BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
 
 
 
 
 
PHAN TIẾN NAM
 
 
 
 

MÔ HÌNH TỰ HỒI QUY VECTO VÀ ỨNG DỤNG 
 
 
 
 
 
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI -2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
 
 
 
PHAN TIẾN NAM
 

 
 
MÔ HÌNH TỰ HỒI QUY VECTO VÀ ỨNG DỤNG 
 
Chuyên ngành: Toán ứng dụng 
Mã số: 60460112 
 
 
 
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC 
 
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRẦN TRỌNG NGUYÊN
 

 
HÀ NỘI -2017
 


LỜI CẢM ƠN
 

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới 

sự hướng dẫn của Thầy giáo - Phó Giáo sư - Tiến sĩ Trần Trọng Nguyên. 
 

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Phó Giáo sư - Tiến sĩ Trần 

Trọng Nguyên. Thầy đã tận tình hướng dẫn và giải đáp những thắc mắc của 

tác giả, giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn này. 
 

Tác  giả  xin  chân  thành  cảm  ơn  tới  các  Thầy,  Cô  giáo  Phòng  Sau  đại 

học, các Thầy, Cô giáo khoa Toán cũng như các Thầy, Cô giáo giảng dạy lớp 
Thạc sĩ  Khóa 19 chuyên ngành Toán ứng dụng Trường Đại học Sư phạm Hà 
Nội 2 đã đem hết tâm huyết và sự nhiệt tình để giảng dạy, trang bị cho tác giả 
nhiều kiến thức cơ sở và giúp đỡ  tác giả trong suốt quá trình học tập. 
 

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu và Tổ Toán Tin Trường 

Trung học  phổ thông Ngô  Quyền  Ba  Vì  đã  giúp đỡ, tạo  điều kiện thuận lợi 
cho tác giả trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. 
 

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng 

nghiệp đã luôn quan tâm, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả 
trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. 
                                                                               Hà Nội, tháng 06 năm 2017   
                                                                                               Tác giả     

                                                                                                                                              
                                                                                         Phan Tiến Nam 


LỜI CAM ĐOAN
 


Tôi  xin  cam  đoan  dưới  sự  hướng  dẫn  của  Phó  Giáo  sư  Tiến  sĩ  Trần 

Trọng  Nguyên,  luận  văn  Thạc  sĩ    chuyên  ngành  Toán  ứng  dụng  với  đề  tài: 
"Mô hình tự hồi quy véctơ và  ứng dụng" được hoàn thành bởi chính sự nhận 
thức của bản thân tác giả. 
 

Trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa 

những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.  
Hà Nội, tháng 06 năm 2017   
                                                                                               Tác giả     

                                                                                                                                              
                                                                                         Phan Tiến Nam 
 
 
 
 
 
 
 


MỤC LỤC
MỤC LỤC
DANH MỤC ĐỒ THỊ BẢNG BIỂU
DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT
PHẦN MỞ ĐẦU ............................................................................................... 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị ........................................................................... 3
1.1 Một số kiến thức xác suất ....................................................................... 3
1.1.1 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên .......... 3
1.1.2 Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên ............................................. 5
1.1.3 Một số quy luật phân phối thông dụng ............................................ 7
1.2 Mô hình hồi quy tuyến tính ..................................................................... 7
1.2.1 Mô hình hồi quy ............................................................................... 7
1.2.2 Hàm hồi quy tổng thể ....................................................................... 9
1.2.3 Hàm hồi quy mẫu ............................................................................. 9
1.2.4 Tính tuyến tính trong mô hình hồi quy .......................................... 10
1.3 Một số khái niệm cơ bản ....................................................................... 10
Chương 2 Mô hình VAR ................................................................................. 12
2.1 Mô hình VAR ........................................................................................ 12
2.1.1 Định nghĩa ...................................................................................... 12
2.1.2 Lời giải của mô hình VAR(p)................. ....................................... 13
2.1.3 Mô hình VAR(1) và VAR(p) ......................................................... 15
2.1.4 Giải quá trình VAR(1) ổn định ...................................................... 17
2.1.5 Lời giải của quá trình ổn định và không ổn định với giá trị ban đầu
 ................................................................................................................. 19
2.1.6 Mô hình VAR trễ phân phối dừng tự hồi quy ................................ 21
2.1.7 Mô hình VAR trung bình trượt tự hồi quy theo véc tơ .................. 22
2.1.8 Xu thế ngẫu nhiên và tất định ........................................................ 23


2.1.9 Dự báo ............................................................................................ 24
2.2 Ước lượng mô hình VAR ...................................................................... 24
2.2.1 Ước lượng mô hình VAR ổn định ................................................. 24
2.2.1.1 Phương pháp bình phương nhỏ nhất ..................................... 25
2.2.1.2 Phương pháp ước lượng hợp lý cực đại ................................ 27
2.2.2 Ước lượng độ dài của trễ................................................................ 28

