.Số cạnh của đa diện.

Câu 4:

B. Số mặt của đa diện.
D.Số các mặt ở mỗi đỉnh.
Lời giải.

Chọn D.
[2H1-2] Thể tích khối tứ diện đều cạnh a bằng?
A.

2 3
a .
12

B.

2 3
a .

4

C. a 3 .

D.

a3
.
6

Lời giải.
Chọn A.
Gọi tứ diện đều cạnh a là ABCD .
M là trung điểm CD , H là tâm tam giác BCD .

Ta có: BM 

3
3
a  BH 
a.
2
3

AH  AB 2  BH 2 
S BCD 

6a
.
3


3 3
a .
4

1
2 3
AH .S BCD 
a .
3
12
[2H1-3] Cho S. ABCD là hình chóp đều. Tính thể tích khối chóp S. ABCD biết AB  a ,
VABCD 

Câu 5:

SA  a .

2 3
a .
2
Lời giải.

A. a 3 .

B.

C.

2 3

a .
6

D.

a3
.
3

Chọn C.
Gọi H là hình chiếu của S lên  ABCD  .
Ta có AH 

a 2
.
2

SH  SA2  AH 2 

a 2
; S ABCD  a 2 .
2

1
2a 3
VSABCD  SH .S ABCD 
.
3
6
L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn

chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


Câu 6:

[2H1-3] Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thôi. Mặt bên  SAB  là tam giác
vuông cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng  ABCD  . Tính thể tích khối
chóp S. ABCD biết BD  a , AC  a 3 .
3 3
B.
a .
4

3

A. a .

3 3
C.
a .
12
Lời giải.

a3
D.
.
3

Chọn C.
Gọi O là giao điểm của AC và BD ; ABCD là hình

thoi  AC  BD .
ABO vuông tại O , có AB  AO2  OB2  a .

1
3 2
AC.BD 
a .
2
2
Gọi H là trung điểm AB . SAB vuông cân tại S
a
cạnh AB  a  SH  .
2
Ta có SAB cân  SH  AB  SH   ABCD  (vì
S ABCD 

 SAB    ABCD  ).

Câu 7:

1
3 3
VS . ABCD  SH .S ABCD 
a .
3
12
[2H1-3] Cho lăng trụ ABCD. ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AA  AB  AD . Tính

thể tích khối lăng trụ ABCD. ABCD biết AB  a , AD  a 3 , AA  2a .
B. a 3 .


A. 3a 3 .

C. 3a3 .
Lời giải.

D. 3 3a3 .

Chọn A.
Gọi O là giao điểm của AC và BD .
ABCD là hình chữ nhật  OA  OB  OD .

Mà AA  AB  AD nên AO   ABD  .

ABD vuông tại A có: BD  AB 2  AD2  2a .
 OA  OB  OD  a .
AAO vuông tại O có: AO  AA2  AO2  a 3 .

S ABCD  AB. AD  3a 2 .
VABCD. ABCD  AO.S ABCD  3a3 .
Câu 8:

[2H1-3] Cho lăng trụ ABC. ABC có ABC là tam giác vuông tại A . Hình chiếu của A lên

 ABC 

là trung điểm BC . Tính thể tích lăng trụ ABC. ABC biết AB  a , AC  a 3 ,

AA  2a .
L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn

chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


A.

a3
.
2

B.

3a 3
.
2

C.

3a3 .

D. 3 3a3 .

Lời giải.
Chọn B.
Gọi H là trung điểm của BC  AH   ABC  .
ABC vuông tại A có BC  AB 2  AC 2  2a .

 AH 

1
BC  a .

2

AAH vuông tại H có AH  AA2  AH 2  a 3 .

Câu 9:

1
a2 3
.
S ABC  AB. AC 
2
2
3
VABC . ABC   AH .S ABC  a3 .
2
[2H1-3] Cho ABCD. ABCD có ABCD là hình thoi. Hình chiếu của A lên  ABCD  là
trọng tâm tam giác ABD . Tính thể tích khối lăng trụ ABCD. ABCD biết AB  a ,
·
ABC  120o , AA  a .
A.

2a3 .

B.

2 3
a .
6
Lời giải.


C.

2 3
a .
3

D.

2 3
a .
2

Chọn D.
Gọi H là trọng tâm tam giác ABD .

 AH   ABCD  .

·  180o  ·
Ta có BAD
ABC  60o .
·  60o nên là tam giác đều.
Tam giác ABD cân có góc BAD
ABD đều cạnh a nên AH 

a 3
.
3

AAH vuông tại H  AH  AA2  AH 2 


6
a.
3

3 2
2 3
3 2
a 
a ; VABCD. ABCD  AH .S ABCD 
a .
4
2
2
Câu 10: [2H1-3] Cho lăng trụ ABC. ABC có ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của
A lên  ABC  trùng với trung điểm AB . Mặt phẳng  AAC C  tạo với đáy một góc bằng 45o .
S ABCD  2S ABD  2.

Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC. ABC .
3
3
3 3
A.
B. a 3 .
C. a 3 .
a .
8
4
16
Lời giải.


D.

3 3
a .
2

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn
chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


Chọn A.
Gọi M , N , I lần lượt là trung điểm của AB , AC , AM .
3 2
a .
4
Ta có IH là đường trung bình của tam giác AMB , MB là
trung tuyến tam giác đều ABC .
 IH //MB
Do đó 
 IH  AC .
 MB  AC
VABC. ABC  AH .S ABC ; S ABC 

 AC  AH
 AC   AHI   AC  AI .

 AC  IH

 AC  IH   ABC 


ABC  ,  ACC A   ·
AIH  45o .
Mà  AC  AI   ACC A   ·

 ABC    ACC A   AC





Trong tam giác AIH vuông tại H , có: AH  IH .tan 45o 

1
1 3
3
MB.tan 45o  .
a.1 
a.
2
2 2
4

3 3
a .
16
Câu 11: [2H1-4] Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có SA   ABCD  . ABCD là hình thang vuông tại A

Vậy V 

và B biết AB  2a , AD  3BC  3a . Tính thể tích khối chóp S. ABCD theo a biết góc giữa


 SCD 

và  ABCD  bằng 60o .
B. 6 6a3 .

A. 2 6a3 .

C. 2 3a3 .
Lời giải.

D. 6 3a3 .

Chọn A.
Dựng AM  CD tại M .
·  60o .
Ta có SMA
S ABCD 

1
AB.  AD  BC   4a 2 .
2

CD 

 AD  BC 

2

 AB 2  2 2a .


S ABC  a 2 ; S ACD  S ABCD  S ABC  3a 2 .
1
3 6
. Vậy VS . ABCD  SA.SABCD  2 6a 3 .
2
3
Câu 12: [2H1-3] Cho lăng trụ tam giác ABC. ABC có BB  a , góc giữa BB và  ABC  bằng 60o ,

Ta có: SA  AM tan 60o 

·
 60o . Hình chiếu vuông góc của B lên  ABC 
tam giác ABC vuông tại C và góc BAC

trùng trọng tâm tam giác ABC . Tính thể tích khối tứ diện A. ABC .
13 3
7 3
15 3
a .
a .
a .
A.
B.
C.
108
106
108

D.


9 3
a .
208

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn
chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


Lời giải.
Chọn D.
Gọi M là trung điểm AC , G là trọng tâm tam giác ABC .
·BG  60o .
Ta có BG   ABC    BB,  ABC    B
BBG vuông tại G ,có:

BG  BB.sin 60o 
 BM 

a
3
a ; BG  BB.cos 60o  .
2
2

3
3
BG  a .
2
4


Đặt AB  2 x  x  0   AC  x ; BC  3x .
BCM vuông tại C có: BC 2  CM 2  BM 2  3x 2 

S ABC 

x2 9 2
9
 a  x2  a2 .
4 16
52

1
1
3 2 9 3 2
BC. AC  . 3x.x 
x 
a .
2
2
2
104

1
1 3 9 3 2
9 3
VA. ABC  .BG.S ABC  .
a.
a 
a .

3
3 2 104
208
Câu 13: [2H1-3] Cho hình chóp tam giác S. ABC có M là trung điểm SB , N là điểm trên SC sao cho
V
NS  2 NC . Kí hiệu V1 , V2 lần lượt là thể tích khối chóp A.BMNC và S. AMN . Tính tỉ số 1 .
V2

A.

V1 2
 .
V2 3

B.

V1 1
 .
V2 2

C.

V1
 2.
V2

D.

V1
 3.

V2

Lời giải.
Chọn C.
VS . AMN SM SN 1 2 1

.
 .  .
VS . ABC
SB SC 2 3 3
VS . AMN  VA.BCNM  VS . ABC 

VA.BCNM
2.
VS . AMN

Câu 14: [2H1-3] Cho hình chóp tam giác S. ABC có M là trung điểm SB , N là điểm trên SC sao cho
NS  2 NC , là điểm trên SA sao cho PA  2PS . Kí hiệu V1 , V2 lần lượt là thể tích khối chóp
BMNP và S. ABC . Tính tỉ số

A.

V1 1
 .
V2 9

B.

V1
.

V2

V1 3
 .
V2 4

C.

V1 2
 .
V2 3

D.

V1 1
 .
V2 3

Lời giải.
Chọn A.

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn
chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


1
d N , SAB   .S BMP
VN .BMP 3  
;


1
VC .SAB
d  C ,  SAB   .S SAB
3
d  N ,  SAB  
d  C ,  SAB  



V
1
1 1
2 1 1
NS 2
 ; SSBM  S BPS  . .S SAB  N .BMP  .  .
2
2 3
VC .SAB 3 6 9
CS 3

Câu 15: [2H1-4] Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD cạnh đáy bằng 2a , góc giữa hai hai mặt phẳng

 SAB  và  ABCD 

bằng 45o ; M , N , P lần lượt là trung điểm SA , SB và AB . Tính thể

tích V khối tứ diện D.MNP .
A.

a3

.
6

B.

a3
.
4

a3
.
12
Lời giải.
C.

