Trang 1

MỤC LỤC
MỤC LỤC
1. Phần mở đầu...................................................................................................
1.1 Lý do chọn đề tài......................................................................................
1.2 Phạm vi nghiên cứu..................................................................................
1.3 Đối tượng nghiên cứu...............................................................................
1.4 Mục tiêu nghiên cứu.................................................................................
2. Phần nội dung.................................................................................................
2.1 Cơ sở khoa học đề xuất SKKN................................................................
2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu...........................................................
2.3 Giải pháp thực hiện..................................................................................
2.4 Nội dung cụ thể .......................................................................................
Những kiến thức liên quan........................................................................
1. Nguyên hàm ....................................................................................
2. Phương pháp tính nguyên hàm........................................................
3. Tích phân .........................................................................................
a. Định nghĩa tích phân.....................................................................
b. Tính chất của tích phân.................................................................
c. Phương pháp tính tích phân...........................................................
4. Những sai lầm của học sinh khi tính nguyên hàm và cách khắc
phục...........................................................................................................
a. Sai lầm khi vận dụng định nghĩa nguyên hàm...............................
b. Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm cơ bản...........................
5. Những sai lầm của học sinh khi tính tích phân và cách khắc phục...
5.1. Những lỗi đơn giản mà học sinh thường mắc phải.......................
a. Sai lầm do nhớ nhằm công thức nguyên hàm.............................
b. Sai lầm do không vận dụng đúng định nghĩa tích phân..............
c. Sai lầm do nhớ nhằm tính chất tích phân....................................
d. Sai lầm khi đổi biến số................................................................

5.2. Những lỗi do biến đổi mà học sinh thường mắc phải...................
a. Sai lầm do thực hiện sai phép biến đổi đại số.............................
b. Sai lầm khi thực hiện đổi biến số................................................
V. Kết quả ......................................................................................................
C. Kết luận và kiến nghị.....................................................................................
1. Kết luận......................................................................................................
2. Đề xuất và kiến nghị ..................................................................................
Tài liệu tham khảo...........................................................................................

Trang
1
2
2
3
3
3
4
4
5
5
7
7
7
8
9
9
9
9
10
10

10
11
11
11
12
13
14
16
16
17
18
20
20
20
22


Trang 2

Đề tài:
“PHÂN TÍCH CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI TOÁN
NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ CÁCH KHẮC PHỤC”
1. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và
các phép biến đổi. Môn Toán được chia thành nhiều phân môn nhỏ, trong đó có
“NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN” .
Trong những năm giảng dạy khối 12 Trường THPT Triệu Thị Trinh Nông
Cống, bản thân tôi luôn nhận thấy và rút ra được kinh nghiệm từ các sai lầm mà
học sinh thường hay mắc phải do mới học và làm quen với tích phân thường

chưa hiểu rõ tư tưởng cũng như phương pháp tiếp cận lý thuyết, đặc biệt là khâu
vận dụng lý thuyết vào việc giải các bài toán cụ thể. Học sinh của trường đa
phần là học sinh trung bình, yếu. Có một số ít là học sinh khá, giỏi. Nên việc
làm bài hay mắc sai lầm không đáng có trong giải Toán càng nhiều, nguyên nhân
học sinh chưa nắm vững kiến thức, thậm chí có những em thuộc công thức
nhưng vận dụng vẫn sai, đó là thực trang chung học sinh của trường, dẫn đến kết
quả của các bài kiểm tra không được cao.
Do đó đề tài tôi quan tâm ở đây là: Nhằm giúp học sinh khối 12 của
Trường THPT Triệu Thị Trinh Nông Cống nói riêng, đối tượng đa phần là trung
bình, yếu và có số ít khá giỏi, giúp các em tránh những sai sót không đáng có.
Trong giảng dạy tôi thường hay đưa ra các sai lầm mà học sinh các khóa
trước để lưu ý cho các em biết tránh sai lầm kiểu tương tự. Đặc biệt trước và sau
kiểm tra tôi luôn nhắc để học sinh lưu ý. Khi trả bài kiểm tra thường chỉ ra
những sai lầm tồn đọng và cách khắc phục.
Phép tính tích phân là một phần quan trọng của Giải tích nói riêng và của
Toán học nói chung, không những là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của
giải tích mà còn hỗ trợ đắc lực trong nghiên cứu lý thuyết về phương trình, tính


