BỘ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN NĂNG LƯỢNG NGUYÊN TỬ VIỆT NAM

Phạm Thế Song

NGHIÊN CỨU CÁC HIỆU ỨNG
TRONG KHÔNG GIAN GIỚI HẠN CỦA
NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 62.44.01.03
DỰ THẢO LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

Người hướng dẫn: GS. TSKH. Trần Hữu Phát
TS. Nguyễn Văn Thụ

Hà Nội, 2017



LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận án này là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn
của GS. TSKH. Trần Hữu Phát và TS. Nguyễn Văn Thụ. Các kết quả nghiên cứu của
luận án là trung thực và chưa từng được công bố trên bất kì công trình nào trước đây.
Hà Nội, ngày

tháng

năm 2017

Tác giả luận án

Phạm Thế Song

ii


LỜI CẢM ƠN!
Trước tiên, tác giả luận án xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với GS. TSKH. Trần
Hữu Phát. Sự hướng dẫn tận tụy và những động viên khích lệ của thầy là nguồn động
lực to lớn cho tác giả trong suốt quá trình hoàn thành chương trình đào tạo và làm
luận án. Thầy mãi là tấm gương sáng về đạo đức, về tinh thần làm việc nghiêm túc,
cống hiến hết mình vì khoa học để tác giả học tập và noi theo.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn TS. Nguyễn Văn Thụ, thầy đã tận tình hướng dẫn
và cùng thảo luận giúp đỡ tác giả hoàn thành các tính toán quan trọng nhất trong
luận án.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS. TS. Lê Viết Hòa, NGƯT. TS. Đinh Thanh
Tâm, những người đã dẫn dắt tác giả đến với con đường nghiên cứu khoa học.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn các bạn cùng nhóm nghiên cứu, TS. Đặng Thị Minh
Huệ, ThS. Hoàng Văn Quyết, ThS. Nguyễn Thị Thắm đã nhiệt tình giúp đỡ, cùng thảo
luận về luận án và các vấn đề nghiên cứu liên quan.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trung Tâm Đào Tạo Hạt Nhân - Viện Năng Lượng
Nguyên Tử Việt Nam, Khoa Toán Lý Tin - Trường Đại Học Tây Bắc, Khoa Vật Lý Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để
tác giả hoàn thành chương trình đào tạo, hoàn thành luận án.
Con xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đối với Cha và Mẹ, người đã cho con được thấy
ánh sáng Mặt Trời, cho con nghị lực vượt qua mọi khó khăn và trở ngại. Xin cảm ơn
người vợ hiền dịu, cảm ơn các con. Gia đình luôn là nguồn động lực to lớn cho tôi trên
con đường nghiên cứu khoa học đầy gian nan và thử thách.

Hà Nội, ngày

tháng

năm 2017

Tác giả luận án

Phạm Thế Song

iii


Mục lục
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Danh sách từ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

Danh sách hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

viii

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1


Chương 1. Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein và lý thuyết về hệ ngưng
tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.1. Hiện tượng ngưng tụ Bose-Einstein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.2. Phương trình Gross-Pitaevskii và các phương trình thuỷ động lực học của hàm
sóng ngưng tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.Lý thuyết Gross-Pitaevskii cho hệ BECs không giới hạn . . . . . . . .

12

1.3.Phương pháp DPA cho hệ BECs không giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.4.Phương pháp MDPA cho hệ BECs bị giới hạn bởi các tường cứng 18
1.5.Năng lượng dư trên mặt phân cách của hệ BECs . . . . . . . . . . . . . . .

22


1.5.1. Năng lượng dư trong tập hợp chính tắc lớn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.5.2. Năng lượng dư trong tập hợp chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Chương 2. Sức căng mặt phân cách và hiện tượng chuyển pha ướt trong hệ
BECs bị giới hạn bởi một tường cứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.1.Trạng thái cơ bản của hệ BECs bị giới hạn bởi một tường cứng

27

2.1.1. Trạng thái cơ bản với điều kiện biên Dirichlet tại tường cứng. . . . . . . . . . . . .

27

2.1.2. Trạng thái cơ bản với điều kiện biên Robin tại tường cứng . . . . . . . . . . . . . . .

30

iv


2.2.Sức căng mặt phân cách và hiện tượng chuyển pha ướt của hệ BECs

trong tập hợp chính tắc lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.2.1. Sức căng mặt phân cách và hiện tượng chuyển pha ướt với điều kiện biên Dirichlet
tại tường cứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.2.2. Sức căng mặt phân cách và hiện tượng chuyển pha ướt với điều kiện biên Robin
tại tường cứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.Sức căng mặt phân cách của hệ BECs trong tập hợp chính tắc .

40

45

2.3.1. Sức căng mặt phân cách với điều kiện biên Dirichlet tại tường cứng . . . . . .

46

2.3.2. Sức căng mặt phân cách với điều kiện biên Robin tại tường cứng . . . . . . . . .

48

Chương 3. Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách trong
hệ BECs bị giới hạn bởi hai tường cứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53


3.1.Trạng thái cơ bản của hệ BECs bị giới hạn bởi hai tường cứng .

54

3.1.1. Trạng thái cơ bản với điều kiện biên Dirichlet tại hai tường cứng . . . . . . . . .

54

3.1.2. Trạng thái cơ bản với điều kiện biên Robin tại hai tường cứng . . . . . . . . . . .

55

3.2.Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách với điều
kiện biên Dirichlet tại hai tường cứng. Lực Casimir-like . . . . . . . .

