Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

I. PHẦN MỞ ĐẦU
I.1 Lý do chọn đề tài
I.1.1. Cơ sở lý luận:
Trên bước đường cải tiến và đổi mới phương pháp dạy học cùng với những
nhiệm vụ quan trọng mà Đảng và Nhà nước ta đã vạch ra thì trách nhiệm của đội
ngũ giáo viên chúng ta là phải hình thành được ở học sinh những cơ sở, nhân cách
của người Việt Nam, có lối sống văn hóa lành mạnh có học vấn cao, có hiểu biết và
chiếm lĩnh được những nội dung của khoa học tự nhiên và xã hội, góp phần cho sự
phát triển của đất nước trong tương lai.
Toán học là một bộ phận khoa học kỹ thuật cao nhất đồng thời là chìa khóa
mở cửa tạo nền cho các ngành khoa học khác. Là bộ môn chiếm ưu thế quan trọng
trong giáo dục đặc biệt là dạy học, nó đòi hỏi ở người thầy giáo một sự lao động
nghệ thuật sáng tạo, tạo ra những phương pháp để dạy các em học sinh và giải các
bài toán cũng là nhiệm vụ trung tâm của người thầy dạy toán.
Trong hoạt động giáo dục hiện nay đồi hỏi học sinh cần phải tự học; tự
nghiên cứu rất cao. Tức là cái đích cần phải biến quá trình giáo dục thành quá trình
tự giáo dục. Như vậy học sinh có thể phát huy được năng lực sáng tạo; tư duy khoa
học từ đó xử lý linh hoạt được các vấn đề của đời sống xã hội
I.1.2. Cơ sở thực tiễn.
Trong chương trình Toán lớp 9, Sách giáo khoa lớp 9 và sách bài tập tập 1,
đưa ra rất nhiều bài tập về rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai rất khó, nó đòi
hỏi học sinh phải nắm vững các hằng đẳng thức đã được học ở lớp 8 và vận dụng
các hằng đẳng thức đã học dưới dạng biểu thức chứa dấu căn ở lớp 9 để biến đổi và
rút gọn.

1
Phùng Xuân Sơn - Trường THCS Tiên Lãng - Tiên Yên – QN

Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Việc “sử dụng hằng đẳng thức rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc
hai” trong chương trình Toán lớp 9 giúp rèn luyện được kĩ năng, phương pháp giải
toán chứa căn thức bậc hai cho học sinh lớp 9.
I.2 Mục đích nghiên cứu
Tìm ra một số phương pháp giải để giúp học sinh biết vận dụng lý thuyết vào
việc thực hành giải bài tập về rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai.
Đưa ra để thảo luận, tìm phương pháp dạy học phù hợp với từng đối tượng
học sinh, giúp học sinh nắm được phương pháp để học tốt dạng toán biến đổi biểu
thức chứa căn thức bậc hai.
I.3. Thời gian - Địa điểm
I.3.1. Thời gian:
Năm học 2013 - 2014
I.3.2. Địa điểm:
Trường THCS Tiên Lãng - Tiên Yên - Quảng Ninh.
I.3.3. Phạm vi của đề tài:
I.3.3.1. Giới hạn đối tượng nghiên cứu:
Hướng dẫn sử dụng hằng đẳng thức để giải các bài toán có chứa Căn thức
bậc hai ở lớp 9.
I.3.3.2. Giới hạn về địa bàn nghiên cứu:
Huyện Tiên Yên - Tỉnh Quảng Ninh.
I.3.3.3. Giới hạn về khách thể khảo sát:
Trong sáng kiến này tôi chỉ nghiên cứu trên HS lớp 9 THCS Tiên Lãng bao
gồm 2 lớp với tổng số 51 học sinh.

Phùng Xuân Sơn - Trường THCS Tiên Lãng - Tiên Yên – QN

2



Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

I.4. Đóng góp mới về mặt thực tiễn:
- Giúp giáo viên thấy được tầm quan trọng của việc phù đạo học sinh yếu
kém và bồi dưỡng học sinh giỏi, từ đó có ý thức đổi mới phương pháp, hình thức tổ
chức và nội dung tiết dạy sao cho phù hợp với đối tượng học sinh.
- Giúp học sinh nắm vững một số phương pháp rút gọn biểu thức bằng cách
áp dụng hằng đẳng thức.

Phùng Xuân Sơn - Trường THCS Tiên Lãng - Tiên Yên – QN

3


Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

II . PHẦN NỘI DUNG
II.1. Chương I: TỔNG QUAN
Một số vấn đề lý luận về “sử dụng hằng đẳng thức rút gọn biểu thức có
chứa căn thức bậc hai”
II.1.1. Cơ sở lý luận
Toán học là một môn khoa học trừu tượng, đóng vai trò quan trọng
trong đời sống con người, trong việc nghiên cứu khoa học. Khi học toán các em sẽ
nắm bắt được nhiều phương pháp suy luận, chứng minh, nhiều kỹ năng tính toán,
phân tích tổng hợp, giải quyết được nhiều bài toán thực trong cuộc sống. .
Môn toán cần cung cấp cho học sinh những kiến thức, kĩ năng, phương
pháp toán học phổ thông cơ bản, thiết thực. Học sinh kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ
năng đó là cơ sở để thực hiện các mục tiêu về các phương diện khác. Để đạt được
mục tiêu quan trọng này, môn toán cần trang bị cho học sinh một hệ thống vững

chắc những tri thức, kĩ năng, phương pháp cơ bản, hiện đại, sát thực tiễn.
Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai là sử
dụng các hằng đẳng thức đã học nhằm đơn giản biểu thức có chứa các căn thức bậc
hai.
II.1.2. Cơ sở thực tiễn
Trong chương trình Toán lớp 9, Sách giáo khoa lớp 9 và sách bài tập tập 1,
đưa ra rất nhiều bài tập về rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai rất khó, nó đòi
hỏi học sinh phải nắm vững các hằng đẳng thức đã được học ở lớp 8 và vận dụng
các hằng đẳng thức đã học dưới dạng biểu thức chứa dấu căn ở lớp 9 để biến đổi và
rút gọn.

