Cách giải một dạng toán thường gặp ở chương trình toán 9
.................................................................................................
..................

PHẦN I. MỞ ĐẦU
I. lý do chọn đề tài.
Ở trường phổ thông, việc dạy toán học cho học sinh thực chất là việc dạy các
hoạt động toán học cho các em. Cụ thể khi truyền thụ cho học sinh một đơn vị kiến
thức thì ngoài việc cho học sinh tìm hiểu, tiếp cận, nắm vững đơn vị kiến thức đó thì
một việc không kém phần quan trọng là vận dụng đơn vị kiến thức đã học vào các
hoạt động toán học. Đây là một hoạt động mà theo tôi, thông qua đó dạy cho học sinh
phương pháp tự học, một nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên đứng lớp.
Xuất phát từ quan điểm trên, vấn đề khai thác và cùng học sinh khai thác một
bài toán cơ bản trong sách giáo khoa để từ đó xây dựng được một hệ thống bài tập từ
cơ bản đến nâng cao đến bài toán khó là một hoạt động không thể thiếu đối với người
giáo viên.
Với những lý do trên đây, trong sáng kiến này tôi đưa ra "Một dạng toán
thường gặp trong chương trình Đại Số 9"
II. Phạm vi nghiên cứu.
1. Phạm vi của đề tài.
Chương I. Môn Đại sổ 9
2. Đối tượng
Học sinh lớp 9B, 9C trường THCS Cẩm Nhượng.
3. Mục đích:
a) Kiến thức:
1. Viết một biểu thức dưới dạng lũy thừa bậc hai của một tổng hoặc hiệu.
2. Rút gọn một biểu thức có dạng: A2 = A
b) Kỹ năng:
Học sinh có kỹ năng vận dụng, suy luận từ những hằng đẳng thức đã học ở
lớp 8 để chứng minh đẳng thức, rút gọn biểu thức, giải phương trình, tìm GTNN
của biểu thức chứa căn thức bậc hai.

PHẦN II. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI
A. NỘI DUNG
1


Cách giải một dạng toán thường gặp ở chương trình toán 9
.................................................................................................
..................

I. Cơ sở lý luận của đề tài:
Các biểu thức có dạng: a ± 2 b1 b 2
Với b1 ≥ 0, b 2 ≥ 0 và b1+ b 2 = a được viết dưới dạng lũy thừa bậc hai như sau:
a ±2 b 2 b1 =

(

b 2 ± b1

)

2

Chứng minh:
Biến đổi vế trái

a ± 2 b1 b 2 = b + b ± 2 b1 b 2
1
2

(


) (
)
= b ( b ± b )+ b ( b ± b )
=( b ± b )( b ± b )
=( b ± b )
= b1± b1 b 2 + b 2 ± b1 b 2
1

1

2

1

2

2

1

1

2

2

2

1


2

II. Nội dung và phương pháp nghiên cứu.
Thông qua việc giảng dạy học sinh tôi xin đưa ra một số bài tập sau:
Bài tập
Dạng 1: Chứng minh đẳng thức
Bài tập 1. Chứng minh:
a)

(

)

3 −1

2

= 4−2 3

b) 6 − 2 5 − 5 = − 1

Giải
a) 4 − 2 3 = 4 − 2 3. 1 =

(

3− 1

)


2

( vì 3 + 1 = 4)

(

b) 6 − 2 5 − 5 = 6 − 2 5. 1 − 5 =

Bài tập 2. Chứng minh:
2

)

5 −1

2

− 5 = 5 − 1 − 5 = −1


Cách giải một dạng toán thường gặp ở chương trình toán 9
.................................................................................................
..................

a) 9 + 4 5 =

(

5 +2


)

2

2



b) 23 − 8 7 =  4− 7 ÷÷




Giải
a) 9 + 4 5 = 9 + 2.2. 5 = 9 + 2. 4. 5 =

(

5+ 4

b) 23−8 7 = 23− 2.4. 7 = 23− 2. 16. 7 =
Bài tập 3. Chứng minh: x + 2 2 x − 4 =

(

(

) (
2


=

5+2

)

2

) (
2

16 − 7
2 + x−2

)

= 4− 7

2

( vì 4 + 5 = 9)

)

2

(vì 16+ 7 = 23)

( với x ≥ 2)


Giải
x + 2 2 x − 4 = x + 2 2( x − 2) = x + 2. 2. ( x − 2) =

(

2 + ( x − 2)

)

2

( vì 2 + x - 2 = x )

Dạng 2. Rút gọn biểu thức:
Bài tập 1. Rút gọn các biểu thức:
4− 2 3 − 3

a)

b) 11− 6 2 − 3 + 2

Giải
4− 2 3 − 3

a)

2

= 4 − 2 3 1 − 3 = ( 3 −1) − 3 = 3 −1 − 3 = −1

b) 11− 6 2 − 3 + 2

= 11− 2. 9. 2 − 3 + 2 =

(

3+ 2

)

2

− 3+ 2 =3+ 2 − 3+ 2 = 2 2
( vì 9 + 2 = 11)

Bài tập 2. Rút gọn các biểu thức:
a)

(

2− 3

)

2

+ 4−2 3

b) 15 − 6 6 + 33−12 6
Giải


3


Cách giải một dạng toán thường gặp ở chương trình toán 9
.................................................................................................
..................