59

3.2.1. Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách trong hệ tập hợp
chính tắc lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

3.2.2. Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách trong hệ tập hợp
chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

3.2.3. Lực Casimir-like . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


68

3.3.Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách với điều
kiện biên Robin tại hai tường cứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

3.3.1. Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách trong hệ tập hợp
chính tắc lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

3.3.2. Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách trong hệ tập hợp
chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

Danh sách các công trình công bố kết qủa nghiên cứu của luận án 79
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v

80


Danh sách từ viết tắt
Ký hiệu


Tiếng Anh

Tiếng Việt

BEC

Bose-Einstein condensate

ngưng tụ Bose-Einstein

two segregated Bose-Einstein

ngưng tụ Bose-Einstein hai

condensates

thành phần phân tách

CE

Canonical ensemble

tập hợp chính tắc

GCE

Grand canonical ensemble

tập hợp chính tắc lớn


BECs

Double-parabola

approxima-

DPA

gần đúng parabol kép
tion
Modified double-parabola ap-

MDPA

gần đúng parabol kép mở rộng
proximation

GP

Gross-Pitaevskii

Gross-Pitaevskii

GPE(s)

Gross-Pitaevskii equation(s)

(hệ)


phương

trình

Gross-

trình

Gross-

Pitaevskii
hệ
Time-independent

phương

GrossPitaevskii không phụ thuộc

TIGPEs
Pitaevskii equations

thời gian
Tripple-parabola

approxima-

TPA

gần đúng ba parabol
tion


MFA

Mean-field approximation

vi

gần đúng trường trung bình


Danh sách hình vẽ
1.1

Khai triển hàm sóng ngưng tụ ở mỗi phía mặt phân cách theo phương pháp DPA.

2.1

˜ mặt phân cách giữa hai thành
Hệ BECs bị giới hạn bởi một tường cứng tại z˜ = −h,
phần tại z˜ = z˜0 .

2.2

. . . 17

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Cấu hình ngưng tụ với điều kiện biên Dirichlet (φj (−h) = 0), K = 1.01, ξ = 1; h =
20(a) và h = 50(b). Đường màu đỏ và đường màu xanh tương ứng là MDPA và GP.


2.3

Sự phụ thuộc của vị trí mặt phân cách vào vị trí của tường cứng với K = 1.01.

2.4

Cấu hình ngưng tụ với điều kiện biên Robin (λW
2

2.5

(GCE) Sự biến thiên của sức căng mặt phân cách theo 1/K với h = 0(đường màu
đỏ) và h → +∞(đường màu xanh).

2.6

. . . . 30

1), K = 3, h = 20; ξ = 1(a), 3(b).

. 32

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

(GCE) Sự phụ thuộc của sức căng mặt phân cách vào vị trí tường cứng với K =
1.01, ξ = 1.

2.7

. . 29


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

(GCE) Sự biến thiên của γh theo ζ = (h + z0 ) với ξ = 1(đường màu đỏ) và ξ =
2(đường màu xanh).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.8

Pha không dính ướt(a), pha dính ướt(b) của ngưng tụ trên bề mặt tường cứng.

2.9

(GCE) Giản đồ pha ướt của thành phần 2 trên bề mặt tường cứng ứng với h = 0
(đường màu đỏ) và h → +∞(đường màu xanh).

. . . . 38

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.10 (GCE) Sự biến thiên của sức căng mặt phân cách theo 1/K với ξ = 1.0, 3.0, vị trí
của tường cứng tại z = −20 .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.11 (GCE) Hiệu ứng giới hạn không gian của sức căng mặt phân cách với ξ = 1. . . . . . . 42
2.12 (GCE) Giản đồ pha ướt của thành phần 2 trên bề mặt tường cứng với ζ = (h + z0 ) =
20 và ζ = (h + z0 ) → +∞.


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.13 (GCE) Ảnh hưởng của điều kiện biên tới sức căng mặt phân cách với ξ = 1, h = 20. . . 44

vii


2.14 (CE) Sự biến thiên của sức căng mặt phân cách theo 1/K với n21 = 1, ζ = (h + z0 ) =
20, 100; φj (−h) = 0, ξ = 5(a); ∂z φ2 |z=−h = 0, ξ = 10(b).

. . . . . . . . . . . . . . . 47

2.15 (CE) Sự biến thiên của sức căng mặt phân cách theo 1/K tại n21 = 1, ζ = (h + z0 ) =
20; φj (−h) = 0, ξ = 1, 6, 11(a); ∂z φ2 |z=−h = 0, ξ = 5, 10, 15(b).

. . . . . . . . . . . . 50

2.16 Sự biến thiên của sức căng mặt phân cách theo 1/K tại ξ = 1, ζ = (h + z0 ) = 20 với
n21 = 0.5, 1.0, 2.0; φj (−h) = 0(a), ∂z φ2 |z=−h = 0(b).

3.1

˜ mặt phân cách giữa hai thành
Hệ BECs bị giới hạn bởi hai tường cứng tại z˜ = ±h,
phần tại z˜ = z˜0 .

3.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . 51


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Cấu hình ngưng tụ với điều kiện biên Dirichlet (φj (±h) = 0) trong MDPA (đường
liền) và trong lý thuyết GP (đường gạch), K = 3; ξ = 0.5(a), 1(b), 2(c).

3.3

W2
1
Cấu hình ngưng tụ với điều kiện biên Robin (λW
1 , λ2

gạch) và trong lý thuyết GP (đường liền).

3.4

. . . . . . . . 57

1) trong MDPA (đường

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

(GCE) Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách tại ξ = 1(a) và
ξ = 3(b) với các giá trị khác nhau của K = 1(đường liền), 1.1 (đường gạch), 3 (đường
chấm).

