CÁC DẠNG BÀI TẬP TÍNH GIỚI HẠN



Đây là phần cơ bản nhất của Giải Tích I các bạn nên nắm chắc để áp dụng cho các dạng
bài tập về sau
Bước đầu tiên khi làm một câu giới hạn là lấy số x tiến tới thay vào biểu thức tính lim để
phân dạng ^^





1  x  x thay x   vào biểu thức ta được







VD: lim




 Câu này thuộc dạng   
Có tất cả 5 dạng tính lim bất định cần nhớ
Khi ta thay x vào mà có thể tính được giá trị của bt thì đó chính là giá trị của lim

x

1       

DẠNG 1: CÁC BÀI TẬP DẠNG   
1, Cách giải
- Về dạng này các bạn đã gặp nhiều ở lớp 11 cách giải vẫn không thay đổi
- Ta thường dùng cách nhân liên hợp
2, Ví dụ
Tính lim

x



1 x  x



 Thay x   vào ta thấy dạng    => Nhân liên hợp
1 x  x
1
 lim 1  x  x  lim
 lim
0
x 
x  1  x  x
x 1  x  x




3, Bài tập: a ) lim

x





x2  2 x  5  x



b) lim

x

DẠNG 2: CÁC BÀI TẬP DẠNG



3

x3  x 2  1  x



0 
,
0 


1, Cách giải
- Dạng này ta áp dụng quy tắc L’Hospital
f  x
f ' x 
- Quy tắc L’Hospital: lim
 lim
x x g  x 
x x g '  x 
0

0

- Có thể áp dụng L’Hospital nhiều lần để đưa biểu thức tính lim về dạng dễ tính 


x3  2 x  5
Tính lim
x 2 x 3  9 x  3

2, Ví dụ


=> L’

x3  2 x  5 L '
6x
6
1

lim


lim

 L’ 2 lần ta được lim
x 2 x 3  9 x  3 x 12 x
x 12
2
 Thay x   vào ta thấy dạng

3, Bài tập
arctan 2 x  2arctan x
( K 60)
x 0
x3

a )lim

sin x
( K 59)
x 0 e 3 x  1

b)lim

DẠNG 3: CÁC BÀI TẬP DẠNG 0.
1, Cách giải
0
0

0.  1 /   0
- Ta có 

=> đưa về được dạng 2


0. 


1/ 0 
- Cách làm tương tự

2, Ví dụ

2

Tính lim x ln  .arctan x 
x



 Thay x vào ta thấy dạng 0.
 Ta sẽ ưu tiên để ln trên tử để sử dụng L’ dễ dàng
2

1
1
ln  .arctan x 
.

2

  lim 1  x 2 arctan x

lim x ln  .arctan x   lim 
1
x 
x
x 1

 x
 2

x
 x2
2
 lim

2
x  1  x arctan x






3, Bài tập
 x

a )lim  tan
ln  2  x  
x1 
2



b) lim ln x.ln  x  1 
x1


Dạng 4: Tính giới hạn bằng phương pháp thay thế vô cùng bé(VCB),
vô cùng lớn(VCL); ngắt bỏ VCB bậc cao, VCL bậc thấp
1, Cách giải
- Phương pháp này rất quan trọng các bạn cần phải nắm vững sau này có thế áp
dụng cho rất nhiều bài tập.
- Một số VCB tương đương khi x  0 ( Học thuộc)
ax 1
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln( x  1) ~ e  1 ~
ln a
x2

1  cos x ~
1  x   1 ~  x
2
- Quy tắc ngắt bỏ VCB, VCL
x

+ VCB: Nếu f(x) bậc cao h(x) thì f ( x)  g ( x) ~ g ( x)
Làm ví dụ cho dễ hiểu
x  x 4  x8
x 1
 lim 
 lim
8
x0 2 x  sin x

x0 2 x
2
 Vì khi x  0 thì x  0 x 4  0 x8  0 vì x bậc thấp nhất nên ta ngắt x 4 x8
+ VCL: Ta ngắt bỏ ngược với VCB

x 4  3x
x4 1
 lim 4 
Ví dụ: lim 4
x 2 x  x 2
x 2 x
2
2, Ví dụ dùng VCB tương đương
Tính các giới hạn sau

sin x
a )lim 3 x
x0 e  1

3

arctan x
1
ex  1  x2
2
b)lim
c) lim x 1  cos  d )lim
x0 2 x  x 2
x
x0

x
x tan x


sin x
x 0 e 3 x  1
 Cách 1: Thay x  0 vào thấy dạng 0/0 => dùng L’

a) lim

 Cách 2: Thay x  0 vào thấy sin x  0 e3 x  1  0 => sin x và e3 x  1  0 là 2 VCB
 Vậy sin x ~ x; e3 x  1 ~ 3 x
sin x
x 1
 lim 
3
x
x 0 e  1
x 0 3 x
3