(

a)

2− 3

)

2

+ 4−2 3

= 2 − 3 + 4 − 2 3. 1 = 2 − 3 +

(

3− 1

)

2


= 2 − 3 + 3 − 1 = 2 − 3 + 3 −1 = 1
b) 15 − 6 6 + 33−12 6 = 15 − 2.3 6 + 33− 2.3.2 6

(

=

3− 6

) (
2

+

3− 2 6

)

2

= 3− 6 + 3− 2 6

= 3 − 6 + 2 6 − 3 = 6 ( vì3 − 2 6 < 0)
Bài tập 3. Rút gọn các biểu thức:
a)

b)

2+ 3 + 2− 3


3+ 5 − 3− 5 − 2

Giải
a) 2 + 3 + 2 − 3 = 2 + 2.

=




3

=

2

3
2
+

1

+
1
2

2

÷


2

3

+

2

+





3
2

1

−

2

−

1

2

÷


2
3

=2

3 1
3 1
.
+ 2−2 .
2 2
2 2

2

=

3 1
(vì + = 2)
2 2
12
2

= 6

Lưu ý: Ta cũng có thể nhân và chia với cùng một số với 2 , ta có lời giải sau:
b)
=

=

=

3+ 5 − 3− 5 − 2
6+ 2 5
2

(

)

5 +1
2

−
2

−

5 +1− 5 +1
2

6−2 5
2

(

− 2

)


5 −1
2

2

− 2

− 2 =0
4


Cách giải một dạng toán thường gặp ở chương trình toán 9
.................................................................................................
..................

Hoàn toàn tương tự như các bài tập trên ta cho học sinh tìm hiểu một bài tập khó
hơn.
Bài tập 4. Rút gọn biểu thức:
( Trích đề thi HSG quận Tân Bình, TPHCM)

A = 9 + 17 − 9 − 17 − 2

Giải
17

A = 9+ 2






=

=

17
2

17
2

+

4

1
2

2


÷
2

1

+

17


− 9− 2

17

−

2

−

+

− 2 = 9+ 2

4





17
2

1

−

1

2


2

2
− 2=

÷

2

− 2=2

17

1
2

− 2=

1

.

2

17
2

+


4
2

− 9−2


−
2 

1

− 2 =0

Hoặc GV hướng dẫn HS giải như sau:
A=

A=
A=
A=

18+ 2 17 − 18− 2 17
2

(

) (
2

17 +1 −


2
17 +1− 17 +1
2
2
2

)

17 −1

− 2
2

− 2

− 2

− 2 =0

Vận dụng bài tập trên ta cho HS giải tiếp các bài tập sau:
Bài tập 5. với a > 1, rút gọn biểu thức:
a + 2a − 1 − a − 2a − 1

Giải

5

17
2
17

2

.

−

1
2

− 2


÷−
2

1

2


Cách giải một dạng toán thường gặp ở chương trình toán 9
.................................................................................................
..................

2a −1

a + 2a −1 − a − 2a −1 = a + 2
2a −1

= a + 2.


=

=





2

2a −1
2

2a −1
2

+

+
1
2

.

1

− a − 2.

2


2


÷
2

1

−

−





2a −1
2

+

2a −1
2

2a −1
2
1
2


−

= 2.

4
1

.

− a−2

4

2a −1 1
+ = a)
2
2

(vì

2

2a −1

2


÷
2


1

1
2

=

4
2

= 2

Lưu ý: Học sinh có thể cùng nhân và chia với 2 .
Bài tập 6. Rút gọn
B = 2 x −1+ 2 x 2 − x + 2 x −1− 2 x 2 − x

với x ≥ 1

Hướng dẫn
B = 2 x −1+ 2 x( x −1) + 2 x −1− 2 x( x −1)
B = x + 2 x( x −1) + x −1 + x − 2 x( x −1) + x −1
B=

(

x + x −1

) (
2


+

x − x −1

)

2

B = x + x −1 + x − x −1 = 2 x
Đến đây chắc chắn HS đã có kỹ năng giải các bài tập dạng này, ta đưa ra những
bài tập khó hơn để HS cùng tìm hiểu.
Bài tập 7. Cho a, b, c là các số dương, rút gọn biểu thức:

C = a + b + c + 2 ac + bc + a + b + c − 2 ac + bc
Giải
Với a, b, c > 0 ta có:

6


Cách giải một dạng toán thường gặp ở chương trình toán 9
.................................................................................................
..................

