ỦY BAN NHÂN DÂN HUYỆN THANH MIỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BẢN MÔ TẢ SÁNG KIẾN
Giúp HS vận dụng tốt “Toán trồng cây” trong giải toán.
Môn : Toán lớp 5.

Năm học 2016 - 2017

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến: Giúp HS vận dụng tôt “ Toán trồng cây ” trong


giải

toán.
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục - Môn: Toán
3. Tác giả:
Họ và tên:
Bùi Văn Đóa
Nam
Ngày ,tháng,năm sinh: 18/01/1972.
Trình độ chuyên môn: Đại học Sư phạm Tiểu học.
Chức vụ, đơn vị công tác: Trường Tiểu học Phạm Kha.
Điện thoại: 0986927378
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Trường Tiểu học Phạm Kha – Thanh

Miện - Hải Dương.
SĐT: 03203736322.
5. Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Trường Tiểu học Phạm Kha
SĐT: 03203736322.

6. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Trường có đủ CSVC
phục vụ học 2 buổi /ngày. Có hệ thống máy tính nối mạng internet.
7. Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Tháng 9 năm 2016 đến tháng 2
năm 2017.
TÁC GIẢ

XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ ÁP DỤNG

(ký, ghi rõ họ tên)

SÁNG KIẾN

TÓM TẮT SÁNG KIẾN
Trong những năm gần đây việc thi giải toán trên mạng thực sự là sân chơi bổ
ích cho các em học sinh. Nó đã góp phần nâng cao chất lượng dạy và học ở các
nhà trường, điều đó thể hiện ở chỗ các em thích tham gia thi,tích cực chủ động
và tự giác làm bài do đó đã kích thích khả năng tự học của các em và khơi dậy
trí thông minh sáng tạo đối với các em phù hợp với xu hướng giáo dục hiện
nay.
Trong quá trình giảng dạy cũng như qua theo dõi kết quả thi của các em tôi
nhận thấy thực trạng HS nơi tôi công tác các em rất nhiệt tình hăng say học
tập , tích cực dự thi, song có một số vướng mắc là nội dung thi có một số kiến
thức và kĩ năng giải toán còn hạn chế dẫn đến nhiều bài các em không giải


được,hoặc giải không chính xác hoặc mất nhiều thời gian ,trong đó phải kể đến
các bài toán dạng toán trồng cây.
Để giúp các em giải các bài toán bằng phương pháp trồng cây tốt hơn tôi đã
nghiên cứu, tìm hiểu về các dạng toán trồng cây và đã tìm ra tìm ra những
nguyên nhân dẫn đến các hạn chế của HS trong giải toán, đồng thời tìm ra

phương pháp khắc phục những hạn chế đó giúp các em có kiến thức và kĩ năng
giải toán tốt hơn.Vì vậy năm học 2016 – 2017 tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến
Giúp HS vận dụng tôt “Toán trồng cây ” trong giải toán.” nhằm các bạn
đồng nghiệp tham khảo đóng góp ý kiến để góp phần nâng cao chất lượng dạy
học nói chung.
Trong điều kiện được phân công chủ nhiệm và giảng dạy lớp 5 năm học 2016 –
2017. Tôi đã thực hiện sáng kiến của mình trong thời gian từ tháng 9 năm 2016
đến tháng 2 năm 2017 với 2 nhóm đối tượng học sinh lớp 5A và lớp 5D của
trường tôi.
Về điểm mới của sáng kiến “ Giúp HS vận dụng tốt Toán trồng cây trong
giải toán.” Là ngoài việc giúp HS có kiến thức và kĩ năng giải các bài toán
trồng cây thông thường thì còn có việc giúp học sinh vận dụng các dạng toán
có nội dung khác nhưng giải theo phương pháp toán trồng cây điển hình là toán
về dãy số.
Trong các bài tập ở tiểu học có nhiều bài về dãy số cách đều như tính tổng của
dãy số cách đều, tìm số số hạng của một dãy số cách đều, tìm số chữ số của
một dãy số cách đều, tìm một số hạng theo số thứ tự cho trước ..v..v..Tất cả các
dạng bài tập trên đều liên quan đến các yếu tố như khoảng cách 2 số hạng liền
nhau, khoảng cách 2 số hạng bất kì, số lượng số hạng của dãy số cách đều cho
trước. Do tính chất tương đồng với cách trồng cây trên đường thẳng 2 đầu
đường đều có cây ( số hạng tương ứng với cây, khoảng cách tương ứng với hiệu
2 số hạng liền nhau, đoạn đường tương ứng với hiệu của số đầu dãy với số cuối
dãy) nên ta quy các bài toán về dãy số về toán trồng cây.Việc chủ yếu ở đây là
giúp HS nhận ra mối tương đồng ấy từ đó mượn công thức của tính số cây,
khoảng cách, đoạn đường ...để giải các bài toán về dãy số.
Sau khi các em được dạy theo phương pháp mà sáng kiến đưa ra các em có
được một công thức theo toán trồng cây để tính số số hạng trong một dãy số,


tìm số hạng đầu, cuối hoặc số hạng đứng số thứ tự cho trước hoặc tìm xem một

số có thuộc dãy số đã cho hay không . Khi các em tính thành thạo việc tìm số
số hạng của một dãy số các em vận dụng để giải các bài toán cao hơn như tìm
số chữ số của một dãy số, tính tổng của một dãy số cách đều v..v.
Qua thực nghiệm giảng dạy tại lớp mình phụ trách tôi thấy khi các em được
dạy theo đúng quy trình đã nêu ở phần mô tả trên thì các em đã có tiến bộ rõ
rệt. Đa số các em khi gặp các dạng toán trồng cây các em đều có phương pháp
giải thích hợp. Nhất là các bài toán về dãy số khi quy về cách tính theo toán
trồng cây thì các em đã có được một công thức tính hiệu quả và ngắn gọn hơn
so với trước đó. Điều này đã khẳng định tính hiệu quả của sáng kiến tôi đưa
ra.
Qua đây, tôi cũng đề xuất một số ý kiến đối với các đồng nghiệp là:
- Trong quá trình dạy học tại lớp mình chúng ta cần quan tâm, chú ý giới
thiệu cho HS các phương pháp giải một số dạng toán nâng cao trong đó có toán
trồng cây. Có thể giới thiệu sớm hơn ngay từ lớp 4 để các em có nhiều thời gian
làm quen và vận dụng đối với các dạng toán nâng cao.
- Cần dạy học tuân thủ đúng theo trình tự dạy những bài toán đơn trước,
các bài toán hợp sau , bài sau có sự kế thừa của bài trước , không dạy từng bài
riêng lẻ không liên quan đến nhau.
- Sau mỗi lần cung cấp kiến thức một dạng toán nào đó GV cho HS luyện
giải các bài tương tự trước rồi mở rộng và khắc sâu sau, đối với các bài toán
hợp của nhiều dạng toán GV nên chốt cho HS từng phần giải của bài toán đó,
mỗi phần nó thuộc dạng nào.
- Đối với Toán trồng cây GV cần cung cấp kiến thức trước qua các bài toán
có nội dung trồng cây cụ thể, khi HS quen với phương pháp giải, GV cho HS
giải các bài toán khác như dãy số, cưa cây...v..v và giúp HS nhận ra sự tương
quan với trồng cây từ đó các em mới có kĩ năng nhận dạng và giải theo phương
pháp trồng cây.


