SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 5

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 LÀM TOÁN TRẮC NGHIỆM
VỀ CÂU HỎI ỨNG DỤNG THỰC TẾ

Người thực hiện: Lê Nguyên Huấn
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2017


MỤC LỤC
-----Mục

Nội dung

Trang

Bìa sáng kiến kinh nghiệm
Mục lục
Danh mục viết tắt trong sáng kiến kinh nghiệm
1
1

Phần mở đầu.
1

1.1

Lí do chọn đề tài.
2

1.2

Mục đích nghiên cứu.
2

1.3

Đối tượng nghiên cứu.
2

1.4

Phương pháp nghiên cứu
3

2

Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
3

2.1

Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
3


2.2

Thực trạng vấn đề.
3

2.3

Các giải pháp sử dụng giải quyết vấn đề.
18

2.4

3

Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động
giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Kết luận, kiến nghị.

18

Tài liệu tham khảo.
Danh mục SKKN đạt giải cấp tỉnh

20
21

2



DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT
Kí hiệu viết tắt
SGK THPT
THPT
SKKN
MTCT
ycbt
TN
TXĐ
GV
HS
HN

Ý nghĩa
Sách giáo khoa trung học phổ thông
Trung học phổ thông
Sáng kiến kinh nghiệm
Máy tính cầm tay
Yêu cầu bài toán
Trắc nghiệm
Tập xác định
Giáo viên
Học sinh
Hà Nội

3


1. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:

Thực hiện chủ trương đường lối, chính sách pháp luật của Đảng và nhà nước,
nghị quyết TW4 khoá VII. Căn cứ vào phương hướng, nhiệm vụ và kế hoạch
chuyên môn của trường THPT Triệu Sơn 5 năm học 2016-2017.
Với xu thế thi trắc nghiệm THPT Quốc gia và sử dụng kiến thức liên môn vào
bài học. Những câu hỏi ứng dụng liên môn trong đề thi đã làm cho HS lúng
túng, hay bỏ qua hoặc đánh xác suất dẫn đến kết quả không cao.
Trong chương trình toán THPT, các kiến thức ứng dụng liên môn thực tế trong
bài dạy, bài học còn hạn chế, tài liệu tham khảo ít đề cập đến. Câu hỏi dạng này
đòi hỏi HS phải vận dụng kiến thức đa dạng ngoài toán học còn có kiến thức vật
lí, sinh học, hóa học…để giải quyết. Đó cũng là khâu khó khăn khi mà các em
chưa thể phối hợp đồng bộ liên môn để giải nhanh hoặc vận dụng tìm ra kết quả.
Những bài toán ứng dụng thực tế cũng là những bài tập vận dụng thấp hoặc vận
dụng cao trong đề thi. Đặc biệt là thi THPT Quốc gia. Trong thực tế các bài toán
về dạng này rất phong phú và đa dạng. Các em sẽ gặp một lớp các bài toán về
bất đẳng thức, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất, bài toán về lãi xuất ngân
hàng, bài toán về vật lí chuyển động, phản ứng hạt nhân, chu kỳ bán rã. Bài toán
về xác suất trong sinh học. Bài toán về tỉ lệ tăng dân số trong địa lí… Đòi hỏi sử
dụng phương pháp đạo hàm, công thức liên môn để giải. Chỉ có số ít các em biết
phương pháp giải nhưng trình bày còn lúng túng chưa được gọn gàng, thậm chí
còn không có hướng giải quyết. Tại sao lại như vậy?
Lý do chính ở đây là: Trong chương trình SGK THPT hiện hành kiến thức này
chỉ giới thiệu, không đi sâu vào bài tâp, bài dạy. Khác xa với đề thi THPT Quốc
gia, đề thi học sinh giỏi, đề thi MTCT. Bài tập SGK đưa ra sau bài học cũng rất
hạn chế. Mặt khác do số tiết phân phối chương trình cho phần này ít nên trong
quá trình giảng dạy, các giáo viên không thể đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều
dạng để hình thành kỹ năng giải cho học sinh. Nhưng trong thực tế, để biến đổi
và giải chính xác đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư duy
ở mức độ cao và phải có năng lực biến đổi toán học nhanh nhẹn thuần thục.
Ngoài ứng dụng đạo hàm, tích phân, công thức hình học, còn sử dụng nhiều công
thức của bộ môn khác như vât lí, hóa, sinh…

Mỗi môn học trong chương trình toán phổ thông đều có vai trò rất quan trọng,
trong quá trình dạy, giáo viên luôn trình bày những kiến thức cơ bản và dần hình
thành kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh.
Thực tế dạy và học cho thấy chúng ta có nhiều vấn đề cần giải quyết cho mỗi
phân môn của toán học phổ thông, trong đó vấn đề giải quyết các câu hỏi ứng
dụng thực tế trong đề thi THPT QG cũng là vấn đề nổi cộm của thầy trò trong
những năm đầu thi trắc nghiệm toán.
Xuất phát từ thực tế trên, tôi chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm
toán trắc nghiệm về câu hỏi ứng dụng thực tế”

4


1
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 12 ở trường THPT.
Tôi đã tổng hợp, khai thác và hệ thống hoá lại các dạng toán ứng dụng liên môn,
cách giải trong đề thi trắc nghiệm THPT QG .
Học sinh cần nắm chắc định nghĩa và các tính chất có liên quan.
Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải bài tập nhiều khi đã nhớ công thức vận
dụng, công thức liên môn.
Trang bị cho học sinh kiến thức vững vàng, chuẩn bị bước vào các kỳ thi học
sinh giỏi, THPTQG để tuyển sinh đại học cao đẳng.
Học sinh có thể nhớ và khắc sâu thêm kiến thức liên quan đến hàm số ở các
dạng toán khác có liên quan như giải bất phương trình, chứng minh bất đẳng
thức, bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình chứa tham số,
ứng dụng vật lí, hóa, sinh…
Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một số
phương pháp tổng quát và một số kỹ năng cơ bản và phát hiện hướng giải quyết.
Học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc

sai lầm khi biến đổi. Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp
cùng các em học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như phương pháp giải một
số các bài toán ứng dụng thực tế dựa vào tổng hợp kiến thức liên môn.
Mục đích: Trang bị đầy đủ hơn cho phương pháp giải quyết một lớp các bài toán
ứng dụng thực tế.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Thực hiện trên tất cả đối tượng học sinh khối 12.
Giải quyết một số các bài toán ứng dụng thực tế trong đề thi, đặc biệt là đề thi
THPT QG.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu lý luận chung.
Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học .
Tổng hợp so sánh , đúc rút kinh nghiệm hàng năm.
Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn
Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình
giảng dạy.
Phương pháp: Học sinh cần nắm vững lý thuyết đạo hàm, nguyên hàm, hình học
một số bất đẳng thức, công thức về lãi xuất, công thức chu kỳ bán rã, phản ứng
hạt nhân. Xác suất…
Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 12 trong năm học từ 2010
đến 2017

