Chơng 3
Tính ổn định và ổn định hoá của hệ
điều khiển tuyến tính có trễ biến thiên
Chơng này là một trong hai nội dung chính của luận văn.Các kết quả của nó là mở
rộng của các kết quả trong chơng II cho trờng hợp hệ có trễ biến thiên và hàm trễ là
không khả vi.Nội dung của chơng này gồm hai phần: Phần thứ nhất là đa ra một số
tiêu chuẩn ổn định và ổn định hóa cho hệ điều khiển tuyến tính có trễ biến thiên và hệ
không chắc chắn có trễ biến thiên với điều kiện hàm trễ không khả vi .Phần thứ hai đa
ra các tiêu chuẩn ổn định mũ và ổn định hóa đợc dạng mũ của hệ điều khiển tuyến
tính có trễ biến thiên và hệ không chắc chắn có trễ biến thiên trong đó hàm trễ không
khả vi .

3.1

Tiêu chuẩn ổn định và ổn định hoá của hệ điều khiển
tuyến tính có trễ biến thiên

Xét hệ điều khiển tuyến tính có trễ biến thiên sau:


x(t)

= A0x(t) + A1x(t h(t)) + Bu(t),

x(t) = (t),

t [h2, 0],
1

t

0,

(3.1)


2
Với x(t) Rn là véctơ trạng thái của hệ, u(t) Rm là hàm điều khiển .A0 , A1 và
B là ma trận hằng có số chiều thích hợp . Còn (t)là hàm điều kiện ban đầu thỏa mãn
(t) C([h2, 0], Rn ) và h(t) là trễ biến thiên thỏa mãn điều kiện 0

h1

h(t)

h2 .

Ta có định lý sau:
Định lý 3.1. Hệ tuyến tính có trễ biến thiên (3.1) với u(t) = 0 là ổn định tiệm cận
nếu tồn tại các ma trận đối xứng xác định dơngP, Q, R, Z và bất kì các ma trận
H1 , H2, H3 , H4 thỏa mãn


T
T
T
T
T
T
P A1 + R + H1 A1 + A0 H2
A0 H3

A0 H4 H1




T
T
T
T
T
T

H2 A1 + A1 H2 (R + Z) A1 H3 + Z A1 H4 H2
< 0,
=




(Q + Z)
H3




(3.2)

Trong đó
= P A0 + AT0 P + Q R + H1A 0 + AT0 H1T ,
= h22 R + (h2 h1 )2Z (H4T + H4 ).

Chứng minh. Xét hàm Lyapunov của hệ (3.1) sau:
t

t

T

t

T

V (t, xt) = x (t)P x(t) +

x T (u)Rx(u)duds


x (s)Qx(s)ds + h2
th1

th2
th1

s

t

x T (u)Z x(u)duds.


+(h2 h1 )

th2

s

Ta thấy
1 x(t)

2

V (t, xt)

2 xt 2 , t

0

với
1 = min (P ),
1
1
2 = max (P ) + h1 max (Q) + h32max (R) + (h2 h1 )3 max (Z).
2
2


3

LÊy ®¹o hµm cña V (.) theo t däc theo nghiÖm x(t) cña hÖ (3.1) ta cã,
V˙ (t, xt)
= 2xT (t)P x(t)
˙ + xT (t)Qx(t) − xT (t − h1 )Qx(t − h1 ) + h22 x˙ T (t)Rx(t)

˙
t

x˙ T (s)Rx(s)ds
˙
+ (h2 − h1 )2 x˙ T (t)Z x(t)
˙

− h2
t−h2

t−h1

x˙ T (s)Z x(s)ds.
˙

− (h2 − h1 )
t−h2

= 2xT (t)P (A0x(t) + A1x(t − h(t))) + xT (t)Qx(t) − xT (t − h1 )Qx(t − h1 )
t

+ x˙

T

(t)[h22R

2


x˙ T (s)Rx(s)ds
˙

+ (h2 − h1) Z]x(t)
˙ − h2
t−h2
t−h1

x˙ T (s)Z x(s)ds.
˙

− (h2 − h1 )
t−h2

V˙ (t, xt)
= xT (t)[P A0 + AT0 P + Q]x(t) + x˙ T (t)[h22R + (h2 − h1 )2 Z]x(t)
˙
t

+ 2xT (t)P A1x(t − h(t)) − xT (t − h1 )Qx(t − h1 ) − h2

x˙ T (s)Rx(s)ds
˙
t−h2

t−h1

x˙ T (s)Z x(s)ds.
˙


− (h2 − h1 )
t−h2

Theo bæ ®Ò (..),ta cã
t

t
T

−h2

x˙ (s)Rx(s)ds
˙

x˙ T (s)Rx(s)ds
˙

−h(t)

t−h2

t−h(t)
t

−

t

T


x(s)ds
˙

R

x(s)ds
˙

t−h(t)

t−h(t)
T

− x(t) − x(t − h(t))

R x(t) − x(t − h(t)) .
(3.3)

Vµ


4
t−h1

x˙ T (s)Z x(s)ds
˙

− (h2 − h1 )
t−h2


t−h1

x˙ T (s)Z x(s)ds
˙

−(h(t) − h1 )
t−h(t)
t−h1

t−h1

T

x(s)ds
˙

−

Z

t−h(t)

x(s)ds
˙
t−h(t)
T

− x(t − h1 ) − x(t − h(t))

Z x(t − h1 ) − x(t − h(t)) .

