CHƯƠNG III: MỘT SỐ NỘI DUNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TẬP TRẮC
NGHIỆM CHƯƠNG I – GIẢI TÍCH 12

1. Phương pháp nhận dạng hàm số qua một đồ thị và ngược lại nhận dạng đồ
thị qua một hàm số.
Học sinh cần nằm rõ các dạng đồ thị của các hàm y = ax 3 + bx 2 + cx + d , (a ≠ 0) ;
y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0); y =

ax + b
(ad − bc ≠ 0) . Chẳng hạn:
cx + d

+ )Đồ thị hàm số: y = ax3 + bx 2 + cx + d , (a ≠ 0) hoặc y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) thì
chúng ta để ý hình dạng tổng quát của đồ thị, hệ số a, giao điểm với trục 0y và
nghiệm y’ = 0.
Cụ thể:
a) Các dạng đồ thị hàm bậc 3 : y = ax 3 + bx 2 + cx + d , (a ≠ 0)

y ' = 0
a > 0 có 2 nghiệm phân biệt


y ' = 0
a < 0 có 2 nghiệm phân biệt


;

y ' ≥ 0 ∀x

a > 0

;

y ' ≤ 0 ∀x

a < 0

Chú ý: Đồ thị hàm bậc 3 luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng
Trang 1


Ví dụ 1: Đường cong nào dưới đây là đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + 2.

B.

A.

.

C.
D.
Phân tích bài toán: Trước hết ta kiểm tra hệ số a > 0,tức là từ bên trái sang bên
phải đồ thị đi lên, lúc này phương án A và D (loại). Tiếp đến xét đồ thị giao với
trục tung tai giá trị y = 2, lúc này phương án C (loại). Vậy đáp án là B.
Ví dụ 2(Câu 1 đề minh họa của Bộ GD-ĐT): Đường cong trong hình bên là đồ
thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D
dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào ?

A. y=-x2 + x − 1


B. y=-x3 + 3x + 1

C. y=x4 − x2 + 1

D. y=x3 − 3x + 1

Phân tích bài toán: Quan sát đồ thị, ta nhận thấy đây là đồ thị hàm số bậc 3, có hệ số
a >0. Như vậy các phương án A, B, C đều loại. Đáp án đúng là D.
b) Các dạng đồ thị hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c ( a ≠ 0):

Trang 2


y ' = 0
a > 0 có 3 nghiệm phân biệt


y ' = 0
a < 0 có 3 nghiệm phân biệt


y ' = 0
a > 0 có 1 nghiệm đơn


y ' = 0
a < 0 có 1 nghiệm đơn


Ví dụ 3: Đồ thị trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số:


A. y = x4 − 3x2 − 3 B. y = − 1 x4 + 3x2 − 3 C. y = x4 − 2x2 − 3 D. y = x4 + 2x2 − 3
4
Phân tích bài toán: Quan sát đồ thị, ta nhận thấy đây là đồ thị hàm số bậc 4 trùng
phương, có hệ số a >0, tức là phương án B (loại), Tiếp đến đồ thị hàm số có 3 cực
trị nên phương án D (loại), vì đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và x= + 1 nên
phương án A (loại). Vậy đáp án là C.
Ví dụ 4: Đồ thị nào sau đây là đồ thị của hàm số y = −x4 + 4x2 (C).

A.

B.

C.

D.
Trang 3


Phân tích bài toán: Quan sát đồ thị, ta nhận thấy là đồ thị đi qua gốc tọa độ, nên
phương án C (loại), hệ số a < 0 nên đồ thị bắt đầu từ trái sang phải đồ thị đi lên. Do
đó phương án B và D (loại). Vậy đáp án là A.
3) Dạng đồ thị hàm số: y =

ax + b
(ad − bc ≠ 0)
cx + d

y’< 0 ∀x ∈ D
Đồ thị hàm số: y =


y’> 0 ∀x ∈ D
ax + b
( ad − bc ≠ 0) thì chúng ta để ý tiệm cận đứng, tiệm
cx + d

cận ngang, dấy y’ và giao điểm với trục 0x và 0y.
Ví dụ 5: Đồ thị nào sau đây là đồ thị của hàm số y =
y

y
2
1 I
0 1 2

A.

I
x

-2

-1

y

2

y
0


1 I

1

0

x+1
?
x −1

x

B.

-1 0 1
-1

x

C.

-1
-2

3

2
I


D.