5


2. PHẦN NỘI DUNG:
2.1 Cơ sở lí luận:
Khi gặp những bài toán ứng dụng thực tế học sinh phải nắm được các kiến
thức liên môn. Đó cũng là những hạn chế của HS và GV, vì đôi khi HS học qua
loa, GV không khắc sâu. Khi gặp câu hỏi dạng này rất lúng túng sợ mất thời

gian và bỏ qua hoặc chọn bừa một đáp án, dẫn đến kết quả không cao. Việc nắm
vững các kiến thức liên môn để giải quyết bài toán ứng dụng thực tế là rất cần
thiết để các em HS có được điểm cao trong thi trắc nghiệm. Vì các câu hỏi này
chủ yếu là kiến thức ở mức độ vận dụng thấp hoặc vận dụng cao.
Muốn làm tốt dạng toán này các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở
môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết liên môn linh hoạt vào
từng dạng bài tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh
phải có tư duy logic và cách biến đổi. Giáo viên cần định hướng cho học sinh
học và nghiên cứu môn một cách có hệ thống trong chương trình học phổ
thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp
các cách giải.
Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp
cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán
ứng dụng thực tế trong đề thi, đặc biệt là đề thi THPT QG.
2.2. Thực trạng vấn đề.
Trong thực tế, học sinh thường rất ngại giải quyết các bài toán ứng dụng thực
tế, các em rất khó trong việc chọn hướng giải quyết vấn đề vì bài toán thường đề
dài, nhiều giả thiết, khác với các dạng toán đơn thuần, thời gian ngắn các em lo
không đủ để làm bài, chọn ngẫu nhiên đáp án cho nhanh.
Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ lớp 12, các kỳ thi thử THPT QG, thi học
sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh và việc học tập, làm bài tập hàng ngày nhận thấy
học sinh thường bỏ qua hoặc không giải được hoặc một số rất ít học sinh làm
được bài tập phần này.
Nội dung bài học dạng này với thời lượng ít và những dạng đơn giản. Đề thi
thì lại khó khăn. Nếu không có được phương pháp, đường lối thì HS sẽ không
thể giải quyết vấn đề dạng bài tập này được.
2.3. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề:
2.3.1 Ứng dụng đạo hàm:
2.3.1.1. Định nghĩa đạo hàm .
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0 ∈ (a;b)

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

6


lim
x → x0

f ( x) − f ( x0 )
∆y
= lim
x − x0
∆x →0 ∆x

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x0
Ký hiệu:

f '( x0 ) =lim
x → x0

f ( x) − f ( x0 )
x − x0

2.3.1.2. Định nghĩa đạo hàm một phía.
Đạo hàm bên trái của hàm số y = f(x) tại điểm x0, kí hiệu là f’(x0),
được định nghĩa :
f '( x0− ) = lim
∆x →0−

∆y

∆x

Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm x0, kí hiệu là f’(x0),
được định nghĩa :
f '( x0+ ) = lim
∆x →0+

∆y
∆x

2.3.1.3. Ý nghĩa đạo hàm.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và có đồ thị (C). Tiếp tuyến với
(C) tại điểm M(x0;y0) có hệ số góc k = f’(x0).
PTTT tại M(x0;y0): y = f’(x0)(x-x0) + y0
2.3.1.4.Các quy tắc tính đạo hàm.
i. Giả sử u,v là các hàm số của biến x, có đạo hàm tại x. khi đó:
(u ± v ) ' = u '± v '
(u.v) ' = u '.v + v '.u
'

 u  u '.v − v '.u
 ÷=
v2
v
(k .u ) ' = k .u '

(v ≠ 0)

ii. Nếu hàm số u= g(x) có đạo hàm theo x là u’=g’(x) và hàm số y = f(u) có đạo
hàm theo u là y’ = f’(u), thì hàm số hợp y = h(x) = f[g(x)] có đạo hàm theo x là

h(x) = f’(u).g’(x) hay y’ = yu’.ux’
2.3.1.5. Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp: ( u = u(x))
c ' = 0 (c = const )
( x n ) ' = n.x n −1
1
( x)' =
2 x
'

(u n ) ' = n.u '.u n −1
u'
( u)' =
2 u
'

1
1
 ÷=− 2
x
 x
(a x ) ' = a x .ln a

u'
1
 ÷=− 2
u
u
(a u ) ' = u '.a u .ln a

(e x ) ' = e x

1
(ln x) ' =
x
(sin x ) ' = cos x
(cos x ) ' = − sin x

(eu ) ' = u '.eu
u'
(ln u ) ' =
u
(sin u ) ' = u '.cos u
(cos u ) ' = −u 'sin u

7


2.3.1.6. Đạo hàm cấp cao.
Giả sử y = f(x) có đạo hàm y’ =f’(x). Nếu hàm số f’(x) lại có đạo hàm, thì gọi
đạo hàm của nó là đạo hàm cấp hai và kí hiệu y” hay f”(x)
Định nghĩa tương tự cho đạo hàm cấp 2,3,4..
Một cách tổng quát đạo hàm cấp n ( n>1) của hàm số y=f(x), kí hiệu y (n) hay f(n)
(x), được định nghĩa: f(n)(x) = [f(n-1)(x)]’
2.3.1.7. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm.
Định nghĩa:Cho hàm số y=f(x) xác định trên K. Với mọi x1 < x2 thuộc K
Nếu f(x1) < f(x2) thì hàm số f(x) đồng biến trên K
Nếu f(x1) > f(x2) thì hàm số f(x) nghịch biến trên K
Định lí:Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
Nếu f’(x) > 0 với mọi x trên K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
Nếu f’(x) < 0 với mọi x trên K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
Chú ý:

i.Giả sử f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f’(x) ≥0 (f’(x) ≤ 0) và f’(x) = 0 chỉ tại một
số điểm hữu hạn thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.
ii.Trong một số trường hợp khi không biết dấu của đạo hàm cấp 1, ta xét dấu đạo
hàm cấp 2, từ đó suy ra dấu đạo hàm cấp 1
2.3.1.8. Cực đại và cực tiểu của hàm số.
Định nghĩa:Cho hàm số y =f(x) liên tục trên khoảng (a;b)
Nếu tồn tại số h >0 sao cho f(x)nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0.
Nếu tồn tại số h >0 sao cho f(x)>f(x 0) với mọi x0 ∈ (x0-h ;x0+h) và x≠x0 thì ta
nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0.
Định lý: Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x 0-h; x0+h) và có đạo hàm
trên khoảng K hoặc trên K \ { x0 } , với h>0
Nếu f’(x) > 0 trên khoảng (x0-h ; x0) và f’(x) < 0 trên khoảng (x0 ; x0+h) thì x0
là điểm cực đại của hàm số f(x).
Nếu f’(x) < 0 trên khoảng (x0-h ; x0) và f’(x) > 0 trên khoảng (x0 ; x0+h) thì x0
là điểm cực tiểu của hàm số f(x).
2.3.1.9. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Định nghĩa:
Cho hàm số y = f(x) xac định trên D
i. Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu
f ( x) ≤ M ∀x ∈ D , ∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = M

ii. Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu
f ( x) ≥ m∀x ∈ D, ∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = m