2.2.3 Dự báo ............................................................................................ 29
2.2.4 Hàm phản ứng ................................................................................ 29
Chương 3. Ứng dụng mô hình VAR trong phân tích kinh tế vĩ mô Việt Nam 
trong khoảng thời gian từ 1986 đến 2015. ...................................................... 34
3.1 Giới thiệu mô hình và mô tả dữ liệu nghiên cứu .................................. 34
3.2 Kết quả nghiên cứu ............................................................................... 36
KẾT LUẬN  .................................................................................................... 50
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 51


DANH MỤC ĐỒ THỊ BẢNG BIỂU

Hình 2.1 Đồ thị của hàm phản ứng ................................................................. 30
Bảng 3.1 Tóm tắt thống kê của các biến được sử dụng trong mô hình .......... 35
Bảng 3.2 Các kết quả của kiểm định nghiệm đơn vị ADF ............................. 36
Bảng 3.3 Xác định độ trễ tối ưu ...................................................................... 37
Bảng 3.4 Kết quả ước lượng mô hình VAR bằng phương pháp Bayes .......... 39
Biểu đồ 3.1 Kiểm định tính ổn định của mô hình ........................................... 42
Bảng 3.5 Tương quan giữa các phần dư ......................................................... 43
Bảng 3.6 Giá trị hàm phản ứng của mô hình .................................................. 43
Bảng 3.7 Bảng phân rã các nhân tố tác động đến GDP trong mô hình. ......... 47

 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 


DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT

TT  Từ viết tắt 

Nghĩa tiếng ANH 

Nghĩa tiếng VIỆT 

1 

CPI 

Consumer Price Index 

Chỉ số giá tiêu dùng 

2 

FDI 

Foreign Direct Investment 

Đầu tư trực tiếp nước ngoài 


3 

GDI 

Gross Domestic Investment  Đầu tư trong nước 

4 

GDP 

Gross Domestic Product 

Tổng sản phẩm quốc nội 

6 

GNI 

Gross National Income 

Tổng thu nhập quốc dân 

7 

GNP 

Gross National Product 

Tổng sản phẩm quốc dân 


8 

WB 

World Bank 

Ngân hàng thế giới 

9 

IID 

Idependent and identical 

Phân phối độc lập và đồng 

distribution 

nhất 

Stationary Autoregressive 

Mô hình trễ phân phối dừng tự 

Distributed Lag Models 

hồi quy 

10 


ARDL 

11  VARMA  Vector Autoregressive 
moving average 
12 

AIC 

13 

SACF 

Mô hình trung bình trượt tự 
hồi quy theo véctơ 

Akaike Information Criterion Tiêu chuẩn thông tin Akaike 
Sample autocorrelation 

Hàm tự tương quan riêng 

Function 
14 

LS 

Least squares Method 

Phương pháp bình phương nhỏ 
nhất 


15 

 

ML 

Maximum Likelihood 

Phương pháp ước lượng hợp lí 

Estimation 

cực đại 


1 

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Mô hình tự hồi quy theo véctơ (VAR-Vector Autoregresstion) được nhà Kinh 
tế học người Mỹ là Chritopher A. Sims đề xuất năm 1980. Về bản chất VAR 
là  sự  kết  hợp  của  hai  phương  pháp  tự  hồi  quy  đơn  chiều  (Univariate 
Autoregresstion - AR) và hệ phương trình ngẫu nhiên (Simultanous equations 
-    Ses).  Mô  hìnhVAR  tổng  hợp  được  những  ưu  điểm  của  hai  phương  pháp 
trên, đó là:  rất dễ ước  lượng  được bằng  phương pháp tối thiểu hoá  phần dư 
(OLS) và ước lượng nhiều biến trong cùng hệ thống. Đồng thời nó khắc phục 
được nhược điểm của Ses là không quan tâm đến tính nội sinh của các biến 
kinh tế (Endogeneity) tức là các biến kinh tế vĩ mô thường mang tính nội sinh 
khi chúng tác động qua lại lẫn nhau. Thuộc tính này làm cho phương pháp cổ 
điển  hồi  quy  bội  dùng  một  phương  trình hồi  quy  bị sai  lệch  khi  ước  lượng. 

Đây là lí do chính để tôi lựa chọn đề tài luận văn: 
"Mô hình tự hồi quy véctơ và ứng dụng"
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu mô hình VAR và một số ứng dụng trong phân tích kinh tế. 
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
 Nghiên cứu các khái niệm và kết quả cơ bản về mô hình VAR. 
 Ứng  dụng  mô  hình  VAR  phân  tích  mối  quan  hệ  giữa  GDP  và  FDI, 
GDI,… 
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
 Các khái niệm và kết quả cơ bản về mô hình VAR. 
 Ứng dụng mô hình VAR với dữ liệu kinh tế vĩ mô Việt Nam trong 
khoảng thời gian từ 1986 đến 2015. 
5. Phương pháp nghiên cứu


2 

Để giải quyết các vấn đề nêu ra, đề tài sử dụng một số phương pháp sau: 
Nghiên cứu tổng hợp , Thống kê mô tả, Phân tích  định lượng. 
Cách tiếp cận cụ thể là: 
 Nghiên cứu tài liệu, mô hình VAR, phân tích thực trạng đầu tư trực tiếp 
nước ngoài, giáo dục,....., tăng trưởng kinh tế ở Việt Nam hiện nay. 
 Thu  thập  các  số  liệu  về  đầu  tư  trực  tiếp  nước  ngoài,  giáo  dục....  gần 
đây, sử dụng mô hình VAR đánh giá tác động của đầu tư trực tiếp nước 
ngoài, giáo dục, .... tới tăng trưởng kinh tế. 
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, nội dung của đề 
tài được chia làm 3 chương: 
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. 
Chương 2. Mô hình VAR. 

