V n 1. GI I H N C A D Y S File word

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.32 MB, 69 trang )

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65

Chủ đề 1

1

GIỚI HẠN – LIÊN TỤC

Vấn đề 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A - GIỚI HẠN HỮU HẠN
 Giới hạn hữu hạn
 lim un  0  un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
n 

 Dãy số  u n  có giới hạn là L nếu: lim vn  L  lim  vn  L   0
n 

n 

 Lưu ý: Ta có thể viết gọn: lim un  0, lim un  L .
 Giới hạn đặc biệt
1
1) lim  0
n

2) lim

1
0
n

3) lim

1
0
n

3

5) lim C  C , C 

6) lim q n  0 nếu q  1 )

8) lim q n   nếu q  1

9) lim nk  , k  *

4) un  0  lim un  0
7) lim

1
 0, k  *
nk

 Định lí về giới hạn
• Nếu hai dãy số  u n  và  vn  cùng có giới hạn thì ta có:
2) lim  un .vn   lim un .lim vn

1) lim(un  vn )  lim un  lim vn
3) lim

un lim un

(Nếu lim vn  0 )
vn lim vn

4) lim  k .un   k .lim un , (k  )
6) lim 2 k un  2 k lim un (nếu un  0 ) (căn bậc chẵn)

5) lim | un || lim un |
7) lim 2 k 1 un  2 k 1 lim un

(căn bậc lẻ) 8) Nếu un  vn và lim vn  0 thì lim un  0 .

- Định lí kẹp về giới hạn của dãy số: Cho ba dãy số  u n  ,  vn  ,  wn  và

L  . Nếu

un  vn  wn , n  * và lim un  lim wn  L thì  vn  có giới hạn và lim vn  L .
• Nếu lim un  a và lim vn   thì lim

un
0.
vn

1) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn.
2) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn.
n

 1
 Chú ý: e  lim  1+   2, 718281828459... , là một số vô tỉ.

 n
 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
• Một cấp số nhân có cơng bội q với | q | 1 được gọi là cấp số nhân lùi vơ hạn.
Ta có : S  u1  u1q  u1q 2  

u1
(với | q | 1 )
1 q

B - GIỚI HẠN VÔ CỰC
 Định nghĩa
 lim un    un có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý , kể từ một số hạng nào đó trở đi.
n 

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

2

 lim un    un có thể nhỏ hơn một số âm nhỏ tùy ý , kể từ một số hạng nào đó trở đi.
n 

 lim un    lim  un   
n 

n 

 Lưu ý: Ta có thể viết gọn: lim un   .


 Định lí

Nếu lim un = + thì lim

1
=0
un

 Nếu lim un  0,  un  0, n 

  lim

1

un

 Một vài qui tắc tìm giới hạn
Qui tắc 1:
Nếu lim un  

Qui tắc 2:
Nếu lim un  

Qui tắc 3:
Nếu lim un  L ,

và lim vn   ,

và lim vn  L  0 ,

lim vn  0 và vn  0 hoặc

thì lim  un .vn  là:

thì lim  un .vn  là:

vn  0 kể từ một số hạng nào
đó trở đi thì:

lim un lim vn lim  un .vn 
+
+




+

+


+




+

lim un

Dấu của
lim  un .vn 
L

+
+

+

+






+



+



L

Dấu của vn lim

un
vn

+
+

+

+






+



+



Dạng 1. Dãy có giới
hạn 0
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Dãy (un) có giới hạn 0 nếu mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ
một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.
Khi đó ta viết: lim(un )  0 hoặc lim un  0 hoặc un  0 .
lim un  0    0, n0 

*

: n  n0  un  

 Một số kết quả: (xem phần tóm tắt lý thuyết)
 Chú ý: Sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh, đánh giá biểu thức lượng giá, nhân liên
hợp của căn thức, …

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.1 Chứng minh các dãy sau có giới hạn là 0:

1
n3
1
c) un  n
3

a) un 

(1) n
n4
(1) n
b) un  n
2

b) un 

c) un 

1
n2

c) un  (0,99)n

d) un 

1
, k nguyên dương
nk

d) un  (0,97)n

...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65

3

...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
VD 1.2 Chứng minh các dãy sau có giới hạn là 0: a) un 

1
n( n  1)

b) vn 

(1)n cos n
n2  2

...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
VD 1.3 Tính các giới hạn sau:

sin n
a) un 
n5

cos3n
b) un 
n 1

(1) n
c) un  n
3 1

d) un 

 sin 2n
(1, 2)n



...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

4

...................................................................................................................................................................................
VD 1.5 Chứng minh các dãy sau có giới hạn bằng 0: a) un  3 n  1  3 n

b) vn  3 n3  1  n

...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................

