TRƯỜNG THPT chuyên Hùng Vương
Lớp 11 chuyên toán 2

TÀI LIỆU
CHUYÊN ĐỀ
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Những người thực hiện:
NGUYỄN THỊ THÙY DUNG (Nhóm trưởng)
NGUYỄN THỊ THU AN
CAI VIỆT HOÀNG

Nă m họ c: 2014 - 1015




TÀI LIỆU
CHUYÊN ĐỀ
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC


Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

PHẦN MỞ ĐẦU
Mục tiêu
- Hiểu và nắm được các phương pháp giải phương trình lượng giác thường gặp.
- Biết cách vận dụng linh hoạt các phương pháp và thủ thuật tính toán.

Phân công thực hiện
Dung (Viết tay)
- Kiến thức cơ bản.

- Dạng 3: Phương pháp đặt ẩn phụ.
- Dạng 4: Các phương trình lượng giác có điều kiện.
An (Đánh máy)
- Dạng 5: Một số phương trình khác.
- Bài tập tổng hợp.
Hoàng (Đánh máy)
- Dạng 1: Phương pháp đưa về phương trình cơ bản.
- Dạng 2: Phương pháp đưa về phương trình tích.
- Bìa.
- Thiết kế, kiểm tra.
Số trang tương ứng với người đánh máy, không tương ứng với người viết tay.

PHẦN NỘI DUNG
Bạn đọc xem ở trang kế tiếp hoặc xem mục lục ở trang cuối.

Nhóm Dung(NT), An, Hoàng.

2


Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A
KIẾN THỨC CƠ BẢN

Nhóm Dung (NT), An, Hoàng.

3



Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1. Cung liên kết

a) Cung đối: cos   x   cos x; sin   x    sin x;

b) Cung bù: cos   x    cos x; sin   x   sin x;
c) Cung phụ:








cos   x   sin x; sin   x   cos x; tan(  x)  cot x; cot   x   tan x
2
2

2

2

d) Cung hơn kém  : cos   x    cos x; sin   x    sin x;
e) Cung hơn kém


2






 x    sin x; sin   x   cos x;
2

2


: cos 

2. Công thức lượng giác
a) Công thức cộng:
cos  a  b   cos a cos b  sin a sin b
sin(a  b)  sin a cos b  cos a sin b
tan a  tan b
tan(a  b) 
1  tan a tan b
cot a cot b  1
cot(a  b) 
cot a  cot b

b) Công thức nhân đôi:
sin 2a  2sin a.cos a
cos 2a  cos 2 a  sin 2 a
 2cos 2 a  1
 1  2sin 2 a
2 tan a
tan 2a 

1  tan 2 a

c) Công thức nhân ba
sin 3a  3sin a  4sin 3 a

cos3a  4cos3 a  3cos a
d) Công thức hạ bậc
1  cos 2a
1  cos 2a
sin 2 a 
;
cos 2 a 
2
2
3sin a  sin 3a
3cos a  cos3a
sin 3 a 
; cos3 a 
4
4
e) Công thức biến đổi tích thành tổng

Nhóm Dung(NT), An, Hoàng.

4


Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1

cos(a  b)  cos(a  b)
2
1
sin a sin b   cos(a  b)  cos(a  b) 
2
1
sin a cos b  sin(a  b)  sin(a  b) 
2
cos a cos b 

f) Công thức biến đổi tổng thành tích
ab
a b
cos a  cos b  2cos
cos
2
2
ab
a b
cos a  cos b  2sin
sin
2
2
ab
a b
sin a  sin b  2sin
cos
2
2
ab

a b
sin a  sin b  2cos
sin
2
2
g) Công thức tính theo tan

a
t
2

2t
t 1
1 t2
cos a 
1 t2
2t
tan a 
1 t2

sin a 

2

3. Hằng đẳng thức thường dùng
sin 2 a  cos 2 a  1
1
sin 4 a  cos 4 a  1  sin 2 2a
2
3

sin 6 a  cos 6 a  1  sin 2 2a
4
1
1  tan 2 a 
cos 2 a
1
1+cot 2 a 
sin 2 a
1  sin 2a   sin a  cos a 

2

Nhóm Dung (NT), An, Hoàng.

