SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIÚP HỌC SINH LỚP 11 VẬN DỤNG CẤP SỐ NHÂN
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ

Người thực hiện: Lê Thị Hạnh
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực: Tốn học

THANH HỐ NĂM 2017


MỤC LỤC
I. MỞ ĐẦU
1.1.Lý do chọn đề tài 2
1.2.Mục đích nghiên cứu ......................................................................................3
1.3.Đối tượng nghiên cứu 3
1.4.Phương pháp nghiên cứu.................................................................................4
II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU...........................................................................5
2.1.Cơ sở lí luận.....................................................................................................5
2.2. Thực trạng.......................................................................................................5
2.2.1. Giới thiệu khái quát về trường.....................................................................5
2.2.2. Thực trạng trước khi nghiên cứu..................................................................6
2.3. Các biện pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề..............................................6
2.3.1. Cơ sở lý thuyết.............................................................................................7
2.3.2. Biện pháp đã sử dụng...................................................................................7
2.3.2.1. Bài tập ......................................................................................................7

Dạng 1: Sử dụng công thức tổng quát...................................................................7
Dạng 2: Sử dụng công thức tổng n số hạng đầu của cấp số nhân.......................12
2.3.2.2. Bài toán vận dụng...................................................................................14
2.4. Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm...................................................................14
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.....................................................................17
3.1. Kết luận.........................................................................................................17
3.1. Kiến nghị.......................................................................................................17
TÀI LIỆU THAM KHẢO

2


I. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Nghị quyết hội nghị Trung ương VIII khóa XI chỉ đạo: “Giáo dục và đạo
tạo là Quốc sách hàng đầu, là sự nghiệp của Đảng và Nhà nước và của toàn dân.
Đầu tư cho giáo dục là đầu tư phát triển, được ưu tiên đi trước cho các chương
trình, kế hoạch phát triển KT-XH; phát triển giáo dục và đạo tạo là nâng cao dân
trí, đạo tạo nhân lực, bời dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ
yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người
học. Học đi đôi với hành, lý luận gắn với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp
với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”.
Nghị quyết hội nghị Trung ương VIII khóa XI đề ra mục tiêu: “Đối với giáo
dục phổ thông tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng
lực cơng dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho
học sinh. Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởng
truyền thống đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực
hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn, phát triển khả năng sáng tạo và tự học,
khuyến khích học tập suốt đời, hoàn thành đào tạo giáo dục phổ thông giai đoạn
sau 2015”.

Đào tạo những con người phát triển toàn diện, có tư duy sáng tạo, có năng
lực thực hành giỏi, có khả năng đáp ứng đòi hỏi ngày càng cao trước yêu cầu
đẩy mạnh công nghiệp hóa – hiện đại hóa đất nước gắn liền với phát triển nền
kinh tế tri thức và xu hướng toàn cầu hóa là nhiệm vụ cấp bách đối với ngành
giáo dục nước ta hiện nay. Để thực hiện được nhiệm vụ đó thì sự nghiệp giáo
dục cần được đổi mới. Cùng với những thay đổi về nội dung, cần có những đổi
mới căn bản về tư duy giáo dục và phương pháp dạy học.
Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong
nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất và
đời sống với vai trò đặc biệt. Toán học trở nên thiết yếu đối với mọi ngành khoa
học, góp phần làm cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại và văn minh hơn.
Mơn Tốn với vai trò cung cấp kiến thức kỹ năng, phương pháp góp phần xây
dựng nền tảng văn hóa phổ thông của con người lao động trong thời kỳ đổi mới
với việc thực hiện nguyên lý giáo dục: “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp
với lao động sản xuất, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và xã
hội”, cần phải quán triệt trong mọi trường hợp để hình thành mối quan hệ mật
thiết giữa Toán học và c̣c sống. Tuy nhiên, những ứng dụng của Tốn học vào
thực tiễn trong chương trình SGK, cũng như trong các đề thi THPT Quốc Gia
của những năm trước đây của mơn Tốn chưa đề cập nhiều. Đờng thời những

3


bài tốn có nợi dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao đợng và sản xuất cịn được
trình bày rất ít trong chương trình Tốn phổ thơng.
Mặt khác, bắt đầu từ năm học 2016-1017 kì thi THPT Quốc gia sử dụng
hình thức thi trắc nghiệm cho hầu hết các mơn học trong đó có mơn Tốn thực
chất là mợt cuộc cách mạng trong đánh giá để thực hiện Nghị quyết 29-NQ/TW
năm 2013 về đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục, phù hợp với xu thế của thời
đại ngày nay khi kiểm tra, đánh giá trên máy tính và online dần phổ biến trong