1
, un 1  un2  n , n  1 .
4
2
1
a) Chứng minh 0  un  với mọi n
b) Tính lim un
4

VD 1.7 Cho dãy số (un) với u1 

...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65
...................................................................................................................................................................................

Dạng 2. Khử dạng vơ

định


A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
a0 n m  a1n m1  ...  am
 Đối với dãy un 
, a0  0, b0  0 thì chia cả tử lẫn mẫu của phân thức
b0 n k  b1n k 1  ...  bk

cho lũy thừa lớn nhất của n ở tử n m hoặc mẫu n k , việc này cũng như đặt thừa số chung cho
n m hoặc mẫu n k rồi rút gọn, khử dạng vô định. Kết quả:

0
khi m  k

a
a
lim un   0 khi m  k (dấu  hoặc  tùy theo dấu của 0 )
b0
 b0
 khi m  k
 Đối với biểu thức chứa căn bậc hai, bậc ba thì cũng đánh giá bậc tử và mẫu để đặt thừa số
chung rồi đưa ra ngoài căn thức, việc này cũng như chia tử và mẫu cho lũy thừa số lớn của n
ở tử hoặc mẫu.
 Đối với các biểu thức mũ thì chia tử và mẫu cho mũ có cơ số lớn nhất ở tử hoặc mẫu, việc này
cũng như đặt thừa số chung cho tử và mẫu số hạng đó.
 Biến đổi rút gọn, chia tách, tính tổng, kẹp giới hạn, … và sử dụng các kết quả đã biết.

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.8 Tính các giới hạn sau:

a) lim

2n  1
3n  2

b) lim

n 2  3n  5
3n 2  4

c) lim

n3  n 2  n  1
2n 3  n 2  2

d) lim

2n 4  1
3n 4  n  2

...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................

2n3  3n  2
3n  2
(2n  1) 2 (4  n)
f) lim
(3n  5)3
c) lim

...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................

c) lim

2n 2  n
1  3n 2

d) lim

6n 4  n  1
2n  1

...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................

A B =



A B=



A B =

A B
A B

A B2
A B

A B
A B



3



3



3



3

A B=
A B=

A  B3
3

A2  B.3 A  B 2
A  B3

3

A 3 B =
A 3 B =

A2  B.3 A  B 2
A B
3

A  A.B  3 B 2
A B
2

3

A2  3 A.B  3 B 2

 Đặc biệt, đôi khi ta thêm, bớt đại lượng đơn giản để xác định các giới hạn mới có cùng dạng
vô định, chẳng hạn:
3

 n  2  n    n  n  1 ;
  n  n  n  n  2  n 

n3  2  n 2  1 
n 2  n  3 2  n3

3

3

3

2

2

3

3

 Đối với các biểu thức khá, biểu thức hỗn hợp thì xem xét đặt thừa số chung của mũ có cơ số
lớn nhất, lũy thừa của n lớn nhất.

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.12 Tính các giới hạn sau:

a) lim  n 2  14n  7 

b) lim  2n 2  3n  19 

c) lim 2n 2  n  1

d) lim 3 8n3  n 2  n  3

...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65

9

...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
VD 1.13 Tính các giới hạn sau:


d) lim 

n2  n  1  n

a) lim

3

n3  1  n





b) lim



e) lim





n 1  n n
3

n3  n2  n2  3n

c) lim



f) lim



3

n3  n 2  3 n3  1



n2  2  n2  1
3

n3  2  3 n3  n 2

...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2

10

...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................

c) lim 2.3n  n  2
f) lim

2
3n  2  2n  1

...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.15 Biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn sau dưới dạng phân số: 0,444…; 0,212121…
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
VD 1.16 Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là

5
39
, tổng ba số hạng đầu tiên của nó là
. Tìm số
3
25

hạng đầu và cơng bội của cấp số đó.
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
VD 1.17 Cho q  1 . Tính tổng vơ hạn sau:

a) A  1  2q  3 p 2  ...  nq n1  ...

b) B  1  4q  9 p 2  ...  n2 q n1  ...