Trang 3

diện tích, thể tích…. của các hình rất phức tạp mà các phương pháp khác không
giải được.
Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó
là: tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của
tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần
mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên
hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? Phép đặt biến mới trong
phương pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương
đương không? Vì thế trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc những

sai lầm dẫn đến lời giải sai. Với hy vọng giúp học sinh khắc phục được những
nhược điểm kể trên, nắm vững kiến thức về nguyên hàm – tích phân, từ đó giúp
học sinh tính tích phân dễ dàng hơn, đạt được kết quả cao khi giải toán nguyên
hàm – tích phân nói riêng, đạt kết quả cao trong quá trình học tập môn Toán nói
chung.
1.2 Mục tiêu nghiên cứu
Nhằm giúp học sinh khối 12 trường THPT Triệu Thị Trinh Nông Cống
tránh được những sai lầm thường gặp trong giải toán, để đạt được kết quả cao
hơn khi học toán nguyên hàm tích phân và đạt kết quả cao trong quá trình học
tập nói chung.
Ý nghĩa quan trọng mà đề tài đặt ra là: cũng cố về mặt kiển thức, kỷ năng
giải bài toán Tích phân một cách logic. Từ đó phát huy hiệu quả kiến thức vốn
có của học sinh, gây hứng thú cho các em.
1.3 Đối tượng nghiên cứu
Tôi cùng đồng sự của tôi nghiên cứu học sinh khối 12 trong các năm
2013-2014; năm 2014-2015; năm 2015-2016 và năm 2016-2017– Trường THPT
Triệu Thị Trinh Nông Cống.
1.4 Phạm vi nghiên cứu
Phân tích các dạng toán về nguyên hàm, tích phân mà học sinh dễ mắc sai lầm
trong quá trình giải toán trong Giải tích 12


Trang 4

2. PHẦN NỘI DUNG
2.1 Cơ sở khoa học đề xuất SKKN
Khi giảng dạy môn Toán ở Trường THPT Triệu Thị Trinh Nông Cống,
tôi nhận thấy học sinh thường bế tắc hoặc mắc rất nhiều các sai lầm khi giải
bài toán tính nguyên hàm – tích phân. Các lỗi giống nhau này không chỉ
xảy ra ở những lớp tôi giảng dạy mà còn ở các lớp khác của đồng nghiệp.

Thông qua những sai lầm, nếu ta biết cách nhìn nhận ra nó, kịp thời
uốn nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta ghi nhớ lâu hơn tri thức đã được học,
đồng thời sẽ giúp ta tránh được những sai lầm tương tự; bồi dưỡng thêm về
mặt tư duy. Những kiến thức căn bản về nguyên hàm và tích phân là kiến
thức hoàn toàn mới mẻ đối với học sinh nhưng sự hình thành ít nhiều liên
quan đến kiến thức về đạo hàm, các em có thể dựa vào các công thức đạo
hàm để hình thành công thức nguyên hàm, tuy nhiên đa phần các em hay
nhầm lẫn giữa hai loại công thức này. Những em có lực học trung bình, yếu
kém đều bị mắc sai lầm hoặc không giải được phần kiến thức này do đó dù
các em có nắm được kiến thức căn bản của nguyên hàm tích phân thì cũng
sẽ bế tắc khi thực hiện lời giải. Còn với đa phần các em có học lực khá, giỏi
tâm lí chung khi gặp một bài toán là nóng vội lao vào tìm phương pháp giải,
tìm ra phương pháp rồi thì vội vàng trình bày lời giải, tìm ra đáp số, thấy
kết quả gọn, đẹp là yên tâm mà quên mất các thao tác quen thuộc: phân
tích đề, kiểm tra các điều kiện, kiểm tra các phép tính…Vì vậy những sai
sót xảy ra là điều tất yếu. Kinh nghiệm cũng cho thấy việc phát hiện ra lỗi
sai của người khác thì dễ còn việc phát hiện ra lỗi sai của chính mình là rất
khó. Trong quá trình dạy về phần kiến thức này, tôi cho các em chủ động tự
làm theo lối tư duy logic của riêng mình, để các em theo dõi nhận xét lời
giải của nhau từ đó phát hiện những lỗi sai và từ đó phân tích để các em
hiểu được bản chất của vấn đề khắc phục sai sót và tổng kết thành kinh
nghiệm. Tuy nhiên, nếu cứ lúc nào cũng chỉ ra những sai lầm của học sinh
dễ khiến các em thấy nhàm chán, mất đi hứng thú học tập. Vì vậy, tôi vận


Trang 5

dụng nó linh hoạt trong các tiết dạy và có những gợi ý cần thiết hỗ trợ cho
các em tìm kiếm lời giải.
Một khó khăn nữa mà tôi cũng gặp trong quá trình giảng dạy trên đó

là việc dạy học phân hóa theo từng đối tượng học sinh. Ở các lớp mà tôi
nhận nhiệm vụ giảng dạy, học sinh trung bình, yếu, kém là đa số, còn lại là
một bộ phận ít học sinh khá, giỏi. Nên các giáo án, các ví dụ và bài tập của
tôi cũng phải phân hướng vào hai loại đối tượng học sinh, trước tiên là ưu
tiên các em diện trung bình và yếu sau đó nâng cao lên những bài toán mở
rộng với tính chất hướng dẫn, giới thiệu. Thêm nữa, với vai trò là môn học
nòng cốt, môn Toán được nhà trường xếp thêm mỗi tuần 01 tiết học tự
chọn, với nội dung học tự chọn bám sát chương trình vì vậy tôi có cơ hội để
thực hiện đề tài này.
2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
Phân tích các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách
khắc phục
a. Những lỗi đơn giản mà học sinh vẫn thường mắc phải như:
- Không nắm vững định nghĩa nguyên hàm, tích phân;
- Tính nguyên hàm sai, hiểu sai bản chất công thức;
- Đổi biến số nhưng không đổi cận;
- Khi đổi biến không tính vi phân;
- Giải sai hoặc tính toán nhầm do kỹ năng tính toán chưa thuần thục.
b. Những lỗi do biến đổi mà học sinh thường mắc phải như:
- Hàm số không liên tục nhưng vẫn sử dụng công thức NewtơnLeibnitz;
- Đổi biến số t = u(x) nhưng u(x) không phải là một hàm số liên tục và
có đạo hàm liên tục trên [a; b];
- Không nắm vững phương pháp đổi biến số;
- Chọn cách đổi biến số nhưng gặp khó khăn khi đổi cận (không tìm
được giá trị chính xác)…;


