BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN MẠNH HÙNG

KHUNG SINH BỞI HỌ B-SPLINE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN MẠNH HÙNG

KHUNG SINH BỞI HỌ B-SPLINE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học
TS.Bùi Kiên Cường

HÀ NỘI , 2017


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Khung trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . .

4

1.1. Toán tử trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1. Toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2. Phép chiếu trực giao và phần bù trực giao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2. Cơ sở trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1. Hệ trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.2. Cơ sở trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8


1.3. Khung trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.1. Dãy Bessel trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.2. Cơ sở Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3.3. Khung và các tính chất của Khung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.3.4. Khung và cơ sở Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Chương 2. Khung sinh bởi họ hàm B-Spline . . . . . . . . . . .

26

2.1. Họ B-Spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2. Khung Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


28

2.2.1. Lý thuyết cơ sở của khung Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.2.2. Khung Gabor chặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.2.3. Đối ngẫu của Khung Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.2.4. Xây dựng dạng hiện của cặp khung Gabor đối ngẫu nhờ B-spline. . . . . . . . . .

38

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45


Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của thầy giáo - Tiến sĩ Bùi Kiên Cường.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Bùi Kiên Cường. Thầy
đã tận tình hướng dẫn và giải đáp những thắc mắc của tôi, giúp đỡ tác
giả hoàn thành luận văn này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáo phòng Sau đại học,
các thầy cô giáo khoa Toán cũng như các thầy cô giáo giảng dạy lớp thạc
sĩ K19 chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
đã đem hết tâm huyết và sự nhiệt tình để giảng dạy, trang bị cho tác giả
nhiều kiến thức cơ sở và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu và Tổ Toán -Tin trường
THPT Ngô Quyền - Ba Vì đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác
giả trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng
nghiệp đã luôn quan tâm, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho
tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2017
Tác giả

Nguyễn Mạnh Hùng


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS.Bùi Kiên Cường, luận văn
thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Khung sinh bởi họ BSpline" được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân tác giả.
Trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 06 năm 2017
Tác giả

Nguyễn Mạnh Hùng



Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết Khung đã được Duffin và Schaeffer đưa ra từ năm 1952 trong
những nỗ lực tìm kiếm sự thay thế của khái niệm cơ sở. Tuy nhiên, phải
đến nhu cầu của việc ứng dụng công nghệ thông tin trong xử lý ảnh
cần những công cụ toán học linh hoạt hơn cơ sở của không gian thì lý
thuyết Khung mới được phát triển. Thời điểm đánh dấu sự trở lại của
lý thuyết Khung là năm 1986 trong công trình của Mallat. Đến nay, lý
thuyết Khung đã có sự phát triển rộng rãi, đáp ứng tốt yêu cầu của
không chỉ khoa học công nghệ mà còn là một công cụ để nghiên cứu
Toán lý thuyết trong giải tích điều hòa, lý thuyết giả vi phân.....Từ lý
thuyết Khung tổng quát trong không gian Hilbert trừu tượng, người ta
có thể tạo ra các Khung dựa vào các lớp hàm cụ thể để có những lớp
Khung khác nhau, chẳng hạn Khung Gabor , Khung B-Spline. Với mong
muốn hiểu biết sâu sắc hơn về lý thuyết Khung, được sự đồng ý hướng
dẫn của thầy giáo -Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, tôi đã lựa chọn đề tài "
Khung sinh bởi họ B-Spline " để thực hiện luận văn tốt nghiệp của
mình.

2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống hóa được những kiến thức cơ bản của lý thuyết Khung tổng
quát. Trình bày các kết quả nghiên cứu gần đây về Khung sinh bởi các
1


hàm B-Spline.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

• Làm một báo cáo tổng quan thể hiện đầy đủ mục đích nghiên cứu,
nội dung và phương pháp nghiên cứu
• Báo cáo có thể là một tài liệu tham khảo tốt cho những người
quan tâm về lý thuyết Khung, đặc biệt là Khung sinh bởi lớp hàm
B-Spline.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết Khung, Khung Gabor, B-Spline
và việc tạo ra Khung từ các họ hàm B-Spline.
• Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo, các tài liệu trong và ngoài nước
liên quan đối tượng nghiên cứu.