Chương 3. Ứng dụng mô hình VAR trong phân tích kinh tế vĩ mô Việt Nam 
trong khoảng thời gian từ 1986 đến 2015.  
 


3 

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này trình bày các kiến thức cần thiết cho chương 2 và 3. Bao gồm ba 
nội dung cơ bản:   
 

Các kiến thức về xác suất như:  

Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất của nó. Các đặc trưng của biến ngẫu 
nhiên: kì vọng, covarian và phương sai, kì vọng có điều kiện. Một số quy luật 
phân phối thông dụng: quy luật phân phối chuẩn, quy luật khi bình phương.
 

Mô hình hồi quy tuyến tính bao gồm:  Mô hình  hồi  quy, hàm hồi quy 

tổng thể, hàm hồi quy mẫu và tính tuyến tính trong mô hình hồi quy.   
 

Một số khái niệm của biến ngẫu nhiên liên quan đến kinh tế như: Chuỗi 

thời  gian,  tự  tương  quan,  biến  độc  lập  nội  sinh,  biến  giả,  biến  ngoại  sinh, 
chuỗi dừng, chuỗi không dừng, nhiễu trắng, bước ngẫu nhiên, quá trình tự hồi 
quy và quá trình trung bình trượt. 
1.1 Một số kiến thức xác suất

1.1.1 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Giả sử    là một tập không rỗng, phần tử của nó kí hiệu là   . Tập hợp gồm 
mọi tập con của    được kí hiệu là  P () . 
Lớp  F  P ()  được gọi là    đại số nếu : 
      F   


A  F  A   \ A  F   




A1 , A2 ,...  F   Ak  F   
k 1

Giả sử  C  P () . Một    đại số  F  P () bé nhất chứa C được gọi là 

  đại số sinh bởi C viết  F   (C) . Nó cũng là giao của tất cả các    đại số 
con của  P () chứa C. 


4 

Nếu    là không gian tôpô và C là lớp gồm mọi tập mở của     thì   (C ) được 
gọi là    đại số các tập Borel của   , kí hiệu là  B () . 
Giả sử F là    đại số là các tập con của   . Cặp  (, F )  được gọi là không 
gian đo. Hàm tập hợp  P : F  R  thỏa mãn ba điều kiện: 
 P( A)  0,               A  F   
 P()  1   
 Nếu  An  F , n  1,2,...  đôi một không giao, thì: 





n 1

n 1

P( An )   P ( An )  

được gọi là một độ đo xác suất. 
Bộ ba  (, F , P ) được gọi là không gian xác suất. 
Giả sử  (, F , P ) là một không gian xác suất. Hàm thực X xác định trên    đo 
được với F nghĩa là với mỗi  x  R  

 : X ( )  x  F   được gọi là biến ngẫu nhiên. 
Quy luật phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên
Giả sử X là biến ngẫu nhiên.  
Khi đó hàm:  F ( x)  P  : X ( )  x , x  R   được gọi là hàm phân phối của 
biến ngẫu nhiên X. Để đơn giản, tập   : X ( )  x được viết là  [X  x]  hay 
( X  x) . 

Nếu biến ngẫu nhiên X có giá trị không quá đếm được thì X được gọi là biến 
ngẫu nhiên rời rạc. Giả sử  X ()   x1 , x2 ,... . Bộ các số 
pk  P[X =x k ], k  1, 2,...  được gọi là phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc X. 

Phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc X được cho dưới dạng bảng: 
X 

x1  


x2  

... 

xk  

... 


5 

P 

p1  

... 

p2  

pk  

... 

 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối liên tục tuyệt đối nếu tồn tại hàm 
f : R  R  khả tích sao cho: 
x

Fx ( x)   f (t )dt , x  R.  


Hàm f  f x được gọi là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X. 
Giả sử  X 1 , X 2 ,... X n  là các biến ngẫu nhiên xác định trên  (, F , P ) . Bộ có thứ 
tự  ( X 1 , X 2 ,... X n ) được gọi là véctơ ngẫu nhiên n - chiều. 
Hàm  F : R n  R, x  ( x1 , x2 ,..., xn )  F ( x)  P[X 1  x1 ,..., X n  xn ]  được gọi là 
hàm phân phối của véctơ ngẫu nhiên X. Nó cũng được gọi là hàm phân phối 
đồng thời của các biến ngẫu nhiên  X 1 , X 2 ,... X n . 
Nếu  X 1 , X 2 ,... X n  là các biến ngẫu nhiên rời rạc với  X k ()   xik , i  1 ,  
k  1,2,.., n  thì X được gọi là véctơ ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị 

( x , x ,..., x
1
i1

n
in

2
i2



),i k  1, k  1,2,..., n .   

