Chương 8. CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG CỦA VẬT RẮN

8.1. Định nghĩa.
“Chuyển động song phẳng của vật rắn là chuyển động mà trong đó mỗi
điểm của vật đều chuyển động trong một mặt phẳng song song với một mặt
phẳng cho trước. Nói cách khác, trong chuyển động song phẳng mỗi điểm
thuộc vật luôn luôn giữ nguyên khoảng cách của nó đối với một mặt phẳng
cho trước”
Trong thực tế có nhiều chi tiết máy chuyển động song phẳng như bánh xe lăn
trên một đường thẳng (hình 8-1a), tay quay và thanh truyền trong cơ cấu tay
quay – thanh truyền (hình 8-1b), …
y

y
A

C

v
ω

O

B

O

x

x

h×
nh 8-1b

h×
nh 8-1a

8.2. Khảo sát chuyển động của vật
Xét vật rắn C chuyển động

y

song phẳng, trong đó mỗi điểm

a

thuộc C đều di chuyển trên một
mặt phẳng song song với mặt
phẳng π cho trước ( hình 8-2). Một
đường thẳng ab thuộc vật và vuông
góc với π sẽ thực hiện chuyển

M

(S)
x

O
b

động tịnh tiến. Mọi điểm trên

đường thẳng này có chuyển động
như nhau và được đặc trưng bởi

h×
nh 8-2
1


chuyển đông của điểm M trên ab. Nếu xem vật là tập hợp vô số các đường ab
như vậy suy ra chuyển động của vật được đặc trưng bởi tiết diện S trên mặt
phẳng xoy. Như vậy bài toán chuyển động song phẳng của vật rắn đươc đưa về
baì toán chuyển động của một tiết diện trong mặt phẳng của nó gọi tắt là chuyển
động phẳng của tiết diện S.
Giả sử trên hình phẳng S ta lấy đoạn AB, nếu xác định vị trí của AB thì hoàn
toàn xác định vị trí của tiết diện S trong mặt phẳng xoy. Hình phẳng dịch chuyển
từ vị trí I sang vị trí II , đoạn AB có vị trí A1B1 đến vị trí A2 B2 (hình 8-3). Quá
trình này có thể thực hiện như sau: tịnh tiến

A1

'
2

A'2

đoạn A1B1 đến vị trí A B2 , sau đó quay đoạn
A B2 quanh B2 một góc ϕ1 đến trùng vị trí

B1


A2 B2 . Như vậy chuyển động của hình phẳng S

SI

'
2

ϕ1

A2

B2
Hình 8-3

SII

hoàn toàn được thực hiện. Điểm B2 chọn làm
tâm quay được gọi là cực.
Ta có thể thực hiện chuyển động vừa nêu ở trên bằng cách chọn cực quay
khác như sau: Tịnh tiến đoạn A1B1 đến vị trí A2 B2' sau đó chọn A2 làm cực quay
đoạn A2 B2' một góc ϕ2 đến vị trí trùng với A2 B2 . Vì A2' B2 // A2 B2' nên

ϕ1 = ϕ2 = ϕ.
Vậy: “Chuyển động song phẳng có thể phân tích thành hai chuyển động:
tịnh tiến theo một điểm cực và quay quanh điểm cực đó. Chuyển động quay
không phụ thuộc vào việc chọn điểm cực”

8.3. Vận tốc của điểm trên hình phẳng.
8.3.1. Tìm vận tốc của điểm qua vận tốc của điểm cực
Giả sử có hình phẳng S chuyển động trong mặt phẳng của nó. Chọn điểm O

bất kỳ làm cực. Chuyển động của hình phẳng được thực hiện bởi hai chuyển

2


r
động: tịnh tiến cùng với cực O có vận tốc v0 và quay quanh cực O với vận tốc
góc ω
Xét chuyển động của điểm A bất kỳ

S

thuộc hình. Điểm A chuyển động tịnh
tiến cùng với hình phẳng với vận tốc
r
r
veA = v0 và cùng với hình quay quanh

vA0
A

cực O với vận tốc V rA = V AO . Do đó:
r r r
v A = v0 + v AO

(8-1)

trong đó: V AO là vận tốc của điểm
A trong chuyển động quay quanh điểm


vA
v0
ω O

v0

Hình 8-4

cực O, V AO có phương vuông góc với AO, hướng theo chiều quay của ω và độ
lớn V AO = AO.ω
Vậy: “Vận tốc của một điểm bất kỳ thuộc hình phẳng chuyển động song
phẳng bằng tổng hình học vận tốc của điểm cực và vận tốc của điểm đó trong
chuyển động quay của hình phẳng quanh điểm cực”
8.3.2. Định lý hình chiếu vận tốc.
" H×nh chiÕu cña vËn tèc cña hai ®iÓm trªn hình phẳng chuyển
động song phẳng lªn ®êng th¼ng nèi hai ®iÓm ®ã luôn

b»ng

nhau"
ThËt vËy :
XÐt hai ®IÓm M, N tuú ý cña hình phẳng (S) . Chän M lµm ®IÓm
cùc ta cã

uuur

VN

uuur uuuuu
r

= V M + V NM

3


ChiÕu biểu thức trên lªn trôc MN ta cã :