...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................

11

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

12

...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................

BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ĐỀ 1
1.1

1.2

Tìm các giới hạn sau:
1)

lim(2n3  3n  5)

2)

lim 3n 4  5n3  7 n

3)

lim(3n3  7n  11)

4)

lim 2n 4  n 2  n  2

5)

lim 3 1  2n  n3

6)

lim(n3  3n  2)

2)

lim

3)

lim

Tìm các giới hạn sau:
1)
4)
7)

lim

4n 2  n  1
3  2n 2

(2  3n)3 (n  1)2
1  4n 5
4n 2  3
lim 3
n  3n  1
lim

9)

2(n  1)3 (n 2  n  1) 2
(n3  2n  5)(3  2n)6

11) lim

(2n  1)3 (n  3)5
3(n  1)9

13) lim

n 3  2n  1

2n 2  n  3

14) lim

4n5  n  1
6n 3  2n  1
15)
lim
(2n  1)(n  1)(n 2  2)
2n 3  n

2n3  3n  2
17) lim
3n  2

12) lim

18) lim

(n 2  1)(n  3)  n3  2
(2n 2  1)(3  n)

2n3  n  3
5n  1

Tìm các giới hạn sau:
1)

lim

3n 2  1  n
1  2n 2

2)

lim

2n n
n  2n  1

3)

lim

2

n 1
n 1

4)

lim

n3  n
n2

5)

lim

n2  2 n  3
2n 2  n  n

6)

lim

(2n n  1)( n  3)
(n  1)(n  3)

7)

lim

2n n  3
n2  n  1

8)

lim

n 1  2  3  ...  2n
3n 2  n  2

9)

lim

2n n  3
n2  3 n  2

n 2  n  1  4n 2  2
2)
n3

lim

3

1.4

8)

6)

3n3  5n  1
n2  4
3n2  2n  1
lim 2
4n  5n  2
n(3n  2)(4n  5)
lim
(2n  3)2

10) lim

(n 2  1)(n  1) 2
16) lim
(n  1)(3n  2)3

1.3

5)

2n  3n3  1
n3  n 2
2n  3
lim
4n  5
(n  1)(2n  1)
lim
(3n  2)(n  3)

Tìm các giới hạn sau:
1)

lim

4)

lim

7)

lim

4n 2  3  2n  1
n 2  2n  n
n( 3 2  n 3  n)
n2  1  n

2n  1  n 2  2n  4
3n  n 2  7

3)

lim

5)

lim

3n 2  1  n 2  1
n

6)

lim

8)

lim

2n  1  n
3n  1

9)

lim

4n 2  3  2n  1
n( n 2  3  2n)
1
n2  2  n2  4

n  n2  1
n 2  2n

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65

10) lim
1.5

4n 2  1  2n  1

11) lim

n 2  4n  1  n

1)

lim n( n 2  1  n 2  2)

n 2  4n  n

3)

lim(1  n 2  n 4  3n  1)

4)

lim(2n  1  4n 2  6n  7) 5)

lim( n3  3n  n  5)

6)

lim( n 2  2n  n  1)

7)

lim( n 2  2n  n  1)

lim( n 2  n  n 2  1)

9)

lim( n  1  n )

2)

8)

11) lim( n 2  n  2  n  1)

1
n  2  n 1

14) lim

n2  1  n  1
3n  2

12) lim( 3 2n  n3  n  1)
9)

lim

1
3n  2  2n  1

10) lim(3 n 3  n 2  n )

11) lim( 3 n3  2n 2  n)

12) lim( 3 n3  2n 2  2n  1)

13) lim( 3 n  n3  n)

14) lim( 3 n3  1  n)

15) lim( 3 2  n3  n)

16) lim

n( 3 2  n 3  n)
n  1  2n
2

17) lim( 3 8n3  n 2  1  3  2n) 18) lim( 3 n3  3n  n 2  4n )

2

Tìm các giới hạn sau:
1)

lim[4n  (2)n ]

2)

1

lim  2n  
n


3)

lim

( 2) n  4.5n 1
2.4 n  3.5n

4)

