Bài tập lớn môn Các Phương Pháp Số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (222.28 KB, 22 trang )
HÌNH 11- NHÓM 02-CTT54-ĐH2-ĐHHH
E = 2,4.107kN/m2
a = 0,25 m
h= 3m
b = 0,35 m
J=4,56.
q = 2,5 kN/m
F=0,0875
P = 5 KN
1
L= 2m
M = 3 KN.m
1) Xác định tọa độ nút:
-Thiết lập hệ trục tọa độ như hình vẽ
-Đánh số thứ tự như hình vẽ
-Bảng tọa độ nút trong hệ tọa độ tổng thể
Nút
1
2
3
4
2) Xác định liên kết phần tử với nút:
-Đánh số phần tử như hình vẽ
-Bảng liên kết phần tử
2
X
0
0
2
2
Y
0
3
3
0
Phần tử
1
2
3
Nút đầu
1
2
3
Nút cuối
2
3
4
3) Lập liên kết chỉ số chuyển vị cục bộ của phần tử và chia hệ:
-Đánh số thứ tự chuyển vị như hình vẽ
- Bảng liên kết chuyển vị cục bộ của phần tử
Phần tử
1
u(1)
1
Nút đầu
V(2)
2
U(4)
4
Nút cuối
V(5)
5
ᶿ(3)
3
ᶿ(6)
6
2
4
5
6
7
8
9
3
7
8
9
10
11
12
-Vectơ chuyển vị của phần tử có dạng như sau:
{u}=
4) Xác định ma trận chuyển hệ trục tọa độ:
-Tính chiều dài phần tử
L=
-Bảng chiều dài phần tử:
Phần tử
1
2
3
-Phần tử 1: (cosα=0 , sinα=1)
3
Chiều dài
3
2
3
[T1]=
-Phần tử 2: (cosα=1, sinα=0)
[T2]=
-Phần tử 3: (cosα=0, sinα= -1)
[T3]=
5) Xác định ma trận độ cứng của phần tử trong hệ trục tọa độ cục bộ:
-Hệ có 4 nút, 3 phần tử và 12 chuyển vị. Như vậy ma trận độ cứng của 1 phần tử có kích
thước 6x6. Ta có công thức ma trận độ cứng trong hệ tọa độ cục bộ:
[K]e=
*Phần tử 1:
3
3
1.727 × 10
0 0 −1.727 × 10 0 0
0
12 18
0
−12 18
0
18 36
0
−18 18
3
3
0 0 1.727 × 10 0 0
−1.727 × 10
0
−12 −18
0
12 −18
0
18 18
0
−18 36
[K]1=
7 × 105
0
0
−7 × 105
0
0
4.864 × 103
7.296 × 103
0
−4.864 × 103 7.296 × 103
0
0
7.296 × 103
1.459 × 104
0
−7.296 × 103 7.296 × 103
5
0
0
7 × 105
0
0
−7 × 10
0
−4.864 × 103 −7.296 × 103
0
4.864 × 103 −7.296 × 103
7.296 × 103
7.296 × 103
0
−7.296 × 103 1.459 × 104
= 0
4
*Phần tử 2:
767.544 0
0 −767.544 0 0
0
12 12
0
−12 12
0
12 16
0
−12
8
0 767.544 0 0
−767.544 0
0
−12 −12
0
12 −12
0
12 8
0
−12 16
[K]2=
1.05 × 106
0
0
−1.05 × 106
0
0
=
0
6
−1.05 × 10
0
4
1.642 × 10
1.642× 10
4
2.189 × 10
0
0
0
1.05 × 10
1.642× 10
4
−1.642 × 10
4
1.642× 10
4
4
0
6
4
−1.642 × 10
4
1.094 × 10
0
0
4
4
−1.642 × 10 1.642 × 10
4
4
−1.642 × 10 1.094 × 10
0
0
4
4
1.642 × 10 −1.642 × 10
4
4
−1.642 × 10 2.189 × 10
0
*phần tử 3:
3
3
1.727 × 10
0 0 −1.727 × 10 0 0
0
12 18
0
−12 18
0
18 36
0
−18 18
3
3
0 0 1.727 × 10
0 0
−1.727 × 10
0
−12 −18
0
12 −18
0
