Một số bài toán phương trình logarit khác cơ số huỳnh đức khánh đại học quy nhơn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (184 KB, 6 trang )
Chuaồn bũ cho kyứ thi ẹaùi hoùc
Vi bi toỏn v phng trỡnh
logarit khỏc c s
Hunh c Khỏnh 0975.120.189
Gii tớch H Quy Nhn
Descartes
Phng trỡnh logarit vi c s khỏc nhau luụn l vn gõy khú d cho hc sinh khi gp phi
trong cỏc thi. Hc sinh thng lỳng tỳng khi bin i, gp khú khn a v cựng c s hoc a v
cỏc phng trỡnh c bn. Tụi vit bi xin úng gúp vi bi mu v vn ny, nú c dựng cỏc phng
phỏp:
i c s, t n ph a v phng trỡnh m, bin i tng ng, ỏnh giỏ hai v.
Vớ d 1. Gii phng trỡnh:
log2 x + log 3 x + log 4 x = log20 x .
iu kin: x > 0 .
Vi iu kin trờn phng trỡnh tng ng
log2 x + log 3 2. log2 x + log 4 2. log2 x = log20 2.log2 x
log2 x ( 1 + log3 2 + log4 2 log20 2 ) = 0
log2 x = 0
(do 1 + log 3 2 + log 4 2 log20 2 0 )
x = 1 (tha món).
Vy phng trỡnh cú nghim x = 1 .
Vớ d 2. Gii phng trỡnh:
log 3 ( x 2 3x 13 ) = log2 x .
x 2 3x 13 > 0
3 + 61
iu kin:
.
x>
x > 0
2
t: log2 x = t x = 2t .
Phng trỡnh tr thnh: log 3 ( 4 t 3.2t 13 ) = t
4 t 3.2t 13 = 3t
t
t
t
3
1
2
1 = + 13 + 3 .
4
4
4
t
t
(*)
t
3
1
2
Hm s y = + 13 + 3 l tng ca cỏc hm nghch bin nờn y nghch bin,
4
4
4
hm y = 1 l hm hng. Do ú phng trỡnh (*) cú nghim duy nht.
3
3
3
3
1
2
Ta cú: 1 = + 13 + 3 . Suy ra phng trỡnh (*) cú nghim t = 3 .
4
4
4
Vi t = 3 x = 23 = 8 (tha món).
Vy phng trỡnh cú nghim duy nht x = 8 .
Page 1
Chuaồn bũ cho kyứ thi ẹaùi hoùc
Vớ d 3. Gii phng trỡnh:
(
log2 1 +
)
x = log3 x .
iu kin: x > 0 .
t: log 3 x = t x = 3t .
(
Phng trỡnh tr thnh: log2 1 +
)
3t = t
1 + 3t = 2t
t
t
3
1
= 1 .
+
2
2
(*)
t
t
3
1
l tng ca cỏc hm nghch bin nờn y nghch bin, hm
Hm s y = +
2
2
y = 1 l hm hng. Do ú phng trỡnh (*) cú nghim duy nht.
2
2
3
1
= 1 . Suy ra phng trỡnh (*) cú nghim t = 2 .
Ta cú: +
2
2
Vi t = 2 x = 32 = 9 (tha món).
Vy phng trỡnh cú nghim duy nht x = 9 .
Vớ d 4. Gii phng trỡnh:
log 3 ( x 2 + 2x + 1 ) = log2 ( x 2 + 2x ) . (1)
x 2 + 2x + 1 > 0
x < 2
iu kin: 2
.
x + 2x > 0
x>0
t: u = x 2 + 2x . Phng trỡnh (1) tr thnh: log 3 ( u + 1 ) = log2 u .
(2)
Xột phng trỡnh (2). Ta t: log2 u = t u = 2t .
Phng trỡnh (2) tr thnh: log 3 ( 2t + 1 ) = t
2t + 1 = 3t
t
t
2
1
+ = 1 .
