Một số dạng toán

Vận dụng kiến thức hệ thức Vi - ét để giải

Trong các đề thi vào các trờng chuyên,đề thi HSG lớp 9,hay
vào lớp 10 THPT, ngay cả trong các đề thi GVDG cấp huyện, cấp tnh,
thi khảo sát chất lợng GV-THCS hàng năm thờng xuyên có bài về phơng trình bậc hai có chứa tham số, để giải tốt các yêu cầu của bài
toán dạng này ta có thể vận dụng kiến thức về hệ thức Vi-ét .Những
bài toán thuộc loại nàycó thể ở dạng cơ bản dành cho HS trung bình
nhng cũng có thể là những câu khó để phân loại học sinh.Đối với
một số bài toán ở dạng này nếu ta không biết vận dụng kiến thức hệ
thức Vi ét thì việc giải các toán quả là một khó khăn.Qua các đợt
thi tôi thấy ngay cả với một số thầy, cô cũng nh đối với các em học
sinh khi gặp các dạng này cũng đang còn lúng túng cha có hớng giải.
Bài viết này tôi muốn các bạn đồng nghiệp cùng trao đổi, các em học
sinh hệ thống lại các dạng toán thờng gặp và những lu ý cần thiết khi
giải chúng. Các dạng toán đợc thông qua các ví dụ.
A.Kiến thức cơ bản:
1. Nội dung hệ thức: Nếu phơng trình bậc hai ax2 +bx +c = 0 có
nghiệm x1; x2 thì
S = x1 + x2 =

b
;
a

Lu ý: Khi đó ta cũng có x1 - x2 =

P = x1. x2 =

c

a


a

2. Các ứng dụng:
+ Phơng trình bậc hai ax2 +bx +c = 0 có nghiệm x1 = 1 và x2 =

c

a

a+ b+ c = 0
+ Phơng trình bậc hai ax2 +bx +c = 0 có nghiệm x1 = -1 và x2 = a- b+ c = 0

c
a

+ Nếu hai số u và v mà u + v =S còn u.v = P thì hai số đó là
nghiệm của phơng trình:
t2 S .t +P = 0
(Với đk: S2 4 0 )
3. Các hệ quả ( dễ dàng các em HS chứng minh đợc)
Cho phơng trình bậc hai ax2 +bx +c = 0 thì:
b
0
a
b
0
+Phơng trình bậc hai có ít nhất một nghiệm âm 0 và

a
c
+Phơng trình bậc hai có hai nghiệm cùng dấu 0 và > 0
a
c
b
+Phơng trình bậc hai có hai nghiệm cùng dơng 0 và > 0;
a
a

+Phơng trình bậc hai có ít nhất một nghiệm dơng 0 và

>0


+Phơng trình bậc hai có hai nghiệm cùng âm 0 và

c
b
>0;
<
a
a

0
+Phơng trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu a.c < 0

B. Các dạng bài tập vận dụng hệ thức Vi ét để giải:

* Dạng 1: Các bài tập về tính giá trị biểu thức thông qua

việc biểu diễn dới dạng tổng và tích các nghiệm của phơng
trình:
a.Các ví dụ:
Bài1:Cho phơng trình: x2 3x + m = 0 (với m là tham số) có hai
nghiệm x1; x2 (x1> x2).
Tính giá trị biểu thức P = x13. x2+ x1. x23 theo m.
(Đề thi TS lớp 10 THPT Đồng Nai Năm học 2008 - 2009 )

Giải: Theo giả thiết bài toán x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình.
áp dụng hệ thức Vi ét ta có: x1 + x2 = 3; x1. x2 = m
Với giả thiết x1 > x2 ta suy ra: P = x13. x2+ x1. x23 = x1. x2 (x12 - x22)
= x1. x2 (x1 + x2)( x1 - x2) = 3m( x1 x2 )
= 3m ( x1 x 2 ) 2 = 3m ( x1 + x 2 ) 2 4 x1 x 2
= 3m 9 4m
2
Bài 2: Cho phơng trình mx + 2(m+1)x 3 = 0 (với m là tham số) có
hai nghiệm x1; x2 .
Tính giá trị biểu thức A = x13+ x23 theo m.
(Đề thi TS lớp 10 trờng PT Năng khiếu ĐHQuốc gia TP.HCM- Năm học 2009 2010)