2.3.1.10. Bất đẳng thức CauChy.
a, b ≥ 0 : a + b ≥ 2 ab
a1 , a2 ,...an ≥ 0 : a1 + a2 + ... + an ≥ n n a1a2 ..an

Chú ý:Ta luôn sử dụng bất đẳng thức Cau Chy hai chiều

8


2.3.2. Bài toán về diện tích thể tích:
Ví dụ 1( Đề thi thử THPT QG Tĩnh Gia II)
Cho một tấm nhôm hình chữ nhật có chiều
dài bằng 12 cm và chiều rộng bằng 10 cm.
Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn
hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có
cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như
hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không
nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn
nhất. [ 1]
A. x =

10 + 2 7
.
3

B. x =

11 + 31
.
3

C. x =

11 − 31

.
3

D. x =

10 − 2 7
.
3

Hướng dẫn giải:
TXĐ: D=(0;5) ;V=x(12-2x)(10-2x)
f ( x) = 4 x 3 − 44 x 2 + 120 x
f ' ( x) = 12 x 2 − 88 x + 120

Xét


11 + 31
( L)
x =
3

f ' ( x) = 0 ⇔
⇒C

11 − 31
x =
3


Ví dụ 2:( Đề thi thử 12 Lương Thế Vinh- HN)Với một miếng tôn hình tròn có
bán kính bằng R = 6cm. Người ta muốn làm một cái phễu bằng cách cắt đi một
hình quạt của hình tròn này và gấp phần còn lại thành hình nón ( Như hình vẽ).
Hình nón có thể tích lớn nhất khi người ta cắt cung tròn của hình quạt bằng [ 1]

A. π 6 cm

B. 6π 6 cm

C. 2π 6 cm

D. 8π 6 cm

Hướng dẫn giải

9


Gọi x (x > 0) là chiều dài cung tròn của phần được xếp làm hình nón.
Như vậy, bán kính R của hình tròn sẽ là đường sinh của hình nón và đường tròn
đáy của hình nón sẽ có độ dài là x.
Bán kính r của đáy được xác định bởi đẳng thức 2π r = x ⇒ r =

x
.
2π

Chiều cao của hình nón tính theo định lý Pitago là: h = R 2 − r 2 = R 2 −
2

1
3

Thể tích của khối nón: V = π r 2 .H =

π x 

÷
3  2π 

R2 −

x2
.
4π 2

x2
.
4π 2

Áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có:
 x2
x2
x2
2
+
+
R
−
2

2
2
2
2 
4π x
x
x
4π 8π 2 8π 2
4π 2
V2 =
. 2 . 2 (R2 −
)≤

2
9 8π 8π
4π
9 
3



Do đó V lớn nhất khi và chỉ khi

x2
x2
2
=
R
−
8π 2

4π

3


÷ 4π 2 R 6
.
÷=
9 27
÷
÷

2π
⇔ x=
R 6 ⇔ x = 6 6π
3

Ví dụ 3:( Đề thi thử THPT QG Triệu Sơn 5) Cho hình chữ nhật có diện tích
bằng 100(cm2 ) . Hỏi mỗi kích thước của nó bằng bao nhiêu để chu vi của nó nhỏ
nhất? [ 1]
A. 10cm × 10cm
B. 20cm × 5cm
C. 25cm × 4cm D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải:
Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là: x(cm) và y (cm). Chu
vi hình chữ nhật là: P = 2(x+y) = 2x + 2y.
Theo đề bài thì: xy = 100 hay y =

100
200

. Do đó: P= 2x + 2y +
với x > 0.
x
x

200 2 x 2 − 200
=
. Cho y ' = 0 ⇔ x = 10 .
x2
x2
Lập bảng biến thiên ta được: Pmin = 40 khi x = 10 ⇒ y = 10 .
Kết luận: Kích thước của hình chữ nhật là 10 × 10 (là hình vuông).

Đạo hàm: P '(x) = 2 −

Ví dụ 4 ( Nguồn internet ):Một lão nông chia đất cho con trai để người con canh
tác riêng, biết người con sẽ được chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi bằng
800(m) . Hỏi anh ta chọn mỗi kích thước của nó bằng bao nhiêu để diện tích canh
tác lớn nhất?

10


A. 200m × 200m
B. 300m × 100m
C. 250m × 150m
D.Đáp án khác
Hướng dẫn giải
Gọi chiều dài và chiều rộng của miếng đất lần lượt là: x(m) và y(m) (x, y> 0).
Diện tích miếng đất: S = xy

Theo đề bài thì: 2(x + y) = 800 hay y = 400- x . Do đó: S = x(400- x) =- x2 + 400x với
x> 0

Đạo hàm: S'(x) =- 2x + 400. Cho y' = 0 Û x = 200 .
Lập bảng biến thiên ta được: Smax = 40000 khi x = 200 Þ y = 200 .
Kết luận: Kích thước của miếng đất hình chữ nhật là 200´ 200 (là hình vuông).
Ví dụ 5: ( Đề thi thử THPT QG Quỳnh Lưu)Người ta muốn làm một cánh diều
hình quạt sao cho với chu vi cho trước là a sao cho diện tích của hình quạt là cực
đại. Dạng của quạt này phải như thế nào? [ 1]
a
a
4
2
a
2a
C. x = ; y =
6
3

A. x = ; y =

a
3

B. x = ; y =

y

a
3

x α

D.Đáp án khác

Hướng dẫn giải:
Gọi x là bán kính hình quạt, y là độ dài cung tròn. Ta có chu vi cánh diều là a = 2x
+ y. Ta cần tìm mối liên hệ giữa độ dài cung tròn y và bán kính x sao cho diện tích
quạt lớn nhất. Dựa vào công thức tính diện tích hình quạt là S =

