BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NGOAN

VỀ SỐ PHẦN TỬ THỂ TÍCH HỮU HẠN XÁC
ĐỊNH ĐỐI VỚI HỆ NAVIER-STOKES HAI
CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NGOAN

VỀ SỐ PHẦN TỬ THỂ TÍCH HỮU HẠN XÁC
ĐỊNH ĐỐI VỚI HỆ NAVIER-STOKES HAI
CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học:

PGS. TS CUNG THẾ ANH

HÀ NỘI, 2017


Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2. Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán,
Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo nhà trường đã trang bị kiến thức cơ bản
và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS. TS. Cung Thế Anh,
người đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi có thêm nhiều kiến
thức, khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp
đã động viên, giúp đỡ tôi quá trình học tập của mình.
Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi
những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô
và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 07 năm 2017
Tác giả

Nguyễn Thị Ngoan


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Cung Thế Anh, luận
văn thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Về số phần tử thể
tích hữu hạn xác định đối với hệ Navier - Stokes hai chiều" được
hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân tác giả.
Trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa

những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 07 năm 2017
Tác giả

Nguyễn Thị Ngoan


Mục lục
Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị
4
1.1 Không gian Sobolev và không gian hàm phụ thuộc thời gian 4
1.2 Giới thiệu về hệ Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Các không gian hàm và toán tử . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Các toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Đánh giá đối với số hạng phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Các kết quả về sự tồn tại nghiệm và đánh giá tiên nghiệm . 13
2 Số phần tử thể tích hữu hạn xác định đối với hệ Navier –
Stokes hai chiều
2.1 Khái niệm số phần tử thể tích hữu hạn xác định của nghiệm.
2.2 Số phần tử thể tích hữu hạn xác định đối với nghiệm dừng .
2.3 Số phần tử thể tích hữu hạn xác định đối với nghiệm phụ
thuộc thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19
19

20
22

Kết luận

25

Tài liệu tham khảo

27


Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài
Hệ phương trình Navier-Stokes là một hệ phương trình cơ bản trong cơ
học chất lỏng. Việc nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm
của hệ này khi thời gian ra vô cùng đã thu hút được sự quan tâm nghiên
cứu của nhiều nhà toán học, xin xem các cuốn chuyên khảo [1, 3, 4].
Chúng ta biết rằng dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ Navier-Stokes trong
hình hộp với điều kiện biên tuần hoàn có thể được xác định bằng một số
hữu hạn các phần tử thể tích hữu hạn xác định (determining finite volume
elements), nghĩa là nếu các phần tử thể tích hữu hạn xác định của hai
nghiệm của hệ Navier-Stokes có dáng điệu tiệm cận giống nhau thì hai
nghiệm đó sẽ có dáng điệu giống nhau khi thời gian ra vô cùng(xem [2, 5]).
Việc đánh giá số phần tử thể tích hữu hạn xác định của hệ Navier-Stokes
hai chiều là một trong những vấn đề quan trọng trong việc xác định dáng
điệu tiệm cận hữu hạn chiều (finite-dimensional asymptotic behavior) của
hệ Navier-Stokes. Bên cạnh việc đánh giá số các mode xác định (determing
modes), số các nút xác định (determing nodes), đây là một cách tiếp cận

hiệu quả cho bài toán xác định bậc tự do (degrees of freedom) của hệ
Navier-Stokes.
Mục đích của luận văn này là trình bày các ước lượng trong [5, 6] về số
các phần tử thể tích xác định hữu hạn đối với hệ Navier-Stokes hai chiều
trong trường hợp điều kiện biên tuần hoàn. Với mong muốn hiểu biết sâu
hơn về hệ Navier-Stokes, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Cung Thế Anh,
tôi chọn đề tài "Về số phần tử thể tích hữu hạn xác định của hệ