C = a+ b + c + 2 ac + bc + a + b + c − 2 ac + bc
C = (a+ b) + c + 2 (a + b)c + (a+ b) + c − 2 (a+ b)c
=

(


=

a + b + c + a+ b − c

a+ b + c

)

2

+

(

a+ b − c

= a+ b + c + a+ b − c
- Nếu a + b ≥ c thì C =

)

2

Vì

a+ b + c > 0

a+ b + c + a+ b − c = 2 a+ b .

- Nếu a + b < c thì C = a + b + c − a + b + c = 2 c .



2 a + b nÕua + b ≥ c
C =

nÕu a + b < c.
2 c

Tóm lại:

Dạng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài tập 1. Tìm GTNN của biểu thức: N = x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1
( Trích đề thi HSG Toán 9 huyện Cẩm Xuyên)
Hướng dẫn
ĐKXĐ: x ≥ 1
N = x −1+ 2 x −1 +1 + x −1− 2 x −1 +1
N=
N=

(

) (
2

x −1 +1 +

)

x −1 −1


x −1 +1 + 1− x −1 ≥

2

x −1 +1+1− x −1 = 2

Min N = 2 khi ⇔ 1 ≤ x ≤ 2
Bài tập 2. Cho M = x + 3 − 4 x − 1 + x + 15 − 8 x − 1 với x ≥ 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của M và giá trị x tương ứng.
( Trích đề thi HSG -TPHCM)
Hướng dẫn

7


Cách giải một dạng toán thường gặp ở chương trình toán 9
.................................................................................................
..................
M = x + 3 − 4 x − 1 + x + 15 − 8 x − 1

M = x + 3− 2. x −1. 4 + x +15− 2. x −1. 16

(

M=

) (
2

x −1− 2 +


x −1 − 4

)

2

M = x −1− 2 + 4 − x −1
M ≥ x −1 − 2 + 4 − x −1 = 2
Vậy: min M = 2 khi 2 ≤ x − 1 ≤ 4 ⇔ 5 ≤ x ≤ 17
Dạng 4. Giải phương trình
Bài tập 1. Giải phương trình:
a) x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 = 2

(1)

b) 2 x − 2 + 2 2 x − 3 + 2 x + 13 + 8 2 x − 3 = 5
Nhận xét:
Ở các phương trình trên học sinh có thể nhận xét vế trái có cùng căn bậc hai nên có
thể bình phương hai vế. Nhưng ở các phương trình này sau khi bình phương ( lần 1)
vẫn còn chứa căn nên rất phức tạp. Vì vậy biểu thức trong căn ta thấy sẽ viết được
dưới dạng bình phương của một biểu thức.
Giải.
ĐKXĐ: x ≥

1
2

Nhân hai vế của phương trình (1) với 2 ta được:
2x + 2 2x −1 + 2x − 2 2x −1 = 2


a)

⇔ 2 x + 2 2 x − 1. 1 + 2 x − 2 2 x − 1. 1 = 2

⇔

(

)

2

2x − 1 + 1 +

⇔ 2x − 1 + 1 +

(

)

2

2x − 1 − 1 = 2

2x − 1 − 1 = 2

(*)

Nếu 2 x − 1 ≥ 1 ⇔ 2 x − 1 ≥ 1 ⇔ x ≥ 1

(*) ⇔
⇔

2x − 1 + 1 + 2x − 1 − 1 = 2
2 x − 1 = 1 ⇔ 2x – 1 = 1

⇔ x=1

(2) (T/m ĐKXĐ).
8


Cách giải một dạng toán thường gặp ở chương trình toán 9
.................................................................................................
..................

Nếu 2 x − 1 < 1 ⇔ 2 x − 1 < 1 ⇔ x < 1
(*) ⇔ 2 x − 1 + 1 − 2 x − 1 + 1 = 2
0. 2 x − 1 = 0 phương trình có vố số nghiệm thõa mãn:

1
≤ x ≤ 1 (3)
2

Kết hợp (2) và (3) phương trình có vố số nghiệm thõa mãn:
3
2

b) Điều kiện: 2 x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ ;
2 x − 2 + 2 2 x − 3 + 2 x + 13 − 8 2 x − 3 = 5

⇔ 2 x − 2 + 2 2 x − 3. 1 + (2 x + 13 − 2 2 x − 3. 16 = 5
⇔

(

)

⇔

2x − 3 +1 +

2

2x − 3 +1 +

(

2x − 3 − 4

)

2

=5

2 x − 3 − 4 = 5;(**)