MÔ TẢ SÁNG KIẾN

1.Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến.
1.1. Lí do chọn sáng kiến.
Trong hệ thống các môn học ở tiểu học, Toán có một vị trí đặc biệt quan
trọng. Không có ai có thể phủ nhận khả năng ứng dụng rộng rãi kiến thức toán
học vào cuộc sống. Vì thế việc dạy và học Toán thế nào để thu hút sự quan tâm
của mọi giáo viên, học sinh, các bậc phụ huynh và của toàn xã hội.
Là một môn khoa học cơ bản, toán học đã được nhiều nhà sư phạm, nhà khoa
học nghiên cứu cách thể hiện cách dạy sao cho hiệu quả nhất. Vừa đảm bảo
tính phổ thông vừa đảm bảo tính hệ thống của khoa học. Nhưng nó còn đòi hỏi
mỗi học sinh sử dụng gần hết vốn kiến thức về toán học vào hoạt động giải
toán. Để có kỹ năng giải toán đúng, người học không chỉ cần có sự tư duy
khoa học mà còn cần đến rất nhiều vốn kiến thức tổng hợp khác nhau. Mỗi bài
toán đều có nội dung logic được thể hiện bằng những thuật toán. Mỗi bài
toán, dạng toán được trình bày một cách có hệ thống liên quan mật thiết với
nhau.
Trong những năm gần đây việc thi giải toán trên mạng thực sự là sân chơi bổ
ích cho các em học sinh các khối lớp và đã được sự quan tâm của các giáo viên
cũng như các bậc phụ huynh. Để giải được các bài toán trong các vòng thi thì
ngoài các kiến thức và kĩ năng học sinh có được trong chương trình SGK HS
phải được tiếp cận và bồi dưỡng một số dạng toán nâng cao . Điều đó thúc dục
tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến “ Giúp HS vận dụng tôt Toán trồng cây trong


giải toán.” Với điều kiện có hạn , bản thân tôi không thể đưa ra hết các dạng
toán đã xuất hiện trên mạng enternet mà chỉ đưa ra mảng kiến thức về dạng toán
trồng cây và phương pháp nhận dạng và giải dạng toán đó.
1.2 Mục đích nghiên cứu sáng kiến.
- Tìm hiểu phương pháp giải các bài toán dạng “ toán trồng cây” xuất hiện
trong chương trình giải toán trên mạng dành cho học sinh lớp 5.
- Thông qua tìm hiểu để có biện pháp giải các bài toán cho học sinh tiểu học

nói chung và học sinh lớp 5 nói riêng.
- Giúp học sinh nhận thức đúng quy luật của dạng toán và biên pháp giải
các dạng toán đó một cách nhanh nhất.
- Củng cố cho học sinh phương pháp giải các dạng toán cơ bản của tiểu học mà
tiêu biểu là các dạng toán ở lớp 5.
1.3. Nhiệm vụ nghiên cứu của sáng kiến.
- Về mặt nội dung : Phương pháp giải các bài toán quy về dạng toán trồng

cây có trong chương trình tiểu học và lớp 5.
- Mặt kiến thức: Các bài toán có thể vận dụng giải theo các dạng toán trồng
cây
- Thực trạng : Điều tra việc dạy - học và giải toán trên mạng của học sinh
tiểu học tại trường tiểu học tôi đang dạy.
1.4 .Đối tượng, phạm vi nghiên cứu.
- Đối tượng : Tìm hiểu phương pháp giải một số bài toán trong giải toán

trên mạng cho 2 nhóm học sinh lớp 5.Tại trường Tiểu học tôi đang dạy.
- Phạm vi: các học sinh tham dự thi giải toán trên mạng của 2 lớp 5A và 5D.
1. 5. Phương pháp nghiên cứu.
- Nghiên cứu lý luận: Đọc sách, tài liệu để tìm hiểu cơ sở lý luận của đề tài.
- Sử dụng phương pháp nghiên cứu thực hành giải toán để tìm ra phương pháp
giải nhanh nhất.
2.Cơ sở lí luận của vấn đề.
- Như chúng ta biết mọi vấn đề toán học đều bắt nguồn từ thực tiễn cuộc sống.


Phương pháp giải toán nói chung là sự vận dụng các kiến thức đã học về
môn toán và thực tiễn cuộc sống để phù hợp với nội dung kiến thức của đề
toán đưa ra.
- Toán học có tính trừu tượng, khái quát nhưng đối tượng của toán học lại

mang tính thực tiễn. Phương pháp dạy học một số dạng toán được dựa trên
quan điểm thừa nhận thực tiễn là nguồn gốc của nhận thức là tiêu chuẩn của
chân lý. Vì vậy trong quá trình dạy học giải toán ở tiểu học người giáo viên
cần lưu ý:
+ Nắm được mối quan hệ giữa toán học và thực tế đời sống bằng cách làm rõ
thực tiễn của toán học, thông qua các bài toán cụ thể đã có để giúp học sinh
nắm rõ mối quan hệ giữa số học và thực tế. Tổ chức các hoạt động thực hành
có nội dung gắn với thực tế toán học trong thực tiễn.
+ Tổ chức hướng dẫn học sinh vận dụng những kiến thức, kỹ năng toán học để
giải quyết những bài toán có trong chương trình giải toán trên mạng của bộ
giáo dục và đào tạo.
* TOÁN TRỒNG CÂY.
Trong cuộc sống thực tiễn đã xuất hiện tình huống ( việc làm trồng
cây). Khi

mà trồng cây trên một độ dài nhất định, người ta người ta

thường quan tâm đến số cây trồng được ( số cây) và khoảng cách giữa 2
cây liền kề ( khoảng cách) .Vậy số cây trồng và khoảng cách có quan hệ
thế nào trên đoạn đường đó. Điều này đã xảy ra các trường hợp.
2.1 Trồng cây mà 2 đầu đường đều có cây.

- Trong trường hợp này số cây trồng được = số khoảng cách + 1 .
2.2 Trồng cây ở một đầu đường.

- Trong trường hợp này số cây trồng được = số khoảng cách .
* Trồng cây 2 đầu đường không có cây.


- Số cây = khoảng cách - 1

* Trồng cây khép kín.