1


Navier-Stokes hai chiều" làm luận văn tốt nghiệp khóa học thạc sĩ của
mình.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu việc đánh giá số phần tử thể tích hữu hạn xác định đối với
nghiệm của hệ Navier-Stokes hai chiều trong trường hợp điều kiện biên
tuần hoàn.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Đánh giá chặn trên của số phần tử thể tích hữu hạn xác định của
nghiệm dừng của hệ Navier-Stokes hai chiều.
• Đánh giá chặn trên của số phần tử thể tích hữu hạn xác định của
nghiệm phụ thuộc thời gian của hệ Navier-Stokes hai chiều.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Hệ Navier-Stokes hai chiều;
• Phạm vi nghiên cứu: Đánh giá chặn trên của số phần tử thể tích hữu
hạn xác định của nghiệm của hệ Navier-Stokes hai chiều với điều kiện
biên tuần hoàn.


5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp của lí thuyết hệ động lực tiêu hao vô hạn
chiều và lí thuyết hệ Navier-Stokes.

2


6. Đóng góp của luận văn
Luận văn đã trình bày được các kết quả về đánh giá chặn trên của số
phần tử thể tích xác định hữu hạn của nghiệm dừng và nghiệm phụ thuộc
thời gian của hệ Navier-Stokes hai chiều trong trường hợp điều kiện biên
tuần hoàn.
Hà Nội, tháng 07 năm 2017
Tác giả

Nguyễn Thị Ngoan

3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng ta nhắc lại khái niệm cũng như các kết quả
bổ trợ cần thiết được sử dụng ở chương sau. Các kết quả chủ yếu tham
khảo trong [1, 3, 4].

1.1

Không gian Sobolev và không gian hàm phụ

thuộc thời gian

Định nghĩa 1.1. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong Rn . Cho 1 ≤ p ≤ ∞,
ta định nghĩa không gian Lp (Ω) như sau:

• Với 1 ≤ p < ∞, ta định nghĩa
Lp (Ω) =

|f (x)|p dx < ∞

f : f là hàm đo được và
Ω

với chuẩn

f

p

|f (x)|p dx

=
Ω

1
p

|f |p dx

=


1
p

.

Ω

• Với p = ∞, ta định nghĩa
L∞ (Ω) = f : f là hàm đo được và |f (x)| ≤ k hầu khắp nơi, k > 0
4


với chuẩn

f

∞

= inf k > 0 : |f (x)| ≤ k hầu khắp nơi .

Định nghĩa 1.2. Cho k ≥ 0 là số nguyên không âm, ta định nghĩa không
gian Sobolev

H k (Ω) =

u ∈ L2 (Ω) | Dα u ∈ L2 (Ω) , ∀ |α| = 0, . . . , k ,

với chuẩn


k

u

2
H k (Ω)

|Dα u|2 dx.

=
Ω |α|=0

Ở đây Dα u là đạo hàm yếu cấp α của u.
Định nghĩa 1.3. Ta định nghĩa không gian H01 (Ω) là bổ sung đủ của
C0∞ (Ω), không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω, ở trong
H 1 (Ω). Trong H01 (Ω), ta thường sử dụng chuẩn tương đương sau đây

u

2
H01 (Ω)

|∇u|2 dx.

=
Ω

Định nghĩa 1.4. Không gian đối ngẫu của H01 (Ω) được kí hiệu là H −1 (Ω).
Như vậy, f ∈ H −1 (Ω) nếu f là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên
H01 (Ω).

Nếu f ∈ H −1 (Ω) thì

f

H −1 (Ω)

= sup

f, u | u ∈ H01 (Ω), u

H01 (Ω)

≤1 .