Phùng Xuân Sơn - Trường THCS Tiên Lãng - Tiên Yên – QN

4


Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Việc “sử dụng hằng đẳng thức rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc
hai” trong chương trình Toán lớp 9 giúp rèn luyện được kĩ năng, phương pháp giải
toán chứa căn thức bậc hai cho học sinh lớp 9.
II.2 .CHƯƠNG II: NỘI DUNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
II.2.1. Thực trạng
Qua những năm giảng dạy ở trường THCS. Tôi nhận thấy rằng các em học
sinh, nhất là lớp 9 phải chịu nhiều áp lực trong việc thi cử vào các trường chuyên,
trường công để định hướng cho tương lai cuả mình sau này. Mà ở các kỳ thi đó,
nội dung đề thi thường rơi vào kiến thức cơ bản không thể thiếu đó là chương căn
thức bậc hai cho dưới dạng rút gọn biểu thức và thực hiện phép tính căn. Phần lớn
các em không làm được bài hoặc làm không trọn vẹn bài tập của phần này.
Trong chương trình Toán lớp 9, Sách giáo khoa lớp 9 và sách bài tập tập 1,

đưa ra rất nhiều bài tập về rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai rất khó, nó đòi
hỏi học sinh phải nắm vững các hằng đẳng thức đã được học ở lớp 8 và vận dụng
các hằng đẳng thức đã học dưới dạng biểu thức chứa dấu căn ở lớp 9 để biến đổi và
rút gọn.
Muốn giải được các bài tập đó đòi hỏi học sinh phải có hợp nhiều kĩ năng
như: sử dụng hằng đẳng thức

A2 = A ; đưa thừa số ra ngoài dấu căn; đưa thừa số

vào trong dấu căn; cộng trừ các biểu thức chứa căn đồng dạng; cộng, trừ, nhân, chia
các phân thức,... Qua đó cho ta thấy học sinh phải nắm chắc kiến thức cơ bản của
các lớp dưới, đặc biệt là đại số 8.
Qua khảo sát đầu năm học cho thấy kiến thức đã học trong chương trình lớp 8 mà
đặc biệt là đối với kiến thức về hằng đẳng thức, vận dụng hằng đằng thức để giải
các bài tập còn hạn chế
Tổng số học

Sử dụng HĐT để giải bài tập

Phùng Xuân Sơn - Trường THCS Tiên Lãng - Tiên Yên – QN

5


Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

sinh
51

Tốt


Khá

Trung bình

Yếu

4

15

18

14

II.2.2. Đánh giá thực trạng
Về học sinh:
- Chưa nắm vững các hằng đẳng thức đã được học ở lớp 8.
- Kỹ năng vận dụng các hằng đẳng thức đã học dưới dạng biểu thức chứa dấu
căn ở lớp 9 chưa thành thạo.
- Kỹ năng biến đổi, tính toán, giải toán về căn thức bậc hai của đa số học sinh
còn yếu.
Về giáo viên:
- Thường sử dụng PPDH truyền thống, chưa đầu tư thích đáng về PPDH, sử
dụng các phương tiện dạy học để có thể rèn luyện được kỹ năng vận dụng
các hằng đẳng thức đã học dưới dạng biểu thức chứa dấu căn ở lớp 9 cũng
như kỹ năng biến đổi, tính toán, giải toán về căn thức bậc hai cho học sinh.
Từ những thực trạng nêu trên tôi mạnh dạn đi sâu nghiên cứu để tìm ra một
giải pháp sao cho thực sự có hiệu quả để rèn luyện kỹ năng “ sử dụng hằng đẳng
thức để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai”.

Trong năm học này, tôi đã vận dụng các phương pháp dạy học đã nêu trong
đề tài và bước đầu đã có được những thành công nhất định so với năm học trước,
học sinh đã nắm được các phương pháp giải, biết trình bày một bài toán.
II.2.3. Các giải pháp
II.2.3.1. Khảo sát chất lượng đầu năm của học sinh để phân loại đối tượng học
sinh.
Thông qua học bạ lớp dưới, thông qua bài kiểm tra khảo sát đầu năm, kiểm tra
vấn đáp những kiến thức cơ bản, trọng tâm mà các em đã được học. Qua đó giúp
tôi nắm được những đối tượng học sinh và những ''lỗ hổng” kiến thức của các em.

Phùng Xuân Sơn - Trường THCS Tiên Lãng - Tiên Yên – QN

6


Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Trên cơ sở đó tôi phân lớp thành nhiều nhóm gọi là nhóm '' Tương đồng về kiến
thức”. Rồi tìm hiểu nguyên nhân và lập kế hoạch khắc phục.
II.2.3.2. Tìm hiểu và phân loại các nguyên nhân dẫn đến việc mắc sai lầm khi
rút gọn các biểu thức chứa căn.
- Kỹ năng thực hiện các phép tính trên số nguyên, quy đồng mẫu các phân
số còn yếu.
- Nội dung bảy hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 8 viết dưới dạng biểu thức
chứa chữ, không có chứa căn, mà ở lớp 9 bài tập rút gọn biểu thức thường cho dưới
dạng căn thức bậc hai có liên quan đến bảy hằng đẳng thức đáng nhớ đã học ở lớp
8. Chính vì vậy một số em còn yếu không nhận thấy được ở điểm này nên không
làm được bài tập rút gọn .
- Kỹ năng biến đổi, tính toán, giải toán về căn thức bậc hai của đa số học
sinh còn yếu.

II.2.3.3. Lập kế hoạch thực hiện (Xác định thời gian nội dung chương trình )
- Chia nhỏ các đơn vị kiến thức cần củng cố.
- Lập thời gian ôn từng chủ đề.
- Có kế hoạch kiểm tra sau mỗi chủ đề.
II.2.4. Các giải pháp cụ thể:
Để khắc phục vấn đề đã nêu, tôi đã biên soạn theo các chủ đề kèm theo các
kiến thức cần thiết để hỗ trợ tốt cho tiếp thu và thực hành giải toán sau:
II.2.4. 1. Lý thuyết:
Phùng Xuân Sơn - Trường THCS Tiên Lãng - Tiên Yên – QN

7


Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
1)

Bình phương một tổng : ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

2)

Bình phương một hiệu : ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2

3)

Hiệu hai bình phương : a2 – b2 = ( a + b ).( a – b )

4)


Lập phương một tổng :

( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

5)

Lập phương một hiệu :

( a - b )3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

6)

Tổng hai lập phương :

a3 + b3 = ( a + b).( a2 - ab + b2 )

7)

Hiệu hai lập phương :

a3 - b3 = ( a - b).( a2 + ab + b2 )

Biết vận dụng nó để đưa ra những hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 9 (theo thứ tự )
viết dưới dạng có dấu căn :
1) a + 2 ab + b =
2) a − 2 a + 1 =

(

(


a+ b

)

a −1

)

2

2

2

2

( a ) − ( b ) = ( a + b ) .(
3
3
4) a a + b b = ( a ) + ( b ) = ( a +
3
3
5)1 − a a = ( 1) − ( a ) = (1 − a ).( 1 +
3) a − b =

a− b

(


)

b ). a − ab + b
a +a

)

)

6) a b + b a = ab ( a + b )
7) a + a = a ( a + 1)
Chú ý :
+a;b>0
+ Hằng đẳng thức số 4; 5 ở lớp 8 ít được sử dụng ở lớp 9, nên tôi không đưa vào
phần ghi nhớ ở lớp 9.
Khi làm được điều này học sinh sẽ có căn cứ để giải bài tập rút gọn biểu thức có
chứa căn thức bậc hai .
II.2.4.2 - Các dạng toán, cách giải và bài tập áp dụng.
Dạng 1: Rút gọn biểu thức