π R2 α
và độ dài
360

lR
2π Rα
, ta có diện tích hình quạt là: S = . Vận dụng trong bài toán
360
2
xy
x( a − 2 x)
1
này diện tích cánh diều là: S =
=
= 2 x (a − 2 x) .
2
2
4
a
a

Dễ thấy S cực đại ⇔ 2 x = a − 2x ⇔ x = ⇒ y = . Như vậy với chu vi cho trước,
4
2

cung tròn l =

diện tích của hình quạt cực đại khi bán kính của nó bằng nửa độ dài cung tròn.
Đáp án A.
Ví dụ 6 ( Đề thi thử THPT QG chuyên Hà Tĩnh): Có một tấm nhôm hình vuông
cạnh 12cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau,
mỗi hình vuông có cạnh bằng x(cm) rồi gấp tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây
để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hình hộp nhận được có thể tích lớn
nhất. [ 1]
A. x = 6
B. x = 3
C. x = 2
D. x = 4
Hướng dẫn giải:
Độ dài cạnh đáy của cái hộp: 12 − 2 x. Diện tích đáy của cái hộp: (12 − 2 x)2 .
Thể tích cái hộp là: V = (12 − 2x)2 .x = 4 x 3 − 48 x 2 + 144 x với x ∈ (0;6)
Ta có: V '(x) = 12 x 3 − 96 x 2 + 144 x. Cho V '(x) = 0 , giải và chọn nghiệm x = 2.
Lập bảng biến thiên ta được Vmax = 128 khi x = 2. . Đáp án C.

11

x


Ví dụ 7( Đề minh họa BGD) Có một tấm nhôm hình vuông cạnh 12cm. Người ta
cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có

cạnh bằng x(cm) rồi gấp tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp
không nắp. Tìm x để hình hộp nhận được có thể tích lớn nhất. [ 1]
A. x = 6
B. x = 3
C. x = 2
D. x = 4
Hướng dẫn giải:
Độ dài cạnh đáy của cái hộp: 12 – 2x. Diện tích đáy của cái hộp: (12 – 2x)2.
Thể tích cái hộp là: V = (12 – 2x)2 .x = 4x3 – 48x2 + 144x với x ∈ (0;6)
Ta có: V '(x) = 12 x 3 − 96 x 2 + 144 x. Cho V '(x) = 0 , giải và chọn nghiệm x = 2.
Lập bảng biến thiên ta được Vmax = 128 khi x = 2.
Ví dụ 8(Tài liệu ôn thiTN Đại học Quốc gia HN). Kim tự tháp Kê−ốp ở Ai Cập
được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên. Kim tự tháp này là
một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 147 m, cạnh đáy dài 230 m. Thế tích của
nó là: [ 3]
A. 7776300 m3 . B. 3888150 m3 .
C. 2592100 m3. D. 2592100 m2
1
3

Hướng dẫn giải: V = .2302.147 = 2592100m3 Đáp án C.
2.3.3. Ứng dụng vật lí .
Định luật phóng xạ:
Theo số hạt (N)
Trong quá trình phân
rã, số hạt nhân phóng
xạ giảm theo thời
gian.

Theo khối lượng (m)

Độ phóng xạ (H)
(1 Ci = 3, 7.1010 Bq )

Trong quá trình phân
- Đại lượng đặc trưng cho
rã, khối lượng hạt tính phóng xạ mạnh hay yếu
nhân phóng xạ giảm của chất phóng xạ.
theo thời gian.
- Số phân rã trong một
giây:H = -

−t

N(t) = N0.2 T = N0.e − λt
N 0 : số hạt nhân

−t

M(t) = m0.2 T = m0 .e − λt
m0 : khối lượng phóng

∆N
∆t

−t

H(t) = H0.2 T = H0.e − λt
H 0 : độ phóng xạ ở thời điểm

phóng xạ ở thời điểm xạ ở thời điểm ban
ban đầu.
H (t ) :độ phóng xạ còn lại sau
ban đầu.
đầu.
N (t ) : số hạt nhân
m( t ) : khối lượng
thời gian t
−t
phóng xạ còn lại sau
phóng xạ còn lại sau
H = λN = λ N0 2 T = λN0e-λt
thời gian t .
thời gian t .
Ví dụ 1(Nguồn internet ):Chất Iốt phóng xạ 131
53 I dùng trong y tế có chu kỳ bán rã
8 ngày đêm. Nếu nhận được 100g chất này thì sau 8 tuần lễ còn bao nhiêu? [ 2]
A. 0,87g
B. 0,78g
C. 7,8g
D. 8,7g

12


Hướng dẫn giải
t = 8 tuần = 56 ngày = 7.T .Suy ra sau thời gian t thì khối lượng chất phóng xạ
131
53 I còn lại là :
m = m0

t
−
.2 T

= 100.2 −7 = 0,78 gam .

⇒ Chọn đáp án B.

Ví dụ 2( Nguồn internet) Một chất phóng xạ có chu kỳ bán rã là 3,8 ngày. Sau
thời gian 11,4 ngày thì độ phóng xạ (hoạt độ phóng xạ) của lượng chất phóng xạ
còn lại bằng bao nhiêu phần trăm so với độ phóng xạ của lượng chất phóng xạ
ban đầu? [ 2]
A. 25%.
B. 75%.
C. 12,5%.
D. 87,5%.
Hướng dẫn giải:
T = 3,8 ngày ; t = 11,4 = 3T ngày. Do đó ta đưa về hàm mũ để giải nhanh như
sau m = m0

t
−
.2 T

t

−
m
1

−3
m
⇔
= 2 T ⇔ m = 2 = 8 = 12,5%
0
m0

⇒ Chọn : C.

Ví dụ 3 (Nguồn internet )Pôlôni là nguyên tố phóng xạ α , nó phóng ra một hạt
α và biến đổi thành hạt nhân con X. Chu kì bán rã của Pôlôni là T = 138 ngày.
a)Xác định cấu tạo, tên gọi của hạt nhân con X.
b)Ban đầu có 0,01g. Tính độ phóng xạ của mẫu phóng xạ sau 3 chu kì bán rã.