Ta viết f, u để kí hiệu giá trị của f ∈ H −1 (Ω) trên u ∈ H01 (Ω).
Định nghĩa 1.5. [[1]] Cho X là không gian Banach thực với chuẩn · .
Không gian C ([0, T ] ; X) bao gồm tất cả các hàm liên tục u : [0, T ] → X
với
u C([0,T ];X) := max u(t) < ∞.
0≤t≤T

Định nghĩa 1.6. [[1]] Cho X là không gian Banach thực với chuẩn · .
Không gian Lp (0, T ; X) bao gồm tất cả các hàm đo được u : [0, T ] → X
với
5


T

i) u

ii) u

Lp (0,T ;X)

u (t) p dt

:=

L∞ (0,T ;X)

1
p

< ∞ với 1 ≤ p < ∞ và

0

:= esssup u (t) < ∞.
0≤t≤T

Một số kết quả thường dùng
Bổ đề 1.1. [Aubin-Lions, [1]] Giả sử E1 ⊂⊂ E ⊂ E0 , ở đó E, E0 , E1 là
các không gian Banach. Ta giả sử p1 ≥ 1, p0 > 1 và đặt

Wp1 ,p0 (0, T ; E1 , E0 ) = {u : u ∈ Lp1 (0, T ; E1 ) , u ∈ Lp0 (0, T ; E0 )} .
Khi đó phép nhúng W p1 ,p0 (0, T ; E1 , E0 ) ⊂⊂ Lp1 (0, T ; E) là compact.

Một số bất đẳng thức:
• Bất đẳng thức H¨older:
1 1

Giả sử 1 ≤ p, q ≤ ∞, + = 1. Khi đó, nếu u ∈ Lp (Ω) , v ∈ Lq (Ω)
p q
thì ta có:
|uv|dx ≤ u Lp (Ω) . v Lq (Ω) .
Ω

• Bất đẳng thức nội suy với chuẩn Lp :
Giải thiết 1 ≤ s ≤ r ≤ t ≤ ∞ và

Ls (Ω) ∩ Lt (Ω). Khi đó u ∈ Lr (Ω) và
u

Lr (Ω)

t
Ls (Ω)

≤ u

1
θ
1−θ
=
+
. Giả sử u ∈
r
s
t
u


1−θ
Lt (Ω) .

• Bất đẳng thức Gronwall:
Giả sử x(t) là một hàm không âm liên tục tuyệt đối trên [0, T ] và thỏa
mãn
dx
≤ g (t) x + h (t) , với hầu khắp t,
dt
6


trong đó g(t) và h(t) là các hàm khả tích trên [0; T ]. Khi đó
t

x (t) ≤ x (0) eG(t) +

eG(t)−G(s) h (s) ds,
0

t

với 0 ≤ t ≤ T , ở đó G (t) =

g (r) dr.
0

dx
≤ ax + b, thì
dt

b at b
e − .
x (t) ≤ x (0) +
a
a

Nói riêng, nếu a và b là các hằng số và

• Bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân:
Cho ξ (t) là một hàm khả tích, không âm trên [0, T ] và thỏa mãn với
hầu khắp t bất đẳng thức tích phân
t

ξ (t) ≤ C1

ξ (s)ds + C2 ,
0

với C1 , C2 là các hằng số không âm. Khi đó

ξ (t) ≤ C2 1 + C1 teC1 t
với hầu khắp t, 0 ≤ t ≤ T.

1.2

Giới thiệu về hệ Navier-Stokes

Xét hệ Navier - Stokes hai chiều trong miền bị chặn Ω = (0, L) × (0, L)
với điều kiện biên tuần hoàn


du


− ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f, trong R2 × (0, ∞)


dt



∇ · u = 0, trong R2 × (0, ∞)
(1.1)


u(x1 , x2 , t) = u(x1 , x2 + L, t)





u(x1 , x2 , t) = u(x1 + L, x2 , t)
7


f1 (x, t)
f2 (x, t)

với f = f (x, t) =

là hàm thể tích lực, u = (u1 , u2 )T là hàm


vectơ vận tốc, p : Ω → R là hàm áp suất, ν = const > 0 là hệ số nhớt. Ở
đây:

• ∆ là toán tử Laplace;
• Kí hiệu (u · ∇)u được hiểu là

∂u1 
∂u1
+ u2
u
 1 ∂x1
∂x2 
(u · ∇)u =  ∂u
;
∂u
2
2
u1
+ u2
∂x1
∂x2

• ∇·u=

∂u1 ∂u2
+
;
∂x1 ∂x2


• ∇p =

∂p
∂x1
∂p
∂x2

.