Phùng Xuân Sơn - Trường THCS Tiên Lãng - Tiên Yên – QN

8


Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức sau khi rút gọn
Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc bào giá trị của biến

Dạng 5: Một số trường hợp đặc biệt
Sách giáo khoa lớp 9 và sách bài tập tập 1 đưa ra rất nhiều bài tập về rút gọn biểu
thức chứa căn thức bậc hai. Sau đây là một số bài tập tôi đã lựa chọn giảng dạy cho
học sinh:
Bài tập 64/33 sgk : Chứng minh các đẳng thức sau :
2




a)  1 − a a + a ÷ 1 − a ÷ = 1
 1− a
÷ 1 − a ÷




( a ≥ 0; a ≠ 1)

Nhận xét đề bài : Bài toán cho gồm có các hằng đẳng thức sau :
3
1 − a a = 13 − a = 1 − a . 1 + a + a

( ) (
)(
2
1 − a = 12 − ( a ) = ( 1 − a ) .( 1 + a )

)


tương tự hđt (hằng đẳng thức) số 3; 5 lớp 9 . Áp dụng vào bài toán, ta biến đổi vế
trái :
Giải
 1− a a
 1 − a
VT = 
+ a ÷
÷ 1 − a
 1− a


(

)(

)

2


÷
÷


 1− a . 1+ a + a
 

1− a





=
+ a .



1− a
1+ a . 1− a 

 


(

)

(

)(

2

)

2

 1 
= 1 + 2 a + a .
÷

 1+ a 

Đến đây ta lại thấy xuất hiện hđt : ( 1 + 2 a + a ) = ( 1 + a ) tương tự hđt số 2 lớp 9.
2

Tiếp tục biến đổi ta được kết quả :

(

VT = 1 + a

)

2

.

1

(1+ a )

2

= 1 = VP

Phùng Xuân Sơn - Trường THCS Tiên Lãng - Tiên Yên – QN

ðpcm

9



Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

b)

a+b
a 2b 4
=a
b2
a 2 + 2ab + b 2

với a+b >0 và b ≠ 0

Nhận xét : a2 + 2ab + b2 = ( a + b )2 hđt số 1 lớp 8. Áp dụng vào bài toán ta biến
đổi vế trái :
Giải
a+b
a 2 b4
a+b
VT = 2
= 2
2
2
b
a + 2ab + b
b

a 2 b4


( a + b)

2
2
a + b ab
a+b b a
= 2 .
= 2 .
= a = VP
a+b
a+b
b
b

2

Vi a + b > 0

ðpcm

Bài 65 /34 sgk : Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1, biết :
1 
a +1
 1
M =
+
÷:
a −1  a − 2 a +1
a− a


( a > 0 va #a ≠ 1)

Nhận xét :
a − a = a ( a − 1)
a − 2 a +1 =

(

)

a −1

2

có dạng hđt số 2 và 7 lớp 9 . Áp dụng vào bài toán :

Giải


 1
1 
a +1
1
1 ÷

M =
+
:
=
+

:
÷
a −1 a − 2 a +1  a a −1
a −1÷
a− a



(



1+ a ÷

M =
:
 a a −1 ÷



(

M =

a −1
a

) (

= 1−


1
a

)



a +1
1+ a ÷

=
.
2
 a a −1 ÷
a −1



<1

)

(

)

(

)


a −1

(

a +1

)

a −1

2

2

a +1

Vi # a > 0

Bài 75 / 41 sgk : Chứng minh các đẳng thức sau
c)

a b +b a
1
:
= a − b ( a, b > 0 ; a ≠ b)
ab
a− b

 a+ a   a− a 

d ) 1 +
÷. 1 −
÷= 1− a
a +1 ÷
a −1 ÷




( a ≥ 0 va #a ≠ 1)

Nhận xét : Hai câu trên gồm có các hđt số 6 & 7 lớp 9 :

Phùng Xuân Sơn - Trường THCS Tiên Lãng - Tiên Yên – QN

10


Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

a b + b a = ab
a± a = a

(

(

a+ b

)


)

a ±1

Áp dụng vào bài toán, ta biến đổi vế trái còn gặp thêm dạng hđt số 3 lớp 8 :
Giải :
a b +b a

c)VT =

:

ab

1
a− b

ab

(

a+ b

 a+ a   a−
d )VT =  1 +
÷. 1 −
÷
a +1 ÷
a −1 ÷



 

(

)(

)

= 1 + a . 1 − a = 12 −

).

) ( a) −( b)
ab

a ( a + 1)  
a ( a − 1) 
a 
÷

÷
= 1+
. 1−

=

( a)


2

(

2

a− b =

÷


a +1

= a − b = VP ðpcm

÷


a −1

= 1 − a = VP

2

ðpcm

Bài 86 / 16 sbt : Cho biểu thức :
1
1   a +1
a +2

−
−
÷
÷: 
a   a −2
a −1 ÷
 a −1



Q=

(a > 0; a ≠ 4 ; a ≠ 1)

a) Rút gọn Q
b) Tìm giá trị của a để Q dương
Nhận xét : Sau khi quy đồng mẫu thức, ta thấy xuất hiện dạng hđt số 3 lớp 8
Giải :
1
1   a +1
a +2
−
−
÷
÷: 
a   a −2
a −1 ÷
 a −1




a)Q = 

(

) (

)(

) (
)(

)(

 a − a −1   a + 1
a −1 − a + 2 a − 2
÷: 
Q=
 a a −1 ÷ 
a − 2 a −1

 

  a −1 − a − 4  

) (
) ÷= 
1
1
÷:  (

÷.
Q=
 a a −1 ÷  a − 2
a −1 ÷  a a −1 ÷ 

 
 


(

)

(

) (
)(
( a − 2) > 0 ⇔ vi 3
b) Q > 0 ⇔
3 a

(

)

)

(

)


) ÷
(

÷


a −2

)(

) ÷= (

a −1 

3

÷


a −2

)

3 a

a > 0(a > 0) ⇒ a − 2 > 0 ⇔ a > 2 ⇔ a > 4

Bài 105 / 20 sbt :Chứng minh các đẳng thức ( với a,b không âm và a ≠ b )
a+ b

a− b
2b
2 b
−
−
=
2 a −2 b 2 a +2 b b−a
a− b
2
 a a +b b
 a + b 
b) 
− ab ÷
=1
÷ a − b ÷
÷
a+ b



a)

Phùng Xuân Sơn - Trường THCS Tiên Lãng - Tiên Yên – QN

11


Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Nhận xét : Bài toán cho dưới dạng hđt số 3 & 4 lớp 9 kết hợp với quy tắc đổi dấu.

