TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM GIA LAI
KHOA TỰ NHIÊN


ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ
GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH

Pleiku, ngày 17 tháng 04 năm 2017


TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM GIA LAI
KHOA TỰ NHIÊN


ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ
GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH

Giáo viên hướng dẫn:
Sinh viên:
Lớp:
MSV:


Lời Nói Đầu
Số phức ra đời do yêu cầu của việc mở rộng tập số thực khi giải phương trình
nhưng ngày nay số phức lại có ứng dụng cực to lớn trong hình học, vật lí, cơ học
và các ngành kĩ thuật khác.
Trong hình học có thể sử dụng số phức để biểu diễn các đối tượng và tính chất hình
học, từ đó có thể dùng số phức để giải một số bài toán hình học.
Trong chuyên đề này dưới góc độ là một sinh viên với tầm hiểu biết chưa đủ cao
còn nhiều vấn đề chưa thể nắm bắt rõ em xin trình bày một phần nhỏ của ứng dụng

số phức để hình học đó là chuyên đề “Ứng dụng số phức để giải một số bài toán
quỹ tích”. Vì thời gian ngắn, nguồn tài liệu còn hạn chế chắc chắn bài làm của em
sẽ gặp nhiều thiếu sót em rất mong nhận được thêm lời góp ý của thầy Nguyễn
Quốc Trịnh.
Em xin chân thành cảm ơn!

1


Mục Lục
ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN QUỸ TÍCH..........................................................................3
A. Lịch sử số phức.............................................................................................................................................3
B. Kiến thức cơ bản về số phức........................................................................................................................6
I. Định nghĩa số phức, các phép toán trên trường số phức........................................................................6
II. Dạng lượng giác của số phứcv à công thức Moa-Vrơ.............................................................................9
C. Ứng dụng số phức vào giải một số bài toán quỹ tích trong hình học phẳng............................................11
I. Biểu diễn điểm trên mặt phẳng phức.....................................................................................................11
II. Bài tập minh họa.....................................................................................................................................12

2


ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN QUỸ TÍCH
A. Lịch sử số phức.
Lịch sử số phức bắt đầu từ thế kỉ XVI-thời kì Phục Hưng của toán học châu Âu.
Các đại lượng ảo

,

,


xuất hiện đầu tiên trong “Nghệ thuật vĩ

đại hay là về các quy tắc của đại số” của G. Cardano (1501 – 1576) và “Đại số”
của R. Bombelli (1530 – 1572).
Khi giải phương trình bậc hai Cardano và Bombelli đã đưa vào xét kí hiệu

là

lời giải hình thức của phương trình
Xét biểu thức

là nghiệm hình thức của pt:

.

Khi đó biểu thức tổng quát hơn có dạng

,

có thể xem là

nghiệm hình thức của phương trình
Về sau biểu thức dạng

,

xuất hiện trong quá trình giải phương

trình bậc hai, bậc ba (công thức Cardano) được gọi là đại lượng “ảo” .Tuy nhiên

tên gọi và kí hiệu với

là đơn vị ảo cũng gây băn khoăn vì nó không có

gì chung với số - một công cụ của phép đếm.
Sự khủng hoảng niềm tin càng sâu sắc hơn bởi việc chuyển một cách thiếu thận
trọng một số quy tắc đã sản sinh ra những nghịch lí
Chẳng hạn như nghịch lí sau đây: vì
=
Như vậy

=

=

nên

, nhưng đồng thời: i2

=

.

Lịch sử toán học cũng ghi lại, Cardano cũng đã nhắc đến các nghiệm phức nhưng
lại gọi chúng là các nghiệm “ngụy biện”.
Rất thú vị số phức xuất hiện không phải từ các phương trình bậc 2 như
Các phương trình này rõ ràng vô nghiệm và
3