Giải: Theo hệ thức Vi ét ta có : x1 + x2 =
Do đó

2( m + 1)
;
m

x1. x2 =

A = x13+ x23 = (x1 + x2)3 3 x1. x2 (x1 + x2)


3
m

3

2(m + 1)
3 2(m + 1)
3
=



m
m


m

3
2
8m + 42m + 42m + 8
=
m3

-) Các bài tập tự luyện
Cho phơng trình: x2 - 5x + 3 = 0 . Gọi x 1; x2 là 2 ngiệm của
phơng trình không giải hãy tính:
1) x12 + x22 ;
2) x1 x2 ;

3) x 12 - x22
;
4) x 13 x2 3
1

1

1

1

x 3

x 3

x
x
1
+ 2
5) x + x
;
6) x 2 + x 2 ;
7)
;
8) 2 + 1
x1
x2
x1 x 2
1
2

1
2
b.Nhận xét: Để giải các dạng toán này ta có thể làm theo các bớc
sau:
Bớc 1: Chứng minh phơng trình có nghiệm nếu cần.
Bớc 2: áp dụng hệ thức Vi ét tính tổng và tích các nghiệm.
Bớc 3: Biểu diễn các biểu thức đã cho theo tổng và tích các nghiệm
rồi tính..


* Dạng 2: Cho phơng trình bậc hai có chứa tham số. Hãy
tìm giá trị của tham số để phơng trình có nghiệm thỏa mãn
một điều kiện nào đó, mà trong các điều kiện đó có chứa
biểu thức viết đợc dới dạng tổng và tích các nghiệm.
a. Các ví dụ:
Bài 1: Tìm giá trị tham số m để phơng trình:
x2 2(m - 1)x + m2 = 0 có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x12 +
x22 = 14
(Đề thi KSCL giáo viên THCS Tỉnh Hà Tĩnh Năm 2009)

Giải: Để phơng trình đã cho có nghiệm / 0 1- 2m 0 m
1
2

áp dụng hệ thức Vi ét ta có: x1 + x2 = 2(m -1 ); x1. x2 = m2
( 1)
2
2
2


x1 + x2 = 14
(x1 + x2) 2 x1. x2 = 14
(2)
2
2
2
Từ (1) và (2) ta có : [ 2(m 1)] 2m = 14 m 4m 5 = 0
(3)
Ta có a b + c = 1 ( - 4) + (-5) = 0 , suy ra phơng trình (3) có hai
nghiệm:
m1 = -1; m2 = 5
Đối chiếu với đk trên m = 5 >

1
2

nên không thỏa mãn.

Vậy với m = -1 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn
x12 + x22 = 14.
Bài2: Cho phơng trình:
(m - 1)x2 2mx + m + 1 = 0 (m là tham số)
1) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
m 1 .
2)Tính giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1;
x2 thỏa mãn:
x1
x2

x

5
+2 + =
0
x1
2

Đề thi GVDG - THCS Thị xã Hồng Lĩnh - Năm 2005)

Giải: a) Ta có / = 1 > 0 . Vậy phơng trình luôn có hai nghiệm
phân biệt m 1 .
b) áp hệ thức Vi ét ta có x1 + x2 =
Từ đó ta có

[

2m
;
m 1

x1. x2 =

m +1
m 1

x1
x
5
+ 2 + =
0
2(x12 + x22 ) + 5x1.x2 = 0

x2
x1
2

]

2 ( x1 + x 2 ) 2 2 x1 .x 2 + 5 x1.x2 = 0 2 (x1 + x2) + x1.x2 = 0
2.

