www.dethithptquocgia.com – www.facebook.com/thithuthptquocgia

SỞ GD&ĐT HẢI DƢƠNG
TRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNG

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 3 NĂM 2015
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút

1
3
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y   x 4  x 2 
2
2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để phƣơng trình  x 4  2 x 2  m  0 có 4 nghiệm phân biệt.
Câu 2 (1,0 điểm)
1) Cho hàm số y  x  cos x  3 sin x . Giải phƣơng trình y '  0 .
2) Giải phƣơng trình 9 x  7.3x  18  0

x2
, trục hoành và
x 1
đƣờng thẳng x  0 . Tính thể tích khối tròn xoay thu đƣợc khi quay D xung quanh trục Ox.
Câu 4 (1,0 điểm)
Câu 3 (1,0 điểm) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số y 

1) Tìm các số thực a, b sao cho phƣơng trình z 2  az  b  0 nhận z  2  3i làm
nghiệm.
2) Gọi E là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt đƣợc chọn từ các chữ
số 1; 2; 3; 4; 7. Xác định số phần tử của E. Chọn ngẫu nhiên một số từ E, tính xác

suất để số đƣợc chọn là số lẻ.
Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):

( x  2)2  ( y  3)2  ( z  1)2  25 và đƣờng thẳng  :

x 2 y 3 z


. Tìm tọa độ giao
1
2
1

điểm của  và (S). Viết phƣơng trình mặt phẳng song song với  và trục Ox đồng thời tiếp
xúc với mặt cầu (S).
Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Hình
chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho
HB  3HA . Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450. Tính thể tích của khối chóp
S.ABCD và khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng AC và SB theo a.
2
2

2 x  y  xy  5 x  y  2  y  2 x  1  3  3x
Câu 7 (1,0 điểm) Giải hệ phƣơng trình 
2

x  y  1  4x  y  5  x  2 y  2
Câu 8 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi
K là điểm đối xứng của A qua C. Đƣờng thẳng đi qua K vuông góc với BC cắt BC tại E và
cắt AB tại N (1;3) . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết AEB  450 , phƣơng trình

đƣờng thẳng BK là 3x  y  15  0 và điểm B có hoành độ lớn hơn 3.
Câu 9 (1,0 điểm) Cho các số dƣơng a, b, c thoả mãn 4(a  b  c)  9  0 . Tìm giá trị lớn



nhất của biểu thức S = a  a 2  1

 b 
b

b2  1

 c 
c

c2  1



a

……Hết……
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: …………………………………Số báo danh: ………………………...
www.dethithptquocgia.com – www.facebook.com/thithuthptquocgia


www.dethithptquocgia.com – www.facebook.com/thithuthptquocgia

SỞ GD&ĐT HẢI DƢƠNG

TRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNG

Câu Ý
1

1

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 3
NĂM 2015
Môn thi: TOÁN
Nội dung

Điểm

1
3
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y   x 4  x 2 
2
2

1,00

TXĐ:

x  0
 x  1

. y '  2 x3  2 x, y '  0  


Hàm số đồng biến trên các khoảng (; 1);(0;1)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (1;0);(1; )
3

Điểm cực đại (1;0) , điểm cực tiểu  0;  
2

lim y   . Lập đƣợc bảng biến thiên
x 

1

2

Vẽ đúng đồ thị
2
Tìm m để phƣơng trình  x 4  2 x 2  m  0 có 4 nghiệm phân biệt
1
3 m3
Viết lại phƣơng trình dƣới dạng  x 4  x 2  
2
2
2
m3
Pt có 4 nghiệm  y 
cắt (C) tại 4 điểm pb
2
3 m3
Từ đồ thị suy ra  
 1

2
2
0  m 1
Cho hàm số y  x  cos x  3 sin x . Giải phƣơng trình y '  0 .
1

0,25

0,25

0,25
0,25
1,00
0,25
0,25
0,25
0,25
0,50

y '  1  sin x  3 cos x

2

2

 1

y '  0  sin x  3 cos x  1  cos  x   
6 2



  

 x  6  3  k 2
 x  2  k 2




 x     k 2
 x     k 2

6
6
3

Giải phƣơng trình 9 x  7.3x  18  0
Đặt t  3 , t  0 ta đƣợc t  7t  18  0  t  9 (TM), t  2 (Loại)
x