Trang 6

- Không nắm vững phương pháp nguyên hàm (tích phân) từng phần.

3. Giải pháp thực hiện
Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thực
hiện một số giải pháp như sau:
3.1 Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt
- Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được
bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó;
- Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa,
định lí;
- So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống
và khác nhau giữa chúng;
- Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải.
3.2 Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp và cách
khắc phục.
- Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, lô gic...;
- Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề.
- Phương pháp: phương pháp giải toán nguyên hàm, tích phân cơ bản.
- Cách khắc phục: Học sinh phải thuộc, hiểu công thức, định nghĩa, tính
chất nguyên hàm và tích phân.
3.3 Đổi mới phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm)
- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng người học
- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh;
- Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng
sinh động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán. Chẳng hạn
sử dụng phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử kết hợp với
việc trình chiếu để học sinh thấy được hình động liên quan trực tiếp tới bài
giảng. (ví dụ như ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình thang cong, diện
tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay).


Trang 7


3.4 Đề kiểm tra theo chuẩn kiến thức kỷ năng môn học đảm bảo được các
mức dộ như:
- Ra đề kiểm tra với 6 mức độ nhận thức: nhận biết – thông hiểu – vận dụng
– phân tích – tổng hợp – đánh giá;
- Giáo viên đánh giá học sinh;
- Học sinh đánh giá học sinh.
Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho phù hợp với
từng loại đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai lầm thường mắc phải
khi giải các bài toán về nguyên hàm, tích phân. Hướng dẫn cho học sinh tự học,
tự làm bài tập.
3.5 Phân dạng bài tập và phương pháp giải
- Hệ thống kiến thức cơ bản;
- Phân dạng bài tập và phương pháp giải;
- Đưa ra các bài tập tương tự.
- Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết
quả mới, bài toán mới. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo.
4. Nội dung cụ thể
Những kiến thức liên quan
4.1 Nguyên hàm
a. Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa
khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu
F' ( x ) = f ( x ) với mọi x thuộc K.

b. Định lí:
* Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi
hằng số C, hàm số G(x) = F(x) +C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
* Ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì
mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x)+C với C là một hằng số.
Kí hiệu họ nguyên hàm của f(x) là ∫ f ( x ) dx .



Trang 8

Khi đó: ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C (C: hằng số)
c. Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1:

∫ f ' ( x ) dx = f ( x ) + C

Tính chất 2:

∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx

Tính chất 3:

∫ f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx

(k là hằng số khác 0)

d. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K
Bảng công thức tính nguyên hàm của một số hàm thường gặp
α
∫ x dx =

x α+ 1
+C
α +1


α
∫ (ax + b) dx =

1

1

1 (ax + b)α+1
+C
a α +1

1

∫ x dx = ln x + C

∫ ax + b dx = a ln ax + b + C

x
x
∫ e dx = e + C

1 ax +b
ax + b
e
dx
=
e
+C
∫
a

1 amx +n
mx +n
a
dx
=
+C
∫
m ln a
1
∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C
1
∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C
1
1
dx
=
∫ cos2 (ax + b) a tan(ax + b) + C
1
1
∫ sin 2 (ax + b) dx = − a cot x + C

x
∫ a dx =

ax
+C
lna

∫ cos x.dx = sin x + C
∫ sin x.dx = − cos x + C

1

∫ cos

2

x

.dx = ∫ (1 + tan 2 x)dx = tan x + C

x

.dx = ∫ (1 + cot 2 x)dx = − cot x + C

1

∫ sin

2

4.2 Phương pháp tính nguyên hàm
a. Phương pháp đổi biến số
Định lí: Nếu ∫ f ( t ) dt = F ( t ) + C và t = u ( x ) là hàm số có đạo hàm liên
tục thì

∫f ( u ( x ) ) .u ' ( x ) dx

= F ( u ( x ) ) +C

b. Phương pháp nguyên hàm từng phần



Trang 9

Định lí: Nếu hai hàm số u = u ( x ) và v = v ( x ) có đạo hàm liên tục trên K
thì

∫ u ( x ) .v' ( x ) dx = u ( x ) .v ( x ) − ∫ u' ( x ) .v ( x ) dx
Hay viết gọn là ∫ udv = uv − ∫ vdu