1. Trồng cây khép kín.
Số cây = khoảng cách.

Trong toán học khi nào cần dựa vào các trường hợp trên để giải ?
Ngoài các bài toán có nội dung trồng cây thông thường trên thực tiễn
thì còn có các bài toán có nội dung khác những khi giải đều có thể quy về
dạng toán trồng cây.
VD.
1. Bài toán có nội dung trồng cây thông thường
Bài toán. Ở một bên của đoạn đường dài 2km người ta trồng cây, cứ
cách 5m lại trồng một cây. Hỏi người ta trồng được bao nhiêu cây. ( 2
đầu đường đều có cây.)
Bài giải:
Đổi 2km = 2000m
Người ta trồng được số cây là
2000 : 5 + 1 = 401 ( cây)
Đáp số 401 cây.
2 . Bài toán có nội dung quy về “ toán trồng cây”
Bài toán: Có bao nhiêu số có 3 chữ số chia cho 3 dư 1.
Đọc nội dung bài toán có vẻ không liên quan gì đến trồng cây. Song để
giải bài toán này thuận lợi nhất thì ta đưa về dạng “ toán trồng cây ”.
Trước hết, xác định dãy số có 3 chữ số chia cho 3 dư 1 là :
100; 103,106;109 ;....................; 994; 997.
Ta coi các số chia cho 3 dư 1 là cây, khoảng cách 2 số liền nhau là
khoảng cách trồng cây, khoảng cách số đầu dãy và số cuối dãy là đoạn
đường. Như vậy dãy trên đực coi là trường hợp trồng cây có cây ở 2 đầu



đường.
Bài giải: Dãy số có 3 chữ số chia cho 3 dư 1 là:
100; 103,106;109 ;....................; 994; 997.
Nhận xét: Dãy số trên là dãy cách đều 3 đơn vị, số hạng đầu là 100, số
hạng cuối là 997.
Số số hạng của dãy là:
(997 – 100 ) : 3 + 1 = 300 ( số hạng)
Vậy có tất cả 300 số có 3 chữ số chia cho 3 dư 1.
3.Thực trạng của vấn đề.
3.1. Về sách giáo khoa
- Chương trình SGK toán ở Tiểu học được cấu trúc theo dạng vòng tròn đồng
tâm tăng dần từ lớp 1 đến lớp 5 với 5 mạch kiến thức đan xen là Số học, hình
học, đại lượng và đo đại lượng, yếu tố thống kê và giải toán.
- Đối với giải toán học sinh ngoài việc được trang bị các bài toán đơn giản như
dạng hơn, kém ( giải bằng 1 phép tính cộng hoặc trừ) , dạng gấp mấy lần, bằng
một phần mấy ( giải quyết bằng 1 phép tính nhân chia) .V.V học sinh còn được
trang bị một số dạng toán điển hình đó là:
- Tìm 2 số khi biết tổng và hiệu của hai số đó.
- Tìm 2 số khi biết tổng và tỉ của hai số đó.
- Tìm 2 số khi biết hiệu và tỉ của hai số đó.
- Các bài toán có nội dung hình học.
................................................................
- Qua các bài học học sinh được trang bị đầy đủ các kiến thức và kĩ năng cơ
bản theo yêu cầu của Bộ giáo dục và Đào tạo. Tuy nhiên để giải quyết một số
bài tập cụ thể có tính chất nâng cao, phức tạp thì đòi hỏi HS phải có kiến thức
và kĩ năng sâu hơn, những thủ thuật giải toán đặc biệt hơn.
- Những năm học gần đây, sự phát triển của mạng Internet đã giúp việc tiếp thu
kiến thức của HS có nhiều thuận tiện nói chung đối với tiểu học nói riêng. Các
cuộc thi trên mạng đã xuất hiện thay cho các cuộc thi trước đây, về nội dung
không khác biệt nhiều nhưng về hình thức và sự thuận tiện thì rất đáng kể ở chỗ

HS được biết kết quả của mình ngay sau khi làm bài thi xong và cũng tránh
được nhiều việc tiêu cực trong khi thi.
3.2 Đối với giáo viên.
Việc bồi dưỡng học sinh năng khiếu là việc làm thường xuyên ở các khối lớp.
Ngay từ đầu năm học đối với nhà trường đã đề ra các chỉ tiêu kế hoach chung
cho cả trường. Căn cứ vào đó các GVCN, GV bộ môn có kế hoạch riêng cho


mình về việc bối dưỡng HS năng khiếu cũng như HS chưa hoàn thành nội
dung chương trình của môn mình dạy. Song đa số GVCN một phần vì phải
dành nhiều thời gian cho công việc soạn giảng và công tác khác, một phần chưa
có kinh nghiệm để dạy học sinh một số dạng toán nâng cao mà hs gặp phải khi
tham gia giải toán trên mạng trong khi thời gian trên lớp còn phải cung cấp
lượng kiến thức không hề nhỏ với nhiều đối tượng học sinh khác nhau. Vì vậy
việc bồi dưỡng cho HS tham gia giải toán trên mạng chưa cao.
3.3. Đối với học sinh.
- Điều quan trọng của việc dạy giải toán là giúp học sinh biết cách giải quyết
các vấn đề toán học trong cuộc sống. Các vấn đề này được nêu dưới dạng các
bài toán có nội dung khác nhau hết sức phong phú và đa dạng. Vì vậy việc giải
các dạng toán nâng cao là học sinh có dịp huy động toàn bộ vốn kiến thức, kỹ
năng và phương pháp mà học sinh đã được học.
- Để giải được một số bài toán có trong giải toán trên mạng đòi hỏi học sinh
phải có kiến thức sâu về các dạng toán cơ bản ở tiểu học, một số kỹ năng cơ
bản về tính toán. Đồng thời phải nói đến các dạng toán nâng cao có phương
pháp giải riêng biệt mà học sinh được tiếp cận và hình thành kĩ năng giải các
dạng toán đó.
-Trong những năm gần đây, việc lựa chọn HS đi thi và hình thành đội tuyển
không còn được áp dụng mà thay vào đó học sinh tham gia dự thi được hình
thành một cách tự do qua nhiều vòng thi, đồng thời được sự quan tâm, bồi
dưỡng tại chỗ của GV. Chính vì vậy, việc nắm kiến thức và kĩ năng giải các

bài toán dạng nâng cao trong đó có dạng toán trồng cây là có phần hạn chế.
Trong quá trình giảng dạy tôi thấy HS thường mắc phải các lỗi sau về toán
trồng cây.
Để xác định thực trạng của hs tôi tiến hành khảo sát một nhóm HS
gồm 11 em HS lớp 5 trường tôi đang dạy.
Bài kiểm tra
Câu 1.Ở một bên của đoạn đường dài 150 m người ta trồng cây lấy gỗ,
mỗi cây cách nhau 2,5 m. Trên đoạn đường đó người ta trồng được tất cả
bao nhiêu cây.


Câu 2.Trên một cây cầu dài 15 m, người ta trồng những cây trụ làm lan
can ở hai bên cầu. Biết cây này cách cây kia 1,5 m và làm ở cả 2 đầu
cầu . Hỏi người ta cần bao nhiêu Cây trụ để làm lan can.
Câu 3.Một quyển sách có 136 trang. Tính số chữ số để ghi số trang của
cuốn sách đó.
Bài 1

Bài 2

Bài 3

Số HS

11

11

11


Số HS không

6

8

9

5

3

2

vượt qua
Số HS vượt
qua
Kết quả khảo sát trên cho ta thấy trình độ nhận thức của học sinh, đạt
được chất lượng như vậy còn thấp so với các dạng toán trồng cây có
trên mạng hiện nay.Các em đang vướng mắc về phương pháp giải và
kĩ nằn nhận dạng toán.
* Nguyên nhân.
3.3.1. Chưa nắm vững đặc điểm và cách giải các dạng trồng cây.
VD 1 . Một khu vườn hình chữ nhật người có chiều dài 40 m, chiều rộng 30
m, xung quanh vườn người ta trồng cây bạch đàn, cứ 3m người ta trồng 1 cây.
Hỏi xung quanh vườn người ta trồng được bao nhiêu cây ? ( biết rằng vườn
có xây một cái cổng vào rộng 2m).
Khi gặp bài toán trên một số em một số em nhầm lẫn đây là dạng toán trồng
cây khép kín.Vì các em nghĩ cây được trồng xung quanh một cái vườn có tính
chất vòng kín. Không như trồng cây trên 1 đoạn đường thẳng.Để giải bài toán

này các em phải quy về dạng toán “trồng cây không có cây ở hai đầu
đường”số cây so với khoảng cách ít hơn 1. Bởi vì có một cái cổng. cái cột
cổng thay thế vị trí của cây.
Bài giải.
Chu vi của khu vườn là:
(40 + 30 ) x 2 = 140 ( m)