3
3
t
t
(3)
2
1
Hm s y = + l tng ca cỏc hm nghch bin nờn y nghch bin, hm y = 1
3
3
l hm hng. Do ú phng trỡnh (3) cú nghim duy nht.
1
1
2
1
Ta cú: + = 1 . Suy ra phng trỡnh (3) cú nghim t = 1 .
3
3
x = 1 3
1
2
(tha món).
Vi t = 1 u = 2 = 2 x + 2x = 2
x = 1 + 3
Vy phng trỡnh cú nghim x = 1 3; x = 1 + 3 .
Page 2
Chuaồn bũ cho kyứ thi ẹaùi hoùc
Vớ d 5. Gii phng trỡnh:
log 3 ( x + 1 ) + log5 ( 3x + 1 ) = 4 .
x + 1 > 0
1
iu kin:
x> .
3
3x + 1 > 0
t: log 3 ( x + 1 ) = t x + 1 = 3t , suy ra: 3x + 1 = 3.3t 2 .
Phng trỡnh tr thnh: t + log5 ( 3.3t 2 ) = 4
log5 ( 3.3t 2 ) = 4 t
3.3t 2 = 54 t
625
3.3t 2 = t
5
t
t
3.15 2.5 = 625
t
t
1
1
3 = 625 + 2 .
15
3
t
t
1
1
Hm s y = 625 + 2 l tng ca cỏc hm nghch bin nờn y nghch bin, hm
15
3
y = 3 l hm hng. Do ú phng trỡnh cú nghim duy nht.
2
2
1
1
Ta cú: 3 = 625 + 2 . Suy ra phng trỡnh cú nghim t = 2 .
3
15
Vi t = 2 x + 1 = 32 x = 8 (tha món).
Vy phng trỡnh cú nghim duy nht x = 8 .
Cỏch khỏc: Kim tra x = 8 l nghim ca phng trỡnh.
Nu x > 8 thỡ
log 3 ( x + 1 ) > log3 ( 8 + 1 ) = 2
log5 ( 3x + 1 ) > log5 ( 3.8 + 1 ) =
log ( x + 1 ) + log ( 3x + 1 ) > 4 .
3
5
2
Nu x < 8 thỡ
log 3 ( x + 1 ) < log3 ( 8 + 1 ) = 2
log5 ( 3x + 1 ) < log5 ( 3.8 + 1 ) =
log 3 ( x + 1 ) + log5 ( 3x + 1 ) < 4 .
2
Vy phng trỡnh cú nghim duy nht x = 8 .
Page 3
Chuaồn bũ cho kyứ thi ẹaùi hoùc
Vớ d 6. Gii phng trỡnh:
log2 ( x2 5x + 4 ) + log5 ( x 4 ) = 1 log 1 ( 5x 5 ) .
2
x 5x + 4 > 0
iu kin: x 4 > 0
x > 4.
5x 5 > 0
Vi iu kin trờn phng trỡnh tng ng
log2 ( x 1 )( x 4 ) + log5 ( x 4 ) = 1 + log2 5 ( x 1 )
2
log2 ( x 1 ) + log2 ( x 4 ) + log5 ( x 4 ) = 1 + log2 5 + log2 ( x 1 )
log2 ( x 4 ) + log5 2. log2 ( x 4 ) = 1 + log2 5
( 1 + log5 2 ) log2 ( x 4 ) = 1 + log2 5
log2 ( x 4 ) =
1 + log2 5
1 + log5 2
log2 ( x 4 ) = log2 5
x4 = 5
x = 9 (tha món).
Vy phng trỡnh cú nghim x = 9 .
Vớ d 7. Gii phng trỡnh:
log 3x + 7 ( 4x2 + 12x + 9 ) + log2x + 3 ( 6x 2 + 23x + 21 ) = 4 . (1)
3
< x 1 .