5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm, phương pháp
nghiên cứu lý thuyết để tiếp cận vấn đề. Thu thập và nghiên cứu các tài
liệu có liên quan, đặc biệt là các bài báo mới trong và ngoài nước về vấn
đề mà luận văn đề cập tới.

2


6. Đóng góp của luận văn
Luận văn là một công trình nghiên cứu tổng quan về lý thuyết Khung
và Khung sinh bởi họ hàm B-Spline.

3


Chương 1
Khung trong không gian Hilbert

Trong chương này, chúng ta nhắc lại một số khái niệm cũng như các kết
quả bổ trợ cần thiết được sử dụng ở chương sau.

1.1. Toán tử trong không gian Hilbert
1.1.1. Toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert
Toán tử tuyến tính T từ không gian Hilbert H vào không gian Hilbert
K là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn, nghĩa là tồn tại hằng số C > 0
sao cho
T x ≤ C. x , x ∈ H

(1.1)

Ký hiệu B(H, K) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ H vào
K. Khi H = K thì B(H, K) ký hiệu đơn giản là B(H). Chuẩn của T
được định nghĩa là hằng số C nhỏ nhất thỏa mãn (1.1). Nói một cách
tương đương
T = sup{ T x : x ∈ H, x ≤ 1} = sup{ T x : x ∈ H, x = 1}.
Mệnh đề 1.1. Giả sử H, K, L là các không gian Hilbert. Khi đó, Nếu
T ∈ B (H, K) thì tồn tại duy nhất một phần tử T ∗ ∈ B (K, H) sao cho
T ∗ x, y = x, T y , ∀x ∈ K, ∀y ∈ H.
Hơn nữa
4


i) (a S + bT )∗ = a.S ∗ + b.T ∗
ii) (RS)∗ = S ∗ R∗
iii) (T ∗ )∗ = T
iv)I ∗ = I
v) Nếu T khả nghịch thì T ∗ cũng khả nghịch và T −1


∗

= (T ∗ )−1 ,

trong đó S, T ∈ B (H, K) , R ∈ B (K, L) , a, b ∈ C.
Toán tử T ∗ ở Mệnh đề 1.1 được gọi là toán tử liên hợp của toán tử
T.
Mệnh đề 1.2. Giả sử T ∈ B(H, K) , S ∈ B(K, L). Khi đó ta có:
i) T x ≤ T . x , ∀x ∈ H
ii) ST ≤ S . T
iii) T = T ∗
iv) T ∗ T = T

2

Nếu T ∈ B (H) , x, y ∈ H, ta có đồng nhất thức phân cực sau:
1
T x, y = { T (x + y) , x + y − T (x − y) , x − y
4
+ i T (x + iy) , x + iy − i T (x − iy) , x − iy
Cho T ∈ B (H). Khi đó:
T được gọi là toán tử tự liên hợp nếu T ∗ = T .
T được gọi là toán tử unita nếu T ∗ T = T T ∗ = I.
T được gọi là toán tử trực giao hay toán tử chuẩn tắc nếu T ∗ T = T T ∗ .
T được gọi là toán tử dương (ký hiệu T ≥ 0) nếu T x, x ≥ 0 , ∀x ∈ H.
Nếu T, K ∈ B (H) ta nói T ≥ K nếu T − K là toán tử dương.

5



Chú ý rằng với mỗi T ∈ B (H) thì
T ∗ T x, x = T x, T x ≥ 0 , ∀x ∈ H.
Do đó T ∗ T là toán tử dương.
Mệnh đề 1.3. Giả sử T ∈ B (H). Khi đó
i) T là tự liên hợp khi và chỉ khi T x, x là số thực với mọi x ∈ H .
Đặc biệt toán tử dương là tự liên hợp.
ii) T là unita khi và chỉ khi T là ánh xạ bảo toàn chuẩn từ H lên H.
iii) T là chuẩn tắc khi và chỉ khi T x = T ∗ x , ∀x ∈ H.
Mệnh đề 1.4. Giả sử T ∈ B (H). Khi đó các điều kiện sau là tương
đương
i) T là dương.
ii) T = S 2 trong đó S là toán tử dương.
iii) T = V ∗ V trong đó V ∈ B (H).
Toán tử S trong ii) là duy nhất và được gọi là căn bậc hai của toán
1

tử T, ký hiệu T 2 .
Bổ đề 1.1. Giả sử T ∈ H và ei ,fi là cơ sở trực chuẩn của H. Khi đó
T ei , ei =