V MN

⊥ MN nên chiếu lên

MN luôn bằng 0 (hình 8-5), Vậy còn lại hình chiếu của V N lên MN phải bằng
hình chiếu của V M

lên MN.

VN

Định lý đã được chứng minh.

VNM

Tõ ®Þnh lý nµy ta cã

VM

VM

thÓ dÔ dµng t×m ®îc VN
nÕu


biÕt

vËn

tèc

cña

M

α

N

α

x

®IÓm cùc M vµ ph¬ngcña
vËn tèc t¹i N, còng cã thÓ

(S)

t×m ®îc ω cña hình phẳng

h×
nh 8-5

khi biÕt V N vµ V M

8.3.3. Tâm vận tốc tức thời
-

Định nghĩa: “Điểm P trên hình phẳng S mà tại thời điểm khảo sát có

vận tốc bằng không, được gọi là tâm vận tốc tức thời” ( V P = 0 )
-

Trong chuyển động song phẳng của hình phẳng, tại mỗi thời điểm luôn

luôn tồn tại một và chỉ một tâm vận tốc tức thời.
-

Chuyển động của hình phẳng có thể thực hiện bởi sự quay liên tục của

hình quanh những vận tốc tức thời khác nhau.
-

Ứng với mỗi thời điểm khảo sát, tâm vận tốc P của hình phẳng trùng với

điểm P ' tương ứng thuộc mặt phẳng cố định, P ' gọi là tâm quay tức thời. Để
đơn giản ta vẫn gọi là tâm tức thời P . Đường thẳng đi qua P vuông góc với mặt
phẳng cố định gọi là trục quay tức thời
-

Vận tốc của điểm thuộc hình phẳng:

Tại thời điểm xét hình phẳng có tâm tức thời P

vA


A

và vận tốc của hình phẳng là ω . Chọn P làm cực ta
P

ω

Hình 8-6

4


t×m ®îc vËn tèc t¹i ®IÓm A bÊt kú trªn hình phẳng

:

V A = V P + V AP = V AP

-

cã trÞ sè VA = AP. ω

-

cã ph¬ng ⊥ PA, cã chiÒu theo chiÒu cña vËn tèc gãc ω

VËn tèc cña ®iÓm A bÊt kú trªn hình phẳng b»ng vËn tèc cña nã
khi h×nh ph¼ng quanh t©m vËn tèc tøc thêi .
Cách xác định tâm vận tốc tức thời

-

Trường hợp 1: Biết vận tốc của điểm A và phương

A

vận tốc của điểm B thuộc hình phẳng

vA

ω

r
r
Dựa vào tính chất v A ⊥ AP, vB ⊥ BP , từ A và B ta kẻ P
r
r
tương ứng các đường vuông góc với v A và vB . Giao của

B
Hình 8-7

chúng là tâm vận tốc tức thời P
-

Trường hợp 2: Biết vận tốc của hai điểm

A và B có phương song song và v A > vB , đoạn

A


vA

A

vA

vB

B

P

nối hai điểm A, B vuông góc với phương vận
vB

tốc của hai điểm đó (hình 8-8)

B

P

Hình 8-8

Tâm vận tốc tức thời P là giao điểm của đoạn thẳng AB kéo
r
r
dài và đường thẳng nối đầu mút véc tơ vận tốc v A và vB . Đăc biệt
r r
khi v A = vB (hình 8-9) thì hình phẳng chuyển động tịnh tiến, tâm


vA

A

vB

B

tức thời ở vô cực

P=∞
Hình 8-9

-

Trường hợp 3: Biết phương vận tốc của hai điểm A và

B song song, đoạn nối A, B không vuông góc với phương của

hai vận tốc đó (hình 8-10)

vA

A
B

vB

5

Hình 8-10


r
r
Trường hợp này hai đường thẳng vuông góc với phương của v A và vB kẻ qua
A và B song song với nhau nên tâm tức thời ở vô cực. Do đó hình phẳng
r r
chuyển động tịnh tiến và v A = vB