2

t  9  3x  9  x  2

x2
, trục hoành và
x 1
đƣờng thẳng x  0 . Tính thể tích khối tròn xoay thu đƣợc khi quay D
xung quanh trục Ox.
x2

 0  x  2 .
x 1

0,25

0,25

0,50
0,25
0,25

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số y 
3

www.dethithptquocgia.com – www.facebook.com/thithuthptquocgia

1,00

0,25


www.dethithptquocgia.com – www.facebook.com/thithuthptquocgia

 x2
Gọi V là thể tích khối tròn xoay thu đƣợc thì V    
 dx
x 1 
2 
0


2

0

3 
6
9 

V    1 

 dx    1 
 dx
x 1 
x  1 ( x  1) 2 
2 
2 
0

2

0,25

0

9 

   x  6ln x  1 

x  1  2


V  (8  6ln 3)

0,25
0,25

Tìm các số thực a, b sao cho phƣơng trình z  az  b  0 nhận
z  2  3i làm nghiệm
z  2  3i  z  2  3i . Thay vào pt ta đƣợc (2  3i)2  a(2  3i)  b  0
 2a  b  5  (3a  12)i  0
 2a  b  5  0
a  4


3a  12  0
b  3
2

4

4

5

1

Gọi E là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt đƣợc
2 chọn từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 7. Xác định số phần tử của E. Chọn ngẫu
nhiên một số từ E, tính xác suất để số đƣợc chọn là số lẻ.
Mỗi số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt có thể coi là một chỉnh hợp
chập 3 của 5 pt đã cho. Do đó số phần tử của E là A53  60

Gọi A là biến cố số đƣợc chọn là số lẻ  n( A)  3. A42  36
n( A) 36 3
 P( A) 


n() 60 5
Tìm tọa độ giao điểm của  và (S). Viết phƣơng trình mặt phẳng song
song với  và trục Ox đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S).
 có ptts là x  2  t; y  3  2t; z  t thế vào pt (S) ta đƣợc
t 2  (6  2t )2  (t  1)2  25
t  3  A(5; 3; 3)
2
3t  11t  6  0   2
t   B  8 ; 5 ;  2 
 3
3 3 3

0,50
0,25
0,25
0,50
0,25

0,25

1,00
0,25

0,25


Gọi (P) là mp chứa Ox và song song . Hai vecto i  (1;0;0) và

u  (1; 2; 1) không cùng phƣơng, có giá song song hoặc nằm trên (P)

0,25

nên (P) có vtpt n  i  u  (0;1; 2)  ( P) : y  2 z  D  0

(P) tiếp xúc (S)  d ( I ;( P))  R 

3  2  D

5
5
 D  5  5 5  D  5  5 5  ( P) : y  2 z  5  5 5  0

6

Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đƣờng
thẳng AC và SB theo a
5a
Tam giác BCH vuông tại B  HC  BC 2  BH 2 
2
www.dethithptquocgia.com – www.facebook.com/thithuthptquocgia

0,25

1,00
0,25



www.dethithptquocgia.com – www.facebook.com/thithuthptquocgia

Góc giữa SC và (ABCD) là góc SCH  SCH  450  tam giác SHC
5a
vuông cân tại H  SH  HC 
2
1
1
5a 10
VS . ABCD  S ABCD .SH  4a 2 .  a 3
3
3
2
3
Gọi E là đỉnh thứ 4 của hbh BCAE  BE / / AC
4
4
 d( AC ;SB )  d( AC ;( SBE ))  d( A;( SBE ))  d( H ;( SBE )) (Do AB  HB )
3
3
Gọi M là trung điểm của BE.
Tam giác ABE vuông cân tại A  AM  BE, AM  a 2

0,25
0,25

3
3a 2
AM 

4
4
Kẻ HK  SI  HK  (SBE )  d( H ;( SBE ))  HK
Kẻ HI // AM  HI  BE , HI 

1
1
1
15

 2  HK 
a
2
2
HK
HS
HI
2 59
4 15
10
 d( AC ;SB )  .
a
a
3 2 59
59

Ta có

S


0,25

K
A

D

E
H
M
I
B

7

C

2
2

2 x  y  xy  5 x  y  2  y  2 x  1  3  3x
Giải hệ phƣơng trình 
2

x  y  1  4x  y  5  x  2 y  2
ĐK: y  2 x  1  0, 4 x  y  5  0, x  2 y  2  0, x  1
 y  2x  1  0
 x  1 0  0