3.5

(CE) Sự biến thiên của sức căng mặt phân cách theo h tại ξ = 1(a) và ξ = 3(b) với
K = 3.


3.6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

(GCE, CE) Sự biến thiên của sức căng mặt phân cách theo 1/K tại ξ = 1(a) và
ξ = 3(b) với h → +∞(đường liền), h = 12 (đường chấm), h = 8(đường gạch). Màu
xanh và màu đỏ lần lượt tương ứng với GCE và CE.

3.7

. . . . . . . . . . . . . . . . . 67

(GCE) Sự phụ thuộc của lực Casimir-like trên một đơn vị diện tích tường cứng vào h
tại ξ = 1(a) và ξ = 3(b) với K = 1(đường liền), K = 1.1 (đường gạch), K = 3(đường
chấm).

3.8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

(GCE) Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách tại ξ = 1, với các
giá trị khác nhau của K = 1.0(đường liền), 1.1 (đường gạch), 3 (đường chấm-gạch).

3.9

. . 72


(GCE) Sự phụ thuộc của sức căng mặt phân cách vào 1/K tại ξ = 1 với h = 4, 7, 10
và h → ∞.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.10 (GCE) Sự phụ thuộc của sức căng mặt phân cách vào 1/K tại h = 10 với ξ = 0.5, 1. . . 73
3.11 (CE) Sự phụ thuộc của sức căng mặt phân cách vào h tại n21 = 1, ξ = 1 với K = 1.1, 2.0, 3.0.74

viii


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
BEC là trạng thái lượng tử vĩ mô của một số lượng lớn các hạt vi mô
khi phần lớn các hạt boson cùng chiếm một mức năng lượng thấp nhất
nếu nhiệt độ của hệ hạt nhỏ hơn nhiệt độ tới hạn. Trạng thái lượng tử
đặc biệt này liên quan mật thiết tới nhiều đặc tính quan trọng của vật
chất chẳng hạn như siêu dẫn (superconductivity), rối lượng tử (quantum
entanglement), độ trung thành lượng tử (quantum fidelity).... Vì vậy, các
nghiên cứu cơ bản về BEC có ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực
công nghệ then chốt như vật liệu, điện tử, thông tin lượng tử.
Không lâu sau thành công của thí nghiệm về sự tồn tại của BEC (1995),
pha phân tách trong hệ BEC hai thành phần đã được nghiên cứu lý thuyết
(1998) [1, 2] và sau đó là nghiên cứu thực nghiệm (1999) [3–12]. Kể từ
đó, nghiên cứu về BECs đã thu hút rất nhiều sự quan tâm của các nhà
khoa học trên toàn cầu và đạt được nhiều thành tựu. Nhiều công trình
nghiên cứu về tính chất tĩnh, tính chất động lực học của BECs được
công bố [13–44]. Trong đó điển hình là các nghiên cứu về trạng thái cơ
bản, sức căng bề mặt [2, 16, 40–44], dao động kích thích bề mặt (sóng bề
mặt) [13, 15, 17, 20, 28, 29]. Từ đây, nhiều hiện tượng vật lý quan trọng

của BECs đã được khám phá chẳng hạn như chuyển pha ướt (wetting
phase transition) [42–44], bất ổn định Rayleigh-Taylor (Rayleigh-Taylor
instability), bất ổn định Kelvin-Helmholtz (Kelvin-Helmholtz instability)
[18, 24–27]. Sử dụng phương pháp MFA và các phương pháp gần đúng
khác (DPA, TPA), các nghiên cứu về sức căng bề mặt và chuyển pha ướt
1


của hệ BECs không giới hạn đã được giải quyết một cách có hệ thống
trong [40–42], sau đó phát triển thêm trong [43, 44] với rất nhiều kết quả
quan trọng. Tuy nhiên, tất cả các nghiên cứu đó đều chưa xem xét tới ảnh
hưởng của sự giới hạn không gian tới các đặc tính vật lý của hệ. Trong khi
đó, hiện tượng chuyển pha và đặc tính vật lý của các hệ lượng tử trong
không gian giới hạn đã và đang được nghiên cứu chuyên sâu do ý nghĩa
đặc biệt của nó đối với sự phát triển của công nghệ [45–59]. Do vậy, đã
hình thành một lĩnh vực nghiên cứu mới đó là Vật lý của các hệ lượng tử
trong không gian giới hạn.
Vì các lý do nêu trên, chúng tôi đã quyết định chọn đề tài của luận án
là Nghiên cứu các hiệu ứng trong không gian giới hạn của ngưng
tụ Bose-Einstein hai thành phần.

2. Lịch sử vấn đề
BEC được tiên đoán bằng lý thuyết bởi Bose S. N. và Einstein A. cách
đây hơn 90 năm [60]. Thí nghiệm về BEC của khí boson siêu lạnh (87 Rb,
23

Na, 7 Li) được tạo ra sau đó 70 năm [61–66]. Những kết quả thí nghiệm

xác nhận sự tồn tại của BEC đã được ghi nhận bằng giải Nobel vật lý
năm 2001 trao cho Conell E. A., Wieman C. E. và Ketterle W. vì những

thành tựu nghiên cứu thực nghiệm ngưng tụ khí loãng của các nguyên tử
kiềm [64]. Kể từ đó, kỹ thuật thực nghiệm về khí siêu lạnh phát triển rất
mạnh mẽ, người ta đã tạo ra được BEC từ hai thành phần khí khác nhau.
Phương pháp cộng hưởng Feshbach cho phép điều khiển được hầu hết các
tham số quan trọng, chẳng hạn như cường độ tương tác giữa hai thành
phần, nhằm tạo ra những trạng thái bất kỳ theo ý muốn [12]. Nhờ đó,
nhiều hiện tượng lượng tử trong hệ BECs như các bất ổn định, sự hình
thành các xoáy (votex), các vách ngăn (domain wall) giữa hai thành phần,
các trạng thái soliton, các đơn cực (monopole) [67–76] đã được kiểm chứng
bằng thực nghiệm, tạo động lực mạnh mẽ cho các nhà khoa học nghiên
cứu về loại vật chất đặc biệt này.
2