kỷ nguyên số. Tuy nhiên nó cũng là cái khó khăn trước mắt cho giáo viên dạy
Tốn( vì trước đây các thầy cơ đang dạy học sinh theo hướng làm bài tự luận).
Để giúp giáo viên giải quyết khó khăn này Bộ Giáo dục và Đào tạo đã giới thiệu
các đề thi minh họa, trong cấu trúc của đề thi đó có nhiều câu về bài toán thực
tế. Vào năm học 2017-2018 chương trình thi THPT Quốc Gia gồm cả hai khối
lớp 11 và 12 tiến tới nợi dung thi tồn cấp. Vì vậy, việc tăng cường các bài tốn
có nợi dung thực tiễn vào q trình dạy học mơn Tốn ngay từ lớp 11 năm học
2016-2017 là rất cần thiết và có vai trò rất quan trọng trong nhiệm vụ giáo dục
của nước ta hiện nay.
Nếu xây dựng được hệ thống các bài toán có nội dung thực tiễn ứng dụng
kiến thức Đại số và Giải tích lớp 11 THPT và có phương pháp tổ chức dạy
học sinh giải các bài tốn này mợt cách thích hợp thì góp phần gây hứng thú
trong học tập củng cố kiến thức Đại số và Giải tích lớp 11 THPT, thấy được ứng
dụng thực tế của Toán học, qua đó giúp học sinh hiểu rõ được mối quan hệ chặt
chẽ giữa Toán học và thực tiễn.
Trong chương trình Tốn học 11 chương dãy số, cấp số cợng và cấp số nhân
được phân phối thời gian ít đặc biệt với bài cấp số nhân chỉ có hai tiết nhưng lại
có rất nhiều bài toán thực tế sử dụng phần này để giải. Do đó, tôi đã lựa chọn đề
tài:“Giúp học sinh lớp 11 vận dụng cấp số nhân giải một số bài toán thực tế’’.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Ứng dụng kiến thức cấp số nhân trong chương trình Đại số và Giải tích lớp
11 để xây dựng hệ thống bài tập có nội dung thực tế giúp học sinh củng cố kiến
thức phần cấp số nhân, giải quyết được các bài tập có liên quan, đồng thời góp
phần tạo hứng thú học tập cho học sinh, giúp học sinh thấy được mối quan hệ
giữa Toán học với thực tiễn.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Trong đề tài này, đối tượng nghiên cứu của tôi là khai thác một số bài tốn
có nợi dung thực tiễn liên quan đến cấp số nhân trong chương trình Đại số và
Giải tích 11.
1.4. Phương pháp nghiên cứu


4


Để trình bày sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã sử dụng phối kết hợp nhiều
phương pháp như: nghiên cứu tài liệu, thuyết trình, quan sát, điều tra cơ bản,
thực nghiệm so sánh, phân tích kết quả thực nghiệm, … phù hợp với mơn học
tḥc lĩnh vực Tốn học.

5


II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
2.1. Cơ sở lý luận
Toán học có ng̀n gốc thực tiễn. Tốn học là khoa học nghiên cứu về các
quan hệ số lượng, hình dạng và lơgíc trong thế giới khách quan. Tốn học là
khoa học nghiên cứu về cấu trúc số lượng mà người ta có thể trang bị cho một
tập hợp bằng một hệ tiên đề. Những quan hệ về số lượng được hiểu theo mợt
nghĩa rất tổng qt và trừu tượng. Tốn học không chỉ bắt nguồn từ thực tiễn mà
đồng thời nó cũng có khả năng phản ánh thực tiễn một cách rất đa dạng, tồn
diện. Tốn học nghiên cứu những mối quan hệ số lượng và hình dạng không
gian của thế giới khách quan. Tốn học có vai trị rất quan trọng và đựợc ứng
dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công
nghệ, kinh tế, y học, vật lý, khí tượng thủy văn, cơng nghệ thơng tin, khai thác
dầu khí, qn sự, kỹ thuật mật mã, thiên văn học, tài chính ngân hàng
Theo Từ điển Tiếng Việt, với nghĩa danh từ, “thực tiễn” (cũng đồng nghĩa
với "thực tế") là "tổng thể nói chung những gì đang tồn tại, đang diễn ra trong tự
nhiên và trong xã hội, về mặt có quan hệ đến đời sống con người", với nghĩa
động từ “thực tiễn” được hiểu là "những hoạt động của con người, trước hết là
lao động sản xuất, nhằm tạo ra những điều kiện cần thiết cho sự tồn tại của xã

hội (nói tổng quát)" Như vậy, thực tế là tồn tại khách quan, có thể chưa có sự tác
động của con người nhưng thực tiễn là có hoạt động của con người cải tạo, biến
đổi thực tế nhằm mợt mục đích nào đó.
Vận dụng toán học vào thực tiễn thực chất là vận dụng tốn học vào giải
quyết mợt tình huống thực tế; tức là dùng những cơng cụ tốn học thích hợp để
tác đợng, nghiên cứu khách thể nhằm mục đích tìm mợt phần tử chưa biết nào
đó, dựa vào một số phần tử cho trước trong khách thể hay để biến đổi, sắp xếp
những yếu tố trong khách thể, nhằm đạt một mục đích đã đề ra.
2.2. Thực trạng
2.2.1. Giới thiệu khái quát về trường
Trường THPT Đặng Thai Mai được thành lập ngày: 20/08/2001, theo quyết
định số: 2109/QĐ-UB của Chủ tịch UBND Tỉnh Thanh Hố. Trường nằm ven
quốc lợ 1A, tḥc địa bàn xã Quảng Bình, huyện Quảng Xương, tỉnh Thanh
Hóa, nơi đa số phụ huynh học sinh làm nông nghiệp, điều kiện kinh tế còn gặp
nhiều khó khăn. Ban đầu trường hoạt động theo mô hình trường bán công, chất
lượng đầu vào của học sinh thấp, chủ yếu là học sinh trung bình, yếu. Mặc dù
ngày 31 tháng 5 năm 2010 chủ tịch tỉnh Thanh hóa có quyết định chuyển đổi
trường THPT Đặng Thai Mai sang hình thức công lập nhưng chất lượng đầu vào
của học sinh vẫn còn thấp so với các trường trong huyện.