Phân tích bài toán: Dựa vào hàm số, ta nhận thấy rằng đồ thị có tiệm cận đứng x =
1 và tiệm cận ngang y = 1 nên phương án D (loại), tiếp đến đồ thị giao với 0y tại
điềm (0;-1) và 0x tại điểm (-1;0). Do đó phương án A và B (loại). Vậy đáp án là C.
Ví dụ 6: Đồ thị sau đây là của hàm số nào trong các hàm số sau

Trang 4

x


y
3
2
1
x
-3

-2

-1

1

2

3

-1

-2
-3

A. y =

−x + 2
x −1

B. y = x3 − 3x + 2

C. y =

x−2
x−1

1
D. y = − x4 + 3x2 − 1
4

Phân tích bài toán: Quan sát đồ thị, ta nhận thấy dạng đồ thị trên là hàm số phân
thức nên phương án B và D (loại). Mặt khác đồ thị giao với trục 0y tại điểm (0;-2)
và 0x tại điểm (2;0). Do đó, phương án C (loại). Vậy đáp án là A.
Ví dụ 7: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
A. a < 0,b > 0,c > 0,d < 0.
B. a < 0,b < 0,c > 0,d < 0 .
C. a > 0,b < 0,c < 0,d > 0.
D. a < 0,b > 0,c < 0,d < 0 .
Phân tích bài toán: Quan sát đồ thị, ta nhận thấy dạng đồ thị cắt trục 0y tại điểm có d
<0 nên phương án C (loại), có hai hoành độ cực trị trái dấu (ac

. < 0) nên phương án D
. < 0) nên phương án B (loại). Vậy đáp án là A.
(loại), có hoành độ điểm uốn dương (ab

2. Phương pháp giải bài toán xét tính đơn điệu của hàm số.
Loại 1: Đối với hàm số không chứa tham số thì khi xác định khoảng đồng biến hay
nghịch biến ta tìm tập xác định, tính y’ và xét dấu y’.
Ví dụ 8 : Cho hàm số y = x3 − 2x2 + x + 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
1 
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;1÷.
3 

Trang 5



1
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  −∞; ÷.
3

1 
C. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;1÷.
3 

(

)

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;+∞ .
Ví dụ 9 ( Câu 3 đề minh họa của Bộ GD-ĐT): Hàm số y = 2x4 + 1 đồng biến

trên khoảng nào ?

1
A.  −∞ ; − ÷
2


(

B. 0;+ ∞

)

 1

C.  − ; + ∞ ÷
 2


(

)

D. −∞ ;0

Phân tích bài toán: Đối với ví dụ 8 và ví dụ 9, khi giải chúng ta lập bảng biến thiên
sau đó dựa vào bảng biến thiên kết luận. Do đó, đáp án ví dụ 8 là A, đáp án ví dụ 9
là B.
Loại 2: Đối với hàm số chứa tham số.
Sau khi học sinh đã được củng cố lại bài toán giải bất phương trình bậc 2 một ẩn.

+ Hàm sồ y = ax3 + bx2 + cx + d ( a ≠ 0) có: y ' = 3ax2 + 2bx2 + c là một tam thức
bậc hai.
a > 0
y
'
≥
0
,
∀¡
Để hàm đồng biến trên ¡ thì
, tức là: 
∆y ' ≤ 0
a < 0
y
'
≤
0
,
∀¡
Hoặc để hàm nghịch biến trên ¡ thì
, tức là: 
∆y ' ≤ 0
Ví dụ 10: Hàm số y =

1 3
x + (m − 1)x2 − (m − 1)x + 1 đồng biến trên tập xác định
3

của nó khi :
A. m ≤ 0 ∨ m ≥ 1


B. 0 < m < 1

C. m < 0 ∨ m > 1

D. 0 ≤ m ≤ 1

Ví dụ 11: Hàm số y = −x3 + 3x2 + 3mx − 1 nghịch biến trên ¡ là:
A. m < −1

B. m ≥ −1

C. m ≤ −1
Trang 6

D. m > −1


Phân tích bài toán: Ở ví dụ 10 ta có hệ số a > 0 và ví dụ 11 ta có hệ số a < 0, ta tính
đạo hàm cấp 1 sau đó giải điều kiện đã nêu trên. Khi đó, có đáp án , Với ví dụ 10 có
đáp án là: D. Với ví dụ 11 có đáp án: C
+ Hàm sồ y =

ax + b
có: ad − bc > 0 thì hàm số đồng biến trên các khoảng xác
cx + d

định của nó và có: ad − bc < 0 thì hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định
của nó.
Ví dụ 12: Hàm số y =

A. m < 2

mx + 2
đồng biến trên từng khoảng xác định của nó khi:
2x + m

B. m > -2

C. -2 < m < 2

D. m < -2 hoặc m > 2

Phân tích bài toán: Với ví dụ 12,ta chỉ cần giải điều kiện
m < −2
ad − bc > 0 ⇔ m2 − 4 > 0 ⇔ 
. Do đó đáp án là: D.
m > 2
Ví dụ 13: Hàm số y =
A. (−2;2)

4 + mx
x+m

nghịch biến trên khoảng (1; +∞) khi m thuộc:

B. [ −1;2]

C. [ −2;2]

D. (−1;1)


Phân tích bài toán: Với ví dụ 13 vì nghịch biến trên khoảng (1; +∞) cho nên điều
ad − bc < 0

⇔
kiện là:  d
−
≤
1

 c

2
m − 4 < 0
⇔ −1 ≤ m < 2. Vậy đáp án là: B.