18 18
0
−18 36
[K]3=
5
0
7 × 105
0
0
−7 × 105
0
0
3
3
3
3
4.864 × 10
7.296 × 10
0
−4.864 × 10 7.296 × 10
0
3
4
0
7.296 × 10
1.459 × 10
0
−7.296 × 103 7.296 × 103
5
5
0
0
7 × 10
0
0
−7 × 10
3
3
3
3
0
−4.864 × 10 −7.296 × 10
0
4.864 × 10
−7.296 × 10
3
3
3
7.296 × 10
7.296 × 10
0
−7.296 × 10 1.459 × 104
= 0
6) Xác định véc tơ tải trọng nút của phần tử trong hệ trục tọa độ cục bộ:
-véc tơ lực nút có dạng:
{P}e=
*Phần tử 1:
*Phần tử 2:
{P}1=
{P}2=-5
*phần tử 3:
{P}3=3
7) Chuyển ma trận độ cứng phần tử từ cục bộ về HTĐ tổng thể:
-Từ phương trình: [K]{u} ={P} ta có:
[T’].[K]e.[T]T.{u}=[T’].{u} suy ra:
{P}TT=[T’]{P}cb
{u}=[T’]{U}cb
[K]=[T’].[K]cb.[T]T
*Phần tử 1:
6
0 −1
1 0
0 0
0 0
0 0
[T’]== 0 0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
−1
0
0
0
0
0
0
0
1
[K]TT=[T’].[K]cb[T]T=
1
0
0
0
0
0
−1
0 0
0
0 0
0
1 0
0
0 0
0
0 1
0
0 0
7 × 105
0
0
−7 × 105
0
0
0
3
3
3
3
0
4.864 × 10
7.296 × 10
0
−4.864 × 10 7.296 × 10 −1
0 0
3
4
0 0
0
7.296 × 10
1.459 × 10
0
−7.296 × 103 7.296 × 103 0
⋅
⋅ 0
−1 0
5
5
0
0
7 × 10
0
0
−7 × 10
0 0
3
3
3
3 0
0
−4.864 × 10 −7.296 × 10
0
4.864 × 10
−7.296 × 10
0 1
0
3
3
3
7.296 × 10
7.296 × 10
0
−7.296 × 10 1.459 × 104
0
0
0
4.864 × 103
0
−7.296 × 103 −4.864 × 103
0
−7.296 × 103
0
7 × 105
0
0
−7 × 105
0
4
3
3
−7.296 × 103
0
1.459 × 10
7.296 × 10
0
7.296 × 10
3
0
7.296 × 103
4.864 × 103
0
7.296 × 103
−4.864 × 10
0
−7 × 105
0
0
7 × 105
0
3
0
7.296 × 103
7.296 × 103
0
1.459 × 104
= −7.296 × 10
*Phần tử 2:
7
0
0
0
1
1 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0 1
0
0
0 0
0
1
0 0
−1
0
0 0
0
0
1
0
0
0
0
[T’]= 0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
[K]TT=[T’].[K]cb[T]T=
1
0
0
0
0
0
0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
1.05 × 106
0
0
0
0
0
⋅
6
0
−1.05 × 10
0
0
1
0
1.05 × 106
0
0
6
−1.05 × 10
0
0
=
8
0
1.64 2 × 10
1.64 2 × 10
4
4
1.64 2 × 10
4
−1.64 2 × 10
1.64 2 × 10
4
0
−1.64 2 × 10
0
1.05 × 10
−1.64 2 × 10
4
4
1.64 2 × 10
4
4
1.094 × 10
−1.05 × 10
4
4
6
6
1.64 2 × 10
0
−1.64 2 × 10
−1.64 2 × 10
0
−1.64 2 × 10
2.189 × 10
0
0
1.05 × 10
0
4
−1.64 2 × 10
0
1.64 2 × 10
0
−1.64 2 × 10
4
4
1.64 2 × 10
1.094 × 10
4
4
4
1.64 2 × 10
4
1.094 × 10
0
4
−1.64 2 × 10
4
2.189 × 10
0
1.64 2 × 10
−1.64 2 × 10
4
4
0
0
6
4
0
0
4
4
4
4
4 1
1.64 2 × 10
0
4
1.094 × 10 0
⋅
0
0
0
4
−1.64 2 × 10
0
4
2.189 × 10
0
2.189 × 10
0