6


Trong những năm gần đây nhà trường cũng đã có nhiều thành tích nổi bật
như: Năm học 2013 – 2014 được UBND Tỉnh Thanh Hóa tặng bằng khen - QĐ
số 3645/QĐ- UBND, ngày 30/10/2014. Năm học 2014 - 2015 đón cờ thi đua của
UBND Tỉnh về đơn vị dẫn đầu, QĐ số 3335/QĐ UBND tỉnh Thanh Hoá ngày
1/9/2015, năm học 2015-2016 nhiều cá nhân được công nhận chiến sĩ thi đua cơ
sở và Giám đốc Sở tặng giấy khen.
2.2.2 Thực trạng trước khi nghiên cứu

Ứng dụng toán học vào thực tế được coi là vấn đề quan trọng và cần thiết
trong dạy học ở trường phổ thông. Tuy nhiên việc rèn luyện vận dụng toán học
vào thực tế cho học sinh hiện nay chưa được đặt đúng mức, chưa đáp ứng được
yêu cầu cần thiết.
Trong thực tế dạy học hiện nay, giáo viên thường chỉ quan tâm chú trọng
việc hoàn thành những kiến thức lý thuyết theo quy định trong chương trình
sách giáo khoa mà chưa quan tâm đúng mức đến việc liên hệ với thực tiễn nên
nhiều học sinh cịn lúng túng bỡ trước những bài tốn có nợi dung thực tế.
Giảng dạy Tốn “cịn thiên về sách vở, hướng việc dạy Toán về việc giải
nhiều loại bài tập hầu hết không có nội dung thực tế”. Việc dạy học Tốn ở
trường phổ thơng nói chung hiện nay đang rơi vào tình trạng bị coi nhẹ thực
hành và ứng dụng toán học vào đời sống. Việc khai thác mối liên hệ giữa Tốn
học và thực tế cịn yếu.
Ở trường tôi với chất lượng đầu vào rất thấp, tư duy tự nhiên đang ở mức
trung bình là chủ yếu nên việc học Tốn cịn gặp nhiều khó khăn đặc biệt là đối
với bài tốn thực tế.
Theo tơi ngun nhân là:
Thứ nhất, sách giáo khoa hiện nay: số lượng bài tập mang nợi dung thuần
túy Tốn học cũng như kiến thức dành cho mỗi tiết học khá nặng khiến cho giáo
viên vất vả trong việc hoàn thành kiến thức bài giảng. Số lượng bài tốn, chất
lượng và quy mơ bài tốn ứng dụng vào thực tiễn cịn rất ít ở các chủ đề mơn
Tốn trong giảng dạy.
Thứ hai, khả năng liên hệ kiến thức Toán học vào thực tiễn của giáo viên
cịn gặp nhiều khó khăn.
Từ thực trạng trên tơi nhận thấy cần thiết xây dựng mợt hệ thống bài tốn
có nội dung thực tế và vận dụng vào dạy học Đại số và Giải tích 11nhằm đáp
ứng nguyên lý giáo dục “ học đi đôi với hành”, “lý luận gắn liền với thực tiễn”.
2.3. Các biện pháp sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Cơ sở lý thuyết


7


2.3.1.1. Định nghĩa cấp số nhân
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn ), trong đó kể từ số
hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó nhân với
mợt số không đổi q . Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
Nếu (un ) là cấp số nhân với công bội q , ta có công thức truy hời
un+1 = un .q ví i n ∈ N *
(1)
Đặc biệt : Khi q = 0 thì cấp số nhân có dạng u1,0,0,0,...,0,...
Khi q = 1 thì cấp số nhân có dạng u1,u1,u1,...,u1,...
Khi u1 = 0 thì cấp số nhân có dạng 0,0,0,0,...,0,...
2.3.1.2. Số hạng tổng quát
Nếu cấp số nhân (un ) có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng
quát (un ) được xác định bởi công thức : un = u1.q n−1 ví i n ≥ 2
2.3.1.3. Tổng n sớ hạng đầu của một cấp số nhân
Cho cấp số nhân (un ) với công bội q ≠ 1 . Đặt Sn = u1 + u2 + ... + un .
Khi đó Sn =

u1.( 1 − q n )

1− q
2.3.2. Biện pháp sử dụng
Để giúp học sinh có thể giải được các bài tập thực tế ứng dụng cấp số
nhân phần Đại số Giải tích 11 mợt cách dễ dàng tơi đã tiến hành các bước sau:
Bước 1: Khái quát lại những kiến thức lí thuyết cơ bản có liên quan
Bước 2: Đưa ra các bài tập cho các tình huống thực tế điển hình cho từng dạng
và yêu cầu học sinh giải dưới dạng tự luận (có hướng dẫn học sinh dùng máy
tính bỏ túi)

Bước 3: Đưa ra hệ thống câu hỏi dạng bài tập trắc nghiệm để học sinh vận dụng
củng cố kiến thức.
Bước 4: Kiểm nghiệm kết quả bằng hình thức kiểm tra 15 phút với đề trắc
nghiệm.
2.3.2.1. Bài tập
Dạng 1: Sử dụng công thức tổng quát
Ở dạng này tôi đưa ra một số bài tập minh họa sử dụng công thức số hạng
tổng quát của cấp số nhân.
Bài 1: Tục truyền rằng nhà Vua Ấn Độ cho phép người phát minh ra bàn cờ Vua
được lựa chọn một phần thưởng tùy theo sở thích. Người đó chỉ xin nhà thưởng
cho số thóc bằng số thóc được đặt lên 64 ô của bàn cờ như sau: Đặt lên ô thứ
nhất của bàn cờ một hạt thóc, tiếp đến ô thứ hai hai hạt thóc …cứ như vậy, số