−
m
≤
1


Chú ý: Vì đây là giải trắc nghiệm và đặc thù học sinh yếu kém nên có những kiến
thức cung cấp mang tính áp đặt cho học sinh.
3. Phương pháp giải trắc nghiệm bài toán tìm cực trị của hàm số.
Loại 1: Nếu hàm số đã cho không chứa tham số thì phương pháp tóm tắt là tìm
TXĐ, tính y’ và xét dấu y’, sau đó kết luận.

Trang 7



x2 + 3
Ví dụ 14: Cho hàm số y =
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
x+1
A. Cực tiểu của hàm số bằng −3.

B. Cực tiểu của hàm số bằng 1.

C. Cực tiểu của hàm số bằng −6.

D. Cực tiểu của hàm số bằng 2.

Phân tích bài toán: Bài này, ta tính y’, sau đó lập bảng biến thiên và căn cứ vào
bảng biến thiên suy ra kết quả là: D.
Ví dụ 15 (Câu 3 đề minh họa của Bộ GD-ĐT): Tìm giá trị cực đại yCĐ của hàm
số y=x3 − 3x − 2.
A. yCĐ = 4

B. yCĐ = 1

C. yCĐ = 0

D. yCĐ = -1

Phân tích bài toán: Bài này, ta tính y’, sau đó lập bảng biến thiên và căn cứ vào
bảng biến thiên suy ra kết quả là: C.
Ví dụ 16: Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên :
x -∞
y’

+∞
y

-1
- 0

1
0
2

+

-2
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

+∞
-∞

A. Hàm số có đúng một cực trị.
B. Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và đạt cực tiểu tại x = 2.
C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng −2.
D. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng -2 và giá trị cực đại bằng 2.
Phân tích bài toán: Dựa vào Bảng biến thiên, ta phân tích và xác định ngay đáp án
là: D
Ví dụ 17: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 - 3x + 1, mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số luôn nghịch biến;

B. Hàm số luôn đồng biến;

C. Hàm số đạt cực đại tại x = 1;


D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

Phân tích bài toán: Ta có: y ' = −3x2 + 6x − 3 = −3(x − 1)2 ≤ 0, ∀x . Do đó hàm số
Trang 8


luôn nghịch biến nên đáp án là A.
Ví dụ 18: Biết M (0;2), N(2;-2) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số
y = ax3 + bx2+cx+d. Tính giá trị của hàm số tại x = −2.
A. y(−2) = 2.

B. y(−2) = 22.

C. y(−2) = 6

D. y(−2) = −18.

Phân tích bài toán: Để tính y(−2) = ? , ta cần dựa vào các yếu tố đã cho của bài toán
để tìm các hệ số a, b, c và d. Ta có: y ' = 3ax2 + 2bx + c . Do M (0;2), N(2;-2) là các

y '(0) = 0

y(0) = 2
⇔
điểm cực trị của đồ thị, nên ta có: 
y
'(2)
=
0


y(2) = −2


a = 1

b = −3
⇒ y = x3 − 3x2 + 2.

c = 0
d = 2


Khi đó: y(−2) = −18 . Vậy đáp án là: D.
Loại 2: Nếu hàm số đã cho chứa tham số
* Đối với hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d , (a ≠ 0) .
Tình huống 1: Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm.
•

y '(x ) = 0
Điều kiện để hàm số có cực trị tại x0 là: 
y "(x ) ≠ 0
0

0

•

y '(x ) = 0
x

Điều kiện để hàm số có cực đại tại 0 là: 
y "(x ) < 0
0

0

•

y '(x ) = 0
Điều kiện để hàm số có cực tiểu tại x0 là: 
y "(x ) > 0
0

0

Ví dụ 19:Giá trị của m để hàm số y =

1 3
x − mx2 + (m2 − m + 1)x + 1 đạt cực đại
3

tại điểm x = 1:
A. m = 1 B. m = 2

C. m = 1 ∨ m = 2 D. Không có giá trị m nào thỏa mãn.
Trang 9


Phân tích bài toán: Trước hết, ta tính y ' = x2 − 2mx + m2 − m + 1;y " = 2x − 2m .
2

m − 3m + 2 = 0
⇔ m = 2. Vậy đáp án là: B

2
−
2
m
<
0


y '(1) = 0
⇔
Sau đó, giải điều kiện: 
y
"(1
)
<
0

Ví dụ 20: Hàm số y =

1 3
x + (m2 − m + 2)x2 + (3m2 + 1)x − 1đạt cực tiểu tại
3

x = −2 khi và chỉ khi.
m = 1
A. 
.

m = 3

m = −1
B. 
.
m = −3

C. m = 1.

D. m = 3.

Phân tích bài toán: Trước hết, ta tính
y ' = x2 + 2(m2 − m + 2)x + 3m2 + 1;y " = 2x + 2(m2 − m + 2) . Sau đó, giải điều
y '(−2) = 0
⇔
kiện: 
y
"(
−
2)
>
0


