Chương I : Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Đỗ Tiến Tuấn

Chương I: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
§1 : Hàm số lượng giác
A- Kiến thức cơ bản
I. Định nghĩa
1. Hàm số sin và hàm số côsin
- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sin x
sin : R → R
x → y = sin x
được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sin x.
Tập xác định của hàm số sin là R.
- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cos x
cos x : R → R
x → y = cos x
được gọi là hàm số côsin, kí hiệu : y = cos x.
Tập xác định của hàm số côsin là R.
2. Hàm số tang và hàm số côtang
- Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức : y =

sin x
(cos x = 0)
cos x

Kí hiệu là y = tan x.
π
Tập xác định của hàm số y = tan x là D = R \
+ kπ, k ∈ Z
2

- Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức : y =

cos x
(sin x = 0)
sin x

Kí hiệu là y = cot x.
Tập xác định của hàm số y = cot x là D = R \ {kπ, k ∈ Z}
- Nhận xét: Hàm số y = sin x là hàm số lẻ, hàm số y = cos x là hàm số chẵn, hàm số y = tan x, y = cot x
là các hàm số lẻ.
II. Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác
- T = 2π là số dương nhỏ nhất thỏa mãn : sin(x + T ) = sin x, ∀x ∈ R.
Hàm số y = sin x thỏa mãn đẳng thức trên được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.
- Tương tự hàm số y = cos x là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π, hàm số y = tan x, y = cot x là những
hàm số tuần hoàn với chu kì π.
III. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số lượng giác
1. Hàm số y = sin x
π
π
π
3π
- Đồng biến trên mỗi khoảng − + k2π; + k2π , nghịch biến trên mỗi khoảng
+ k2π;
+ k2π
2
2
2
2
- Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì T = 2π và nhận gốc O làm tâm đối xứng.
- Tập giá trị của hàm số y = sin x là [−1; 1] tức là −1 ≤ sin x ≤ 1 ∀x ∈ R

- Bảng biến thiên trên đoạn [−π; π]
- Hàm số y = sin x nhận các giá trị đặc biệt :
• sin x = 0 khi x = kπ, k ∈ Z
π
• sin x = 1 khi x = + k2π, k ∈ Z
2
π
• sin x = −1 khi x = − + k2π, k ∈ Z
2
- Vẽ đồ thị
2. Hàm số y = cos x
- Nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π; π + k2π), đồng biến trên mỗi khoảng (−π + k2π; k2π)
Trang: 1


Chương I : Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Đỗ Tiến Tuấn

Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì T = 2π và nhận trục Oy làm trục đối xứng.
Tập giá trị của hàm số y = cos x là [−1; 1] tức là −1 ≤ cos x ≤ 1 ∀x ∈ R
Bảng biến thiên trên đoạn [−π; π]
Hàm số y = cos x nhận các giá trị đặc biệt :
π
• cos x = 0 khi x = + kπ, k ∈ Z
2
• cos x = 1 khi x = k2π, k ∈ Z
• cos x = −1 khi x = π + k2π, k ∈ Z
- Vẽ đồ thị
- Nhận xét : Đồ thị hàm số y = cos x nhận được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = sin x theo vectơ

π
v = − ;0 .
2
3. Hàm số y = tan x
π
π
- Đồng biến trên mỗi khoảng − + kπ; + kπ .
2
2
- Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì T = π và nhận tâm O làm tâm đối xứng.
- Tập giá trị của hàm số y = tan x là R.
- Hàm số y = tan x nhận các giá trị đặc biệt :
• tan x = 0 khi x = kπ, k ∈ Z
π
• tan x = 1 khi x = + kπ, k ∈ Z
4
π
• tan x = −1 khi x = − + kπ, k ∈ Z
4
- Vẽ đồ thị
4. Hàm số y = cot x
- Nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ; π + kπ).
- Hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì T = π và nhận tâm O làm tâm đối xứng.
- Tập giá trị của hàm số y = cot x là R.
- Hàm số y = cot x nhận các giá trị đặc biệt :
π
• cot x = 0 khi x = + kπ, k ∈ Z
2
π
• cot x = 1 khi x = + kπ, k ∈ Z

4
π
• cot x = −1 khi x = − + kπ, k ∈ Z
4
- Vẽ đồ thị
B-Các dạng bài tập
Dạng 1 : Tìm tập xác định của các hàm số, xác định tính chẵn lẽ của hàm số
-

Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
π
2π
a) y = tan x −
b) y = cot2
− 3x
6
3
tan 5x
1 − sin 2x
d) y =
e) y =
sin 4x − cos 3x
cos 3x − 1

tan 2x
π
+ cot 3x +
sin x + 1
6
2

1 + cot x
f) y =
1 − sin 3x
c) y =

Ví dụ 2. Xác định tính chẵn lẻ của các hàm số
1 + cos x
a) y = x cos 3x b) y =
1 − cos x
x3 − sin x
c) y = x3 sin 2x d) y =
cos 2x
Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất
Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của các hàm số sau :

Trang: 2


Chương I : Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

a) y = sin x − 3
c) y = 4 − 3 sin2 2x
e) y = (4 sin x − 3 cos x)2 − 4(4 sin x − 3 cos x) + 1

Đỗ Tiến Tuấn

b) y = 4 sin x. cos x + 1
d) y = 6 cos2 x + cos2 2x

Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau nhận giá trị dương : y = (3 sin x −

4 cos x)2 − 6 sin x + 8 cos x + 2m − 1
Ví dụ 5. Tìm m để hàm số y =

2 sin2 x + 4 sin x cos x − (3 + 2m) cos2 x + 2 xác định với mọi x

Ví dụ 6. Cho góc nhọn x, y thỏa mãn sin2 x + sin2 y = sin(x + y). Chứng minh rằng x + y =

π
2

Ví dụ 7. Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của các hàm :
sin x + 2 cos x + 1
a) y = 3 sin x + 4 cos x + 5 b) y =
sin x + cos x + 2
Dạng 3: Vẽ đồ thị các hàm số lượng giác
Ví dụ 8. Hãy vẽ đồ thị hàm số y = 2 sin x
Ví dụ 9. Hãy vẽ đồ thị hàm số y = tan 2x
Ví dụ 10. Hãy vẽ đồ thị hàm số y = cos x −

π
3

x
1
Ví dụ 11. a) Chứng minh rằng cos (x + 4kπ) = cos với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị hàm số
2
2
x
y = cos .
2

x
x
b) Dựa vào đồ thị của hàm số y = cos , hãy vẽ đồ thị của hàm số y = cos .
2
2

§2: Phương trình lượng giác cơ bản
A-Kiến thức cơ bản
1. Phương trình sin x = m
• |m| > 1 : Phương trình sin x = m vô nghiệm
• |m| < 1 : Phương trình sin x = m có nghiệm được tính bởi công thức :
sin x = m ⇔

x = α + k2π
(k ∈ Z)
x = π − α + k2π

với α là một nghiệm của phương trình nghĩa là sin α = m
x = α + k2π
- Phương trình sin x = sin α có nghiệm
(k ∈ Z)
x = π − α + k2π
f (x) = g(x) + k2π
- Tổng quát : sin f (x) = sin g(x) ⇔
(k ∈ Z)
f (x) = π − g(x) + k2π
x = α0 + k3600
- Nếu ta muốn tìm x theo đơn vị độ thì sin x = m ⇔
(k ∈ Z) với sin α0 = m
x = 1800 − α0 + k3600

- Một số trường hợp đặc biệt :
π
+ sin x = 1 ⇔ x = + k2π
2
π
+ sin x = −1 ⇔ x = − + k2π
2
+ sin x = 0 ⇔ x = kπ
Trang: 3


Chương I : Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Đỗ Tiến Tuấn

π π
- Với m cho trước mà |m| ≤ 1 thì phương trình sin x = m có đúng một nghiệm nằm trong đoạn − ; .
2 2
Người ta kí hiệu nghiệm đó là arcsin m. Khi đó :
sin x = m ⇔

x = arcsin m + k2π
(k ∈ Z)
x = π − arcsin m + k2π

- Nếu α, β là hai số thực thì sin β = sin α khi và chỉ khi có số nguyên k để β = α + k2π hoặc
β = π − α + k2π, k ∈ Z
- Chú ý : trong công thức về nghiệm của phương trình lượng giác không dùng đồng thời hai đơn vị đo
độ và rađian.
2. Phương trình cos x = m