Nếu hàm phân phối của X có dạng: 
x1 x2

F ( x1 , x2 ,..., xn ) 

xn


  ... 
 

f (t1 , t2 ,..., tn )dt1...dtn  



thì ta nói X có phân phối liên tục tuyệt đối và hàm  f ( x1 , x2 ,..., xn )  được gọi là 
hàm mật độ của véctơ ngẫu nhiên X. 
1.1.2 Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên
Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất (, F , P )  
Ta nói X có kỳ vọng nếu tồn tại: 
E ( X )   XdP   X ( )dP( ),  và  EX được gọi là kỳ vọng của X. 





6 

Nếu  X  là biến ngẫu nhiên rời rạc:  X   xk I Ak với  pk  P ( Ak ),k  1,  các  Ak  
k 1

đôi một xung khắc thì: 
E ( X )   xk P( Ak )   xk pk .  
k 1

 


k 1

Covarian và phương sai của biến ngẫu nhiên

Giả sử (X,Y) là hai biên ngẫu nhiên xác định trên  (, F , P ) . 
Nếu  X,Y đều là biến ngẫu nhiên rời rạc,  X ()   xi , i  1 ,Y()   yi , j  1  
và  g ( x, y )  là hàm Borel bất kì sao cho: 

 g ( xi , y j ) pij  ,( pij  P[X  xi ,Y  y j ], i  1, j  1)   
i , j 1

thì         Eg ( X , Y )   g ( xi , y j ) pij.   
i 1 j 1

Covarian của  X,Y là:  
cov( X , Y )  E[(X  EX)(Y  EY )]  E ( XY )  EX.EY .   

Đặc biệt:  cov( X , X)  E ( X 2 )-(EX)2  D( X ) là phương sai của X. 
 

Kỳ vọng có điều kiện

Giả  sử  (, F , P ) là  không  gian  xác  suất,  X là  biến  ngẫu  nhiên  xác  định  trên 
đó,G là    đại số con của F. 
Nếu X là biến ngẫu nhiên không âm hay khả tích thì kỳ vọng của X với điều 
kiện G, kí hiệu là E(X/G) là biến ngẫu nhiên thỏa mãn hai điều kiện: 
 E(X/G) là đo được đối với G. 
 Với mỗi  A  G  thì   E ( X / G )dP   XdP   
A


A

Nếu X là nửa khả tích thì kỳ vọng của X với điều kiện G được xác định bởi: 
 

 

E ( X / G )  E ( X  / G )  E ( X  / G ).    

Nếu Y  cũng là biến ngẫu nhiên xác định trên  (, F , P )  thì kỳ vọng của X với 
điều kiện Y, kí hiệu E ( X / Y )  được xác định bởi: 


7 

E ( X / Y )  E ( X / F (Y )).  

1.1.3 Một số quy luật phân phối thông dụng
Quy luật phân phối chuẩn N (a, 2 )
Ta nói  biến ngẫu nhiên X, có phân phối chuẩn  N (a, 2 ) với các tham số a, 

 2  nếu: 
2
2
1
e  ( xa ) /2 .  
 2

 


 

 

Quy luật Khi bình phương  2 (n)

f x ( x) 

1 n
Ta nói  X có phân phối   2 (n),n  N*  nếu  X  G ( , ).   
2 2

1.2 Mô hình hồi quy tuyến tính
1.2.1 Mô hình hồi quy
Một bài toán quan trọng trong phân tích kinh tế là bài toán đánh giá tác 
động của một biến số lên biến số khác. Chẳng hạn chúng ta muốn đánh giá tác 
động  của  lượng  phân  bón  lên  năng  suất  lúa  trên  tổng  thể  các ruộng  lúa.  Từ 
suy luận bình thường, có thể cho rằng khi tăng lượng phân bón thì năng suất 
lúa sẽ gia tăng, do đó có thể biểu diễn mối quan hệ phụ thuộc hàm số giữa các 
biến này như sau: 
 

 

 

NS=f(PB) 

 


trong đó NS và PB lần lượt là năng suất lúa và lượng phân bón trên một 

hécta. Trong thực tế, chúng ta không biết hàm f này có dạng như thế nào và 
để bắt đầu một cách đơn giản, giả sử rằng nó có dạng tuyến tính: 
 
 

 

NS  1   2 PB                                                         (1.2.1) 

trong đó  1 ,  2 là các hằng số nào đó. 

Hàm (1.2.1) biểu diễn mối quan hệ tất định giữa hai biến NS và PB, tức là nếu 
biết giá trị của biến PB thì ta sẽ biết giá trị của biến NS một cách chắc chắn, 


8 

không có sai số. Tuy nhiên trong  thực tế điều này là không phù hợp, vì năng 
suất còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố khác nữa, như lượng nước tưới, độ PH 
của đất và các yếu tố ngẫu nhiên như thời tiết hay sâu bệnh,v..v..Do đó để hợp 
lý hơn, ta viết (1.2.1) lại: 
 
 

 