Bước phát triển cực kỳ quan trọng của nghiên cứu lý thuyết về BEC
được đánh dấu bởi thành công của Gross E. P. và Pitaevskii L. P. trong
việc thiết lập GPE(s) dựa trên MFA [59, 65, 66]. GPE(s) cho thấy hàm
sóng ngưng tụ thỏa mãn các phương trình thủy động lực học [65,66]. Thực
nghiệm cũng đã xác nhận BEC có những tính chất tương tự với chất lỏng
lượng tử (4 He). Từ đây mở ra một hướng nghiên cứu mới đầy triển vọng
đó là nghiên cứu các hiện tượng lượng tử của BEC tương tự với các hiện
tượng đã biết trong thủy động lực học cổ điển, trong đó có sức căng bề
mặt và chuyển pha ướt.
Để nghiên cứu đặc tính vật lý của hệ BECs, việc quan trọng đầu tiên
là phải tìm được hàm sóng của hệ hạt ở trạng thái ngưng tụ thông qua lời
giải của GPEs. Tuy nhiên, GPEs là hệ phương trình vi phân bậc hai phi
tuyến tính liên kết nên việc tìm được lời giải chính xác cho tới nay vẫn
còn là một thách thức, ta chỉ giải quyết được trong một số trường hợp đặc
biệt [43], chủ yếu vẫn phải dựa vào tính số kết hợp với các phương pháp
gần đúng [2, 29, 43, 44, 77].

Bằng giải pháp tuyến tính hóa các tham số trật tự ở mỗi phía của mặt
phân cách, Ao P. và Chui S. T. đã tìm được nghiệm gần đúng của GPEs
cho hệ BECs, từ đó tính được sức căng mặt phân cách của hệ có số hạt
xác định bị giam trong một giếng thế hữu hạn [2].
Trên cơ sở xem xét các giới hạn phân tách yếu và phân tách mạnh của
BECs, Barankov R. A. đã tìm được lời giải cho GPEs ở các điều kiện tương
ứng và xác định được sức căng mặt phân cách của hệ theo hàm sóng ngưng
tụ [16].
Hiện tượng ngưng tụ bị hấp thụ bởi một bức tường quang học (optical
wall), hay còn gọi là chuyển pha ướt trong hệ BECs, được Indekeu J. O. và
Schaeybroeck B. V. đề cập trong [40], sau đó tiếp tục phát triển dựa trên
các tính toán về sức căng bề mặt trong lý thuyết GP của Schaeybroeck B.
V. [41], các nghiên cứu này đã được hoàn thiện trong [42].
Phát triển ý tưởng tuyến tính hóa các tham số trật tự của Ao P. và Chui
S. T. [2], Indekeu J. O. và các cộng sự đã xây dựng thành công phương

3


pháp DPA [43], sau đó được mở rộng thành TPA [44], nhờ đó tìm được
nghiệm giải tích gần đúng của GPEs. Từ đây, các tác giả đã tính toán
một cách chi tiết về sức căng mặt phân cách, sức căng bề mặt của ngưng
tụ tại tường cứng, dựa trên qui tắc Antonov để vẽ giản đồ chuyển pha
ướt. So sánh với kết quả thu được từ các tính toán bằng lý thuyết GP cho
thấy cấu hình ngưng tụ, sức căng mặt phân cách, giản đồ pha ướt trong
DPA và TPA rất tiệm cận với kết quả tính số ở mọi trạng thái phân tách
của hệ từ phân tách yếu (weak segregation) tới phân tách mạnh (strong
segregation) [43, 44].
Kết quả của các nghiên cứu trên đều có một điểm chung đó là sức căng
mặt phân cách là năng lượng tương tác giữa hai thành phần ngưng tụ trên

một đơn vị diện tích mặt phân cách, đóng góp của mỗi thành phần vào sức
căng mặt phân cách tỉ lệ thuận với độ dài hồi phục của hàm sóng ngưng
tụ tương ứng [2, 16, 41–45].
Trong luận án này, chúng tôi mở rộng phương pháp DPA để nghiên cứu
hệ BECs bị giới hạn bởi các tường cứng nhằm xem xét ảnh hưởng của sự
giới hạn không gian tới các tính chất vật lý bề mặt tĩnh và hiện tượng
chuyển pha ướt của hệ.

3. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu ảnh hưởng của sự giới hạn không gian tới các tính chất vật
lý của hệ BECs bị giới hạn bởi các tường cứng song song với mặt phân
cách, ở trạng thái cân bằng.

4. Đối tượng, nhiệm vụ, phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Hệ BECs bị giới hạn bởi một tường cứng và
hai tường cứng.
• Nhiệm vụ nghiên cứu:

4


♦ Tìm hàm sóng ngưng tụ của hệ thoả mãn điều kiện biên Dirichlet,
điều kiện biên Robin tại các tường cứng;
♦ Xác định sức căng mặt phân cách giữa hai thành phần;
♦ Xác định sức căng bề mặt của ngưng tụ tại tường cứng;
♦ Vẽ giản đồ chuyển pha ướt của ngưng tụ trên bề mặt tường cứng;
♦ Chỉ ra ảnh hưởng của sự giới hạn không gian đối với các tính
chất vật lý của hệ;
♦ Đề xuất mô hình thí nghiệm kiểm chứng kết quả nghiên cứu và
một số vấn đề nghiên cứu tiếp theo.