Số cây trồng xung quanh khu vườn là:
(140 – 2) : 3 + 1 = 46 ( cây)
Đáp số: 46 cây.
3.3.2 Chưa vận dụng tốt kiến thức toán trồng cây vào giải các bài toán có
trong thực tế. chưa biết quy các bài toán có nội dung khác về dạng toán
trồng cây.
VD 2. Một người cưa một khúc gỗ dài 1,8 m thành các đoạn dài 20cm. Mỗi
lần cưa khúc gỗ đó người đó mất thời gian 15 phút. Hỏi cưa xong khúc gỗ đó
thành các đoạn thì người đó mất bao nhiêu thời gian.
- Đối với bài toán này đa số các em gặp khó khăn, khi giải cho ra kết quả
không đúng. Bởi lẽ các em chưa quy được bài toán này về dạng toán trồng cây
lí do mỗi lần cưa là đại lượng về “thời gian” khác xa “cây trồng” là một sự vật
dễ thấy trong cuộc sống vì vậy việc xét tương ứng “ Lần cưa – cây trồng ”
và “ Chiều dài mỗi đoạn gỗ -- khoảng cách trồng cây ” đối với các em là
khó khăn.
Khi các em biết quy về toán trồng cây thì việc giải toán dễ dàng hơn nhiều.
Đối với bài này thuộc loại trồng cây không có cây ở 2 đầu đường.
Giải: Đổi 1,8 m = 180cm
Người đó phải cưa số lần là:
180: 20 – 1 = 8 ( lần)
Thời gian để người đó cưa xong khúc gỗ đó là:
15 x 8 = 120 ( phút)

Đáp số : 120 phút.
VD 3 . Có bao nhiêu số chẵn có 2 chữ số.
Khi gặp bài toán này một số em chưa nhận ra và chưa biết quy về dạng toán
trồng cây, nên các em giải bằng cách khác.
Đầu tiên tính có bao nhiêu số có 2 chữ số. Xem xét dãy số có hai chữ số, nếu
đầu dãy bằng số lẻ, cuối dãy bằng lẻ thì số số lẻ nhiều hơn chẵn là 1 số và
ngược lại. Nếu đầu dãy bằng số lẻ ( hoặc chẵn ), cuối dãy bằng chẵn ( hoặc
lẻ) thì số số lẻ bằng số số chẵn.
Với bài toán trên thì đầu dãy là 10, cuối dãy là 99 nên số số lẻ nhiều bằng số
số chẵn.HS lấy 99 số tự nhiên tính từ số 1đến 99 trừ đi 9 số đầu không phải là
số có 2 chữ số, rồi chia cho 2.
Số các số chẵn có hai chữ số là:
( 99 – 9 ): 2 = 45 ( số chẵn )
Đáp số : 45 số chẵn.


Nếu các em đưa về dạng toán trồng cây thì giải bài toán trên đơn giản hơn vì
đã có công thức tính chung.
Đầu tiên các em xác định dãy số chẵn có 2 chữ số là : 10;12;14....96;98.
Coi các số chẵn là cây, khoảng cách 2 số chẵn liền nhau là khoảng cách giữa
các cây. Khoảng cách giữa số đầu của dãy và số cuối của dãy là quãng đường,
đây là dạng trồng cây có cây ở 2 đầu đường.
Số số chẵn có 2 chữ số là:
( 98 -10) : 2 + 1 = 45 ( số chẵn)
Đáp số : 45 số chẵn
Tóm lại: Qua phần tìm hiểu về việc giải toán qua mạng của HS cũng như việc
giảng dạy của GV tôi thấy còn có nhiều hạn chế nói chung về việc HS giải các
bài toán khó và dạng toán trồng cây nói riêng , điều này cần phải có các
phương pháp thích hợp để bồi dưỡng tại lớp giúp các em tham gia giải toán
qua mạng đạt hiệu quả cao cũng như giúp các em có kiến thức cơ sở, nền tảng

cho việc nắm kiễn thức ở lớp trên.
4.Các giải pháp, biện pháp tháo gỡ.
4.1 Cung cấp cho học sinh kiến thức về dạng toán trồng cây.
- Trong những năm gần đây việc bồi dưỡng HS có năng khiếu các môn ở tiểu
học nói chung , môn Toán nói riêng được tổ chức ngay tại chỗ ( không chọn ,
không thành lập đội tuyển như trước) Vì vậy,việc dạy các dạng toán nâng cao
không nằm trong bài học, tiết học ở SGK giáo viên đều lựa chọn vào buổi 2
( Tiết Toán tăng ) để dạy. Đối với Toán trồng cây ban đầu GV cung cấp cho
HS kiến thức về toán trồng cây tức là mối quan hệ về số lượng giữa cây trồng
và số khoảng cách trồng cây trong mỗi một cách thức trồng cây.Từ đó rút ra
phương pháp giải đặc trưng của dạng toán trồng cây. Đối với mỗi dạng Toán
trồng cây tôi đều sử dụng phương pháp trực quan đó là cho HS quan sát mô
hình từng dạng trồng cây ,mục đích là HS quan sát để thấy được trong thực
tiễn cuộc sống xảy ra điều như vậy từ đó HS rút ra đặc điểm từng dạng trồng
cây
đó là HS tìm ra mối quan hệ giữa cây trồng và khoảng cách trồng cây,đồng
thời qua quan sát HS dễ nhận ra biểu tượng về khoảng cách, cây trồng từ đó dễ
hình thành khái niệm đầu đường, cây, khoảng cách.
4.1.1. Dạng trồng cây có cây ở 2 đầu đường.


Nêu bài toán: Ở một bên của một đoạn đường dài 20 m , người ta trồng cây
lấy gỗ, cứ 4 m người ta trồng một cây.Hỏi cả đoạn đường đó người ta trồng
được bao nhiêu cây, biết ở 2 đầu đường đều có cây.
GV vẽ sơ đồ trồng cây lên bảng như sau:

20 m
GV giới thiệu đây là cách trồng cây trên đường thẳng, 2 đầu đường đều có
cây, hãy quan sát đếm số khoảng cách và số cây trồng được.
- HS đếm và rút ra số cây nhiều hơn số khoảng cách là 1.