• |m| > 1 : Phương trình cos x = m vô nghiệm
• |m| < 1 : Phương trình cos x = m có nghiệm được tính bởi công thức :
cos x = m ⇔

x = α + k2π
(k ∈ Z)
x = −α + k2π

với α là một nghiệm của phương trình nghĩa là cos α = m
x = α + k2π
- Phương trình cos x = cos α có nghiệm
(k ∈ Z)
x = −α + k2π
f (x) = g(x) + k2π
- Tổng quát : cos f (x) = cos g(x) ⇔
(k ∈ Z)
f (x) = −g(x) + k2π
x = α0 + k3600
(k ∈ Z) với cos α0 = m
- Nếu ta muốn tìm x theo đơn vị độ thì cos x = m ⇔
x = −α0 + k3600
- Một số trường hợp đặc biệt :
+ cos x = 1 ⇔ x = k2π
+ cos x = −1 ⇔ x = π + k2π
π
+ cos x = 0 ⇔ x = k
2
- Với m cho trước mà |m| ≤ 1 thì phương trình cos x = m có đúng một nghiệm nằm trong đoạn [0; π].
Người ta kí hiệu nghiệm đó là arccos m. Khi đó :
cos x = m ⇔


x = arccos m + k2π
(k ∈ Z)
x = − arccos m + k2π

- Nếu α, β là hai số thực thì cos β = cos α khi và chỉ khi có số nguyên k để β = α + k2π hoặc
β = π − α + k2π, k ∈ Z
3. Phương trình tan x = m
π
- Điều kiện của phương trình x = + kπ, k ∈ Z
2
- Công thức nghiệm: Nếu α là một nghiệm của phương trình nghĩa là tan α = m thì :
tan x = m ⇔ x = α + kπ(k ∈ Z)
- Phương trình tan x = tan α có nghiệm x = α + kπ(k ∈ Z)
- Tổng quát : tan f (x) = tan g(x) ⇔ f (x) = g(x) + kπ(k ∈ Z)
π π
- Với m cho trước, phương trình tan x = m có đúng một nghiệm nằm trong khoảng − ;
. Người
2 2
ta kí hiệu nghiệm đó là arctan m. Khi đó :
tan x = m ⇔ x = arctan m + kπ, k ∈ Z
- Nếu α, β là hai số thực mà tan α, tan β xác định thì tan β = tan α khi và chỉ khi có số nguyên k để
β = α + kπ, k ∈ Z
Trang: 4


Chương I : Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Đỗ Tiến Tuấn


4. Phương trình cot x = m
- Điều kiện của phương trình x = kπ, k ∈ Z
- Công thức nghiệm: Nếu α là một nghiệm của phương trình nghĩa là cot α = m thì :
cot x = m ⇔ x = α + kπ(k ∈ Z)
- Phương trình cot x = cot α có nghiệm x = α + kπ(k ∈ Z)
- Tổng quát : cot f (x) = cot g(x) ⇔ f (x) = g(x) + kπ(k ∈ Z)
- Với m cho trước, phương trình cot x = m có đúng một nghiệm nằm trong khoảng (0; π). Người ta kí
hiệu nghiệm đó là arccot m. Khi đó :
cot x = m ⇔ x = arccot m + kπ, k ∈ Z
- Nếu α, β là hai số thực mà cot α, cot β xác định thì cot β = cot α khi và chỉ khi có số nguyên k để
β = α + kπ, k ∈ Z
B- Các dạng bài tập
Dạng 1 : Giải phương các trình lượng giác cơ bản
Ví dụ 12. Giải các phương trình sau :
√
√
π
3
2
a) sin x = −
b) sin x = sin
c) cos x =
2
6
2
π
1
e) tan x = −1
f) tan x = tan
g) cot x = −

5
3
Ví dụ 13. Giải các phương trình sau :
π
x+π
1
a) sin 4x = sin
b) sin
=
5
5
2
3π
0
f) tan(x − 15 ) = 5
e) tan 3x = tan
5

2π
3
2π
h) cot x = cot
7
d) cos x = cos

√
x
2
π
= cos 2

=
d) cos x +
2
18
5
√
x
2π
0
g) cot
+ 20 = − 3 h) cot 3x = tan
4
5
c) cos

Ví dụ 14. Giải các phương trình sau :
√
a) sin x − cos 2x = 0
b) cos2 x − sin 2x = 0 c) 2 sin(2x − 350 ) = 3
1
π
d) sin(2x + 1) + cos(3x − 1) = 0 e) sin2 3x =
f) sin 2x. cos x −
=0
4
3
Dạng 2 : Tìm nghiệm của phương trình trong một khoảng cho trước
Ví dụ 15. Tìm nghiệm của phương trình trong khoảng (−π, π) : sin 3x +