 2 n 3n 
lim    n
   4 




5)

lim

1  2n
1  2n

6)

lim

(2) n  3n
(2) n 1  3n 1

3n  4n
7) lim n
3  4n
n 2  (1) n
10) lim 2
2n  (1) n 1

2n 1  3n 1
8) lim n n
2 3
3  4n
11) lim
1  3.4 n

2n  3n  4n 3
9) lim n n 1 n 1
2 3  4
3n  4n  5n
12) lim n
3  4n  5n1

2 n  3n 1
13) lim n
2  5.3n

3n  4n  1
14) lim
2.4n  2n
3n  2.5n
17) lim
7  3.5n

4.3n  7n 1
15) lim
2.5n  7 n
4n  5n
18) lim n
2  3.5n

16) lim 2n  3n
19) lim

2n  3n  4.5n 2
2n1  3n 2  5n1

20) lim

Tính tổng vơ hạn:
1 1 1
1) S  1    
2 4 8
4)

S

2)

2 1
1
1

 
2 1 2  2 2

7) 1  0,9   0,9    0,9  
2

1.8

3n 2 n 2  1

4n 2  3  2n  1

lim n( n 2  1  n 2  2)

13) lim

1.7

12) lim

Tìm các giới hạn sau:

10) lim( n 2  n  1  n)

1.6

n6  n  1  n 2

13

2

1  a  a2 
1  b  b2 

 an
 bn

(với a  1; b  1)

1 1 1
S  1   
3 9 27

3)

S

1
5) S  8  4  2  1   ...
2

6)

S  33.9 9.27 27.8181

8) S 

1 2 3 4
  
2 4 8 27
1

1

1

1

34
34
34




100 10000 1000000

Tìm phân số phát sinh ra số thập phân vơ hạn tuần hồn sau:
1) 34, 12  
2) 0,  25  
3) 3, 123  

4) 2,131131

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

1.9

14

Cho hai dãy số  u n  và  vn  . Chứng minh rằng nếu lim vn  0 và | un | vn với mọi n thì
lim un  0 . Áp dụng tính giới hạn của các dãy số sau:
1)

1
un 
n!

2)

(1) n
un 

2n  1

4)

un  (0,99)n cos n

5)

un  5n  cos n

3)

2  n(1)n
un 
1  2n 2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65

15

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
TN1.1

TN1.2

Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0 ?
n 1
1
A.

.
B.
.
n
n
n

n

TN1.5

TN1.6

 1
lim

TN1.8

TN1.9

TN1.10

TN1.11

cos n
.
n

n

 5
B.    .
 4

n

n

 4
D.    .
 3

2
C.   .
3

n

 2
B.    .
 3

C.  0,99  .

D.  1 .

C. 1 .

1
D.  .

2

C.

1
.
2

1
D.  .
2

C.

3
.
5

D.

n

n

n

n2
1
A. .
2

có giá trị bằng
B. 0 .

 1  2n 
lim 
 có giá trị bằng
 4n 
1
1
A. .
B.  .
4
4

3n  5n
có giá trị bằng
lim
5n

A. 1 .
TN1.7

D.

Dãy nào sau đây khơng có giới hạn?

2
A.   .
3

TN1.4

1
n 1

Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?

3
A.   .
2
TN1.3

C.

B. 0 .

2 n 3  n  5
lim 4
có giá trị bằng
n  2n  2
A.  .
B. 2 .

2n 4  n  1
có giá trị bằng
3n4  2n
2
A. 0 .
B.
3

8
.
5

C. 0 .

D. 6 .

C.  .

D.

2
.
5

C. 1 .

D.

3
.
2

C.  .

D. 2 .

C. 1

.

lim

2n 2  3n3
có giá trị bằng
2n3  4n 2  1
3
A.  .
B. 0 .
2
lim

2n3  n 2  4
có giá trị bằng
n 2  2n  3
A. 2 .
B. 0 .
lim

n
lim
A. 0 .

2

 2n  2n3  1  4n  5 

n

4

 3n  1 3n 2  7 

B.

8
.
3

có giá trị bằng
D.  .

