Phơng pháp chọn điểm đặc biệt và Phơng pháp chọn phần tử lớn nhất
Phần 1: lời nói đầu
Bản thân là một giáo viên trẻ, tự thấy mình cần phải thờng xuyên và liên tục
bồi dỡng, tự bồi dỡng về chuyên môn nghiệp vụ nói chung và kiến thức chuyên môn nói
riêng nên tôi thờng tìm đọc các cuốn sách chuyên nghành về Toán học, toán học THPT và
ghi chép lại những nội dung đặc sắc, những bài toán và những lời giải hay... Qua đó tôi đã
tích lũy thêm đợc rất nhiều điều hay và bổ ích cho bản thân.
Trong quá trình đọc tài liệu tôi cảm thấy rất hứng thú khi gặp những bài toán
với lời giải đặc biệt, ngắn gọn hơn các phơng pháp thông thờng, đặc biệt trong đó là các
bài toán giải bằng Phơng pháp chọn điểm đặc biệt và Phơng pháp chọn phần tử lớn
nhất. Tuy nhiên số lợng các bài toán nh thế cha nhiều, cha có hệ thống và với học sinh thì
luôn có câu hỏi là " tại sao hay từ đâu lại có cách giải nh thế ? ".
Với mục đích gom các bài tập này thành một hệ thống nhằm giúp ngời đọc dễ
nắm bắt đợc phơng pháp và tích lũy kinh nghiệm giải các bài toán dạng này, tôi đã lựa
chọn một bài và dạy thử nghiệm cho đội tuyển HSG trên cơ sở đó rút kinh nghiệm rồi viết
thành hệ thống mà tôi sẽ trình bày sau đây. Bản SKKN của tôi lấy tên là:
Phơng pháp chọn điểm đặc biệt
và Phơng pháp chọn phần tử lớn nhất
trong giải toán
Rất mong nhận đợc sự ủng hộ và góp ý của quí thầy cô !!!
Hải dơng, ngày 10 tháng 4 năm 2008
1
Phơng pháp chọn điểm đặc biệt và Phơng pháp chọn phần tử lớn nhất
Phần 2: Phơng pháp chọn điểm đặc biệt
I/ Giới thiệu về PHơng pháp chọn điểm đặc biệt
+ Phơng pháp chọn điểm dặc biệt là một trong những phơng pháp gây nhiều ngạc
nhiên cho học sinh khi sử dụng vì tính đơn giản và ngắn gọn của nó. Kỹ thuật chọn điểm
đòi hỏi phải có sự quan sát tinh tế và hiểu biết sâu sắc về đối tợng đang xét. Phơng pháp
chọn điểm thực tế là sự kết hợp giữa phơng pháp cực hạn và phơng pháp điều kiện cầc và
đủ. Các điểm đợc chọn thờng là điểm cực hạn.
+ Cơ sở lí thuyết:

Định lí: Nếu một khẳng định p(x) đúng với mọi giã trị
Xx

thì khẳng định
đó cũng đúng khi x nhận những giá trị cụ thể, thuộc X, đợc chọn một cách thích hợp.
( )
( )
ap
Xa
xp:Xx






+ Lời giải của phơng pháp chọn điểm đặc biệt thờng đợc trình bày theo cách thức
của phơng pháp điều kiện cần và đủ:
Giả sử yêu cầu bài ra đợc thỏa mãn, từ đó kết hợp với suy luận ta thu đợc điều
kiện cần. Sau đó ta chứng minh điều kiện cần đó cũng là điều kiện đủ và giải đợc bài toán
đã cho.
+ Phơng pháp chọn điểm đặc biệt rất hiệu quả cho các bài toán về hệ số của biểu
thức lợng giác và hệ số của đa thức luôn thỏa mãn một điều kiện nào đó đã cho trớc.
2
Phơng pháp chọn điểm đặc biệt và Phơng pháp chọn phần tử lớn nhất
ii/ Các bài toán về hệ số của biểu thức lợng giác
A- Các ví dụ
***
Bài 1: Cho
P(x) = a

0
+a
1
cosx +a
2
cos2x+...+ a
n
cosnx
Chứng minh rằng nếu P(x)> 0 với mọi x R thì a
0
> 0.

