Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

SƠ ĐỒ TƯ DUY – CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA
GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG

ĐÁP ÁN
1C

2A

3D

4B

5D

6B

7A

8D

9B

10C

11C

12A

13D

14C

15C

16B

17C

18D

19A

20D

21C

22B

23B

24A

25D


26B

27B

28B

29B

30A

31C

32A

33A

34D

35A

36C

37B

38C

39D

40A


LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Số điểm cực trị của hàm số y  x3  3x 2  2 x  1 là
A. 0 .

B. 1 .

D. 3 .

C. 2 .
Giải

Ta có b  3ac  (3)  3.1.2  3  0 , suy ra hàm số có 2 điểm cực trị  đáp án C.
2

2

Chú ý: Hàm bậc ba số cực trị có thể có là 0 hoặc 2 nên ở bài toán này ta có thể loại được ngay hai phương
án nhiễu là B và D.
Câu 2. Tìm giá trị cực đại yCĐ của hàm số y  x3  3x  2 .
A. yCĐ  4 .

C. yCĐ  0 .

B. yCĐ  1 .

D. yCĐ  1 .

Giải


x  1 y  0
yCĐ  yCT
Ta có y '  3x 2  3 ; y '  0  

 yCĐ  4  đáp án A.
 x  1  y  4
Chú ý: Với hàm đa thức ta luôn có yCĐ  yCT .
Câu 3. Hàm số nào sau đây có đúng hai điểm cực trị?
A. y   x 4  3x 2  1 .
C. y 

B. y  x3  x 2  x  1 .

2x 1
.
x 1

D. y   x3  2 x2  x  1 .
Giải

Hàm trùng phương có số cực trị là 1 hoặc 3  loại phương án A.
Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất không có cực trị  loại phương án C.
Với hàm bậc ba y  ax3  bx 2  cx  d có hai điểm cực trị  b2  3ac  0 , chỉ có D. thỏa mãn

b2  3ac  1  0  đáp án D.
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 1-



Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Câu 4. Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên như sau:

x

2





y'



0



1

0




3
y



1


Ta có các phát biểu:
1) Hàm số có hai điểm cực trị.
2) Hàm số có điểm cực tiểu bằng 1 .
3) Hàm số có cực đại bằng 2 .

4) Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu thuộc đường thẳng x  2 y  3  0 .
Trong các phát biểu trên có bao nhiêu phát biểu đúng?
A. 4 .

C. 3 .

B. 2 .

D. 1 .

Giải
Dựa vào bảng biến thiên cho ta biết hàm số có hai điểm cực trị và đồ thị hàm số có điểm cực tiểu

M (1; 1) thuộc đường thẳng x  2 y  3  0 , suy ra 1) và 4) đúng.
Hàm số có điểm cực tiểu x  1 và hàm số có cực đại (hay giá trị cực đại) yCĐ  3 , nên 2) và 3) sai.

Vậy số phát biểu đúng là: 2  đáp án B.
Câu 5. Trong các hàm số sau, hàm số nào có điểm cực đại xCĐ và điểm cực tiểu xCT sao cho

xCĐ  xCT ?
A. y  x3  2 x 2  3x  2 .

B. y  x3  x 2  x  1 .

C. y  2 x3  x 2  x  1 .

D. y   x3  2 x  2 .
Giải

Với hàm bậc ba y  ax3  bx 2  cx  d

xCT

a  0  xCĐ  xCT

xCĐ

a  0  xCĐ  xCT

xCT

a>0

xCĐ
a<0


Suy ra loại A, B.

Xét C, b2  3ac  1  6  5  0 , suy ra hàm số không có cực trị, suy ra loại C  đáp án D.
Chú ý:
+) Ở cách giải trên ta dùng phương pháp loại trừ, nếu C sai thì D đúng ( b2  3ac  6  0 ).
+) Câu hỏi này ta có thể tìm cụ thể xCĐ và xCT rồi sau đó so sánh.

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 2-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Câu 6. Biết hàm số y  f ( x) có đạo hàm f '( x)  x 2  2 x . Điểm cực tiểu của hàm số là
A. x  1 .

B. x  2 .

C. x  0 .

D. không xác định được.

Giải


x  0
Ta có f '( x)  0  x 2  2 x  0  
, suy ra dấu f '( x) :
x  2

+

+

Suy ra điểm cực tiểu của hàm số là x  2

0

2

 đáp án B.

CT

Câu 7. Cho hàm số y  ax3  bx 2  cx  d có điểm cực đại và điểm cực tiểu lần lượt là x1 , x2 . Biết

x1  x2 . Xác định dấu của a .
A. a  0 .

B. a  0 .

C. a  0 .

D. không xác định được.


Giải

Với hàm bậc ba y  ax3  bx 2  cx  d

xCT

a  0  xCĐ  xCT

xCĐ

a  0  xCĐ  xCT

xCT

a>0

xCĐ
a<0

Do đó x1  x2 hay xCĐ  xCT suy ra: a  0 .

 đáp án A.
Câu 8. Cho hàm số y  x3  x 2  x  1 có đồ thị (C ) . Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
cực trị của (C ) có phương trình là:
A. y 

8
1
x .