• Phạm vi nghiên cứu: Hệ BECs ở nhiệt độ cực thấp, không phụ thuộc
thời gian, trong GCE và CE.

5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp MFA, phương pháp MDPA, phương pháp tính số với sự
hỗ trợ của các phần mềm tính toán.

6. Đóng góp của luận án
Luận án đóng góp những kết quả nghiên cứu mới về tính chất vật lý
của hệ BECs bị giới hạn bởi các tường cứng, những đóng góp chính được
trình bày trong phần Kết luận của luận án.

7. Cấu trúc của luận án
Ngoài các phần mở đầu và kết luận, nội dung chính của luận án được
trình bày trong 3 chương:
Chương 1. Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein và lý thuyết
về hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách
1.1. Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein
5


1.2. Lý thuyết Gross-Pitaevskii cho hệ BECs không giới hạn
1.3. Phương pháp DPA cho hệ BECs không giới hạn
1.4. Phương pháp MDPA cho hệ BECs bị giới hạn bởi các tường cứng
1.5. Năng lượng dư trên mặt phân cách của hệ BECs
Chương 2. Sức căng mặt phân cách và hiện tượng chuyển pha
ướt trong hệ BECs bị giới hạn bởi một tường cứng
2.1. Trạng thái cơ bản của hệ BECs bị giới hạn bởi một tường cứng
2.2. Sức căng mặt phân cách và hiện tượng chuyển pha ướt của hệ BECs

trong tập hợp chính tắc lớn
2.3. Sức căng mặt phân cách của hệ BECs trong tập hợp chính tắc
Chương 3. Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt
phân cách trong hệ BECs bị giới hạn bởi hai tường cứng
3.1. Trạng thái cơ bản của hệ BECs bị giới hạn bởi hai tường cứng
3.2. Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách với điều
kiện biên Dirichlet tại hai tường cứng. Lực Casimir-like
3.3. Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách với điều
kiện biên Robin tại hai tường cứng

6


Chương 1
Tổng quan về ngưng tụ
Bose-Einstein và lý thuyết về hệ
ngưng tụ Bose-Einstein hai thành
phần phân tách
Chương này sẽ trình bày những vấn đề cơ bản có liên quan trực tiếp
tới các nghiên cứu ở các chương tiếp theo, bao gồm những nội dung chính
như sau: Tổng quan về BEC; Lý thuyết GP và phương pháp DPA cho hệ
BECs không giới hạn; Phương pháp MDPA cho hệ BECs bị giới hạn bởi
các tường cứng; Năng lượng dư (excess energy) trên mặt phân cách của hệ
BECs trong GCE và CE. Trong đó trọng tâm là GPEs và phương pháp
MDPA cho hệ BECs bị giới hạn bởi các tường cứng.

7


1.1.


Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein

1.1.1.

Hiện tượng ngưng tụ Bose-Einstein

Trong hệ khí boson lý tưởng (không tương tác) gồm N hạt có spin
nguyên chiếm thể tích V và tuân theo quy luật thống kê Bose-Einstein, số
hạt có năng lượng từ εk đến εk + dε là dN (εk ) = n
¯ (εk )ρ(εk )dε, trong đó

1

n
¯ (εk ) =
e

εk −µ
kB T

(1.1)

−1

là công thức thống kê Bose-Einstein xác định số hạt trung bình lấp đầy
các mức năng lượng trong khoảng (εk , εk + dε),

ρ(εk ) =


gV (2m)3/2 1/2
εk .
4π 2 3

(1.2)

Ở đây, µ là thế hóa học, kB là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ tuyệt
đối của hệ, g là bội suy biến (phụ thuộc vào spin) của năng lượng εk , m
là khối lượng của hạt, là hằng số Planck rút gọn.
Vì N hạt chiếm tất cả các mức năng lượng có thể có nên số hạt của hệ
được xác định bởi
+∞

N=

+∞

gV (2m)3/2
n
¯ (ε)ρ(ε)dε =
4π 2 3

dN (ε) =
0

+∞

ε−µ

0


0

ε1/2

dε.

(1.3)

e kB T − 1

Sử dụng (1.2) và (1.3) ta tính được tổng số hạt của hệ theo nhiệt độ
tới hạn Tc (nhiệt độ tại đó µ = 0)

N = 2.31

g(mkB Tc )3/2 V
√
2π 2 3

(1.4)

và nhiệt độ tới hạn theo mật độ hạt
2 2/3

Tc ≈ 3.31

n
,
g 2/3 mkB


với n = N/V là mật độ hạt.
8

(1.5)


Trong khoảng nhiệt độ 0 ≤ T ≤ Tc , số hạt có năng lượng ε > 0 của hệ
được xác định tương tự như (1.4)

N (ε > 0) = 2.31

g(mkB T )3/2 V
√
.
2π 2 3

(1.6)

Năng lượng của hạt không thể âm nên số hạt còn lại tồn tại ở trạng thái

ε = 0, số hạt này là
N (ε = 0) = N − N (ε > 0) = N 1 −

T
Tc

3/2

.