NS  1   2 PB  u                                                          (1.2.2) 


trong đó u thể hiện cho tất cả các yếu tố khác có ảnh hưởng đến năng 

suất, ngoài phân bón. 
Phương  trình  (1.2.2)  là  một  ví  dụ  về  mô  hình  hồi  quy  tuyến  tính  hai  biến, 
trong đó biến NS là biến phụ thuộc và biến PB là biến độc lập. 
Tổng quát, giả sử Y và X là hai biến số thể hiện một tổng thể nào đó, mô hình 
hồi  quy  tuyến  tính  hai  biến  thể  hiện  mối  quan  hệ  phụ  thuộc  giữa  biến  Y  và 
biến X có dạng sau: 
 

 

Y  1   2 X  u    

 

 

 

 

 

(1.2.3) 

Như vậy mô hình hồi quy tuyến tính hai biến bao gồm các thành phần sau: 
 

-Các biến số: mô hình hồi quy bao gồm hai loại biến số:  


 

+Biến  phụ  thuộc:  là  biến  số  mà  ta  đang  quan  tâm  đến  giá  trị  của  nó, 

thường được ký hiệu là Y và nằm ở vế trái của phương trình. Biến phụ thuộc 
còn được gọi là biến được giải thích (explained variable) hay biến phản ứng. 
 

+Biến độc lập:là biến số được cho là có tác động đến biến phụ thuộc, 

thường được ký hiệu là X và nằm ở vế phải của phương trình. Biến độc lập 
còn  được  gọi  là  biến  giải  thích  (explanatory  variable)  hay  biến  điều  khiển 
(control variable). 
 

-Sai số ngẫu nhiên: 

 

Sai số ngẫu nhiên thường được ký hiệu là u, là yếu tố đại diện cho các 

yếu tố có tác động đến biến Y, ngoài X. Trong mô hình (1.2.3) chúng ta không 
có quan sát về nó  vì  thế đôi khi u  còn được  gọi là sai số  ngẫu nhiên không 
quan  sát  được.  Do  đó  để  hàm  hồi  quy  có  ý  nghĩa,  cần  đưa  ra  giả  thiết  cho 


9 

thành phần này. Giả thiết được đưa ra là: tại mỗi giá trị của X thì kỳ vọng của 

u bằng 0: E (u | X )  0 . 
-Các hệ số hồi quy: bao gồm  1  và   2 , thể hiện mối quan hệ giữa hai 

 

biến X và Y khi các yếu tố bao hàm trong u là không đổi. 
1.2.2 Hàm hồi quy tổng thể
Với giả thiết  E (u | X )  0 , ta có thể biểu diễn lại mô hình hồi quy (1.2.3) dưới 
dạng sau: 
 
 

 

E (Y | X )  1   2 X  

 

 

 

 

 

(1.2.4) 

trong đó  E (Y | X ) là kỳ vọng của biến Y khi biết giá trị của biến X, hay 


còn gọi là kỳ vọng của Y với điều kiện X. 
Phương trình (1.2.4) biễu diễn kỳ vọng của Y với điều kiện X như một hàm 
của biến X và do X và Y thể hiện cho tổng thể nên phương trình (1.2.4) còn 
được gọi là hàm hồi quy tổng thể (PRF-population regression function). Khi 
đó các hệ số hồi quy  1  và   2  còn được gọi là các tham số của tổng thể. 
 

-Các hệ số hồi quy: 

 

+ 1  được gọi là hệ số chặn, nó chính bằng giá trị trung bình của biến 

phụ thuộc Y khi biến số độc lập X nhận giá trị bằng 0. 
 

+  2  được gọi là hệ số góc, thể hiện quan hệ giữa biến độc lập và giá trị 

trung bình của biến phụ thuộc: khi biến độc lập X tăng (giảm) một đơn vị thì 
giá trị trung bình của biến phụ thuộc Y tăng (giảm)   2  đơn vị. Hệ số   2  có thể 
nhận giá trị âm, dương hoặc bằng 0. 
1.2.3 Hàm hồi quy mẫu
Giả sử có mẫu ngẫu nhiên kích thước n bao gồm các quan sát của biến Y và 
biến X: ( X i , Yi ) , i  1,2,.., n  . Từ mẫu ngẫu nhiên này chúng ta sẽ xây dựng các 

  và  
 tương 
ước lượng cho các hệ số hồi quy tổng thể  1  và   2 , ký hiệu là  
1
2

ứng. Khi đó gọi biểu diễn: 


10 

 

 

 


 X        
Y  
1
2

 

 

 

 (1.2.5)  

Hàm (1.2.5) được gọi là hàm hồi quy mẫu (SRF:sample regression function) 
cho hàm hồi quy tổng thể (1.2.4). 
Hay có thể viết chi tiết cho từng quan sát như sau: 
 



 X                      
Yi  
1
2 i

           

(1.2.5)' 

Ký hiệu mũ trên đầu thể hiện rằng đây là giá trị ước lượng từ mẫu chứ không 
phải là giá trị thực của tổng thể. 

1 , 2  được gọi là các hệ số hồi quy mẫu hay hệ số ước lượng, là ước lượng 
của các hệ số tổng thể  1  và   2  tương ứng. 