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

 2n  n  3n  1
lim
 2n  1  n  7 

có giá trị bằng

A. 1 .

B. 3 .

3

TN1.12

TN1.13

2

4

B. 1 .

TN1.16

B.  .

9n 2  n  n  2
có giá trị bằng
3n  2
A. 1 .
B. 3 .

lim

TN1.20

lim



B. 1 .

lim



B.  .

C. 0 .

D.  .

C. 1 .

D.  .

C.  .

D. 1 .



B. 0 .



lim



A.

1

.
2

2n2  n  1  2n2  3n  2 có giá trị bằng
B. 0 .

C.  .

D.  .

1 
 1
lim 

 có giá trị bằng
n2 
 n 1

B. 0 .

lim n



C.

1
.
2

D.  .



n  2  n  3 có giá trị bằng

B. 0 .

D.  .

C. 1 .

Nếu lim un  L thì lim 3 un  8 có giá trị bằng

Nếu lim un  L thì lim
1
.
L 3

A.
3

TN1.24

D.  .

n2  2n  3  n có giá trị bằng

A. L  2 .
TN1.23

C. 0 .



A. 1 .
TN1.22

D. 7 .

n2  2n  1  2n2  n có giá trị bằng

A. 1 .
TN1.21

C. 3 .

n2  4  n2  1 có giá trị bằng

A. 1 .
TN1.19

D.  .





A. 1  2 .
TN1.18

C.  .

lim

A. 3 .
TN1.17

D.  .

lim  3n4  4n2  n  1 có giá trị bằng
A.  .

TN1.15

3
C.  .
2

lim  2n3  2n2  3 có giá trị bằng
A. 2 .

TN1.14

16

lim

3

B.

3

L 8 .

C.

3

L 2.

D. L  8 .

1
.
L 3

D.

1
có giá trị bằng
un  9

B.

n 1
có giá trị bằng
n8

1
.
L9

C.

1
.
L9

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65

A. 1 .

B.
8n 3  2 n 2  1

3

TN1.25

lim

TN1.26

2.

B. 2 .

3
.
2

B.

lim

 5
5.2 

n

 5

n 1

3

lim

n  n2  1
n2  n  2

lim



3

D. 1 .

D.  5 .

C. 

2
5

.

1
D.  .
5

lim



3

C.  .

D. 1 .

C. 0 .

D. 1 .

C. 1 .

D. 0 .

C. 1 .

D. 0 .

có giá trị bằng



n3  2n2  n có giá trị bằng
B.

1
.
3



n2  n3 + n có giá trị bằng

1
.
3

B.  .

Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?
n2  1

.
n  3n2

B. un 

1  3n
.
n  3n 2

C. un 

1  2n 2
.
n5

D. un 

1  2n
.
n5

C. un 

2  n2
.
3n  3

D. un 

n2  2

.\
n  5n3

B. un 

2018  2017n
.
n 1

Dãy số nào sau đây có giới hạn là  ?
A. un 

TN1.35

1
.
5

B. 2 .

A. un 
TN1.34

.

C.  .

 n  3n  22n
có giá trị bằng
3 n  3n  22 n 2

1
A. 1 .
B. .
4

A.
TN1.33

5

lim

2
A.  .
3
TN1.32

C.

có giá trị bằng

B.

A. 1 .
TN1.31

3.

 2n 1  1

1
A.  .
3

TN1.30

D.  .

C. 1 .

B.  .

n

TN1.29

D.  .

n
lim 3n  5  có giá trị bằng



A. 3 .

TN1.28

1
.
8

 3n  (1) n cos 3n 
lim 
 có giá trị bằng
n 1



A.
TN1.27

C.

có giá trị bằng

2n 2  1

A.

1
.
2

17

n 2  2n
.
3n  3n 2

B. un 

1  2n
.
3n  3

Dãy số nào sau đây có giới hạn là  ?
A. un 

n2  3n
.
2n  n 2

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

18

D. un  n2  1.

C. un  2017n  2016n2 .
TN1.36

Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 1?
A. lim

TN1.37

TN1.40

2n3  3

.
2 n 3  1

5n2  2
.
5n3  4

B. lim

2n  5n3
.
2n2  1

n2  2
.
 n3  4

B. lim

2n  n3
.
2n 2  1

TN1.42

TN1.44

C. lim

2n 2  n 4

.
 n 3  2n 2

D. lim

3  5n3
.
n2  1

C. lim

3n 2  2n3
.
2n3  4n2

D. lim

3  2n 4
.
2n 2  1



C. lim cos   n  .
2


D. lim cos  n  .

Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 1 ?