9
9

8
8
B. y   x  .
9
9

9
1
C. y   x  .
8
8

8
8
D. y   x  .
9
9

Giải
Cách 1: Áp dụng công thức giải nhanh, ta có phương trình đi qua 2 điểm cực trị cần lập là
2
bc
2
1
8
8
8

8
y   (b2  3ac) x  d 
  (12  3) x  1    x  hay y   x   đáp án D.
9a
9a
9
9
9
9
9
9

x  1 y  0
 1 32 
 A(1;0), B   ;  là các điểm cực trị
Cách 2: Ta có: y '  3x  2 x  1 ; y '  0  
1
32
x    y 
 3 27 
3
27

2

8
8
4
 4 32 
của (C ) . Suy ra: AB    ;     9; 8  nAB  (8;9)  AB : 8 x  9 y  8  0 hay y   x 

9
9
27
 3 27 

 đáp án D.

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 3-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Câu 9. Đồ thị hàm số y   x3  6 x 2  9 x  2 có hai điểm cực trị A và B . Điểm nào dưới đây thuộc
đường thẳng AB ?
A. P(1;0) .

C. N (2; 4) .

B. M (1;10) .

D. Q(1;10) .


Giải
2 2
bc
, với a  1; b  6; c  9; d  2 , ta có
(b  3ac) x  d 
9a
9a
2
6.9
phương trình AB : y  
(62  3.9) x  2 
 2 x  8 hay AB : 2 x  y  8  0 .
9.(1)
9.(1)

Cách 1: Áp dụng công thức y  

Kiểm tra các phương án chỉ có điểm M (1;10)  AB  đáp án B.

 x  1  y  6
 A(1;6), B(3; 2) .
Cách 2: Ta có: y '  3x 2  12 x  9 ; y '  0  
 x  3  y  2
Suy ra: AB   2; 4   nAB  (2; 1)  AB : 2 x  y  8  0 .
Kiểm tra các phương án chỉ có điểm M (1;10)  AB  đáp án B.
Câu 10 (THPTQG – 102– 2017 ). Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên như sau:

x

1






y'



3



0



0



5
y

1


Đồ thị hàm số y  f ( x) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 4 .


C. 3 .

B. 2 .

D. 5 .

Giải
Từ bảng biến thiên hàm số y  f ( x) suy ra bảng biến thiên hàm y  f ( x) như sau:

x

1





y'

0



3



0




5
1

y



y0



Suy ra hàm số có 3 điểm cực trị  đáp án C.
Câu 11 (THPTQG – 103– 2017 ). Đồ thị hàm số y   x3  3x2  5 có hai điểm cực trị A và B .
Tính diện tích S của tam giác OAB với O là gốc tọa độ.
10
A. S  9 .
B. S  .
C. S  5 .
3

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

D. S  10 .

- Trang | 4-



Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Giải
 x  0  y  5  A(0;5) 
 AB  2 5
.


 AB : 2 x  y  5  0
 x  2  y  9  B(2;9) 

Ta có y '  3x  6 x ; y '  0  
2

5

1
1
 5 , suy ra: SOAB  d (O, AB). AB  . 5.2 5  5  đáp án C.
2
2
2  (1)

Khi đó: d (O, AB) 

2


2

Câu 12. Với giá trị nào của m thì hàm số y  x3  m2 x 2  (4m  20) x  3 đạt cực đại tại x  2 ?
A. m  1 hoặc m  2 .

B. m  1 .

C. m  1 .

D. m  2 .

Giải
2
2

 y '  3x  2m x  (4m  20)
2

 y ''  6 x  2m

Cách 1: Ta có: 

 m  1
.
m  2

+) Điều kiện cần: Hàm số đạt cực đại tại x  2  y '( 2)  0  4 m 2  4 m  8  0  
+) Điều kiện đủ:


Với m  1  y ''  6 x  2  y ''(2)  14  0  x  2 là điểm cực đại (thỏa mãn).
Với m  2  y ''  6 x  8  y ''(2)  20  0  x  1 là điểm cực đại (thỏa mãn).
Vậy m  1 hoặc m  2  đáp án A.
Cách 2: (Giải ngược) Thay đáp số để kiểm tra.
Chú ý:
Ở cách 1 trong điều kiện đủ ta có thể tính y ''(2)  12  2m  0, m 
2

 m  1 và m  2 đều thỏa mãn.

1
Câu 13. Tìm giá trị thực của m để hàm số y  x3  mx 2  (m2  4) x  3 đạt cực tiểu tại x  3 .
3
A. m  5 .
B. m  1 .
C. m  5 .
D. m  1 .

Giải
Cách 1: Ta có y '  x  2mx  m  4 và y ''  2 x  2m .
2

2

m  1
+) Điều kiện cần: Hàm số đạt cực tiểu tại x  3  y '(3)  0  m 2  6 m  5  0  
.
m  5
+) Điều kiện đủ: Với m  1  y ''  2 x  2  y ''(3)  4  0 , suy ra x  3 là điểm cực tiểu (thỏa mãn).
Với m  5  y ''  2 x  10  y ''(3)  4  0 , suy ra x  3 là điểm cực đại ( loại).

Vậy m  1  đáp án D.
Cách 2: (Giải ngược) Thay đáp số để kiểm tra.

x3 1
 (2m  1) x 2  (m2  m) x đạt cực tiểu tại
3 2
x  1 . Khi đó m0 gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau?