5


Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

4. Phương trình lượng giác cơ bản
khi m  1
VN

sin f ( x)  m   f ( x)  arcsin m  k 2
 f ( x)    arcsin m  k 2 khi m  1

 x    k 2
sin x  sin   
 x      k 2
VN


cos f ( x)  m   f ( x)  arccos m  k 2
 f ( x)   arccos m  k 2


khi m  1
khi m  1

 x    k 2
cos x  cos   
 x    k 2
tan f ( x)  m  f ( x)  arctan m  k ;
tanx  tan   x    k
cot f ( x)  m  f ( x)  arc cot m  k
cotx  cot   x    k

5. Phương trình thường gặp
a) Phương trình bậc hai
a.sin 2 f ( x)  b.cos f ( x)  c  0  Thay sin 2 f ( x)  1  cos 2 f ( x)

a.cos 2 f ( x)  b.sin f ( x)  c  0  Thay cos2 f ( x)  1  sin 2 f ( x)
a cos 2 f ( x)  b cos f ( x)  c  0  Thay cos 2 f ( x)  2cos 2 f ( x)  1
a cos 2 f ( x)  b sin f ( x)  c  0  Thay cos 2 f ( x)  1  2sin 2 f ( x)
1
a.tan f ( x)  b cot f ( x)  c  0  Thay cot f ( x) 
tan f ( x)
b) Phương trình dạng a sin f ( x)  b cos f ( x)  c
- Điều kiện có nghiệm: a 2  b2  c2
- Chia 2 vế cho a 2  b 2 , dùng công thức cộng chuyển về dạng cơ bản theo sin
hoặc cos.

c) Phương trình đẳng cấp
* Dạng a.sin 2 x  b.sin x cos x  c.cos2 x  d
- Xét cosx = 0 có thỏa mãn phương trình hay không.
- Xét cosx  0, chia 2 vế cho cos2x để được phương trình bậc 2 theo tanx.
Có thể thay vì xét cos x , ta có thể thay bằng việc xét sin x .
* Dạng a.sin3 x  b.sin 2 x cos x  c.sin x.cos2 x  d .cos3 x  0
- Xét cos x  0 có thỏa mãn phương trình hay không.
- Xét cos x  0 , chia 2 vế cho cos3x để được phương trình bậc 3 theo tanx.
Có thể thay vì xét cos x , ta có thể thay bằng việc xét sin x .
Nhóm Dung(NT), An, Hoàng.

6


Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

d) Phương trình đối xứng loại 1: a(sin x  cos x)  b.sin x cos x  c
- Đặt t  sin x  cos x , điều kiện t  2
- Thay vào phương trình ta được phương trình bậc 2 theo t.
e) Phương trình đối xứng loại 2: a  tan n x  cot n x)  b(tan x  cot x   0
- Đặt t  tan x  cot x thì t  R ; Đặt t  tan x  cot x thì t  2 .
- Chuyển về phương trình theo ẩn t.
f) Phương trình dạng a.sinx + b.cosx = c.sin u(x) + d.cos u(x)
(𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 𝑑 2 )
Phương pháp giải:
Chia cả 2 vế cho 𝑎2 + 𝑏 2 hoặc 𝑐 2 + 𝑑 2
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑

Pt ⇔ 2 2 . 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2 2 . 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2 2 . 𝑠𝑖𝑛 𝑢(𝑥) + 2 2 . cos 𝑢(𝑥)
√𝑎 +𝑏