4m 2
m +1
1
= 0 9m2 = 1 m =
2 +
(m 1)
m 1
3

-) Các bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho phơng ẩn x: x2 + (4m + 1)x + (2m 4) = 0
Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2
thỏa mãn:
x1 - x2 = 17


(Đề thi KSCL giáo viên - THCS Thị xã Hồng Lĩnh - Năm học 2006
2007)
Bài 2: Cho phơng trình : mx2 + 3(m+ 1)x + 3 = 0
Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2
thỏa mãn:

x12 + x22 = 34
(Đề thi TS lớp 10PT Năng khiếu ĐH Quốc gia TP.HCM- Năm học 2008 2009 )
Bài 3: : Cho phơng trình : x2 - 2mx 1 = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt .
b)Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình trên . Tìm m để :
x12 + x22 x1x2 = 17
(Đề thi TS lớp 10 THPT -TP.Hồ Chí Minh- Năm học 2008 - 2009 )
b.Nhận xét: Để giải dạng toán này ta có thể thực hiện theo 4 bớc
sau:
Bớc 1:Tìm điều kiện để phơng trình có nghiêm (nếu cần).
Bớc 2: Biểu diễn biểu thức đã cho theo tổng và tích các nghiệm.
Bớc 3: áp dụng hệ thức Vi ét để tính tổng và tích các nghiệm và
sau đó giải theo yêu cầu đề bài để xác định giá trị của tham số.
Bớc 4: Đối chiếu với giá trị của tham số vừa tìm đợc với điều kiện
tham số ở bớc 1 để da ra kết luận.
* Dạng 3: Cho phơng trình bậc hai có chứa tham số. Hãy
tìm giá trị của tham số m để phơng trình có nghịêm thỏa
mãn một điều kiện nào đó, mà trong các điều kiện đó không
chứa biểu thức viết đợc dới dạng tổng và tích các nghiệm.
a.Các ví dụ:
Bài 1: Cho phơng trình: 2x2 + (2m -1)x + m -1 = 0 (*)
1) Hãy tìm các giá trị của m để các nghiệm đó thỏa mãn hệ thức:
3x1 4x2 = 11
2) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm.
(Đề thi KSCL giáo viên - THCS Tỉnh Hà Tĩnh - Năm 2002)
Giải: 1)Ta có = (2m - 3)2 0 m, vậy phơng trình đã cho luôn có
nghiệm.
áp hệ thức Vi ét ta có :
(2)
Để 3x1 4x2 = 11


x 1 + x2 =

1 2m
2

(3)

Giải phơng trình (1) và (3) ta đơc:

x1 =

(1);

x 1. x2 =

13 4m
;
4

Thế vào phơng trình (2) ta đợc: 8m2 17m 66 = 0
Giải phơng trình (4) ta đợc: m1 = -2 ;

33
m2 =
8

x2 =

m 1

2

19 6m
14

(4)


3


m
2

(2m - 3) > 0
2
> 0


1

1 2m

< 0 m >
2)Để pt (*)có hai nghiệm đều âm x1 + x 2 < 0
2
x .x > 0
2

1 2

m 1
m > 1
2 > 0


3

m
2

m > 1
3
Vậy m
và m > 1 thì phơng trình có hai nghiệm đều âm.
2

Bài 2: Cho phơng trình: mx2 - 2 (m +1)x + m + 3 = 0 (1)
1)Giải và biện luận
2)Tìm m để pt có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và
trái dấu nhau.
Giải: 1) Nếu m = 0 phơng trình đã cho trở thành phơng trình bậc
nhất -2x +3 = 0 có nghiệm x =

3
2

Nếu m 0, phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai: mx2 - 2 (m
+1)x + m + 3 = 0 (1)
2
/ = [-(m + 1)] m(m + 3) = 1 m

/ = 0 m = 1 phơng trình (1) có nghiệm : x1 = x2 = 2 ;
/ < 0 m >1 phơng trình (1) vô nghiệm.
/ > 0 m < 1 phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
x1 =

m +1+ 1 m
m +1 1 m
; x2 =
;
m
m

m 0

2)Theo kết quả câu a, điều kiện để phơng trình có hai nghiệm có

m < 1; m 0

m+3

<0
giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau là P =
m

2( m + 1)

=0
S =
m


m

= -1
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho phơng trình: (m+ 1)x2 (2m+3)x + 2 = 0 (với m thm số)
1)Giải phơng trình với m = 1
2)Hãy tìm các giá trị của m để các nghiệm đó thỏa mãn hệ thức:
x2 4x1 = 0
(Đề thi TS lớp 10 trờng PT chuyên Hà Tĩnh- Năm học 2007 - 2008 )
b. Nhận xét: Để giải loại toán dạng này ta có thể thực hiện theo 4 bớc
sau:
Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm.
Bớc 2: áp dụng hệ thức Vi ét để tính tổng và tích các nghiệm.