Đến đây giải tương tự như câu a.
Bài tập tương tự.
Bài 1. Rút gọn biểu thức:

a ) A = 8 − 2 15 − 8 + 2 15
b) B = 4 − 7 − 4 − 7
c) C = 4 − 7 − 4 + 7 + 7
d ) D = 6,5 + 12 + 6,5 + 12 + 2 6

Bài 2. Rút gọn biểu thức:
A = x − 2 − 2 x − 3 − x + 1 − 4 x − 3 với 3 ≤ x ≤ 4

Bài 3. So sánh hai số:
R=

S=

3+ 5
2 2 + 3+ 5

4+ 7
3 2 + 4+ 7

+

3− 5
2 2 − 3− 5

+

4− 7
3 2 − 4− 7

Bài 4. Giải phương trình:

a) 2 x − 2 + 2 2 x − 3 + 2 x + 13 + 8 2 x − 3 = 5
b) x + 2 − 4 x − 2 + x + 7 − 6 x − 2 = 1
9

1
≤ x ≤ 1.
2


Cách giải một dạng toán thường gặp ở chương trình toán 9
.................................................................................................
..................

c) x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 = 2 (Nhân cả 2 vế với 2 sẽ xuất hiện HĐT)
d) x − 4 x − 1 + 3 + x − 6 x − 1 + 8 = 1
e) x + 3 + 4 x − 1 + x + 8 − 6 x − 1 = 5
f) x + 3 + 3 2 x − 5 + x − 2 − 2 x − 5 = 2 2
Bài 5. Cho biểu thức:
M=

x − 4 ( x − 1) + x + 4 ( x − 1) 
1 
. 1 −
÷
2
 x −1 
− 4( x − 1)

x


a) Tìm điều kiện của x để M có nghĩa;
b) Rút gọn M.
B. ỨNG DỤNG VÀO CÔNG TÁC GIẢNG DẠY
I. Quá trình áp dụng của bản thân:
Bản thân tôi khi nghiên cứu xong sáng kiến này, tôi đã giảng dạy sáng kiến này
cho ba đối tượng học sinh TB, Khá, Giỏi, tùy từng đối tượng mà tôi chọn bài tập cho
phù hợp thì thấy đa số các em tiếp thu nội dung trong sáng kiến một cách khá dễ
dàng, các em rất hứng thú khi tự mình có thể lập ra các bài toán mới tương tự.
II. Hiệu quả khi áp dụng đề tài
Khi giảng dạy xong sáng kiến này cho học sinh hai lớp 9B và 9C tôi đã cho các
em làm bài kiểm tra và kết quả thu được như sau:
LỚP
9B
9C

SĨ
SỐ
32
31

GIỎI
SL
%
8
7

25%
23%

KHÁ

SL
%

SL

%

12
10

10
13

31%
42%

38%
32%

TB

YẾU
SL
%
2
1

6%
3%


III. Những bài học kinh nghiệm rút ra:
Qua đề sáng kiến này tôi nhận thấy rằng muốn dạy cho học sinh hiểu và vận dụng
một vấn đề nào đó trước hết người thầy phải hiểu vấn đề một cách sâu sắc, vì vậy
người thầy phải luôn học hỏi, tìm tòi, đào sâu suy nghĩ từng bài toán, không ngừng
nâng cao trình độ cho bản thân.
IV. Những kiến nghị đề xuất
10


Cách giải một dạng toán thường gặp ở chương trình toán 9
.................................................................................................
..................

Khi giảng dạy sáng kiến này cho học sinh, thầy cô cần nghiên cứu kỹ để vận
dụng phù hợp với đối tượng học sinh của mình.
PHẦN III. KẾT LUẬN
Với hệ thống bài tập nói trên tôi đã dẫn dắt từ bài toán cơ bản đến bài toán nâng
cao, tìm tòi và xây dựng bài toán khó mà cách giải bài tập sau hoàn toàn có thể suy ra
từ cách giải bài toán trước đó. Với các hệ thống bài tập tương tự mà khi giảng dạy
nếu người giáo viên biết khai thác và tập cho học sinh thói quen khai thác một cách
hiệu quả thì rõ ràng mục đích của dạy học là dạy cho học sinh phương pháp tự học,
tự tìm tòi và khám phá hoàn toàn có thể đạt được.
Trên đây là một số bài toán và suy nghĩ của tôi trong việc nâng cao chất lượng
dạy học bộ môn Toán 9. Đặc biệt là tiết luyện tập Đại số sao cho có hiệu quả. Rất
mong các bạn đồng nghiệp góp ý xây dựng để trong thực tế giảng dạy của mình đối
với môn toán nói chung và môn đại số nói riêng ngày càng có chất lượng hơn.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng với kiến thức còn hạn chế chắc chắn tôi chưa thể
đưa ra vấn đề một cách trọn vẹn được, mong các thầy cô giáo đóng góp ý kiến xây
dựng để sáng kiến này được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Tháng 01 năm 2015
Người thực hiện

11