√𝑎 +𝑏

√𝑎 +𝑏

√𝑎 +𝑏

⇔sin𝛼. sinx + cos𝛼 . cosx = sin𝛽 . sin u(x) + cos𝛽 . cos u(x)
⟺ cos ( x – α) = cos ( u(x) – β)
g) Các phương pháp giải phương trình lượng giác tổng quát
- Phương pháp biến đổi tương đương đưa về dạng cơ bản
- Phương pháp biến đổi phương trình đã cho về dạng tích.
- Phương pháp đặt ẩn phụ.
- Phương pháp đối lập.
- Phương pháp tổng bình phương.
Ngoài ra một số phương pháp cụ thể sẽ được bổ sung trong phần B.

Nhóm Dung (NT), An, Hoàng.

7


Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

B
PHƯ Ơ NG PHÁP, VÍ DỤ
VÀ BÀI TẬ P VẬ N DỤ NG


Nhóm Dung(NT), An, Hoàng.

8


Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Dạng 1: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN.
1. Phương pháp:
Sử dụng các giá trị lượng giác và những công thức lượng giác đã học biến đổi
phương trình về các dạng cơ bản sau:
 x    k 2
 x  arcsin m  k 2
sin x  sin   m  
(k  )  
(k  ), m  1.
 x      k 2
 x    arcsin m  k 2
 x    k 2
 x  arccos m  k 2
cos x  cos   m  
(k  )  
(k  ), m  1.
 x    k 2
 x   arccos m  k 2
tan x  tan   m  x    k (k  )  x  arctan m  k (k  ).
cot x  cot   m  x    k (k  )  x  arccot m  k (k  ).
Lưu ý: Mọi biểu thức đã cho đều có nghĩa
arcsin( x)   arcsin x , tương tự với arccos,arctan,arccot.


Ngoài ra chúng ta cần vận dụng linh hoạt một số dạng phương trình lượng giác đơn
giản để có thể đưa phương trình phức tạp về dạng quen thuộc.

2. Ví dụ
VD1: Giải phương trình sin 2 x  sin x.
Giải:
 x  k 2
 2 x  x  k 2
(k  )  
pt  

2 ( k  ).

2
x



x

k
2

x


k

3
3



x
VD2: Giải phương trình cos  cos 2.
2
Giải:
x
 x  2 2  k 4
 2  2  k 2
(k  )  
(k  )
pt  
x
x


2
2

k
4


   2  k 2
 2
VD3: Giải phương trình cos( x  5) 

3
.
2


Giải:





x

5


k
2

x

5

 k 2



6
6
(k  )  
(k  ).
pt  cos( x  5)  cos  



6
 x  5    k 2
 x  5   k 2


6
6
Nhóm Dung (NT), An, Hoàng.

9


Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC



VD4: Giải phương trình tan(2 x  3)  tan .
3
Giải:

3 

pt  2 x  3   k (k  )  x 
  k (k  ).
3
2 6
2
VD5: Giải các phương trình
a) sin3x  cos2 x  0.
b) sin3 x cos3x  cos3 x sin3x  sin 3 4 x.

c) cos7 x sin 6 x  sin8x cos5x.
d) cos2 x  3sin x  2.
Giải:


 x    5x  
a) pt  sin 3x  sin   2 x   0  2cos    sin     0
2

2 4  2 4
 x 
x  
cos  2  4   0
 2  4  2  k




(k  )
5x 
  5x  

sin  2  4   0  2  4  k

 


x

 k 2


2

(k  ).
 x    k 2
 10
5
b) pt
(3sin x  sin 3x) cos3 x (cos3 x  3cos x)sin 3 x


 sin 3 4 x
4
4
 3sin x cos3x  sin 3 x cos3 x  sin 3 x cos3 x  3cos x sin 3 x  4sin 3 4 x

 3sin 2 x  4sin 3 4 x  4sin 3 4 x  3sin 2 x  0
 4  2sin 2 x cos 2 x   3sin 2 x  0
3

 32sin 3 2 x cos3 2 x  3sin 2 x  0
 sin 2 x  32sin 2 2 x cos3 2 x  3  0
sin 2 x  0
k


2
x

k


(
k

)

x

(k  ).
2
3
2
32sin
2
x
cos
2
x

3

0(ktm)

c) pt

Nhóm Dung(NT), An, Hoàng.