π

3

= cos 2x −

π
4

Dạng 3: Phương pháp loại nghiệm và kết hợp nghiệm khi giải phương trình lượng giác
Phương pháp :
Biểu diễn các nghiệm và điều kiện lên đường tròn lượng giác. Sau đó loại đi những điểm biểu diễn của
nghiệm mà trùng với điểm biểu diễn của điều kiện, các điểm biểu diễn nghiệm trùng nhau thì chỉ lấy
một.
Ví dụ 16. Giải phương trình sau : cot 3x = cot x
Ví dụ 17. Giải phương trình sau : sin 2x − 2 sin x = 0

Trang: 5


Chương I : Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Đỗ Tiến Tuấn

§3: Phương trình lượng giác thường gặp
1. Phương trình bậc nhất, bậc cao đối với một hàm số lượng giác
- Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng : at + b = 0 trong
đó a, b là các hằng số (a = 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.
Ví dụ 18. 2 sin x − 3 = 0
√
Ví dụ 19. 3 tan x − 1 = 0
- Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng : at2 + bt + c = 0,

trong đó a, b, c là các hằng số (a = 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.
Ví dụ 20. 3 cos2 x − 5 cos x + 2 = 0
√
Ví dụ 21. 3 tan2 x − 2 3 tan x + 3 = 0
- Phương trình bậc cao đối với một hàm số lượng giác là nếu ta đặt hàm số lượng giác trong
phương trình bằng ẩn mới là t thì phương trình trở thành một phương trình bậc cao với một ẩn t.
Ví dụ 22. sin3 x + sin x − 2 = 0
2. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất, bậc cao đối với một hàm số lượng giác
- Là loại phương trình mà sau khi biến đổi (sử dụng các công thức lượng giác hoặc biến đổi tương
đương) ta đưa phương trình ban đầu về dạng các phương trình bậc nhất bậc cao đối với một hàm số
lượng giác.
Ví dụ 23. 5 cos x − 2 sin 2x = 0
Ví dụ 24. 8 sin x. cos x cos 2x = −1
Ví dụ 25. 6 cos2 x + 5 sin x − 2 = 0
√
√
Ví dụ 26. 3 tan x − 6 cot x + 2 3 − 3 = 0
Ví dụ 27. cos 3x − cos 2x + cos x = 0
3. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x
- Với a2 + b2 = 0 ta có :
2
2
√
a
b
a
b
a sin x + b cos x = a2 + b2 √
sin x + √
. Do √

+ √
=1
a2 + b 2
a2 + b2 cos x
a2 + b 2
a2 + b 2
a
b
nên tồn tại góc lượng giác α sao cho √
= cos α, √
= sin α.
2 + b2
2 + b2
a
a
√
√
Khi đó a sin x + b cos x = a2 + b2 (sin x. cos α + cos x. sin α) = a2 + b2 sin(x + α)
√
a
b
= cos α, √
= sin α
- Vậy a sin x + b cos x = a2 + b2 sin(x + α) với α sao cho √
a2 + b 2
a2 + b 2
- Phương trình dạng a sin x + b cos x = c trong đó a, b, c là những số đã cho với a = 0 hoặc b = 0 được
gọi là phương trình bậc nhất đối với sin
√ x và cos x.
Cách giải: Biến đổi phương trình thành a2 + b2 sin(x + α) = c

√
Ví dụ 28. Giải phương trình 3 sin x − cos x = 1
√
Ví dụ 29. Giải phương trình 2 sin 3x + 5 cos 3x = −3
Trang: 6