A. lim sin  n  .

B. lim cos  n  .
D. lim

1 1
1
Tổng S   2  ...  n  ... có giá trị bằng
5 5
5
1
1
A. .
B. .
5
4

 1
1  1 1
Tổng S       +...+
2  4 8
2n
B.

n cos n  2
.
n2

C.

2
.
5

D.

5
.
4

C.

3
.
4

D.

2
3

C.

1
.
5

D.  .

C. 0 .

1
D.  .
2

C. 0 .

D.  .

n 1

 ... là

1
.
3

1  3  5  ...  (2n  1)
có giá trị bằng
5n2  4
1
A. 0 .
B.  .
4
lim

lim

1  2  3  ...  n
có giá trị bằng

n2  2

A. 1 .
TN1.45

n3  3
.
n 2  1

B. lim sin  n  .

A. 1 .
TN1.43

D. lim

Dãy số nào sau đây khơng có giới hạn?
n


A. lim  1 sin   n  .
2


 n2 
C. lim sin 
 .
 2n  1 

TN1.41

3n2  1
.
3n3  3n2

C. lim

Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào là 1 ?
A. lim

TN1.39

B. lim

Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0?
A. lim

TN1.38

3n2  1
.
3n3  2

B.  .

 1

1
1
lim 


 ... 
 có giá trị bằng
n  n  1 
 1.2 2.3
1
A. .
B. 1 .
2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65

TN1.46


n 2 cos 2n 
 là:
Kết quả đúng của lim  5 
n 2  1 


A. 4.
TN1.47

TN1.49

5
.
2

3
.
3

C.

 n 2  2n  1
3n 4  2
B. –

TN1.52
TN1.53

TN1.54

TN1.55

TN1.56

TN1.58

TN1.59

D. –

25
.
2

1
.
2

D.

1
.
2

3n  n 4
là:
4n  5

B. +.

C.

3
.
4

D. 0.

C. 0.

D. 1.

C. –.

D. +.

C. –2.

D. 0.

Giá trị đúng của lim 3n  5 n là:
A. –.
B.

C. 2.

D. –2.

n


 2n 3  bằng:
lim  n 2 sin
5


A. +.
B. 0.

C. –2 .

D. –.

C. 1.

D. +.

n 3  2n  5
Chọn kết quả đúng của lim
:
3  5n
2
A. 5.
B. .
5

Giá trị đúng của lim
A. +.

Giá trị đúng của lim
A. –1.

n





 1  3n 2  2 là:
B. –.
2



 n



n  1  n  1 là:
B. 0.

Cho dãy số (un) với un = (n  1)
A. –.

TN1.57

5
.
2

C. –

3n  4.2 n 1  3
TN1.50 lim
bằng :
3.2 n  4 n
A. +.
B. –.
TN1.51

1
.
4

là

2
.
3

Giới hạn dãy số  u n  với un =
A. –.

D.

2  5 n2
là:
3 n  2 .5 n

B. 1.

Kết quả đúng của lim
A. –

C. –4.

B. 5.

Kết quả đúng của lim
A. –

TN1.48

19

B. 0.

5n  1
bằng :
3n  1
A. +.
B. 1.
10
lim
bằng :
n4  n2 1
A. +.
B. 10.

2n  2
. Chọn kết quả đúng của limun là:
n  n2 1
C. 1.
D. +.
4

lim

lim 5 200  3n 5  2n 2 bằng :
A. 0.
B. 1.

C. 0.

D. –.

C. 0.

D. –.

C. +.

D. –.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

TN1.60

TN1.61

TN1.62

1

u n  2
Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi : 
. Tìm két quả đúng của limun
u n 1  1 , n  1

2  un
1
A. 0.
B. 1.

C. –1.
D. .
2
1
 1 1 1

Tìm giá trị đúng của S = 2 1    ...  n  ......  .
2
 2 4 8

1
A. 2 +1.
B. 2.
C. 2 2 .
D. .
2

lim 4

4 n  2 n 1
bằng :
3n  4 n2

A. 0.
TN1.63

Tính giới hạn: lim
A. 1.