Câu 14. Biết m  m0 là giá trị làm cho hàm số y 

A. 4 .

B. 5 .

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

C. 2 .

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

D. 1 .

- Trang | 5-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN


Giải
Ta có y '  x  (2m  1) x  m  m và y ''  2 x  2m  1 .
2

2

m  1
.
m  2

+) Điều kiện cần: Hàm số đạt cực tiểu tại x  1  y '(1)  0  m2  3m  2  0  

+) Điều kiện đủ: Với m  1  y ''  2 x  1  y ''(1)  1  0 , suy ra x  1 là điểm cực tiểu (thỏa mãn).
Với m  2  y ''  2 x  3  y ''(1)  1  0 , suy ra x  1 là điểm cực đại ( không thỏa mãn).
Vậy m  m0  1 gần 2 nhất  đáp án C.

Câu 15. Cho hàm số y  2 x3  3 m  1 x 2  6mx  1 . Gọi m  m0 là giá trị làm cho hàm số có giá
trị cực tiểu bằng 1 . Khi đó giá trị nào dưới đây gần m0 nhất?
A. 3 .

B. 2 .

C. 1.

D. 2 .

Giải
a bc0  x  1
Ta có y  6 x 2  6  m  1 x  6m; y  0  x 2  (m  1) x  m  0 

x  m .


Để hàm số có cực trị thì m  1, khi đó xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: m  1 .
Vẽ trục số dấu của y ' (hoặc dựa vào a  1  0 ) ta được hàm số đạt cực đại tại x  1 . Khi đó:
yCT  y  m   m3  3m2  6m  1  1  m(m2  3m  6)  0  m  0 .

Trường hợp 2: m  1 .
Vẽ trục số dấu của y ' (hoặc dựa vào a  1  0 ) ta được hàm số đạt cực đại tại x  m . Khi đó:
yCT  y  1  3m  8  1  m 

7
(loại vì m  1 ).
3

Vậy m  m0  0 gần 1 nhất  đáp án C.
Câu 16. Biết các cực trị của hàm số y  ax3  (a  2) x 2  9 x  b đều là các số không âm và x  1 là
điểm cực đại của hàm số. Giá trị lớn nhất của a  b là
B. 26 .

A. 11 .

C. 7 .

D. 14 .

Giải
Ta có: y '  3ax  2(a  2) x  9
2


Do x  1 là điểm cực đại của hàm số, suy ra: y '(1)  0  5a  5  0  a  1 .
Với a  1  y  x3  3x2  9 x  b .

 xCĐ  1  yCĐ  5  b
Ta có: y '  3x 2  6 x  9 ; y '  0  
.
x

3

y


27

b
CT
 CT

 yCĐ  0 5  b  0

 b  27 .
Do các cực trị của hàm số đều là các số không âm, nên ta có: 
27  b  0
 yCT  0
Suy ra: a  b  1  b  1  27  26  max  a  b   26  Đáp án B.
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33


- Trang | 6-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Câu 17. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y   x3  mx 2  x có 2 điểm cực trị.
A. m  2 3 .

B. m  2 .

C. m  3 .

D. m  3 .

Giải
Hàm số y  ax  bx  cx  d có 2 điểm cực trị khi và chỉ khi b2  3ac  0  m2  3  0  m  3
3

2

 Đáp án C.
Câu 18. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y  x3  3mx2  3m  1 có hai
điểm cực trị.
A. m  0 .


B. m  0 .

C. m  0 .

D. m  0 .

Giải
Cách 1: Do hàm số có dạng bậc ba, nên điều kiện hàm số có hai điểm cực trị là:

b2  3ac  0  9m2  0  m  0  đáp án D.
x  0
2
(*) .
Cách 2: Ta có: y '  3x  6mx ; y '  0  3x 2  6mx  0  
 x  2m
Để hàm số có hai điểm cực trị thì (*) có hai nghiệm phân biệt  2m  0  m  0  đáp án D.

Câu 19. Tất cả các giá thực của m để hàm số y  mx3  3(m  1) x2  2 có hai điểm cực trị là
A. m 

\ 0;1 .

B. m 

\ 1 .

C. m 

\ 0 .


D. m

.

Giải

a  m  0
m  0

 m
Cách 1: Hàm số có hai điểm cực trị   2
2
b  3ac  9(m  1)  0 m  1

\ 0;1

 đáp án A.
x  0
Cách 2: Ta có y '  3mx 2  6(m  1) x  3x  mx  2(m  1) ; y '  0  
(*)
 mx  2(m  1)
Hàm số có hai điểm cực trị  phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt suy ra:

m  0
m  0


 m
 2(m  1)
 m  0 m  1


\ 0;1  đáp án A.

Câu 20. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y  (1  m) x3  3x 2  3x  1 có cực trị.
A. m  1 .

B. m  1 .

C. 0  m  1 .

D. m  0 .

Giải
+) Với m  1 , hàm số có dạng: y  3x 2  3x  1 là hàm bậc hai nên có 1 cực trị (thỏa mãn).
+) Với m  1, hàm số có cực trị  b2  3ac  0  9  9(1  m)  0  9m  0  m  0
Vậy m  0  đáp án D.
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 7-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Chú ý: Hàm bậc ba số cực trị có thể có là 2 hoặc 0. Do đó, câu hỏi tìm m để hàm bậc ba có cực trị hay có

2 cực trị là như nhau. Song nếu, hàm số có hệ số a chứa tham số thì ta phải xét thêm a  0 (hàm số
không còn dạng bậc ba) , khi đó có thể hàm số có 1 cực trị ví như câu hỏi trên.
Câu 21. Đồ thị hàm số y  ax3  bx 2  cx  d có hai điểm cực trị nằm về cùng phía so với trục tung
khi và chỉ khi
A. a  0, b  0, c  0 .