- GV viết kết luận: Dạng toán trồng cây ở 2 đầu đường
Số cây = số khoảng cách + 1.
Vậy đối với bài toán trên, đoạn đường 20 m trồng cây với khoảng cách 4m ta
chia được bao nhiêu khoảng cách ? ( 20 : 4 = 5 ( khoảng cách) ).
Vậy số cây là bao nhiêu? ( 5 + 1 = 6 (cây) )
GV có thể hướng dẫn cho HS giải theo cách là gộp.
Số cây trồng được trên đoạn đường đó là.
20 : 4 + 1 = 6 ( cây)
Đáp số: 6 cây.
Đây là cách HS thường áp dụng giải sau này cho ngắn gọn.
4.1.2. Dạng trồng cây có cây ở 1 đầu đường.
Đây là dạng toán mà trong cuộc sống thường xảy ra khi trồng cây một đầu
đường được thay thế bởi một vật khác không trồng được cây ở vị trí đó.
GV nêu bài toán.
Đoạn đường từ nhà An đến một cây cầu dài 24m. Người ta trồng cây ởmột
bên đường của đoạn đường đó. Biết khoảng cách giữa các cây là 3m và ở ngay
chỗ nhà An có trồng cây còn ở đầu cầu thì không có cây trồng, tính số cây đã
trồng trên đoạn đường đó.
GV vẽ sơ đồ trồng cây lên bảng như sau:
3m

Nhà An

24 m

Cây cầu


GV giới thiệu cho HS cách trồng cây như trên hình vẽ một đầu đường không
có cây trồng là do vị trí đó được làm đầu cầu,còn một đầu đường vẫn có cây.Ta

gọi cách trồng cây như trên là “ trồng cây có cây ở một đầu đường”.
- GV cho HS quan sát, yêu cầu HS đếm và so sánh số cây và số khoảng cách
trồng cây .
- HS rút ra : Số cây = số khoảng cách
- GV kết luận : Đối với cách “ trồng cây có cây ở một đầu đường” thì số cây
bằng số khoảng cách.
Đối với bài toán trên ta giải như sau:
Số cây trồng được trên đoạn đường từ nhà An đến cầu là:
24: 3 = 8 ( Cây )
Đáp số: 8 Cây.
4.1.3. Dạng không trồng cây ở 2 đầu đường.
Đây là dạng toán trong cuộc sống thường xảy ra khi trồng mà hai đầu có cột
hay một vật khác thay thế.
VD. Nhà Hùng và nhà Dũng ở liền nhau trên một đoạn đường , ở một bên
đường từ cổng nhà Hùng đến cổng nhà Dũng có trồng các cây lấy gỗ cứ 3m
trồng một cây.Hỏi từ cổng nhà Hùng đến cổng nhà Dũng trồng được bao nhiêu
cây ( Biết khoảng cách từ cổng nhà Hùng đến cổng nhà Dũng dài 36 m.)
GV vẽ sơ đồ lên bảng :
3m

- Cũng hướng dẫn và giới thiệu cho hs về dạng toán trồng cây khi không trồng
cây ở 2 bên đầu đường tương tự các dạng toán trồng cây trên.
m
HS quan sát, đếm và so sánh về số36lượng
giữa số cây và số khoảng
cách
Cổng
nhàtrồng
Dũng


Cổng nhà Hùng

cây. Tìm ra mối quan hệ: Số cây = Số khoảng cách – 1. Từ đó rút ra cách giải.
Số cây trồng được từ nhà Hùng đến nhà Dũng là:
36: 3 – 1 = 11 ( Cây )
Đáp số: 11 cây.
4.1.4. Dạng trồng cây khép kín.
Đây là dạng toán trong cuộc sống thường xảy ra khi trồng xung quanh một khu
vườn, một cái hồ, ao, mắc điện xung quanh khung ảnh, trang trí các họa tiết
xung quanh một đường khép kín v..v..
VD. Xung quanh một cái hồ hình chữ nhật có chiều dài 42 m, chiều rộng 28
m người ta trồng các cây ăn quả. Cứ 4 m người ta trồng một cây.Hỏi xung
quanh hồ người ta trồng được bao nhiêu cây ăn quả.


Trước hết GV gới thiệu cho HS đây là dạng trồng cây khép kín.
GV đưa ra một mô hình về trồng cây khép kín và yêu cầu HS đếm và so sánh
số cây trồng và số khoảng cách.

HS rút ra mối quan hệ : Số cây = s ố khoảng cách.
Từ đó HS vận dụng cách giải bài toán trên:
Chu vi của cái hồ là.
( 42 + 28 ) x 2 = 140 ( m)
Số cây trồng xug quanh hồ là:
140 : 4 = 36 (cây).
Đáp số : 36 cây.
4.2 Hình thành kĩ năng giải toán trồng cây.
4.2.1 Cho HS vận dụng giải các bài toán trồng cây đơn giản.
Sau khi HS đã được cung cấp kiến thức về các dạng toán trồng cây nêu
trên,GV cần cho HS rèn luyện giải các bài toán trồng cây dạng đơn giản,

nội dung chủ yếu là tìm số cây trồng được , dựa vào đoạn đường và
khoảng cách trồng cây đối với những bài tập dạng này HS chỉ cần xác
định cách thức trồng câytrong bài toán đã cho giải dược. Mục đích của
các bài tập này là giúp HS củng cố kiến thức đã học về các dạng trồng
cây.
Ví dụ1:
Đoạn đường từ nhà Hằng đến nhà Mai dài 420 m, ở hai bên đường người ta
trồng cây bóng mát, cứ 4m người ta trồng một cây.Hỏi từ nhà Mai đến nhà
Hằng có bao nhiêu cây cho bóng mát.( Biết 2 đầu đường đều có cây)
Bài giải.
Số cây trồng 1 bên đường là:
420: 4 + 1 = 106 ( Cây)
Từ nhà Mai đến nhà Hằng có số cây là:
106 x 2 = 212 ( Cây)
Đáp số : 212 cây.
Ví dụ 2 : Xung quanh một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài 30m chiều
rộng 18 m.Người ta trồng các cây lấy gỗ.Cứ 3m người ta trồng một cây.Hỏi


xung quanh vường người ta trồng được tất cả bao nhiêu cây.( Biết rằng vườn
có một cái cổng rộng 3m, có chôn cột bê tông 2 bên)
( Đối với bài này HS cần xác định được dạng trồng cây 2 đầu đường không có
cây)
.Bài giải.
Chu vi của khu vườn là:
( 30+ 18 ) x 2 = 96(m)
Đoạn đường trồng cây là:
96 – 3 = 93 (m)
Số cây trồng xung quanh vườn là:
93: 3 – 1 = 30 ( cây)