Áp dụng vào bài toán, biến đổi vế trái :
Giải :
a )VT =

(
=
=

a+ b
a− b
2b
a+ b
a− b
2b
−
−
=
−
+
2 a − 2 b 2 a + 2 b b − a 2( a − b ) 2( a + b ) a − b

a+ b

) −(
2

a− b

2( a − b)


4 ab + 4b
=
2 ( a − b)
2

4 b

(

)

2

(

+ 4b

=

a+ b

)(

a+ b

)

( a + 2 ab + b) − (a − 2 ab + b) + 4b
2 ( a − b)


a− b

) (

 a a +b b
 a + b
b)VT = 
− ab ÷
÷ a − b
a+ b



=



(

a+ b

)(a−

ab + b

a+ b

)−
2




1
= a − 2 ab + b 
÷ =
 a− b

(

)


ab ÷
÷


(

2 b

=

a− b

= VP

)

ðpcm


2


÷
÷


2

(


÷
a− b ÷


a+ b
a+ b

a− b

)

2

.

(

)(


1
a− b

)

)

2

= 1 = VP

ðpcm

Bài 106 / 20 sbt : Cho biểu thức :

(
A=

a+ b

)

2

− 4 ab

a− b

−


a b +b a
ab

a) Tìm điều kiện để A có nghĩa
b) Khi A có nghĩa. Chứng tỏ giá trị của A không phụ thuộc vào a
Nhận xét : Bài toán cho dưới dạng hằng đẳng thức sau :
a ± 2 ab + b =

(

a± b

)

2

a b + b a = ab ( a + b )

Áp dụng vào bài toán ta có lời giải:
Giải :

Phùng Xuân Sơn - Trường THCS Tiên Lãng - Tiên Yên – QN

12


Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

(

A=

a+ b

)

2

− 4 ab

a− b
aĐK
)
a: b; > 0 a; ≠b

(
b) A =
=

a+ b

)

2

a b +b a
ab

−


− 4 ab

−

a− b

a b +b a
ab

ab
a + 2 ab + b − 4 ab
−
a− b

A=

(
=
A=

a − 2 ab + b
−
a− b
a− b

(

)

a− b


(

a+ b

(

a+ b

)

ab

)

2

−

(

) (

a− b −

a+ b

)
)


a + b = a − b − a − b = −2 b

Biểu thức A không phụ thuộc vào a .
Bài 107 / 20 sbt : Cho biểu thức :

 2x +1
  1 + x3
x


÷
B=
−
− x÷
÷
 3
÷ 1 + x
x
+
x
+
1
 x −1



( x ≥ 0 ; x ≠ 1)

a) Rút gọn B
b) Tìm x để B = 3

Nhận xét : Bài toán cho gồm có hằng đẳng thức sau :

( x −1) ( x +
x3 = ( 1 + x ) ( 1 −

x3 − 1 =
1+

)
x + x)
x +1

Áp dụng vào bài toán ta có :
Giải :

 2x +1
  1 + x3
x
÷
−
− x÷
 1+ x
÷
 3
x + x +1 ÷
 x −1



a) B = 


Phùng Xuân Sơn - Trường THCS Tiên Lãng - Tiên Yên – QN

13


Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai


B =

(

)(

)
) ÷ 1 −
(
) ÷



 2 x +1 − x
x −1
B =

x −1 x + x +1


2 x +1 − x + x

B =

x −1 x + x +1


x + x +1
B =

x −1 x + x +1


(
(
(

(

)(

)

 1 + x 1 − x + x

2 x +1
x
÷
−
− x÷
÷
1+ x

x −1 x + x +1 x + x +1 ÷

(

)(
)(

(

)

)

)(

)





x +x− x

)


÷ 1− 2 x + x
÷



2
÷ 1− x
= x −1
÷


(

)

(

)

B = 3 ⇔ x −1 = 3 ⇔ x = 4 ⇔ x =16

b)

Bài 5 / 148 sbt : Rút gọn :
P=

x x+y y
−
x+ y

(

x x+y y

(


x− y

)

2

( x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x 2 + y 2 > 0)

Nhận xét : bài toán có hđt sau : x x + y y = ( x + y ) ( x − xy + y ) . Áp dụng vào
bài toán
Giải :
P=

(

x+

y

−

x−

) (

y

)


2

=

(

x+

)

y

)(x−

x+

xy + y
y

)−

( x −2

P = x − xy + y − x − 2 xy + y = x − xy + y − x + 2 xy − y =

xy + y

)

xy


Bài 6 / 148 sbt : Chứng minh đẳng thức
1 
a +1
a −1
 1
+
=

÷:
a −1  a − 2 a +1
a
a− a

( a > 0 ; a ≠ 1)

Nhận xét : bài toán cho gồm có hđt sau :
a− a = a

(

a − 2 a +1 =

)

a −1

(

)


a −1

2

Áp dụng vào bài toán , ta biến đổi vế trái :
Giải :

Phùng Xuân Sơn - Trường THCS Tiên Lãng - Tiên Yên – QN

14


Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai



1 
a +1
1
1 ÷
 1

VT = 
+
=
+
:
÷:
a −1  a − 2 a + 1  a a −1

a −1 ÷
a− a



(



1+ a ÷

VT =
:
 a a −1 ÷



(

a +1

) (

)

a −1

2

)




1+ a ÷

=
.
 a a −1 ÷



(

)

(

)

a −1

a +1

(

)

a −1

2


2

a +1

=

a −1
= VTđpcm
a

(

)

Bài 7/148 sbt : Rút gọn biểu thức :
 x −2
x + 2  (1 − x)
P = 
−
÷.
2
x + 2 x +1÷
 x −1


2

Nhận xét : bài toán cho gồm có hđt sau :
x −1 =


(

)(

)

x −1

x + 2 x +1 =

(

x +1

)

x +1

2

Áp dụng vào bài toán ta có lời giải :
Giải :
ĐK : x ≥ 0 ; x ≠ 1

2
 x −2
x + 2  ( 1− x)
x −2
P = 

−
.
=
−
÷
÷
 x −1
2
x +1

 x −1 x + 2 x + 1 

 x −2
x +1 − x + 2
x − 1 ÷ ( 1 − x ) 2

P=
.
2

÷ 2

÷
x −1
x +1




2

x + x − 2 x − 2 − x + x − 2 x + 2 ÷ ( 1− x)

P=
.
2

÷ 2

÷
x −1
x +1



(

(

)(
(

) (
)(

)

(

)(


)


−2 x
P=
 ( x − 1) x + 1

=

− x

=− x

(

(

(

(

)(

x +1

)

)

)(


)(

) (


2
x + 2 ÷ ( 1− x)
.
2 ÷
x +1 ÷ 2


)

)

 1− x 2 − x x −1
) =
(
)
÷. (
÷ 2
x +1


(

)


)

x −1

x +1

)