không có gì để bàn. Thế nhưng với phương trình

thì khác. Có thể

chứng minh được rằng phương trình này có đến 3 nghiệm. Vậy mà phương pháp
Cardano không áp dụng được do ∆ < 0. Số phức xuất hiện để giải quyết nghịch lý
này.
Có lẽ tên gọi “ảo” là di sản vĩnh cửu của “một thời ngây thơ đáng trân trọng của số
học”.
Người đầu tiên nhìn thấy lợi ích do đưa số phức vào toán học mang lại chính là
R.Bombelli. Trong cuốn “Đại số” (1572) ông đã định nghĩa các phép tính số học
trên các đại lượng ảo và do đó ông đã sáng tạo nên lí thuyết các số “ảo”.
Thuật ngữ số phức được dùng đầu tiên bởi K. Gauss (năm 1831). L. Euler (1777 –
1855) mở rộng khái niệm logarit cho số phức bất kì (1738), còn A. Moivre (1667 –
1754) nghiên cứu và giải bài toán căn bậc tự nhiên đối với số phức (1736). Năm
1799, nhà toán học người Nauy là C.Wessel đưa ra sự minh họa hình học về số
phức và các phép toán trên chúng.
Người đầu tiên nhìn thấy lợi ích do đưa số phức vào toán học mang lại chính là
R.Bombelli. Trong cuốn “Đại số” (1572) ông đã định nghĩa các phép tính số học
trên các đại lượng ảo và do đó ông đã sáng tạo nên lí thuyết các số “ảo”.
Thuật ngữ số phức được dùng đầu tiên bởi K. Gauss (năm 1831). L. Euler (1777 –
1855) mở rộng khái niệm logarit cho số phức bất kì (1738), còn A. Moivre (1667 –
1754) nghiên cứu và giải bài toán căn bậc tự nhiên đối với số phức (1736). Năm
1799, nhà toán học người Nauy là C.Wessel đưa ra sự minh họa hình học về số
phức và các phép toán trên chúng.
Lí thuyết thuần túy số học đối với các số phức với tư cách là các cặp số thực có
thứ tự

được xây dựng bởi W.Hamilton (1837). Ở đây đơn vị “ảo”


chỉ đơn giản là một cặp số thực có thứ tự - cặp

tức là đơn vị “ảo” được lí

giải một cách hiện thực.
Cho đến thế kỉ thứ XIX, Gauss thành công trong việc luận chứng một cách vững
chắc khái niệm số phức. Tên tuổi của Gauss cũng gắn liền với đối với định lí cơ
bản của Đại số khẳng định rằng trong trường số phức

mọi phương trình đa thức

đều có nghiệm.
4


Bản chất đại số của số phức thể hiện ở chỗ số phức là phần tử của trường mở rộng
(đại số) của trường số thực thu được bằng phép ghép đại số cho

nghiệm của

phương trình:
Gauss đã chứng minh được trường số phức là trường đóng đại số, nghĩa là khi xét
các nghiệm của phương trình đại số trong trường này ta không thu được thêm số
mới.
Nhìn lại hơn 2500 năm từ thời Pythagor tới giờ, con đường phát triển khái
niệm về số có thể tóm tắt bởi

với các bao hàm thức:

.

K.Weierstrass đã chứng minh tập hợp số phức

không thể mở rộng thành tập hợp

rộng hơn bằng cách ghép thêm số mới để trong tập hợp số rộng hơn thu được vẫn
bảo toàn mọi phép tính và mọi quy luật của các phép toán đã đúng trong tập hợp số
phức.
Tổng kết lịch sử toàn bộ quá trình phát triển khái niệm số, nhà toán học Đức
L.Kronecker (1823 - 1891) đã viết: “Thượng đế đã tạo ra số tự nhiên, còn tất cả các
lại số còn lại đều là công trình sáng tạo của con người”.
Có thể nói rằng, với khẳng định bất hủ này, L.Kronecker đã xác định nền móng
vững chắc cho tòa lâu đài toán học tráng lệ , mà con người đang sở hữu.

5


B. Kiến thức cơ bản về số phức.
I. Định nghĩa số phức, các phép toán trên trường số phức.
1. Định nghĩa số phức.
Xét tập hợp
Mỗi phân tử của :
được gọi là một số phức.
được gọi là phần thực của số phức z.
được gọi là phần ảo của số phức z.
Tập hợp

được gọi là tập hợp số phức.

Nếu
Nếu


là số thực.
là số thuần ảo.

2. Hai số phưc bằng nhau.
Hai số phức

6


3. Biểu diễn số phức trên mặt phẳng.
Mỗi số phức

được biểu diễn trên mặt phẳng

bởi điểm

.

Với a là phần thực, b là phần ảo nên Ox là trục thực còn Oy là trục ảo. Mặt phẳng
Oxy lúc này gọi là mặt phẳng phức.
3. Môdun của số phức.
Số phức

, điểm

Độ dài của véctơ

gọi là môđun của số phức


.
Công thức
Nếu

3. Số phức liên hợp.
a. Định nghĩa.
Cho số phức

người ta gọi số phức

liên hợp của z và kí hiệu
.
b. Tính chất.

7


4. Các phép toán trên số phức.
Cho 2 số phức

.

a. Phép cộng.

b. Phép trừ.

c. Phép nhân.

d. Các phép toán lũy thừa.