Giả thiết rằng, tại các thời điểm bất kì tích phân của các hàm u và f
triệt tiêu trên Ω, tức là các hàm u và f có trung bình bằng 0 trên Ω.

1.3
1.3.1

Các không gian hàm và toán tử
Các không gian hàm

Trước hết, để nghiên cứu bài toán (1.1), ta sử dụng các không gian hàm
sau.
Ta đặt

V=

u : R2 → R2 , ∇ · u = 0,

u dx = 0 .
Ω

Với u là các đa thức lượng giác giá trị vectơ với chu kì L.

Ngoài ra ta đặt
2

V = bao đóng của V trong H01 (Ω) ,
8


2

H = bao đóng của V trong L2 (Ω) .
Khi đó H là không gian Hilbert với tích vô hướng và chuẩn tương ứng là
2

(u, v) = (u, v)H =

u · v dx =
Ω

ui · vi dx,
Ω i=1

1/2
2

|u| =

|u (x)| dx

.


Ω

Hơn nữa, V cũng là không gian Hilbert với tích vô hướng và chuẩn tương
ứng như sau
2

((u, v)) = (u, v)V =
2

v

2

=
i,j Ω

2

∇ui · ∇vi dx =
Ω i=1

∂ui ∂vi
·
dx,
Ω i,j=1 ∂xj ∂xj

∂vi 2
dx,
∂xj


với u = (u1 , u2 )T , v = (v1 , v2 )T .

1.3.2

Các toán tử

Gọi P là phép chiếu trực giao trong L2 (Ω) × L2 (Ω) lên H . Khi đó ta
kí hiệu toán tử Stokes A xác định bởi

Au = −P ∆u.
Chú ý rằng trong trường hợp toán tử A tuần hoàn thì Au = −∆u.
Đặt B là toán tử song tuyến tính xác định bởi

B (u, v) = P ((u · ∇) v)
với u, v ∈ D (A) và D (A) = V ∩ H 2 (Ω) × H 2 (Ω) .
Ta thấy rằng toán tử A là toán tử tự liên hợp, xác định dương và có toán
tử ngược A−1 : H → D(A) compact. Vì vậy tồn tại cơ sở trực giao ωj gồm
các hàm riêng của A sao cho

Aωj = λj ωj và 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ ..., với λ1 =
9

2π 2
.
L


Do đó phổ của A gồm toàn các giá trị riêng {λj }∞
j=1 với λn → ∞ khi
n → ∞ và các hàm riêng tương ứng {ωj }∞

j=1 ⊂ D(A) lập thành một cơ sở
trực chuẩn trong H .
Đặt
2

b(u, v, w) =

ui
i,j=1

Ω

∂vj
wj dx.
∂xi
2

Khi đó b(·, ·, ·) là một dạng 3-tuyến tính liên tục trên H01 (Ω) , hay nói
riêng trên V . Thật vậy, ta có:
2

|b(u, v, w)| =

ui
Ω i,j=1

∂vj
wj
∂xi
1

4

2
4

≤

|ui | dx
i,j=1

≤C u
≤C u

Ω

Ω
L4
H01

v

H01

v

w

L4

w


H01 .

H01

∂vj
dx
∂xi

1
2

4

1
4

|wj | dx
Ω

Ngoài ra ta có

b(u, v, w) = −b(u, w, v), ∀u, v, w ∈ V.
Hệ phương trình Navier-Stokes (1.1) là tương đương với phương trình vi
phân trên H
du
+ νAu + B (u, u) = f
(1.2)
dt
với f = P f và giả thiết rằng f ∈ L∞ ((0, ∞) ; H). Như vậy


sup|f (t)| < ∞.
t≥0

Đặt
1/2



|f (t, x) |2 dx

F = lim sup 
x→∞

Ω

Khi đó ta có định nghĩa số Grashof như sau

F
L2 F
= 2 2.
Gr =
λ1 ν 2
4π ν
10

.