1.64 2 × 10
0
−1.64 2 × 10
4
4
6
0
0
0
−1.05 × 10
0
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
*Phần tử 3:
0
−1
0
0
0
[T’]= 0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
−1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
[K]TT=[T’].[K]cb[T]T=
0
−1
0
0
0
0
7 × 105
0
0
−7 × 105
0
0
0 −1
3
3
3
3
0
4.864 × 10
7.296 × 10
0
−4.864 × 10 7.296 × 10 1 0
0
3
4
0
0
7.296 × 10
1.459 × 10
0
−7.296 × 103 7.296 × 103 0 0
⋅
⋅ 0 0
0
5
5
0
0
7 × 10
0
0
−7 × 10
0
3
3
3
3 0 0
0
−4.864 × 10 −7.296 × 10
0
4.864 × 10
−7.296 × 10
1
0 0
3
3
3
7.296 × 10
7.296 × 10
0
−7.296 × 10 1.459 × 104
0
1 0
0
0 0
0 0
0 0
0
0
0 0
0 1
0
0
0 0
0
1
0 0
−1
0
0 0
0
0
4.864 × 103
0
7.296 × 103 −4.864 × 103
0
7.296 × 103
0
7 × 105
0
0
−7 × 105
0
4
3
3
7.296 × 103
0
1.459 × 10
−7.296 × 10
0
7.296 × 10
3
0
−7.296 × 103 4.864 × 103
0
−7.296 × 103
−4.864 × 10
5
0
−7 × 105
0
0
7 × 10
0
3
0
7.296 × 103 −7.296 × 103
0
1.459 × 104
= 7.296 × 10
8) Chuyển véc tơ lực nút của phần tử từ cục bộ về HTĐ tổng thể:
{P}TT=[T’]{P}cb
*Phần tử 1:
9
1 0
0 0
0 1
0 0
0 0
−1 0
0 0
0 1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
−1 0 0 0
0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 −1
0 0 1 0
0 0 0 0
{P}TT=[T’]{P}cb=
0
−15
0 4 3.75
0 −15 0
0 8 −1.875
=
⋅
0 0 3.75
0 −15 0
1 4 1.875
15
8
*Phần tử 2:
1
0
0
0
0
0
{P}TT=[T’]{P}cb=
10
0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0
1
0 2 0
0 1 −2.5
0 4 −1.25
⋅ −5⋅
=
0 0 0
0 1 −2.5
1 2 1.25
−1
4
*Phần tử 3:
0
−1
0
0
0
0
{P}TT=[T’]{P}cb=
1 0 0 0
0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 −1 0
0 0 0 0
0
−1
0 2 −1.5
0 −1 0
0 4 −0.75
⋅ 3⋅
=
0 0 1.5
0 1 0
1 2 −0.75
−1
4
9) Xác định ma trận độ cứng của kết cấu
11
[K]S=12x12=
10) xác định véc tơ lực nút của hệ:
[P]s=
3.75
0
−1.875
3.75
−2.5
0.625
−1.5
−2.5
0.5
1.5
0
1x12= −0.75
11) Xử lý điều kiện biên:
Chuyển vị
1
2
12
Bị chặn
X
X
Giá trị
0
0
3
10
11
Ma trận độ cứng hệ
X
X
X
1.055 × 106
0
7.296 × 103 −1.05 × 106
0
0
0
7.164 × 105
1.642 × 104
0
−1.642 × 104 1.642 × 104
7.296 × 103 1.642 × 104 3.648 × 104
0
−1.642 × 104 1.094 × 104
6
3
−1.05 × 106
0
0
1.055 × 10
0
7.296 × 10
5
0
−1.642 × 104 −1.642 × 104
0
7.164 × 10
−1.642 × 104
4
4
3
4
4
0
1.642 × 10
1.094 × 10
7.296 × 10 −1.642 × 10
3.648 × 10
3
3
0
0
0
7.296 × 10
0
7.296 × 10
[K]s’=
Véc tơ lực nút hệ:
3.75
−2.5
0.625
−1.5
−2.5