TH 1. 
(Không TM hệ)
3

3
x

0
y

1

1

10

1



TH 2. x  1, y  1 . Đƣa pt thứ nhất về dạng tích ta đƣợc
x y2
( x  y  2)(2 x  y  1) 
y  2 x  1  3  3x



1
( x  y  2) 
 y  2 x  1  0 . Do y  2 x  1  0

 y  2 x  1  3  3x

www.dethithptquocgia.com – www.facebook.com/thithuthptquocgia

1,00

0,25

0,25


www.dethithptquocgia.com – www.facebook.com/thithuthptquocgia

nên

1
 y  2x  1  0  x  y  2  0
y  2 x  1  3  3x

Thay y  2  x vào pt thứ 2 ta đƣợc x 2  x  3  3x  7  2  x

 x 2  x  2  3x  7  1  2  2  x

0,25

3x  6
2 x
 ( x  2)( x  1) 

3x  7  1 2  2  x

3
1


 ( x  2) 

 1  x  0
 3x  7  1 2  2  x

3
1
Do x  1 nên

1 x  0
3x  7  1 2  2  x
Vậy x  2  0  x  2  y  4 (TMĐK)

0,25

Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết AEB  450 , phƣơng trình
đƣờng thẳng BK là 3x  y  15  0 và điểm B có hoành độ lớn hơn 3

8

1,00

Tứ giác ABKE nội tiếp  AKB  AEB  450  AKB vuông cân tại
A  ABK  450
Đt BK có vtpt n1  (3;1) , gọi n2  (a; b) là vtpt của đt AB và  là góc
giữa BK và AB  cos  


n1 .n2
n1 n2



3a  b
10. a 2  b 2



0,25

1
2

b  2 a
3a  b  5. a 2  b 2  4a 2  6ab  4b 2  0  
 a  2b
Với a  2b , chọn n2  (2;1)  AB : 2 x  y  5  0  B(2;9) (Loại)

Với b  2a , chọn n2  (1;2)  AB : x  2 y  5  0  B(5;0) (TM)
Tam giác BKN có BE và KA là đƣờng cao  C là trực tâm của BKN
 CN  BK  CN : x  3 y  10  0 . ABK và KCM vuông cân
www.dethithptquocgia.com – www.facebook.com/thithuthptquocgia

0,25

0,25



www.dethithptquocgia.com – www.facebook.com/thithuthptquocgia

 KM 

1

1

AC 

1

.

1

BK 

BK
 BK  4 KM
4

2 2
2 2 2
7 9
M  MN  BK  M  ;   K (3;6)
2 2
AC qua K vuông góc AB  AC : 2 x  y  0
A  AC  AB  A(1;2) . C là trung điểm của AK  C (2;4)

Cho các số dƣơng a, b, c thoả mãn 4(a  b  c)  9  0 . Tìm giá trị lớn
9

2

CK 



nhất của biểu thức S = a  a 2  1







 b 
b

Ta có lnS  b ln a  a 2  1  c ln b 

 c 
b  1   a ln  c 
2

b2  1

c



c  1
c2  1

a

0,25
1,00

2

Xét hàm số f ( x)  ln( x  x 2  1), x  0 . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

4
3
3

tại điểm  ;ln 2  có phƣơng trình y  x  ln 2 
5
5
4

4
3
Chứng minh đƣợc ln( x  x 2  1)  x  ln 2  , x  0
5
5
4
3
 ln(a  a 2  1)  a  ln 2  . Tƣơng tự, cộng lại ta đƣợc

5
5
4
3

lnS  (ab  bc  ca)   ln 2   (a  b  c)
5
5

1
Cuối cùng sử dụng bất đẳng thức (ab  bc  ca)  (a  b  c) 2 và giả
3
9
9
thiết a  b  c  , rút gọn ta thu đƣợc ln S  ln 2 . Từ đó S  4 4 2 .
4
4
3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  . Vậy giá trị lớn nhất của
4
4
S là 4 2 .

www.dethithptquocgia.com – www.facebook.com/thithuthptquocgia

0,25

0,25

0,25


0,25