8


thóc ở ô sau gấp đôi số thóc ở ô liền trước cho đến ơ cuối cùng. Tính số hạt thóc
ở ô thứ 8 .
Hướng dẫn:
Nếu gọi u1;u2 ;u3 ...u64 là số hạt thóc lần lượt trên 64 ô bàn cờ thì ta có
u1 = 1;u2 = 2;u3 = 4;u4 = 8... nên ta có cấp số nhân có số hạng đầu bằng 1 và công
bội bằng 2 . Từ đó ta sẽ tính được số hạt thóc ở ơ thứ 8
Giải
Ta có cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 1 và công bội q = 2
S ht thóc ở ô thứ 8 là: u8 = u 1.q 7 = 1.27 = 128
Bài 2: Một tế bào của mợt quần thể trong điều kiện ni cấy thích hợp cứ 20
phút lại phân đôi một lần. Hỏi một tế bào sau mười lần phân chia sẽ thành bao
nhiêu tế bào ?
Hướng dẫn:
Ban đầu ta có một tế bào

Sau một lần phân chia (một chu kỳ 20 phút ), thì tế bào gốc phân chia thành hai
tế bào
Sau hai lần phân chia thì ta có 4 tế bào
…

Giải:
Ta có cấp số nhân có u1 = 1 vµ q = 2
Số tế bào nhận được sau mười lần phân chia là u11 = u1.q10 = 1.210 = 1024 .
Bài 3: Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ Poloni 210 là 138 ngày (nghĩa là
sau 138 ngày khối lượng của ngun tố đó chỉ cịn lại mợt nửa). Tính khối
lượng còn lại của 20 gam Poloni 210 sau 7314 ngày (khoảng sau 20 năm).
9


Giải:
Gọi un (gam) là khối lượng còn lại của 20 gam Poloni 210 sau n chu kì bán rã.
Ta có 7314 gồm 53 chu kì bán rã.
1
Theo đề bài ta có cấp số nhân (un ) với u1 = 20 : 2 = 10 và công bội q =
2
52

1
nờn u53 = 10. ÷ ≈ 2,22.10−15 (gam).
2
Điều đáng quan tâm ở phần này là ta có thể sử dụng cấp số nhân để
giải bài tốn lãi ngân hàng
Giả sử bạn có một khoản tiền A đồng gửi vào một ngân hàng nào đó với
lãi suất cố định là r trong một năm. Sau một năm bạn sẽ có cả gốc lẫn lãi là
B1 = A + (tiÒn l· i) = A + r.A = A.( 1 + r ) . Cứ sau mỗi năm số tiền của bạn sẽ

được nhân thêm bội số ( 1 + r ) . Như vậy số tiền sau mỗi năm mà bạn có lập
thành một cấp số nhân với q = 1 + r .
n
Gọi Bn là số tiền bạn có sau n năm thì : Bn = A ( 1 + r ) .(1)

Bài 4
Một ngân hàng quy định như sau đối với việc gửi tiền tiết kiệm theo thể
thức có thời hạn: “Khi kết thúc kì hạn gửi tiền mà người gửi không đến rút tiền
thì tồn bợ số tiền (bao gờm cả vốn lẫn lãi) sẽ được chuyển gửi tiếp với kì hạn
như kì hạn mà người gửi đã gửi”.
Giả sử có một người gửi 10 triệu đồng với kì hạn một tháng vào ngân
hàng nói trên và giả sử lãi suất của loại kì hạn này là 0, 4%.
a) Hỏi nếu 6 tháng sau, kể từ ngày gửi, người đó mới đến ngân hàng để rút tiền
thì số tiền rút được (gồm cả vốn và lãi) là bao nhiêu?
b) Hỏi sau một năm, kể từ ngày gửi, người đó đến ngân hàng để rút tiền thì số
tiền được bao nhiêu?
Hướng dẫn
Gọi un là số tiền người đó rút được sau n tháng, kể từ ngày gửi ( n ∈ N ∗ ).
Khi đó theo giả thuyết ta có: un = un−1 + un−1.0,004 = un−1.1,004(ví i n ≥ 2)
Ta thấy (un ) là cấp số nhân có:
u1 = 107 + 107.0,004 = 107.1,004 và q=1,004
nên un = 107.1,004.( 1,004 )

n 1

= 107.( 1,004 )

n

n

Vậy số tiền mà người gửi nhận được sau n tháng được là : un = 107.( 1,004 )

10


Giải:
a) Sau 6 tháng số tiền người đó rút được là :
u6 = 107.( 1,004 ) ≈ 10242413 đồng.
6

b) Sau 1 năm (12 tháng) số tiền người đó nhận được là:
u12 = 107.( 1,004 )

12

≈ 10490702 đờng.