Yi  được tính như trong (1.2.5)' là giá trị ước lượng cho giá trị Y khi X= X i . 
1.2.4 Tính tuyến tính trong mô hình hồi quy
Tính tuyến tính của hàm hồi quy được hiểu là tuyến tính theo tham số, nghĩa 
là theo các hệ số hồi quy và nó có thể tuyến tính hoặc phi tuyến theo biến X
hoặc biến Y. 
1.3 Một số khái niệm cơ bản  
 

Chuỗi thời gian:  Chuỗi  các quan sát được  thu thập  trên  cùng một  đối 

tượng tại các mốc thời gian cách đều nhau (Đôi khi các mốc này không thực 
sự  cách  đều  nhau,  chẳng  hạn  như  các  chỉ  số  VNindex  bị  gián  đoạn  bởi  các 
ngày cuối tuần cũng như các ngày nghỉ lễ). 
 


Tự tương quan:  chuỗi  X t   được  gọi  là  có  tự  tương  quan  bậc  p  nếu: 

corr( X t , X t  p )  0  với  p  0 . 

 

Biến độc lập nội sinh:  là  biến  độc  lập  có  tương  quan  với  sai  số  ngẫu 

nhiên trong mô hình. 


11 

 

Biến giả: là biến chỉ lấy giá trị 0 hoặc 1 (vì thế còn được gọi là biến nhị 

nguyên) để chỉ ra sự tồn tại hay không tồn tại của một hiệu ứng có thể làm 
thay đổi đột ngột kết quả đầu ra. 
 

Biến ngoại sinh: là biến mà giá trị của nó không được xác định trong 

mô hình kinh tế, nhưng lại đóng một vai trò quan trọng trong việc xác định 
giá trị của biến nội sinh. 
 

Chuỗi dừng: một chuỗi hữu hạn được gọi là chuỗi dừng nếu thỏa mãn 


ba điều sau đây: 
 Kỳ vọng không đổi. 
 Phương sai không đổi. 
 Hiệp phương sai không phụ thuộc vào thời điểm tính toán.    
 

Chuỗi không dừng: là chuỗi không thỏa mãn một trong ba điều kiện của 

chuỗi dừng. 
 

Nhiễu trắng: chuỗi thời gian có kỳ vọng bằng 0, phương sai không đổi 

và hiệp phương sai bằng 0. 
 

Bước ngẫu nhiên:  dãy  Yt , t  1, 2,...   là  quá  trình  ngẫu  nhiên  thì 

Yt  Yt 1  ut  được gọi là bước ngẫu nhiên, trong đó  ut là nhiễu trắng.

 

Quá trình tự hồi quy (Autoregresstive process) AR: quá trình tự hồi quy 

bậc  p  có dạng như sau: 
 

 

Yt  0  1Yt 1  2Yt 2  ...   pYt  p  ut    


trong đó:  ut  là nhiễu trắng,  1  i  1, i  1, 2,...,p.  
 

Quá trình trung bình trượt (Moving Averages) MA: quá trình trung 

bình trượt bậc q là quá trình có dạng:  
 

Yt  ut  1ut 1  ...   qut q , t  1, 2,..., n   

trong đó  ut  là nhiễu trắng,  1  i  1, i  1,2,...,q.  
 


12 

CHƯƠNG 2. MÔ HÌNH VAR
 

Chương  này  trình  bày  về  mô  hình  tự  hồi  quy  theo  véctơ  (VAR).  Mô 

hình  VAR  là  mô  hình  kinh  tế  lượng  dùng  để  xem  xét  động  thái  và  sự  phụ 
thuộc  lẫn  nhau  giữa  một  số  biến  theo  thời  gian.  Trong  mô  hình  VAR,  mỗi 
biến số được giải thích bằng một phương trình chứa các giá trị trễ của chính 
biến số đó và các giá trị trễ của các biến số khác. 
2.1 Mô hình VAR
2.1.1 Định nghĩa
 


Mô hình  VAR là mô hình véc tơ các biến số tự hồi quy. Mỗi biến số 

phụ thuộc tuyến tính vào các giá trị trễ của biến số này và giá trị trễ của các 
biến số khác. 
 

Mô hình VAR dạng tổng quát (Svetlozar, Mittnik, Fabozzi, Focadi, Teo 

Jašić (2007), [7]): 
 

 

Yt  AY
1 t 1  A2Yt  2  ...  ApYt  p  st  ut                             (2.1.1) 

 Y1t 
 u1t 
Y 
u 
2
t
Trong đó:  Yt    ;   ut   2t  ;   
 ... 
 ... 
 
 
Ymt 
umt 


Ai  là ma trận vuông cấp  m  m ;  i  1,2,... p ;   st  (s1t ,s 2t ,...,s mt ) ' . 
Yt  bao gồm  m biến ngẫu nhiên dừng;  ut véc tơ các nhiễu trắng;  st véc tơ các 

yếu tố xác định, có thể bao gồm các hằng số, xu thế tuyến tính hoặc đa thức. 
 

Viết dưới dạng toán tử trễ, ta có: 
  Yt  ( A1L  A2 L2  ...  Ap Lp )Yt  st  ut                                (2.1.2) 

Mô  hình  (2.1.1)  hay  (2.1.2)  được  gọi  là  mô  hình  VAR  cấp p,   ký  hiệu 
VAR(p). 