2
−m + 4m − 3 = 0
⇔ m = 3. Vậy đáp án là: D.
 2
2
m

−
2
m
>
0


Tình huống 2:
+ Điều kiện để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d , (a ≠ 0) có cực trị .
Phương pháp: Chỉ ra: y ' = 3ax2 + 2bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆y ' > 0.
+ Điều kiện để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d , (a ≠ 0) có cực trị thỏa mãn tính
chất K
Phương pháp: Trước hết, chỉ ra: y ' = 3ax2 + 2bx + c = 0 có 2 nghiệm phân
biệt ⇔ ∆y ' > 0.
Sau đó, giải điều kiện K, rồi đối chiếu với ∆y ' > 0và kết luận.
Ví dụ 21:Hàm số y =

(

)

1 3
x + mx2 + m2 + 2m x − 1 có hai điểm cực trị khi và chỉ
3

khi:
Trang 10


A. m < 0


B. m ≠ 0

C. m > 0

D. m ≤ 0

Phân tích bài toán: Ta có: y ' = x2 + 2mx + m2 + 2m ,
∆ ' > 0 ⇔ m2 − m2 − 2m > 0 ⇔ −2m > 0 ⇔ m < 0. Vậy đáp án là A.
Ví dụ 22 (Câu 3 đề thi THPT QG 2016): Tìm m để hàm số
f (x) = x3 − 3x2 + mx − 1 có hai điểm cực trị.Gọi x1;x2 là hai điểm cực trị đó,tìm m
để x12 + x22 = 3.
Phân tích bài toán: Ta có: y ' = 3x2 − 6x + m , ∆ ' > 0 ⇔ 9 − 3m > 0 ⇔ m < 3.
Sau đó, phân tích x12 + x22 = 3 ⇔ (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 3 ⇔ 4 − 2.
(thỏa mãn). Vậy m =

m
3
= 3⇔ m=
3
2

3
.
2

* Đối với hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) .
Tình huống 1:
+) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho có 3 cực trị là a và b trái dấu tức là:
ab

. < 0.

+) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho có 1 cực trị là: ab
. ≥ 0.
+) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho có 3 cực trị mà trong đó gồm 2 cực đại
a < 0
và 1 cực tiểu là: 
.
b
>
0

+) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho có 3 cực trị mà trong đó gồm 1 cực đại
a > 0
và 2 cực tiểu là: 
.
b < 0

Trang 11


a > 0
+) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho chỉ có 1 cực tiểu là: 
.
b ≥ 0
a < 0
+) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho chỉ có 1 cực đại là: 
.
b
≤

0

Ví dụ 23: Cho hàm số y = −x4 + 2mx2 − 2m + 1. Với giá trị nào của m thì hàm số
có 3 điểm cực trị:
A. m > 0

B. m < 0

C. m = 0

D. m ≠ 0

Phân tích bài toán: Là bài toán trắc nghiệm làm nhanh nên căn cứ vào dấu hiệu là a
và b trái dấu, tức là: m > 0. Vậy đáp án là: A.
Ví dụ 24 (Câu 8 đề minh họa của Bộ GD-ĐT): Tìm tất cả các giá trị thực
của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y = x4 + 2mx2 + 1có ba điểm cực
trị tạo thành một tam giác vuông cân.
A. m = −

1
3

9

B. m = −1

C. m =

1
3


9

D. m = 1

Phân tích bài toán: Là bài toán trắc nghiệm làm nhanh nên căn cứ vào dấu hiệu là a
và b trái dấu, tức là: m < 0. Khi đó, ta có hai lựa chọn để giải tiếp. Đó là:
1) Vì m < 0 nên đáp án có thể là A hay B, ta lấy B. m = −1 thế vào bài toán và
kiểm tra điều kiện còn lại, nếu đúng thì B là đáp án, ngược lại thì A. (Bài này đáp
án là B).
2) Với m < 0 là điều kiện cần, ta tiếp tục giải điều kiện còn lại bằng cách xác định
uuur uuur
điểm cực tri (Giả sử A,B,C với A(0;1)) và giải điều kiện AB .AC = 0 , đối chiếu
với m < 0. Vậy đáp án là B.
4. Phương pháp giải trắc nghiệm bài toán tìm tiệm cận của đồ thị hàm số.
+ Kiến thức nền tảng:

Trang 12


1) Nếu có l imf(x) = −∞ hoặc có l imf(x) = +∞ hoặc có l imf(x) = −∞ hoặc có
x → a+

x → a+

x → a-

l imf(x) = +∞ thì đồ thị hàm số y = f (x) có tiệm cận đứng là x = a
x → a-


= b hoặc có l imf(x) = b thì đồ thị hàm số y = f (x) có tiệm cận
2) Nếu có l imf(x)
x → +∞
x→ -∞

ngang là y = b.
Chú ý: Nếu đồ thị hàm số dạng y =

là y =

ax + b
( ad − bc ≠ 0) thì luôn có tiệm cận ngang
cx + d

a
d
và tiệm cận đứng là x = − , (c ≠ 0)
c
c

Ví dụ 25: Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
A. y = 1

B. x = −2

Phân tích bài toán: Đồ thị hàm số dạng y =

C. x = 2

x −1

là:
x+2
D. y = −2

ax + b
(ad − bc ≠ 0) thì luôn có tiệm
cx + d

d
cận đứng là x = − , (c ≠ 0) . Vậy đáp án là: B.
c
=1
Ví dụ 26 (Câu 2 đề minh họa của Bộ GD-ĐT): Hàm số y = f (x) có l imf(x)
x → +∞
= −1 Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
và l imf(x)
x→ -∞
A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 1 và y = - 1
D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x = 1 và x = - 1