Chương I : Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Đỗ Tiến Tuấn

- Điều kiện có nghiệm của phương trình a sin x + b cos x = c.
c
Ta có a sin x + b cos x = c ⇔ sin(x + α) = √
.
a2 + b 2
c2
Từ đó suy ra để phương trình có nghiệm thì 2
≤ 1 ⇔ c 2 ≤ a2 + b 2
a + b2
Áp dụng :
Ví dụ 30. Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của các hàm :
sin x + 2 cos x + 1
a) y = 3 sin x + 4 cos x + 5 b) y =
sin x + cos x + 2
4. Phương trình thuần nhất bậc hai,bậc cao đối với sin x và cos x
- Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x có dạng a sin2 x + b sin x. cos x + c cos2 x = 0
trong đó a, b, c là những số đã cho ,a = 0 hoặc b = 0 hoặc c = 0.
Cách giải: Xét cos x = 0, xem khi đó x thỏa mãn cos x = 0 có là nghiệm của phương trình không.
Xét cos x = 0, chia cả hai vế phương trình cho cos2 x ta đưa phương trình ban đầu thành phương

trình bậc hai đối với tan x.
Chú ý: Phương trình còn có thể có dạng : a sin2 x + b sin x. cos x + c cos2 x + d = 0.
Với dạng này ta thay d = d(cos2 x + sin2 x) vào phương trình ta được phương trình thuần nhất bậc hai
đã nêu.
Ví dụ 31. Giải phương trình : 4 sin2 x − 5 sin x. cos x − 6 cos2 x = 0
Ví dụ 32. Giải phương trình : 2 sin2 x − 5 sin x. cos x − cos2 x = −2
5. Phương trình lượng giác đưa về phương trình tích
- Bằng cách đặt nhân tử chung, ta đưa phương trình ban đầu về phương trình dạng tích. Ở đó mỗi
thừa số trong tích là những phương trình đã học.
√
Ví dụ 33. Giải phương trình : 2 sin 2x + 2 sin 4x = 0
Ví dụ 34. Giải phương trình : sin x −

1
1
= sin2 x −
sin x
sin2 x

6. Đặt ẩn phụ
x
2t
- Với t = cos = 0 ta có sin x =
,
2
1 + t2

1 − t2
cos x =
,

1 + t2

tan x =

2t
1 − t2

Ví dụ 35. (1 − tan x)(1 + sin 2x) = 1 + tan x
Ví dụ 36. 2 tan2 x + 3 tan x + 2 cot2 x + 3 cot x + 2 = 0
Ví dụ 37. 8 cos3 x +

π
3

= cos 3x

7. Phương trình đối xứng và phản đối xứng đối với sin x và cos x
- Là phương trình có dạng a(sin x + b cos x) + b sin x cosx + c = 0
t2 − 1

√
π
sin x cos x =
- Cách giải: Đặt t = sin x + cos x = 2 sin x +
⇒
2
t ∈ [−√2, √2]
4
- Phương trình phản đối xứng có dạng: a(sin x − cos x)
+ b sin x cos x + c = 0

1 − t2

√
π
sin x cos x =
- Cách giải: Đặt t = sin x − cos x = 2 sin x −
⇒
2
t ∈ [−√2, √2]
4
Trang: 7


Chương I : Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Đỗ Tiến Tuấn

Ví dụ 38. 4 sin x cos x − (sin x + cos x) + 1 = 0
Ví dụ 39. sin 2x + 4(sin x − cos x) = 4
Ví dụ 40. 1 + sin3 x + cos3 x = 3 sin x. cos x
Ví dụ 41. | sin x − cos x| + 4 sin 2x = 1
Ví dụ 42. sin 2x −

√

2 sin x +

π
+1=0
4


8. Sử dụng bất đẳng thức và tính chất của hàm số lượng giác
Ví dụ 43. cos7 x + sin4 x = 1

§4: Phương trình lượng giác chứa tham số
A-Kiến thức cơ bản
1. Phương trình sin x = m
• |m| > 1 : Phương trình sin x = m vô nghiệm
• |m| ≤ 1 : Phương trình sin x = m có nghiệm
2. Phương trình cos x = m
• |m| > 1 : Phương trình cos x = m vô nghiệm
• |m| ≤ 1 : Phương trình cos x = m có nghiệm
3. Phương trình tan x = m
π
- Với mọi m phương trình tan x = m đều có nghiệm thỏa mãn :x = + kπ, k ∈ Z
2
4. Phương trình cot x = m
- Với mọi m phương trình tan x = m đều có nghiệm thỏa mãn : x = kπ, k ∈ Z
5. Phương trình a sin x + b cos x = c
- Xét a, b đồng thời bằng 0. Nếu c = 0 phương trình vô số nghiệm, nếu c = 0 phương trình vô nghiệm.
- Xét a2 + b2 = 0, phương trình có nghiệm khi c2 ≤ a2 + b2 . Ngược lại c2 > a2 + b2 thì vô nghiệm.
6. Phương trình a sin2 x + b sin x. cos x + c cos2 x = 0
- Nếu a2 + b2 + c2 = 0(hay a, b, c đồng thời bằng 0) thì phương trình có nghiệm.
- Nếu a2 + b2 + c2 = 0,
+ Ta xét cos x = 0, nếu a = 0 thì x thỏa mãn cos x = 0 là nghiệm của pt, nếu a = 0 thì x thỏa mãn
cos x = 0 không là nghiệm của pt.
+ Xét cos = 0, chia cả 2 vế pt cho cos2 x ta được : a tan2 x + b tan x + c = 0.
c
• Nếu a = 0, b = 0 phương trình vô nghiệm, nếu a = 0, b = 0 phương trình có nghiệm x = arctan − +
b