Đáp số : 30 cây
Ví dụ 3: Người ta rào mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 27 m, rộng 21
m . Tính số cọc rào, biết cứ 3m lại có một cọc rào.
Đối với bài này HS cần xác định đây là dạng trồng cây khép kín.
Bài giải.
Chu vi của mảnh vườn là.
( 27 + 21) x 2 = 96 ( m )
Số cọc rào xung quanh vườn là:
96: 3 = 32 ( cọc)
Đáp số : 32 cọc
4.2.2 Giúp HS sử dụng kiến thức toán trồng cây giải các bài toán trồng
cây với yêu cầu khác.
Sau khi củng cố kiến thức về các dạng trồng cây GV tiếp tục làm quen với các
dạng toán trồng cây phức tạp hơn , đó là các bài toán có nội dung trồng cây
nhưng yêu cầu không còn là chỉ tính số cây mà các dạng bài này yêu cầu tìm
đại lượng khác như khoảng cách trồng cây , đoạn đường trồng cây dài bao
nhiêu v..v. Mục đích của các bài toán này là rèn cho HS nắm vững mối quan hệ
giữa cây, khoảng cách và đoạn đường từ đó HS có kĩ năng nhận dạng và vận
dụng giả toán trồng cây với các yêu cầu khác nhau.
Ví dụ 1 .Quãng đường từ nhà Lan đến trường có tất cả 52 trụ điện ,
hai trụ điện liên tiếp cách nhau 50m. Hỏi quãng đường từ nhà Lan đến
trường dài bao nhiêu ? Biết 2 đầu đường đều có trụ điện.
Để giải bài toán này GV cần cho HS hiểu đây là dạng toán trồng cây có
cây ở hai đầu đường. Song có điều khác các bài trước là cho biết số cây,
cho biết khoảng cách trồng cây, yêu cầu tìm đoạn đường trồng cây.HS sẽ


vận dụng toán trồng cây nhưng theo cách là ngược lại với các dạng bài
toán tìm số cây đã biết trước đó.
Bài giải

Số khoảng cách giữa 2 cột điện liền nhau là.
52 – 1 = 51 ( khoảng cách)
Đoạn đường từ nhà Lan đến trường là.
51 x 50 = 2550 (m)
Đáp số : 2550 m
Ví dụ 2. Người ta trồng cây ở cả 2 bên của một đoạn đường dài 1500m hết
tất cả số cây là 498cây. Tính khoảng cách giữa các cây, biết các cây trồng đối
diện nhau ở 2 bên đường và ở cả 2 đầu đường đều không trồng cây.
Đối với bài toán này, dữ kiện bài toán đưa ra là cho biết số cây, cho biết đoạn
đường, yêu cầu tìm khoảng cách trồng cây ( khoảng cách giữa 2 cây liền
nhau).Học sinh nắm được kiến thức về các cách trồng cây rồi các em có thể
tính được khoảng cách bằng công thức tính ngược lại với bài toán tìm số cây.
Bài giải.
Số cây trồng ở một bên đường là.
498: 2 = 249 ( cây)
Số khoảng cách giữa 2 cây liền nhau là
249 + 1= 250 (cây )
Khoảng cách giữa 2 cây liền nhau là
1500 : 250 = 6 ( m)
Đáp số: 6m.
Ví dụ 3. Một mảnh vườn hình chữ nhật có trồng bạch đàn xung quanh được tất
cả là 312 cây. Biết hai cây liền nhau cách nhau 3m, chiều dài hơn chiều rộng
28m. Tính diện tích mảnh vườn?
Bài toán này tuy yêu cầu tính diện tích của mảnh vườn, nhưng để giải được ta
phải sử dụng phương pháp giải toán trồng cây dạng khép kín để tính chu vi của
mảnh vườn.
Bài giải.
Chu vi của mảnh vườn là
312 x 3 = 936 (m).
Nửa chu vi mảnh vườn là.

936: 2 = 468 ( m)
Chiều dài mảnh vườn là.
(468 + 28) : 2 = 248 ( m)
Chiều rộng mảnh vườn là.
248 – 28 = 220( m)
Diện tích mảnh vườn là.
220 x 248 = 54560 (m2 )


Đáp số: 54560 m2 .
4.2.3 Giúp HS vận dụng giải các bài toán nâng cao có nội dung khác
nhưng quy về toán trồng cây.
Trong nội dung thi giải toán qua mạng có nhiều bài toán nâng cao, yêu
cầu giải nó HS phải vận dụng tổng hợp nhiều loại kiến thức mới có thể
giải được. Trong đó có những bài liên quan đến toán trồng cây, dựa vào
toán trồng cây các em có thể giải bài toán chính xác, ngắn gọn hơn, dễ
diến đạt hơn.
* Bài toán liên quan đến tính thời gian.
.VD 1. Trong một tháng nào đó có 3 ngày thứ hai trùng vào 3 ngày chẵn. Hỏi
ngày 20 của tháng đó là ngày thứ mấy.
Bài toán trên có thể giải nhiều cách song ta có thể quy về toán trồng cây
để giải. Ở đây có sự tương ứng ( coi số ngày thứ 2 là cây, khoảng cách 2
ngày thứ 2 liền nhau là khoảng cách trồng cây).
Bài giải
Vì 1 tuần có 7 ngày nên 2 ngày thứ 2 được sắp xếp xen kẽ : chẵn ,lẻ,
chẵn ,lẻ......Theo bài ra tháng đó có 3 ngày thứ hai là ngày chẵn như vậy
giữa 3 ngày thứ 2 chẵn đó còn có 2 ngày thứ 2 là ngày lẻ.
Vì khoảng cách 2 ngày thứ hai liền nhau là 7 ngày nên tính từ ngày thứ 2
chẵn đầu của tháng cách ngày thứ 2 chẵn cuối của tháng số ngày là:
( 5 – 1) x 7 = 28 ( ngày)

Vì 1 tháng có nhiều nhất là 31 ngày .Nên ngày thứ 2 đầu của tháng nhỏ
hơn 31 – 28 = 3. Vậy ngày thứ 2 chẵn đầu tiên của tháng là ngày mùng
2 và các ngày thứ 2 trong tháng là: 2;9;16;23;30.Suy ra ngày 20 là ngày
thứ 6.
VD 2. Một người thợ phải cưa 5 khúc gỗ mỗi khúc dài 2m thành các đoạn 40
cm. Mỗi lần cưa xong một đoạn người đó mất 12 phút.Hỏi cưa xong 5 khúc gỗ
đó người thợ đó mất bao nhiêu thời gian.
Đối với bài toán này Giáo viên giúp HS hiểu việc cưa gỗ cũng tương
đồng với “trồng cây 2 đầu đường đều không có cây”, các đoạn gỗ chính
là khoảng cách trồng cây, số lần cưa ( mạch cưa) là số cây.
Bài giải.
Đổi 2m = 200cm
Để cưa xong mỗi khúc gỗ cần thực hiện số lần cưa là:
200 : 40 – 1 = 4 (lần)
Cưa xong một khúc gỗ thành các đoạn mất thì gian là.