…
.
e. Tổng tích hai số phức liên hợp.
Cho số phức

và số phức liên hợp là

ta có:

f. Số phức nghịch đảo của số phức.
Cho số phức
Số phức

được gọi là số phức nghịch đảo của số phức .

Kí hiệu

8


Ta thấy

Vậy nghịch đảo của số phức z là số phức

.

g. Chia hai số phức.

5. Liên hợp của tổng, hiệu, tích, thương các số phức.
Cho


là hai số phức

a.
b.
c.
d.
II. Dạng lượng giác của số phứcv à công thức Moa-Vrơ.
1. Dạng lượng giác của số phức.
a. Môđun của số phức

là

b. Argumen của số phức z=a+bi là góc lượng giác

sao cho

Vậy
Trong đó
9


c. Môđun và Argumen của hai số phức bằng nhau.
Cho hai số phức

2. Công thức Moa – Vrơ.
a. Tích hai số phức dưới dạng lượng giác.

b. Nghịch đảo của số phức.


c. Thương các số phức.

d. Công thức Moa – Rvơ.

a.
b. Căn bậc hai số phức.

10


C. Ứng dụng số phức vào giải một số bài toán quỹ tích trong hình học phẳng.
I. Biểu diễn điểm trên mặt phẳng phức.
Khi giải các bài toán trong hình học phẳng ta đồng nhất số phức z = x + iy với điểm
M(x,y) trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Descartes Oxy, và gọi z là tọa vị
của điểm M (đối với hệ tọa độ đó); kí hiệu M(z), hoặc kí hiệu đơn giản hơn là M;
uuur

đồng thời cũng đồng nhất số phức z = x + iy với véc tơ OM trong đó điểm đầu O
là gốc tọa độ, điểm cuối M là điểm biểu diễn số phức z, vì vậy nếu nói M có tọa vị
uuur
z thì cũng nói véc tơ OM có tọa vị z. Nhờ vậy, nếu A(z), B(z’) thì véc tơ
uur
uur
uur uur uur
AB = OB − OA có tọa vị (z’ -z), hoặc kí hiệu là (A-B), và | AB | = |z’ – z| (hay | AB |
=|A-B|). Do đó trong mặt phẳng phức C, phương trình đường tròn tâm tại điểm
M0(z0), bán kính R là |z – z 0| = R hay z = z0 + R ( cos t + isin t ) với tham số t biến
thiên trong đoạn [0; 2 π ] hay một phần của đoạn đó mà ta có toàn bộ đường tròn
hay một cung tương ứng, còn phương trình đường thẳng có dạng:
z = x + ib , b = const , đường thẳng song song với trục Ox


z = a + iy , a = const , đường thẳng song song với trục Oy
z = x + iy , y = x tan ϕ , ϕ là số đo góc định hướng hợp bởi đường thẳng và tia Ox.
Sau đó nhờ phép chuyển tương ứng điểm hình học hay điểm phức M thành vectơ
uuur
OM (O là gốc tọa độ), chuyển khoảng cách giữa hai điểm phức B − A thành độ

uur
dài vectơ AB , bình phương modul của điểm phức M 2 = M .M thành vô hướng

uuur 2
vectơ OM ta sẽ nhận được lời giải thông thường của bài toán đã cho, một lời giải
không ứng dụng số phức.
11


Nhờ đó ta nhận được lời giải thông thường của bài toán đã cho.
II. Bài tập minh họa.
Bài tập 1. Cho đường tròn (C) đường kính AB = 2R, điểm M chuyển động trên
(C), A' là điểm đối xứng của A qua M. Tìm tập hợp điểm A' và trọng tâm G của
tam giác A'AB.
Giải
Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho gốc tọa độ O trùng với tâm đường tròn (C) đã cho,
trục hoành đi qua các điểm A, B.

( C1 )

* Tập hợp các điểm A'
Ta có B = − A, A' + A = 2M ⇒ A' − B = 2M ⇒ A' − B = 2 M = 2R . Suy ra, điểm A'
chuyển động trên đường tròn ( C1 ) tâm B, bán kính 2R.