Bớc 3: Từ điều kiện đã cho, kết hợp với x1 + x2 =
=

c
a

b
a

(1); hoặc x1 .x2

(2); chọn để giải hệ phơng trình bằng cách thuận lợi nhất tìm

x1; x2 thế vào (1) hoặc (2) tìm m.
Bớc 4: Đối chiếu với của tham số vừa tìm đợc với điều kiện tham số ở

bớc1 để đa ra kết luận.
*) Dạng 4: Giải phơng trình bậc hai:
a. Các ví dụ:
Bài 1: Giải các phơng trình:
a) 1.5 x2 1.6x + 0.1 = 0
(1)
:
b) 3 x2 (1 - 3 )x 1
=0
(2)
( Bài tập 31 trang 54 SGK Toán 9 tập 2)
Giải: a) Ta có a + b + c = 1.5 + (- 1.6) + 0.1 = 0
Suy ra phơng trình ( 1 ) có hai nghiệm: x1 = 1 ; x2 =
b) Ta có a b + c =

[ (

)]

1
15

3 - 1 3 + (-1) = 0

Suy ra phơng trình ( 2 ) có hai nghiệm: x1 = - 1; x2=
Các bài tự luyện
Giải phơng trình:

1
3


1) (2 - 3 )x2 + 2 3 x ( 2+ 3 ) = 0
2) (m- 1)x2 (2m +3)x + m + 4 =0
b. Nhận xét: Để giải phơng trình bậc hai ta có thể theo các bớc sau:
Bớc 1:Lần lợt nhẩm a + b + c và a b +c.
Bớc 2: Nếu a + b + c = 0 hay a b +c = 0 thì kết luận nh trên.Còn
nếu a + b + c và a b +c đều khác 0 thì dùng công thức nghiệm thu
gọn.
*) Dạng 5: Tìm hai số khi biết tổng và tích hoặc quy về
đợc dạng tổng và tích.
a. Các ví dụ: Tìm x và y biết:
1) x + y = 3 và x.y = 2 ;
2) x2 + y2 = 25 và x. y = 12
3) x y = 5 và x. y = 25 ;
4) x + 3y = 1 và x .y = - 4 ; 5) 2x
y = 8 và x.y = - 6
Giải: (tắt)
1) x và y là nghiệm của phơng: t2 3t + 2 = 0
Ta có t = 1và 2 (x = 1 và y = 2); ( x= 2 và y= 1)
2) x2 + y2 = 25 và x2. y2 = 144 x2 và y2 là nghiệm của phơng
trình:
t2 25t + 144 = 0
Giải ra ta đợc t = 16 và 9 (x = 3 và y = 4); ( x= 4 và y= 3); (x = -3
và y =- 4);
( x= - 4 và y= - 3)
3) x + (- y) = 5 và x(-y)= -xy = -24 x và -y là nghiệm của phơng
trình:
t2 5t 24 = 0
giải ra ta đợc t = - 3 và 8 (x = - 3 và y = -8); ( x= 8 và y = 3)



4) x + 3y = 1 và x .3y = -12 x và 3y là nghiệm của phơng
trình: t2 t 12 = 0
giải ra ta đợc t = - 3 và 4 (x = - 3 và y =