Chú ý rằng nếu f không phụ thuộc thời gian thì Gr là số Grashof G =

L2 |f |
.
4π 2 ν 2

1.4

Đánh giá đối với số hạng phi tuyến

Để thiết lập các đánh giá đối với b(u, v, w) ta cần bổ đề sau.
Bổ đề 1.2. [Bất đẳng thức Ladyzhenskaya khi n = 2] Với bất kì tập mở
Ω ⊂ R2 ta có

v

1
2

1

L4 (Ω)

≤ 24 v

L2 (Ω)

1
2

∇v


L2 (Ω) ,

∀v ∈ H01 (Ω).

(1.3)

Chứng minh. Vì C0∞ (Ω) trù mật trong H01 (Ω) nên ta chỉ cần chứng minh
(1.3) đúng với mọi v ∈ C0∞ (Ω). Với v ∈ C0∞ (Ω), ta có
x1

2

v (x) = 2

v(ξ1 , x2 )
−∞

∂v
(ξ2 , x2 )dξ1 .
∂x1

Suy ra v 2 (x) ≤ 2v1 (x2 ), ở đây
+∞

|v(ξ1 , x2 )||

v1 (x2 ) =
−∞

∂v

(ξ2 , x2 )|dξ1 .
∂x1

Tương tự cũng có v 2 (x) ≤ 2v2 (x1 ) với
+∞

|v(x1 , ξ2 )||

v2 (x1 ) =
−∞

∂v
(x1 , ξ2 )|dξ2 .
∂x1

Từ đó suy ra

v 4 (x)dx ≤
R2

v1 (x2 )v2 (x1 )dx
R2

+∞

=4

+∞

v1 (x2 )dx2


≤4 v
≤2 v

v2 (x1 )dx1
−∞

−∞
2
L2 (R2 )

∂v
∂x1

2
L2 (R2 )

∇v

Từ đây ta suy ra điều phải chứng minh.
11

2
L2 (R2 )
2
L2 (R2 ) .

∂v
∂x2


2
L2 (R2 )


Bổ đề 1.3. Ta có
1

1
2

1

|b(u, v, w)| ≤ 2 2 |u| 2 u

1

v |w| 2 w

1
2

, ∀u, v, w ∈ V.

Chứng minh. Ta có
2

|b(u, v, w)| ≤

∂vj
wj dx|

∂xi
 12
2
∂vj 2 
ui
∂xi L2
i=1

|ui
i,j=1



Ω

2

≤
i,j=1
2

ui

Mà
i=1

2
L4

≤ 2 ui


L2

· ∇ui

1
2

2
L4



 12

2

wj



2 
L4

.

j=1

1


L2
1

≤ 2 2 u · |u|, nên suy ra
1

|b(u, v, w)| ≤ 2 2 |u| 2 u

1
2

1

v |w| 2 w

1
2

.

Vì b(u, v, w) = −b(u, w, v) nên:
1

1

|b(u, v, w)| ≤ 2 2 |u| 2 u

1
2


1

w |v| 2 v

1
2

, ∀u, v, w ∈ V.

Bổ đề được chứng minh.
Đặc biệt ta có
1

|b(u, u, v)| ≤ 2 2 |u| · u · v , ∀u, v ∈ V.
Xét toán tử B : V × V → V xác định bởi:

B(u, v), w = b(u, v, w), ∀u, v, w ∈ V.
Đặt Bu = B(u, u). Khi đó bài toán đã cho có thể phát biểu dưới một
trong hai dạng sau đây.
Bài toán 1. Cho trước u0 ∈ H và f ∈ L2 (0, T ; V ). Tìm hàm u ∈
L2 (0, T ; V ) thỏa mãn

 d
(u, v) + ν((u, v)) + b(u, u, v) = f, v ,
dt
 u(0) = u
0

với mọi v ∈ V và hầu khắp t ∈ (0, T ).
Để viết lại Bài toán 1 dưới dạng phương trình toán tử, ta cần bổ đề

sau.
12


Bổ đề 1.4. Giả sử u ∈ L2 (0, T ; V ) . Khi đó hàm Bu xác định bởi

Bu(t), v = b(u(t), u(t), v), ∀v ∈ V
sẽ thuộc L1 (0, T ; V ).
Chứng minh. Với hầu khắp t ∈ [0, T ] , ta có Bu(t) ∈ V . Hơn nữa,

| Bu(t), v | = |b(u(t), u(t), v)| ≤ C u(t)
Suy ra Bw

V

2

· v , ∀v ∈ V.