0.5
[P]s’= −0.75
12) Giải hệ phương trình tìm chuyển vị trongHTĐ tổng thể:
[K]s’. {u}=[P]s’
13
0
0
0
0
0
3
7.296 × 10
0
3
7.296 × 10
4
1.459 × 10
0
1.055 × 106
0
7.296× 103
−1.05 × 106
0
0
0
3
7.296× 10
0
4
6
−1.05 × 10
0
0
−1.642 × 10
6
1.642 × 10
1.642 × 10
4
3.648 × 10
0
0
0
2.116 × 10
4
−1.642 × 10
4
4
4
4
0
4
1.642 × 10
−1.642 × 10
4
1.094 × 10
1.055 × 10
0
7.296× 10
0
7.164 × 10
6
−1.642 × 10
0
3
1.094 × 10
7.296× 10
0
0
7.296× 10
4
3
5
1.642 × 10
4
4
4
0
7.296×
−1.642 × 10
0
4
7.296×
3
1.459 ×
−1.642 × 10
3.648 × 10
0
7.296× 10
3
0
3
10
3
10
4
10
Giải hệ trình ta được:
5.152 × 10− 4
−1.549 × 10− 6
−8.668 × 10− 5
5.136 × 10− 4
−5.596 × 10− 6
−3.526 × 10− 6
−3.065 × 10− 4
=
13) Xác định phản lực tại gối:
Ri=
-Chuyển vị bị chặn u1 sinh ra phản lực R1:
( 4.864 × 103
0
−7.296 ×
103
−4.864 ×
103 0
R1=
-Chuyển vị bị chặn u2 sinh ra phản lực R2:
14
−7.296 ×
103 0 0 0 0 0
0
0
0
5.152 × 10− 4
− 6
−1.549 × 10
−8.668 × 10− 5
0 ) ⋅
− 3.5 = −5.374
−4
5.136 × 10
−5.596 × 10− 6
− 6
−3.526 × 10
0
0
−3.065 × 10− 4
(0
7
×
5
10 0 0
−7 ×
10
5
0 0 0 0 0 0
R2=
0
0
0
5.152 × 10− 4
− 6
−1.549 × 10
−8.668 × 10− 5
0 ) ⋅
− 0 = 1.084
−4
5.136 × 10
−5.596 × 10− 6
− 6
−3.526 × 10
0
0
−3.065 × 10− 4
-chuyển vị u3 sinh da phản lực R3:
( −7 .296 × 103
4
0 1.459 × 10 7.296
×
3
10 0 7 .296
×
3
10 0 0 0 0 0
R3=
Chuyển vị bị chặn u10 sinh ra phản lực R10:
15
0
0
0
5.152 × 10− 4
− 6
−1.549 × 10
−8.668 × 10− 5
0 ) ⋅
+
−4
5.136 × 10
−5.596 × 10− 6
− 6
−3.526 × 10
0
0
−3.065 × 10− 4
1.875
= 5.001
(0
0 0 0 0 0
−4.864 ×
103 0
−7.296 ×
103 4.864
R10=
×
103 0
0
0
0
5.152 × 10− 4
− 6
−1.549 × 10
−8.668 × 10− 5
−7.296 × 103 ) ⋅
− 1.5 = −1.736
−4
5.136 × 10
−5.596 × 10− 6
− 6
−3.526 × 10
0
0
−
4
−3.065 × 10
Chuyển vị bị chặn u11 sinh ra phản lực R11:
(0
0 0 0 0 0 0
−7 ×
105 0 0 7
×
105
R11=
0
0
0
5.152 × 10− 4
− 6
−1.549 × 10
−8.668 × 10− 5
0 ) ⋅
− 0 = 3.917
−4
5.136 × 10
−5.596 × 10− 6
− 6
−3.526 × 10
0
0
−
4
−3.065 × 10
14) Xác định nội lực do chuyển vị gây ra:
1. Chuyển chuyển vị từ HTĐ tổng thể của mỗi phần tử về cục bộ:
{u}cb=[T]T{u}TT
*Phần tử 1:
{u}1=
0
−1
0
0
0
0
16
0
0
0
0
0
0
⋅ 5.152 × 10− 4 = −1.54 9 × 10− 6
0
0 −1.54 9 × 10− 6 −5.152 × 10− 4
1
− 5
− 5
−8.668 × 10 −8.668 × 10
1 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 −1 0
0 0 0 0
0
*Phần tử 2:
1
0
0
0
0
0