13 

 Mặt  khác  ta  đã  biết  quá  trình  ngẫu  nhiên  Yt   có  kì  vọng  và  hiệp  phương 
sai Cov(Yit , Yit k ) không phụ thuộc vào thời gian và hữu hạn được gọi quá trình 
dừng yếu (còn gọi là quá trình dừng theo hiệp phương sai hoặc dừng bậc 2). 
Quá trình ngẫu nhiên là dừng chặt nếu tất cả các phân bố với số chiều hữu hạn 
của  (Yt , Yt 1 ,..., Yt  p )  là không đổi theo thời gian. 
 

Trong  thực  tế,  quá  trình  thường  bắt  đầu  từ  một  mốc  thời  gian  hay  từ 

một thời điểm nhất định. Quá trình dừng tiệm cận là quá trình bắt đầu tại một 
điểm gốc nào đó và mômen cấp một và cấp hai (kỳ vọng, phương sai) hội tụ 
đến giá trị tới hạn. 
2.1.2 Lời giải của mô hình VAR(p)  
 


Định lý 2.1 (Wold): Bất kỳ một quá trình  Yt  (Y1t , Y2t ,..., Ymt ) dừng theo 

hiệp phương sai, có trung  bình bằng không đều được biểu diễn một cách duy 
nhất  là  tổng  của  một  quá  trình  ngẫu  nhiên  và  một  quá  trình  tuyến  tính  xác 
định có khả năng dự  báo được: 
  Yt  t   ( L) u t                                                              (2.1.3) 

 

trong đó phần ngẫu nhiên được biểu diễn như quá trình MA vô hạn, 




 ( L) u t   iut i , 0  I n  thỏa mãn điều kiện:   i i     
i 0

i 0

Định lý Wold biểu diễn một cách duy nhất một chuỗi dừng yếu thành các dự 
báo tuyến tính. Tuy nhiên còn có dự báo khác dựa trên các sai số không dự 
báo được. 
Xét mô hình VAR(p): 
 

Yt  ( A1L  A2 L2  ...  Ap Lp )Yt  v  ut  

trong đó:  v  là hằng số,  ut là các biến IID có trung bình bằng không, phương 
sai hữu hạn,  t  biến thiên    đến   . 



14 

Đa thức A( z )  I  A1 z  A2 z 2  ...  Ap z p ,   z là một số phức, phương trình 
Det ( A( z ))  0                                                         (2.1.4) 

được gọi là phương trình đặc trưng đảo của mô hình VAR(p). 
Một dạng khác của  A( z ) :  
     B( z )  I .z p  A1 z p 1  A2 z p 2  ...  Ap                                (2.1.5) 
khi đó phương trình         Det ( B ( z ))  0                                                   (2.1.6) 
được gọi là phương trình đặc trưng của mô hình VAR(p). Nếu như nghiệm 
của phương trình này là duy nhất thì lời giải này là nghịch đảo của nghiệm 
(2.1.4). 
Giả sử rằng phương trình đặc trưng của AR(p) có p nghiệm  i  phân 

 

biệt, khi đó phương trình đặc trưng có thể viết dưới dạng: 

( z  1 )( z  2 )...( z   p )  0.   

 

 

 

 

Tính dừng, tính ổn định và tính khả nghịch


 

Nếu  như  các  nghiệm  của  phương  trình  đặc  trưng  thực  sự  nằm  trong 

đường tròn đơn vị, thì mô hình VAR được gọi là ổn định (stable). 
  

Người ta đã chứng minh rằng nếu điều kiện ổn định được thỏa mãn thì 

quá trình VAR là dừng nếu t biến thiên từ    đến   và tiệm cận dừng nếu 
t  có một giá trị ban đầu nào đó. Tuy nhiên điều ngược lại sẽ không đúng: Có 

quá trình dừng nhưng không phải là quá trình ổn định. 
 

Nếu quá trình VAR thỏa mãn điều kiện ổn định và là dừng thì quá trình 

này gọi là khả nghịch. Khi đó: 

( I  A1L  A2 L2  ...  Ap Lp )Yt  v  ut  
có thể viết dưới dạng trung bình trượt vô hạn: 

 

Yt  (I A1L  A2 L  ...  Ap L ) (v  ut )    i Lt  (v  ut ),  0  I        (2.1.7) 
 i 0

2


p 1


15 

trong đó:   i là các ma trận hằng số m  m  . 
Có  thể  chứng  minh  rằng  nếu  quá  trình  là ổn  định  thì  dãy  ma  trận   i có  thể 
tính tổng (absolutely summable). Do đó 
 

 
  

 

Yt     i Li  (v  ut )     i Li  v     i Li  ut       i Li  ut
 i0

 i 0
  i 0

 i0
                     (2.1.8) 
  E (Yt )

 