2
Vi iu kin trờn phng trỡnh tng ng
iu kin:
2
log 3x + 7 ( 2x + 3 ) + log2x + 3 ( 3x + 7 )( 2x + 3 ) = 4
2 log 3x + 7 ( 2x + 3 ) + log2x + 3 ( 3x + 7 ) + 1 = 4
2 log 3x + 7 ( 2x + 3 ) +
1
= 3.
log 3x + 7 ( 2x + 3 )
(2)
t: t = log3x + 7 ( 2x + 3 ) . Phng trỡnh (2) tr thnh
t = 1
1
2
.
2t + = 3 2t 3t + 1 = 0
t = 1
t
2
Vi t = 1 log 3x + 7 ( 2x + 3 ) = 1 2x + 3 = 3x + 7 x = 4 (loi).
1
1
Vi t = log3x + 7 ( 2x + 3 ) = 2x + 3 =
2
2
1
Vy phng trỡnh cú nghim x = .
4
Page 4
x = 2 ( loai )
.
3x + 7
x = 1
4
Chuaồn bũ cho kyứ thi ẹaùi hoùc
Vớ d 8. Gii phng trỡnh:
log x ( x + 1 ) = lg 2 .
iu kin: 0 < x 1 .
Nu 0 < x < 1 thỡ x + 1 > 1 , ta cú
log x ( x + 1 ) < log x 1 = 0 = lg1 < lg 2 .
Nu x > 1 thỡ x + 1 > x , ta cú
log x ( x + 1 ) > log x x = 1 = lg10 > lg 2 .
Vy phng trỡnh vụ nghim.
Vớ d 9. Gii phng trỡnh:
log2 x + log 3 ( x + 1 ) = log 4 ( x + 2 ) + log5 ( x + 3 ) .
iu kin: x > 0 .
Kim tra x = 2 l mt nghim ca phng trỡnh.
Nu 0 < x < 2 thỡ
x
x+2
x +1 x + 3
>
>1
>
> 1,
v
2
4
3
5
x
x+2
x+2
log2 x > log 4 ( x + 2 ) .
Suy ra
> log2
log2 > log2
2
4
4
x +1
x+3
x+3
log 3 ( x + 1 ) > log5 ( x + 3 ) .
log 3
> log 3
> log5
3
5
5
Suy ra
log2 x + log 3 ( x + 1 ) > log 4 ( x + 2 ) + log5 ( x + 3 ) .
Tng t cho trng hp x > 2 , ta c
log2 x + log 3 ( x + 1 ) < log 4 ( x + 2 ) + log5 ( x + 3 ) .
Vy phng trỡnh cú nghim duy nht x = 2 .
Vớ d 10. Gii phng trỡnh:
log2 ( log 3 x ) = log 3 ( log2 x ) .
iu kin: x > 1 .
log 3 x = 2t (1)
log2 ( log3 x ) = t
.
t: log2 ( log 3 x ) = log 3 ( log2 x ) = t . Khi ú
log 3 ( log2 x ) = t
log2 x = 3t (2)
t
t
t
2
log 3 x
log x 2 2
2
Suy ra:
= t
= log 3 2 = t = log 2 ( log 3 2 ) .
3
log x
log 3 3
3
2
x
3
log2 ( log3 2 )
t
T (1) suy ra: x = 32 = 32
3
.
Page 5
Chuẩn bò cho kỳ thi Đại học
Bài tập tương tự. Giải các phương trình sau:
(
4
)
1. log7 ( x + 2 ) = log5 x .
2. 2 log6
3. log 3 ( x 2 − 1 ) = log2 x .
4. log2 ( x + 1 ) − log3 ( x + 1 ) = 0 .
x+
x = log4 x .
2
3
5. log6 ( x 2 − 2x − 2 ) = log5 ( x2 − 2x − 3 ) . 6. log2 x = log 3 x .
------------------------------ C
m hhoọcïc ssiinnhh đđaạtït kkeếtát qquuaả û ttoốtát ttrroonngg kkyỳ ø tthhii ssaắpép ttơớiùi ---------------------------Chhuúcùc ccaácùc eem
Page 6