12 x 4 = 48 (phút)
Cưa xong 5 khúc gỗ mất thời gian là.
48 x 5 = 240 ( phút ) .
Đáp số 240 phút.
4.2.4 Giúp HS vận dụng giải các bài toán nâng cao về dãy số.
Các bài toán về dãy số có nhiều phương pháp giải khác nhau.Song việc
áp dụng toán trồng cây vào giải các bài toán này giúp các em có
phương pháp tính toán nhanh, ít nhầm lẫn và lời giải ngắn gọn dễ diễn
đạt vì các em có công thức chung về toán trồng cây để tính.
VD 1. Có bao nhiêu số có 3 chữ số chia cho 3 dư 1?
Để giải bài toán này GV giúp HS quy về toán trồng cây như sau:
Đầu tiên GV gợi ý HS xác định dãy số có 3 chữ số chia cho 3 dư 1 là :
100; 103; 106; 109.................; 901; 904; 907.Đặc điểm của dãy số này là

dãy số cách dều 3 đơn vị. Do đó ta coi khoảng cách 3 đơn vị là khoảng
cách trồng cây, các số chia cho 3 dư 1 chính là cây trồng, khoảng cách từ
số hạng đầu đến số hạng cuối là đoạn đường trồng cây. Vậy đây là dạng
trồng cây ở hai đầu đường đều có cây.
Bài giải.
Dãy số có 3 chữ số chia cho 3 dư 1 là :
100; 103; 106; 109.................; 901; 904; 907.
Nhận xét: Dãy số trên là dãy số cách đều 3 đơn vị, số hạng đầu là 100, số
hạng cuối là 907.
Số số hạng của dãy là: ( 907 – 102 ) : 3 +1 = 270 ( số hạng)
Vậy có 270 số có 3 chữ số chia cho 3 dư 1.
Đây là bài toán đơn giản nhất áp dụng toán trồng cây để tìm số số hạng trong
một dãy số cách đều.Sau khi HS làm quen dạng này giáo viên cho HS làm các
bài phức tạp hơn.
VD 2 : ( Đề thi Violimpic lớp 5 năm học 2016 – 2017 )
Tính tổng của tất cả các số có 3 chữ số chia cho 5 dư 3.
Tổng đó là..........
Đối với bài này không đơn giản chỉ giải toán trồng cây mà còn giải nó bằng
tính tổng của dãy số cách đều. Nhưng việc áp dụng giải toán trồng cây để tìm ra
số số hạng là một khâu hết sức quan trọng.
Bài giải.
Dãy số có 3 chữ số chia cho 5 dư 3 là:
103; 108;113; 118;............993; 998
Nhận xét: dãy số trên là dãy số cách đều 5 đơn vị, số hạng đầu là 103, số
hạng cuối là 998.
Số số hạng của dãy là:


(998 – 103) : 5 + 1 = 180 ( số hạng)
Tổng các số có 3 chữ số chi cho 5 dư 3 là:

( 998 + 103 ) x 180 : 2 = 99090
Đáp số : 99090
VD 3. ( Đề thi Violimpic lớp 5 năm học 2016 – 2017 )
Để đánh số trang của một cuốn sách người ta dùng 300 chữ số.Hỏi cuốn sách
đó có bao nhiêu trang ?
Đối với bài này nội dung đã nâng cao hơn VD2. Đòi hỏi HS ngoài việc áp dụng
toán trồng cây để tìm số số hạng( số trang) học sinh còn phải vận dụng nhiều
hiểu biết khác mới có thể giải được.GV giúp HS chia khoảng các số hạng
( một chữ số ,2 chữ số, 3 chữ số ) để tính.
Bài giải.
Vì cuốn sách đó có 300 trang nên số trang chỉ có thể có đến 3 chữ số.
Số trang có 1 chữ số là: ( 9 - 1):1 + 1 = 9 ( trang)
Số trang có 2 chữ số là: ( 99 -10 ) :1 + 1 = 90 (trang)
Tính đến hết số trang có 2 chữ số thì số chữ số phải viết là.
9 x 1 + 90 x 2 = 189 ( chữ số)
Đánh các trang có 3 chữ số cuốn sách đó dùng số chữ số là:
300 – 189 = 111 ( chữ số)
Số trang có 3 chữ số là:
111: 3 = 37 ( Trang)
Cuốn sách có số trang là:
99 + 37 = 136 ( trang)
Đáp số: 136 trang.
VD 4: ( Đề thi Violimpic lớp 5 năm học 2016 – 2017 )
Tìm số thứ 100 của dãy số sau. 4; 8;12;16.....
Bài toán trên có khác là không yêu cầu tìm số số hạng mà yêu cầu tìm một số
hạng có số thứ tự cụ thể trong dãy. Tuy nhiên việc giải bài này HS vẫn vận
dụng toán trồng cây là chủ yếu.GV giúp HS hiểu để tìm ra số hạng thứ 100 của
dãy thì phải tìm ra hiệu giữa số hạng thứ 100 và số hạng đầu ( Chính là đoạn
đường trồng cây từ cây thứ nhất ( số hạng đầu ) đến đến cây thứ 100 ( số hạng
thứ 100)).

Bài giải.
Nhận xét: Dãy số trên là dãy số cách đều 4 đơn vị.Số hạng đầu là 4.
Từ số hạng đầu đến số hạng thứ 100 có số khoảng cách là:
100 – 1 = 99 ( khoảng cách)
Số hạng thứ 100 là:
4 + 99 x 4 = 400
Đáp số : 400
VD 5. ( Đề thi Violimpic lớp 5 năm học 2016 – 2017 )


Cho dãy số ... 92, 96, 100.Tìm số hạng thứ 10 của dãy.Biết dãy số có 25 số
hạng.
Cũng như VD 4 bài toán nàycho biết “cây” có STT cuối ,yêu cầu tìm “cây” có
số thứ tự cụ khác. Muốn giải được bài toán này, HS cần tìm được “đoạn
đường” trồng cây từ “ cây” đó đến “cây”cuối ( hiệu giữa số hạng thứ 10 và số
hạng cuối).Bài toán này thuộc dạng trồng cây 2 đầu đường đều có cây.
Bài giải.
Nhận xét: Dãy số trên là dãy số cách đều 4 đơn vị. Số hạng thứ 25 là 100.
Kể từ số hạng thứ 10 đến hết số hạng 25 có số số hạng là:
25 – 9 = 16 ( số hạng)
Hiệu số giữa số hạng 10 và 25 là:
(16 – 1) x 4 = 60.
Số hạng thứ 10 của dãy là.
100 – 60 = 40
Đáp số : 40
VD 6.: Cho dãy số tự nhiên liên tiếp: 1, 2, 3, 4, 5,..., x.
Tìm x biết dãy số có 1989 chữ số.
Bài toán này cho biết đặc điểm, quy luật của dãy , cho biết số hạng đầu ,không
cho biết số hạng cuối yêu cầu của bài tìm số số hạng của dãy.Để gải bài này ta
vẫn áp dụng toán trồng cây là chủ yếu.

Bài giải.
Số số tự nhiên có 1 chữ số là
( 9 - 1): 1 + 1 = 9 (số )
Số số tự nhiên có 2 chữ số là:
( 99 - 10 ) : 1 + 1 = 90 ( số)
Số số tự nhiên có 3 chữ số là.
(999 – 100) : 1 + 1= 900 ( số )
Tính đến hết các số có 2 chữ số thì số chữ số phải viết là
9 x 1 + 90 x 2 = 189 ( chữ số)
Tính đến hết các số có 3 chữ số thì số chữ số phải viết là:
189 + 900 x 3 = 2889 ( chữ số) > 1989 ( chữ số)
Vậy số cuối cùng của dãy là số có 3 chữ số.
Tính từ chữ số 1 ở số 100 đến chữ số cuối cùng của dãy có số chữ số là.
1989 – 189 = 1800 ( chữ số)
Số hạng x của dãy là.
99 + 1800 : 3 = 699.
Đáp số: 699.
VD 7. ( Đề thi Violimpic lớp 5 năm học 2016 – 2017 )
Cho dãy số 10,11,12,13,.......x. Tìm x để số chữ số gấp 4 lần số hạng trong dãy.
Bài toán này tương đối khó đối với HS bởi ngoài việc áp dụng toán trồng cây,
học sinh cần phải tư duy tốt và phải sử dụng tổng hợp các loại kiến thức khác


như trung bình cộng, cấu tạo số v.v...GV nên hướng dẫn HS từng bước nhỏ như
sau :
Bước 1. Cho HS hiểu được vì số chữ số gấp 4 lần số số hạng nên trung bình
mỗi số hạng có 4 chữ số.Như vậy sẽ xảy ra việc bù chữ số ở số có nhiều hơn 4
chữ số sang số có ít hơn 4 chữ số. Suy ra x phải là số có 5 chữ số trở lên.
Bước 2.Cho HS tính số số hạng có 2 chữ số, có 3 chữ số của dãy.
Tính số chữ số cần bù vào số có 2 chữ số và 3 chữ số để bằng mức trung bình