4
); ( x= 4 và y = -1)
3

5) 2x + (-y) = 8 và 2x (-y)= -2xy = 12 2x và -y là nghiệm của phơng trình:
t2 8t + 12 = 0
giải ra ta đợc t = 2 và 6 (x = 1 và y = - 6); ( x= 3 và y = -2)
Các bài tập tự luyện: Tìm x và y biết:
1) x + y = 2 và x.y = 9;
2) x 2 + y2 = 42 và x. y = 9
3) x + 2 y = - 49 và x. y = 20 ;
4)3 x + y = -4 và x .y = - 2
b. Nhận xét: Để giải loại bài toán dạng này ta có thể làm theo các bớc
sau:
Bớc 1:Viết các biểu thức đã cho dới dạng xác định đợc tổng và tích
(nếu cha có).
Bớc 2: Lập phơng trình dựa vào ứng dụng tìm hai số của hệ thức Vi
ét.
Bớc 3: Giải phơng trình lập ở bớc 2, thay vào để kết luận.
*Dạng 6: So sánh nghiệm của phơng trình với một số cho
trớc.
a.Các ví dụ:
Bài tập 1: Cho phơng trình : mx2 5x + m = 0
Tìm m để phơng trình có nghiệm lớn hơn 1.
(Đề thi GVDG - THCS Can Lộc Hà Tĩnh - Năm học 2005 - 2006)


Giải: Đặt t = x 1 x = t + 1. Thay vào phơng trình đã cho ta đợc:
(t + 1)2m 5(t + 1) + m = 0 mt2 + (2m - 5)t + 2m 5 = 0
(1)
Ta thấy để phơng trình đã cho có nghiệm lớn hơn 1 thì phơng
25 4m 2 0
0


5 2m
trình (1) phải có ít nhất một nghiệm dơng b
0
a 0

m
5
02
5
Vậy 0 < m thì phơng trình (1) có ít nhất một nghiệm dơng, nên
2

phơng trình đã cho có ít nhất một nghiệm lớn hơn 1.
Bài 2: Tìm m để phơng trình sau có hai nghiệm phân biệt nhỏ
hơn 1.
x2 (m - 1)x - m = 0
Giải: Để phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 1
điều kiện là:
( m + 1) 2 > 0
> 0

m 1
m 1




2 2m > 0 m < 1
m < 1
( x1 1)( x 2 1) > 0
( x 1) + ( x 1) < 0
m 3 < 0
m < 3

2
1




Vậy m -1 và m < 1 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân
biệt nhỏ hơn 1.


Các bài tự luyện:
Bài 1: Tìm k để phơng trình x2 + (2k + 1)x + k2 = 0 có ít nhất một
nghiệm lớn hơn hay bằng 1.
Bài 2: Tìm a để phơng trình : x2 +ax 1 = 0 có ít nhất một
nghiệm lớn hơn bằng 2.
b. Nhận xét: Để giải loại toán dạng này ta có thể thực hiện theo 2 bớc:
Bớc 1: Lập phơng trình ẩn t đợc xác định t = x - bằng cách thay x

= t + vào phơng trình đã cho.Ta đợc phơng trình mới ẩn t.
Bớc 2: So sánh nghiệm của phơng trình mới với 0 dựa vào hệ quả của
hệ thức Vi ét.
*) Dạng 7: Lập phơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm của
phơng trình.
a. Các ví dụ:
Bài 1: Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm x1 = 1 + 2 ; và x2 = 1
- 2
Giải:
Ta có x1 + x2 = 2; x1 .x2 = - 1
Từ đó ta có phơng trình bậc hai nhận các nghiệm x1 = 1 + 2 ; và x2
= 1 - 2 là:
x2 2x 1 = 0
Bài 2: Cho ; là các nghiệm của phơng trình x2 3kx + 1 = 0
Hãy lập phơng trình bậc hai có các nghiệm 2 + 2 và 2 . 2
. = 1 (theo hệ thức Vi ét )
Giải: (tắt)
Ta có + = 3k ;
2
Suy ra phơng trình phải tìm là: t ( 9k2 2)t + 1 = 20
Bài tập tự luyện:
Bài1. Cho phơng trình: x2 (m - 1)x m = 0
1) Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm là t1= 1- x1; t2 = 1- x2
2) Tìm m để pt đã cho có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1< 1< x2
(Đề thi TS lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong- Tỉnh Nam Định- Năm học
2007 - 2008 )
b. Nhận xét: Để giải loại toán dạng này ta có thể thực hiện theo 2 bớc:
Bớc 1: Tính tổng và tích các nghiệm mà đề bài đã cho.
Bớc 2: Lập phơng trình dựa vào ứng dụng tìm hai số của hệ thức Vi
ét.

*) Dạng 8: Các bài toán chứng minh
a. Các ví dụ:
Bài 1: Chứng minh rằng tồn tại một phơng trình có các hệ số hữu tỷ
nhận

2003 2005
2003 + 2005

làm nghiệm.