Lời  giải  của  mô  hình  VAR  là  tổng  của  phần  xác  định  với  một  phần 

ngẫu nhiên. Phần xác định phụ thuộc vào các điều kiện ban đầu và các yếu tố 

xác định. Phần ngẫu nhiên phụ thuộc vào các cú sốc ngẫu nhiên. Phần ngẫu 
nhiên của lời giải là tổng có trọng số của các cú sốc trong quá khứ. Nếu quá 
trình là ổn định thì các cú sốc trong quá khứ xa có ảnh hưởng không đáng kể 
và do đó phần ngẫu nhiên là tổng các cú sốc gần đây nhất. Nếu quá trình là 
tích hợp thì ảnh hưởng của các cú sốc không bao giờ tắt. 
2.1.3 Mô hình VAR(1) và VAR(p)
 

Để tìm ra lời giải dưới dạng hiển của mô hình VAR, dễ nhận thấy mô 

hình  VAR(p)  bất  kỳ  đều  tương  đương  với  mô  hình  VAR(1)  (Svetlozar, 
Mittnik, Fabozzi, Focadi, Teo Jašić 2007, [7]) sau khi đưa thêm các biến thích 
hợp. Kết luận này rất quan trọng vì mô hình VAR(1) có thể mô tả bằng công 
thức đơn giản có thể quan sát được một cách trực giác. 
Mô hình VAR(1):           Yt  AY
1 t 1  st  ut   
Xét trường hợp  m  2 , ta có: 

                   

 Y1t   a11
Y    a
 2 t   21

Dạng hiển        

a12   Y1t 1   s1t   u1t 
 , 



a22  Y2t 1   s2t  u2t 

Y1t  a11Y1t 1  a12Y2t 1  s1t  u1t .
Y2t  a21Y2t 1  a22Y2t 1  s2t  u2t .

  

Ta nhận thấy rằng AR(1) sẽ là bước ngẫu nhiên nếu  A1  là ma trận đơn vị. Giả 
sử rằng  st  là véc tơ hằng số: 


16 

 a11
a
               21

a12  1 0 

, s  ( s1 , s2 )    
a22  0 1  t

Bây giờ ta xem AR(2) 
 Y1t   a11
Y    a
 2 t   21

a12   Y1t 1   b11 b12   Y1t 2   s1t   u1t 
, 




a22  Y2t 1  b21 b22  Y2t 2   s2t  u2 t 

             
Ta đặt  X t  Yt 1 . Khi đó AR(2) được viết lại như sau: 

Y1t  a11Y1t 1  a12Y2t 1  b11 X 1t 1  b12 X 2t 1  s1t  u1t
 

Y2t  a21Y2t 1  a22Y2t 1  b21 X 1t 1  b22 X 2t 1  s2t  u2t
X 1t  Y1t 1

                (2.1.9)                 

X 2t  Y2t 1
Hay viết dưới dạng ma trận ta có: 
 Y1t   a11 a12 b11 b12   Y1t 1   s1t   u1t 
 Y  a
Y     
 2t    21 a22 b21 b22   2t 1    s2t   u2t                          (2.1.10) 
 X 1t   1
0
0
0   X 1t 1   0   0 
  
    

1
0

0   X 2t 1   0   0 
 X 2t   0

Có  thể  tổng  quát  hóa  cách  trên,  mô  hình  AR(p)  hay  VAR(p)  bất  kỳ  có  thể 
biến đổi thành mô hình VAR(1) bằng cách cho thêm vào các biến số phù hợp. 
Một mô hình VAR(p) có m phương trình dạng 
 

Yt  ( A1L  A2 L2  ...  Ap Lp )Yt  st  ut

                                   (2.1.11) 

được biến đổi thành mô hình VAR(1) m×p  phương trình: 
 
trong đó: 

Yt *  AYt *1  st  w t

                                                                (2.1.12) 


17 

 A1
I
 Yt 
 m
Y 
0
t 1 

Yt  
A
 ...   ,
 ...


0
Yt  p 1 

 0

A2
0
Im
...
0

... Ap 1
... 0
... 0
... ...
... 0

0

...

Im

Ap 

0 
0

...   
0

0 

 st 
ut 
0
0
St    w t   
...  ,
 ...   
 
 
0
0

Yt * St và  w t  là các véc tơ cấp  mp  1 ; Ma trận A cấp  mp  mp . Như vậy để 
   
tìm lời giải dưới dạng tường  minh của VAR(p) bậc cao hơn chỉ cần xét mô 
hình  VAR(1).  Có  thể  chứng  minh  rằng  phương  trình  đặc  trưng  đảo  của 
VAR(1) và VAR(p) có cùng lời giải. 
2.1.4 Giải quá trình VAR(1) ổn định
Xét mô hình VAR(1) với m biến số: 

Yt  AYt 1  s  ut , t  0, 1, 2, ...                               (2.1.13)
trong  đó  yếu  tố  xác  định  s  là  một  hằng  số.  Giả  thiết  rằng  các  nghiệm  của 

phương trình đặc trưng  det  Iz  A   0  nằm trong đường tròn đơn vị. Lời giải 
của phương trình trên là các giá trị riêng của A . Trong trường hợp quá trình là 
ổn định, thì tất cả các giá trị riêng của  A có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1. 
 

Do VAR là ổn định, nên quá trình là dừng và khả nghịch. (2.1.13) là 

mô hình VAR(1) nên: 


( I  AL)   Ati Li , A0  I
1

 

i 0





Yt      Ai Li  ut ,
 i 0


                                                (2.1.14)