10



Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1
1
 sin13x  sin x    sin13x  sin 3x 
2
2
 sin13x  sin x  sin13x  sin 3x
 sin 3x   sin x



 sin x  sin  3 x 
 x  3x  k 2

(k  )
x



3
x

k
2




x


k

2

(k  ).

 x    k

2
d) pt
 1  2sin 2 x  3sin x  2
 2sin 2 x  3sin x  1  0
sin x  1

1
sin x 

2


x

 k 2

2


  x   k 2  k 


6

 x  5  k 2

6

.

VD6: Giải phương trình cos2 x  3sin x  2.
Giải:
pt
 1  2sin 2 x  3sin x  2
 sin 2 x  3sin x  1  0

3 5
sin x 
2


3 5
sin x 

2

Nhóm Dung (NT), An, Hoàng.

11


Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC



3 5
 k 2
 x  arcsin
2


3 5
 k 2
 x    arcsin
2

k 

3 5
 k 2
 x  arcsin
2


3 5
 k 2
 x    arcsin

2

.

1

VD7: Giải phương trình sin 2 x  sin 2 x  .
2
Giải
pt
1
 sin 2 x  2sin x cos x  (sin 2 x  cos 2 x)
2
1
1
 sin 2 x  2sin x cos x  cos 2 x  0(*)
2
2
1
Với cos x  0 thì pt (*)  sin 2 x  0  sin x  0  x  k (k  ).
2
Với cos x  0 , chia cả 2 vế của pt (*) cho cos2 x ta được
1 2
1
tan x  2 tan x   0. (**)
2
2
Giải phương trình (**) ta được
 x  arctan 5  2  k
 tan x  5  2

(k  ).


 tan x   5  2
 x  arctan  5  2  k









VD8 (ĐH D-2005): Giải phương trình
 
 3

cos 4 x  sin 4 x  cos  x   sin  3x     0.
4 
4 2

Giải:
pt
1 

 3
 1  2sin 2 x cos 2 x  sin  4 x    sin 2 x    0
2 
2
 2

1  cos 2 2 x 1
3
1
  sin 2 x  cos 4 x    0

2
2
2
sin 2 x 1
1
3
1
 sin 2 x  1  2sin 2 2 x    0
2
2
2
2
2
2
 2  sin 2 x  sin 2 x  1  2sin 2 x  3  0
Nhóm Dung(NT), An, Hoàng.

12


Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

 sin 2 x  sin 2 x  2  0
2

sin 2 x  1



 2 x   k 2 (k  )  x   k (k  ).

2
4
sin 2 x  2(ktm)
VD9 (ĐH B-2009): Giải phương trình
sin x  cos x sin 2 x  3 cos3x  2 cos 4 x  sin 3 x .





Giải:
pt
 sin x  2sin x cos 2 x  3 cos3 x  2cos 4 x  2sin 3 x

 sin x  2sin x(cos 2 x  sin 2 x)  3 cos3x  2cos 4 x
 sin x  2sin x cos 2 x  3 cos3 x  2cos 4 x
1
 sin x  2.  sin 3x  sinx   3 cos3 x  2cos 4 x
2
 sin x  sin 3x  sin x  3 cos3 x  2cos 4 x
1
3
 sin 3 x 
cos3 x  cos 4 x
2
2
 sin




6

sin 3 x  cos



6

cos3 x  cos 4 x




3
x

 4 x  k 2

x 


6
 cos  3x    cos 4 x  
(k  )  

6

3x   4 x  k 2
x 



6


 k 2
6
(k  ).