(

x −1 = x 1− x

)

MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH
Bài 1 : Rút gọn
a+ b
a− b

+

a− b
a+ b

−

4b
a −b

voi a; b > 0 ; a ≠ b


Phùng Xuân Sơn - Trường THCS Tiên Lãng - Tiên Yên – QN

15


Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Nhận xét : bài toán cho có hằng đẳng thức :
a−b = a + b
a− b
Áp dụng vào bài toán ta có :
Giải

(

)(

a+ b
a− b

(
=
=

a− b

+

a+ b


)

−

4b
a −b

) + ( a − b ) − 4b
( a + b) ( a − b)

a+ b

2

2

a + 2 ab + b + a − 2 ab + b − 4b

(

a+ b

)(

a− b

)

=


(

2a − 2b
a+ b

)(

a− b

)

=

2 ( a − b)
a −b

=2

Bài 2 : Cho biểu thức
a− a

a +a
P = 
+ 2 ÷
2
−
÷
÷
1 + a ÷

 −1


a) Tìm điều kiện để P có nghĩa
b) Trong điều kiện đó , hãy rút gọn P
Nhận xét : Bài toán cho có hđt : a − a = a ( a − 1) . Áp dụng vào bài toán ta có :
Giải
a− a

a +a
P = 
+ 2 ÷
2
−
÷
÷
1 + a ÷
 a −1

a)
ÐK : a ≥ 0 ; a ≠ 1
a− a

a +a
b) P = 
+ 2 ÷
2
−
÷
÷

1 + a ÷
 a −1

 a a −1

a 1+ a

P=
+ 2 ÷ 2 −

÷
a −1
1+ a



(

)

(

) ÷ =
÷


(

)(


)

a + 2 2 − a = 22 −

( a)

2

= 4−a

Bài 3 : Cho biểu thức
M =

x + 3 + 2 x2 − 9
2x − 6 + x2 − 9

a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức M
c) Tính giá trị của M khi x = -5
Nhận xét : Bài toán cho có các hđt sau :
x 2 − 9 = x − 3. x + 3
x+3=

(

x+3

)

voi


3 ≤ x ≤ −3

2

Áp dụng vào bài toán ta có :
Giải

Phùng Xuân Sơn - Trường THCS Tiên Lãng - Tiên Yên – QN

16


Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
M =

x + 3 + 2 x2 −9

2 x − 6 + x2 −9
a)
ÐK : 3 ≤ x ≤ −3
b) Rút gon :
* Nêu x ≥ 3

) ( x −3 )
2 ( x − 3) + ( x + 3 ) ( x − 3 )
2 x − 6 + x −9
x + 3 ) ( x + 3 ) + 2 x − 3  ( x + 3 ) ( x + 3 ) + 2
(


 =

M =
x +3 ) + 2
2 ( x −3 ) + ( x + 3 ) ( x −3 ) ( x −3 ) 
(
( x +3 ) = x +3
M =
( x −3 ) x −3
M =

x + 3 + 2 x2 −9
2

(
=

x +3

)

2

+2

(

x +3

2


x −3 

x −3 


* Nêu x ≤ −3
M =

M =

x + 3 + 2 x 2 −9
2x − 6 + x2 −9
−

(

) (

x +3 


( x − 3)

−2

M =−

(
(


2

=

−

)

( x + 3) + 2 ( x + 3 ) ( x − 3 )
2 ( x − 3) + ( x + 3 ) ( x − 3 )
2

(

) (
) (

)

x +3 − 2 x −3  − x + 3  x + 3 − 2 x −3 
 =




x
−
3
x

+
3
−
2
x
−
3
+ x +3
x −3



(

) =−
x −3 )

x +3

)(

)

(

)

x +3
x −3


c) Khi x = −5 ta co :
M =−

−5 + 3
−2
1
1
=−
=−
=−
−5 − 3
−8
4
2

Bài 4 : Cho biểu thức
M =

a + a2 − 1
a − a2 − 1

−

a − a2 − 1
a + a2 − 1

a) Rút gọn biểu thức M
b) Tính giá trị của M khi a = 9
Nhận xét : Bài toán cho có dạng hđt số 1 ; 2 ; 3 lớp 8 . Áp dụng hđt , ta có lời giải
Giải

ÐK : 1 ≤ a ≤ −1

a)M =

a + a −1
2

a − a2 − 1

(a+
M =

a2 − 1

−

a − a −1
2

a + a2 − 1

) −(a−
2

a 2 − ( a 2 − 1)

a2 − 1

)


=

(

) (
− 1) ( a +

a + a2 − 1

(a−

a2

2

− a − a2 − 1
a2 − 1

)

)

2

2

=

a 2 + 2a a 2 − 1 + a 2 − 1 − a 2 + 2 a a 2 − 1 − a 2 + 1
= 4a a 2 − 1

1

b) Khi a = 9 Ta co : M = 4a a 2 − 1 = 4.9 80 = 36 16.5 = 144 5

Phùng Xuân Sơn - Trường THCS Tiên Lãng - Tiên Yên – QN

17


Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Bài 5 :Cho biểu thức


x   1
2 x
P =  1 +
:
−
÷

÷

÷
x +1÷

  x −1 x x + x − x −1

voi x ≥ 0 ; x ≠ 1


a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x sao cho P < 1
c) Tính giá trị của P nếu x = 2002 − 2 2001
Nhận xét : Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử rồi quy đồng mẫu thức ta sẽ có hđt
dạng số 2 lớp 9 :
Giải

x  
a) P = 
1 +
÷: 

x +1 ÷

 

  x +1 + x  
1
2 x
−
÷= 

÷: 
÷

x −1 x x + x − x −1 ÷
  x +1  

 x +1 + x  


P =
 x +1 ÷
÷: 

 

 

 
1
2 x
÷=  x +1 + x ÷:  x +1 − 2 x ÷
−
x +1 ÷
x −1 ( x +1)
x −1 ÷ 
x +1)
x −1 ÷
 
 
(


(

(

1
−
x −1


)

2 x
x ( x +1) − ( x +1)

(


÷
÷


)

) ÷= x +1 + x
) ÷÷ ( x −1)


x −1
 x +1 + x   ( x +1)
P =
.
÷
2
 x +1 ÷ 


x −1



(

b) P < 1 ⇔

x +1+ x

(

)

x −1

<1⇔

x +1 + x

(

)

x −1

−1 < 0 ⇔

x +1+ x − x +1

(

)


x −1

<0⇔

(

x+2

)

x −1

<0

Vi : x + 2 > 0 nên : x − 1 < 0 ⇒ x < 1 ⇒ 0 ≤ x < 1
x +1+ x

c) Voi x = 2002 − 2 2001 ta co P =

P=

(

2002 − 2 2001 + 1 +

(

)


(

)

