BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LÊ HỒNG QUÂN

TÍNH CHẤT PARAMETRIX CỦA LỚP TOÁN TỬ
GIẢ VI PHÂN LOẠI ELLIPTIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LÊ HỒNG QUÂN

TÍNH CHẤT PARAMETRIX CỦA LỚP TOÁN TỬ
GIẢ VI PHÂN LOẠI ELLIPTIC

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Bùi Kiên Cường

Hà Nội, 2017

Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Cấu trúc luận vă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Dự kiến đóng góp của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


5

Chương 1. Một số khái niệm và kết quả chuẩn bị . . . . . . . .

6

1.1. Hàm trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. Tích phân Lebesgue và không gian Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3. Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4. Không gian các hàm số giảm nhanh S(Rn ) . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.5. Không gian Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.6. Phép biến đổi Fourier ngược và công thức Parseval. . . . . . . .

18


1.7. Hàm suy rộng tăng chậm và biến đổi Fourier. . . . . . . . . . . . . .

20

Chương 2. Tính chất parametrix của lớp toán tử giả vi phân
elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.1. Biểu trưng và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2. Về hợp thành các toán tử giả vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28


2.3. Tích phân dao động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.4. Biểu trưng kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.5. Sự hợp thành của hai toán tử giả vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . .

40


2.6. Các toán tử giả vi phân elliptic và parametrix . . . . . . . . . . . .

42

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49


Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới TS. Bùi Kiên Cường đã tận tình hướng dẫn để em
có thể hoàn thành luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô
giáo trong khoa Toán, các thầy cô phòng Sau đại học và các thầy cô của
trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt
quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt
quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp.
Hà Nội, tháng 6 năm 2017
Tác giả

Lê Hồng Quân



Lời cam đoan

Dưới sự hướng dẫn của TS. Bùi Kiên Cường luận văn Thạc sĩ
chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài "Tính chất Parametrix của
một lớp toán tử giả vi phân elliptic" được hoàn thành bởi sự nhận
thức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác.
Trong khi nghiên cứu và viết luận văn, tôi đã kế thừa những thành
tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Tôi cũng xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn
đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 06 năm 2017
Tác giả

Lê Hồng Quân


Các kí hiệu

N

tập số tự nhiên

R

tập số thực

C

tập số phức


d(x, y)

khoảng cách giữa hai phần tử x và y

{xn }∞
n=1

dãy số thực hoặc phức

C[a,b]

tập tất cả các hàm số giá trị thực
liên tục trên đoạn [a, b]

B (a, r)

hình cầu mở tâm a bán kính r

B (a, b)

hình cầu đóng tâm a bán kính r

x

chuẩn của vectơ x

bd(S)

biên của S


conv(S)

bao lồi của S


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Một trong những ý tưởng hàng đầu trong lý thuyết toán tử giả vi
phân là đưa việc nghiên cứu các tính chất của một toán tử đạo hàm
riêng tuyến tính
cα (x)∂xα

P =
|α|≤m

có dạng một đa thức theo các đạo hàm ∂x = (∂x1 , ........, ∂xn ) với các hệ
số cα không đổi phụ thuộc x thành nghiên cứu biểu trưng của nó được
ký hiệu bởi
cα (x)(iζ)α ,

p(x, ζ) =
|α|≤m

Đó là một đa thức theo biến ζ ∈ Rn với các hệ số phụ thuộc vào biến
không gian x. Khi đó câu hỏi đặt ra là những tính chất của toán tử vi
phân P (x, Dx ) - chẳng hạn là tính khả nghịch - có liên hệ như thế nào
đối với các tính chất của biểu trưng p(x, ζ).
Công cụ chủ yếu trong lý thuyết này là biến đổi Fourier
e-ix.ζ f (x)dx, ζ ∈ Rn


F[f ] (ζ) := f (ζ) :=

(1)

Rn

được xác định đối với các hàm phù hợp f : Rn → C. Ở đây, (1) có thể
diễn tả bởi tích vô hướng của hàm f (x) và hàm x → eix.ζ

eix.ζ dx = (f, eix.ζ )L2 (Rn )

F[f ] (ζ) := f (ζ) :=
Rn


2

với ζ ∈ Rn cố định, ở đó (·, ·) là tích vô hướng trên L2 (Rn ) . Vì thế
f (ζ) có thể được hiểu như là sự đóng góp của dao động phức x → eix.ζ
để thành một hàm theo biến ζ = (ζ1 , ......., ζn ) ∈ Rn mô tả tần số của
dao động.
Biết biến đổi Fourier g(ζ) = f (ζ) của hàm f có thể được xây dựng
lại nhờ sự giúp đỡ của biến đổi Fourier ngược

F −1 [g] (x) :=

1
(2π)n


ix.ζ

e

g(ζ)dζ

Rn

thật vậy có
F −1 [F [f ]] ≡ F −1 [f ] = f.
Ở đây F −1 [g] có thể diễn tả bởi tổ hợp tuyến tính nhỏ của x → eix.ζ
cùng hệ số g(ζ) (và nhân tử điều chỉnh

1
n
(2π)

).