4.3 Tích phân
a. Định nghĩa tích phân
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b]. Giả sử F(x) là một
nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a ; b]. Hiệu số F(b) − F(a) được gọi là tích
phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a ; b]) của hàm số f(x),
b

kí hiệu là ∫ f ( x ) dx
a

b

Khi đó:

∫f ( x )dx = F ( x )
a

b
a


= F ( b ) −F ( a ) (Công thức Newton –

Leibnitz)
b. Tính chất của tích phân
Tính chất 1:
Tính chất 2:

b

b

a

a

∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx
b

b

b

a

a

a

∫ f ( x ) ± g ( x ) dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx
b


Tính chất 3:

(k là hằng số)

c

b

∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx
a

a

với a < c < b

c

c. Phương pháp tính tích phân
* Phương pháp đổi biến số
Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ a; b ] . Giả sử hàm số x = ϕ ( t ) có đạm hàm
liên tục trên [ α; β] sao cho a = ϕ ( α ) , b = ϕ ( β ) và a ≤ ϕ ( t ) ≤ b với mọi t ∈ [ α; β]
b

β

a

α


Khi đó: ∫ f ( x )dx = ∫ f ( ϕ ( t ) ) .ϕ ' ( t ) .dt


Trang 10

* Phương pháp tích phân từng phần
Từ phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta có định lí sau đây
Định lý: Nếu u = u ( x ) và v = v ( x ) là hai hàm số có đạo hàm liên tục
trên [ a; b ] thì

b

b

∫ u ( x ) .v' ( x ) .dx = ( u ( x ) .v ( x ) ) − ∫ u' ( x ) .v ( x ) .dx
b
a

a

b

a

b

Hay viết gọn là ∫ u.dv = uv a − ∫ vdu
b

a


a

4.4 Những sai lầm của học sinh khi tính nguyên hàm và cách khắc phục
a. Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm cơ bản
Ví dụ 1. Tính nguyên hàm

I = ∫ ( 3x + 1) dx
5

* Lời giải có sai lầm: I = ∫ ( 3x + 1) dx =
5

( 3x + 1)

6

+C

6

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:
Học sinh vận dụng công thức ∫ x α dx =
thức ∫ (ax + b)α dx =

x α+1
+ C với
α +1

α


≠ – 1 thay vì công

1 (ax + b)α+1
+ C với α ≠ – 1
a α +1

* Lời giải đúng:

( 3x + 1)
1 ( 3x + 1)
I = ∫ ( 3x + 1) dx = .
+C =
+C
3
6
18
6

6

5

Hoặc cách giải khác
Đặt u = 3 x + 1 ⇒ du = 3dx

1
⇒ dx = du
3


1 5
1 u6
=> I = .∫ u du = . + C
3
3 6

( 3x + 1)
Thay u=3x+1 vào ta được I=
18

6

+C

*Khắc phục: Yêu cầu học sinh thuộc và hiểu để vận dụng đúng công thức
b. Sai lầm khi vận dụng định nghĩa nguyên hàm


Trang 11

Ví dụ 2. Tính nguyên hàm:

I = ∫ ( 2 x − 1) dx

(

)

2
2

* Lời giải có sai lầm: I = 2 xdx − 3dx = x + C − ( 3x + C ) = x − 3 x

∫

∫

* Phân tích: Học sinh viết chung hằng số C cho mọi phép tính nguyên hàm
* Lời giải đúng:

(

)

I = ∫ 2 xdx − ∫ 3dx = x 2 + C1 − ( 3x + C2 ) = x 2 − 3x + C với C = C1 – C2.
Ví dụ 3. Tính nguyên hàm ∫ tan xdx
* Lời giải có sai lầm: I = ∫ tan xdx = ∫

sin x
dx .
cos x

1
sin x


dx
u =
du =
cos x ⇒ 
cos 2 x

Đặt 

dv = sin xdx 
v = cos x
⇒I =

1
cos x s inx
sinx
.cos x + ∫
dx = 1 + ∫
dx =1 + I ⇔ I = 1 + I ⇒ 0 = 1
2
cos x
cos x
cos x

(Vô lý)
* Phân tích: Học sinh viết chung hằng số C cho mọi phép tính nguyên hàm
* Lời giải đúng: I = ∫ tan xdx = ∫

sinx
dx
cosx

Đặt u= cosx => du= -sinxdx =>sinxdx=-du

I =∫

− du

= − ln u + C Thay u= cosx vào ta được: I = − ln cos x + C
u

Ví dụ 4. Tính nguyên hàm ∫ x sin xdx
u = x
du = dx
⇒
dv = sin xdx
v = cos x

* Lời giải có sai lầm: 

⇒ I = x cos x − ∫ cos xdx = x.cos x − s inx + C

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Các em nhầm kiến thức nguyên hàm và đạo
hàm, rất em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này .


Trang 12

u = x
du = dx
⇒
dv = sin xdx
v = − cos x

* Lời giải đúng: 

⇒ I = − x cos x + ∫ cos xdx = − x.cos x + sinx + C


* Cách khắc phục: Yêu cầu học sinh học thuộc công thức nguyên hàm của sinx
và cosx. Để phân biệt sự khác nhau giữa đạo hàm và nguyên hàm của sinx và
cosx.