-

Trường hợp 4: Hình phẳng lăn không trượt

ω

trên một đường cong cố định (hình 8-11)
Khi lăn không trượt thì điểm tiếp xúc chung có vận

P

tốc bằng không do đó điểm đó chính là tâm vận tốc

Hình 8- 11

tức thời P

- Trường hợp 5. NÕu biÕt VA vµ ω th× P n»m trªn ®êng th¼ng
⊥ VA c¸ch A mét ®o¹n lµ PA = VA / ω hình 8-12


A

VA

(S)
P

h×nh 8-12

Ví dụ 1:
Bánh xe lửa lăn không trượt trên đường ray, các bán kính vành trong và vành
ngoài của bánh xe là r và R. Biết vận tốc của trục bánh xe là v0. Tìm vận tốc của
bốn điểm A, B, D, E là các đầu của hai đường kính của vành ngoài, ở vị trí nằm
ngang và thẳng đứng.
Bài giải:

6


Bỏnh xe chuyn ng song phng, ln khụng trt trờn ng ray, do ú im
tip xỳc P vi ng ray l tõm vn tc tc thi. Vn tc ca bỏnh xe l
=

vO vO
= . Vn tc ca cỏc im ó cho l:
CP r

vB

B


R2 + r 2
vo ;
r
R+r
vB = BP. =
vo ;
r
v A = AP. =

vD

2

R
A

D

R +r
vo ;
r
Rr
vE = EP. =
vo ;
r
vD = DP. =

2


r

vO

C

vA


P

Phng ca cỏc vn tc vuụng gúc vi

vE

E

ng thng ni t cỏc im ú n tõm vn
tc tc thi, chiu ca cỏc vn tc theo chiu ca vn tc gúc .

8.4. Gia tc ca im trờn hỡnh phng
8.4.1. Tìm gia tốc của đIểm qua điểm cực .
Gia tốc của điểm M bất kỳ trên hỡnh phng bằng tổng hình
học gia tốc của điểm cực A và gia tốc của điểm M trong
chuyển động quay của hình phẳng quanh điểm cực đó.

uuuur

MA


uuuuur

W M = W A + W MA

Vậy
W

uuur

=

uuuur

uuur

WM =W

uuuuur

n
A + W MA

uuuuur

+ W MA

bao gôm hai thành phần là gia tốc pháp tuyến và gia

tốc tiếp tuyến


uuuuur

uuuuur

n
W MA = W MA

uuuuur

+ W MA

7


- Gia tốc tiếp tuyến có phơng vuông góc với đoạn MA, có
chiều của gia tốc góc của hình phẳng và giá trị

WMA =

MA.
- Gia tốc pháp tuyến có hơng vào cực A có giá trị
WnMA = MA. 2
2
4
W MA = MA +


à là góc tạo bởi W

MA


với đoạn MA ta có

tg à =



2

8.4.2. Tõm gia túc tc thi .
Ta có thể xác định gia tốc của điểm bằng tâm gia tốc tức
thời nhng việc xác định nó rất phức tạp nên phơng pháp này ít
đợc sử dụng
Nếu hình phẳng không chuyển động

tịnh tiến tức thời

thì có mt điểm Q có vận tốc bằng 0 tại mỗi thời điểm , Q gọi
là tâm gia tốc tức thời của hình phẳng. Ta có : WQ = 0
Tại thời điểm t, hình phẳng có tâm gia tốc tức thời Q ,
chọn Q làm cực ta tìm đợc gia tốc tại điểm M bất kỳ trên hình
phẳng :

uuuur

uuuuur

W M = W MQ
uuuur


uuuuur

n
W M = W MQ

hay

uuuuur

+ W MQ

WMQ = MQ.

Trong đó

WnMQ = MQ. 2


2
4
W M = MQ +

8


Gia tốc của điểm trên hình phẳng bằng gia tốc của nó khi
hình phẳng quanh tâm gia tốc tức thời .
Cách tìm tâm gia tốc tức thời.
Biết gia tốc W A của một điểm A nào đó trên hình
phẳng, vận tốc góc và gia tốc góc ta tìm Q nh sau:

- Xác định góc à

bằng

tg à =



2

- Từ A kẻ một đờng thẳng làm với W A

một góc à sao cho W A

cùng chiều
- Trên đờng thẳng đó chọn điểm Q với khoảng cách

AQ =

WA

A

2 + 4

à
(S)
Q

WA




hì
nh 8-13

9