B. a  0, b  0, c  0 .

C. b  3ac  0 .

D. b2  3ac  0 và bc  0 .

2

Giải
Yêu cầu bài toán tương đương y '  3ax 2  2bx  c  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn:
a  0
x1 x2  0   '  b 2  3ac  0  b 2  3ac  0  đáp án C.
 x x  3ac  0
 1 2

Chú ý: Điều kiện hai điểm cực trị A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) nằm
 Khác phía so với trục tung (trục Oy ) là : x1 x2  0 .
 Cùng phía so với trục tung (trục Oy ) là: x1 x2  0 .
 Khác phía so với trục hoành (trục Ox ) là: y1 y2  0 .
 Cùng phía so với trục hoành (trục Ox ) là: y1 y2  0 .
Câu 22. Cho hàm số y  2 x3  (2m  1) x 2  (m2  1) x  2 . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên
của tham số m để hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
A. 4 .


B. 5 .

C. 3 .

D. 6 .

Giải
Do hàm số có dạng bậc ba, nên điều kiện hàm số có hai điểm cực trị là:

b2  3ac  0  (2m  1)2  6(m2  1)  0  2m2  4m  7  0
2  3 2
2  3 2
m
m
 3,12  m  1,12 
 m  3; 2; 1;0;1
2
2
Suy ra có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn  đáp án B.


1
Câu 23. Cho hàm số y  x3  mx 2  (2m  1) x  1 . Trong các mệnh đề sau, đâu là mệnh đề sai?
3
A. Với m  1 thì hàm số có hai điểm cực trị.
B. Hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.

C. Với m  1 thì hàm số có cực đại và cực tiểu.

D. Với m  1 thì hàm số có cực trị.


Giải
Vì hàm số có dạng bậc ba, nên ta xét: b2  3ac  m2  (2m  1)  (m  1)2
Hàm số có 2 cực trị (một cực đại và một cực tiểu – hoặc có cực trị) khi và chỉ khi:
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 8-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

b2  3ac  0  (m  1)2  0  m  1, suy ra B sai  đáp án B.
Chú ý: Ở bài toán này mệnh đề A , D đúng là vì, với m  1 thì hàm số có cực đại và cực tiểu (có hai
cực trị hay có cực trị) nên nó cũng thỏa mãn với m  1 hoặc m  1 .
Câu 24. Gọi m  m0 là một giá trị để hàm số y  x3  3x2  3mx  1 có hai cực trị x1 , x2 thỏa mãn

( x1  1)( x2  1)  3 . Trong các giá trị dưới đây, giá trị nào gần m0 nhất?
A. 1 .

B. 4 .

C. 0 .

D. 1 .


Giải
Ta có y '  3x2  6 x  3m ; y '  0  x 2  2 x  m  0 (*)
Hàm số có 2 cực trị x1 , x2  (*) có 2 nghiệm phân biệt   '  1  m  0  m  1 .

 x1  x2  2
Theo Vi – ét ta có: 
. Khi đó: ( x1  1)( x2  1)  3  x1 x2  ( x1  x2 )  4  0
 x1.x2  m
m1
 m  2  4  0  m  2 
 m  m0  2 gần 1  Đáp án A.

Câu 25. (Sở GD&ĐT Nam Định). Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho hàm số

y  x3  3x 2  mx  1 có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn x12  x22  3 .
A. 3 .

3
C.  .
2

B. 3 .

D.

3
.
2


Giải
Ta có: y '  3x  6 x  m ; y '  0  3x  6 x  m  0 (*) .
2

2

2
+) Để hàm số có hai điểm cực trị thì  '  9  3m  0  m  3 (2*) (hoặc sử dụng b  3ac  0 ).

+) Khi đó x1 , x2 là nghiệm của (*) . Suy ra:

m
3
(thỏa mãn (2*) )  đáp án D.
3m
3
2
Chú ý: Với những bài toán thuộc dạng này, ta có thể tìm điều kiện (2*) sau. Ví như bài toán này khi tìm ra kết
x12  x22  3  ( x1  x2 )2  2 x1 x2  3  22  2.

3
thì ta cũng sẽ chắc chắn rằng đó là đáp án đúng (vì các phương án của bài toán cho một kết quả m ) mà
2
không cần thử điều kiện (2*) . Do đó, trong một số bài ta có thể không cần điều kiện (2*) .
quả m 

Câu 26. Cho hàm số y  x3  3mx2  2 có đồ thị  Cm  và đường thẳng  : y   x  2 . Biết  Cm  có
hai điểm cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của  Cm  đến đường thẳng  bằng

2. Trong


các giá trị m thỏa mãn bài toán, giá trị nào dưới đây gần m nhất?
A. 2 .