Cấp số nhân cịn được sử dụng để tính tốn các bài tốn của chăn nuôi
như sau:
Trong chăn nuôi, thông thường người ta cần giải quyết hai bài tốn sau:
+ Tính số lượng gia súc sau mỗi kỳ chăn nuôi từ tỉ lệ tăng đàn từng kỳ và số gia
súc ban đầu .
+ Tính số gia súc đầu kỳ các năm về trước nếu biết số lượng đàn gia súc và tỉ lệ
tăng đàn hàng năm.
Bài 5: Qua điều tra chăn ni bị ở huyện A cho thấy ở đây trong nhiều năm
qua, tỉ lệ tăng đàn bị hàng năm là 2%. Tính xem, sau mợt kế hoạch 3 năm, với
số lương đàn bị thống kê được ở huyện này vào ngày 1/1/2015 là 18.000 con thì
với tỉ lệ trên đây đàn bò sẽ đạt đến bao nhiêu con?
Thơng thường bài tốn sẽ được giải quyết như sau:
Sau mợt năm đàn bị ở huyện này tăng được là: 18.000 x 2%= 360 (con)

18.000 + 360 = 18.360 (con)
Nên tổng số bị sau mợt năm là
18.360 x 2%= 367 (con)
Sau 2 năm đàn bò lại tăng thêm
18.360 + 367 = 18.727 (con)
Nên tổng số bò sau năm thứ hai là
18.727 x 2%≈ 375 (con)
Sau 3 năm đàn bò lại tăng thêm
18.727 + 375 ≈ 19.102 (con)
Nên tổng số bị sau năm thứ ba là
Bài tốn được giải quyết xong. Tuy nhiên ta nhận thấy nếu u cầu bài
tốn là tính số con của đàn bị sau nhiều năm thì cách tính đi từng bước sẽ rất vất
vả, chậm và dễ bị nhầm lẫn. Bằng kiến thức về cấp số nhân ta tìm cách tính tổng
quát hơn.
Gọi u0 là tổng số gia súc thống kê ban đầu; q là tỉ lệ tăng hàng năm và un
*
là tổng số đàn gia súc sau n năm phát triển ( n ∈ N )

Ta có :
Số gia súc sau một năm phát triển là : u1 = u0 + u0 .q = u0 ( 1 + q )
Số gia súc sau hai năm phát triển là : u2 = u1 + u1.q = u1 ( 1 + q ) = u0 ( 1 + q )

2

Số gia súc sau ba năm phát triển là : u3 = u2 + u2 .q = u2 ( 1 + q ) = u0 ( 1 + q )

3

11



Như vậy, tổng số đàn gia súc sau mỗi năm phát triển lập thành cấp số
nhân với công bội 1 + q và u1 = u0 ( 1 + q )
Số gia súc sau n năm phát triển là :
un = u1 ( 1 + q )

n −1

= u0 ( 1 + q ) ( 1 + q )

n −1

= u0 ( 1 + q )

n

Vậy un = u0 ( 1 + q ) (2)
n

Áp dụng công thức này vào bài tốn trên ta có thể tính được số bị ở
huyện A sau 3 năm phát triển là :
u3 = u0 ( 1 + q ) = 18.000 ( 1 + 0,02 ) ≈ 19.102 ( con)
3

3

Bài 6: Kết quả kiểm kê vào cuối năm 2016 , cho biết số đàn bò ở huyện A là
580 con và mấy năm qua tỉ lệ tăng đạt 12%mỗi năm. Hãy tính xem vào đầu
năm 2014 (cách đó ba năm về trước) đàn bị ở đây là bao nhiêu con?
Thơng thường bài tốn được giảỉ bằng cách tính “lùi” số bị đầu năm

2016, đầu năm 2015,đầu năm 2014. Tuy nhiên ta thấy, gọi u0 là tổng số đàn gia
súc thống kê ban đầu năm 2014; q là tỉ lệ tăng hàng năm và un là tổng số đàn
gia súc sau n năm phát triển. Tổng số đàn gia súc sau mỗi năm phát triển lập
thành cấp số nhân.
un
n
Ta có công thức un = u0 ( 1 + q ) ⇒ u0 =
n
(1+ q)
Mà

q = 0,12 vµ u3 = 580

nên u0 =

u3

( 1 + q)

3

=

580

( 1 + 0,12 )

3

≈ 413 (con)


Với bài toán dân số ta vận dụng cấp số nhân thực hiện rất đơn giản và
dễ hiểu
Bài 7:Theo cục thống kê năm 2003 Việt Nam có 80.902.400 người và tỉ lệ tăng
dân số hàng năm là 1,47%. Nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi thì năm
2016 Việt Nam sẽ có số dân là bao nhiêu?
Hướng dẫn:
Gọi u0 là dân số năm thống kê
q là tỉ lệ tăng hàng năm
un là tổng số dân sau n năm ( n ∈ N * )

Ta có :
Tổng số dân sau một năm là : u1 = u0 + u0 .q = u0 ( 1 + q )
Tổng số dân sau hai năm là : u2 = u1 + u1.q = u1 ( 1 + q ) = u0 ( 1 + q )

2

12


Tổng số dân sau ba năm là: u3 = u2 + u2 .q = u2 ( 1 + q ) = u0 ( 1 + q )

3

Như vậy, tổng số dân sau mỗi năm lập thành cấp số nhân với công bội 1 + q và
u1 = u0 ( 1 + q )
n −1
n −1
n
Tổng số dân sau n năm là : un = u1 ( 1 + q ) = u0 ( 1 + q ) ( 1 + q ) = u0 ( 1 + q )


Vậy un = u0 ( 1 + q ) (3)
n

Giải:
Dân số Việt Nam năm 2016 là:
u3 = u0 ( 1 + q ) = 80.902.400(1 + 1,47%)3 ≈ 97.938.868 (người)
3