[ 2]

Hướng dẫn giải:
a)Xác định hạt nhân con X
+ Ta có phương trình phân rã:

4
A
Po→
2 He +Z X
210 = 4 + A  A = 206
→
→ X : 206
+ Theo các ĐLBT ta có: 
82 Pb
84 = 2 + Z

Z = 82

b)Từ

210
84

t

−
m = m 0 .2 T
m = m 0 .2 −k
0,693.m 0 N A .2 −k


⇒
= 2,08.1011 Bq
H = λN
mN A ⇒ H =
T .A

H = λ
m

A
N = . N A
A


Ví dụ 4:( Đề thi thử 12 chuyên Thái Bình) Trong vật lí, sự phân rã của các chất

t

T
phóng xạ được biểu diễn bởi công thức: m ( t ) = m0  1 ÷ , trong đó m0 là khối
2

lượng ban đầu của chất phóng xạ (tại thời điểm t = 0); T là chu kì bán rã (tức là
khoảng thời gian để một nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác).
Chu kì bán rã của Cabon 14 C là khoảng 5730 năm. Cho trước mẫu Cabon có
khối lượng 100g. Hỏi sau khoảng thời gian t thì khối lượng còn bao nhiêu? [ 1]
A. m ( t ) = 100.e

−

t ln2
5730

5730

1
B. m ( t ) = 100.  ÷
2

−

100 t

100 t

5730

−
C. m ( t ) = 100  1 ÷ D. m ( t ) = 100.e 5730
2

Hướng dẫn giải:

13


- kt
Theo công thức m( t ) = m0e ta có:

m( 5730) =

ln2
100
ln2
t
= 50 = 100.e- k.5730 Û k =
suy ra m( t) = 100e 5730
2
5730

Đáp án: A.

Ví dụ 5( Đề thi thử THPT QG- SGD Thanh Hóa):Cho biết chu kì bán rã của chất
phóng xạ radi Ra226 là 1602 năm (tức là một lượng Ra226 sau 1602 năm phân hủy
thì chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính theo công thức S = A.e rt , trong
đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hàng năm ( r < 0 ), t là
thời gian phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy. Hỏi 5 gam Ra226

sau 4000 năm phân hủy sẽ còn lại bao nhiêu gam (làm tròn đến 3 chữ số phần
thập phân)? [ 1]
A. 0,886 (gam)
B. 1,023 (gam)
C. 0,795 (gam)
D. 0,923
(gam)
Hướng dẫn giải:
Gọi T là chu kì bán rã, suy ra
Do đó: S = 5.e

−

ln 2
.4000
T

1
− ln 2
A = A.e r .T ⇒ r =
.
2
T

4000

 1  1602
= 5.  ÷ ≈ 0,886 .
2

2.3.4. Bài toán chuyển động :
Học sinh cần chú ý các công thức đạo hàm và tích phân:
Ví dụ 1:( Đề thi thử lần 2 THPT Triệu Sơn 5) Hai con tàu đang ở cùng một vĩ
tuyến và cách nhau 5 hải lý. Đồng thời cả hai tàu cùng khởi hành, một chạy về
hướng Nam với 6 hải lý/giờ, còn tàu kia chạy về vị trí hiện tại của tàu thứ nhất
với vận tốc 7 hải lý/ giờ. Hãy xác định thời điểm mà khoảng cách của hai tàu là
lớn nhất? [ 1]

A.

7
giờ.
15

B.

7
giờ
16

C.

7
giờ
17

Hướng dẫn giải:
Tại thời điểm t sau khi xuất phát, khoảng cách giữa hai tàu là d.
Ta có d2 = AB12 + AA12 = (5 - BB1)2 + AA12
= (5 - 7.t)2 + (6t)2

D.

A

khi t =

B1

B

d

Suy ra d = d(t) = 85t2 − 70 + 25 .
Áp dụng Đạo hàm ta được d nhỏ nhất

7
giờ
18

A1

7
(giờ), khi đó ta có d ≈ 3,25 Hải lý. Đáp án A.
17

Ví dụ 2:(Đề thi thử lần 2 THPT Triệu Sơn 2) Một vật di chuyển với gia tốc
a ( t) = −20 ( 1 + 2

)

−2

(m/s ) .
2

Khi t = 0 thì vận tốc của vật là 30m / s . Tính quảng

đường vật đó di chuyển sau 2 giây (làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị). [ 1]
A. S = 106m .
B. S = 107m .
C. S = 108m .
D. S = 109m .
Hướng dẫn giải

14


Ta có v ( t ) = ∫ a ( t ) dt = ∫ −20 ( 1 + 2t ) dt =
−2

v ( 0 ) = 30 ⇔ C + 10 = 30 ⇔ C = 20 . Vậy

10
+ C . Theo đề ta có
1 + 2t

quãng đường vật đó đi được sau 2 giây là:

2

2
 10

S = ∫
+ 20 ÷dt = ( 5 ln ( 1 + 2t ) + 20t ) = 5ln 5 + 100 ≈ 108m
0
1 + 2t

0
.

Ví dụ 3( Đề minh họa 2017 của Bộ giáo dục)
Một ô tô chạy với vận tốc 10m/s thì người lái xe đạp phanh còn được gọi là
“thắng”. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc
v(t) = -5t +10(m/s) Trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt
đầu đạp phanh . Quãng đường ô tô di chuyển từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn

là bao nhiêu? [ 1]
A. 0,2m
B.2m
C.10m
D. 20m
Ví dụ 4 ( Đề thi thử lần 3 THPT Triệu Sơn 5) Một vật chuyển động với vận tốc
v(t) (m/s) có gia tốc a(t ) = 3t 2 + t (m/s2). Vận tốc ban đầu của vật là 2 (m/s). Hỏi
vận tốc của vật sau 2s . [ 1]
A. 10 m/s
B. 12 m/s
C. 16 m/s
D. 8

m/s.
Hướng dẫn giải
t2
Ta có v(t) = ∫ a (t ) dt = ∫ (3 t + t) dt = t + + C (m/s).
2
2

3

Vận tốc ban đầu của vật là 2 (m/s) ⇒ v(0) = 2 ⇒ C = 2 .
Vậy vận tốc của vật sau 2s là: V (2) = 23 +

22
+ 2 = 12 (m/s).
2

Đáp án B.
Ví dụ 5( Đề thi thử THPT QG- SGD Thanh Hóa). Một vật chuyển động theo quy
luật s = 9t 2 − t 3 , với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển
động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi
trong khoảng thời gian 5 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất
của vật đạt được bằng bao nhiêu ? [ 1]
A. 27(m / s).
B. 15(m / s).
C. 100(m / s).
D. 54(m / s ).
Hướng dẫn giải
s = 9t 2 − t 3 ⇒ v = s ' = 18t − 3t 2 ⇒ v ' = 18 − 6t = 0 ⇔ t = 3
Khi t = 3 ⇒ v = 27; t = 5 ⇒ v = 15 ⇒ vmax = 27 . Đáp án A

2.3.5. Bài toán lãi xuất:
2.3.5.1. Lãi đơn, lãi kép: Khái niệm lãi đơn hiểu đơn giản là phần lãi chỉ tính từ
vốn gốc ban đầu,(lãi không cộng vào vốn gốc); trong khi đó lãi kép cứ sau mỗi
một kỳ, tiền lãi sẽ được cộng dồn với phần gốc rồi tính lãi tiếp dựa trên phần gốc
mới đó.