C. 3 .

B. 0 .

D. 4 .

Giải
Ta có: y '  3x  6mx  3x  x  2m  ; y '  0  x  0; x  2m
2

Điều kiện có hai cực trị là 2m  0  m  0. Tọa độ hai điểm cực trị: A  0; 2  và B  2m; 2  4m3  .
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 9-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

+) Nếu m  0 : A là điểm cực tiểu. Khi đó d  A,    0  2 (loại).
 2 m3  m  1

m  1
+) Nếu m  0 : B là điểm cực tiểu. Khi đó: d  B,    2  2m  m  1   3

 2m  m  1  m  1
3

Do m  0 nên m  1 gần 0 nhất  đáp án B.
Câu 27. (Chuyên Thái Bình – Lần 3). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a sao cho hàm số
1
1
y  x3  x 2  ax  1 đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa mãn:  x12  x2  2a  x22  x1  2a   9 .
3
2
A. a  2 .
B. a  4 .
C. a  3 .
D. a  1 .
Giải
Ta có: y '  x 2  x  a ; y '  0  x2  x  a  0 (*)
Cách 1 (Giải xuôi) Để hàm số có hai điểm cực trị thì   1  4a  0  a 

1
(2*)
4

 x1  x2  1
(3*) .
Với x1 , x2 là nghiệm của (*) nên ta có: 
 x1 x2  a
Biến đổi :  x12  x2  2a  x22  x1  2a    x1 x2    x13  x23   2a( x12  x22  x1  x2 )  x1 x2  4a 2

2

  x1 x2    x1  x2   3x1 x2 ( x1  x2 )  2a ( x1  x2 )2  2 x1 x2  x1  x2   x1x2  4a 2
2

3

(2*)

 a 2  1  3a  2a(1  2a  1)  a  4a 2  a 2  2a  1  (a  1) 2 .

a  2
(2*)

 a  4  đáp án B.
Khi đó điều kiện bài toán tương đương: (a  1)2  9  
a


4

Cách 2 (Giải ngược). +) Thử a  2 , (*) có dạng: x2  x  2  0 (vô nghiệm), vậy a  2 loại.

1  17
 x1 
2 .
+) Thử a  4 , (*) có dạng: x 2  x  4  0  

1  17
 x2 


2

Lúc này ta sử dụng Casio, gán x1 

1  17
1  17
 B.
 A và x2 
2
2

Sau đó nhập biểu thức  A2  B  8 B 2  A  8 vào máy:

Ta được kết quả là 9 (thỏa mãn)  đáp án B.
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 10-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Chú ý: Nếu bài toán này câu hỏi là “Tìm giá trị gần a nhất ”thì ta không giải được theo chiều xuôi”.
Câu 28 (THPTQG – 104 – 2017 ). Tìm giá trị trị thực của tham số m để đường thẳng


d : y  (2m 1) x  3  m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

y  x 3  3x 2  1 .
A. m 

3
.
2

B. m 

1
C. m   .
2

3
.
4

D. m 

1
.
4

Giải
Hàm số y  x  3x  1 có a  1; b  3; c  0; d  1 , suy ra phương trình  đi qua hai điểm cực trị
3


2

2 2
bc
2
(b  3ac) x  d 
  .(9  0) x  1  2 x  1 hay  : y  2 x  1 .
9a
9a
9
3
Do d    (2m  1).(2)  1  m   đáp án B.
4

của đồ thị hàm số là: y  

Câu 29 (THPTQG – 104– 2017). Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số

y  x3  3mx 2  4m3 có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 với O
là gốc tọa độ.
1
1
A. m   4 ; m  4 .
2
2

B. m  1 ; m  1 .

C. m  1 .


D. m  0 .

Giải

 x  0  y  4 m3

 A(0; 4m3 )  Oy

.
 x  2m  y  0
 B(2m;0)  Ox

Ta có y '  3x  6mx  3x( x  2m) ; y '  0  
2

Để tồn tại A, B thì 2m  0  m  0 .
Ta có SOAB 

1
1
OA.OB  . 4m3 . 2m  4m4  4  m  1  đáp án B.
2
2

Câu 30. Cho hàm số y   x3  3mx2  3(1  m2 ) x  m3  m2 . Điểm M (1; 2) thuộc đường thẳng đi qua
hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho. Tất cả các giá trị của m là
A. m  0 hoặc m  1 .

B. m  1 hoặc m  1 .


C. m  1 .

D. m  0 hoặc m  2 .

Giải
Cách 1 (Sử dụng công thức giải nhanh)
Áp dụng công thức giải nhanh, ta có phương trình đi qua 2 điểm cực trị cần lập là
2
bc
với a  1, b  3m, c  3(1  m 2), d  m 3  m 2
y   (b2  3ac) x  d 
9a
9a

2
9m(1  m2 )
 2 x  m2  m hay y  2 x  m2  m .
Suy ra: y  (9m2  9  9m2 ) x  m3  m2 
9
9
m  0
Do M (1; 2)  AB  2  2  m2  m  m2  m  0  
m  1
Kiểm tra b2  3ac  9  0, m 

 m  0 hoặc m  1  đáp án A.

Cách 2 (Giải thường) Ta có: y '  3x 2  6mx  3(1  m2 )
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!


Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 11-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

 x1  m  1
Cách 2.1 Khi đó: y '  0  x 2  2mx  m2  1  0  
. Suy ra A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) là hai điểm
 x2  m  1
2

 A(m  1; m2  3m  2)
 y  m  3m  2

cực trị   1

 AB  (2; 4) .