(3.4)

Tõ (3.3) vµ (3.4) suy ra,

V˙ (t, xt)
xT (t)[P A0 + AT0 P + Q]x(t) + x˙ T (t)[h22R + (h2 − h1 )2Z]x(t)
˙
+ 2xT (t)P A1x(t − h(t)) − xT (t − h1 )Qx(t − h1 )
T

− x(t) − x(t − h(t))

R x(t) − x(t − h(t))
T

− x(t − h1 ) − x(t − h(t))

Z x(t − h1 ) − x(t − h(t)) .

xT (t)[P A0 + AT0 P + Q − R]x(t) + x˙ T (t)[h22R + (h2 − h1 )2 Z]x(t)
˙
+ xT (t)[P A1 + R]x(t − h(t)) + xT (t − h(t))[AT1 P + R]x(t)
− xT (t − h(t))[R + Z]x(t − h(t))
− xT (t − h1 )[Q + Z]x(t − h1) + xT (t − h1 )Zx(t − h(t))
+ xT (t − h(t))Zx(t − h1 )
V˙ (t, xt)

ξ T (t)∆ξ(t).
(3.5)


Trong ®ã
ξ T (t) = xT (t) xT (t − h(t))

xT (t − h1 ) x˙ T (t) ,


5

vµ


P A + AT0 P + Q − R P A1 + R
0
 0


−(R + Z)
Z
∆=


−(Q + Z)




0
0
0
h22R + (h2 − h1)2 Z





 (3.6)




H¬n n÷a,nÕu x(t) lµ nghiÖm cña hÖ (3.1) th× víi bÊt k× H1 ,H2 ,H3 vµ H4 ,ta cã:
2ξ T (t)H[−x(t)
˙ + A0x(t) + A1x(t − h(t))] = 0

hay
ξ T (t)Σξ(t) = 0.

ë ®©y,

vµ

 
H
 1
 
H2 

H=
 ,
H3 
 

H4





Σ=




H1 A0 + AT0 H1T H1 A1 + AT0 H2T AT0 H3T
H2 A1 +

AT1 H2T

AT1 H3T
0

AT0 H4T − H1





− H2 
.


−H3


T
−(H4 + H4 )
AT1 H4T

(3.7)

KÕt hîp (3.5) ,(3.6) vµ (3.7) ,ta ®−îc
V˙ (t, xt)

ξ T (t)Πξ(t),

Víi
 Π = ∆+Σ =
AT0 H3T
Ω P A1 + R + H1 A1 + AT0 H2T



H2 A1 + AT1 H2T − (R + Z) Z + AT1 H3T



−(Q + Z)


AT0 H4T

− H1


AT1 H4T

− H2

−H3
h22 R + (h2 − h1 )2 Z − (H4 + H4T )






.





6

Từ (3.2), ta thấy < 0,nên
V (t, xt)

min () x 2.

Do đó hệ (3.1) ổn định tiện cận Định lý đã đợc chứng minh.
Bây giờ ,ta xét sự ổn định của hệ (3.1) khi điều khiển ngợc u(t) = Kx(t). với
u(t) = Kx(t) ,khi đó hệ (3.1) trở thành



x(t)



x(t)

= (A0 + BK)x(t) + A1x(t h(t)),
= (t),

t

0,

(3.8)

t [h2, 0],

Định lý 3.2. Hệ trễ biến thiên (3.8) với K là ma trận điều khiển ngợc bất kì là ổn
định tiệm cận nếu tồn tại các ma trận đối xứng xác định dơngP, Q, R, Y1, Y2 , Z1 , Z2
và bất kì các ma trận






S
M
L
V

W
N
1
1
1
1
1
1






S2
M2
L2
V2
W2
N2













N = N3 , S = S3 , M = M3 , L = L3 , V = V3 , W = W3 ,












S4
M4
L4
V4
W4
N4






N5
S5
M5

L5
V5
W5
thỏa mãn:


=

11 12
T12 22



< 0.

(3.9)


7
Trong ®ã
∆11 = ∆1 + ∆2 + ∆T2 + ∆3 + ∆T3 ,


Q+R
0
0 0
P






 0
−R 0 0
0




∆1 =  0
,
0−Q 0 0





 0
0
0 0
0


P
0
0 0 h2 Y1 + h1 Y2 + (h2 − h1 )(Z1 + Z2 )
∆2 = N + S L + V − S M − L −(N + M + V ) 0 ,
∆3 = −W (A0 + BK) 0 −W A1 0 W ,
∆12 = h2 N h1 S (h2 − h1 )M (h2 − h1 )L (h2 − h1)V


,

∆22 = diag −h2Y1 −h1Y2 −(h2 − h1 )Z1 −(h2 − h1 )Z1 −(h2 − h1 )Z2 .
Chøng minh. Sö dông c«ng thøc Newton-Leibniz,ta cã c¸c ph−¬ng tr×nh d−íi ®©y

®óng víi bÊt k× c¸c ma trËn N, S, M, L, V
t

2ξ T (t)N x(t) − x(t − h2) −

x(s)ds
˙
= 0,

(3.10)

x(s)ds
˙
= 0,

(3.11)

t−h2
t

2ξ T (t)S x(t) − x(t − h1 ) −
t−h1

t−h(t)


2ξ T (t)M x(t − h(t)) − x(t − h2 ) −

x(s)ds
˙
= 0,

(3.12)

t−h2
t−h1
T

2ξ (t)L x(t − h1 ) − x(t − h(t)) −

x(s)ds
˙
= 0,

(3.13)

t−h(t)
t−h1

2ξ T (t)V x(t − h1) − x(t − h2 ) −

x(s)ds
˙
= 0,

(3.14)


t−h2

Víi
ξ T (t) = xT (t) xT (t − h1) xT (t − h(t)) xT (t − h2 ) x˙ T (t) .

Ph−¬ng tr×nh sau ®©y còng ®óng víi bÊt k× ma trËn W
2ξ T (t)W −(A0 + BK)x(t) + x(t)
˙ − A1x(t − h(t)) = 0.

