102-LuanVanThacSi-ChuaPhanLoai (190).pdf
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (22.56 KB, 3 trang )
THÔNG TIN VỀ LUẬN VĂN THẠC SĨ
1. Học viên: Nguyễn Duy Khánh
2. Giới tính: Nam
3. Ngày sinh: 21/06/1989
4. Nơi sinh: Nam Định
5. Thay đổi trong quá trình đào tạo: Không
6. Tên đề tài luận văn: "Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân
phi tuyến và ứng dụng"
7. Chuyên ngành: Toán giải tích
8. Mã: 60 46 01 02
9. Giáo viên hướng dẫn: GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát
10. Tóm tắt luận văn
Trong thực tiễn, nhiều bài toán đề cập các vấn đề kĩ thuật, điều khiển
thường liên quan đến các hệ động lực mô tả bởi các phương trình toán học với
thời gian liên tục dạng
x(t)
˙
= f (t, x(t), u(t)),
t ≥ 0,
trong đó x(t) là biến trạng thái mô tả đối tượng đầu ra, u(t) là biến điều khiển
mô tả đối tượng đầu vào của hệ thống. Những dữ liệu đầu vào có tác động
quan trọng có thể làm ảnh hưởng đến sự vận hành đầu ra của hệ thống. Như
vậy ta có thể hiểu một hệ thống điều khiển là một mô hình toán học được mô
tả bởi phương trình toán học biểu thị sự liên hệ vào ra.
Một trong những mục đích chính của bài toán điều khiển hệ thống là tìm
điều khiển đầu vào sao cho đầu ra có những tính chất mà ta mong muốn.
Trong đó, tính ổn định là một trong những tính chất quan trọng của lý thuyết
định tính các hệ động lực và được sử dụng nhiều trong các lĩnh vực cơ học,
vật lý toán, kĩ thuật, kinh tế...
Sự nghiên cứu bài toán ổn định hệ thống được bắt đầu từ thế kỉ thứ XIX
bởi nhà toán học V. Lyapunov và đến nay đã không thể thiếu trong lý thuyết
phương trình vi phân và ứng dụng. Lyapunov đã xây dựng nền móng cho lý
1
thuyết ổn định, đặc biệt là đưa ra hai phương pháp nghiên cứu tính ổn định
của các hệ phương trình vi phân thường.
Phương pháp thứ nhất: Nghiên cứu tính ổn định thông qua số mũ Lyapunov
hoặc dựa trên hệ xấp xỉ tuyến tính. Nếu vế phải đủ tốt, ví dụ là hàm khả vi
liên tục, để có thể xấp xỉ hệ đã cho bằng hệ tuyến tính tương ứng, thì tính ổn
định khi đó sẽ được rút ra từ tính ổn định hệ xấp xỉ tuyến tính.
Phương pháp thứ hai: Phương pháp này dựa vào sự tồn tại của một lớp
hàm Lyapunov mà tính ổn định của hệ được thử trực tiếp qua dấu của đạo
hàm theo vế phải của hệ đã cho.
Mỗi phương pháp đều có ưu và nhược điểm riêng, phương pháp thứ nhất
đòi hỏi tính khả vi liên tục của hàm vế phải, phương pháp thứ hai lại rất khó
khăn trong việc tìm hàm Lyapunov. Cho đến này chưa có phương pháp nào
hiệu quả tìm hàm Lyapunov mà chỉ dựa vào kinh nghiệm, đặc thù vế phải.
Luận văn "Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến
và ứng dụng" trình bày một số vấn đề về tính ổn định, ổn định tiệm cận,
ổn định mũ và một số ứng dụng liên quan. Luận văn gồm hai chương:
Chương I: Cơ sở toán học.
Trong chương này gồm ba vấn đề chính
Thứ nhất, trình bày các kiến thức cơ bản về phương trình vi phân, nghiệm
của phương trình vi phân, các điều kiện tồn tại nghiệm.
Thứ hai, trình bày một số khái niệm, định lý cơ bản về tính ổn định của hệ
phương trình vi phân phi tuyến. Giới thiệu phương pháp hàm Lyapunov xét
tính ổn định của các hệ trên không gian thực và giới thiệu một số kết quả tiêu
chuẩn ổn định đổi với hệ tuyến tính trên không gian thực Thứ ba, giới thiệu
các khái niệm cơ bản của bài toán ổn định hóa và một số kết quả chọn lọc về
tính ổn định hóa.
Chương II: Tính ổn định của hệ phương trình vi phân phi
tuyến và ứng dụng.
Chương này trình bày hai vấn đề chính
Thứ nhất, tính ổn định của hệ phương trình vi phân phi tuyến
+ Trình bày định lý về điều kiện đủ để hệ đã cho là ổn định tiệm cận khi
hàm vế phải được phân tích thành tổng của một ma trận hằng và một
nhiễu phi tuyến đủ nhỏ.
+ Trình bày định lý về tính ổn định tiệm cận đối với hệ phi tuyến dừng dạng
x(t)
˙
= A(t)x(t) + g(t, x(t))
2
+ Giới thiệu các khái niệm về hàm tựa Lyapunov và hàm tựa Lyapunov suy
rộng, dựa vào đó trình bày một số kết quả về tính ổn định của hệ phương
trình vi phân phi tuyến bằng cách chọn hàm tựa Lyapunov và hàm tựa
Lyapunov suy rộng.
Thứ hai, Ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến.
+ Dựa trên các kết quả đã thu được về tính ổn định đối với hệ phương trình
vi phân phi tuyến. Luận văn xây dựng một số ứng dụng đối với bài toán
ổn định hóa.
Hà Nội, Ngày 26 tháng 10 năm 2015
Học viên
Nguyễn Duy Khánh
3