2
2
y


m


3
m

2
B
(
m

1;

m

3
m

2)



 2

x  m  1 y  m2  3m  2

 y  2 x  m2  m
2
4
m  0
Do M (1; 2)  AB  2  2  m2  m  m2  m  0  
 đáp án A.

m  1
Suy ra phương trình đi qua hai điểm cực trị A, B :

Cách 2.1
Với y '  0  x2  2mx  m2  1  0 có  '  m2  (m2  1)  1  0 nên hàm số đạt cực trị tại x1 , x2 .
Ta có: y '( x1 )  y '( x2 )  0 .
2

1
 y1  2 x1  m  m
2
Chia y cho y ' ta được: y   x  m  y ' 2 x  m  m  
 AB : y  2 x  m 2  m .
2
3

 y2  2 x2  m  m

m  0
 đáp án A.
Do M (1; 2)  AB  2  2  m2  m  m2  m  0  
m  1
Câu 31. Tìm m để đồ thị hàm số y  2 x3  3(m  1) x 2  6mx có hai điểm cực trị A và B sao cho
đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y  x  2 .
A. m  0 hoặc m  1 .

B. m  0 .

C. m  0 hoặc m  2 .


D. m  2 .

Giải
Cách 1 (Sử dụng công thức giải nhanh)
Áp dụng công thức giải nhanh, ta có phương trình đi qua 2 điểm cực trị cần lập là
2
bc
với a  2, b  3(m  1), c  6m, d  0
y   (b2  3ac) x  d 
9a
9a
2
18m(m  1)
9(m  1)2  3.2.6m) x  0 
Suy ra: y  
 (m  1) 2 x  m(m  1) hay
9.2
9.2

m  0
y  (m  1)2 x  m(m  1) Do AB vuông góc với đường thẳng y  x  2  (m  1)2  1  
m  2
Kiểm tra b2  3ac  9(m  1)2  0  m  1  m  0 hoặc m  2 thỏa mãn  đáp án C.
Cách 2 (Giải thường)

 x1  1
Ta có: y '  6 x2  6(m  1) x  6m ; y '  0  x 2  (m  1) x  m  0  
 x2  m
Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi x1  x2  m  1 (*)


 y1  y (1)  3m  1
 A(1;3m  1)

 AB  (m  1; (m  1)3 )
Cách 2.1 Ta có: 
3
2
3
2
 B(m; m  3m )
 y2  y (m)  m  3m
Do m  1 nên AB cùng phương với vecto u AB  (1; (m  1)2 )
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 12-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Đường thẳng d : y  x  2  x  y  2  0 có vecto chỉ phương ud  (1;1) .

m  0
Khi đó AB  d  AB.ud  0  1  (m  1) 2  0  
(thỏa mãn (*) )  đáp án C.

m  2
1
Cách 2.2 Chia y cho y ' ta được: y  (2 x  m  1) y ' (m  1)2 x  m(m  1) .
6
2

 y  (m  1) x1  m(m  1)
 AB : y  (m  1)2 x  m(m  1) .
Với y '( x1 )  y '( x2 )  0   1
2

 y2  (m  1) x2  m(m  1)
m  0
Do AB vuông góc với đường thẳng y  x  2  (m  1)2  1  
 đáp án C.
m  2

Câu 32. Tìm m để đồ thị hàm số y  x3  3x 2  mx có hai điểm cực trị A và B đối xứng nhau qua
đường thẳng x  2 y  5  0 .
A. m  0 .

B. m  1 .

C. m  1 .

D. m  3 .

Giải
Cách 1 (Sử dụng công thức giải nhanh)
Áp dụng công thức giải nhanh, ta có phương trình đi qua 2 điểm cực trị cần lập là

2
bc
với a  1, b  3, c  m, d  0
y   (b2  3ac) x  d 
9a
9a
2
3m m  6
m
m6
m
Suy ra: y   9  3m x  0 

x  hay y 
x
9
9
3
3
3
3
1
5
Do A và B đối xứng nhau qua đường thẳng x  2 y  5  0 (hay y  x  )
2
2
m6 1
Suy ra
.  1  m  0 . Do bài toán chỉ có một đáp số nên m  0 thỏa mãn  đáp án A.
3 2

Cách 2 (Giải thường)
Ta có: y '  3x 2  6 x  m ; y '  0  3x 2  6 x  m  0 (1)
Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi  '  9  3m  0  m  3 (2)
Gọi A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) là hai điểm cực trị của (Cm ) với y '( x1 )  y '( x2 )  0 .
1
2m  6
m
1
2m  6
m
1
1
Ta có: y   x   (3x 2  6 x  m) 
x  hay y   x   . y '
x
3
3
3
3
3
3
3
3


1
2m  6
m 2m  6
m
1

 y1   3 x1  3  . y '( x1 )  3 x1  3  3 x1  3




 y   1 x  1  . y '( x )  2m  6 x  m  2m  6 x  m
2
2
2
 2  3 2 3 
3
3
3
3
Suy ra phương trình AB : y 

2m  6
m
x .
3
3

Đường thẳng d : x  2 y  5  0 được viết lại: y 
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

1
5
x
2
2


Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 13-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Do A, B đối xứng với nhau qua d thì thỏa mãn điều kiện cần là
AB  d 

2m  6 1
.  1  m  0 (thỏa mãn (2) )
3
2

Với m  0 hàm số có dạng y  x3  3x 2 có hai điểm cực trị A(0;0), B(2; 4)
Khi đó trung điểm AB là I (1; 2)  d (thỏa mãn điều kiện đủ)
Vậy giá trị m  0 là đáp số của bài toán  đáp án A.
Câu 33. (Đề Tham Khảo – 2017) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị
1
của hàm số y  x3  mx 2  (m2  1) x có hai điểm cực trị là A và B sao cho A, B nằm khác phía
3
và cách đều đường thẳng y  5x  9 . Khi đó tổng các giá trị của m là
A. 0 .