(3.15)


8

B©y giê,chóng ta xÐt hµm Lyapunov cña hÖ (3.8) nh− sau:
t

t

T

T

V (t, xt) = x (t)P x(t) +
t−h2
t

xT (s)Rx(s)ds


x (s)Qx(s)ds +

t

t

t−h1
t

x˙ T (u)Y1 x(u)duds
˙
+

+

t−h2 s
t−h1
t

x˙ T (u)Y2 x(u)duds
˙
t−h1

s

x˙ T (u)[Z1 + Z2 ]x(u)duds.
˙

+
t−h2


s

Ta cã
2

λ1 x(t)

V (t, xt)

λ2 xt 2 , t

0

ë ®©y
λ1 = λmin (P ),
1
λ2 = λmax (P ) + h2λmax (Q) + h1 λmax (R) + [h22 λmax (Y1 ),
2
1
2
2
+ h1 λmax (Y2 )] + (h2 − h1 ) λmax (Z1 + Z2 ).
2
LÊy ®¹o hµm cña V (.) theo t däc theo nghiÖm x(t) cña hÖ (3.8) ta ®−îc,

V˙ (t, xt)
= 2x˙ T (t)P x(t) + xT (t)Qx(t) − xT (t − h2 )Qx(t − h2) + xT (t)Rx(t)
˙ + h1 x˙ T (t)Y2 x(t)
˙

− xT (t − h1 )Rx(t − h1 ) + h2 x˙ T (t)Y1 x(t)
t
T

x˙ T (s)Y1 x(s)ds
˙

+ (h2 − h1 )x˙ (t)[Z1 + Z2 ]x(t)
˙ −
t−h2
t

t−h1

x˙ T (s)Y2 x(s)ds
˙
−

−
t−h1

x˙ T (s)[Z1 + Z2 ]x(s)ds.
˙
t−h2

(3.16)

§Ó ý r»ng,
t−h1


x˙ T (s)[Z1 + Z2 ]x(s)ds
˙

−

t−h2
t−h(t)

t−h1

x˙ T (s)Z1 x(s)ds
˙
−

=−
t−h2

t−h1

x˙ T (s)Z1 x(s)ds
˙
−
t−h(t)

x˙ T (s)Z2 x(s)ds.
˙
t−h2

(3.17)



9

KÕt hîp (3.10)-(3.17) ,ta suy ra
V˙ (t, xt)
= 2x˙ T (t)P x(t) + xT (t)[Q + R]x(t) − xT (t − h2 )Qx(t − h2 )
˙
− xT (t − h1 )Rx(t − h1 ) + x˙ T (t)[h2Y1 + h1 Y2 + (h2 − h1 )(Z2 + Z1 )]x(t)
t

t

x˙ T (s)Y1 x(s)ds
˙
+ 2ξ T (t)N x(t) − x(t − h2) −

−
t−h2
t

x(s)ds
˙
t−h2
t

x˙ T (s)Y2 x(s)ds
˙
+ 2ξ T (t)S x(t) − x(t − h1 ) −

−


t−h1
t−h(t)

x(s)ds
˙
t−h1
t−h(t)

x˙ T (s)Z1 x(s)ds
˙
+ 2ξ T (t)M x(t − h(t)) − x(t − h2 ) −

−
t−h2
t−h1

x(s)ds
˙
t−h2
t−h1

x˙ T (s)Z1 x(s)ds
˙
+ 2ξ T (t)L x(t − h1 ) − x(t − h(t)) −

−

x(s)ds
˙


t−h(t)
t−h1

t−h(t)
t−h1

x˙ T (s)Z2 x(s)ds
˙
+ 2ξ T (t)V x(t − h1) − x(t − h2 ) −

−
t−h2

x(s)ds
˙
t−h2

+ 2ξ T (t)W −(A0 + BK)x(t) + x(t)
˙ − A1x(t − h(t))

T


(
x(t)
x t)









 x(t − h1 ) 
 x(t − h1 ) 








T
T
∆
 x(t − h(t))
1  x(t − h(t)) + ξ (t)(∆3 + ∆3 )ξ(t)








 x(t − h2 ) 
 x(t − h2 ) 





x(t)
˙
x(t)
˙
t

[2ξ T (t)N x(s)
˙
+ x˙ T (s)Y1 x(s)]ds
˙
+ 2ξ T (t)N x(t) − x(t − h2 )

−
t−h2

t

[2ξ T (t)S x(s)
˙
+ x˙ T (s)Y2 x(s)]ds
˙
+ 2ξ T (t)S x(t) − x(t − h1)

−

t−h1

t−h(t)

[2ξ T (t)M x(s)
˙
+ x˙ T (s)Z1 x(s)]ds
˙
+ 2ξ T (t)M x(t − h(t)) − x(t − h2 )

−
t−h2
t−h1

[2ξ T (t)Lx(s)
˙
+ x˙ T (s)Z1 x(s)]ds
˙
+ 2ξ T (t)L x(t − h1 ) − x(t − h(t))

−
t−h(t)
t−h1

[2ξ T (t)V x(s)
˙
+ x˙ T (s)Z2 x(s)]ds
˙
+ 2ξ T (t)V x(t − h1 ) − x(t − h2 ) .

−
t−h2



10
V˙ (t, xt)
ξ T (t)[∆1 + ∆3 + ∆T3 ]ξ(t) + 2ξ T (t)N I 0 0 −I 0 ξ(t)
+ 2ξ T (t)S I −I 0 0 0 ξ(t) + 2ξ T (t)M 0 0 I −I 0 ξ(t)
+ 2ξ T (t)L 0 I −I 0 0 ξ(t) + 2ξ T (t)V 0 I 0 −I 0 ξ(t)
t

t

ξ T (t)NY1−1 N T ξ(t)ds +

+

t−h2
t−h(t)

t−h1
t−h1

ξ

+

ξ T (t)SY2−1 S T ξ(t)ds

T

(t)MZ1−1 M T ξ(t)ds


ξ T (t)LZ1−1 LT ξ(t)ds

+

t−h2
t−h1

t−h(t)

ξ T (t)V Z2−1 V T ξ(t)ds

+
t−h2
t

[ξ T (t)N + x˙ T (s)Y1 ]Y1−1 [N T ξ(t) + Y1 x(s)]ds
˙

−
t−h2
t

[ξ T (t)S + x˙ T (s)Y2 ]Y2−1 [S T ξ(t) + Y2 x(s)]ds
˙

−

t−h1
t−h(t)


[ξ T (t)M + x˙ T (s)Z1 ]Z1−1 [M T ξ(t) + Z1 x(s)]ds
˙

−
t−h2
t−h1

[ξ T (t)L + x˙ T (s)Z1 ]Z1−1[LT ξ(t) + Z1 x(s)]ds
˙

−
t−h(t)
t−h1

[ξ T (t)V + x˙ T (s)Z2 ]Z2−1 [V T ξ(t) + Z2 x(s)]ds.
˙

−
t−h2

V˙ (t, xt)
ξ T (t)[∆1 + ∆3 + ∆T3 ]ξ(t) + ξ T (t)[∆2 + ∆T2 ]ξ(t)
+ h2 ξ T (t)NY1−1 N T ξ(t) + h1 ξ T (t)SY2−1 S T ξ(t)
+ (h2 − h1 )ξ T (t)MZ1−1 M T ξ(t) + (h2 − h1 )ξ T (t)LZ1−1 LT ξ(t)
t