T fj , fj

i

(1.2)

j

T ei , ei độc lập với sự lựa chọn


Từ Bổ đề 1.1 ta thấy đại lượng
i

cơ sở trực chuẩn của H. Ta gọi đại lượng này là vết của T và ký hiệu
là Tr(T) . Vết của toán tử T có các tính chất tương tự như vết của ma
trận.
6


Mệnh đề 1.5. Giả sử M là một không gian con đóng của không gian
Hilbert H và P là phép chiếu trực giao từ H lên M . Khi đó
tr(T ) = dim(M ).

(1.3)

Mệnh đề 1.6. Giả sử T, S ∈ B(H) , α, β∈ C. Khi đó
i) tr (αS + βT ) = αtr (S) + βtr (T ) .
ii) tr (ST ) = tr (T S) .
iii) Nếu S và T là đồng dạng thì tr(S) = tr(T ).
1.1.2. Phép chiếu trực giao và phần bù trực giao
Giả sử H là một không gian Hilbert, u, v ∈ H và X, Y là các tập con
của H. Ta nói:
u trực giao với v nếu u, v = 0, ký hiệu u⊥v.
u trực giao với Y nếu u, y = 0 với mọi y ∈ Y , ký hiệu u⊥Y .
X trực giao với Y nếu x, y = 0 với mọi x ∈ X, y ∈ Y , ký hiệu X⊥Y .
Ký hiệu Y ⊥ là tập tất cả các véc tơ trong H và trực giao với Y và
gọi là phần bù trực giao của Y trong H.
Mệnh đề 1.7. Nếu Y là một không gian con đóng của không gian Hilbert
H thì với mỗi phần tử x ∈ H có thế biểu diễn được dưới dạng x = y + z,
với yinY và z ∈ Y ⊥ . Hơn nữa, y là phần tử duy nhất trong Y gần nhất

với x. Ta viết H = Y ⊕ Y ⊥ .
Ánh xạ P (y + z) = y, y ∈ Y, z ∈ Y ⊥ xác định một toán tử tuyến
tính P : H → Y , P được gọi là phép chiếu trực giao từ H lên Y .
Cho T ∈ B (H, K) trong đó H, K là các không gian Hilbert. Ta ký
7


hiệu Ker(T ) = {x ∈ H : T x = 0} và gọi là nhân của toán tử T và
Ran(T ) = {y ∈ K : y = T x, x ∈ H} được gọi là miền của ánh xạ T .
Mệnh đề 1.8. Giả sử T ∈ B (H). Khi đó
H = Ker (T ) ⊕ Ran (T ∗ ) = Ker (T ∗ ) ⊕ Ran (T ).

(1.4)

1.2. Cơ sở trong không gian Hilbert
1.2.1. Hệ trực chuẩn
Trong phần này, chúng tôi hệ thống lại một số kiến thức cơ bản đã biết
về cơ sở trong không gian Hilbert, để vận dụng vào chương 2 sau này
Định nghĩa 1.1. Cho không gian Hilbert H. Một tập con gồm hữu hạn
hay đếm được các phần tử (en )n≥1 ⊂ H gọi là một hệ trực chuẩn, nếu
(ei , ej ) = δij với δij là ký hiệu Kroneckes,


 0, i = j
δij =

 1, i = j,
Định lý 1.1 (Bất đẳng thức Bessel). Nếu (en )n≥1 là một hệ trực chuẩn
nào đó trong không gian Hilbert H thì với mọi x ∈ H ta đều có bất đẳng
thức

|(x, en )|2 ≤ x 2 .
n≥1

Bất đẳng thức này gọi là bất đẳng thức Bessel.
1.2.2. Cơ sở trực chuẩn
Định nghĩa 1.2. Xét một dãy {ek }∞
k=1 của véc tơ trong không gian
Hilbert H. Khi đó
8


1. Dãy {ek }∞
k=1 là một cơ sở (Schauder) của H nếu với mỗi x ∈ H tồn
tại hệ véc tơ vô hướng {ck (x)}∞
k=1 sao cho
∞

ck (x)ek .

x=

(1.5)

k=1

2. Cơ sở {ek }∞
k=1 là một cơ sở vô điều kiện trong nếu (1.5) hội tụ vô
điều kiện với mỗi f ∈ H .
∞
3. Cơ sở {ek }∞

k=1 là cơ sở trực chuẩn nếu hệ {ek }k=1 là trực chuẩn.