C. 6 .

B. 6 .

D. 3 .

Giải
Ta có: y '  x  2mx  m  1 ; y '  0  x  2mx  m2  1  0 (*) .
2

2

2

3

m2  3m  2  A  m  1; m  3m  2 
 

 x  m 1  y 
3


3
2
2

Cách 1:  '  m  (m  1)  1  
.


2
3
m  3m  2  

m  3m  2 
 B  m  1;

 x  m  1  y 
3
3
 


 m3  3m 
Do A, B nằm khác phía và cách đều đường thẳng y  5x  9 nên trung điểm I  m;
 của
3 

m2  3m
 5m  9  m3  18m  27  0
3
b
có 3 nghiệm m1 , m2 , m3 thỏa mãn m1  m2  m3    0  đáp án A.
a
Cách 2: Áp dụng công thức giải nhanh, đường thẳng đi qua A, B là:
AB thuộc đường thẳng y  5x  9 

y

2 2

bc
2
m(m2  1)
2
m(m2  1)
(b  3ac) x  d 

(m2  m2  1) x  0 
 x
1
9a
9a
3
3
3
9.
3


2
m(m2  1)  
2
m(m2  1) 
,
B
x
;

x


Khi đó: A  x1 ;  x1 
  2
 , với x1 , x2 là nghiệm của.
2
3
3
3
3

 

Gọi I là trung điểm của AB

 xI 

 m3  3m 
x1  x2
2
m(m2  1) m3  3m
 m  yI   m 

 I  m;
.
2
3
3
3
3




m2  3m
 5m  9
Do A, B nằm khác phía và cách đều đường thẳng d : y  5x  9 nên:  I  d 
3
b
 m3  18m  27  0 có 3 nghiệm m1 , m2 , m3 thỏa mãn m1  m2  m3    0  đáp án A.
a

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 14-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Chú ý: Nếu x1 , x2 , x3 là ba nghiệm của phương trình ax3  bx2  cx  d  0 thì

b

 x1  x2  x3   a

c


(Vi – et hàm bậc 3).
 x1 x2  x2 x3  x3 x1 
a

d

 x1 x2 x3   a

Câu 34. Khi nói về hàm số y  2 x3  3(2m  1) x 2  6m(m  1) x  1 có đồ thị (C ) , ta có các phát biểu :

(1) Với m  , hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn x2  x1  1 .
(2) Gọi A là điểm cực đại thuộc (C ) , khi đó A thuộc đồ thị hàm số y  2 x3  3x2  1 .

(3) Khi m  0 thì hàm số đồng biến trên 1;   .
(4) Khi m  0 thì đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của (C ) có phương trình x  y  1  0 .
Trong các phát biểu trên, có bao nhiêu phát biểu đúng?
A. 1 .

C. 3 .

B. 2 .

D. 4 .

Giải
Ta có y '  6 x2  6(2m  1) x  6m(m  1) ; y '  0  x2  (2m  1) x  m(m  1)  0

x  m
 ( x  m)( x  m  1)  0   1
.

 x2  m  1
+) Với m 

+

+
m

m+1

Suy ra:

, hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn x2  x1  1  (1) đúng.

+) Ta có xCĐ  x1  m  yCĐ  y(m)  2m3  3m2  1

 A(m;2m3  3m2  1) thuộc đồ thị y  2 x3  3x2  1  (2) đúng.
+) Khi m  0 hàm số có dạng: y  2 x3  3x 2  1 đồng biến trên 1; ) (vì hàm số liên tục tại x  1 ).
Suy ra phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị:
2
bc
2
y   (b2  3ac) x  d 

(9  0).x  1   x  1 hay x  y  1  0 .
9a
9a
9.2
Suy ra: (3) và (4) . Vậy tất cả 4 phát biểu đều đúng  đáp án D.
Câu 35. Cho hàm số y  2 x3  9 x2  ax  b có đồ thị (C ) . Biết M (1;3) là một điểm cực trị của (C ) .

Khi đó tổng a  b bằng
A. 34 .

B. 10 .

C. 14 .

D. 28 .

Giải
Ta có y '  6 x  18x  a .
2

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 15-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

 M  (C )
3  a  b  11 a  24



 a  b  34
Do M (1;6) là điểm cực trị của (C )  
 y '(1)  0 24  a  0
b  10

 đáp án A.
Câu 36. Đồ thị hàm số y  ax3  bx 2  cx  d (C ) có hai điểm điểm cực trị là O(0;0) và A(2; 4) .
Khi đó trong các phát biểu sau, phát biểu nào không đúng?
B. c và d đều bằng 0.

A. a là số thực dương.

D. a  b  2 .

C. Đồ thị (C ) đi qua điểm N (1; 2) .
Giải

Ta có y '  3ax  2bx  c . Do (C ) có hai điểm cực trị là O(0;0) và A(2; 4) . Suy ra:
2

 y '(0)  0
c  0
a  1
 y (0)  0


d  0


 b  3  A, B, D đúng  C không đúng  Đáp án C.


 y '(2)  0
12a  4b  c  0
c  d  0

 y (2)  4
8a  4b  2c  d  4
Chú ý: Ở đây phương án C không đúng vì (C ) có dạng: y  x3  3x 2 nên điểm N (1; 2)  (C ) .
Câu 37. Nếu đồ thị hàm số y  ax3  bx 2  cx  d có hai điểm cực trị là M (3;17) và N (1; 15) thì
giá trị của T  a  b  c  d bằng bao nhiêu?
A. 4 .

