SKKG: PHƯƠNG PHÁP LUYỆN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
TOÁN 8

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO CỜ ĐỎ
TRƯỜNG THCS THẠNH PHÚ 2
----------  ----------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

PHƯƠNG PHÁP LUYỆN
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA
GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI- TOÁN 8

NGƯỜI VIẾT: MAI THỊ NGÂN
MÔN ĐANG DẠY: TOÁN 6, TOÁN 7, TOÁN 8.
NĂM VIẾT ĐỀ TÀI: NĂM HỌC 2014 - 2015

Giáo viên thực hiện: Mai Thị Ngân

1


SKKG: PHƯƠNG PHÁP LUYỆN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
TOÁN 8

MỤC LỤC:
Nội Dung

Trang

A ĐẶT VẤN ĐỀ……………………………………………………….3

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐÊ……………………………………………..4
I. Cơ sở lý luận của vấn đề:…………………………………………...4
II. Thực trạng của vấn đề…………………………………………… ..5
III. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề…………………..6
VI. Kết quả nghiên cứu………………………………………………..11
C. KẾT LẬN……………………………………………………………12
Tài liệu tham khảo………………………………………………………...13

Giáo viên thực hiện: Mai Thị Ngân

2


SKKG: PHƯƠNG PHÁP LUYỆN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
TOÁN 8

A. ĐẶT VẤN ĐỀ:
Qua nhiều năm công tác và giảng dạy chương trình Toán 8, Tôi nhận thấy
dạg toán Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối theo phân phối chương
trình toán 8 hiện hành thì thời lượng chỉ có một tiết. Nhưng giá trị tuyệt đối là
một khái niệm trừu tượng và quan trọng vì nó được sử dụng nhiều trong quá
trình dạy Toán 9, toán cấp 3 cũng như Đại Học,...Việc nắm vững khái niệm này
ở bậc trung học cơ sở sẽ là nền tảng cơ bản cần thiết để các em có thể tiếp thu
những kiến thức cao hơn ở các bậc học sau.
Mặt khác sách giáo khoa Toán 8 tập II hiện hành, chương IV bài 5chỉ nêu
được ba ví dụ về giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối mà không đưa ra
dược dạng tổng quát nào. Do đó gặp các phương trình này không ít học sinh
còn bối rối không biết xoay xở ra sao, hướng giải quyết thế nào? Điều đó cũng
dễ hiểu vì khi học sinh không nắm vững kiến thức về trị tuyệt đối cũng như các
phương pháp giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối cơ bản thì việc không

biết giải hoặc mắc sai lầm là điều khó tránh khỏi. Tuy đã được học phần lý
thuyết cơ bản song các bạn không có nhiều bài tập về mặt này để luyện tập.
Bài toán giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là bài toán khó vì nó
chứa đựng nhiều kiến thức như tính chất của thứ tự và các phép toán cộng, nhân,
kiến thức về trị tuyệt đối, kiến thức về giải phương trình, giải bất phương
trình...đòi hỏi người giáo viên phải khái quát các kiến thức liên quan và đưa ra
các dạng tổng quát về giải phương trình chứa giá trị tuyệt đối.
Suất phát từ tình hình thực tế và qua nghiên cứu tài liệu tham khảo kết hợp
kinh nghiệm bản thân, Tôi mạnh dạn đưa ra một số phương pháp hướng dẫn học
sinh giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối để cùng đồng nghiệp tham
khảo và trao đổi, nhằm mục đích khắc phục những tồn tại nói trên, đồng thời
nhằm giúp học sinh có được một cách nhìn nhận mới về phương pháp giải
phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối trên nền tảng các kiến thức cơ bản đã
được trang bị trong sách giáo khoa.

Giáo viên thực hiện: Mai Thị Ngân

3


SKKG: PHƯƠNG PHÁP LUYỆN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
TOÁN 8

Qua quá trình áp dụng sáng kiến vào giảng dạy đã giúp các em có phương
pháp giải nhất định và giải đúng các bài toàn chứa giá trị tuyệt đối, đồng thời có
hứng thú học tích cực và đạt kết quả cao hơn trong học tập.
Dạng toán có giá trị tuyệt đối rất đa dạng như biểu thức có chứa giá trị tuyệt
đối, phương trình bậc nhất có chứa giá trị tuyệt đối, bất phương trình có chứa giá
trị tuyệt đối,...... Vì giới hạn của sáng kiến và năng lực có hạn nên trong đề tài
này, Tôi chỉ nêu ra một số dạng cơ bản và cách giải những phương trình chứa

dấu giá trị tuyệt đối trong chương trình toán lớp 8. Đề tài này có thể áp dụng cho
giáo viên toán và những học sinh yêu thích môn toán tham khảo cách giải và
cách trình bày
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
I. Cơ sở lý luận của vấn đề:

1) Mục đích, ý nghĩa của việc dạy giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt
đối: Hướng tới hình thành và phát triển năng lực tư duy với các thành tố là:
- Rèn cho học sinh những kĩ năng thực hành giải toán về phương trình chứa
dấu giá trị tuyệt đối
- Rèn cho học sinh các thao tác tư duy, so sánh, khái quát hoá, trừu tượng
hoá, tương tự hoá…
- Rèn cho học sinh các năng lực về hoạt động trí tuệ : năng lực tự học, năng
lực tư duy, ngăng lực tính toán...để có cơ sở tiếp thu dễ dàng các môn học khác
ở trường trung học cơ sở, mở rộng khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế.
-Ngoài ra còn rèn luyện cho học sinh những đức tính cẩn thận, sáng tạo,
chủ động trong giải toán.
2) Các kĩ năng, kiến thức khi học giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt
đối:
- Các quy tắc tính toán về các kiến thức đại số.
- Giá trị tuyệt đối của một số. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối của một biểu thức
- Giải phương trình bậc nhất một ẩn chứa giá trị tuyệt đối, phương trình đưa
được về dạng bậc nhất một ẩn.

Giáo viên thực hiện: Mai Thị Ngân

4


SKKG: PHƯƠNG PHÁP LUYỆN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

TOÁN 8

II. Thực trạng của vấn đề:
1. Có hai mức độ thực hiện việc bổ dấu giá trị tuyệt đối ở biểu thức dạng |
ax| và dạng |x + a|. Mức độ thứ nhất: cho điều kiện của biến x, tùy theo điều
kiện đó xác định xem giá trị biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối là âm hay
dương mà bỏ dấu giá trị tuyệt đối ở ví dụ 1:

Mức độ thứ hai: phải tìm ra điều kiện làm cho biểu thức trong dấu giá trị tuyệt
đối không âm hay âm, để từ đó bỏ dấu giá trị tuyệt đối tùy theo mỗi điều kiện
(ví dụ 2, 3)

Giáo viên thực hiện: Mai Thị Ngân

5


SKKG: PHƯƠNG PHÁP LUYỆN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
TOÁN 8

2.

Khi vận dụng cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối vào giải phương trình chứa
dấu giá trị tuyệt đối, một khó khăn nảy sinh là yêu cầu phân loại khả năng
xảy ra để xét theo mỗi khả năng, sau đó phải tổng hợp kết quả theo các
khả năng đó. Đây là nội dung thể hiện yêu cầu bồi dưỡng tư duy logic
nhưng không ghi tường minh. Sách giáo khoa chỉ giới thiệu qua các ví dụ

Giáo viên thực hiện: Mai Thị Ngân


6


SKKG: PHƯƠNG PHÁP LUYỆN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
TOÁN 8

để học sinh dần dần tiếp nhận. Khi thực hành theo mức này, học sinh phải
tự đặt ra bài toán về bất phương trình để giải.
3.

Cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối nêu ra ở sách giáo khoa
chưa phải là cách thuận tiện nhất cho một số phương trình nào đó, chưa
thuận tiện với học sinh. Cụ thể là từ phương trình |2x-3| = 5 ta có phương
trình: 2x-3= 5 và 2x - 3 = -5. Giải hai phương trình trên và tổng hợp hết
quả ta tìm được x = 4 và x = -1. Việc tập trung cho cách giải ở gách giáo
khoa bằng cách xét điều kiện và bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo điều kiện là
dụng ý của sách giáo khoa.
III. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề:
1) Nhắc lại về giá trị tuỵêt đối:
a nêu a ≥ 0
a =
( a ∈R )
− a nêu a ≤ o

*Mở rộng khái niệm này thành giá trị tuyệt đối của một biểu thức A(x), kí
 A( x ) neˆ 'u A(x) ≥ 0
hiệu A(x) là: | A( x ) |= 
'
 − A( x ) neˆ u A(x) < 0
1


'
ˆ
4x
−
1
ne
u
x
≥
 4x-1 neˆ u 4x − 1 ≥ 0

4
⇔
Ví dụ 1 | 4x-1 |= 

'
 −(4x − 1) neˆ u 4x − 1 < 0
1 − 4x neˆ 'u x < 1

4
'