Định lý 1.2 (Định lý về đẳng thức Parseval). Cho (en )n≥1 là một hệ
trực chuẩn trong không gian Hilbert H. Khi đó năm mệnh đề sau tương
đương:
1) Hệ (en )n≥1 là cơ sở trực chuẩn trong không gian H.
2) ∀x ∈ H, x =

(x, en ) en .
n≥1

3) ∀x, y ∈ H, (x, y) =

(x, en ) (en , y) (Bất đẳng thức Parseval).
n≥1

4) ∀x ∈ H, x

2

|(x, en )|2 (Phương trình đóng).

=
n≥1

5) Bao tuyến tính của hệ (en )n≥1 trù mật khắp nơi trong không gian
Hilbert H (nghĩa là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn
bất kỳ các phần tử thuộc hệ (en )n≥1 trù mật khắp nơi trong không gian
H).
6) Nếu x, ek = 0 với mọi k ≥ 1 thì f = 0.

Hệ quả 1.1. Nếu {ek }∞
k=1 là một cơ sở trực chuẩn, thì với mỗi x ∈ H
có một khai triển hội tụ không điều kiện
∞

f=

f, ek ek
k=1

9

(1.6)


Khai triển (1.6) là lý do chính để xem xét các cơ sở trực chuẩn. Thực
tế, cơ sở trực chuẩn là cơ sở thuận tiện nhất để sử dụng. Sau này chúng
ta sẽ thấy rằng, với nhiều loại khác của cơ sở, biểu diễn (1.6) phải được
thay thế bởi một biểu thức phức tạp hơn. Thật không may, các điều kiện
để {ek }∞
k=1 làm thành một cơ sở trực chuẩn lại quá mạnh, và thường khó
để xây dựng một cơ sở trực chuẩn thỏa mãn thêm điều kiện khác.
Định lý 1.3. Cho {ek }∞
k=1 là một cơ sở trực chuẩn trong H. Khi đó với
bất kỳ toán tử unita U : H → H, dãy {U ek }∞
k=1 là một cơ sở trực giao.
Chứng minh. Cho {ek }∞
k=1 là một cơ sở trực chuẩn trong H. Xác định
ánh xạ U : H → H bởi
U


ck ek =

ck ek , {ck }∞
k=1 ∈

2

(N)

Nếu U là một song ánh bị chặn trong H và fk = U ek . Với f, g ∈ H ta
viết f =

f, ek ek vàg =

g, ek ek .

Nhờ định nghĩa của U và Định lý 1.2, ta có
U ∗ Uf, g = U f, U g
=
=

f, ek fk ,
f, ek

g, ek fk

g, ek = f, g

Điều này có nghĩa là U ∗ U = I. Vì U là một ánh xạ toàn ánh, nên suy

ra U là toán tử unita. Mặt khác nếu U là một toán tử unita thì
U ek , U ej = U ∗ U ek , ej = ek , ej = δk,j ,
tức là {U ek }∞
k=1 là một hệ trực chuẩn. Từ đó nó là cơ sở nhờ Định lý 1.2
và sự kiện nó là đơn ánh.
10


Mệnh đề 1.9. Không gian Hilbert H có cơ sở trực chuẩn khi và chỉ khi
không gian đó là không gian tách được.
Mệnh đề 1.10. Hai không gian Hilbert tách được có cùng số chiều đẳng
cấu và đẳng cự với nhau.

1.3. Khung trong không gian Hilbert
Trong mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản trong lý
thuyết Khung cần đến cho chương 2.
1.3.1. Dãy Bessel trong không gian Hilbert
Bổ đề 1.2. Cho {fk }∞
k=1 là một dãy trong H sao cho
mọi {ck }∞
k=1 ∈

2

∞

ck fk hội tụ với
k=1

(N). Khi đó

∞
2

T :

(N) → H, T

(ck )∞
k=1

:=

ck fk

(1.7)

k=1

xác định một toán tử tuyến tính bị chặn. Toán tử liên hợp xác định bởi
T∗ : H →
Hơn nữa

2

(N) ; T ∗ f = { f, fk }∞
k=1 .