 Nên lim


arctan x
x 0 2 x  x 2
 Cách 1: ………
 Cách 2: Nhìn mẫu có tổng của 2 cái tiến tới 0 => Ngắt bỏ VCB trước
arctan x
arctan x

 lim

lim
x 0 2 x  x 2
x0
2x
 Thay x  0 thấy arctan x  0 => arctan x là VCB
 arctan x ~ x
arctan x
arctan x
x 1
 lim
 lim 
 lim
2
x0 2 x  x
x 0
x0 2 x
2x
2
 => Nên ngắt bỏ VCB trước khi thay thế VCB
1

c) lim x 2 1  cos 
x
x

 Cách 1:……..
1
 Cách 2: câu này để ý một chút khi thay x   thì  0

x

b) lim

1
2
1
1  x 
X
 Ta có 1  cos X ~
khi X  0 ở đây có   0 nên 1  cos ~
2
x
x
2

2

2

1
 
1
1
2
2 x
 lim x 1  cos   lim x

x
x  x

2
2


 => VCB không nhất thiết phải là x nó có thể thay thế cả biểu thức nếu biểu
thức đó tiến tới 0 khi x  0
3

e x  1  x2
d) lim
x0
x tan x
 Cách 1:…….
3

 Cách 2: Ta thấy e x  1 và tan x là 2 VCB có thể thay thế nhưng trên tử là
3

e x  1  x 2 về nguyên tắc chúng ta không thể thay thể VCB vào tổng được nên ta
tách làm 2 lim rồi thay thế VCB
3

3

ex  1  x2
ex  1
x2
x3
x2
 lim

 lim
 lim
 lim
1
 lim
x 0
x0 x tan x
x0 x tan x
x0 x.x
x0 x.x
x tan x
 => Nếu muốn thay thế VCB vào tổng thì tách ra thành 2 lim

3, Chú ý
 Chỉ được thay thế VCB khi VCB đứng 1 mình hoặc trong tích nếu muốn thay vào
tổng phải tách thành 2 lim


 Không được thay VCB vào hiệu
tan x  sin x
VD: lim
x 0
x3
tan x  sin x
xx

lim
0
x 0
x 0 x 3

x3

+ Cách thay thế VCB trực tiếp lim
+ Cách 2:

 1

 1

1 2
sin x 
 1
 1
x

tan x  sin x
1
 cos x   lim  cos x   lim 1  cos x  lim 2
lim

lim

x 0
x 0
x 0
x 0 x 2 cos x
x0 x 2 cos x
2
x3
x3

x2
Vậy cách 1 sai sml ^^

4, Bài tập
a )lim



arctan x ln 1  2 x 2



x3
2 x  x 2  ln x  4.3x
b) lim 2
x x  x  2ln x  5.2 x  2.3 x
x 0

c)lim
x 0

x  sin 2 x  tan 3 x   arcsin x 
2 x  3 x3  2  arctan x 

2

x.sin 2 3 x.tan 3 x.arcsin 4 x
x0 sin 2 x.arcsin 5 x.arctan 4 2 x

d )lim


4

e)lim

sin 3 x.sin 2 x
3 4

x  x 

x 0

DẠNG 4: CÁC BÀI TẬP DẠNG

1 ,00 ,  0

1, Cách giải
a) Dạng 1 :
 Ta học thuộc công thức biến đổi sau
lim v ln u
v

u 1
v 

v

u 
v 0


lim u  e

u 1
v 

 Sau đó dùng VCB
b) Dạng 0 và 00
 Ta học thuộc công thức biến đổi sau
lim v ln u

lim u  e

u 
v 0

 Sau đó dùng L’
 Dạng 00 tương tự


2, Ví dụ
 x2
Tính a ) lim 

x  x  1 
 x2
a) lim 

x  x  1 

2 x 5


1 

b) lim 1 

x 
x 5

2x

c)lim x x

2

x 0

2 x 5

 Thay x   thấy dạng 1
lim v ln u
v

 Ốp công thức lim u  e

u 1
v 

u 1
v 


 x2
 lim 

x  x  1 

2 x 5

e

 Khi x   thấy

 x2
 lim 

x  x  1 

 x2 
lim 2 x 5  ln 

x
 x 1 

e

1 

lim 2 x 5  ln 1

x
 x 1 


1 
1

 0 vậy ln 1 
 là 1 VCB
x 1
x 1


2 x 5

e

 x2 
lim 2 x 5 ln 

x
 x 1 

e

1 

lim 2 x 5 ln 1

x
 x 1 

 Ta thấy sau khi thay thế VCB được


e

lim
x

giải nhanh lim u  e

u 1
v 

u 1
v 

1 

b) lim 1 

x 
x5

2x

 Thay x   thấy dạng 1
1 

 Ốp công thức ta được lim 1 

x 
x 5


c) lim x x

2x

e

lim 2 x.
x

1
x 5

2

x0

 Thay x  0 thấy dạng 00
 Ốp công thức ta được
2

lim x x  e
x 0



lim x 2 ln x
x0

 e2


1
x2

 1 nên dạng 1 có công thức
x 1 x 1

lim v u 1

v

2 x 5
x 1

 eA  1

1
L'
ln
x
x3
2
x
A  lim x ln x  lim 2  lim
 lim
0
x 0
x 0 x
x 0 2 x 3
x0 2 x




2
5
e


3, Bài tập



x

a )lim e  x
x 0



1
x

1

b)lim  tan x 
x 0

2 x 

 1  tan x  arcsin

c)lim 

x0  1  sin x 

2

x

DẠNG 5: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG NGUYÊN LÝ KẸP VÀ HÀM BỊ CHẶN
1, Cách giải
a) Nguyên lý kẹp có g ( x)  f ( x)  h( x)
Mà lim g ( x)  lim h( x)  a  lim f ( x)  a
x x0

x  x0

x  x0

b) Hàm bị chặn
Nếu hàm số f ( x) bị chặn và lim g ( x)  0
x x0

Thì lim f ( x) g ( x)  0
x x0

2, Ví dụ
Tính lim x.sin
x 0

1

x

1

 1
1
x
 Ta có
x.sin  0
  lim
x 0
x
lim x  0 
x 0

sin