2001 − 1

2

2001 − 1 − 1

)

x −1

=

2002 − 2 2001 + 1 + 2002 − 2 2001
2002 − 2 2001 − 1

2

=

2002 − 2 2001 + 1 + 2001 − 1 2002 − 2001
=
2001 − 1 − 1
2001 − 2

Bài 6 : Cho biểu thức
 1

1   1
A=
−
÷.  1 − ÷
1− a 1+ a   a 

a) Rút gọn biểu thức
b) Tính giá trị của A khi a = 1/4
Nhận xét : Sau khi quy đồng ta có hđt sau :
1 − a 1 + a = 1 − a . Áp dụng vào bài toán ta có lời giải :
Giải

(

)(

)

Phùng Xuân Sơn - Trường THCS Tiên Lãng - Tiên Yên – QN

18


Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

ÐK : a > 0 ; a ≠ 1

(

) (

)(

)



 1
1   1   1 + a − 1 − a ÷  a −1 
a) A = 
−
.
÷
÷. 1 − ÷ =
1− a 1+ a   a   1− a 1+ a ÷  a 



(

)

 1 + a −1 + a   a −1  2 a  a −1 
2
A = 
.
÷

÷=
÷= −
÷

1− a
a

 a  1− a  a 
1
2
2
2
b) Khi a = ta co : A = −
=−
= − = −4
1
4
a
1
2
4

Bài 7 : Rút gọn cho biểu thức
Y=

x2 − x
x + x +1

+1−

2x + x

voi x > 0


x

Nhận xét : Sau khi đặt nhân tử chung thì xuất hiện hđt sau :
x2 − x = x 


( x)

− 1 = x


3

(

)(

)

x −1 x + x +1

Áp dụng vào bài toán ta có lời giải .
Y=

x2 − x
x + x +1

Y= x

(


+1−

)

2x + x
x

(

=

x

(

)(

Giải :

x + x +1

)

) +1− x ( 2

x −1 x + x +1

)


x +1
x

x −1 +1 − 2 x +1 = x − x +1− 2 x −1 = x − 3 x

Bài 8 : Rút gọn biểu thức

a
1   1
2 
K = 
−
:
+
÷
÷
÷
 a −1 a − a   a +1 a −1

Nhận xét : Bài toán cho có hđt : a − 1 =

(

)(

a +1

)

a − 1 .Áp dụng vào bài toán ta có


Giải

ÐK : a > 0 ; a ≠ 1



a
1   1
2  
a
1
K = 
−
:
+
=
−
÷

÷
÷
a a −1
 a − 1 a − a   a + 1 a − 1   a − 1

(


a −1
K =

 a a −1


(

)

 
÷: 
÷ 
 

(

 
a −1
÷= 
a +1 ÷  a a −1
 

a −1+ 2

)(

a −1

)

(


)

)

 
÷:  1 +
÷  a +1
 


÷.  a − 1  =
÷  a + 1 ÷



(

( a − 1)
a ( a − 1)

2

)(

a −1

2

=



÷
a +1 ÷


)

a −1
a

Bài 9 : Rút gọn biểu thức
A=

1
x+2+ x

+

1
x+2− x

−

x3 + 3x
2 x +6

Nhận xét : Bài toán cho gồm có hđt sau :

Phùng Xuân Sơn - Trường THCS Tiên Lãng - Tiên Yên – QN


19


Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

(

) ( x+ 2 − x) = (
x + 3x = x ( x + 3)
2 x + 6 = 2 ( x + 3)
x+2+ x

x+2

) −( x)
2

2

= x+2− x = 2

3

Áp dụng vào bài toán ta có lời giải
Giải

ÐK : x ≥ 0
A=

A=


A=

1
x+2+ x

+

1
x+2− x

−

x3 + 3 x
2 x +6

2 x+2 −2 x +2 x+2 +2 x −x
2

(

x+2+ x

4 x + 2 − x ( x + 2 − x)
2( x + 2 − x)

=

)(


(

1

=

x+2+ x

x+2+ x

x+2− x

(

)

)(

+

1
x+2− x

x+2− x

−

)

(

2(
x

)
x + 3)
x +3

)

4 x + 2 − 2x 2 2 x + 2 − x
2 x+2 −x
=
=
4
4
2

Bên cạnh bài toán cho rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, đôi khi còn có
những câu đề bài yêu cầu tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến. Đối với
những câu yêu cầu tính mà chỉ có một dấu căn thức bậc hai thì không nói gì, nhưng có
những câu mà ở các trường chuyên đưa ra lại có những biểu thức chứa căn chồng căn.
Gặp trường hợp này đòi hỏi học sinh phải biết cách đưa biểu thức trong căn về lũy thừa
bậc chẵn ( thường viết dưới dạng bình phương ) để khai phương. Muốn làm được điều
đó, cần phải biết vận dụng thành thạo định lí đảo VI-ÉT ( tìm hai số biết tổng và tích ) và
hằng đẳng thức ( bình phương một tổng hoặc bình phương một hiệu ). Sau đây tôi đưa ra
một vài ví dụ đơn giản, để từ đó học sinh nắm bắt được cách làm để áp dụng vào bài toán
Ví dụ 1 : Rút gọn : a ) 4 + 2 3 + 4 − 2 3
Nhận xét : Để rút gọn được bài toán này ta phải viết các biểu thức: 4 ± 2 3 dưới dạng
bình phương một tổng hoặc một hiệu để khai phương dấu căn lớn. Để làm được điều này
ta làm các bước sau :

Bước 1 : Làm thế nào đó biến đổi trước dấu căn nhỏ phải có thừa số 2
( bài toán đã cho 2 3 )
Bước 2 : Tìm hai số biết tổng bằng 4 và tích bằng 3 -> hai số đó là : 3 và 1
Bước 3 : Ta lấy căn bậc hai của từng số vừa tìm được ở bước 2 , rồi viết chúng dưới dạng
bình phương một tổng hoặc một hiệu ( Tùy theo dấu cộng hoặc trừ của biểu thức dưới dấu
căn lớn )
Chú ý :
Phùng Xuân Sơn - Trường THCS Tiên Lãng - Tiên Yên – QN

20


Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

+ Để tìm hai số có tổng là S và tích là P ta sử dụng định lí sau :
" Nếu hai số a & b có tổng là S và tích là P thì hai số đó là nghiệm của phương trình bậc
hai : X2 – SX + P = 0 " . Điều kiện tồn tại hai số a & b là : S 2 − 4 P ≥ 0 . Có thể cho học
sinh giải nhẩm hoặc gặp trường hợp khó thì dùng máy tính casio fx-500 để giải phương
trình bậc hai tìm hai số a & b cho nhanh .
+ khi viết dưới dạng bình phương một hiệu ta nên viết hiệu đó có giá trị dương ( số bị trừ
lớn hơn số trừ ) để khi khai phương , khỏi phải dùng dấu giá trị tuyệt đối .
Áp dụng các bước trên vào ví dụ 1 , ta có lời giải sau :
Giải
4 + 2 3 + 4 − 2 3 = 3 + 2 3.1 + 1 + 3 − 2 3.1 + 1
=