≤ C w 2 , với mọi w ∈ V . Do đó
T

t

Bw
0

V

dt ≤ C


w(t)
0

2
V dt

< +∞.

Vậy Bu ∈ L1 (0, T ; V ).
Từ đó ta có bài toán sau đây.
Bài toán 2. Cho trước u0 ∈ H và f ∈ L2 (0, T ; V ). Tìm hàm u ∈
L2 (0, T ; V ) thỏa mãn



u ∈ L1 (0, T ; V ) ,


u + νAu + Bu = f trong V với hầu khắp t ∈ (0, T ) ,



 u(0) = u .
0

Bài toán 1 và Bài toán 2 tương đương nhau theo nghĩa nếu u là nghiệm
của bài toán này thì cũng là nghiệm của bài toán kia và ngược lại.

1.5


Các kết quả về sự tồn tại nghiệm và đánh giá
tiên nghiệm

Ta có kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán (1.1) qua định lí sau.
Định lý 1.1. Cho trước u0 ∈ H và f ∈ L2 (0, T ; V ). Khi đó Bài toán 1
có duy nhất một nghiệm u thỏa mãn

u ∈ C([0, T ]; H) ∩ L2 (0, T ; V ).
13


Chứng minh. Ta chứng minh sự tồn tại nghiệm bằng phương pháp xấp xỉ
Galerkin.
Bước 1. Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ. Giả sử {wj }∞
j=1 là một cơ sở của
V gồm toàn các vectơ riêng của toán tử A. Với mỗi m ≥ 1, tìm nghiệm
xấp xỉ dưới dạng
m

m

u (t) =

gim (t)wi ,
i=1

trong đó gim thỏa mãn

m


 du (t) , w + ν (um (t), w ) + b (um (t), um (t), w ) = f (t), w ,
j
j
j
j
dt


um (0) = u0m .
(1.4)
với j = 1, . . . , m. Ở đây u0m = Pm u0 , với Pm là phép chiếu từ H xuống
span {w1 , ..., wm }, không gian con sinh bởi m vectơ riêng đầu tiên. Từ lí
thuyết phương trình vi phân thường suy ra nghiệm xấp xỉ um (t) tồn tại
và xác định trên [0, T ].
Bước 2. Xây dựng các ước lượng tiên nghiệm đối với {um }. Nhân hai
vế của (1.4) với gjm (t), sau đó lấy tổng theo j từ 1 đến m ta được
m

u (t), um (t) + ν um (t)

2

= f (t), um (t) .

Từ đây, sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta suy ra

d m 2
|u (t)| + 2ν um (t)
dt


2

≤ 2 f (t)

um (t)

∗

≤ ν um (t)

2

+

1
f (t)
ν

2
∗.

Do đó

d m 2
1
|u (t)| + ν um (t) 2 ≤
f (t) 2∗ .
dt
ν

Lấy tích phân bất đẳng thức này từ 0 đến t, 0 ≤ t ≤ T , ta được
t
m

2

m

|u (t)| + ν

u (s)
0

2

1 t
ds ≤ |u0m | +
f (s) 2∗ ds
ν 0
1 T
2
≤ |u0 | +
f (t) 2∗ dt.
ν 0
2

14


Từ đây suy ra:

dãy {um } bị chặn trong L∞ (0, T ; H)
dãy {um } bị chặn trong L2 (0, T ; V ).
Dễ thấy

{Aum } bị chặn trong L∞ (0, T ; V ),
{Bum } bị chặn trong L2 (0, T ; V ).
Vì

dum
= −νAum − Pm Bum + Pm f
dt
dum
dt

nên suy ra

bị chặn trong L2 (0, T ; V ).