* Tập hợp trọng tâm G của tam giác A'AB.
Gọi G là trọng tâm của tam giác A'AB. Ta có G =

1
1
1
( A' + A + B ) = A' = ( B + 2M )
3
3
3

12


1
3

2
3

2
3

1
3

Suy ra G − B = M ⇒ G − J = M , trong đó J = B .
Do đó G − J =

2

2
M = R . Vậy điểm G chuyển động trên đường tròn ( C2 ) tâm tại
3
3

1
2
J = B , bán kính R .
3
3

Bài tập 2: Cho nửa đường tròn có đường kính AB = 2R cố định. Điểm C chuyển
động trên nửa đường tròn. Về phía ngoài tam giác ABC dựng tam giác ACD vuông
cân ở A. Tìm tập hợp điểm D.
Giải
Đặt đoạn AB = 2R trên trục thực, điểm A trùng với gốc tọa độ O.

Tam giác ACD vuông ở A và nằm ở phía ngoài tam giác ABC nên
D = C ( cos900 + i sin 900 ) = iC .

Điểm C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB nên
C = R + R ( cos t + i sint ) , 0 ≤ t ≤ 1800
13


Do đó D = iC = iR + R ( cos t + i sint ) i . Vì I = cos900 + i sin 900 và theo công thức nhân
hai số phức dưới dạng lượng giác ta có
D = iR + R cos ( t + 900 ) + i sin ( t + 900 )  , 0 ≤ t ≤ 1800

Vậy tập hợp điểm D là nửa đường tròn bên trái của đường tròn tâm D0 = iR , bán

kính R.
Bài tập 3: Cho đường tròn (C) tâm O, bán kính R, BC là dây cung cố định không
phải là đường kính của đường tròn (C), điểm A chuyển động trên cung lớn BC.
Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác ABC.
Giải
Giả sử mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy sao cho gốc tọa độ O trùng với tâm
đường tròn (C), trục hoành song song với dây cung BC. Do đó trục tung vuông góc
với BC và đi qua trung điểm I của BC.
Ta có
B + C = 2I
1
1
G = ( A + B + C ) = ( A + 2I )
3
3
2
1
1
⇒G− I = A⇒G−J = A
3
3
3
2
3

Trong đó J = I . Vậy G chuyển động trên đường tròn tâm J bán kính

1
R . Vì A
3


chuyển động trên cung lớn BC nên G chuyển động trên một cung tròn của đường
tròn tâm J bán kính

1
R.
3

14


Bài tập 4: Cho nữa đường tròn tâm O đường kính MN. A là điểm thay đổi trên
cung MN. Kẻ AH vuông góc với MN. Trên tia OA lấy điểm lấy C sao cho OC =
AB. Tìm quỹ tích điểm C khi A chuyển động trên MN.
Giải
Chọn mặt phẳng Oxy sao cho gốc tọa độ
trùng với tâm đường tròn. MN=2R (R bán
kính đường tròn tâm O) nằm trên trục thực.
Dễ thấy khi A chuyển động trên cung MN
thì H chuyển động trên đoạn MN.
→

→

Gọi t = (Ox; OB) . Tọa vị của A, C lần lượt là
a,c. Từ giả thiết bài toán ta có:
a = Reit , 0 ≤ t ≤ π
c = c (cos t + i sin t ) = R sin t (cos t + i sin t ) = R sin t cos t + iR sin 2 t
R
iR

iR iR
sin 2t + (1 − cos 2t ) = − (cos 2t + i sin 2t )
2
2
2 2
iR R
−π
−π
= + [cos( ) + i sin( )](cos 2t + i sin 2t )
2 2
2
2
=

Hay:
iR R
π
π
+ [cos(2t − ) + i sin(2t − )]
2 2
2
2
π
iR R i (2t − )
= + e 2 ,0 ≤ t ≤ π
(*)
2 2

c=


π
−π
3π
Từ (*) ta có: Khi t biến thiên từ 0 đến π thì 2t − biến thiên từ
đến
nghĩa
2

là điểm C chạy trên đường tròn tâm D có tọa vị

2

2

iR
R
, bán kính
.
2
2
15


Vậy quỹ tích điểm C là đường tròn tâm D đường kính PO.

Một số bài tập khác:
Bài 5: Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Qua B, C vẽ đường tròn thay
đổi tâm D, từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AM’ với đường tròn. Tìm quỹ tích trung
điểm N của MM’.
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD. Tìm tập hợp điểm M sao cho

MA2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 = k 2 (k là số thực).

Bài 7: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB=2R. Điểm C chuyển động trên nửa
đường tròn. Về phía ngoài tam giác ABC, dựng hình vuông ACDE. Tìm quỹ tích
các đỉnh D, E của hình vuông.
Bài 8: Tứ giác có các đỉnh A, B, C cố định, cạnh AD=a, DC=b không đổi, M, N là
trung điểm của AC, BD. Tìm quỹ tích điểm M và trung điểm P của MN.

---HẾT---

16


17