Trang 13


Phân tích bài toán: Căn cứ vào định nghĩa đường tiệm cận ngang của đồ thị, tức là
= b hoặc có l imf(x) = b thì đồ thị hàm số y = f (x) có tiệm cận
nếu có l imf(x)
x → +∞
x→ -∞

ngang là y = b. Vậy đáp án bài toán là: C.
Chú ý: Để xác định đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang nhanh của đồ thị hàm
số y =

h(x)
.
g(x)
h(x)
và
x →+∞ g(x)

1) Khi xác định đường tiệm cận ngang, ta tính các giới hạn: lim
h(x)

. Nếu giới hạn đó hữu hạn thì đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang.
lim
x →−∞ g(x)
Ví dụ 27: Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. 3

B.2

3x + 2 + x2−1

C. 1

2x + 2

là
D. 0


Phân tích và giải bài toán: Ta có:

lim y = lim

x →+∞

2x + 2

x →+∞

lim y = lim

x →−∞

3x + 2 + x 1 −

3x + 2 − x 1 −

x →−∞

2x + 2

1
2
1
3
+
+
1

−
x
x2 = lim
x2 = 2
x →+∞
2
2+
x
1
2
1
3 + − 1− 2
2
x
x = lim
x =1
x →−∞
2
2+
x

Vậy đáp án là: B.
2) Khi xác định tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

h(x)
. Ta có thể giải nhanh
g(x)

theo cách trắc nghiệm như sau: Giải phương trình: g(x) = 0, nếu vô nghiệm thì đồ


Trang 14


thị hàm số không có tiệm cận đứng còn nếu có nghiệm đơn x0 , ta lấy nghiệm đó
thay vào biểu thức h(x0) . Khi đó nếu h(x0) ≠ 0thì x = x0 là phương trình đường
tiệm cận đứng ngoài ra nếu h(x0) = 0 thì x = x0 không phải là phương trình
đường tiệm cận đứng (đây là cách làm theo hình thức trắc nghiệm dùng cho học
sinh yếu kém).
Ví dụ 28: Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
2x − 1 − x2 + x + 3
y=
.
x2 − 5x + 6
A. x = −3 và x = −2.

B. x = −3.

C. x = 3 và x = 2.

D. x = 3.

x = 2
2
Phân tích bài toán: Ta có: x − 5x + 6 = 0 ⇔ 
. Thay từng nghiệm vào biểu
x = 3
thức h(x) = 2x − 1 − x2 + x + 3 . Ta có: h(2) = 0;h(3) ≠ 0. Nên đồ thị hàm số đã
cho có tiệm cận đứng là x = 3. Vậy đáp án là D.
5. Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến.
a) Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm M 0(x0;y0) :

y - y0 = y '(x0)(x − x0) .
Đối với loại bài tài tập này: học sinh thường không nắm được phương trình tiếp
tuyến có dạng thế nào và nếu biết cũng không nắm được cần phải tìm yếu tố nào,
cách tìm?
Vì vậy học sinh cần xác định được rằng muốn lập được phương trình tiếp tuyến
cần tìm toạ độ tiếp điểm M0 : Tìm x0 , y0 và hệ số góc của tiếp tuyến y '( x0 )
Ví dụ 29: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = x3 + 3x2 tại điểm có hoành
độ bằng -1 là:
A. y = -3x - 5

B. y = -3x + 5 C. y = -3x - 1

Phân tích và giải bài toán:
Trang 15

D. y = -3x + 1


- Phân tích đề bài để tìm yếu tố mà đề cho x0 , y0 hoặc y '( x0 )
- Cho hoành độ tiếp điểm x0 = -1
 y0 = y ( x0 ) = y ( −1)
- Tính 
 y ' ( x0 ) = y ' ( −1)
Vậy phương trình tiếp tuyến : y − 2 = −3( x + 1) hay y = −3x − 1 . Vậy đáp án C.
* Chú ý:
- Bài toán cho x0 : Tìm y0 và y '( x0 )
- Bài toán cho x0 , y0 : Tìm y0 và y ' ( x0 )
- Bài toán cho tiếp điểm là giao điểm của các trục : x0 : Tìm x0 , y0 và y ' ( x0 )
b) Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm: Biết hệ số góc của tiếp tuyến.
 Đối với loại bài tài tập này: Học sinh thường không khai thác được giả thiết

cho y '( x0 ) .