(

)

3
a) I = ∫ x − 2 x + 5 dx

* Các bài tập tương tự:
b) I = ∫ ( 1 − 2 x ) 5 dx

∫

c) I = cot x.dx

I = ∫ x.cos x.dx

d)

5. Những sai lầm của học sinh khi tính tích phân và cách khắc phục
5.1. Những lỗi đơn giản mà học sinh thường mắc phải
a. Sai lầm do nhớ nhầm công thức nguyên hàm
3

Ví dụ 5. Tính tích phân I = ∫ x + 1dx
0


3

3

0

0

3

1
1
x + 1.d ( x + 1) =
=
2 x +1 0 2

* Lời giải có sai lầm: I = ∫ x + 1dx = ∫

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Sự hình thành nguyên hàm ít nhiều cũng liên
quan đến kiến thức đạo hàm, các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này
* Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm số cơ
bản. Giúp các em tạo thói quen kiểm tra công thức: lấy đạo hàm của nguyên
hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho?
3

* Lời giải đúng: I = ∫
0

1
2


3

3

3
2
14
x + 1dx = ∫ ( x + 1) .d ( x + 1) = ( x + 1) 2 =
3
3
0
0
4

1

Ví dụ 6. Tính tích phân I = ∫ ( 2x − 1) dx
0

1

* Lời giải có sai lầm: I = ∫ ( 2x − 1)
0

4

( 2x − 1)
dx =
5


5 1

=
0

2
5


Trang 13

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh vận dụng sai công thức nguyên hàm
của hàm hợp, đã dùng

α
∫ x dx =

1

* Lời giải đúng: I = ∫ ( 2x − 1)

4

x α+ 1
1 (ax + b)α+1
+ C thay vì ∫ (ax + b)α dx =
+C
α +1
a α +1


( 2x − 1)
dx =

5 1

2.5

0

1
5

=
0

(Có thể hướng dẫn các em giải cách khác: Đặt t = 2x − 1 )
* Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm số cơ
bản và nguyên hàm hàm hợp tương ứng, tự lặp ra bảng nguyên hàm của hàm
hợp tưng ứng với u = ax + b . Giúp các em khắc sâu thói quen kiểm tra công
thức: lấy đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho?
* Các bài tập tương tự: Tính các tích phân sau
7

2

a) I =

∫


b) I = ∫

x + 4dx

−2
2

d) I = ∫
1

1
dx
x−3

3

1

( 2x − 1)

1

c) I = ∫ ( 2x + 1) dx
3

0

4

dx

1 − 3x
1

e) I = ∫

dx
2

b. Sai lầm do không vận dụng đúng định nghĩa tích phân
1

Ví dụ 7. Tính tích phân I =

dx

∫ ( x + 1)

2

−3
1

* Lời giải có sai lầm : I = ∫

−3

1

dx


( x + 1)

2

−1
−1 1
=
=
− = −1
x + 1 −3 2 2

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: y =
* Lời giải đúng: Hàm số y =

1

( x + 1)

2

1

( x + 1)

2

không xác định tại x = −1 ∈ [ −3;1]

không xác định tại x = −1 ∈ [ −3;1] suy ra hàm


không liên tục trên [ −3;1] , nên không sử dụng được công thức Newton –
Leinbitz như cách giải trên


Trang 14

* Cách khắc phục: Yêu cầu các em nhớ định nghĩa tích phân. Giúp các em tạo
b

thói quen: Khi tính ∫ f (x)dx cần chú ý kiểm tra xem hàm số y = f(x) có liên tục
a

trên đoạn [a, b] không? Nếu có thì áp dụng các phương pháp được học để tính
tích phân đã cho, còn nếu không thì kết luận ngay tích phân đó không tồn tại.
* Các bài tập tương tự: Tính các tích phân sau
5

3

dx
a) I = ∫
(x − 4)4
0

1

1
2

b) J = ∫ x(x − 1) dx

2

c) K =

−2

∫

1

2
−1 ( 2 x −1)

dx

c. Sai lầm do nhớ nhầm tính chất tích phân
1

x
Ví dụ 8. Tính tích phân I = ∫ xe dx
0

1

1

1

1


1
x2
1
e −1
I
=
xe
dx
=
xdx.
e
dx
=
. ( e x ) = . ( e − 1) =
* Lời giải có sai lầm :
∫0
∫0 ∫0
0
2 0
2
2
x

x

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh tự “sáng tạo” ra quy tắc nguyên hàm
của một tích thay vì sử dụng công thức tích phân từng phần
* Lời giải đúng: I = ( xe

x


)

1
0

1

1

− ∫ e x dx = e − e x = e − e + 1 = 1
0

0

* Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc các tính chất của nguyên hàm và
tích phân. Giúp các em tổng quát hoá các dạng toán sử dụng phương pháp tích
phân từng phần
Cách làm: Biểu diễn f ( x ) dx về dạng u.dv = u.v'dx
- Chọn u sao cho du dễ tính
- Chọn dv sao cho dễ tính v = ∫ dv
- Lưu ý cho học sinh dựa vào công thức nguyên hàm từng phần sau