(1.7)

Nếu nhiệt độ của hệ hạt boson nhỏ hơn nhiệt độ mà tại đó thế hóa học
bằng 0 (T < Tc ) thì phần lớn số hạt trong hệ cùng chiếm trạng thái có mức
năng lượng thấp nhất. Hiện tượng này được gọi là hiện tượng ngưng tụ
Bose-Einstein. BEC cũng xảy ra đối với những hạt fermion trong trường
hợp chúng kết cặp với nhau tạo thành các hạt "giả" boson [45].
Dựa vào (1.5) ta ước lượng được nhiệt độ xuất hiện chuyển pha BEC
là rất nhỏ, dưới 10−3 (K), tương đương với nhiệt độ của những nguyên tử
lạnh nhất trong vũ trụ. Các thí nghiệm đầu tiên đã xác nhận nhiệt độ của
BEC cỡ 10−4 (K).
Vì boson là những hạt có spin nguyên, số hạt cùng chiếm một trạng
thái lượng tử không bị khống chế bởi nguyên lý loại trừ Pauli, nên số hạt
ngưng tụ càng lớn nếu tổng số hạt (N ) của hệ càng nhiều và nhiệt độ (T )
của hệ càng nhỏ so với nhiệt độ tới hạn Tc , tất cả các hạt của hệ cùng ở
trạng thái ngưng tụ tại T = 0(K), không có hạt nào ở trạng thái ngưng
tụ nếu T > Tc .
Bước sóng de Broglie của vi hạt được xác định thông qua nhiệt độ của
hệ

λT =

2π 2
,
mkB T

(1.8)

bước sóng này cùng cỡ với khoảng cách trung bình giữa các hạt ở trạng

thái ngưng tụ.
9


1.1.2.

Phương trình Gross-Pitaevskii và các phương trình thuỷ
động lực học của hàm sóng ngưng tụ

a. Phương trình Gross-Pitaevskii
Để mô tả trạng thái ngưng tụ của hệ N hạt boson, ta thiết lập GPE
trong MFA từ Lagrangian L = Ldx [65, 66]. Ở đây,
V

L=

i
ψ ∗ ∂t ψ − ψ∂t ψ ∗ − Hb ,
2

(1.9)

√
với ψ = ψ(x, t) = N ϕ(x, t) là hàm sóng của hệ hạt, ϕ(x, t) là hàm sóng
đơn hạt thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa,
2

Hb = −

2m


ψ ∗ ∇2 ψ + U (x)|ψ|2 +

G 4
|ψ|
2

(1.10)

là mật độ Hamiltonian, U (x) là mật độ thế ngoài, G = 4π 2 a/m là cường
độ tương tác giữa các hạt, a là độ dài tán xạ sóng s (s-wave scattering
length) xác định kiểu tương tác giữa các hạt (a > 0 ứng với tương tác đẩy,
a < 0 ứng với tương tác hút).
Tác dụng S của hệ được xác định bởi S = L dt. Trong phép biến đổi
trường ψ → ψ + δψ , tác dụng S cũng biến đổi S → S + δS . Các biến đổi
δS
này phải tuân theo nguyên lý tác dụng tối thiểu δψ
= 0, biến đổi của tác
dụng S gây nên bởi sự biến đổi của trường bằng 0. Từ đây ta có phương

trình Euler-Lagrange

∂L
∂L
− ∂ν
= 0,
∂ψ
∂(∂ν ψ)

(1.11)


với ν = (x, y, z˜, t). Sử dụng (1.11) tìm được phương trình
2

i ∂t ψ = −

2m

∇2 ψ + U (x)ψ + G|ψ|2 ψ

(1.12)

gọi là GPE phụ thuộc thời gian.
Nếu biểu diễn hàm sóng của hệ hạt dưới dạng ψ = Ψ(x)e−iµt/ , Ψ(x)
là hàm thực, thì (1.12) trở thành
2

−

2m

∇2 Ψ(x) + U (x)Ψ(x) + G|Ψ(x)|2 Ψ(x) = µΨ(x).
10

(1.13)


Phương trình (1.13) có dạng của phương trình Schr¨odinger dừng, trong
đó mật độ thế tác dụng lên các hạt là tổng của mật độ thế ngoài U (x) và
thành phần phi tuyến G|Ψ(x)|2 , được gọi là GPE không phụ thuộc thời

gian. Lời giải của (1.13) cho biết hàm sóng ở trạng thái cơ bản của hệ hạt
boson.
b. Các phương trình thủy động lực học của ngưng tụ
Nhân hai vế (1.12) với liên hợp phức của hàm sóng ψ ∗ rồi trừ đi kết
quả nhân liên hợp phức của nó với ψ và thực hiện một vài biến đổi toán
học ta thu được

∂t |ψ|2 + ∇

i
ψ∇ψ ∗ − ψ ∗ ∇ψ
2m

=0

(1.14)

hay

∂t n + ∇(nv) = 0,

(1.15)

i
trong đó n = |ψ|2 , v = 2mn
ψ∇ψ ∗ − ψ ∗ ∇ψ là vận tốc của ngưng tụ,
j = i2 ψ∇ψ ∗ − ψ ∗ ∇ψ là mật độ động lượng của ngưng tụ. Phương trình

(1.15) được gọi là phương trình liên tục của ngưng tụ.
Một cách đơn giản, biểu thức của hàm sóng được viết dưới dạng hai

thành phần gồm biên độ và pha của nó là

ψ = ψ0 eiφ .

(1.16)

Thay (1.16) vào (1.12) rồi tách riêng phần thực - phần ảo ta thu được

∂t |ψ0 |2 = −

m

∇(|ψ0 |2 ∇φ)

(1.17)

là phương trình chuyển động của biên độ,

∂t φ = −

1 δE
δn

(1.18)

là phương trình chuyển động của pha.
(1.15), (1.17) và (1.18) cho thấy ta có thể nghiên cứu các hệ ở trạng
thái BEC trên quan điểm xem chúng như các chất lỏng lượng tử.
11



1.2.