kπ, k ∈ Z
• Nếu a = 0, ∆ = b2 − 4ac < 0 phương trình vô nghiệm, nếu a = 0, ∆ = b2 − 4ac ≥ 0 phương trình có
√
−b ± ∆
+ kπ, k ∈ Z
nghiệm x = arctan
2a
B-Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình : 2 sin x +

π
= 2m + 1
10

Giải
π
2m + 1
Phương trình đương đương với sin x +
=
.
10
2

Trang: 8


Chương I : Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Đỗ Tiến Tuấn


2m + 1
1
3
> 1 ⇔ m > hoặc m < − thì phương trình vô nghiệm.
2
2
2
2m + 1
3
1
- Với
> 1 ⇔ − ≤ m ≤ phương trình có nghiệm :
2
2
2

π
2m + 1
x
=
−
+
arcsin
+ k2π

10
2

(k ∈ Z)


2m + 1
9π
− arcsin
+ k2π
x=
10
2
- Với

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình m cos 2x = m − 1.
- Với m = 0 thay trực tiếp vào phương trình 0 = 0 − 1 vô lí. Phương trình không có nghiệm.
m−1
- Với m = 0, Phương trình ⇔ cos 2x =
. Ta xét hai trường hợp.
m
m−1
1
Trường hợp 1:
> 1 ⇔ m < , m = 0 phương trình vô nghiệm.
m
2
m−1
1
1
m−1
Trường hợp 2:
≤ 1 ⇔ m ≥ phương trình có nghiệm x = ± arccos
+ k2π, k ∈ Z
m
2

2
m
1
1
m−1
Kết luận : m ≥ phương trình có nghiệm x = ± arccos
+ k2π, k ∈ Z
2
2
m
1
m < phương trình vô nghiệm.
2
Ví dụ 3: Giải và biện luận phương trình (m − 1) tan 2x = m
π
π
+ k ,k ∈ Z
4
2
- Với m = 1 phương trình vô nghiệm.
1
m
- Với m = 1, phương trình có nghiệm x = arctan
+ kπ, k ∈ Z
2
m−1
Kết luận: Với m = 1 phương trình vô nghiệm.
1
m
π

π
Với m = phương trình có nghiệm x = arctan
+ kπ, k ∈ Z với x = + k , k ∈ Z
2
m−1
4
2
Phương trình bậc nhất đối với sin x, cos x
Ví dụ 4: Biện luận (m − 1) cos x + 2 sin x = m + 3
1
- Với (m + 3)2 ≤ (m − 1)2 + 4 ⇔ m ≤ − thì phương trình có nghiệm :
2

m+3
x = −α + arcsin
+ k2π

(m − 1)2 + 4

(k ∈ Z)

m+3
x = π − α − arcsin
+ k2π
(m − 1)2 + 4
1
- Với m > − , pt vô nghiệm.
2
Ví dụ 5: Tìm m để phương trình : (m + 1) cos x + (m − 1) sin x = 2m + 3 có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa mãn
π

: |x1 − x2 | =
3
m−1
2m + 3
m+1
Giải: Phương trình ⇔ cos(x+α) = cos β Ở đó cos α = √
, sin α = √
, cos β = √
2
2
2m + 2
2m + 2
2m2 + 2
⇔ x = β ± α + k2π, k ∈ Z
Suy ra x1 = β + α + k2π, x2 = β − α + l2π(k, l ∈ Z)
(Nếu x1 , x2 thuộc cùng họ nghiệm thì x1 − x2 = k1 2π)
π
π
π
1
|x1 − x2 | = ⇔ |2α + (k1 − k2 )2π| = ⇔ 2α = ± ± (k2 − k1 )2π ⇔ cos 2α =
3
3
3
2
- Điều kiện cos 2x = 0 ⇔ x =