(1.8)

∞


|(f, fk )|2 ≤ T

f 2 , ∀f ∈ H.

(1.9)

k=1

Chứng minh. Xét toán tử tuyến tính bị chặn:
n

Tn :

2

(N) → H;

Tn {ck }k=∞
k=1

:=

ck fk .
k=1

Rõ ràng Tn → T hội tụ điểm khi n → ∞, vì vậy theo nguyên tắc bị chặn
đều, T xác định một toán tử tuyến tính bị chặn. Để tìm được biểu thức
11



T ∗ , lấy f ∈ H và {ck }k=∞
k=1 ∈

2

(N). Khi đó
∞

n

f, T
Khi T :

2

{ck }k=∞
k=1

=

ck fk

f,

H

k=1

f, fk ck


=
H

(1.10)

k=1

(N) → H là bị chặn thì T ∗ là toán tử bị chặn từ H vào

2

(N).

Do đó toán tử tọa độ thứ k là bị chặn từ H vào C. Theo định lý biểu
diễn Riesz, T ∗ có dạng
T ∗ f = { f, gk }∞
k=1
với {gk }k=∞
k=1 trong H.
Bằng định nghĩa của T ∗ , (1.10) chỉ ra
∞

∞

f, fk ck , ∀ {ck }k=∞
k=1 ∈

f, gk ck =


2

(N) , f ∈ H.

k=1

k=1

Từ đó ta có gk = fk .
Liên hợp của một toán tử bị chặn T là toán tử bị chặn và T = T ∗ .
Theo các giả định của Bổ đề 1.2 ta có
T ∗f

2

≤ T

2

f 2 , ∀f ∈ H

dẫn đến (1.9).
Các dãy {fk }k=∞
k=1 mà bất đẳng thức trong (1.9) đúng đóng vai trò
quan trọng trong các phần tiếp theo.
Định nghĩa 1.3. Dãy {fi }∞
i=1 trong không gian Hilbert H được gọi là
dãy Bessel nếu tồn tại B > 0 sao cho
∞


(f, fj )2 ≤ B. f 2 , ∀f ∈ H
i=1

12

(1.11)


Mọi hằng số B trong (1.11) được gọi là cận Bessel của dãy {fi }∞
i=1 . Cận
tối ưu đối với dãy Bessel {fi }∞
i=1 là giá trị nhỏ nhất của các số B > 0
thỏa mãn (1.11). Ngoại trừ fk = 0, ∀k ∈ N, cận tối ưu luôn tồn tại.
Định lý 1.4. Giả sử dãy {fk }∞
k=1 là một dãy trong H và B > 0 là một
hằng số đã cho. Khi đó {fk }∞
k=1 là một dãy Bessel với cận Bessel B nếu
và chỉ nếu

∞

T :

{ck }∞
k=1

→

ck fk
k=1


là toán tử tuyến tính, bị chặn từ

2

(N) vào H và T ≤

√

B.

Chứng minh. Trước hết ta giả sử rằng {fk }∞
k=1 là dãy Bessel với cận B.
Cho {ck }∞
k=1 ∈
∞

2

(N). Trước hết ta chỉ ra rằng T {ck }∞
k=1 là xác định và

ck fk hội tụ. Xét n, m ∈ N∗ , n > m. Khi đó

k=1
n

m

ck fk −


n

ck fk =

k=1

k=1

ck fk .
k=m+1

Suy ra
n

m

ck fk −
k=1

n

ck fk = sup

ck fk

g =1

k=1


k=m+1
n

≤ sup

|ck fk , g |

g =1 k=m+1
1/2

n

|ck |2

≤

≤

2

1/2

| fk , g |

sup
g =1

k=1+m

k=m+1


1/2

n

√

n

|ck |2

B
k=1+m

Vì {ck }∞
k=1 ∈

2

n

(N) ta biết rằng
k=1+m

13

|ck |2

là dãy Cauchy trong C.