Bài 8 :Tỉ lệ giảm dân số hàng năm của nước Nga là 0,5%. Năm 1998 dân số
nước này là 146.861.000 người. Hỏi đến năm 2008 dân số nước này là bao
nhiêu?
Hướng dẫn :
Cấp số nhân ta sử dụng sẽ có công bội 1 − q
Dân số của Nga giảm sau n = 10 năm
Giải:
Dân số của Nga năm 2008 là:
u10 = u0 ( 1 − q ) = 146.861.000(1 − 0,5%)10 ≈ 139.680.985 (người)
Dạng 2: Sử dụng công thức tổng n số hạng đầu của cấp số nhân
Bài 9: Câu chuyện 1: “Một phần thưởng thú vị”
Một người nông dân được nhà Vua thưởng cho một số tiền trả trong 30
ngày và cho phép anh ta chọn một trong hai phương án :
Theo phương án 1, nhà Vua cho anh ta nhận 1 xu trong ngày thứ nhất, 2xu
trong ngày thứ hai, 4 xu trong ngày thứ ba,.. số tiền được nhận sau mỗi ngày
tăng gấp đơi. Cịn theo phương án 2: nhà Vua cho anh ta nhận ngày thứ nhất 1
đồng, ngày thứ hai 2mđồng, ngày thứ ba 3 đồng,…Mỗi ngày số tiền tăng thêm
một đồng. Biết 1 đồng bằng 12 xu. Hỏi phương án nào có lợi cho người nông
dân?
Theo cách tính đơn giản ta tìm số tiền mà người nông dân nhận được sau
30 ngày .

Theo phương án một, số tiền thưởng là tổng của cấp số nhân có u1 = 1; q = 2 nên
10

1(1 − 230 )
S1 = u1 + u2 + ... + u30 =
= 1.073.741.823 xu
1− 2

13


Theo phương án hai, số tiền thưởng là tổng của cấp số cợng có u1 = 1 vµ d = 1
30
(1 + 30) = 465 đồng hay S2 = 5580 xu.
2
Vậy người nông dân nên chọn phương án nào có lợi hơn?
nên S2 = u1 + u2 + ... + u30 =

Câu chuyện 2:
“Một hào đổi lấy năm xu”
Tương truyền, vào mợt ngày nọ, có
mợt nhà tốn học đến gặp một nhà tỉ
phú và đề nghị được “bán tiền” cho ông
theo công thức sau:
Liên tục trong 30 ngày, mỗi ngày nhà
tốn học “bán” cho nhà tỉ phú 10 triệu
đờng với giá một đồng ở ngày đầu tiên
và kể từ ngày thứ hai, mỗi ngày nhà tỉ
phú phải “mua” với giá gấp đôi của
ngày hôm trước. Không một chút đắn

đo, nhà tỉ phú đờng ý ngay tức thì, lịng
thầm cảm ơn nhà tốn học đã mang đến
cho ơng ta mợt cơ hội hốt tiền nằm mơ
cũng không thấy.
Hỏi: nhà tỉ phú đã lãi được bao nhiêu
trong cuộc mua bán kì lạ này? Và nhà
toán học của chúng ta có phải là một kẻ
ngốc nghếch mang đến cơ hội hốt tiền
nằm mơ cho nhà tỉ phú khơng?

Ta tính xem số tiền nhà toán học nhận được sau 30 ngày là tổng của cấp
số nhân có u1 = 1 vµ q = 2
1(1 − 230 )
S1 = u1 + u2 + ... + u30 =
= 1073,741823 (triệu đồng )
1− 2
Trong khi đó nhà tốn học chỉ phải bỏ ra 300 triệu đờng .Vậy nhà tỉ phú lỗ
hay lãi …?
Bài 10: Bài toán tiền công khoan giếng :
Giá của mét khoan đầu tiên là 60.000 đ và kể từ mét khoan thứ hai, giá
của mỗi mét sau tăng thêm 7% giá của mét khoan ngay trước nó. Hỏi nếu khoan
50m thì hết bao nhiêu tiền.
14


Giải:
Gọi un là giá của mét khoan thứ n
Khi đó un = un −1 + un −1 .7% = un −1 ( 1 + 0,07 ) = un −1 .1,007
Số tiền cần phải trả cho 50m khoan giếng là:
S50 = u1 + u2 + ... + u50


( 1,07 )
= 60.000

50

−1
≈ 24.391.736 đồng.
1,07 − 1

2.3.2.2. Bài tập vận dụng
Câu 1: Một con Amip sau một giây nó tự phân đôi thành hai con Amip. Và cứ

sau mỗi giây, mỗi Amip con ấy tự phân ra thành hai. Tính xem sau 15 giây có tất
cả bao nhiêu con Amip.
A. 32768
B. 16384
C. 32767
D. 16383
Câu 2: Tỉ lệ tăng dân số của Indonexia hàng năm là 1,5%. Năm 1998 dân số

nước này là 212.942.000. Đến năm 2006 dân số nước này là bao nhiêu? (chọn
đáp án gần đúng nhất)
A. 230 triệu người
B. 240 triệu người
C. 234 triệu người
D. 243 triệu người
Câu 3: Một người gửi 58 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0,7% tháng.

Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau một tháng số tiền lại

được nhập vào vốn ban đầu. Nếu không rút ra và lãi suất không thay đổi thì sau
8 tháng người đó nhận được số tiền là bao nhiêu( triệu đồng)?
A. 61
B. 64
C. 60
D. 65
Câu 4: Giá của mét khoan đầu tiên là 80.000 đ và kể từ mét khoan thứ hai, giá

của mỗi mét sau tăng thêm 6% giá của mét khoan ngay trước nó . Hỏi nếu khoan
20m thì hết bao nhiêu tiền.
A. 2.942.848
B. 3.095.747
C. 2.300.200
D. 3.911.234
Câu 5: Dân số ở một phường của thành phố Thanh Hóa hiện nay khoảng 10000

người .Người ta dự tính 2 năm nữa dân số ở đây sẽ là 10404 người. Hỏi sau một
năm đầu tiên dân số của phường đó tăng bao nhiêu người(chọn đáp án gần đúng
nhất)
A. 200
B. 190
C. 210
D. 190
Lưu ý: Các bài tập phần này tôi yêu cầu học sinh phải có máy tính bỏ túi để tính
tốn nhanh chóng và thuận lợi
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Để kiểm tra hiệu quả của việc phân loại các dạng bài tập cơ bản và đưa ra
cách giải tổng quát sau đó mới cho HS làm các bài tập cụ thể so với việc không
15



phân loại bài tập và không đưa ra công thức tổng quát mà cho HS làm các bài
tập cụ thể ngay tôi đã tiến hành thực nghiệm như sau:
Năm học 2016 – 2017 tôi đã tiến hành thực nghiệm ở 2 lớp có sĩ số và lực
học tương đương và có mức độ tư duy không tốt:
- Lớp thực nghiệm 11A9
- Lớp đối chứng 11A8
Nội dung của bài kiểm tra như sau:
Bài kiểm tra thực nghiệm.
Câu 1: Cho cấp số nhân ( un ) , biết: u1 = 3; u2 = −6 . Khi đó u3 bằng
A. u3 = 12

B. u3 = −12

C. u3 = −18

D. u3 = 18

Câu 2: Cho cấp số nhân có u1 = 1; q = −2 . Khi đó S10 = ?
A. 1024

B. 341

C. 1023

D. -341

1
; u5 = 16 . Tìm q và số hạng đầu tiên của CSN?
4

1
1
1
1
A. q = ; u1 =
B. q = − , u1 = −
2
2
2
2
1
1
C. q = 4, u1 =
D. q = −4, u1 = −
16
16
Câu 4: Cho CSN có u1 = 3; q = −2 . Số 192 là số hạng thứ bao nhiêu?
A. số hạng thứ 5
B. số hạng thứ 6
C. số hạng thứ 7
D. Đáp án khác
Câu 3: Cho CSN có u2 =

Câu 5: Cho CSN có u1 = −1; u6 = 0,00001 . Khi đó q và số hạng tổng quát là?
A. q =

1
−1
, un = n−1
10

10

−1
1
, un = n−1
C. q =
10
10

B. q =

−1
, un = −10n−1
10

−1
( −1)
D. q =
, un = n−1
10
10

n

Câu 6: Tế bào E. Coli trong điều kiện ni cấy thích hợp cứ 20 phút lại phân

đôi một lần. Có 105 tế bào thì sau hai giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào ?
A. 6.400.000
B. 2.105
C. 3.200.000

D. 1010
Câu 7: Một cơ sở chăn nuôi lợn có 1.000 con, tỉ lệ tăng đàn hàng năm là 2%.

Tính xem sau 3 năm, đàn lợn sẽ đạt được bao nhiêu con?
A. 1.061
B. 1.060
C. 1.062

D. 1.063

Câu 8: Một người gửi 10 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0,8% năm.

Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau một năm số tiền lại

16


được nhập vào vốn ban đầu. Nếu không rút ra và lãi suất không thay đổi thì sau
12 năm người đó nhận được số tiền là bao nhiêu?
A. 11 triệu đồng
B. 1,1 triệu đồng
C. 10 triệu đồng
D. 100000
Câu 9: Biết rằng vào năm 2014 tỉ lệ CO2 trong khơng khí là 373.10 −6 và tỉ lệ

tăng theo hàng năm với mức là 0,4% năm. Vậy vào năm 2004 tỉ lệ thể tích khí
cabonic trong khơng khí là A. Vậy A.106 ≈ ?
A. 350
B. 352
C. 356

D. 358
Câu 10: Bạn A muốn vài món quà tặng mẹ nhân dip 8/3. Bạn quyết định tiết

kiệm tiền từ ngày 1/3 của năm đó với ngày đầu là 50.000 đồng và ngày sau cao
hơn ngày trước là 5% số tiền của ngày ngay trước đó. Hỏi đến đúng ngày 8/3
(7 ngày) bạn A có đủ tiền để mua quà cho mẹ không? Biết món quà bạn A dự
định mua là 400.000 đồng.
A. Không đủ tiền mua
B. Đủ mua và dư 7000
C. Đủ mua và dư 7700
D. Đủ mua và không dư
Đáp án chấm
1
A

2
B

3
C

4
C

5
D

6
A


7
A

8
A

9
D

10
B

Kết quả của bài kiểm tra thể hiện cụ thể như sau:
Bài dạy cho lớp thực nghiệm được tiến hành theo kiểu dạy xong lí thuyết,
bước tiếp theo là đưa ra các dạng toán cơ bản, các bài toán có ứng dụng thực tế
và cách giải sau đó mới cho làm bài cụ thể.
Bài dạy cho lớp đối chứng được thiết kế theo kiểu dạy thơng thường là
dạy xong lí thuyết cho làm ngay các bài tập cụ thể.
Sau đó tiến hành thực nghiệm tôi đã cho cả 2 lớp làm các bài kiểm tra 15 phút
theo hình thức trắc nghiệm như nhau và kết quả thu được :
Lớp
Số
Điểm dưới TB
Khá
Giỏi
bài
TB (<5)
(5 - 6.5)
(7 - 8.5)
(9 - 10)