Theo định nghĩa trên, ta có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối tùy theo giá trị
của biểu thức ở trong dấu giá trị tuyệt đối là âm hay không âm.
2) Các dạng tổng quát về giải phương trình chứa giá trị tuyệt đối:
a) Phương trình bậc nhất dạng | A (x) | = B(x).
+ Nếu B < 0, ví dụ | x + 2 | = - 3 thì kết luận ngay phương trình vô
nghiệm vì giá trị tuyệt đối của một biểu thức ( hay một số) luôn không âm.
+ Nếu B > 0 thì ta thực hiên: A = B hoặc A = -B

Ví dụ 2: Giải phương trình:
2x − 3 = 1
2x = 4
x = 2
2x − 3 = 1⇔ 
⇔
⇔
2x − 3 = −1 2x = 2
x = 1
Vậy phương trình có hai nghiệm: S= {1; 2}
Giáo viên thực hiện: Mai Thị Ngân

7


SKKG: PHƯƠNG PHÁP LUYỆN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
TOÁN 8

★ Bài tập tự luyện:
a) |x-5| = 3
b) |2x-5| = 4
c) |3-7x| = 2
+ Nếu chưa biết rõ dấu của B(x) thì đặt điều kiện cho B(x) ≥ 0 và biến
đổi như sau:

B ( x ) ≥ o
⇔
|A(x) | = B(x)

(

A
x
=
B
x
h
oac
A ( x ) = −B ( x )
(
)
(
)


&
Ví dụ 3: Giải phương trình x + 4 = −3x + 5
5
Với điều kiện - 3x + 5 ≥ 0 ⇔ - 3x ≥ - 5 ⇔ x ≤
3
Khi đó phương trình được biến đổi:
1

x
=
x + 4 = −3x + 5 
4
x + 4 = −3x + 5 ⇔ 
⇔
x + 4 = 3x − 5 x = 9 kh«ng tho¶ m· n ( * )


2
 1
Vậy phương trình có nghiệm S =   .
 4
★ Bài tập tự luyện:
a) |0,5x| = 3 - 2x
b) | - 2,5x | = 5 + 1,5x
c) |3x - 1| = x - 2
d) |2x - 3| = 2x - 3
b) Phương trình bậc nhất dạng | A(x) | =| B(x) |.
Cách giải:

|A(x) | = |B(x)|  A(x) = B(x) hoặc A(x) = - B (x)

Ví dụ 4: Giải phương trình sau:
Biến đổi tương đương phương trình:

.

2x + 3 = x − 3

 2x + 3 = x − 3
 2x − x = −3− 3 x = −6
2x + 3 = x − 3 ⇔ 
⇔
⇔
 2x + 3 = − x + 3  2x + x = 3− 3
x = 0
Vậy phương trình có hai nghiệm : S = { -6; 0 }
★ Bài tập tự luyện:

a) |3x| = |3x + 1|
b) |2x - 3| = |x + 1|
Giáo viên thực hiện: Mai Thị Ngân

8


SKKG: PHƯƠNG PHÁP LUYỆN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
TOÁN 8

c) |5x + 7| = |3x + 9|
d) |3x - 3| = | - 4x|
Ví dụ 5: Giải phương trình: 2x − 3m = x + 6 , với m là tham số.
Giải :
Biến đổi tương đương phương trình:
2x − 3m = x + 6 2x − x = 3m+ 6  x = 3m+ 6
 2x − 3m = x + 6 ⇔ 
⇔
⇔
2x
−
3m
=
−
x
−
6
2x
+
x

=
3m
−
6


3x = 3m− 6
 x = 3m+ 6
⇔ 
 x = m− 2
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3m + 6 và x = m – 2
★ Bài tập tự luyện:
Với giá trị nào của m thì phương trình | 2x - m| = |3x + 2m| có nghiệm x = 7
c) Phương trình bậc nhất dạng | A(x) | + | B(x) | = C(x)
| A(x) | + | B(x) | - C(x) =0
* Phương pháp giải:
+ Xét dấu các biểu trong dấu giá trị tuyệt đối, phân khoảng bỏ giá trị tuyệt
đối để giải.
+ Ngoài ra một số trường hợp ta có thể sử dụng tính chất
A + B = A + B ⇔ A.B ≥ 0 để giải
Ví dụ 6: Giải phương trình: |x+1| + |x-2| = 7
|x+1| + |x-2| = 7  |x+1| + |x-2| - 7 = 0

(1)

Lập bảng biến đổi:
-∞
-x-1
2 -x
- 2x - 6

x=3

x
|x+1|
|x-2|
Vế trái
(1)