15


2.3.5.2. Công thức tính lãi đơn: P = a(1+r.n) với a là tiền gốc ban đầu, r là % lãi
suất, n là số kỳ tính lãi (tháng hay quí hay năm).
2.3.5.3. Công thức tính lãi kép như sau: P = a(1+r)n với a là tiền gốc ban đầu, r
là % lãi suất, n là số kỳ tính lãi (tháng hay quí hay năm)
i). Dạng 1: Gửi vào a đồng, lãi suất r%/năm (hoặc tháng hoặc quí), lãi hàng năm
được nhập vào vốn. Hỏi sau khoảng bao nhiêu năm thu về gấp đôi (2a đồng).
HD: Áp dụng công thức lãi kép, sau n năm, ta có phương trình 2a = a(1+r)n
⇔ n = log1+ r 2
ii) Dạng 2 : Vay a đồng, lãi suất r%/tháng. Cứ sau đúng 1 tháng trả x đồng. Định
x để sau n tháng là hết nợ.
HD: Sau tháng thứ 1, còn nợ a(1+r) - x
Sau tháng thứ 2, còn nợ [a(1+r) - x](1+r) - x = a(1+r)2 - [(1+r) + 1] x
Sau tháng thứ 3, còn nợ {a(1+r)2 - [(1+r) + 1] x}(1+r) - x = a(1+r)3 - [(1+r)2 +
(1+r) + 1] x
...
Sau tháng thứ n hết nợ, nên a(1+r)n - [(1+r)n-1 + (1+r)n-2 +... + 1] x = 0
⇔ a(1+r)n -

ar (1 + r ) n
(1 + r ) n − 1
⇔

.x = 0
x=
(1 + r ) n − 1
r

iii) Dạng 3 : (Ngược dạng 2) Vay a đồng, lãi suất r%/tháng. Cứ sau đúng 1 tháng
trả m đồng. Hỏi sau bao nhiêu tháng, hết nợ.
HD: Theo lập luận như trên, ta có phương trình a(1+r) n -

(1 + r ) n − 1
.m = 0
r

(n

chưa biết)
⇔ ar(1+r)n = [(1+r)n -1]m ⇔ (1+r)n (m - ar) = m ⇔ n = log1+ r

m
.
m − ar

ĐK m > ar > 0
Ví dụ 1(Nguồn internet). Gửi 5 triệu, lãi suất 1%/tháng và lãi không nhập vào
vốn, hỏi sau 6 tháng thu về được bao nhiêu? [ 2]
Trả lời: P = 5(1 + 0,01 . 6) = 5,3 triệu
Ví dụ 2( Nguồn internet): gửi 5 triệu, lãi suất 1%/tháng và lãi hàng tháng được
nhập vào vốn, hỏi sau 6 tháng thu về được bao nhiêu?
Trả lời: P = 5(1 + 0,01)6 ≈ 5,3076 triệu. [ 2]
Ví dụ 3(Đề thi thử 12 chuyên Hà Tĩnh 2017) Một người gửi vào 5 triệu, lãi suất

8,4%/năm, lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau khoảng bao nhiêu năm thu
về gấp đôi (10 triệu). [ 2]
A. 8 năm
B. 9 năm
C. 10 năm
D . 11năm.
Trả lời: Áp dụng công thức lãi kép, sau n năm, ta có phương trình 10 =
5(1+0,084)n

16


⇔ 2 = (1+0,084)n ⇔ n = log1,084 2 ≈ 8,59. Do n nguyên dương nên chọn n = 9.

Ví dụ 4 (Nguồn internet). Vay 100 triệu với lãi suất 1%/tháng. Cứ sau đúng 1
tháng trả x đồng. Định x để sau 3 tháng, hết nợ. [ 2]
Trả lời : Áp dụng công thức trên, x =

100.0,01(1 + 0,01) 3
1,013
≈ 34,002 triệu.
=
(1 + 0,01) 3 − 1
1,013 − 1

Ví dụ 5. Một người nọ đem gửi tiết kiệm ở một ngân hàng với lãi suất là 12%
năm. Biết rằng cứ sau mỗi một quý ( 3 tháng ) thì lãi sẽ được cộng dồn vào vốn
gốc. Hỏi sau tối thiểu bao nhiêu năm thì người đó nhận lại được số tiền, bao
gồm cả vốn lẫn lãi gấp ba lần số tiền ban đầu.
A. 8

B. 9
C. 10
D.11
Hướng dẫn giải
Gọi số tiền người đó gửi là A, lãi suất mỗi quý là 0,03
n
Sau n quý, tiền mà người đó nhận được là: A ( 1 + 0, 03)
ycbt ⇔ A ( 1 + 0,03) = 3A ⇔ n = log1,03 3 ≈ 37,16
n

Vậy số năm tối thiểu là xấp xỉ 9,29 năm. Vậy đáp án là C.
Ví dụ 6( Nguồn internet). Một bà mẹ Việt Nam anh hùng được hưởng số tiền là
4 triệu đồng trên một tháng (chuyển vào tại khoản của mẹ ở ngân hàng vào đầu
tháng). Từ tháng 1 năm 2016 mẹ không đi rút tiền mà để lại ngân hàng và được
tính lãi suất 1% trên một tháng. Đến đầu tháng 12 năm 2016 mẹ rút toàn bộ số
tiền (gồm số tiền của tháng 12 và số tiền đã gửi từ tháng 1). Hỏi khi đó mẹ lĩnh
về bao nhiêu tiền? (Kết quả làm tròn theo đơn vị nghìn đồng). [ 2]
A. 50 triệu 730 nghìn đồng
B. 48 triệu 480 nghìn đồng
C. 53 triệu 760 nghìn đồng
D. 50 triệu 640 nghìn đồng
Ví dụ 7: Số tiền tháng 1 mẹ được nhận là 4 triệu, gửi đến đầu tháng 12 (được 11
kỳ hạn), vậy cả vốn lẫn lãi do số tiền tháng 1 nhận sinh ra là:
4.(1 +

1 11
) = 4 ×1,0111 (triệu đồng).
100

Tương tự số tiền tháng 2 nhận sẽ sinh ra: 4 ×1,0110 (triệu đồng)

......................................................
Số tiền tháng 12 mẹ lĩnh luôn nên là: 4 (triệu đồng).
Vậy tổng số tiền mẹ lĩnh là: 4 × 1, 0111 + 4 × 1,0110 + ... + 4 ×1,01 + 4 = 4

1 − 1,0112
≈ 50,730
1 − 1,01

(50 triệu 730 nghìn đồng). Đáp án A.
Ví dụ 8( Đề thi thử THPT QG- SGD Thanh Hóa). Một người vay ngân hàng 100
triệu đồng với lãi suất là 0,7%/tháng theo thỏa thuận cứ mỗi tháng người đó sẽ
trả cho ngân hàng 5 triệu đồng và cứ trả hàng tháng như thế cho đến khi hết nợ
(tháng cuối cùng có thể trả dưới 5 triệu). Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó
trả được hết nợ ngân hàng. [ 1]
A. 22.
B. 23.
C. 24.
D. 21.