( 3)

2


+ 2 3 + 12 +

( 3)

2

− 2 3 + 12 =

(

)

3 +1

2

+

(

)

3 −1

2

= 3 +1+ 3 −1 = 2 3

Ví dụ 2 : bài tập 15 / 5 sbt tập 1 : Chứng minh
a ) 9 − 4 5 − 5 = −2

b) 23 + 8 7 − 7 = 4

Nhận xét : Trước dấu căn nhỏ của cả hai biểu thức dưới dấu căn lớn có thừa số đều khác
2 ( 4 5 & 8 7 ), vì vậy ta phải biến đổi chúng như sau ( dùng phương pháp đưa thừa số
vào trong dấu căn ):
Bước 1 :
a ) 9 − 4 5 = 9 − 2.2 5 = 9 − 2. 4.5 = 9 − 2. 20
b) 23 + 8 7 = 23 + 2.4 7 = 23 + 2. 16.7 = 23 + 2. 112

Bước 2 :
a) Tìm hai số biết tổng bằng 9 , tích bằng 20 -> hai số đó là : 5 và 4 ( dùng máy tính
casio fx-500 giải phương trình : x 2 − 9 x + 20 = 0 )
b) Tìm hai số biết tổng bằng 23 , tích bằng 112 - > hai số đó là : 16 và 7
Bước 3 : Lấy căn bậc hai của từng số vừa tìm được rồi viết chúng dưới dạng bình
phương một tổng hoặc một hiệu ( Tùy theo dấu cộng hoặc trừ của biểu thức dưới dấu
căn lớn )
Giải
a)VT = 9 − 4 5 − 5 = 5 − 2 5.4 + 4 − 5 =

(

b)VT = 23 + 8 7 − 7 = 16 + 2 16.7 + 7 − 7 =

)

2

5 − 4 − 5 = 5 − 2 − 5 = − 2 = VP

(


16 + 7

)

2

− 7 = 4 + 7 − 7 = 4 = VP

ðpcm
ðpcm

Ví dụ 3 : Chứng minh đẳng thức ( sách bài tập , bài 98 / 18 tập 1 )
2+ 3 + 2− 3 = 6

Nhận xét : Trước dấu căn nhỏ của cả hai biểu thức dưới dấu căn lớn có thừa số là 1(
) vì vậy ta phải biến đổichúng như sau : Nhân cả tử và mẫu cho 2
Bước 1 :
Phùng Xuân Sơn - Trường THCS Tiên Lãng - Tiên Yên – QN

3

21


Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

2+ 3 + 2− 3 =

(


2 2+ 3
2

) + 2( 2 − 3) =
2

4+2 3
4−2 3
+
2
2

Bước 2 : Tìm hai số biết tổng bằng 4 , tích bằng 3 -> hai số đó là 3 và 1
Bước 3 : Lấy căn bậc hai của từng số vừa tìm được rồi viết chúng dưới dạng bình
phương một tổng hoặc một hiệu ( Tùy theo dấu cộng hoặc trừ của biểu thức dưới dấu
căn lớn )

(

2 2+ 3

VT = 2 + 3 + 2 − 3 =
VT =

(

)

3 +1


(

2

+

2

2

) =(

3 −1
2

Giải

2

) + 2( 2 − 3) =
2

) +(

) =(

3 +1

3 −1


2

2

3 + 2 3.1 + 1
3 − 2 3.1 + 1
+
2
2

) (

3 +1 +

) =2

3 −1

2

3
= 6 = VP
2

Ba ví dụ lấy phía trên là ba trường hợp mà chúng ta thường gặp . Tùy theo từng loại bài ,
ta có thể giải bằng nhiều cách khác nhau , nhưng cơ bản là biết vận theo ba bước ở trên
là ta có thể giải quyết được rất nhiều bài dạng như vậy . Sau đây là một số bài tập trong
sách giáo khoa và một số bài trong các kì thi tuyển vào lớp 10 mà tôi chỉ giải dựa vào ba
bước đã phân tích ở trên để giải , không phải làm chi tiết theo từng mục như ở trên

Bài 21/6 sbt : Rút gọn biểu thức
11 + 6 2 − 3 + 2 = 11 + 2.3 2 − 3 + 2 = 9 + 2 9.2 + 2 − 3 + 2
=

(

9+ 2

)

2

−3+ 2 = 3+ 2 −3+ 2 = 2 2

Bài 100/19 sbt : Rút gọn biểu thức :
15 − 6 6 + 33 − 12 6 = 15 − 2.3 6 + 33 − 2.6 6
= 9 − 2. 9.6 + 6 + 33 − 2. 36.6 =
=

( 3− 6)

2

(

9− 6

( 3− 6)

+ 24 − 2. 24.9 + 9 =


2

)

2

+

+ 33 − 2. 216

(

24 − 9

)

2

= 3 − 6 + 24 − 3 = − 6 + 2 6 = 6

MỘT SỐ BÀI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
Bài 1 : Tính
7 − 2 10 − 7 + 2 10 = 5 − 2 5.2 + 2 − 5 + 2 5.2 + 2
=

(

5− 2


)

2

−

(

5+ 2

) =(
2

) (

5− 2 −

)

5 + 2 = −2 2

Bài 2 : Rút gọn biểu thức : S = A + B + C . CMR : S là một số tự nhiên

Phùng Xuân Sơn - Trường THCS Tiên Lãng - Tiên Yên – QN

22


Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai


A=

5 − 3 − 29 − 12 5 =

=

5 − 3 − 29 − 2 20.9 =

=

5 − 3−

=

5 − 6 − 2 5.1 =

B=

)

20 − 3 =

(

5−

)

5 −1


5−2 6

(
B=
(
B=

3+ 2

) ( 49 − 2.