+ (h2 − h1 )ξ T (t)V Z2−1 V T ξ(t) −

[ξ T (t)N + x˙ T (s)Y1 ]Y1−1 [N T ξ(t) + Y1 x(s)]ds

˙
t−h2

t

[ξ T (t)S + x˙ T (s)Y2 ]Y2−1 [S T ξ(t) + Y2 x(s)]ds
˙

−

t−h1
t−h(t)

[ξ T (t)M + x˙ T (s)Z1 ]Z1−1 [M T ξ(t) + Z1 x(s)]ds
˙

−
t−h2


11
th1

[ T (t)L + x T (s)Z1 ]Z11 [LT (t) + Z1 x(s)]ds



th(t)
th1


[ T (t)V + x T (s)Z2 ]Z21[V T (t) + Z2 x(s)]ds



th2

T (t)[1 + 2 + T2 + 3 + T3 ](t)
T
T (t)[121
22 12 (t)
t

[ T (t)N + x T (s)Y1 ]Y11 [N T (t) + Y1 x(s)]ds



th2
t

[ T (t)S + x T (s)Y2]Y21 [S T (t) + Y2 x(s)]ds




th1
th(t)

[ T (t)M + x T (s)Z1 ]Z11 [M T (t) + Z1 x(s)]ds




th2
th1

[ T (t)L + x T (s)Z1 ]Z11[LT (t) + Z1 x(s)]ds



th(t)
th1

[ T (t)V + x T (s)Z2 ]Z21 [V T (t) + Z2 x(s)]ds.



th2

V (t, xt)
T
T (t)[11 121
22 12 (t)
t

[ T (t)N + x T (s)Y1 ]Y11 [N T (t) + Y1 x(s)]ds



th2
t


[ T (t)S + x T (s)Y2]Y21 [S T (t) + Y2 x(s)]ds




th1
th(t)

(3.18)

[ T (t)M + x T (s)Z1 ]Z11 [M T (t) + Z1 x(s)]ds



th2
th1

[ T (t)L + x T (s)Z1 ]Z11[LT (t) + Z1 x(s)]ds



th(t)
th1

[ T (t)V + x T (s)Z2 ]Z21 [V T (t) + Z2 x(s)]ds.



th2


Vì Y1 , Y2 , Z1 và Z2 là các ma trận đối xứng xác định dơng nên các tích phân
trong (3.18) bé hơn hoặc bằng không,do đó suy ra
V (t, xt)

T
T (t)[11 121
22 12 ](t).

(3.19)

T
áp dụng bổ đề phần bù Schur trong (3.9) ta có: 11 121
22 12 < 0 ,nên từ


12
(3.19) suy ra rằng V (t, xt)

x 2, với

là số dơng nào đó. Do đó hệ (3.8) ổn

định tiện cận. Định lý đã đợc chứng minh.
Với trờng hợp hàm điều khiển u(t) = 0, ta có hệ quả sau:
Hệ quả 3.1. Hệ trễ biến thiên (3.8) với hàm điều khiển u(t) = 0 là ổn định tiệm cận
nếu tồn tại cácma
trận đối
Q, R,
Z1 ,
Z2 và bấtkì các

xứng
xác định
dơng
P,
Y1 , Y2 ,

S
M
L
V
W
N
1
1
1
1
1
1






S2
M2
L 2
V2
W2
N2













ma trận N = N3 ,S = S3 ,M = M3,L = L3 ,V = V3 ,W = W3 ,












S4
M4
L 4
V4
W4

N4






N5
S5
M5
L5
V5
W5
thỏa mãn:


11 12
< 0.
=
T
12 22

ở đây
11 = 1 + 2 + T2 + 3 + T3 ,


Q+R
0
0 0
P






0
R 0 0
0




1 = 0
,
0Q 0 0





0
0
0 0
0


P
0
0 0 h2 Y1 + h1 Y2 + (h2 h1 )(Z1 + Z2 )
2 = N + S L + V S M L (N + M + V ) 0 ,

3 = W A0 0 W A1 0 W ,
12 = h2 N h1 S (h2 h1 )M (h2 h1 )L (h2 h1)V

,

22 = diag h2Y1 h1Y2 (h2 h1 )Z1 (h2 h1 )Z1 (h2 h1 )Z2 .
Trong định lý (3.3) ma trận K của hàm điều khiển ngợc là cha xác định cụ thể.Vì
thế định lý dới đây cho phép chúng ta xác định rõ ma trận K của hàm điều khiển
ngợc u(t) = Kx(t).


13
Định lý 3.3. Cho các số không âm ài , i = 1, ..., 5 ,hệ trễ biến thiên (3.8) với điều khiển
ngợc u(t) = Kx(t) là ổn định hóa nếu tồn tại các ma trận đối xứng xác định dơng
U
R,
Y1 , Y2 , Z1 , Z2 và bất kì các ma trận G,
P , Q,





1
N1
S1
M
L1
V





1





N2
S2
M2
L 2
V2














= N , S = S , M
= M

= L , V =

N
,
L

V3
3
3
3
3










N4
S4
M4
L 4
V4










N5
S5
M5
L5
V5
thỏa mãn:


=

11 12
T12 22



< 0.