 Học sinh cần xác định được rằng muốn tìm x0 phải khai thác từ y '( x0 ) và sau đó
tính y0
Ví dụ 30: Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 4x3 + x song song với đường
thẳng (d): y = 13x + 8 có phương trình là :
A. y = 13x + 8

B. y = 13x − 8

y = 13x − 8
C. 
y = 13x + 8

y = 13x − 18
D. 
y = 13x + 18

Phân tích và giải bài toán:
- Tiếp tuyến song song với (d): y '(x0) = 13 ⇔ 12x02 + 1 = 13 ⇔ x = ±1
- Với hai giá trị x0 ta tìm được hai giá trị y0 = ±5
- Tại (1;5) thì phương trình tiếp tuyến: y = 13x − 8
- Tại (-1;-5) thì phương trình tiếp tuyến: y = 13x + 8 (loại).
Vậy đáp án B.
* Chú ý:
Trang 16


- Bài toán cho: tiếp tuyến song song với đường thẳng cho trước (ví dụ 30)  cho
hệ số góc gián tiếp.

- Bài toán cho: tiếp tuyến vuông với đường thẳng cho trước  cho hệ số góc gián
tiếp
- Bài toán cho hệ số góc cụ thể
Ví dụ 31: Cho hàm số y = f (x) = x3 + 2x2 − 15x + 12 có đồ thị (C). Phương trình
tiếp tuyến với (C) tại điểm A(2; - 2)∈(C) là:
A. y = 5x − 12

B. y = 5x + 12

C. y = 5x + 8

D. y = −11x − 20

Phân tích và giải bài toán:
f '(x) = 3x2 + 4x − 15 ⇒ f '(2) = 5.
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A có dạng: y + 2 = 5(x − 2) ⇒ y = 5x − 12. Vậy
đáp án A.

⇒ Trong trường hợp khi biết hoành độ (hoặc tung độ) tiếp điểm ta tìm yếu tố còn
lại và làm tương tự như trên.
Ví dụ 32: Cho hàm số: y =

điểm có tung độ bằng

1
y = 2x + 4
A. 
y = −2x + 1

4


1 4 1 2
x + x + 1(C ) . Phương trình tiếp tuyến với (C) tại
4
2

7
là:
4


1
y = 2x − 4
B. 
y = −2x + 1

4


1
y = 2x − 4
C. 
y = −2x − 1

4


1
y = 2x + 4
D. 

y = −2x − 1

4

Phân tích và giải bài toán: (Đối với bài toán này, học sinh thường nhầm lẫn hoành
độ và tung độ).
Gọi xo là hoành độ tiếp điểm ⇒ ta có

7 1 4 1 2
= x + x + 1 ⇔ xo = ±1.
4 4 0 2 0

Trang 17



7
Với xo = 1 ⇒ f '(1) = 2 ⇒ phương trình tiếp tuyến tại M 1  −1; ÷ là:
4

y−

7
1
= 2(x − 1) ⇔ y = 2x −
4
4


7

Với xo = −1 ⇒ f '(−1) = −2 ⇒ phương trình tiếp tuyến tại M 2  −1; ÷ là:
4

y−

7
1
= −2(x + 1) ⇔ y = −2x − .
4
4

Vậy đáp án C.
Ví dụ 33: Cho hàm số y =

2x + 1
. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của
x−2

hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng - 5.(Đề thi tốt nghiệp THPT năm học
2008 - 2009)
Phân tích và giải bài toán: Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại tiếp điểm (xo; yo ) ⇒ xo là

nghiệm phương trình y '(xo ) = −5 ⇔

−5
= −5 ⇔
(xo − 2)2

xo = 1


xo = 3

Với xo = 1 ⇒ yo = −3 ⇒ phương trình tiếp tuyến là y = −5x + 2.
Với xo = 3 ⇒ yo = 7 ⇒ phương trình tiếp tuyến là y = −5x + 22.
Ví dụ 34: Cho hàm số y = f (x) =

3x − 2
có đồ thị (C). Tiếp tuyến với (C) vuông
x −1

góc với đường thẳng y = 4x + 10có phương trình là:

1
9
y = − 4 x + 4
A. 
y = − 1 x − 17

4
4


y =
B. 
y =


1
9
x+

4
4
1
17
x+
4
4


1
9
y = 4x + 9
y = − 4 x + 4
C. 
D. 
y
=
4
x
+
17

y = − 1 x + 17

4
4

Trang 18



Phân tích và giải bài toán: D = R \ {1}; y ' =

−1
.
(x − 1)2

Gọi M o(xo;yo ) ∈ (C ) tại đó tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 4x + 10, có
1
hệ số góc k: k . 4 = −1 ⇒ k = − ⇒ xo là nghiệm phương trình
4

xo = −1
−1
1
=
⇔
⇔

(xo − 1)2 4
yo = 3

Tại M 1  −1;



5
xo = 2

y = 7
 o 2


5
1
9
÷ có tiếp tuyến là y = − x + .
2
4
4

 7
1
17
Tại M 2  3; ÷ có tiếp tuyến là y = − x +
. Vậy đáp án D.
2
4
4


* Chú ý: Qua ví dụ 34 ở trên cho thấy nhiều bài toán viết phương trình tiếp tuyến
dạng 2 nhưng không trực tiếp hệ số góc mà phải thông qua một giả thiết khác. Vì
vậy, cần nhấn mạnh cho học sinh thấy tầm quan trọng của việc nắm kiến thức một
cách liền mạch, biết vận dụng, liên hệ các phần với nhau.
6. Phương pháp giải trắc nghiệm bài toán tương giao.
1) Biện luận số nghiệm của phương trình f (x, m) = 0, m: tham số.
Dựa vào đồ thị (gồm một đường cong và một đường thẳng song song hoặc trùng
với trục hoành) biện luận theo tham số số nghiệm của phương trình: f (x, m) = 0,
m: tham số.
Phương pháp: Viết lại phương trình g(x) = h(m) . Với y = g(x) có đồ thị (C) đã vẽ.
y = h(m) có đồ thị là đường thẳng d song song hoặc trùng với trục hoành.