2
k
42
7

VD10: Giải phương trình sin x  2 sin 5 x  cos x.
Giải:
pt
 sin x  cos x  2 sin 5 x



 2 sin  x    2 sin 5 x
4



 sin  x    sin 5 x
4






x    k 2
 x  4  5 x  k 2

(k  )  
(k  ).
x    k 
 x      5 x  k 2


8
3
4

Nhóm Dung (NT), An, Hoàng.

13


Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

3. Bài tập tương tự
Giải các phương trình sau bằng phương pháp đưa về phương trình cơ bản:
3
.
1. sin( x  2) 
2
Đáp số: Bạn đọc tự giải.
2. sin x  cos x.

Đáp số: Bạn đọc tự giải.
3. cot 3 x 

3
.
3

Đáp số: Bạn đọc tự giải.
4. cos( x  2)  cos( x  1)  0.
Đáp số: x 

1
 k (k  ).
2

5. cos10 x  2cos 2 4 x  6cos3 x cos x  cos x  2cos x(4cos 3 3 x  3cos3 x).
Đáp số: x  k 2 (k  ).
6. 2sin 2 x  sin x cos x  5cos2 x  1.

 x  arctan 3  k
Đáp số: 
(k  ).
 x   arctan 2  k

7. 2sin3 x  sin 2 x cos x  4sin x cos2 x  cos3 x  0.



x


 k

4
Đáp số: 
(k  ).
 3  17 

  k
 x  arctan 
4




8. cos2 3x cos 2 x  cos2 x  0.
Đáp số: x  k
9. (ĐH B-2013)
sin 5x  2cos2 x  1.

Nhóm Dung(NT), An, Hoàng.

14


2

(k  ).





x



k

6
3
(k  ).
Đáp số: 
3

2

x 
k

14
7


Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

10. cos x  cos 2 x  cos3x  cos 4 x  0.


2

x



k

5
5


Đáp số:  x   k (k  ).

2
 x  3



*
*

*

Nhóm Dung (NT), An, Hoàng.

15


Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Dạng 2: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
1. Phương pháp
- Vận dụng các phương pháp biến đổi phương trình sao cho có một hoặc một vài

nhân tử chung để nhóm chúng thành tích.
- Một số kĩ năng nhóm nhân tử chung đơn giản:
sin 2 x  1  cos 2 x  1  cos x 1  cos x 
cos 2 x  1  sin 2 x  1  sin x 1  sin x 
1  sin 2 x  sin 2 x  2sin x cos x  cos 2 x   sin x  cos x 
1  sin 2 x  sin 2 x  2sin x cos x  cos 2 x   sin x  cos x 

2

2

cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x   cos x  sin x  cos x  sin x  .
Một số phương trình thường gặp
- Dạng f  cos 2 x;1  sin 2 x;sin x  cos x   0.
2
2

cos 2 x  cos x  sin x
Cách giải chung: Sử dụng 
2

1  sin 2 x   sin x  cos x 
từ đó có nhân tử chung sin x  cos x.

Bảng tổng kết một số nhân tử chung thường gặp
STT
1
2

Nhân tử chung


Biểu thức chứa nhân tử chung

3

sin x
cos x
sin x  cos x

tan x,sin 2 x, tan 2 x,1  cos 2 x,sin 3x,...
cot x,sin 2 x, tan 2 x,1  cos 2 x,cos3x,...
cos 2 x,1  tan x,1  cot x,1  tan 2 x,1  cot 2 x,sin 3 x  cos 3 x,...

4

1  2sin x

1  4sin 2 x,3  4sin 2 x,cos3 x, 2cos 2 x  1,cot x  2cos x,...

5

1  2cos x

1  4cos 2 x,3  4sin 2 x,sin 3 x, tan x  2sin x,...

6

1  sin x

7


1  cos x

Nhóm Dung(NT), An, Hoàng.