C. 10 .

B. 1 .

D. 5 .

Giải
Cách 1: Ta có y '  3ax2  2bx  c
Do M (3;17) và N (5; 15) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nên ta có:

 y '(3)  0
27a  6b  c  0
27a  6b  c  0
a  1
 y (3)  17
27a  9b  3c  d  17
7a  2b  c  8
b  3








 a  b  c  d  1

 y '(1)  0
3a  2b  c  0
3a  2b  c  0
c  9




 y (1)  15
a  b  c  d  15
d  15  a  b  c
d  10
 đáp án B.

Cách 2: Sử dụng tính chất đặc biệt của đồ thị hàm bậc ba “Trung điểm nối hai điểm cực trị của
đồ thị hàm bậc ba cũng thuộc đồ thị (còn gọi là điểm uốn)”. Khi đó ta có I (1;1) là trung điểm
của MN , suy ra: y(1)  a  b  c  d  1   đáp án B.
Câu 38. Hàm số y  x3  bx 2  cx  d có đồ thị như hình vẽ bên.

y


2

Giá trị biểu thức T  b  c  d bằng bao nhiêu?
A. 1 .

O

B. 12 .

1

2

x

C. 13 .
D. 1 .
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 16-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN


Giải
Ta có: y '  3x 2  2bx  c
Từ hình vẽ cho ta biết đồ thị có hai điểm cực trị là A(1;2), B(2; yB ) , suy ra:

3

b

 y '(1)  0
2b  c  3
3  2b  c  0
2




 y (1)  2  b  c  d  1  1  b  c  d  2  c  6  T  b  c  d  13  đáp án C.
 y '(2)  0
4b  c  12
12  4b  c  0

17



d 
2

Câu 39. (Chuyên KHTN – Lần 3) Biết rằng đồ thị


y

hàm số y  x3  3x 2 có dạng như hình bên. Hỏi

4

đồ thị hàm số y  x3  3x 2 có bao nhiêu điểm
cực trị ?

2 O

A. 0 .

x

B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .
Giải
Cách 1: Từ đồ thị y  x  3x , suy ra đồ thị y  x3  3x 2 có hình vẽ như sau:
3

2

y

y

y  x 3  3x 2


4

4

2 O

2 O

x

y  x3  3x 2

x

Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số y  x3  3x 2 có 3 điểm cực trị  đáp án D.
Cách 2: Ta có y  x3  3x 2  ( x3  3x 2 )2  y ' 

( x3  3x 2 ).(3x 2  6 x)
( x3  3x 2 ) 2

.

Cực trị của hàm số là những giá trị của x làm cho y '  0 hoặc y ' không xác định thỏa mãn:
x  0
( x  3x ).(3x  6 x)  0  3x ( x  3)( x  2)  0   x  3  có 3 điểm cực trị  đáp án D.
 x  2
3

2


2

3

Chú ý:
Cách suy luận đồ thị chứa trị tuyệt đối từ đồ thị gốc các bạn có thể xem lại Video bài giảng. Ở bài toán
này những giá trị x làm cho y '  0 hoặc y ' không xác định đều là các nghiệm đơn (hoặc bội lẻ), do đó
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 17-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

qua nó y ' đổi dấu nên nó thỏa mãn điều kiện đủ. Vì vậy, nó đều là các điểm cực trị.

Câu 40. (Chuyên Vinh – Lần 2). Đồ thị (C ) có

y

hình vẽ bên. Tất cả các giá trị của tham số m
để hàm số y  f ( x)  m có ba điểm cực trị là

1


A. m  1 hoặc m  3 .

O

B. m  3 hoặc m  1 .

x

3

C. m  1 hoặc m  3 .
D. 1  m  3 .
Giải
Cách 1:

y

Do y  f ( x)  m là hàm số bậc ba
Khi đó, hàm số y  f ( x)  m có ba điểm cực trị

y  f ( x)  m

y

1 m

y  f ( x ) m

1 m


 hàm số y  f ( x)  m có yCĐ . yCT  0
(hình minh họa)

O

 m  1
 Đáp án A.
 (1  m)(3  m)  0  
m  3
Cách 2:
Ta có y  f ( x)  m  ( f ( x)  m) 2  y ' 

3  m

3  m

O

x

x

 f ( x)  m  . f '( x) .
( f ( x)  m)2

Để tìm cực trị của hàm số y  f ( x)  m , ta tìm x thỏa mãn y '  0 hoặc y ' không xác định.

 f '( x)  0 (1)


. Dựa vào đồ thị ta có (1) có hai điểm cực trị x1 , x2 trái dấu.
 f ( x)  m (2)
Vậy để đồ thị hàm số có 3 cực trị thì (2) có một nghiệm khác x1 , x2 .
Số nghiệm của (2) chính là số giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng y  m .

 m  1
 m  1
 Đáp án A.

Do đó để (2) có một nghiệm thì dựa vào đồ thị ta có điều kiện: 
 m  3  m  3
Chú ý: x  x0 là cực trị của hàm số y  f ( x) thì f '( x0 )  0 hoặc không tồn tại f '( x0 ) .
Giáo viên
Nguồn

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

: Nguyễn Thanh Tùng
: HOCMAI

- Trang | 18-