Bước 3. Chuyển qua giới hạn.
Từ các ước lượng tiên nghiệm ở Bước 2, ta có thể giả sử

um

u trong L2 (0, T ; V );

Aum Au trong L2 (0, T ; V );
du
dum
trong L2 (0, T ; V ).
dt

dt
Bây giờ ta cần chứng minh Bum Bu trong L2 (0, T ; V ). Sau đó, áp dụng
Bổ đề Aubin-Lions, ta nhận được một dãy con của {um } mà ta vẫn kí hiệu
là {um } thỏa mãn
um → u trong L2 (0, T ; H).
Để qua giới hạn số hạng phi tuyến B, ta chứng minh kết quả sau.
Bổ đề 1.5. Giả sử um u trong L2 (0, T ; V ) và um → u trong L2 (0, T ; H).
Khi đó với mọi w ∈ C 1 (QT ) ta có
T

T
m

m

b(u (t), u (t), w(t))dt →
0

b(u(t), u(t), w(t), )dt.
0

15


Chứng minh. Ta có
T

T
m


m

b (um , w,um (t))dt

b(u (t), u (t), w(t))dt = −
0

0
2

T

(um )i

=−
i,j=1

0

Ω

∂wj m
(u )j dxdt.
∂xi

Do đó
T

T
m


m

b(u , u , w)dt −

b(u, u, w)dt =

0

0
2

T

(um
i − ui )

=
i,j=1

0

Ω

∂wj
∂wj m
uj + um
(u − uj ) dxdt.
i
∂xi

∂xi j

Bởi vậy ta cần xét biểu thức dạng
T

(v m − v)wv m dxdt,

Em =
0
m

Ω

2

ở đó v → v trong L (0, T ; H), w ∈ L2 (0, T ; H) và v m bị chặn đều trong
L∞ (0, T ; H). Do

wv m

L2 (0,T ;H)

≤ w

L2 (0,T ;H)

vm

L∞ (0,T ;H)


nên Em → 0. Từ đó suy ra bổ đề được chứng minh.
Từ các kết quả trên suy ra tồn tại hàm u ∈ L2 (0, T ; V ) ∩ L2 (0, T ; H)
thỏa mãn
du
+ νAu + Bu = f trong L2 (0, T ; V )
dt
hay

du
(t) + νAu(t) + Bu(t) = f (t) trong V với hầu khắp t ∈ [0, T ].
dt
Để chứng minh u(0) = u0 , ta chọn hàm thử ϕ ∈ C 1 ([0, T ]; V ) với ϕ(t) = 0,
và lấy tích vô hướng của phương trình trên với ϕ, sau đó tích phân từng
phần ta được
T

−

T

(u(t), ϕ (t)) dt + ν
0

T

(u(t), ϕ(t)) dt+
0

T


= (u (0) , ϕ (0)) +

b (u(t), u(t), ϕ(t)) dt
0

f (t) , ϕ (t) dt.
0

16


Mặt khác, làm tương tự với nghiệm xấp xỉ Galerkin um ta có:
T

T
m

−

(u (t), ϕ (t)) dt + ν
0

T
m

b (um (t), um (t), ϕ(t)) dt

(u (t), ϕ(t)) dt+
0


0

T

= (u (0) , ϕ (0)) +

f (t) , ϕ (t) dt.
0

Sau đó chuyển qua giới hạn khi m → ∞ ta được
T

−

T

(u(t), ϕ (t)) dt + ν
0

T

(u(t), ϕ(t)) dt+
0

b (u(t), u(t), ϕ(t)) dt
0

T

= (u (0) , ϕ (0)) +


f (t) , ϕ (t) dt.
0

Từ đó suy ra (u (0) , ϕ (0)) = (u0 , ϕ (0)) với mọi ϕ và do đó u(0) = u0 .
Bước 4. Tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào điều
kiện ban đầu.
Giả sử u1 , u2 là hai nghiệm của bài toán đã cho với dữ kiện ban đầu
lần lượt là u01 , u02 . Đặt u = u1 − u2 , ta có

u + νAu = −Bu + Bu
1
2

u (0) = u − u .
01

02

Nhân hai vế phương trình này với u ta có

d
|u (t)|2 + 2ν u (t)
dt

2

= −2b (u2 (t) , u2 (t) , u (t)) − 2b (u1 (t) , u1 (t) , u (t))
= −2b (u (t) , u2 (t) , u (t)) .