(Đề thi GVDG - THCS Can Lộc Hà Tĩnh - Năm học 2003 - 2004)

Giải: giả sử x1 =

2003 2005

2003 + 2005
Chọn x2 = - 2004 - 2003.2005

Ta có: x1 + x2 = - 4008 ;

= - 2004 +

2003.2005

x1 .x2 = 1 nên x1; x2 là nghiệm của phơng :
x2 + 400x + 1 = 0


x2 + 400x + 1 = 0 nhận

Vậy phơng trình:

2003 2005
2003 + 2005

làm

nghiệm .
Bài 2: Chứng minh rằng nếu a, b là các số nguyên lẻ thì phơng trình
x2 + ax + b = 0 không có nghiệm nguyên.
(Đề thi GVDG - THCS Can Lộc Hà Tĩnh - Năm học 2008 - 2009)

Giải: Giả sử pt: x2 + ax + b = 0 với a,b Z và a, b lẻ có nghiệm
nguyên x1; x2 .
Theo hệ thức Vi ét ta có: x1 + x2 = - a ; x1 .x2 = b
Điều này không xảy ra với a, b đều lẻ.
Vậy phơng trình không có nghiệm nguyên với a, b đều là số nguyên
lẻ.
Bài 3: Cho phơng trình : x2 2(m - 1)x + m 3 = 0 ( m tham số)
Với mỗi số tự nhiên n, đặt Sn = x1n + x2n .
Chứng minh rằng: Sn +2 - 2 (m - 1)Sn+1 + (m - 3)Sn = 0
3

6

Giải: Ta có / = (m - )2 + > 0 . Vậy phơng trình luôn có hai
2
4
nghiệm phân biệt .

áp hệ thức Vi ét ta có x1 + x2 = 2(m - 1) ; x1. x2 = m 3
Do đó ta có :
Sn +2 - 2 (m - 1)Sn+1 + (m - 3)Sn
= x1n+2 + x2n +2 2(m-1)( x1n +1+ x2n+1) + (m - 3)( x1n +
x2n)
= x1n[x12 2(m 1)x1 + m 3] + x1n [x12 2(m 1)x1 +
m 3]
= [ x12 2(m 1)x1 + m 3] .( x1n + x2n)
= [x12 - ( x1 + x2) x1 + x1. x2]. ( x1n + x2n)
=0
Bài tập tự luyện:
Chứng minh rằng tồn tại một phơng trình có các số hữu tỷ nhận
một trong các nghiệm là:

a)

3 5
3+ 5

;

b)

2+ 3
2 3

b. Nhận xét: Để giải loại toán dạng này ta có thể thực hiện theo 3 bớc:
Bớc 1: Nếu phơng trình có 1 nghiệm, chọn nghiệm thứ 2 ( nếu cần)
Bớc 2: Tính tổng và tích các nghiệm.
Bớc 3: Từ đó kết hợp với yêu cầu bài toán đi đến điều phải chứng

minh.
*) Dạng 9: Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không
phụ thuộc vào tham số.
a.Các ví dụ:
Bài 1: Cho phơng trình: x2 +( 4m +1 )x + 2( m-4) = 0
Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m.
(Đề thi KSCL giáo viên - THCS Thị xã Hồng Lĩnh Hà Tĩnh - Năm
2006- 2007)
Giải: Ta có = 16m2 + 17 > 0 m. Vậy phơng trình đã cho luôn có
nghiệm.
áp hệ thức Vi ét ta có x1 + x2 = - (4m + 1) ; x1. x2 = 2(m 4)


x 1 + x 2 = - (4m +1)
x 1 . x 2 = 2(m - 4)

Từ đó ta có hệ phơng trình:



x 1 + x 2 = - (4m + 1)

2x 1 . x 2 = 4(m - 4)

Cộng vế với vế của hai phơng trình trên ta đợc: x1 + x2 +2 x1. x2 = -17
Vậy hệ thức cân tìm là : x1 + x2 +2 x1. x2 + 17 = 0
Bài 2: Cho phơng trình: x2 +( m +1 )x + 5 - m = 0 có hai nghiệm
x1; x2 Hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc
vào m.
Giải: áp hệ thức Vi ét ta có x1 + x2 = - m 1