B1: Biến đổi phương trình hoành độ giao điểm của d và (C)
B2: Số nghiệm của phương trình chính bằng số giao điểm của hai đồ thị
Trang 19


B3: Dựa vào đồ thị tịnh tiến d song song hoặc trùng với ox  số giao điểm  số
nghiệm phương trình.
B4: Kết luận.
Ví dụ 35: Đồ thị sau đây là của hàm số y = x3 − 3x + 1.(C) Với giá trị nào của m
thì phương trình x3 − 3x − m = 0 có duy nhất một nghiệm

A. −2 < m < 2

m < −2

m > 2

B.

C. m =3

m < −1
D. 
m > 3
Phân tích và giải bài toán:
Ta có: x3 − 3x − m = 0 ⇔ x3 − 3x + 1 = m + 1.
Số nghiệm của phương trình đã cho chính bằng số giao điểm của đồ thị © với
đường thẳng y = m + 1.Để phương trình có duy nhất một nghiệm thì
m + 1 > 3
m > 2

⇔


.Vậy đáp án B.
m + 1 < −1
m < −2

Chú ý: Như vậy khi biện luận số giao điểm của đồ thị với đường thẳng, ta cần để ý
đến giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của đồ thị hàm số.
Ví dụ 36: Đồ thị sau đây là của hàm số y = −x4 + 4x2 ©. Với giá trị nào của m thì
phương trình x4 − 4x2 + m − 2 = 0có bốn nghiệm phân biệt.?
A. 0 < m < 4
B. 0 ≤ m < 4
C. 2 < m < 6
D. 0 ≤ m ≤ 6
Trang 20


Phân tích và giải bài toán:
Ta có: x4 − 4x2 + m − 2 = 0 ⇔ −x4 + 4x2 = m − 2.
Số nghiệm của phương trình đã cho chính bằng số giao điểm của đồ thị © với
đường thẳng y = m − 2 . Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì
0 < m − 2 < 4 ⇔ 2 < m < 6 . Vậy đáp án C.
Chú ý: Cũng có những bài toán biện luận nghiệm mà không có đồ thị, chỉ dựa vào
bảng biến thiên đề xác định số nghiệm của phương trình đã cho. Gặp bài toán này
chúng ta cần để ý đến chiều biến thiên của hàm số, giá trị cực đại, cực tiểu của
hàm số cũng như các giá trị các đầu mút bảng biến thiên để kết luận.

{}


Ví dụ 37: Cho hàm số y = f (x) xác định trên R \ 0 , liên tục trên mỗi khoảng
xác định và có bảng biến thiên như sau

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình f (x) = m có ba
nghiệm thực phân biệt?
A.  −1;2

(

)

B. −1;2

C. (−1;2]

D. (−∞;2]

Phân tích và giải bài toán: Quan sát thật kỹ bảng biến thiên, Vì hàm số không liên
tục trên ¡ nên ta nhận thấy nếu vẽ đồ thị thì đồ thị có hai nhánh, trong đó có một
nhánh có giá trị cực đại bằng 2. Vì thế để phương trình f (x) = m có ba nghiệm thực
phân biệt thì 1 < m < 2. Vậy đáp án là B.
2) Bài toán tìm số giao điểm của hai đồ thị hàm số.
Phương pháp:
B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

Trang 21


B2: Số giao điểm của hai đồ thị chính bằng số nghiệm của phương trình hoành độ
giao điểm.

Ví dụ 38: Đồ thị của hàm số y = x4 − 2x2 + 2 và đồ thị hàm số y = −x2 + 4 có tất
cả bao nhiêu điểm chung.
A. 0

B. 4

C. 1

D. 2

Phân tích và giải bài toán: Ta có phương trình hoành độ giao điểm là:
x4 − 2x2 + 2 = −x2 + 4 ⇔ x4 − x2 − 2 = 0 ⇔ x = ± 2 . Vậy đáp án là D.
7. Một số bài tập trắc nghiệm củng cố kiến thức.
50 câu trắc nghiệm được sắp xếp theo mức độ và theo trình tự nội dung trọng tâm
trong đề tài, nhằm giúp củng cố kiến thức và nâng cao khả năng vận dung.
Câu 1: Hình vẽ sau là đồ thị của hàm số nào
y
6
5
4
3
2
1