n

ck fk

Việc tính toán ở trên cho ta thấy
và do đó nó hội tụ. Như vậy T

k=1+m
∞
{ck }k=1 là

là dãy Cauchy trong H

xác định. Rõ ràng T là tuyến

∞
tính; vì T {ck }∞
k=1 = sup | T {ck }k=1 , g | bằng tính toán như trên ta
g =1
√
thấy T bị chặn và T ≤ B .
√
Ngược lại , giả sử rằng T là một toán tử bị chặn với T ≤ B. Khi

đó theo Bổ đề 1.2 ta có {fk }∞
k=1 la một dãy Bessel với cận là B.
Hệ quả 1.2. Nếu {fk }∞
k=1 là một dãy Bessel trong H thì
2

không điều kiện với mọi {ck }∞
k=1 ∈ l (N). Ở đây, chuỗi

∞

ck fk hội tụ
k=1
n∈N∗

an được

gọi là hội tụ không điều kiện, nếu với mỗi phép hoán vị σ : N∗ → N∗ ,
chuỗi

n∈N∗

aσ(n) hội tụ.

1.3.2. Cơ sở Riesz
Trong Định lý 1.3, chúng ta đã mô tả được rằng mọi cơ sở trực chuẩn
đều được xác định bởi một toán tử unita tác động lên một cơ sở trực
chuẩn cho trước nào đó. Về mặt hình thức, khái niệm cơ sở Riesz là một
điều kiện yếu hơn về mặt toán tử:
Định nghĩa 1.4. Một cơ sở Riesz trong H là một họ dãy {U ek }∞
k=1 ,
Khi {ek }∞
k=1 là một cơ sở trực chuẩn trong H và U : H → H là một song
ánh bị chặn.
Một cơ sở Riesz {fk }∞
k=1 là một cơ sở thực sự. Chú ý rằng khai triển

(1.12) trong định lý dưới đây với mỗi phần tử f ∈ H nhờ cơ sở Riesz
được quan tâm hơn khai triển (1.6) nhờ một cơ sở trực chuẩn.

14


∞
Định lý 1.5. Nếu {fk }∞
k=1 là một cơ sở Riesz trong H, thì {fk }k=1 là

một dãy Bessel. Hơn nữa tồn tại duy nhất dãy {gk }∞
k=1 trong H sao cho
∞

f, gk fk , ∀f ∈ H.

f=

(1.12)

k=1

Dãy {gk }∞
k=1 cũng là cơ sở Riesz và (1.12) hội tụ vô điều kiện với mọi
f ∈ H.
∞
Chứng minh. Theo định nghĩa, chúng ta có thể viết {fk }∞
k=1 = {U ek }k=1

trong đó U là một song ánh tuyến tính bị chặn và {ek }∞

k=1 là một cơ sở
trực chuẩn. Cho f ∈ H, bằng sự khai triển U −1 f theo cơ sở trực chuẩn
{ek }∞
k=1 ta có
∞

∞

U

−1

U

f=

−1

f, (U −1 ) ∗ ek ek .

f, ek ek =
k=1

k=1

Do đó với gk := (U −1 ) ∗ ek , ta có
∞

f = UU


−1

f, (U −1 ) ∗ ek U ek

f=
k=1
∞

=

f, gk fk .
k=1

Vì toán tử (U −1 )∗ là một song ánh tuyến tính và bị chặn, nên {gk }∞
k=1
là một cơ sở Riesz. Hơn nữa, cho f ∈ H, có
∞

∞
2

|f, U ek |2 = U ∗ f

| f, fk | =
k=1

2

(1.13)


k=1
2

≤ U∗
= U

2

f

Điều này chứng tỏ cơ sở Riesz là một dãy Bessel.
15

2

f
2

(1.14)


Như vậy chuỗi (1.12) hội tụ vô điều kiện nhờ Hệ quả 1.2. Chúng ta
hoàn thành việc chứng minh bằng cách chỉ ra dãy {gk }∞
k=1 được xây dựng
trong phép chứng minh là duy nhất đáp ứng đầy đủ (1.12). Với mục đích
đó, trước tiên chúng ta lưu ý rằng nếu
∞