17


Hướng dẫn giải
Gọi N n là số tiền người vay còn nợ sau n tháng, r là lãi suất hàng tháng, a là số
tiền trả hàng tháng, A là số tiền vay ban đầu.
N1 = A(1 + r ) − a
N 2 = [ A(1 + r ) − a](1 + r ) − a = A(1 + r ) 2 − a[1 + (1 + r )]
N 3 = A(1 + r ) 2 − a[1 + (1 + r )] (1 + r ) − a = A(1 + r )3 − a[1 + (1 + r ) + (1 + r ) 2 ]

{

}

..............................
(1 + r ) m − 1
N m = A(1 + r ) − a[1 + (1 + r ) + (1 + r ) + ... + (1 + r ) ] = A(1 + r ) − a
Khi
r
a
trả hết nợ nghĩa là N m = 0 ⇔ (1 + r ) m ( Ar − a) + a = 0 ⇔ m = log1+ r
a − Ar
m
≈
21
,
6
Thay số ta được:
. Do đó số tháng để trả hết nợ là 22 tháng.
m

2

m −1

m

2.3.6. Bài toán kinh tế:
Ví dụ 1(Tài liệu thi trắc nghiệm ĐHQG Hà Nội). Khi nuôi cá thí nghiệm trong
hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng : Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có
n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng P(n) = 480 − 20n(gam) . Hỏi

phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu
hoạch được nhiều cá nhất ? [ 3]
A. 10
B. 12
C. 16
D. 24
n
(
n>
0)
Hướng dẫn giải: Gọi là số con cá trên một đơn vị diện tích hồ
. Khi đó :
P
(
n
)
=
480
20
n
(
gam
)
Cân nặng của một con cá là :
Cân nặng của n con cá là : n.P(n) = 480n - 20n2(gam)
Xét hàm số : f (n) = 480n- 20n2 ,n Î (0;+¥ ) . Ta có : f '(n) = 480- 40n , cho
f '(n) = 0 Û n = 12

Lập bảng biến thiên ta thấy số cá phải thả trên một đơn vị diện tích hồ để có thu
hoạch nhiều nhất là 12 con.

Ví dụ 2(Nguồn Internet). Một chuyến xe bus có sức chứa tối đa là 60 hành
khách. Nếu một chuyến xe chở x hành khác thi giá cho mỗi hành khách là
2

x 

 3 − ÷ $ . Chọn câu đúng: [ 2]
40 


A. Xe thu được lợi nhuận cao nhất khi có 60 hành khách.
B. Xe thu được lợi nhuận cao nhất bằng 135$ .
C. Xe thu được lợi nhuận cao nhất bằng 160$ .
D. Không có đáp án đúng.
Hướng dẫn giải:
x 2
3 2
x3
Số tiền thu được là : f (x) = x(3 − ) = 9 x − x +
40
20
1600

Đạo hàm, lập bảng biến thiên ta tìm được GTLN của f (x) là 160 khi x = 40.
Vậy lợi nhuận thu được nhiều nhất là 160$ khi có 40 hành khách.

18


Ví dụ 3: Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại.

Hiện nay, doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe honda
Future Fi với chi phí mua vào một chiếc là 27 (triệu đồng) và bán với giá 31 (triệu
đồng) mỗi chiếc. Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong
một năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe
đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm
1 (triệu đồng) mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm 200
chiếc. Vậy doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu để sau khi đã thực
hiện giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất?
Hướng dẫn giải: Gọi x (x > 0 , đơn vị: triệu đồng) là giá bán mới. Khi đó:
Số tiền đã giảm là: 31 − x. Số lượng xe tăng lên là: 200(31 − x).
Vậy tổng số sản phẩm bán được là: 600 + 200(31 − x) = 6800 − 200 x
Doanh thu mà doanh nghiệp sẽ đạt được là: (6800 − 200 x)x
Tiền vốn mà doanh nghiệp phải bỏ ra là: (6800 − 200 x).27
Lợi nhuận mà công ty đạt được sẽ là:
L( x) = Doanh thu – Tiền vốn
= (6800 − 200 x) x − (6800 − 200 x).27 = −200 x 2 + 12200 x − 183600
L '(x) = −400 x + 12200. Cho L '(x) = 0 ⇔ x = 30,5

Lập BBT ta thấy lợi nhuật lớn nhất khi x = 30,5. Vậy giá bán mới là 30,5 (triệu
đồng)
Ví dụ 4: Một công ti bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê
mỗi căn hộ với giá 2 000 000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê
và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm 100 000 đồng một tháng thì có
thêm hai căn hộ bị bỏ trống.Hỏi muốn có thu nhập cao nhất, công ti đó phải cho
thuê mỗi căn hộ với giá trị bao nhiêu một tháng? (đồng/tháng)
A. 2 250 000
B. 2 450 000
C. 2 300 000
D. 2 225 000
Hướng dẫn giải:Gọi x (đồng/tháng) là số tiền tăng thêm của giá cho thuê mỗi

căn hộ. ( x ³ 0)
2x

Khi đó số căn hộ bị bỏ trống là: 100000 (căn hộ).
Khi đó, số tiền công ti thu được là:
Bảng biến thiên
x
0
250 000
T’
+
0
2 250 000
T

+¥

-

T ( x) = T ( 250000) .
Do đó max
x³ 0

Vậy để có thu nhập cao nhất thì số tiền cho thuê một căn hộ mỗi tháng là

19


2 250 000 đồng. Đáp án A.
Ví dụ 6(Đề thi thử THPT QG Triệu Sơn 4) Đường dây điện 110KV kéo từ trạm

phát (điểm A) trong đất liền ra Côn Đảo (điểm C). biết khoảng cách ngắn nhất từ
C đến B là 60km, khoảng cách từ A đến B là 100km, mỗi km dây điện dưới
nước chi phí là 5000 USD, chi phí cho mỗi km dây điện trên bờ là 3000 USD.
Hỏi điểm G cách A bao nhiêu để mắc dây điện từ A đến G rồi từ G đến C chi phí
ít nhất. [ 1]
A: 40km
B: 45km
Hướng dẫn giải:
Gọi BG = x(0 < x < 100) ⇒ AG = 100 − x
Ta có GC = BC 2 + GC 2 = x 2 + 3600
Chi phí mắc dây điện:

C: 55km

D: 60km

f (x) = 3000.(100 − x) + 5000 x 2 + 3600

Khảo sát f(x) ta được đáp án C.
Ví dụ 7: Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ một
điểm A trên bờ đến một điểm B trên một hòn đảo. Hòn đảo
cách bờ biển 6km. Giá để xây đường ống trên bờ là
50.000USD mỗi km, và 130.000USD mỗi km để xây dưới
nước. B’ là điểm trên bờ biển sao cho BB’ vuông góc với bờ
biển. Khoảng cách từ A đến B’ là 9km. Vị trí C trên đoạn
AB’ sao cho khi nối ống theo ACB thì số tiền ít nhất. Khi đó
C cách A một đoạn bằng:
A. 6.5km
B. 6km
C. 0km

Hướng dẫn giải
Đặt x = B ' C ( km) , x ∈ [0;9]

D.9km

BC = x 2 + 36; AC = 9 − x

Chi phí xây dựng đường ống là C ( x ) = 130.000 x 2 + 36 + 50.000(9 − x )


(USD )


− 5÷
2
 x + 36

25
5
2
2
2
⇔x=
C '( x ) = 0 ⇔ 13x = 5 x 2 + 36 ⇔ 169 x = 25( x + 36) ⇔ x =
4
2
5
 
C (0) = 1.230.000 ; C  ÷ = 1.170.000 ; C (9) ≈ 1.406.165
2

Vậy chi phí thấp nhất khi x = 2,5 . Vậy C cần cách A một khoảng 6,5km. Đáp án

Hàm C ( x ) , xác định, liên tục trên [0;9] và C '( x ) = 10000. 

13x

A.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.

20


Qua nhiều năm giảng dạy ở bậc THPT và luyện thi đại học. Từ năm 2017 bộ
môn toán có thay đổi hình thức thi trắc nghiệm. HS- GV không tránh được
những khó khăn trong việc học, dạy. Đặc biệt những câu trắc nghiệm ứng dụng
thực tế. Tôi đã sử dụng theo cách đã nêu trên để dạy cho học sinh. Các em cảm
thấy hào hứng không “ sợ sệt” khi gặp loại câu hỏi này. Đó cũng là thành công
bước đầu trong công tác giáo dục. Tôi cảm thấy tự tin, HS cũng vậy. Qua sáng
kiến kinh nghiệm này hy vọng các năm sau có kết quả tốt hơn.
Đối với học sinh khối 12, khi các em đã nhận thức một cách đầy đủ về hàm số,
các kiến thức liên trên thì dạng này có thể áp dụng một cách phổ biến và bài tập
ra cho học sinh mang tính phong phú, đa dạng và khó hơn.
Đối với học sinh ôn thi học sinh giỏi, ôn thi THPT QG nên phát triển thành
chuyên đề rõ ràng với những kiến thức thể loại đa dạng và phong phú, Giúp học
sinh phát hiện và có hướng giải quyết chính xác.
Kết quả nhận thấy số lượng học sinh khá, giỏi, trung bình đều rất hứng thú với
phương pháp giải toán này và bài tập ra ở dạng này các em giải khá thành thạo.
Tôi thấy học sinh của mình đã và đang hào hứng làm dạng toán này .
Kết quả thi thử lần 1 của lớp 12 A1(Khi chưa ôn luyện nhiều dạng câu hỏi thực
tế)

Môn Lớp Sĩ
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém
số
Toán 12A1 40 SL %
SL %
SL %
SL %
SL %
02 5% 20 50% 15 37,5% 03 7,5% 0
0%
Kết quả thi thử lần 1 của lớp 12 A1(Khi đã được ôn luyện nhiều dạng câu hỏi
thực tế)
Môn Lớp

Sĩ
số
Toán 12A1 40

Giỏi
SL
08

%
SL
20% 19

Khá

Trung bình

%
SL
47,5% 11

Yếu

%
SL
27,5% 02

Kém

% SL
5% 0

%
0%

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ:
3.1. Kết luận.
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân trong quá trình dạy và học Toán.
Qua thực tế giảng dạy ở trường THPT với nội dung và phương pháp nêu trên đã
giúp cho học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về cách giải một số dạng toán trên.
Thực tế cho thấy học sinh khá giỏi, trung bình đều hứng thú và làm được hầu hết
các dạng này. Mặc dù bản thân đã cố gắng nhiều, song đây là năm đầu tiên đổi
mới hình thức thi trắc nghiệm toán. Kinh nghiệm và kết quả chưa tổng hợp được

nhiều trong năm học này. Những điều tôi viết ra có thể không tránh khỏi sai sót

21


và hạn chế. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp và
bạn đọc nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy và học tập.
3.2. Kiến nghị.
Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều
hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu học
tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ .
Nhà trường cần tổ chức các bổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ sách
lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm
cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề. Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi,
học nhóm nâng cao chất lượng học tập. Sở giáo dục cần tiếp tục duy trì cho các
đơn vị trường viết sáng kiến kinh nghiệm hàng năm để giáo viên nâg cao nghiệp
vụ, giao lưu, học hỏi lẫn nhau. Những SKKN đạt giải cao, có chất lượng, nên in
ấn đưa về các trường để giáo
viên chúng tôi học tập, chia sẻ, để nền giáo dục càng phát triển tốt hơn.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

22


[ 1] Nguồn tài liệu từ các đề thi thử các trường bạn.
[ 2] Nguồn tài liệu Internet
[ 3] Tài liệu: Hướng dẫn TN toán của tác giả Nguyễn Bá Tuấn – ĐHQG Hà
Nội.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 30 tháng 4 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Lê Nguyên Huấn

23


DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Lê Nguyên Huấn
Chức vụ và đơn vị công tác: Tổ trưởng chuyên môn- Trường THPT Triệu Sơn 5.

TT

1.

Tên đề tài SKKN

Ứng dụng tính chất đơn điệu
để giải phương trình, hệ

Cấp đánh giá xếp
loại

(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh; Tỉnh...)

Cấp tỉnh

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B, hoặc
C)

Xếp loại
B

Năm học đánh
giá xếp loại

2013- 2014

phương trình.

24


25