Sử dụng Bổ đề 1.2 ta có

d
|u (t)|2 + 2ν u (t)
dt

2

3

≤ 2 2 |u (t)| u (t)
≤ 2ν u (t)

Do đó

2

u2 (t)

1
+ |u (t)|2 u2 (t) 2 .
ν

d
1
|u (t)|2 ≤ |u (t)|2 u2 (t) 2 .
dt
ν
17



Suy ra
t
2

2

|u (t)| ≤ |u (0)| exp
0

Từ đây suy ra điều phải chứng minh.

18

1
u2 (s) 2 ds .
ν


Chương 2
Số phần tử thể tích hữu hạn xác
định đối với hệ Navier – Stokes hai
chiều

2.1

Khái niệm số phần tử thể tích hữu hạn xác định
của nghiệm.

Xét hệ Navier – Stokes hai chiều (1.1) trong miền bị chặn Ω = (0, L) ×

(0, L) với điều kiện biên tuần hoàn. Để biết dáng điệu của trung bình địa
phương của các vector tốc độ đặc trưng cho dòng chảy. Ta sẽ chia miền
L
Ω thành N hình hộp con bằng nhau có cạnh là l = √ và kí hiệu là
N
Q1, Q2 , ..., QN . Khi đó, giá trị trung bình của các nghiệm của (1.1) trên
các hình hộp con Qj là
N
u Qj = 2 u(x)dx, 1 ≤ j ≤ N.
(2.1)
L
Qj

Định nghĩa 2.1. Một tập hợp các phần tử thể tích được gọi là xác định
nếu với bất kì hai nghiệm u và v của hệ (1.1) thỏa mãn

lim ( u

t→∞

Qj

− v
19

Qj )

=0



thì ta có

lim |u(t) − v(t)| = 0.

t→∞

2.2

Số phần tử thể tích hữu hạn xác định đối với
nghiệm dừng

Ở phần này chúng ta giả thiết rằng lực f không phụ thuộc thời gian và
kí hiệu
|f |
Gr = G =
.
λ1 ν 2
Ta có định nghĩa về nghiệm dừng của hệ (1.1) như sau.
Định nghĩa 2.2. Giả sử f ∈ H. Hàm u ∈ D(A) thỏa mãn νAu + Bu = f
trong H được gọi là nghiệm dừng của hệ phương trình Navier -Stokes hai
chiều (1.1).
Nếu G đủ nhỏ thì hệ Navier -Stokes hai chiều (1.1) tồn tại duy nhất
nghiệm dừng và nghiệm dừng này ổn định mũ toàn cục (xem [1, trang 82
- 83]). Do đó ta giả sử thêm G >> 1.
Bổ đề 2.1. Với mỗi ω ∈ D(A) đặt γ (ω) = max | ω
1≤j≤N

Qj |

thì


√
c1 L
√ |Aω|;
=
sup
|ω
(x)|
≤
c
6N
γ
(ω)
+
1
∞
2 N
x∈Ω
√
L2
|Aω|;
|ω| ≤ 2Lγ (ω) +
6N
√
L
ω ≤ 6N γ (ω) + √ |Aω|,
2 N
√
10 + 4 2
với c1 =

.
π
ω

Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Poincaré cho ω(x) ta có

L2
|ω (x)| dx ≤ | ω
N
2

L2
Qj | +
6N

|∇ω (x)|2 dx.

2

Qj

Qj

20

(2.2)