x
-2

-1

1


2

A. y = −x3 + 3x2 − 2

B. y = x3 + x2 − x + 3

C. y = −x3 − 2x2 − x + 3

D. y = −x3 − x2 − x + 3

Câu 2: Đường cong sau là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

Trang 22


A. y = x4 − 2x2 − 3

B. y = 2x2 − 3x − 3

C. y = x3 − 3x + 1

D. y =

x−1
x−2

Câu 3: Đồ thị sau đây là của hàm số nào trong các hàm số sau
y
3

2
1
x
-3

-2

-1

1

2

3

-1
-2
-3

A. y =

−x + 2
x −1

B. y = x3 − 3x + 2

C. y =

x−2
x−1


1
D. y = − x4 + 3x2 − 1
4

Câu 4: Đường cong hình dưới đây là đồ thị của một trong bốn hàm số đã cho, đó
là hàm số nào?

A. y = x2 − 3x + 2 B. y = x4 − x2 + 2 C. y = −x3 + 3x + 2

D. y = x3 − 3x2 + 2

Câu 5: Đường cong trong hình bên là đồ thị của
một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở 4
phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là
hàm số nào?
A. y =

2x − 3
.
x+1

B. y =

2
C. y = 1 − .
x

2x − 3
.

1− x

D. y = 2 +

1
.
x+1

Câu 6: Hàm số y = −x4 + 4x2 + 1 nghịch biến trên mỗi khoảng nào sau đây

(

)(

A. − 3;0 ;

2;+∞

)

(

)

B. − 2; 2

C. ( 2; +∞)

Trang 23


(

)(

D. − 2;0 ;

2; +∞

)


Câu 7: Cho hàm số y = x3 + 2x + 1 kết luận nào sau đây là đúng:

(

(

)

B.Hàm số đồng biến trên 0;+∞ , nghịch biến

A.Hàm số đồng biến trên tập ¡

)

trên −∞;0

(

(


)

D.Hàm số nghịch biến trên 0;+∞ , đồng

C.Hàm số nghịch biến trên tập R.

)

biến trên −∞;0

Câu 8: Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số y =

−2x − 1
là đúng?
1− x

{}
Hàm số luôn đồng biến trên R \ { 1} .

A. Hàm số luôn nghịch biến trên R \ 1 .
B.

(

)

(

C. Hàm số luôn nghịch biến trên −∞;1 và 1;+∞


(

)

(

D. Hàm số luôn đồng biến trên −∞;1 và 1;+∞

).

).
(

)

Câu 9: Giá trị của tham số m để hàm số y = −x3 − 3x2 + m + 1 x + 2017 đồng
biến trên ¡ là
A. m ≥ 2

B. m ≤ 2

C. m ≥ −4

D. m ≤ −4.

Câu 10: Tất cả các giá trị của m để hàm số y = −x3 + 3x2 + 3mx − 1 nghịch biến
trên R là:
A. m<-1


B. m ≥ −1

Câu 11: Giá trị của m để hàm số y =

C. m ≤ −1

D. m>-1

1 3
x – 2mx2 + (m + 3)x – 5 + m đồng biến trên
3

¡ là:
A. m ≥ 1

B. m ≤ −

3
4

C. −

3
≤m≤1
4

Trang 24

D. −


3
4


Câu 12: Để hàm số y =

(2m + 1)x + 1
(với m là tham số) đồng biến trên các
mx − 1

khoảng xác định khi và chỉ khi giá trị của tham số m là:
A. m < −

1
3

B. m > −

1
2

1
C. − < m <0.
2

D. m>0

Câu 13: Hàm số y = x3 − 3x2 − 1 đạt cực trị tại các điểm:
A. x = ±1

B. x = 0, x = 2

C. x = ±2

D. x = 0, x = 1

Câu 14: Giá trị cực đại yCĐ của hàm số y = −x3 + 3x − 2 là:
A. yCĐ = - 4.

B. yCĐ = -6.

C. yCĐ = 0.

D. yCĐ = 2

Câu 15: Đồ thị hàm số y = x3 − 3x + 1 có điểm cực đại là
A. (−1; −1)

B. (−1;3)

C. (1; −1)

D. (1;3)

Câu 16: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không có cực trị:
A. y = x3 − 3x2 + 3

B. y = x4 − x2 + 1

C. y = x3 + 2 D. y = −x4 + 3

4
2
Câu 17: Hàm số dạng y = ax + bx + c (a ≠ 0) có tối đa bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

Câu 18: Cho hàm số y = −x3 + 3x − 3 . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −1;

B. Hàm số có 2 điểm cực đại;

C. Hàm số đạt cực đại tại x = 1 ;

D. Hàm số có 2 điểm cực trị.

Câu 19: Cho hàm số y = x4 − 2x2 − 3. Khẳng định nào sau đây sai
A. Giá trị cực đại của hàm số là −3.
B. Điểm cực đại của đồ thị thuộc trục tung.
C. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu, hai điểm cực đại.
D. Hàm số có 3 điểm cực trị.
Câu 20: Cho hàm số y = 2x3 − 3x2 − 4. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hàm số không có giá trị lớn nhất trên tập xác định

B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng -5
Trang 25