TN1.64

TN1.65

TN1.67

1
.
2
n 1  4

B.

C.

1
.
4

D. +.

n 1  n

B. 0.

C. –1.

D.

1
.

2

1  3  5  ......  (2n  1)
3n 2  4
1
2
A. 0.
B. .
C. .
3
3
1

1
1
Tính giới hạn: lim  
 ...... 
n(2n  1) 
1.3 3.5

D. 1.

2
.
3

D. 2.

Tính giới hạn: lim

A. 1.
TN1.66

20

B. 0.

C.

1
1
1 
Tính giới hạn: lim  
 ...... 
n(n  2) 
1.3 2.4
3
A. .
B. 1.
C. 0.
2

1 
1 
1 
Tính giới hạn: lim 1  2 1  2 .....1  2 
 2  3   n 

A. 1.

B.

1
.
2

C.

1
.
4

D.

2
.
3

D.

3
.
2

D.

1
.
2

n2 1 1
TN1.68 Chọn kết quả đúng của lim 3 
.

3  n2 2n
A. 4.
TN1.69

TN1.70

B. 3.

C. 2.

27 81
  bằng:
4 16
48
39
75
A.
B.
C.
7
4
16
Biểu diễn số thập phân 1, 245454545 như một phân số:
Tổng vô hạn 12  9 

A.

249
200

B.

137
110

C.

27
22

D. Không tồn tại

D.

69
55

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65

Vấn đề 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
 Giới hạn hữu hạn
 Giới hạn tại một điểm: Cho khoảng K chứa điểm x0 và hsố y  f  x  xác định trên K hoặc
trên K \  x0  . Dãy  xn  bất kì, xn  K \  x0  và xn  x0 , thì lim f  xn   L
 Giới hạn bên phải: Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng  x0 ; b  :

lim f ( x)  L  dãy  xn  bất kì, x0  lim f ( x)  L  xn  b và xn  x0 thì lim f  xn   L

x  x0

x  x0

 Giới hạn bên trái: Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng  a; x0  :

lim f ( x)  L  dãy  xn  bất kì, a  xn  lim f ( x)    x0 và xn  x0 thì lim f  xn   L

x  x0

x 

 Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng (a;   ) :
lim f ( x)  L  dãy  xn  bất kì, xn  a và xn   thì lim f  xn   L

x 

 Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng (; a ) :
lim f ( x)  L  dãy  xn  bất kì, xn  a và xn   thì lim f  xn   L

x 

 Giới hạn vô cực
 Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng (a;   )
dãy  xn  bất kì, xn  a và xn   thì lim f  xn   
 Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y  f  x  xác định trên K hoặc trên K \  x0  .
. lim f ( x)    dãy  xn  bất kì, xn  a , xn  K \  x0  và xn  x0 thì lim f  xn   
x  x0

 Các giới hạn: lim f ( x)   , lim f ( x)   , lim f ( x)   được định nghĩa tương tự.
x 

x 

x 

 Nhận xét: f  x  có giới hạn    f  x  có giới hạn  .
 Các giới hạn đặc biệt
1) lim x  x0
x  x0

4) lim

x 

1

x

k

3) lim

5) lim x k   ( k  * )

 nếu k chẵn
6) lim x k  
x 

  nếu k lẻ

x 

x  x0

0

c

2) lim x  x0 (c: hằng số)

x 

x

 0 (c: hằng số)

 Định lí về giới hạn ở hữu hạn
 Định lí 1.
- Nếu lim f ( x)  L và lim g ( x)  M , thì:
x  x0

x  x0

 lim c. f ( x)  c.L (với C là hằng số)
x  x0

x  x0

 lim [ f ( x)  g ( x)]  L  M
x  x0

 lim
x  x0

 lim

 lim [ f ( x)  g ( x)]  L  M

 lim [ f ( x).g ( x)]  L . M
x  x0

f ( x) L
(M  0)

g ( x) M
3

f ( x)  3 L

 lim f ( x)  L
x  x0

1
0
x  x 0 f (x)