Lý thuyết Gross-Pitaevskii cho hệ BECs không
giới hạn

Sau đây, bằng nguyên lý tác dụng tối thiểu ta sẽ thiết lập GPEs cho hệ
BECs từ mật độ Lagrangian trong MFA.
Mật độ Lagrangian của hệ BECs trong trường hợp tác dụng của thế
ngoài bị triệt tiêu là
2

L=
j=1

i
ψj∗ ∂t ψj − ψj ∂t ψj∗ − Hb ,
2

(1.19)

trong đó
2

ψj∗ −

Hb =
j=1

2


2mj

∇2 ψj + V(ψ1 , ψ2 )

(1.20a)

là mật độ Hamiltonian trong pha khối,
2

V(ψ1 , ψ2 ) =
j=1

gjj
|ψj |4 + g12 |ψ1 |2 |ψ2 |2
2

(1.20b)

là mật độ thế tương tác giữa các hạt (gọi tắt là mật độ thế tương tác).
Hàm sóng của thành phần j(j = 1, 2) ψj = ψj (x, t), với x = (x, y, z˜),
đóng vai trò là tham số trật tự, mj là khối lượng hạt. Cường độ tương tác
đẩy giữa hai hạt cùng loại là gjj = 4π 2 ajj /mj > 0, giữa hai hạt khác loại
là gjj = 2π 2 (1/mj + 1/mj )ajj > 0, ajj và ajj là độ dài tán xạ sóng s.
2
Điều kiện để hệ ở trạng thái phân tách là g12
− g11 g22 > 0 [2].
Áp dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu ta tìm được phương trình Euler-

Lagrange cho mỗi thành phần


∂L
∂L
− ∂ν
= 0,
∂ψj
∂(∂ν ψj )

(1.21)

từ đây tìm được GPEs phụ thuộc thời gian
2
∂ψj
i
= −
∇2 + gjj |ψj |2 + gjj |ψj |2 ψj .
∂t
2mj

12

(1.22)


Nếu hàm sóng của mỗi thành phần được viết dưới dạng ψj (x, t) =
Ψj (x)e−iµj t/ , trong đó Ψj = Ψj (x) là các hàm thực, µj là thế hóa học
của thành phần j , với giả thiết hàm sóng ở trạng thái cơ bản Ψj (x) không
phụ thuộc vào các tọa độ (x, y), Ψj (x) ≡ Ψj (˜
z ), thì mật độ Hamiltonian
(1.20a) và mật độ thế tương tác (1.20b) trở thành

2

Ψ∗j −

Hb =
j=1

2

2mj

∂z˜2 Ψj + V(Ψ1 , Ψ2 ),

2

−µj |Ψj |2 +

V(Ψ1 , Ψ2 ) =
j=1

(1.23a)

gjj
|Ψj |4 + g12 |Ψ1 |2 |Ψ2 |2 , (1.23b)
2

GPEs (1.22) trở thành
2

−


2m1

∂z˜2 Ψ1 − µ1 Ψ1 + g11 |Ψ1 |3 + g12 |Ψ2 |2 Ψ1 = 0,

(1.24a)

∂z˜2 Ψ2 − µ2 Ψ2 + g22 |Ψ2 |3 + g12 |Ψ1 |2 Ψ2 = 0.

(1.24b)

2

−

2m2

√
Sử dụng các đại lượng z = z˜/ξ1 , φj = Ψj / nj0 = φj (z), ξ = ξ2 /ξ1 , K =
√
g12 / g11 g22 > 1, P = µ2j /2gjj = gjj n2j0 /2, (1.23) và (1.24) được viết dưới
dạng

ˆ b = Hb =
H
2P

2

φj

j=1

ˆ 1 , φ2 ) = V(Ψ1 , Ψ2 ) =
V(φ
2P

ξj2 2
ˆ 1 , φ2 ),
− 2 ∂z φj + V(φ
ξ1
2

j=1

(1.25a)

1
− |φj |2 + |φj |4 + K|φ1 |2 |φ2 |2 ,(1.25b)
2

và

−∂z2 φ1 − φ1 + |φ1 |3 + K|φ2 |2 φ1 = 0,

(1.26a)

−ξ 2 ∂z2 φ2 − φ2 + |φ2 |3 + K|φ1 |2 φ2 = 0.

(1.26b)


Hệ phương trình (1.24) được gọi là TIGPEs, ở dạng không thứ nguyên
là (1.26), nghiệm của nó cho biết trạng thái cơ bản của hệ BECs với mặt
phân cách giữa hai thành phần là mặt phẳng nằm tại z˜0 . Do tính chất đối
xứng vô hạn của hệ dọc theo trục O˜
z , ta luôn có z˜0 = 0.
13


Đại lượng nj0 là hằng số xác định mật độ hạt của thành phần j tại
những vùng không gian đủ xa các biên sao cho ngưng tụ tại đó ở trạng
thái đồng nhất (homogeneous state).
P là áp suất của ngưng tụ có độ lớn như nhau trong cả hai thành phần
khi chúng cùng ở pha cân bằng [41].
Độ dài hồi phục của hàm sóng ngưng tụ, ξj = / 2mj gjj nj0 , là khoảng
cách trên đó hàm sóng ngưng tụ tăng từ 0 đến giá trị cực đại.
K là đại lượng đặc trưng cho mức độ phân tách của hệ BECs. Trong
khuôn khổ luận án này, ta chỉ nghiên cứu hệ BECs ở trạng thái không trộn
lẫn (K > 1) và trạng thái demixing (K = 1). Với K > 1 và hữu hạn, hai
thành phần không phân tách hoàn toàn mà chúng thâm nhập lẫn nhau.
Nói cách khác là chúng chồng lấn lên nhau ở vùng giáp danh với mặt phân
cách. Độ sâu thâm nhập (hay độ rộng của vùng không gian chồng lấn)
giữa hai thành phần phụ thuộc vào cường độ tương tác giữa các hạt (K )
và độ dài hồi phục của các hàm sóng ngưng tụ (ξ ).
Các hàm sóng ngưng tụ và đạo hàm bậc nhất của nó theo tọa độ z là
các hàm liên tục. Do đó, mật độ thế tương tác (1.25b) cũng là hàm liên
tục theo tọa độ. Lấy đạo hàm của (1.25b) theo các tham số trật tự φj rồi
so sánh kết quả với (1.26) ta tìm được TIGPEs không thứ nguyên dưới
dạng