3+ 2

) (5−

600

) (

24

)(
2

9 3 − 11 2

3+ 2

)(


3− 2

)

4

9 3 − 11 2

3− 2

(
=

2

)

2

)

3

9 3 − 11 2

3 3 −9 2 +6 3 −2 2
9 3 − 11 2

=


)

2

) =(

3− 2

( 5 − 1) = 1 = 1
3.2 ) ( 49 − 2.10 6 ) 5 − 2

=

5−

3.2

9 3 − 11 2

3− 2

9 3 − 11 2

2

20 − 3

(5+2

=


9 3 − 11 2
2

(

5 − 3−

5 − 3 − 20 + 3

( 5 + 2 6 ) ( 49 − 20 6 )

(
B=

B=

(

5 − 3 − 29 − 2 36.5

(
=

3+ 2

) ( 49 − 2.
2

)(


9 3 − 11 2
9 3 − 11 2

)

)

2

9 3 − 11 2
3

3− 2

9 3 − 11 2

3 + 2 5−2 6

( 3)
=

)(

25.24

−9 2 +6 3 −

( 2)


3

9 3 − 11 2

=1

C = 4 + 5 3 + 5 48 − 10 7 + 4 3 = 4 + 5 3 + 5 48 − 10 7 + 2 4.3

( 2 + 3)

C = 4 + 5 3 + 5 48 − 10

2

(

= 4 + 5 3 + 5 48 − 10 2 + 3

)

C = 4 + 5 3 + 5 28 − 10 3 = 4 + 5 3 + 5 28 − 2 25.3
C = 4+ 5 3+5

(

5− 3

)

2


(

= 4+ 5 3 +5 5− 3

)

C = 4 + 25 = 4 + 5 = 3

Suy ra : S = A + B + C = 1+ 1 + 3 = 5 là số tự nhiên đpcm

DÙNG PHƯƠNG PHÁP THÊM BỚT
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI RÚT GỌN NÂNG CAO
Bài 101 / 19 sbt : Tìm điều kiện và rút gọn
A= x+4 x−4 + x−4 x−4

Trước tiên ta làm sao cho xuất hiện hệ số ( thừa số ) 2 trước căn nhỏ

Phùng Xuân Sơn - Trường THCS Tiên Lãng - Tiên Yên – QN

23


Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

ÐK : x ≥ 4
A = x + 4 x − 4 + x − 4 x − 4 = x + 2.2 x − 4 + x − 2.2 x − 4

Sau khi đưa được hệ số của căn nhỏ là 2 , ta còn lại hai thừa số đó là 2 và x − 4 . Vậy
2 và x − 4 là hai số a & b của hđt : ( a + b ) 2 hoặc ( a - b )2 . Vì số còn lại là x và trong

dấu căn nhỏ là x – 4 , nên ta bớt đi 4 để có x – 4 =

(

x−4

)

2

ta được a2 và thêm vào 4

để có 22 ta được b2 thế là ta có một hđt dạng : ( a + b )2 hoặc ( a - b )2
Giải

ÐK : x ≥ 4

A = x + 4 x − 4 + x − 4 x − 4 = x + 2.2 x − 4 + x − 2.2 x − 4
A = x − 4 + 2.2 x − 4 + 4 + x − 4 − 2.2 x − 4 + 4

(

A=

x−4

A= 


(


)

2

(

+ 2.2 x − 4 + 22 +

)

2

x − 4 + 2 + 



(

)

)

x−4
2

x − 4 − 2 =


2


(

− 2.2 x − 4 + 2 2

)

x−4 +2+

(

)

x−4 −2= 2 x−4

Bài 8 / 8 sbt Chứng minh :
4 nêu 2 ≤ a ≤ 6
P = a+4 a−2 +2 + a+4 a−2 +2 = 
2 a − 2 nêu a > 6

Nhận xét : làm tương tự như bài 101/19 ta có lời giải sau :
Giải
P = a + 4 a − 2 + 2 + a − 4 a − 2 + 2 = a − 2 + 2.2 a − 2 + 4 + a − 2 − 2.2 a − 2 + 4

(

P=

a−2


(

)

2

)

2

P =  a − 2 + 2 + 



* Nêu 2 ≤ a ≤ 6 Ta co :
P=

(

)

a−2 +2+2−

(

(

)

a−2 +2+


(

(

)

a−2
2

a − 2 + 2 =


)

a−2 =4

* Nêu a > 6 Ta co :
P=

(

+ 2.2 a − 2 + 2 2 +

)

a−2 −2=2

)
(


2

− 2.2 a − 2 + 22

)

a−2 +2 +

(

)

a−2 −2

ðpcm

(

a−2

)

ðpcm

Bài 3 : Rút gọn biểu thức
A=

1
x+2+ x


+

1
x+2− x

−

x3 + 3x
2 x +6

a) Rút gọn A
b) Tính A khi x = 4 + 2 5
c) Tìm x để A = -3

Phùng Xuân Sơn - Trường THCS Tiên Lãng - Tiên Yên – QN

24


Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Nhận xét : bài này đã được làm trong phần trình bày nội dung thứ nhất. Bây giờ ta áp
dụng phần nội dung thứ hai để giải câu b & c
Giải

ÐK : x ≥ 0
a) A =

1

x+ 2+ x

+

1
x+ 2− x

b) Khi x = 4 − 2 5 Ta co : A =

A=

(

2 6 − 2 5.1 − 4 − 2 5

2
c) Tim x ðê A = − 3
A = −3 ⇔

(

x3 + 3x
2 x+6

2 x+2− x
2

= ............. =

(


2 x+ 2 − x 2 4− 2 5 + 2 − 4− 2 5
=
2
2

)=2 (

) (
2

5 −1 − 4 − 2 5
2

) = 2(

)

) (

5 −1 − 4 − 2 5
2

)=4

5−6
= 2 5−3
2

2 x+2− x

= −3 ⇔ 2 x + 2 − x = −6 ⇔ x − 2 x + 2 − 6 = 0
2

⇔ x + 2 − 2 x + 2 + 1− 9 = 0 ⇔
⇔

−

)

2

x + 2 − 1 − 32 = 0 ⇔

(

(

)

2

x + 2 − 2 x + 2 + 1− 9 = 0

x + 2 − 1+ 3

)(

)


x + 2 − 1− 3 = 0

+ x + 2 − 1+ 3 = 0 ⇔

x + 2 = −2

+ x + 2 − 1− 3 = 0 ⇔

x + 2 = 4 ⇔ x + 2 = 16 ⇔ x = 14

vn

Còn rất nhiều bài tập mà ta có thể sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức có
chứa căn thức bậc hai hoặc thực hiện phép tính căn thức bậc hai. Những bài tập tôi đưa
ra ở trên đã dược chọn làm đề thi, để cho các em học sinh nhận thấy được tầm quan
trọng của hằng đẳng thức đáng nhớ, qua đó các em có thể biết cách học và cách áp dụng
vào việc rèn luyện giải bài tập rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai và thực hiện
phép tính có dấu căn. Mục đích của nội dung này là nhằm góp phần nâng cao chất lượng
dạy học trong nhà trường vì một số em do chưa nắm bắt được kiến thức cơ bản và chưa
biết cách vận dụng kiến thức vào làm bài tập.

II.3.3. Kết quả thực nghiệm
Kết quả áp dụng đề tài này này đã góp phần nâng cao chất lượng học tập
của bộ môn đối với học sinh, cụ thể:
II.3.3.1. Chưa áp dụng giải pháp
Kiểm tra khảo sát chất lượng đầu năm học 2013- 2014
Phùng Xuân Sơn - Trường THCS Tiên Lãng - Tiên Yên – QN

25