1
0

+∞
x+1
x–2
2x – 8
X=4

2
x+1
2–x
-4

0

Vô nghiệm
(thích hợp)
Vậy phương trình ( 1 ) có hai nghiệm . S = { -3 ; 4 }

(thích hợp)


Ví dụ 7: Giải phương trình: |3x + 2| - |x + 1| + x – 2 = 0

(2)

Lập bảng biến đổi:
x

-∞

Giáo viên thực hiện: Mai Thị Ngân

-1

−

2
3

+∞
9


SKKG: PHƯƠNG PHÁP LUYỆN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
TOÁN 8

|3x+2|
- |x+1|
x–2
Vế trái
(2)


- 3x – 2
x+1
x–2
-x–3

- 3x – 2
-x-1
x-2
- 3x - 5
5
x= −
3

0

x=-3
(thích hợp)

0

x=

(không thích hợp
với khoảng xét)

Vậy phương trình ( 2 ) có hai nghiệm . S = { -3 ;

3x + 2
-x-1

x-2
3x – 1
1
3

(thích hợp)

1
}
3

★ Bài tập tự luyện:
a) |x - 1| + |x - 2| - 2|x - 3| = 7
b) |x - 3| + |x + 4| = x + 7
c) ||x - 3| + |x| + |x + 3| = x - 4
d) Phương trình quy về phương trình bậc nhất:
Ví dụ 8: Giải các phương trình:
1.

| x2 + x | = 2| x + 1|

2.

| x3 – x | = 3|x2 – 1 |

Các phương trình trên thuộc dạng |A(x)| = | B(x)|
Cách giải: có nhiều cách giải khác nhau nhưng cách giải sau ngắn gọn nhất:
1.

| x2 + x | = 2| x + 1|


 |x|.|x+1| - 2 |x + 1| = 0
 | x + 1|(|x| - 2 ) = 0
| x + 1 |= 0
 x + 1 = 0  x = −1
⇔
⇔

| x | −2 = 0
| x |= 2  x = ±2
Vậy phương trình có ba nghiệm . S = {-1; -2; 2}
2.

| x3 – x | = 3|x2 – 1 |
 |x|.|x2 - 1|-3|x2 – 1 | = 0
|x2 – 1 |(|x| -3) = 0

Giáo viên thực hiện: Mai Thị Ngân

10


SKKG: PHƯƠNG PHÁP LUYỆN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
TOÁN 8

x– 1 =0
x −1= 0
x = 1




⇔  x + 1 = 0 ⇔  x + 1 = 0 ⇔  x = −1
| x | −3 = 0
| x |= 3
 x = ±3



Vậy phương trình trên có 4 nghiệm. S = { ± 1; ± 3}
★ Bài tập tự luyện:
a) |x3 + x2 + x + 1| = x + 1
b) |x3 + x2 + x | = x
c) |x + 2|(x + 3) + (x - 2)|x + 3| = 0
Phương pháp nghiên cứu
- Dự thảo nội dung nghiên cứu.
- Xây dựng đề cương nghiên cứu.
- Thu thập và xử lí thông tin: Đọc và nghiên cứu tài liệu.
- Khảo sát thực tế.
- Tìm hiểu thái độ của học sinh đối với việc học tập bộ môn.
- Hướng dẫn học sinh chủ đông lĩnh hội và sử dụng tri thức Toán học thông
qua giải một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Học hỏi một số giáo viên có kinh nghiệm.
IV. Kết quả nghiên cứu:
Sau một thời gian áp dụng đề tài, qua thực tế các giờ dạy, tôi thấy đề tài
bước đầu đã mang lại hiệu quả rất khả quan. Học sinh không cảm thấy sợ dạng
toán gải phương trình có chứa giá trị tuyệt đối, giúp các em yêu thích bộ môn
Toán hơn, đồng thời kích thích trí tò mò tìm hiểu khoa học của học sinh, các em
tích cực chủ động trong việc lĩnh hội các kiến thức Toán học. Chất lượng của giờ
dạy được nâng cao. Đặc biệt nó được thể hiện ở kết quả học tập của các em, cụ
thể như bảng sau, chất lượng bộ môn toán của tôi được nâng lên rõ rệt, tỉ lệ học

sinh yếu thấp.
Năm

Số

Giỏi

Khá

học

HS

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL


%

2011-

80

16

20

14

17,5

34

42,5

16

20

0

0

Giáo viên thực hiện: Mai Thị Ngân

TB


Yếu

Kém

11


SKKG: PHƯƠNG PHÁP LUYỆN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
TOÁN 8