Số bài %
Số bài %
Số bài %
Số bài %
TN(11A9) 37
2
5.4
22
59.5 9
24.3 4
10.8
ĐC(11A8) 36
10
27.8 24
66.7 2
5.5 0
0.0
Qua bảng trên, có thể thấy rằng kết quả học tập của lớp 11A9 có sự chênh
lệch so với 11A8. Số lượng học sinh đạt điểm khá, trung bình cao hơn, số lượng
học sinh đạt điểm yếu, kém ít hơn.
Đa số lớp 11A9 (lớp thực nghiệm) hiểu bài, 90% học sinh tiếp thu nhanh
và thực hành giải nhanh các bài tập trắc nghiệm.
Lớp 11A8 (lớp đối chứng) 70% các em nắm được bài.

17


Đối với lớp thực nghiệm khơng khí học tập sơi nổi , đa phần các em rất
hứng thú với việc học tốn gắn liền với thực tế, khơng có cảm giác nhàm chán
cứng nhắc và khô khan.


18


III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Bài tập thực tế rất nhiều và đa dạng, nhưng trong sáng kiến kinh nghiệm
trên tôi đã đưa một số bài tập có thể vận dụng cấp số nhân trong chương trình
lớp 11 để giải. Đối với mỗi dạng(chỉ là một số dạng thường gặp) tôi hướng dẫn
học sinh giải tự luận nhớ công thức và vận dụng vào bài tập trắc nghiệm. Đây là
phần bài tập khơng mới nhưng lại ít được đề cập đối với học sinh trường tôi
nhưng với sự kiên trì và ham học hỏi của cả giáo viên, học sinh nên hiệu quả
mang lại rất khả quan. Bằng chứng cho hiệu quả kết quả ở bài kiểm tra có sự
khác biệt ở 2 lớp, lớp thực nghiệm đã có kết quả cao hơn hẳn so với lớp đối
chứng, đồng thời khi học phần này sinh rất hứng thú và thấy được các ứng dụng
của toán học trong đời sống thực tế.
Dựa vào kết quả thực nghiệm như trên tôi rút ra được kết luận: “Việc đưa
ra các dạng bài tập thực tế và hướng dẫn học sinh vận dụng cấp số nhân để giải
là điều cần thiết để giúp các em HS hứng thú học Toán và làm nhanh các bài tập
trắc nghiệm, đặc biệt là tạo tiền đề tốt để các em tự tin với các bài toán thức tế ở
lớp 12”
Đề tài này có thể mở rộng thêm với nhiều bài tập khác và có thế áp dụng
cho học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia.
Kiến thức khoa học nói chung và kiến thức toán học nói riêng rất phong
phú và đa dạng. Kinh nghiệm và vốn tích lũy của bản thân tơi trong đang cịn ít.
Do đó, bài viết khơng thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất kính mong được sự
đóng góp ý kiến của các độc giả và đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn.
3.2. Kiến nghị
Đối với giáo viên : Trong các giờ học, cần thường xuyên kiểm tra học
sinh phần lí thuyết và yêu cầu 100% học sinh phải có máy tính bỏ túi. Trong

khi học sinh làm bài tập, giáo viên cần quan sát và đến chỗ ngồi của các em,
đọc các bài nháp của các em để có thể định hướng, giúp đỡ, tháo gỡ khó khăn
chỉnh sửa ngay các sai lầm trong bài làm.
Đối với nhà trường: Trong các buổi họp tổ chuyên môn, tăng cường các
chủ đề toán ứng dụng thực tế hoặc các chủ đề mà giáo viên còn gặp khó khăn
trong giảng dạy cũng như học sinh còn lúng túng, chưa biết cách để làm các bài
tập để trao đổi kinh nghiệm giảng dạy cũng như hệ thống các bài tập hay đối
với từng lớp trong các buổi họp tiếp theo.
Trên đây chỉ là những kiến nghị mang tính chủ quan của tơi, nhưng cũng
rất mong được các cấp có thẩm quyền xem xét và sự góp ý của các đồng nghiệp.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2017
19


Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung của
người khác.

Lê Thị Hạnh

TÀI LIỆU THAM KHẢO
20


[1] Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11, NXB Giáo dục.
[2] Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 nâng cao, NXB Giáo dục.
[3] Sách bài tập Đại số và giải tích 11, NXB Giáo dục.
[4] Sách bài tập Đại số và giải tích 11 nâng cao, NXB Giáo dục.

[5] Nghị Quyết số 29-NQ/TW, BCH TW Đảng khóa XI.
[6] Tăng cường các bài tốn có nội dung thực tiễn vào dạy học Đại số và Giải
tích nâng cao 11. Trang

DANH MỤC
21


CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: LÊ THỊ HẠNH
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên

TT

Tên đề tài SKKN

1.

Một vài biện pháp vận dụng
trong công tác chủ nhiệm học
sinh THPT

Kết quả
Cấp đánh
đánh giá
Năm học
giá xếp loại
xếp loại đánh giá xếp

(Phòng, Sở,
(A, B,
loại
Tỉnh...)
hoặc C)
Sở GD &
C
2008 - 2009
ĐT Thanh
Hóa

22