0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
{u}2=
5.152 × 10− 4 5.152 × 10− 4
0
−
6
−
6
−1.54 9 × 10 −1.54 9 × 10
0
− 5
− 5
0 −8.668 × 10 −8.668 × 10
=
⋅
−4
−4
0
5.136
×
10
5.136 × 10
0
− 6
− 6
1 −5.596 × 10 −5.596 × 10
−3.526 × 10− 6 −3.526 × 10− 6
*Phần tử 3:
5.136 × 10− 4 5.596 × 10− 6
−6
−4
0 0 0 0 0 −5.596 × 10 5.136 × 10
−
6
−
6
0 1 0 0 0
⋅ −3.526 × 10 = −3.526 × 10
0 0 0 −1 0
0
0
0 0 1 0 0
0
0
0 0 0 0 1
−3.065 × 10− 4 −3.065 × 10− 4
{u}3=
2. Xác định nộ lực do chuyển vị của phần tử ở HTĐ cục bộ gây ra:
0
1
0
0
0
0
−1 0 0 0 0
2.1 Nội lực N:
N=EF[B]{q}
*Phần tử 1:
N1=
2.4⋅ 107⋅ 0.0875 ⋅
17
−1
3
1
3
0
= −1.084
⋅
−
6
−1.549 × 10
*Phần tử 2:
N2=
2.4⋅ 107⋅ 0.0875 ⋅
−4
⋅ 5.152 × 10 = −1.68
2
5.136 × 10− 4
−1
2
1
*Phần tử 3:
N3=
7
2.4⋅ 10 ⋅ 0.0875 ⋅
−1
3
⋅ 5.596 × 10
3
0
1
− 6
= −3.917
1,68
N
1,084
3,917
2.2 Nội lực M:
M=EJ{A1}{q}
{A1}={A3}={(12x-18) (18x-36) (18-12x) (18x-18)}
18
{A2}={(12x-12) (12x-16) (12-12x) (12x-8)}
*Phần tử 1:
1
27
⋅ 2.4⋅ 107⋅ 4.56⋅ 10− 4( 12x − 18
18x
− 36
18
0
0
− 12x 18x − 18 ) ⋅
−5.152⋅ 10− 4
−8.668 ⋅ 10− 5
12
−1.549⋅ 10− 6
−8.668 ⋅ 10− 5
− 12x 12x − 8 ) ⋅
−5.596 ⋅ 10− 6
−3.526 ⋅ 10− 6
18
5.136 ⋅ 10− 4
−3.526 ⋅ 10− 6
− 12x 18x − 18 ) ⋅
0
−3.065 ⋅ 10− 4
M1=
*Phần tử 2:
1
8
⋅ 2.4⋅ 107⋅ 4.56⋅ 10− 4⋅ ( 12x − 12
12x
− 16
M2=
*Phần tử 3:
1
27
M3=
19
⋅ 2.4⋅ 107⋅ 4.56⋅ 10− 4( 12x − 18
18x
− 36
0.959
0.455
2.494
1.869
1.46
1.105
0.136
M
0.751
3.126
2.3 Nội lực Q:
Q=EJ{A2}{q}
*Phần tử 1:
7
−4
2.4⋅ 10 ⋅ 4.56⋅ 10 ⋅
( −0.444
−0.667
0.444
−0.667
Q1=
0
0
= −1.87 1
) ⋅
−5.152⋅ 10− 4
−8.668 × 10− 5
*Phần tử 2:
2.4⋅ 107⋅ 4.56⋅ 10− 4⋅
( −1.5
−1.5
1.5
Q2=
−1.549 ×
−8.668 ×
−1.5 ) ⋅
−5.596 ×
−3.526 ×
10− 6
10− 5
= 1.414
10− 6
− 6
10
*Phần tử 3:
2.4⋅ 107⋅ 4.56⋅ 10− 4⋅
Q3=
20
( −0.444
−0.667
0.444
−0.667
5.136 ⋅ 10− 4
−6
−
3.526 ⋅ 10
)⋅
= −0.233
0
−3.065 × 10− 4
1.414
Q
1.871
0.233
15. Tính nội lực do lực trên phần tử:
a)Nội lực M:
*Phần tử 1:
Mq= - =-1.875+3.75x-1.25x2
*Phần tử 2:
Mp=-1.25+
Mp=-2.5x+3.75
*Phần tử 3:
21
MM=1.5x-0.75
MM=1.5x-3.75
1.25
1.25
1.875
0.75
1.25
1.5
0.9375
M
1.875
b)Nội lực Q:
*Phần tử 1:
Qq=
Qq=2.5x-3.75
*Phần tử 2:
Qq= -2.5
Qq=2.5
*Phần tử 3:
22
0.75
Qm= -1.5
3.75
2.5
2.5
Q
1.5
3.75
16) Nội lực phần tử:
N=Ncv+Nl
Q=Qcv+Ql
M=Mcv+Ml
2.209
1,68
2.21
0.619
1.705
N
1,084
23
0.4
0.8
M
3,917
5
2.6
3.914
1.879
1.086
THE END
Q
5.621
24
1.733