2012
201276

14

18,4

30

39,5

22

28,9

10

13,2


0

0

76

6

15,8

12

31,6

16

42,1

4

10,5

0

0

2013
20132014

C. KẾT LUẬN:

Trên đây là một số phương pháp tôi thường được áp dụng để giải các
phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Tuy nhiên một bài toán có thể có
nhiều cách giải, việc sử dụng các phương pháp nói trên phải được lựa chọn một
cách sao cho thích hợp. Mỗi một phương pháp nói trên không được quan trọng
hoá và đề cao trong quá trình giải. Điều quan trọng nhất là sử dụng phương pháp
nào cho phù hợp và đạt kết quả cao, nhanh nhất. Vấn đề này đòi hỏi người thầy
có một kinh nghiệm tốt trong giảng dạy, phải biết phối hợp một hay nhiều
phương pháp cho thích hợp. Bên cạnh đó người giáo viên cần rút kinh nghiệm
sau mỗi tiết học như:
- Thường xuyên khắc phục những sai lầm sau khi giải một phương trình có
chứa dấu giá trị tuyệt đối nói riêng và phương trình đại số nói chung có tác
dụng giúp cho học sinh hiểu sâu, nắm vững các kiến thức cơ bản, rèn các kĩ
năng giải toán chính xác, lời giải phải ngắn gọn, rõ ràng.
- Hệ thống phương pháp giải cho từng dạng phương trình có chứa dấu giá
trị tuyệt đối, giúp học sinh có được công cụ hữu hiệu khi trình bày một cách
linh hoạt, hợp lý, tránh máy móc, rập khuôn mất thời gian. Đặc biệt là giúp học
sinh lựa chọn được cách giải hay cho một bài toán, hình thành đức tính tư duy
linh hoạt, làm việc có khoa học tránh sai lầm nghiêm trọng.

Giáo viên thực hiện: Mai Thị Ngân

12


SKKG: PHƯƠNG PHÁP LUYỆN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
TOÁN 8

- Rèn cho học sinh khi gặp bất kì một phương trình nào đều định hướng
được các thao tác: quan sát, nhận dạng, đưa về phương trình có dạng quen thuộc,
lựa chọn một phương pháp hợp lý và kiểm tra kết quả sau khi giải.

- Luôn luôn ghi nhớ các kiến thức cơ bản, kĩ năng cần thiết cho mỗi loại
phương trình, giúp học sinh có một lời giải sáng tạo.
- Áp dụng phương pháp giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối cho
các dạng phương trình khác vẫn có hiệu quả tích cực và mang lại kết quả tốt.
Toán giá trị tuyệt đối có rất nhiều dạng nhưng trong phạm vi nghiên cứu
của đề tài là trong chương trình toán 8 nên đề tài chỉ nêu được các dạng toán cơ
bản để giải phương trình bậc nhất một ẩn chứa giá trị tuyệt đối, chưa đi sâu vào
các dạng phương trình chứa ẩn ở mẫu, giải hệ phương trình, toán nâng
cao…..nên chưa giúp bạn đọc hiểu cặn kẽ vấn đề và tự luyện để thực hành thành
thạo. Rất mong được sự đóng góp của quý bạn đọc để đề tài tiến bộ hơn.
Đề tài có khả năng áp dụng cho các em học sinh học đại trà và giáo viên ôn tập
học kì II.
Tài liệu tham khảo :
1.

Sách giáo khoa Toán 7, Toán 8 -Tập 2.

2.

Chuẩn kiến thức kỹ năng toán 8

3.

Sách giáo viên toán 8 tập 2

4.

Các dạng Toán và phương pháp giải Toán 8, Toán 9 - Tôn Thân

5.


500 bài toán cơ bản và nâng cao 8 - Nguyễn Đức Tấn -Tạ Toàn.

6.

Một số bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8 - Bùi Văn Tuyên.

7.
255 bài toán Đại số chọn lọc - Vũ Dương Thụy - Trương Công Thành Nguyễn Ngọc Đạm.
8.
Tuyển tập 250 bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi toán cấp II (phần Đại
số) – Võ Đại Mau
9.

Luyện giải toán có giá trị tuyệt đối- Nguyễn Văn Ban.

DUYỆT CỦA BGH

Thạnh phú, ngày 20 tháng 3 năm 2015
Người viết:

Giáo viên thực hiện: Mai Thị Ngân

13


SKKG: PHƯƠNG PHÁP LUYỆN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
TOÁN 8

MAI THỊ NGÂN


.

Giáo viên thực hiện: Mai Thị Ngân

14