( 4 chữ số).
Bước 3.Tính số số hạng có 5 chữ số của dãy.
Bước 4.Tìm x
Bài giải.
Vì số chữ số của đãy gấp 4 lần số số hạng nên trung bình mỗi số hạng có 4 chữ
số.
Số số hạng có 2 chữ số của dãy là.
( 99 – 10 ) :1 +1 = 90 ( số )
Số số hạng có 3 chữ số của dãy là.
( 999 – 100 ) : 1 + 1 = 900 ( số)
Số chữ số cần bù vào các số hạng có 2 và 3 chữ số để bằng mức trung bình là.
90 x ( 4 – 2) + 900 x ( 4 – 3) = 1080 ( chữ số)
Số số hạng có 5 chữ số của dãy là.
1080 : ( 5 – 4 ) = 1080 ( số)
Số hạng x là:
9999 + 1080 = 11079.
Đáp số: 11079.
5. Kết quả đạt được.
Qua các bước nghiên cứu, tìm hiểu, khảo sát thực trạng vấn đề giải toán trồng
cây với kinh nghiệm giảng dạy sẵn có qua các năm dạy lớp 5 cũng như bồi
dưỡng HS năng khiếu tôi đã tìm ra được các giải pháp tháo gỡ tôi và tôi chọn
tiến hành thực nghiệm tại lớp 5D mà tôi phụ trách với mục đích: Kiểm chứng
tính hiệu quả của quá trình đã xây dựng ở phần 3, dạy học sinh theo thứ tự thời
gian đã trình bày ở phần 3.
Nội dung: - Giới thiệu các dạng toán trồng cây qua các tiết học buổi 2 ( Toán
tăng)
- Rèn cho HS vận dụng giải các bài toán trồng cây đơn giản.
- Giúp HS nhận dạng các bài toán có nội dung khác giải theo toán trồng cây.
- Sau một thời gian tôi tiến hành kiểm tra học sinh để đánh giá HS.
Tiến trình thực nghiệm

Bước 1: Soạn bài và dạy HS theo các bước trình bày ở mục 3.
Bước 2: Hướng dẫn học sinh vận dụng giải các bài toán trồng cây; vận


dụng các bài toán có nội dung khác theo phương pháp trồng cây ở các sách
tham khảo, các lần dự thi Violimpic trên Internet.
Bước 3: Kiểm tra đánh giá HS.
Câu 1. Xung quanh một khung ảnh hình chữ nhật có chiều dài 60 cm rộng 40
cm người ta gắn các bông hoa, cứ 10 cm người ta gắn một bông hoa. Hỏi
xung quanh khung ảnh đó người ta gắn tất cả bao nhiêu bông hoa.
Câu 2.Cho dãy số 1;5;9;13.......Tìm số hạng thứ 25 của dãy.
Câu 3. Một quyển truyện dày 495 trang,hỏi để đánh hết số trang quyển truyện
đó người ta dùng bao nhiêu chữ số.
Bài 1

Bài 2

Bài 3

Số HS

15

15

15

Số HS không

3


5

6

12

10

9

vượt qua
Số HS vượt qua

Qua kết quả kiểm tra vừa nêu trên cho thấy các giải pháp, biện pháp giúp đỡ
HS áp dụng giải toán bằng phương pháp trồng cây mà sáng kiến tôi đưa ra có
tác dụng rõ rệt.
6. Điều kiện để sáng kiến được nhân rộng.
- Nhà trường quan tâm đầu tư về cơ sở vật chất, trang thiết bị điện tử phục
vụ cho các hoạt động giảng dạy và giáo dục nhất là hệ thông phòng tin học để
HS tham gia thi giải toán qua mạng thuận lợi.
- Nhà trường có tổ chức dạy học 2 buổi /ngày.
- Phụ huynh học sinh chăm lo thường xuyên cho hoạt động giáo dục của
nhà trường, mua sắm đầy đủ đồ dùng học tập, máy vi tính , nối mạng internet.
- Tổ chuyên môn trong nhà trường tổ chức chuyên đề, đưa ra các giải
pháp sáng kiến đã trình bày để giáo viên trao đổi thảo luận và áp dụng có hiệu
quả.
- Quan tâm đến các em HS có năng khiếu về môn Toán, tích cực bồi dưỡng
thường xuyên tại lớp qua các tiết toán tăng.



KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
1. Kết luận.
Trong quá trình giảng dạy cũng như qua nghiên cứu tìm hiểu để giúp
HS lớp 5 giải toán tốt hơn trong các đợt thi trên mạng internet .Tôi đã tiến
hành tìm hiểu , nghiên cứu về mảng kiến thức “ toán trồng cây ” và đã khảo
sát để tìm hiểu các nguyên nhân về các khúc mắc mà HS và GV đang gặp
phải. Từ các nguyên nhân đó tôi đã tiến hành nghiên cứu,tìm ra các phương
pháp thích hợp để cung cấp cho HS kiến thức và giúp các em rèn kĩ năng
nhận dạng và giải các bài toán dạng trồng cây . Qua thực nghiệm giảng dạy
tại lớp mình phụ trách tôi thấy khi các em được dạy theo đúng quy trình đã
nêu ở phần mô tả trên thì các em đã có tiến bộ rõ rệt. Đa số các em khi gặp
các dạng toán trồng cây các em đều có phương pháp giải thích hợp. Nhất là
các bài toán về dãy số khi quy về cách tính theo toán trồng cây thì các em
có phương pháp tính toán hiệu quả và ngắn gọn hơn.
2. Khuyến nghị
Để nâng cao chất lượng học sinh nói chung, giúp các em có các phương
pháp giải toán nâng cao để có kết quả tốt trong các đợt thi giải toán qua mạng,
tôi mạnh dạn đưa ra 1 số đề xuất sau:
2.1.Về phía nhà trường
- Thường xuyên tổ chức các buổi sinh hoạt chuyên đề, bồi dưỡng, nâng cao
trình độ cho giáo viên
- Tạo điều kiện thuận lợi về cơ sở vật chất, phương tiện dạy học để các em
có điều kiện tham gia dự thi.
2.2.Đối với giáo viên
- Không ngừng nâng cao trình độ bản thân bằng cách tự học qua đồng
nghiệp hay tham khảo thêm tài liệu hay trên các phương tiện thông tin đại
chúng.
- Quan sát, theo dõi việc tham gia thi giải toán qua mạng để nắm bắt kịp