D.

a3
.
2

Chọn A.
S
SM SN 1
Ta có SMN 
.
 .
SSAB
SA SB 4
Tương tự

Suy ra

S BNP 1 S AMP 1
 ;
 .
S SAB 4 S SAB 4

S MNP 1
S
1
 ( có thể khẳng định MNP  là do hai tam
S SAB 4
S SAB 4

giác MNP và BAS đồng dạng với tỉ số k 
Do đó

1
).
2

VD.MNP 1
 1 .
VD.SAB 4

1
VD.SAB  VS . ADB  VS . ABCD  2  .
2
1
1

4
VS . ABCD  SO.S ABCD  OP.tan 45o.S ABCD  a3  3 .
3
3
3
1 1 4
a3
Từ 1 ,  2  và  3  VD.MNP  . . a3  .
4 2 3
6
Câu 16: [2H1-3] Cho lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AC  2a ; cạnh
bên AA  2a . Hình chiếu vuông góc của A lên  ABC  là trung điểm cạnh AC . Tính thể
tích V của khối lăng trụ ABC. ABC .
A. V 

a3
.
2

B. V 

a3
.
3

C. a 3 .

D.

2a 3

.
3

Lời giải.
Chọn C.

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn
chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


Vì tam giác ABC vuông cân tại B nên trung tuyến BH cũng là đường cao của nó và
1
HA  HB  HC  AC  a .
2

AH  AA2  AH 2  2a 2  a 2  a .
1
VABC . ABC  AH .S ABC  AH . BH . AC  a3 .
2
Câu 17: [2H1-4] Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB , AC và AD đôi một vuông góc với nhau. Gọi
G1 , G2 , G3 và G4 lần lượt là trọng tâm tam giác ABC , ABD , ACD và BCD . Biết AB  6a ,
AC  9a , AD  12a . Tính theo a thể tích khối tứ diện G1G2G3G4 .

A. V 

a3
.
2

B. V 


a3
.
3

C. a 3 .

D.

2a 3
.
3

Lời giải.
Chọn A.
Trong trường hợp tổng quát ta chứng minh được
1
VG1G2G3G4  VABCD .
27
Thật vậy ta có  G2G3G4  //  CBA và VG2G3G4 đồng dạng

SG G G
1
1
VCBA (tỉ số đồng dạng k  ). Từ đó 2 3 4  k 2  và
SCBA
9
3
1
d  G1 ,  G2G3G4    d  G4 ,  ABC    d  D,  ABC   .

3

Suy ra

VG1G2G3G4
VABCD



d  G1 ,  G2G3G4   SG2G3G4 1 1 1
.
.
 . 
SCBA
3 9 27
d  D,  ABC  

1
1 1
VABCD  . . AB. AC. AD  4a3 .
27
27 6
Câu 18: [2H1-4] Cho tứ diện S. ABC , M và N là các điểm thuộc SA và SB sao cho MA  2SM ,

Vậy VG1G2G3G4 

SN  2 NB ,   là mặt phẳng qua MN và song song với SC . Kí hiệu  H1  và  H 2  là các

khối đa diện có được khi chia khối tứ diện S. ABC bởi mặt phẳng   , trong đó  H1  chứa
điểm S ,  H 2  chứa điểm A ; V1 và V2 lần lượt là thể tích của  H1  và  H 2  . Tính tỉ số

A.

4
.
5

B.

5
.
4

3
.
4
Lời giải.
C.

D.

V1
.
V2

4
.
3

Chọn A.
Kí hiệu V là thể tích khối tứ diện S. ABC .

Gọi P , Q lần lượt là giao điểm của   với các đường
thẳng BC , AC .
L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn
chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


Ta có NP //MQ//SC . Khi chia khối  H1  bởi  QNC  , ta được hai khối chóp N .SMQC và
N .QPC .

Ta có

VN .SMQC
VB. ASC

d  N ,  SAC  
d  B,  SAC  

S AMQ
S ASC
Suy ra
VN .QPC
VS . ABC



d  N ,  SAC   SSMQC
.
.
d  B,  SAC   SSAC




NS 2
 .
BS 3

2

S SMQC 5
 AM  4

 .
  
S ASC
9
 AS  9
VN .SMQC
VB. ASC


2 5 10
.
 . 
3 9 27

d  N ,  QPC   SQPC NB CQ CP 1 1 2 2
.
.

.

.
 . . 
d  S ,  ABC   S ABC SB CA CB 3 3 3 27

V1 VN .SMQC VN .QPC 10 2 4
V1
V 4
4




 
  1 .
V
VB. ASC VS . ABC 27 27 9 V1  V2 9 V2 5

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn
chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)