∫ P ( x) e
u
dv

x dx

P(x)


e x dx

∫ P ( x ) cos xdx
P(x)
cosx.dx

∫ P ( x ) sin xdx

∫ P ( x ) ln xdx

P(x)
sinx.dx

lnx
P(x)dx


Trang 15

* Các bài tập tương tự: Tính các tích phân sau
π
2

0

a)

I = ∫ x ln xdx


b)

π

I = ∫ ( 2x −1) sin xdx

−1

0

cos x
c) I = ∫ ( x + e ) sin xdx
0

d. Sai lầm khi đổi biến số
1

3x 2
dx
x3 + 1

Ví dụ 9. Tính tích phân I = ∫
0

* Lời giải có sai lầm: Đặt u = x 3 + 1 ⇒ du = 3x 2 dx
⇒I =

1
du = ln | u ||10 = ln1 − ln 0
0 u


∫

1

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh đổi biến nhưng không đổi cận
* Lời giải đúng: Đặt u = x 3 + 1 ⇒ du = 3x 2 dx .
u (0) = 1, u (1) = 2 ⇒ I = ∫

2

1

1
du = ln | u ||12 = ln 2
u

Ví dụ 10. Tính tích phân

I=

π
2

3 x sin xdx
c
os
∫
0


* Lời giải có sai lầm: Đặt u = cos x ⇒ du = sinx

π
u (0) = 1, u ( ) = 0
2

⇒I =

∫

0

1

u4 0
1
u du =
|1 = −
4
4
3

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Nhớ công thức không rõ ràng dẫn đến hiểu
nhầm, cũng khá nhiều em quyên không ghi dx vào
* Lời giải đúng: Đặt u = cos x ⇒ du = − s inxdx

π
u (0) = 1, u ( ) = 0
2


⇒I =−

∫

0

1

1

u 3 du =

2
Ví dụ 11. Tính tích phân I = ∫ 1 − x dx
0

u4 1 1
|0 =
4
4


Trang 16

* Lời giải có sai lầm: Đặt x = sint ⇒ dx = costdt
1

⇒I=∫
0


1

1

1

1 + cos2t
t sin 2t
1 1
1 − sin t .cos t.dt = ∫ cos t.dt = ∫
.dt = ( +
) = + sin 2
2
2
4 0 2 4
0
0
2

2

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh đổi biến nhưng không đổi cận
* Lời giải đúng: Đặt x = sint ⇒ dx = cost.dt
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0;x = 1 ⇒ t =
π
2

⇒I=∫
0


π
2

π
2

π
2

π

1 + cos2t
t sin 2t 2 π
1 − sin 2 t .cos t.dt = ∫ cos 2 t.dt = ∫
.dt = ( +
) =
2
2
4
4
0
0
0

* Cách khắc phục: Yêu cầu các em thực hiện từng tự cách bước tính tích phân
theo phương pháp đổi biến số (đổi biến và đổi cận). Khi gặp tích phân dạng
b

I = ∫ c2 − x 2 dx , nếu tích phân tồn tại thì thông thường ta tính tích phân bằng cách
a


đặt x = c.sint( hoặc x = c.cost) đổi cận, chuyển về tính tích phân theo t
1

Ví dụ 12. Tính tích phân I = ∫
0

dx

( 2x + 1)

5

* Lời giải có sai lầm: Đặt t = 2x + 1
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 3
3

3

dt t −4
20
⇒I=∫ 5 =
=
t
− 4 1 81
1

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: : Khi thực hiện đổi biến số học sinh đã quên
không tính vi phân dt
* Lời giải đúng: Đặt t = 2x + 1 ⇒ dt = 2dx ; Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 3

3

3

dt t −4
10
⇒I=∫ 5=
=
2t − 8 1 81
1

* Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc các bước thực hiện phương
pháp đổi biến số. Giúp các em tạo thói quen kiểm tra lại bài làm, kiểm tra
kết quả bằng phép tính gần đúng trên máy tính bỏ túi


Trang 17

* Các bài tập tương tự: Tính các tích phân sau
2

dx
b) I = ∫
1+ x2
0

a) I = ∫ 4 − x dx
0
π


π

1

2

0

π

3

1
3
e) I = ∫ .( ln x ) dx
x
1

2

d) I = ∫ sin x.e cos x dx
0

2

c) I = ∫ sin 5 xdx
f) I =

2


cos xdx

∫ 1 + sin x
0

Trên đây là một số sai lầm điển hình của học sinh mắc phải khi tính
tích phân, những sai lầm đơn giản này phần lớn rơi vào trường hợp những
em có học lực trung bình trở xuống hoặc những em học khá nhưng mắc
phải tính cẩu thả. Đôi khi cũng gặp phải ở tình huống các em bị áp lực tâm
lí khi làm bài dẫn tới trạng thái không kiểm soát nổi hành vi của bản thân.
Trong nhóm những sai lầm dạng này còn một số kiểu lỗi khác về tính toán
và trình bày như tính toán sai, viết thiếu kí hiệu vi phân trong biểu thức
tích phân, viết cả 2 biến trong cùng một biểu thức tích phân…Để khắc phục
những sai lầm đó, ngoài những biện pháp đã nêu, người giáo viên cần giúp
các em học sinh rèn luyện các đức tính cẩn thận, tỉ mỉ, kiên trì và đặc biệt là
khắc phục những điểm yếu tâm lí khi làm bài.
5.2. Những lỗi do biến đổi mà học sinh thường mắc phải
a. Sai lầm do thực hiện sai phép biến đổi đại số
2