Giải
Xét hàm số:
F(x) = a
0
x+a
1
sinx +
2
1 1
sin2 ...
2
a x
n
+ +
a
n
sinnx
Dễ thấy hàm số F(x) xác định và liên tục trên R và theo giả thiết ta có:

F'(x) = a
0
+a
1
cosx +a
2
cos2x+....+ a
n
cosnx
= P(x) > 0, xR
Từ đó suy ra F(x) là hàm số đồng biến. Do đó
F() >F(0) a
0
> 0 a
0
> 0 (đpcm).
Bài 2: Cho a, b thoả mãn
a.cosx + b.cos3x 1, x R
CMR:
1b

Giải
Đặt P(x) = a.cosx + b.cos3x. Theo giả thiết ta có:
P(x) 1 ; x R , suy ra
Với x= 0 ta có P(0) 1 a +b 1 (1)
x= ta có P() 1 -a - b 1 a +b -1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra
-1 a +b 1 (A)
Với x=
3

2

ta có
1ba
2
1
1
3
2
P
+







-a +2b 2 (3)
x=
3

ta có
1ba
2
1
1
3
P









-a +2b

2 (4)
Từ (3) và (4) suy ra
-2 -a + 2b 2 (B)
Cộng vế với vế hai bất đẳng thức (A) và (B) đợc
- 3 3b 3
- 1 b 1. Hay
1b

(đpcm)
3
Phơng pháp chọn điểm đặc biệt và Phơng pháp chọn phần tử lớn nhất
Bài 3: Cho a, b thoả mãn
1+acos2x +bcosx 0, x R
Chứng minh rằng:
3ba
+
Giải
Đặt f(x)= 1+ acos2x +bcosx
Theogiả thiếtt ta có f(x) 0, x R, suy ra
Với x= 0 ta có f(0) 0 1 +a +b 0 (1)
x=

2

ta có f(
2

) 0 1-a 0 a 1 (2)
x= ta có f() 0 a-b+1 0 b a+1 (3)
Từ (1) và (3)
0 1+a+b 2a+2 a -1 (4)
Kết hợp với (2) ta đợc

1a

(5)
Do đó:
0 1+a+b 2+b b -2

2b

(6)
b a+1 2 b 2
Từ (5) và (6) suy ra
3ba
+
(đpcm).
Bài 4: Cho a, b. c thoả mãn
acosx +bcos2x +ccos3x +1 0, x R
Chứng minh rằng: a +b +c 3.
Giải
Đặt f(x) = acosx +bcos2x +ccos3x +1

Theo giả thiết f(x) 0, x R
Do đó với:
x=







2
ta có : f(
2

) 0 - b +1 0
b 1 (1)
x= ta có: f() 0 1 +b -a -c 0
a +c 1 +b (2)
Từ (1) và(2) suy ra
a +b +c 2 +b 3 (đpcm).
Bài 5: Tìm a, b để phơng trình sau nghiệm đúng với x R
a(cosx -1) +b
2
= cos(ax +b
2
) -1 (*)
4
Phơng pháp chọn điểm đặc biệt và Phơng pháp chọn phần tử lớn nhất
Giải
Giả sử (*) nghiệm đúng với x R, khi đó

với x = 0 ta có:
a(cos0 -1) + b
2
= cosb
2
-1 b
2
+ 1= cosb
2
b =0
Với b =0 thì (*) trở thành
a(cosx -1) = cosax -1
a(cosx -1) +1 = cosax
Lấy đạo hàm hai vế đợc [ a(cosx -1) +1]

= [cosax]

asinx = asinax a =0 hoặc a =1
Ngợc lại:
+ Với a =0; b =0 thì VT
*
=VP
*
=0 (*) luôn đúng
+ Với a =1; b =0 thì (*) cosx = cosx (*) luôn đúng
KL: để (*) đúng với x R thì điều kiện cần và đủ là:
a =0, b =0
hoặc a =1, b =0
Bài 6: Tìm a, b để bất phơng trình
cos2x +acosx +b -1 1