(3.20)

Trong đó
11 = 1 + 2 + T2

+R
0
Q




0
R



1 = 0
Q


0
0

P
0

+ 3 + T3 ,
0 0

P

0 0

0

0 0
0 0


0

0 0 h2Y1 + h1Y2 + (h2 h1 )(Z1 + Z2 )

+ S L
+ V S
2 = N

T + BU )
à (A G
1 0

T + BU )
à2 (A0G


T + BU )
3 = à3 (A0G


T + BU )
à4 (A0G

T + BU )
à5 (A0G









,





L
(N
+M
+ V ) 0 ,
M

T
T


0 à1 A1G
0 à1 G

T 0 à2 G
T

0 à2 A1G

T
T



0 à31A1 G 0 à3 G ,

T
T


0 à4 A1G
0 à4 G

T
T


0 à5 A1G
0 à5 G

h1S (h2 h1 )M
(h2 h1 )L
(h2 h1 )V ,
12 = h2 N
22 = diag h2 Y1 h1 Y2 (h2 h1)Z1 (h2 h1 )Z1 (h2 h1 )Z2 .


14
Trong trờng hợp này,ma trận điều khiển ngợc cho bởi
T
K = UG

(3.21)


Chứng minh. Chúng ta đặt Wi = ài G, i = 1, 2, ..., 5 , ở đây ài là các số không

âm cho trong định lý.áp dụng Wi vào trong điều kiện (3.9) .Để (3.9) thỏa mãn
nếu ma trận khối của 11 có phần tử (5, 5) (ở hàng 5 cột 5) xác định âm.Tức là
W5 + W5T = à5 (G + GT ) < 0 .Điều này suy ra G là không suy biến nếu à6 = 0.

Bây giờ ta thực hiện phép biến đổi ở trong (3.9) với
G
G
G
G
G
G
G
G
G
,
= diag G
= diag G
G
G
G
G


= G1 .Đặt P = GP
G
T , Q
T , Zi =

= GQ
G
T , R
= GR
G
T , Yi = GY
iG
ở đây G
G
T , S = S
G
T , M
= M
G
T , L
= L
G
T , V = V
G
T .Chúng
T , i = 1, 2.N = N
iG
GZ
T .Ta có xT (t)x(t) <
ta thu đợc T = nh trong (3.20). Ta xác định U = K G
0 tơng đơng với xT (t)T x(t) < 0,suy ra là xác định âm ,do đó theo định
T .
lý (3.1) thì hệ là ổn định hóa.Một ma trận điều khiển ngợc cho bởi K = U G

Định lý đợc chứng minh.

Ta tiếp tục nghiên cứu sự ổn định hóa bền vững của hệ không chắc chắn dới đây:


x(t)

= (A0 + A0(t))x(t) + (A1 + A1(t))x(t h(t)) + (B + B1(t))u(t), t 0,

x(t) = (t),

t [h2, 0],
(3.22)

với x(t) Rn là véctơ trạng thái của hệ, u(t) Rm là hàm điều khiển .A0 , A1 và B là
ma trận hằng có số chiều thích hợp,còn (t)là hàm điều kiện ban đầu thỏa mãn (t)
C([h2, 0], Rn ). Và h(t) là trễ biến thiên thỏa mãn điều kiện 0

h1

h(t)

h2,.Tính

không chắc chắn cho bởi công thức sau
A0(t) A1(t) B(t) = HF (t) E1 E2 E3 .
và F (t) là ma trận biến thiên theo thời gian cha xác định,thỏa mãn điều kiện F T (t)F (t)
I.Còn H, E1 , E2 và E3 là các ma trận hằng đã biết và có số chiều thích hợp. Ta có định
lý sau


15

Định lý 3.4. Cho các số không âm ài , i = 1, ..., 5 ,hệ trễ biến thiên (3.22), với điều
khiển ngợc u(t) = Kx(t) là ổn định hóa bền vững nếu tồn tại các ma trận đối xứng
U ,N
, S,
M
, L,
V và số
R,
Y1 , Y2 , Z1 , Z2 và bất kì các ma trận G,
xác định dơng P , Q,
dơng sao cho



=

+ H H

T

E

E

T

I




< 0.

(3.23)

Trong đó cho bởi nh trong định lý (3.3) và
T

H = à1 H T à2 H T à3 H T à4 H T à5 H T 0 0 0 0 0

,

T + E3 U 0 E2 G
T 0 0 0 0 0 0 0 .
E = E1 G
T .
. Và ta cúng có một ma trận điều khiển ngợc là K = U G
Chứng minh. Thay A0, A1, B trong bởi tơng ứng A0+HF (t)E1, A1+HF (t)E2, B+
HF (t)E3, và sử dụng bổ đề (..) chúng ta thu đợc
+ H H T +

1 T
E E < 0.


với > 0,áp dụng bổ đề phần bù Schur trong (3.23) ta có điều phải chứng minh.
Định lý đợc chứng minh.

3.2

Tiêu chuẩn - ổn định hoá đợc dạng mũ của hệ

điều khiển tuyến tính có trễ biến thiên

Trong mục này ta sẽ đa ra tiêu chuẩn ổn định hóa dạng mũ cho hệ (3.8).Sự ổn
định mũ của hệ (3.1) là hệ quả của định lý khi u(t) = 0.
Định lý 3.5. Cho số > 0.Hệ trễ biến thiên (3.8) với K là ma trận điều khiển ngợc
bất kì là -ổn định hóa đợc dạng mũ nếu tồn tại các ma trận đối xứng xác định dơng


16
P, Q, R, Y1 , Y2 , Z1 , Z2 và bất kì các ma trận






S
M
L
V
W
N
1
1
1
1
1
1







S2
M2
L2
V2
W2
N2












N = N3 , S = S3 , M = M3 , L = L3 , V = V3 , W = W3 ,













S4
M4
L4
V4
W4
N4






N5
S5
M5
L5
V5
W5
sao cho:


=

11 12
T12 22




< 0.

(3.24)

Hơn nữa,với mỗi nghiệm x(t, ) của hệ đóng thỏa mãn
x(t, )

2 t
e
s, t
1

0.