2
Ví dụ 13. Tính tích phân I = ∫ 4x − 4x + 1dx
0

2

* Lời giải có sai lầm: I = ∫ 4x
0

( 2x − 1)

− 4x + 1dx = ∫ ( 2x − 1) dx = ∫ ( 2x − 1) dx =
4
2

2

2

0

2

0

2 2

=2
0

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh sử dụng phép biến đổi sai

( 2x − 1)

2

= 2x − 1 với x ∈ [ 0; 2] thay vì dùng

( 2x − 1)

2


= 2x − 1 với x ∈ [ 0; 2]

* Lời giải đúng:
2

2

I = ∫ 4x − 4x + 1dx = ∫
2

0

0

( 2x − 1)

2

2

1
2

0

0

2


dx = ∫ 2x − 1dx = ∫ ( 1 − 2x ) dx + ∫ ( 2x − 1) dx =
1
2

1 9 5
+ =
4 4 2


Trang 18

* Cách khắc phục: Yêu cầu các em lưu ý khi gặp tích phân hàm vô tỉ chứa
hàm số dạng:

2n

f ( x ) 

2n

thì dùng phép biến đổi

2n

f ( x ) 

2n

= f ( x)


( n ≥ 1, n

nguyên).
Khi đó ta phải xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a, b] rồi dùng tính chất tách
cận, phân tích thành tổng các tích phân để khử bỏ dấu giá trị tuyệt đối
* Các bài tập tương tự: Tính các tích phân sau
π

3

a) I = ∫ 1 − sin 2xdx

2
b) I = ∫ x − 2x + 1dx

0

0

b. Sai lầm khi thực hiện đổi biến số
π
2

sin 2 x
Ví dụ 14. Tính tích phân I =
∫0 4 − cos 2 x dx

* Lời giải có sai lầm:

⇒I=


π
2

∫
0

2sin x.cos x
dx
4 − cos 2 x

Đặt u = cosx ⇒ du = -sinxdx.
π
2

u(0) = 1, u( ) = 0.
0

0

2u
1
1
⇒ I = −∫
du = − ∫ (
−
) du = (ln | 2 + u | − ln | 2 − u |) |10 = − ln 3
2
2−u 2+u
4−u

1
1

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Khi sử dụng công thức

công thức

1

1

∫ ax + b dx = a ln ax + b + C

* Lời giải đúng:

⇒I=

π
2

∫
0

2sin x.cos x
dx
4 − cos 2 x

1

∫ x dx = ln x + C


thay vì


Trang 19

Đặt u = cosx ⇒ du = -sinxdx.
π
2

u(0) = 1, u( ) = 0.
0

0

2u
1
1
⇒ I = −∫
du = − ∫ (
−
) du = (ln | 2 + u | + ln | 2 − u |) |10 = ln
2
2−u 2+u
4−u
1
1

4
3


Hoặc cách khác
Đặt u = cos2x => du=-2sinxcosxdx=-sin2xdx
π
2

u(0) = 1, u( ) = 0.
0

⇒I =−

0

1
1
du
=
∫1 4 − u
∫1 u − 4 du = ln u − 4

0
1

= ln 4 − ln 3 = ln

4
3

* Các bài tập tương tự: Tính các tích phân sau
π


2

cos xdx
a) I = ∫
1 − sin x
0

π
6
0

b) I = ∫

tan 4 x
dx
cos 2 x (1 − tan 2 x)

* Cách khắc phục: Yêu cầu học sinh hiểu và vận dụng đúng công thức, tránh
chủ quan, nóng vội.
Trên đây là một số sai lầm mà học sinh mắc phải khi tính tích phân,
đó là những sai lầm khó phát hiện đối với các em học sinh. Những sai lầm
này phần lớn xuất phát từ sự thiếu chắc chắn về kiến thức cộng với thói
quen làm bài thường gặp những “tình huống thuận lợi” dẫn tới tư tưởng
chủ quan, nóng vội, cẩu thả. Đôi khi cũng gặp phải ở tình huống các em bị
áp lực tâm lí khi làm bài dẫn tới trạng thái không kiểm soát nổi hành vi của
bản thân. Để khắc phục những sai lầm đó, ngoài những biện pháp đã nêu,
người giáo viên vẫn cần phải giúp các em học sinh rèn luyện các đức tính
cẩn thận, tỉ mỉ, kiên trì và đặc biệt là khắc phục những điểm yếu tâm lí khi
làm bài. Giáo viên cũng nên tạo cho học sinh thói quen “tự vấn”, “tự phản

biện” khi làm bài để phát hiện và hạn chế tối đa các sai lầm mắc phải.
5. Kết quả
Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải những dạng tích
phân như đã nêu. Trước kết quả thực tế của học sinh, bản thân tôi rất trăn trở suy