16

x 
 x
cos 2 x,cot 2 x,sin    ,cot    ,...
2 4
 4 2
x
x
x 
x 
sin 2 x, tan 2 x,sin 2  cos 2  ,cos    ,cot    ,...
x
2
2 4
2 4


Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

2. Ví dụ
VD1: Giải phương trình 4sin 4 x  2sin3 x  3sin 2 x  sin x  0.
Giải:
pt
 sin x  4sin 3 x  3sin x  1  2sin 2 x   0


 sin x  sin x  1  4sin 2 x  2sin x  1  0
sin x  0(1)

 sin x  1  0(2)
 4sin 2 x  2sin x  1  0(3)
(1)  x  k (k  )
(2)  sin x  1  x 


2

 k 2 ( k  )


1  5
sin x 
4
(3)  

1  5
sin x 

4

 1  5 
 x  arcsin 
  k 2
4





 x    arcsin  1  5   k 2



4 


(k  ).

1 5 
 x   arcsin 
  k 2
4




 x    arcsin  1  5   k 2



 4 


Nhóm Dung (NT), An, Hoàng.

17



Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

 x  k


 x   k 2
2




 x  arcsin  1  5   k 2

4 


Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm  x    arcsin  1  5   k 2 (k  ).



4 





 x   arcsin  1  5   k 2


 4 

1 5 

x



arcsin

  k 2

4



VD2: Giải phương trình 1  cos x  cos 2x  0.
Giải:
pt

 1  cos x  2cos 2 x  1  0
 2cos 2 x  cos x  0
 cos x  2cos x  1  0
cos x  0(1)

 2cos x  1  0(2)
(1)  x 


2


 k ( k  )

2

x

 k 2

1
3
(2)  cos x    
(k  ).
2
 x   2  k 2

3



x

 k

2

2
 k 2 (k  ).
Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm  x 


3

 x   2  k 2

3

VD3: Giải phương trình sin 4 x  1  cos4 x.
Giải:
pt

Nhóm Dung(NT), An, Hoàng.

18


Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

 sin 4 x  1  1  sin 2 x 

2

 sin 4 x  1  1  2sin 2 x  sin 4 x 
 2sin 4 x  2sin 2 x  0
 2sin 2 x  sin 2 x  1  0

sin 2 x  0(1)
 2
sin x  1  0(2)
(1)  sin x  0  x  k (k  )




x

 k 2

sin x  1
2
(2)  

(k  ).
sin x  1  x     k 2

2

 x  k


Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm  x   k 2 (k  ).

2


 x    k 2

2
VD4: Giải phương trình sin x  sin x cos x  1  cos x  cos2 x.
Giải:
pt
 cos x(sin x  1)  sin x  1  cos 2 x  0

 cos x(sin x  1)  sin x  1  sin 2 x  1  0
 cos x(sin x  1)  sin x  1  (sin x  1)(sin x  1)  0
 (sin x  1)(cos x  sin x  2)  0
sin x  1  0(1)

sin x  cos x  2  0(2)

(1)  sin x  1  x 


2

 k 2 (k  )



(2)  sin x  cos x  2  ktm dosin x  cos x 



2 .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 


2

 k 2 (k  ).

x

3x 1
x
3x
VD5: Giải phương trình cos cos x cos   sin sin x sin .
2
2 2
2
2
Giải:
Nhóm Dung (NT), An, Hoàng.