(1); x1. x2 = 5 m
(2)
Từ (2) suy ra : m = 5 - x1. x2 .
Thay vào (1) ta đợc: x1 + x2 = x1.x2
-6
Vậy hệ thức cân tìm là: x1 + x2 - x1.x2 + 6 = 0
Các bài tập tự luyện
Bài 1: Cho phơng trình: x2 2(m - 4)x + m 3 = 0 có hai nghiệm x1;
x2 Hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào
m.
Bài 2: Cho phơng trình:(m-1)x2 2m x + m + 1 = 0 có hai nghiệm
x1; x2 Hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc
m.
b. Nhận xét: : Để giải loại toán dạng này ta có thể thực hiện theo 3
bớc:
Bớc 1: Chỉ ra phơng trình bậc hai luôn có nghiệm với mọi giá trị của
tham số(nếu cần)
Bớc 2: áp dụng hệ thức Vi ét tính tổng và tích các nghiệm.
Bớc 3: Cộng, trừ, nhân hay chia hai vế để khử tham số ta đợc hệ
thức cần tìm.
*)Dạng 10: Các bài toán về tìm GTNN, GTLN
a) Các ví dụ:
Bài 1: Cho phơng trình: x2 + (4m +1)x +2m 4 = 0
Tìm m để biểu thức A = (x1 x2)2 có giá trị nhỏ nhất.
(Đề thi KSCL giáo viên - THCS Thị xã Hồng Lĩnh Hà Tĩnh - Năm
2006- 2007)
Giải: Ta có = 16m2 + 17 > 0 m. Vậy phơng trình đã cho luôn có
nghiệm.
áp hệ thức Vi ét ta có x1 + x2 = - (4m + 1) ; x1. x2 = 2(m 4)
Do đó A = (x1 x2)2 = (x1 + x2)2 - 4 x1 .x2 = [- (4m+1)]2- 4 . 2(m - 4)

= 16m2 + 17 17
Vậy biểu thức A đạt GTNN là 17 khi m = 0.
Bài 2: Cho phơng trình:
x2 2mx 16 + 5m2= 0
1.Tìm m để phơng trình có nghiệm.
2.Gọi x1; x2 là các nghiệm tơng ứng của phơng trình. Tìm GTLN
và GTNN của
biểu thức A = x1(5x1 + 3x2 - 17) + x2(5x2 + 3x1
- 17)
(Đề thi TS lớp 10 THPT -TP.Hồ Chí Minh- Năm học 2009 - 2010 )


Giải:1)Vì / = 4(4 m2) nên phơng trình có nghiệm khi và chỉ khi /
0 -2 m 2
2) Với -2 m 2 thì phơng trình luôn có nghiệm
áp hệ thức Vi ét ta có x1 + x2 = 2m ; x1. x2 = 5m2 - 16
Do đó ta có: A = x1(5x1 + 3x2 - 17) + x2(5x2 + 3x1 - 17)
= 5(x1 + x2)2 - 4 x1. x2
- 17(x1+ x2) = 64 34m
Từ đó Amin = - 4 tại m = 2; Amax = 132 tại m= -2
Các bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm m để phơng trình sau có tổng bình phơng các nghiệm
nhỏ nhất.
x2 + (m +1)x + 1 = 0
Bài 2: Cho phơng trình:
x2 + (a - 1)x a2 - 2 = 0
(1)
1) Giải phơng trình khi a = -1
2) Với giá trị nào của a thì phơng trình (1) có nghiệm x = 3.
3) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình (1).Tìm GTNN của biểu

thức :
P = x12 + x22 + x1. x2
(Đề thi KSCL giáo viên - THCS Cẩm Xuyên Hà Tĩnh - Năm 20032004)
Trên đây là một số dạng toán sử dụng kiến thức hệ thức Vi ét
để giải, xin đa ra để trao đổi cùng đồng nghiệp.Rất mong các
đồng nghiệp góp ý để giúp các em học sinh học tập môn Toán và
tham gia vào các kỳ thi làm bài tốt hơn.