 Nếu lim f ( x)    thì lim
x  x0

x  x0

- Nếu f  x   0 và lim f ( x)  L thì L  0 và lim
x  x0

x  x0

f ( x)  L

21

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

22

 Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng khi x  
 Định lí 2.
lim f ( x)  L  lim f ( x)  lim f ( x)  L
x  x0

x  x0

x  x0

 Định lí 3. Định lí kẹp: Giả sử J là một khoảng chứa x0 và f, g, h là ba hàm số xác định trên
tập hợp J \  x0  . Nếu f  x   g  x   h  x  , x  J \  x0  và lim f ( x)  lim h( x)  L thì
x  x0

x  x0

lim g(x)  L .
x  x0

 Quy tắc về giới hạn vô cực
 Quy tắc tìm giới hạn của tích f  x  .g  x 

lim f ( x) lim g ( x) lim f ( x).g ( x)

x  x0
x  x0
x 

L>0
L<0

x  x0
x  x0
x 

x  x0
x  x0
x 

 Quy tắc tìm giới hạn của thương

lim f ( x)

x  x0

x  x0
x 

lim g ( x)

x  x0
x  x0
x 

+

+

L







L>0

0

+





+

L<0

Dấu
của

g  x

f(x)
g(x)

lim
x  x0
x  x0
x 

Tùy ý
+

0
+





+

+

0

f ( x)
g ( x)



Dạng 1. Định nghĩa giới
hạn
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Định nghĩa và các tính chất (Xem trong phần tóm tắt lí thuyết)
 Chú ý:
1) Theo định nghĩa thì giới hạn hàm số f  x  trên cơ sở giới hạn các dãy f  xn  . Nếu có 2
dãy xn và xn cùng tiến đến x0 mà lim f ( xn )  lim f ( xn ) thì khơng tồn tại lim f ( x)
x  x0

2) Với mọi số nguyên dương k , ta có: lim x   ; lim x
k

x 

1
0
x  x k
3) Xác định dấu  hoặc –

x 

2k

  , lim x 2 k 1   ,
x 

lim

dựa trên dấu của tích số, thương số, x  x0 , x  x0 ,

x  

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.18 Dùng định nghĩa, tính các giới hạn sau:

a) . lim(3x 2  x  1) .

b) lim 3 x  6

2

e) lim  x cos 
x 0
x


f) lim

x 4

x 1

5
x 2 ( x  2) 2

x 2  3x  4
x 1
x 1

1
5 x

c) lim

d) lim

g) lim sin x

h) lim cos 2 x

x 

x 2

x 

...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
VD 1.19 Tính các giới hạn sau:

a) lim(3x 2  7 x  11)
x 2

d) lim
x 2

x 4  3x  1
2x2 1

x  x3
x 1 (2 x  1)( x 4  3)

b) lim x 2  4

c) lim

1

e) lim x  3  
x 0
x


f) lim

x 3

x 3
x 9 9 x  x 2

...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................

 Nếu lim f ( x)  lim f ( x)  L thì lim f ( x)  L
x  x0

x  x0

x  x0

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.20 Dùng định nghĩa, tính các giới hạn sau: a) lim
x 2

3x  5
x 1

b) lim
x 3

1
x 3

...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
VD 1.21 Tính các giới hạn sau: lim
x 3

2x 1
2x 1
2x 1
; lim
; lim
x 3 x  3
x  3 x3 x  3

...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
VD 1.22 Tính các giới hạn sau: lim
x 2

x2
x2

; lim
x 2

x2
x2

; lim

x2

x2
x2

...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65
...................................................................................................................................................................................

VD 1.23 Tính các giới hạn sau: a)

lim

x 0

4  x2
x2 x
b) lim
x2
2x

x x

...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................

 x 2  2 x  3 khi x  2
VD 1.24 Cho hàm số: f ( x)   3
. Tính lim f ( x) , lim f ( x) và lim f ( x) (nếu có)
x 0
x 2
x 2
khi x  2
4 x  29
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................

2 x  1

VD 1.25 Cho f ( x)  

khi x  1

2
 2 x  1 khi x  1

. Tính lim  f ( x) , lim  f ( x) và lim f ( x) (nếu có)
x ( 1)

x ( 1)

x 1

...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
2

4 x  5 x

VD 1.26 Cho . f ( x)  

khi x  2

 x  7  4a khi x  2



.. Tìm a để hàm số có giới hạn khi x  2.

...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................

25

V n 1. GI I H N C A D Y S File word

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về