19


Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

pt
x
3x 
1 
x
3x 

  cos cos  cos x    sin sin  sin x
2
2 
2 
2
2 


1
1
1
  cos 2 x  cos x  cos x   cos 2 x  cos x  sin x   0
2
2
2
1
  cos 2 x cos x  cos 2 x  cos 2 x sin x  sin x cos x  1  0
2
 cos 2 x  cos x  sin x   sin x  cos x  sin x   0
  cos x  sin x  cos 2 x  sin x   0
cos x  sin x  0(1)

cos 2 x  sin x  0(2)






(1)  2 sin   x   0  sin   x   0   x  k (k  )  x   k (k  )
4
4
4

4




 x  2  k 2

sin x  1

2


(2)  1  2sin x  sin x  0 
1   x    k 2 ( k  ).
sin x  
6


2
 x  7  k 2

6



x

 k

4

 x    k 2

2
Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm 

(k  ).

 x    k 2
6


7
 k 2
x 
6

VD6 (ĐH D-2004): Giải phương trình  2cos x  1 2sin x  cos x   sin 2 x  sin x.
Giải:
pt
  2cos x  1 2sin x  cos x   2sin x cos x  sin x
  2cos x  1 2sin x  cos x   sin x  2cos x  1  0
  2cos x  1 sin x  cos x   0
 2cos x  1  0(1)

sin x  cos x  0(2)

Nhóm Dung(NT), An, Hoàng.

20


Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1


 x    k 2 (k  )
2
3






(2)  2 sin  x    0  sin  x    0  x   k (k  )  x    k (k  ).
4
4
4
4




x


 k 2

3
Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm 
(k  ).

 x    k

4


(1)  cos x 

VD7: Giải phương trình  2sin x  1 2sin 2 x  1  3  4cos 2 x.
Giải
pt

1  cos 2 x
2
  2sin x  1 2sin 2 x  1  3  2  2cos 2 x

  2sin x  1 2sin 2 x  1  3  4.

  2sin x  1 2sin 2 x  1  1  2 1  2sin 2 x 
  2sin x  1 2sin 2 x  1  1  2  4sin 2 x

  2sin x  1 2sin 2 x  1   4sin 2 x  1  0
  2sin x  1 2sin 2 x  1   2sin x  1 2sin x  1  0
  2sin x  1 2sin 2 x  1  sin x  1  0
 2  2sin x  1 sin 2 x  sin x   0

 2sin x  1  0(1)

sin 2 x  sin x  0(2)


x

 k 2


1
6
(1)  sin x   
(k  )
5

2
x 
 k 2

6

(2)  sin 2 x  sin x
 2 x  x  k 2

(k  )
2
x



x

k
2


 x  k 2



2 (k  ).
x   k
3
3


Nhóm Dung (NT), An, Hoàng.

21


Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC



x

 k 2

6

 x  5  k 2
(k  ).
Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm 
6

 x  k 2


2

x   k
3
3

VD8: Giải phương trình sin x  sin 2x  sin3x  cos x  cos 2x  cos3x.
Giải:
pt
  sin x  sin 3 x   sin 2 x   cos x  cos3 x   cos 2 x
 2sin 2 x cos x  sin 2 x  2cos 2 x cos x  cos 2 x
 2sin 2 x cos x  sin 2 x  2cos 2 x cos x  cos 2 x  0
 2cos x  sin 2 x  cos 2 x   sin 2 x  cos 2 x  0
  sin 2 x  cos 2 x  2cos x  1  0
sin 2 x  cos 2 x  0(1)

 2cos x  1  0(2)




(1)  2 sin  2 x    0  sin  2 x    0
4
4


 2x 


4

 k ( k  )  x 


(2)  cos x  


8

k


2

(k  )

1
2
x
 k 2 (k  ).
2
3




x


k

8
2

(k  ).
Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm 
2

x  
 k 2

3
VD9: Giải phương trình sin 2 x  sin 2 3x  cos2 2 x  cos2 4 x.
Giải
pt
1
1
1
1
 1  cos 2 x   1  cos 6 x   1  cos 4 x   1  cos8 x 
2
2
2
2
   cos 2 x  cos 6 x   cos 4 x  cos8 x
 2cos 4 x cos 2 x  2cos 6 x cos 2 x
 2cos 2 x  cos 6 x  cos 4 x   0
 4cos 2 x cos x cos5 x  0
Nhóm Dung(NT), An, Hoàng.

22