Trang: 9



Chương I : Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Đỗ Tiến Tuấn

2

m+1
(m + 1)2
1
3
⇔ m2 − 4m = 1 = 0 ⇔ m =
Mà cos 2α = 2 cos2 α − 1 ⇒ = 2 √
−1 ⇔ =
2+2
2
2
4
2m
2m = 2
√
2 ± 3.
√
√
√
2m + 3
−6 + 22
−6 − 22
Để phương trình có nghiệm thì √
≤m≤
. Tuy nhiên m = 2± 3

≤1⇔
2
2
2m2 + 2
không thỏa mãn.
Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán.!
Ví dụ 6: Tìm m để phương trình :
a) cos 2x + cos2 x + 3 sin x + 2m = 0 có nghiệm
b) cos 2x − (2m + 1) cos x + m + 1 = 0 có nghiệm trên

π
;π
2

Giải:
a) Phương trình ⇔ 3 sin2 x − 3 sin x = 2m + 2
Đặt t = sin x, t ∈ [−1; 1]. Ta đưa về phương trình : 3t2 − 3t = 2m + 2
Xét hàm số f (t) = 3t2 − 3t, t ∈ [−1; 1]
Bảng biến thiên :
t

−1

1

6
f (t)
0
Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình trên có nghiệm ⇔ 0 ≤ 2m + 2 ≤ 6 ⇔ −1 ≤ m ≤ 2
b) Phương trình ⇔ 2 cos2 x − (2m + 1) cos x + m = 0

1
2 cos x − 1 = 0
cos x =
⇔ (2 cos x − 1)(cos x − m) = 0 ⇔
⇔
2
cos x − m = 0
cos x = m
π
; π ⇒ −1 ≤ cos x ≤ 0
Ta có x ∈
2
π
Từ đây suy ra phương trình có nghiệm x ∈
; π ⇔ −1 ≤ m ≤ 0
2
Ví dụ 7: Tìm m để phương trình : m cos 2x + sin x = cos x. cot x có đúng 4 nghiệm thuộc (0; 2π)
Giải: Phương trình ⇔

sin x = 0
cos 2x(m sin x − 1) = 0

π 3π 5π 7π
, , ,
⇒ m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
4 4 4 4
- Với m = 0, phương trình luôn có 4 nghiệm trên (0; 2π) nên yêu cầu bài toán ⇔ m sin x − 1 = 0 vô
nghiệm
hoặc có các nghiệm trên.
m=0







1


>
1
m = 0
Suy ra 
m

√

⇔
|m| < 1

 1

2

√



=
m

=
±
2
m
2


m = 0
là giá trị cần tìm.
Vậy
|m| < 1

√

m=± 2
- Với m = 0 ⇒ phương trình ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x =

Trang: 10


Chương I : Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Đỗ Tiến Tuấn

2
+ 1 + 3m = 0 có nhiều hơn một nghiệm thuộc
Ví dụ 8: Tìm m để phương trình : (1 − m) tan2 x −
cos x
π
0;

2
1−m
2
Giải: Phương trình ⇔
−
+ 4m = 0
2
cos x cos x
1
Đặt t =
⇒ t > 1∀x ∈ (1; +∞)
cos x
Ta có : (1 − m)t2 − 2t + 4m = 0 ( )
Yêu cầu bài toán ⇔ ( ) có hai nghiệm phân biệt t1 , t2 > 1


1


1
−
m
=
0
1


m = 1, m =







2
∆ = 1 + 4m2 − 4m > 0
 2
m = 1, m = 2
Vi-ét
−
2
>
0
⇔
⇐⇒
⇔ t1 + t2 − 2 > 0



1−m
t
1 + t2 > 2









t1 t2 − (t1 + t2 ) + 1 > 0
 4m − 2 + 1 > 0
(t1 − 1)(t2 − 1) > 0
1−m 1−m


1


1


m = 1, m =


m = 1, m =



2

m = 1
 2m
2
2
>0
⇔ 0⇔ 1
⇔




1−m



<
m
<1


1 < m < 1

3
 3m − 1 > 0
3 
1−m

m = 1
2
Vậy giá trị của m cần tìm là : 1

 3

Trang: 11