ở đây
1 = min (P ),
1
2 = max (P ) + h2 max (Q) + h1 max (R) + h22 e2h2 max (Y1 )
2
1
1 2 2h1
max (Y2 ) + (h2 h1)2 e2h2 max (Z1 + Z2 ),
+ h1 e
2
2
11 = 1 + 2 + T2 + 3 + T3 ,
1 =


Q + R + 2P
0



0
e2h1 R



0
0 e2h2 Q



0
0

P
0

0 0

P

0 0

0


0 0
0 0

0

0 0 h2e2h2 Y1 + h1 e2h1 Y2 + (h2 h1 )e2h2 (Z1 + Z2 )








,






17
2 = N + S L + V S M L (N + M + V ) 0 ,
3 = W (A0 + BK) 0 W A1 0 W ,
12 = h2 N h1 S (h2 h1 )M (h2 h1 )L (h2 h1)V

,

22 = diag h2Y1 h1Y2 (h2 h1 )Z1 (h2 h1 )Z1 (h2 h1 )Z2 .
Chứng minh. Sử dụng công thức Newton-Leibniz,ta có các phơng trình dới đây


đúng với bất kì các ma trận N, S, M, L, V
t

2 T (t)N x(t) x(t h2)

x(s)ds

= 0,

(3.25)

x(s)ds

= 0,

(3.26)

th2
t
T

2 (t)S x(t) x(t h1 )
th1

th(t)

2 T (t)M x(t h(t)) x(t h2 )

x(s)ds


= 0,

(3.27)

th2
th1

2 T (t)L x(t h1 ) x(t h(t))

x(s)ds

= 0,

(3.28)

th(t)
th1
T

2 (t)V x(t h1) x(t h2 )

x(s)ds

= 0,

(3.29)

th2


ở đây
T (t) = xT (t) xT (t h1) xT (t h(t)) xT (t h2 ) x T (t) .

Phơng trình sau đây cũng đúng với bất kì ma trận W
2 T (t)W (A0 + BK)x(t) + x(t)
A1x(t h(t)) = 0.

(3.30)

Bây giờ,chúng ta xét hàm Lyapunov của hệ (3.8) nh sau:
V (t, xt) = V1 + V2 + V3 + V4 + V5 + V6 .

(3.31)


18
V1 = xT (t)P x(t),
t

e2α(s−t)xT (s)Qx(s)ds,

V2 =
t−h2
t

e2α(s−t)xT (s)Rx(s)ds,

V3 =
t−h1
t


t

e2α(u−t+h2 ) x˙ T (u)Y1x(u)duds,
˙

V4 =
t−h2
t

s
t

e2α(u−t+h1 ) x˙ T (u)Y2x(u)duds,
˙

V5 =

t−h1 s
t−h1
t

e2α(u−t+h2 )x˙ T (u)[Z1 + Z2 ]x(u)duds.
˙

V6 =
t−h2

s


Ta thÊy
λ1 x(t)

2

V (t, xt)

λ2 xt 2 , t

0.

Trong ®ã λ1 , λ2 x¸c ®Þnh nh− trong ®Þnh lý. LÊy ®¹o hµm cña Vk , k = 1, 2, ..., 6
theo t däc theo nghiÖm x(t) cña hÖ (3.8) ta ®−îc,

V˙1 = 2x˙ T (t)P x(t),
V˙2 = 2xT (t)Qx(t) − e−2αh2 xT (t − h2 )Qx(t − h2 ) − 2αV2 ,
V˙3 = 2xT (t)Rx(t) − e−2αh1 xT (t − h2 )Rx(t − h1 ) − 2αV3 .
(3.32)

t

V˙4 = h2 e2αh2 x˙ T (t)Y1x(t)
˙ −

e2α(s−t+h2 )x˙ T (s)Y1 x(s)ds
˙
− 2αV4
t−h2
t


h2 e2αh2 x˙ T (t)Y1x(t)
˙ −

x˙ T (s)Y1 x(s)ds
˙
− 2αV4 .
t−h2

(3.33)

t

V˙5 = h1 e2αh1 x˙ T (t)Y2x(t)
˙ −

e2α(s−t+h1 )x˙ T (s)Y2 x(s)ds
˙
− 2αV5
t−h1
t

h1 e2αh1 x˙ T (t)Y2x(t)
˙ −

x˙ T (s)Y2 x(s)ds
˙
− 2αV5 .
t−h1

(3.34)



19

V˙6 = (h2 − h1 )e2αh2 x˙ T (t)[Z1 + Z2 ]x(t)
˙
t−h1

e2α(s−t+h2 ) x˙ T (s)[Z1 + Z2 ]x(s)ds
˙
− 2αV6

−
t−h2

(h2 − h1 )e2αh2 x˙ T (t)[Z1 + Z2 ]x(t)
˙
t−h1

x˙ T (s)[Z1 + Z2 ]x(s)ds
˙
− 2αV6 .

−
t−h2

(3.35)

KÕt hîp tõ (3.32) ®Õn (3.35) ta cã,
V˙ (t, xt)

2αxT (t)P x(t) + 2x˙ T (t)P x(t) + 2xT (t)Qx(t) − e−2αh2 xT (t − h2)Qx(t − h2 )
+ 2xT (t)Rx(t) − e−2αh1 xT (t − h2 )Rx(t − h1 ) + h2 e2αh2 x˙ T (t)Y1 x(t)
˙
+ h1 e2αh1 x˙ T (t)Y2 x(t)
˙ + (h2 − h1 )e2αh2 x˙ T (t)[Z1 + Z2 ]x(t)
˙
t

t

x˙ T (s)Y1 x(s)ds
˙
−

−

t−h2
t−h1

x˙ T (s)Y2x(s)ds
˙
t−h1

x˙ T (s)[Z1 + Z2 ]x(s)ds
˙
− 2αV (t, xt).