∞


dk (fk )fk

ck (fk )fk =

f=

(1.15)

k=1

k=1

với các hệ số ck (f ) và dk (f ) nào đó thì ck (f ) = dk (f ) với ∀k ∈ N . Điều
này được suy ra bằng cách áp dụng với toán tử U −1 trên cả hai vế của
sự đẳng thức và sử dụng {ek }∞
k=1 là một cơ sở. Lập luận này cho thấy
một cơ sở Riesz thực sự là một cơ sở. Bây giờ chúng ta chỉ phải chứng
∞
minh rằng nếu {gk }∞
k=1 và {hk }k=1 ) là dãy trong H, sao cho
∞

f=

∞

f, hk fk , ∀f ∈ H

f, gk fk =
k=1


(1.16)

k=1

thì gk = hk , ∀k ∈ N∗ . Theo sự lập luận ở trên, (1.16) suy ra rằng với mọi
k ∈ N∗ ,
f, gk = h, gk , ∀f ∈ H.
Điều này dẫn đến định lý được chứng minh.
Dãy duy nhất {gk }∞
k=1 thỏa (1.12) được gọi là cơ sở Riesz đối ngẫu
∞
của {fk }∞
k=1 . Chúng ta hãy tìm đối ngẫu của {gk }k=1 . Nhờ ký hiệu được

sử dụng trong chứng minh định lý (1.5), chúng ta có đối ngẫu của
∞
{fk }∞
k=1 {U ek }k=1 và được cho bởi
∗

−1
{gk }∞
ek
k=1 = U

∞
.
k=1


Như vậy, đối ngẫu của {gk }∞
k=1 là
(U −1 )∗

−1 ∗

∞

ek

k=1

∞
= {U ek }∞
k=1 = {fk }k=1 .

16


∞
Hệ quả 1.3. Nếu {fk }∞
k=1 = {U ek }k=1 là một cơ sở Riesz trong H, khi

đó tồn tại các hằng số A, B > 0 sao cho
∞

A f

2


| f, fk |2 ≤B f 2 , ∀f ∈ H

≤

(1.17)

k=1

Giá trị lớn nhất của A là 1/ U −1

2

và giá trị nhỏ nhất của B là U 2 .

Định lý 1.6. Cho dãy {fk }∞
k=1 trong H. Khi đó các điều kiện sau là
tương đương:
1. {fk }∞
k=1 là một cơ sở Riesz trong H.
2. {fk }∞
k=1 là đầy đủ trong H, và tồn tại các hằng số A, B > 0 sao
cho với mọi dãy vô hướng hữu hạn {ck }, ta có
2

A

|ck |2 ≤

≤B


ck fk

|ck |2 .

(1.18)

Một dãy {fk }∞
k=1 thỏa mãn (1.18) đối với mọi dãy hữu hạn {ck } được
gọi là dãy Riesz.
Nếu (1.18) đúng đối với các dãy vô hướng hữu hạn {ck }∞
k=1 , thì nó
sẽ đúng cho tất cả các dãy {ck }∞
k=1 ∈

2

(N∗ ). Nếu {fk }∞
k=1 là một cơ sở

Riesz, các số A, B > 0 trong (1.18) tương ứng được gọi là các cận Riesz
dưới và cận Riesz trên. Chúng xác định không duy nhất và ta định nghĩa
các cận Riesz tối ưu là số lớn nhất có thể có của các A và số nhỏ nhất
có thể có của các B.

17


1.3.3. Khung và các tính chất của Khung
Định nghĩa 1.5. Một dãy {fk }∞
k=1 của các phần tử trong H được gọi

là một khung nếu tồn tại các hằng số 0 < A ≤ B sao cho
∞
2

A f

| f, fk |2 ≤ B f 2 , ∀f ∈ H

≤

(1.19)

k=1

Các hằng số A, B được gọi là các cận của khung. Cận khung trên tối ưu
là cận dưới đúng của các cận khung trên; cận khung dưới tối ưu là cận
trên đúng của các cận khung dưới.
Bổ đề dưới đây cho chúng ta biết chỉ cần kiểm tra điều kiện khung
trên một họ trù mật.
Bổ đề 1.3. Giả sử rằng {fk }∞
k=1 là một dãy các phần tử trong H ,khi đó
tồn tại các hằng số A, B > 0 sao cho
∞