Trang 20

nghĩ: làm thế nào để học sinh đạt kết quả tốt khi giải loại toán này? Tôi bắt đầu
hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích một bài toán tích phân từ hàm số dưới
dấu tích phân, cận của tích phân để lựa chọn phương pháp phù hợp trên cơ sở tôi
chỉ ra những sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong quá trình suy luận,
trong các bước tính tích phân này rồi từ đó hướng các em đến lời giải đúng.
Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài
tập tích phân trong sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 và một số bài trong các đề
thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng và trung học chuyên nghiệp của các năm
trước thì các em đã thận trọng trong khi tìm và trình bày lời giải.
Sáng kiến được áp dụng trong các năm học 2013-2014; 2014-2015; 20152016. Được phân tích kỹ, chi tiết cho các đối tượng học sinh qua các tiết ôn tập,
tự chọn, phụ đạo. Kết quả bài kiểm tra 1 tiết chương III (nguyên hàm, tích phân,
ứng dụng) trên các đối tượng học sinh các lớp trong các khóa cụ thể như sau:
Xếp loại

Năm học

Tổng
số HS

Giỏi

Khá


Trung
bình

Yếu

Kém

2012-2013

70

13%

20%

37%

19%

11%

2013-2014

70

17%

23%


40%

11%

9%

2014-2015

73

14%

21%

38%

16%

11%

So sánh với kết quả kiểm tra 1 tiết chương III (nguyên hàm, tích phân,
ứng dụng) trên các đối tượng học sinh khóa trước khi chưa áp dụng sáng kiến
kinh nghiệm. Bảng khảo sát kết quả học tập của các khóa trước cụ thể như sau:
Xếp loại

Năm học

Tổng
số HS


Giỏi

Khá

Trung
bình

Yếu

Kém

2010-2011

75

7%

13%

26%

29%

25%

2011-2012

72

11%


15%

29%

25%

20%


Trang 21

Nhận thấy kết quả số học sinh khá, giỏi tăng lên nhiều và số học sinh đạt
điểm yếu, kém giảm đi rỏ rệt. Hy vọng các em sẽ có nhiều thành công hơn trong
các kỳ thi sắp tới.
Sau khi thực hiện sáng kiến học sinh học tập rất tích cực và hứng thú đặc
biệt là khi giải bài toán tích phân các em tính tích phân rất thận trọng và hiểu
bản chất của vấn đề chứ không tính rập khuôn một cách máy móc như trước, đó
là việc thể hiện việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh.
3. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây
- Chỉ ra một số sai lầm thường gặp của học sinh trong quá trình giải quyết
các vấn đề liên quan đến tính tích phân
- Xây dựng một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyết các
vấn đề liên quan đến Tích phân.
- Thiết kế cách thức dạy học các ví dụ, hoạt động theo hướng dạy tích
cực.
- Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh hoạ tính khả thi và hiệu quả
của những biện pháp sư phạm được đề xuất.

Như vậy có thể khẳng định rằng: Mục đích nghiên cứu đã được thực hiện,
nhiệm vụ nghiên cứu đã được hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận
được.
Qua thực tế giảng dạy của bản thân tại trường THPT Triệu Thị Trinh
Nông Cống với nội dung và phương pháp nêu trên đã giúp học sinh có kĩ năng
giải bài toán Tích phân. Vấn đề tôi thấy học sinh khá, giỏi rất hứng thú khi được
giáo viên nêu và chỉ ra những sai lầm mà học sinh chưa hề nghĩ đến.
2. Kiến nghị
Hiện nay nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên chưa có một
sách tham khảo nào viết về sai lầm và cách khắc phục cho học sinh khi giải toán.
Vì vậy nhà trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách tham khảo


Trang 22

loại này để học sinh được tìm tòi về những sai lầm thường mắc khi giải toán để
các em có thể tránh được những sai lầm không đáng có đó trong khi làm bài tập.
Mặc dù bản thân cũng đã cố gắng nhiều và những điều viết ra có thể
không tránh khỏi sai sót. Tôi rất mong nhận được sự góp ý của các đồng
nghiệp, bạn đọc nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy và học tập.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người khác.

Phan Văn Ngà
DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Chuẩn kiến thức kỹ năng toán 12
(Nhà xuất bản giáo dục)

2. Sách giáo khoa Giải tích 12
(Nhà xuất bản giáo dục)
3. Sách Bài tập Giải tích 12
(Nhà xuất bản giáo dục)
4. Sách giáo khoa giải tích 12 Nâng cao
(Nhà xuất bản giáo dục)
5. Sách Bài tập Giải tích 12 Nâng cao
(Nhà xuất bản giáo dục)
6. Phương pháp giải toán Tích phân
(Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – NXB Hà Nội – 2005)


Trang 23