−
t−h2


Suy ra
t

V˙ (t, xt) + 2αV (xt , t)

ξ T (t)Π1ξ(t) −

t

x˙ T (s)Y1 x(s)ds
˙
−
t−h2

x˙ T (s)Y2 x(s)ds
˙
t−h1

t−h1

x˙ T (s)[Z1 + Z2 ]x(s)ds,
˙

−
t−h2

(3.36)

§Ó ý r»ng,
t−h1


x˙ T (s)[Z1 + Z2 ]x(s)ds
˙

−
t−h2

t−h(t)

t−h1
T

=−

x˙ (s)Z1 x(s)ds
˙
−
t−h2

t−h1
T

x˙ T (s)Z2 x(s)ds,
˙

x˙ (s)Z1 x(s)ds
˙
−
t−h(t)


t−h2

(3.37)


20

Bëi vËy,tõ (3.25) - (3.30) vµ (3.36) , (3.37) ta suy ra,
V˙ (t, xt) + 2αV (xt , t)
ξ T (t)Π1ξ(t)
t

t

x˙ T (s)Y1 x(s)ds
˙
+ 2ξ T (t)N x(t) − x(t − h2) −

−
t−h2
t

x(s)ds
˙
t−h2
t

x˙ T (s)Y2 x(s)ds
˙
+ 2ξ T (t)S x(t) − x(t − h1 ) −


−

t−h1
t−h(t)

x(s)ds
˙
t−h1
t−h(t)

x˙ T (s)Z1 x(s)ds
˙
+ 2ξ T (t)M x(t − h(t)) − x(t − h2 ) −

−
t−h2
t−h1

x(s)ds
˙
t−h2
t−h1

x˙ T (s)Z1 x(s)ds
˙
+ 2ξ T (t)L x(t − h1 ) − x(t − h(t)) −

−
t−h(t)

t−h1

x(s)ds
˙
t−h(t)
t−h1

x˙ T (s)Z2 x(s)ds
˙
+ 2ξ T (t)V x(t − h1) − x(t − h2 ) −

−
t−h2

x(s)ds
˙
t−h2

˙ − A1x(t − h(t))
+ 2ξ T (t)W −(A0 + BK)x(t) + x(t)
ξ T (t)Π1ξ(t) + ξ T (t)(Π3 + ΠT3 )ξ(t)
t

[2ξ T (t)N x(s)
˙
+ x˙ T (s)Y1 x(s)]ds
˙
+ 2ξ T (t)N x(t) − x(t − h2 )

−

t−h2
t

[2ξ T (t)S x(s)
˙
+ x˙ T (s)Y2 x(s)]ds
˙
+ 2ξ T (t)S x(t) − x(t − h1 )

−

t−h1
t−h(t)

[2ξ T (t)M x(s)
˙
+ x˙ T (s)Z1 x(s)]ds
˙
+ 2ξ T (t)M x(t − h(t)) − x(t − h2 )

−
t−h2
t−h1

[2ξ T (t)Lx(s)
˙
+ x˙ T (s)Z1 x(s)]ds
˙
+ 2ξ T (t)L x(t − h1 ) − x(t − h(t))


−
t−h(t)
t−h1

[2ξ T (t)V x(s)
˙
+ x˙ T (s)Z2 x(s)]ds
˙
+ 2ξ T (t)V x(t − h1) − x(t − h2 )

−
t−h2

ξ T (t)Π1ξ(t) + ξ T (t)(ΠT3 + ΠT3 )ξ(t) + ξ T (t)(ΠT2 + ΠT2 )ξ(t)
t

t

ξ T (t)NY1−1 N T ξ(t)ds +

+

t−h2
t−h(t)

t−h1
t−h1

ξ


+

T

(t)MZ1−1 M T ξ(t)ds

t−h2
t−h1
t−h2

ξ T (t)LZ1−1 LT ξ(t)ds

+
t−h(t)

ξ T (t)V Z2−1 V T ξ(t)ds

+

ξ T (t)SY2−1 S T ξ(t)ds


21
t

[ T (t)N + x T (s)Y1 ]Y11 [N T (t) + Y1 x(s)]ds



th2

t

[ T (t)S + x T (s)Y2]Y21 [S T (t) + Y2 x(s)]ds




th1
th(t)

[ T (t)M + x T (s)Z1 ]Z11 [M T (t) + Z1 x(s)]ds



th2
th1

[ T (t)L + x T (s)Z1 ]Z11[LT (t) + Z1 x(s)]ds



th(t)
th1

[ T (t)V + x T (s)Z2 ]Z21 [V T (t) + Z2 x(s)]ds.



th2


V (t, xt) + 2V (t, xt)
T
T (t)[11 121
22 12 ](t)
t

[ T (t)N + x T (s)Y1 ]Y11 [N T (t) + Y1 x(s)]ds



th2
t

[ T (t)S + x T (s)Y2]Y21 [S T (t) + Y2 x(s)]ds




th1
th(t)

(3.38)

[ T (t)M + x T (s)Z1 ]Z11 [M T (t) + Z1 x(s)]ds



th2
th1


[ T (t)L + x T (s)Z1 ]Z11[LT (t) + Z1 x(s)]ds



th(t)
th1

[ T (t)V + x T (s)Z2 ]Z21 [V T (t) + Z2 x(s)]ds.



th2

Theo giả thiết thì ,Y1 , Y2, Z1 và Z2 là các ma trận đối xứng xác định dơng nên
các tích phân trong (3.38) bé hơn hoặc bằng không,do đó suy ra
V (t, xt) + 2V (t, xt)

T
T (t)[11 121
22 12 ](t).

(3.39)

T
áp dụng bổ đề phần bù Schur trong (3.24) ta có: 11 121
22 12 < 0 ,nên từ

(3.39) ta thu đợc kết quả sau
V (t, xt) + 2V (t, xt)
V (0, x0)e2t , t


Điều này suy ra rằng V (t, xt)
1 x(t)

2

V (t, xt)

0.
0.Bởi vì

2 xt 2s , t R+ .

(3.40)


22

nên từ bất đẳng thức (3.40) ,chúng ta thu đợc
2 t
e
s, t
1

x(t, )

0.

Định lý đã đợc chứng minh.
Khi ma trận của hàm điều khiển K = 0 hay u(t) = 0 chúng ta thu đợc hệ quả sau

đây:
Hệ quả 3.2. Cho số > 0.Hệ trễ biến thiên (3.8) với K = 0 là -ổn định mũ nếu tồn
tại các ma trận đối xứng xác định dơng P, Q, R, Y1 , Y2 , Z1 , Z2 và bất kì các ma trận






S
M
L
V
W
N
1
1
1
1
1
1






S2
M2
L2

V2
W2
N2












N = N3 , S = S3 , M = M3 , L = L3 , V = V3 , W = W3 ,












S4
M4

L4
V4
W4
N4






N5
S5
M5
L5
V5
W5
sao cho:



=

11 12
T12

22



< 0.