A f

2

| f, fk |2 ≤B f 2 , ∀f ∈ H


≤

(1.20)

k=1

với mọi f trong một tập hợp con V trù mật của H . Khi đó {fk }∞
k=1 là
khung của H với các cận A, B.
Định nghĩa 1.6. Dãy {fk }∞
k=1 là một khung chặt trong H nếu tồn tại
hằng số A > 0 sao cho
∞

| f, fk |2 = A f

2

, ∀f ∈ H

k=1

. Ta gọi A là cận của khung.
Vì khung {fk }∞
k=1 là một dãy Bessel, toán tử
∞

T :

2


(N) → H,

T

{ck }∞
k=1

=

ck fk
k=1

18

(1.21)


là bị chặn; T gọi là toán tử tổng hợp. Nhờ Bổ đề 1.2, toán tử liên hợp
được đưa ra bởi công thức
∞

T∗ : H →

2

(N) ;

T ∗f ={


f, fk }∞
k=1

ck fk

=

(1.22)

k=1

được gọi là toán tử phân tích. Bằng việc hợp thành T và T ∗ chúng ta
có toán tử khung
∞

S : H → H;

Sf = T T ∗ f =

f, fk fk .

(1.23)

k=1

Lưu ý rằng {fk }∞
k=1 là dãy Bessel, chuỗi xác định S hội tụ vô điều kiện
với mọi f ∈ H. Chúng ta xem xét một vài tính chất quan trọng của S,
thể hiện trong bổ đề sau.
Bổ đề 1.4 (Định lý 1.1.5 trong (2) ). Giả sử {fk }∞

k=1 là một khung với
toán tử khung S và các cận khung A, B. Khi đó ta các khẳng định sau :
1. S bị chặn, khả nghịch, tự liên hợp và dương.
2. S −1 fk

∞
k=1

là khung với với toán tử khung S −1 và các cận của khung

là B −1 , A−1 .
Khung S −1 fk

∞
k=1

được gọi là khung đối ngẫu chính tắc của {fk }∞
k=1 .

Sự phân tích khung được phát biểu bởi công thức (1.24) trong định
lý dưới đây là kết quả quan trọng nhất của lý thuyết khung. Nó chỉ ra
rằng nếu {fk }∞
k=1 là một khung của H thì mọi phần tử của H đều được
biểu diễn như là moiotj tổ hợp tuyến tính vô hạn của các phần tử của
khung. Điều này cho thấy, khung như là một khái niệm "cơ sở suy rộng"
Định lý 1.7. Giả sử {fk }∞
k=1 là một khung với toán tử khung là S. Khi
19



đó

∞

f=

f, S −1 fk fk , ∀f ∈ H

(1.24)

f, fk S −1 fk , ∀f ∈ H.

(1.25)

k=1

và

∞

f=
k=1

Cả hai chuỗi trên hội tụ vô điều kiện với mọi f ∈ H.
Chứng minh. Cho f ∈ H, sử dụng các tính chất của toán tử khung trong
Bổ đề refbd1.2.16, ta có
∞
−1

∞

−1

f = SS f =

f, S −1 fk fk .

S f, fk fk =
k=1

k=1

Do {fk }∞
k=1 là một dãy Bessel và

f, S −1 fk

∞
k=1

∈

2

(N ) nên chuỗi hội

tụ không điều kiện.
Tương tự ta có biểu diễn sau
∞
−1


f, fk S −1 fk , ∀f ∈ H

f = SS f =
k=1

Định lý 1.7 chỉ ra rằng mọi thông tin về f ∈ H đều nằm trong dãy
f, S −1 fk

∞
.
k=1

Các số f, S −1 fk được gọi là các hệ số khung.

Định lý 1.7 cũng chỉ ra một số khó khăn chính trong lý thuyết khung.
Thực tế là để các khai triển (1.24) và (1.25) có thể ứng dụng trong thực
hành, chúng ta cần phải tìm toán tử khung S −1 hoặc ít nhất là tính toán
tất cả các hệ số fk k ∈ N∗ . Nói chung, đây là một vấn đề lớn. Một cách
để giải quyết vấn đề này là chỉ xem xét khung chặt.

20