ˆ 1 , φ2 )

1 ∂ V(φ
,
2
∂φ1
ˆ 1 , φ2 )
1 ∂ V(φ
ξ 2 ∂z2 φ2 =
.
2
∂φ2

∂z2 φ1 =

(1.27a)
(1.27b)

Các phương trình này cho thấy đạo hàm bậc hai của hàm sóng theo z
và đạo hàm bậc nhất của mật độ thế tương tác theo các tham số trật tự
không liên tục.
Vì hệ BECs đang xét là vô hạn và sự phân tách giữa hai thành phần
xảy ra trên mặt phẳng (xOy) nên các hàm sóng ngưng tụ trong TIGPEs

14


(1.26) thỏa mãn điều kiện biên Dirichlet

φ1 (z → +∞) = φ2 (z → −∞) = 1,

(1.28a)


φ2 (z → +∞) = φ1 (z → −∞) = 0,

(1.28b)

khi thành phần 1 (với hàm sóng φ1 ) chiếm vùng không gian z > 0 còn
thành phần 2 (với hàm sóng φ2 ) chiếm vùng không gian z < 0.
Tìm nghiệm của (1.26) là một trong những bài toán cơ bản khi nghiên
cứu các hệ BECs. Tuy nhiên cho tới hiện nay, việc tìm lời giải chính xác
cho hệ phương trình vi phân phi tuyến tính bậc hai liên kết mới chỉ giải
quyết được trong một số trường hợp đặc biệt, chủ yếu vẫn phải dựa vào
các phương pháp gần đúng và tính số. Sau đây là một số trường hợp mà
lời giải chính xác của (1.26) thỏa mãn (1.28) được tìm thấy [43].

• Trường hợp 1: K → +∞. Khi đó, hai thành phần ngưng tụ không
còn chồng lấn lên nhau, mỗi thành phần chiếm giữ hoàn toàn một
nửa không gian tựa như chúng bị ngăn cách bởi một "tường cứng" có
dạng là mặt phẳng tại z0 = 0. Khi đó
lim K|φj |2 |φj |2 = 0,

K→+∞

(1.29)

nghĩa là ta có thể bỏ qua các số hạng K|φj |2 φj ở (1.26) và tìm được
nghiệm của nó

√
φ1 = tanh[z/ 2],
√

φ2 = tanh[−z/ 2ξ].

(1.30a)
(1.30b)

(1.30) cho thấy càng gần mặt phân cách mật độ ngưng tụ càng giảm,
nó chính xác bằng 0 tại mặt phân cách. Tốc độ giảm mật độ ngưng
tụ của mỗi thành phần khi tiến về mặt phân cách tỷ lệ với nghịch
đảo độ dài hồi phục tương ứng (∼ 1/ξj ). Hiện tượng này đã làm rõ
ý nghĩa vật lý của đại lượng ξj (độ dài hồi phục của hàm sóng ngưng
tụ).

15


• Trường hợp 2: K = 3, ξ = 1.
√
1
1 + tanh(z/ 2) ,
φ1 =
2
√
1
φ2 =
1 − tanh(z/ 2) .
2

(1.31a)
(1.31b)


• Trường hợp 3: K = 3/2, ξ = 1/2.
√
1
1 + tanh(z/ 2) ,
2
√
1
1 − tanh(z/ 2) .
φ2 =
2
φ1 =

(1.32a)
(1.32b)

Nhân (1.26a) với ∂z φ1 , nhân (1.26b) với ∂z φ2 , cộng các kết quả lại với
nhau rồi lấy tích phân theo z trong khoảng (−∞; +∞), chú ý tới điều kiện
biên (1.28), ta chứng minh được rằng các hàm sóng ngưng tụ φj thỏa mãn
2
2

2

2

(∂z φ1 ) + ξ (∂z φ2 ) +
j=1

1
1

|φj |2 − |φj |4 − K|φ2 |2 |φ1 |2 =
2
2

(1.33)

gọi là hằng số của chuyển động (constant of the motion) hoặc tích phân
thứ nhất (the first integral) [42].

1.3.

Phương pháp DPA cho hệ BECs không giới
hạn

Như trên đã nêu, cho tới nay, tìm lời giải chính xác của (1.26) vẫn còn
là một thách thức. Do đó, ta phải tìm nghiệm của nó dựa vào các phương
pháp gần đúng. Mức độ chính xác của phương pháp gần đúng được đánh
giá thông qua việc so sánh nghiệm gần đúng với nghiệm tính số. Phương
pháp DPA được đề xuất bởi Indekeu J. O. và các cộng sự trong [43] như
sau.
Đối với hệ BECs thoả mãn (1.26) và (1.28), trong vùng z z0 (z z0 )
ta có φ2 → 0(φ1 → 0), nên hàm sóng ngưng tụ ở mỗi phía của mặt phân
cách được khai triển theo các hệ thức
16