(3.41)

Ngoài ra,với mỗi nghiệm x(t, ) của hệ (3.8) thỏa mãn
x(t, )

2 t
e
s, t
1

0.

Trong đó
1 = min (P ),
1
2 = max (P ) + h2 max (Q) + h1max (R) + h22e2h2 max (Y1 )
2
1 2 2h1
1
+ h1 e
max (Y2 ) + (h2 h1 )2 e2h2 max (Z1 + Z2 ),
2
2
11 = 1 + 2 + T2 + 3 + T3 ,


23
1 =


Q + R + 2P
0



0
e2h1 R



0
0 e2h2 Q



0
0

P
0

0 0

P

0 0

0




0 0
0 0

0

0 0 h2e2h2 Y1 + h1 e2h1 Y2 + (h2 h1 )e2h2 (Z1 + Z2 )

2 = N + S L + V S M L (N + M + V ) 0 ,
3 = W A0 0 W A1 0 W ,
12 = h2 N h1S (h2 h1 )M (h2 h1)L (h2 h1 )V ,
22 = diag h2 Y1 h1 Y2 (h2 h1)Z1 (h2 h1 )Z1 (h2 h1 )Z2 .
Để ý rằng, trong định lý (3.5) hàm điều khiển u(t) = Kx(t) có ma trận K cha
xác định cụ thể. Vì vậy công việc tiếp theo ,ta đi tìm điều kiện để hệ (3.8) là - ổn
định hóa đợc dạng mũ mà ma trận điều khiển ngợc K là xác định cụ thể . Định lý
dới đây sẽ thực hiện công việc đó.
Định lý 3.6. Cho số > 0 và các số không âm ài , i = 1, ..., 5.Hệ trễ biến thiên (3.8)
là -ổn định hóa đợc dạng mũ nếu tồn tại các ma trận đối xứng xác định dơng
U
R,
Y1 , Y2 , Z1 , Z2 và bất kì các ma trận G,
P , Q,










S
M
L
V
N
1
1
1
1
1





S2
M2
L 2
V2
N2







=


,
S
=
,
M
=
,
L
=
,
V
=
N
S3
M3
L 3
V3 ,
N3










S4
M4

L 4
V4
N4









N5
S5
M5
L5
V5
sao cho:



=

11 12
T12

22




< 0.

Khi đó, hàm điều khiển ngợc là
T x(t).
u(t) = U G

(3.42)






,






24
Hơn nữa,với mỗi nghiệm x(t, ) của hệ đóng thỏa mãn
x(t, )

2 t
e
s, t
1

0.


ở đây
1 = min (P ),
+ h1 max (R)
+ 1 h22 e2h2 max (Y1 )
2 = max (P ) + h2 max (Q)
2
1 2 2h1
1
+ h1 e
max (Y2 ) + (h2 h1)2 e2h2 max (Z1 + Z2 ),
2
2
11 = 1 + 2 + T2 + 3 + T3 ,
1 =

+R
+ 2P
Q
0




0
e2h1 R





0
0 e2h2 Q



0
0

P
0
+ S L
+ V S
2 = N

T + BU )
à (A G
1 0

T + BU )
à2 (A0G


T + BU )
3 = à3 (A0G


T + BU )
à4 (A0G

T + BU )

à5 (A0G

0 0

P ,

0 0

0

0 0
0 0

0

0 0 h2e2h2 Y1 + h1 e2h1 Y2 + (h2 h1 )e2h2 (Z1 + Z2 )

L
(N
+M
+ V ) 0 ,
M

T 0 à1 G
T
0 à1 A1 G

T
T



0 à2 A1 G
0 à2 G

T
T


0 à3 1A1 G 0 à3 G ,

T 0 à4 G
T

0 à4 A1 G

T
T


0 à5 A1 G
0 à5 G

h1 S (h2 h1 )M
(h2 h1 )L
(h2 h1 )V ,
12 = h2N
22 = diag h2Y1 h1Y2 (h2 h1 )Z1 (h2 h1 )Z1 (h2 h1 )Z2 .
Chứng minh. Việc chứng minh định lý này hoàn toàn tơng tự định lý (3.3).
Bằng cách sử dụng phơng pháp nh trên ta cũng tìm đợc tiêu chuẩn - ổn định
hóa bền vững đợc dạng mũ cho hệ có trễ biến thiên không chắc chắn (3.22) .Ta có

định lý sau








,






25
Định lý 3.7. Cho số > 0 và các số không âm ài , i = 1, ..., 5 .Hệ trễ biến thiên (3.22)
là -ổn định hóa bền vững đợc dạng mũ nếu tồn tại các ma trận đối xứng xác định
U ,N , S,
M,
L,
V và số dơng
R,
Y1 , Y2 , Z1 , Z2 và bất kì các ma trận G,
dơng P , Q,
sao cho




=

+ H H T

ET

E

I



< 0.

(3.43)

ở đây, cho bởi nh trong định lý (3.6) và
T

H = à1 H T à2 H T à3 H T à4 H T à5 H T 0 0 0 0 0

,

T + E3 U 0 E2 G
T 0 0 0 0 0 0 0 .
E = E1 G
T x(t). Hơn nữa,với mỗi nghiệm
Và ta chúng có hàm điều khiển ngợc là u(t) = U G
x(t, ) của hệ đóng (3.22) thỏa mãn
x(t, )


2 t
e
s, t
1

0.

Trong đó
1 = min (P ),
+ h1max (R)
+ 1 h2e2h2 max (Y1 )
2 = max (P ) + h2 max (Q)
2 2
1
1
+ h21e2h1 max (Y2 ) + (h2 h1 )2 e2h2 max (Z1 + Z2 ).
2
2
Chứng minh. Định lý này cũng đợc chứng minh tơng nh tự định lý (3.4).

3.3

Tiêu chuẩn - ổn định hóa đợc dạng mũ của hệ
điều khiển hỗn hợp có trễ biến thiên trên trạng thái
và điều khiển

áp dụng kỹ thuật mở rộng,cải tiến hàm Lyapunov ở trên ta đi tìm điều kiện - ổn
định hóa đợc dạng mũ cho lớp hệ phơng trình điều khiển hỗn hợp có trễ biến thiên