Nghiệm đúng với x R
Giải
Đặt f(x) = cos2x +acosx +b -1
Giả sử
f(x) 1, x R
Khi đó:
Với x =0 ta có f(0) 1 a +b 1
-1 a +b 1 (a)
Với x=
2

ta có f(
2

) 1 b -2 1
1 b 3 (b)
Với x = ta có f() 1 b -a 1
-1 b -a 1 (c)
Cộng vế với vế của (a) và (c) đợc:
-2 2b 2 -1 b 1 (d)
Từ (b) và (d) suy ra b =1
Thay b =1 vào (a) đợc a 0
Thay b =1 vào (c) đợc a 0 Từ đó suy ra a =0
Ngợc lại: Với a =0; b =1 thì
f(x) = cos2x 1; x R
5
Phơng pháp chọn điểm đặc biệt và Phơng pháp chọn phần tử lớn nhất
KL: a =0; b =1 là giá trị cần tìm.
Bài 7 : Cho hàm số
f(x) = cos3x + acos2x + bcosx

Chứng minh rằng: f(x) nhận cả giá trị dơng và giá trị âm
Giải
+ Giả sử f(x) 0, x R. Khi đó:
f(x) 0
f(x) + f(x +) 0, x R
f(x +) 0 acos2x 0, x R
Suy ra
0a
0a
0a
0
2
.2cosa
00.2cosa
=














Mặt khác:

( )
( )
1b
0b1
0b1
0f
00f
=




+






Ngợc lại với a =0; b =-1 thì
f(x) = cos 3x - cosx
Dễ thấy
0
2
3
6
f
<=








(trái với giả thiết)
Vậy f(x) có nhận giá trị âm (1)
+ Giả sử f(x) 0, x R. Khi đó
f(x)

0
f(x) + f(x +)

0, x R
f(x +)

0 a.cos2x 0, x R
6
Phơng pháp chọn điểm đặc biệt và Phơng pháp chọn phần tử lớn nhất
Suy ra
0a
0a
0a
0
2
.2cosa
00.2cosa
=















Mặt khác:
( )
( )
1b
0b1
0b1
0f
00f
=




+







Ngợc lại với a =0; b =-1 thì
f(x)= cos3x - cosx
Dễ thấy
0
2
3
3
2
f
>=







(trái với giả thiết)
Vậy f(x) có nhận giá trị dơng (2)
Từ (1) và (2) có (đpcm).
B- Các Bài tập tham khảo
**************
Bài 1: Tìm m để bất phơng trình sau nghiệm đúng với x R
m(4- sinx)
4
- 3 + cos
2
x + m > 0

Bài 2: Tìm x để bất đẳng thức
sinx + sin2x + sin3x + ....+ sinnx
2
3

đúng với n N
Bài 3: Tìm a, b để bất phơng trình
f(x) = cos3x + acos2x + bcosx + 1 0 nghiệm đúng với x R
7
Phơng pháp chọn điểm đặc biệt và Phơng pháp chọn phần tử lớn nhất
Bài 4: Tìm a, b, c, d để với x R ta luôn có
acos2x + bsin2x + ccosx + dsinx 0
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c, a, b c phơng trình sau luôn có nghiệm
acosx + bcos2x + ccos3x + asinx + bsin2x + csin3x =x
IIi/ các bài toán về đa thức đại số
A- Các ví dụ
***
Bài 1: Tìm m để bất phơng trình
x
2
- 2mx + 2x- m + 2 0 (1)
nghiệm đúng với x R
Giải
Giả sử (1) nghiệm đúng với x R. Khi đó (1) cũng nghiệm đúng với x =m. Hay là
m
2
- 2m
2
+ 2m- m+ 2 0
2 - m

2
0
m
2

Ngợc lại, với m thoả mãn m
2

hay 2 - m
2
0, thì ta có:
VT
(1)
= (x-m)
2
+ 2 x-m+ 2- m
2
0 với x R
Vậy với m
2

thì (1) nghiệm đúng với x R.
Bai 2: Tìm đa thức P(x) = x
2
+ ax + b thoả mãn
( )
2
1
xP


; x [-1, 1]
Giải
Đặt f(a,b) =Max P(x). Từ giả thiết suy ra
8