Sử dụng công thức đảo:
cα (x)∂xα

Pu =
|α|≤m

=

cα (x)
|α|≤m


=

1
(2π)n

Ở đây ta sử dụng ∂xj e

ix.ζ

1
(2π)n

1
(2π)n

e

ix.ζ

ix.ζ

e

uˆ(ζ)dζ

Rn

(iζ)α e

ix.ζ


uˆ(ζ)dζ

Rn

p(x, ζ)ˆ
u(ζ)dζ

Rn
ix.ζ

= iζj e

ix.ζ

và vì thế ∂xα e

= (iζ)α e

ix.ζ

. Từ đây

thúc đẩy cho định nghĩa biểu trưng p(x, ζ) của P .
Tiếp theo cho p(x, ζ) = p(ζ) là độc lập với x ∈ Rn thì:
Pu = F −1 [p(ζ)ˆ
u] = F −1 [p(ζ)F [u]]
Vì thế P áp dụng vào u như là phép nhân của uˆ(ζ) qua biểu trưng p(ζ)
. Đó là gợi ý cho phép nghịch đảo của P tương ứng cho phép nhân


1
p(ζ)


3

với hàm nằm trong phép hàm biến đổi Fourier. Vì thế ta định nghĩa:
Qf := F −1 p(ζ)−1 fˆ(ζ) =

1
(2π)n

eix.ζ
Rn

1 ˆ
f (ζ)dζ
p(ζ)

với giả thiết p(ζ) = 0 với mọi ζ ∈ Rn . Khi đó thì
F [Qf ] = p(ζ)−1 fˆ(ζ)
vì
FF −1 = I (Công thức nghịch đảo)
và vì thế:
P Qf = F −1 [p(ζ)F [Qf ]] = F −1 p(ζ)p(ζ)−1 fˆ = F −1 fˆ(ζ) = f
tức là Q là ngược của P. Dĩ nhiên, Q không là toán tử vi phân, nó thuộc
vào lớp toán tử giả vi phân, mà ta định nghĩa bởi
q(x, Dx )f :=

1

(2π)n

eix.ζ q(x, ζ)fˆ(ζ)dζ
Rn

trong đó q(x, ζ) là một hàm thích hợp và không nhất thiết là một đa
thức trong ζ.
Trong trường hợp hệ số của P phụ thuộc trong x, biến đổi ngược của
P là không dễ dàng. Nếu ta định nghĩa tương tự như trường hợp hệ số
không đổi:
Qf :=

1
(2π)n

eix.ζ
Rn

1 ˆ
f (ζ)dζ
p(x, ζ)

thì
P Qf =

1
(2π)n

P
Rn


eix.ζ

1
fˆ(ζ)dζ
p(x, ζ)

Bởi vì trong quy tắc nhân:
P

eix.ζ
p(x, ζ)

= (P eix.ζ )

1
1
+r(x, ζ) = p(x, ζ)
+r(x, ζ) = 1+r(x, ζ)
p(x, ζ)
p(x, ζ)


4

ở đó số dư r(x, ζ) bao gồm số hạng trong đó

1
p(x,ζ)


là khả vi theo biến x

ít nhất là một lần. Vì thế
P Qf = I + r(x, Dx )
trong đó r(x, Dx ) = 0 nếu p(x, ζ) là không độc lập với x. Nhưng trong
một nghĩa nào đó r(x, Dx ) có bậc thấp (bậc nhỏ hơn 0) và không đóng
vai trò quan trọng.
Đến nay các dự đoán đã được thực hiện chính thức và được chính
xác hóa và chứng minh một cách đầy đủ, tạo thành lý thuyết, gọi là lý
thuyết giả vi phân. Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi trình bày
các kết quả nghiên cứu sự hợp thành, tính chất parametrix của toán tử
giả vi phân elliptic.

2. Mục đích nghiên cứu
+ Hệ thống hóa được những kiến thức cơ bản về một số không gian
hàm liên quan đến lý thuyết toán tử giả vi phân.
+ Trình bày các tính chất cơ bản nhất của lý thuyết toán tử giả vi
phân, đặc biệt là trình bày về tính chất parametrix của lớp toán tử giải
vi phân elliptic.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Làm một báo cáo tổng quan thể hiện đầy đủ mục đích nghiên cứu,
nội dung và phương pháp nghiên cứu. Báo cáo có thể là một tài liệu
tham khảo tốt cho những người quan tâm về lý thuyết toán tử giả vi
phân elliptic.


5

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: Các không gian hàm, các phép biến đổi trên
không gian hàm: biến đổi Fourier,...
+ Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu trong và ngoài
nước liên quan đến các đối tượng nghiên cứu.

5. Phương pháp nghiên cứu
+ Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm, phương
pháp nghiên cứu lý thuyết để tiếp cận vấn đề.
+ Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các
tài liệu trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới.

6. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm hai chương , cụ thể gồm các chương như sau:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Tính chất parametrix của lớp toán tử giả vi phân elliptic.

7. Đóng góp của đề tài
Luận văn là một công trình nghiên cứu tổng quan về lý thuyết toán
tử giả vi phân trên Rn , đặc biệt là tính chất parametrix của lớp toán tử
giả vi phân elliptic.


Chương 1
Một số khái niệm và kết quả chuẩn
bị
1.1. Hàm trong Rn
Trong phần này chúng tôi tóm tắt các sự kiện đã được biết về phép
tính vi phân trong Rn .
Tiếp theo, N chúng ta sẽ kí hiệu là tập tất cả các số tự nhiên không
bao gồm số 0 và N0 := N ∪ {0}. Hơn nữa, R và C tương ứng kí hiệu cho

các số thực và số phức. Hằng số xuất hiện trong bất đẳng thức thường
được kí hiệu là C đôi khi được đánh dấu bởi một chỉ số. Ví dụ Cα kí
hiệu cho C phụ thuộc vào α. Trong dãy các bất đẳng thức, tất cả hằng
số đơn giản là kí hiệu cho C, mặc dù nó có thể thay đổi từ dòng này
sang dòng tiếp theo.
Chúng ta sẽ sử dụng các đa chỉ số, một đa chỉ số là một vec tơ
α = (α1 , ....., αn ) ∈ Nn0 . Với α ∈ Nn0 chúng ta định nghĩa độ dài của α là
|α| = α1 + ..... + αn và giai thừa của nó α! = α1 !.....αn !
Đa chỉ số được sử dụng để viết các đa thức cho x ∈ Nn0 và α ∈ Nn0
α
ta định nghĩa xα = xα1 1 ......xαn
n . Khi đó x là một là một đa thức có bậc

|α| và một đa thức tùy ý p : Rn → C có bậc m ∈ Nn0 có thể viết bởi:
cα xα với hệ số cα ∈ C. Ở đây,

p(x) =
|α|≤m

là ký hiệu của phép lấy
|α|≤m


7

tổng đối với tất cả đa chỉ số α ∈ Nn0 có độ dài |α| ≤ m. Hơn nữa, nếu
α, β ∈ Nn0 ta viết α ≤ β nếu và chỉ nếu αj ≤ βj với mọi j = 1, . . . .., n.
Hệ số nhị thức được định nghĩa bởi:
 
α

α!
 =
β!(α − β)!
β
nếu β ≤ α ngược lại
 
α
 =0
β
Dễ dàng kiểm tra qua:
   
 
α
α
α
  =  1  ......  n  .
β
β1
βn
Sử dụng ký hiệu và mối quan hệ cơ bản:
  
 

n
n
n+1
 +
=

k

k+1
k+1
với n, k ∈ N0 , ta có thể chứng minh bằng quy nạp:
 
α
  xβ y α−β
(x + y)α =
β
β≤α
với mọi x, y ∈ Rn , tổng quát hóa công thức nhị thức đã biết trong một
chiều.
Nhớ lại không gian C k (Rn ) bao gồm tất cả các hàm khả vi k lần
f : Rn → C hoặc f : Rn → R cùng các đạo hàm liên tục đến cấp k và
C ∞ (Rn ) =

k∈N C

k

(Rn ). Nếu α ∈ Nn0 và u ∈ C |α| (Rn ) thì ta định nghĩa:
∂xα u(x) =

∂ |α|
u(x).
∂xα11 .....∂xαnn


8

Nếu u phụ thuộc nhiều biến số, chẳng hạn x và y, ∂xα u và ∂yα u kí hiệu

cho đạo hàm tương ứng với x, y.
Sử dụng các quy tắc của vi phân, ta có thể chứng minh công thức
Leibniz sau:
 
α
  (∂ β u)(x)(∂ α−β v)(x)
∂xα (uv)(x) =
β
β≤α

(1.1)

với mọi α ∈ Nn0 và u, v ∈ C |α| (Rn ).
Tiếp theo, ta nhắc lại công thức Taylor.
Định lý 1.1. (Công thức Taylor)
Cho u ∈ C k (Rn ), k ∈ N thì với mọi x, y ∈ Rn ta có:
u(x + y) =
|α|
yα α
α! ∂x u(x)

α

+
|α|=k

k yα!

1

0 (1

− t)k−1 ∂xα u(x + ty)dt

Tiếp theo, ta ký hiệu Cbk (Rn ), k ∈ N0 là không gian tất cả f ∈ C k (Rn )
cùng đạo hàm bị chặn với tới cấp k.i.e...∂ α f bị chặn với mọi |α| ≤ k .
Hơn nữa Cb∞ (Rn ) :=

∞
k
n
k=0 Cb (R ).

Ta có Cbk (Rn ) là không gian Banach

trang bị cùng chuẩn: f Cbk = sup sup |∂ α f (x)|.
|α|≤k x∈Rn

1.2. Tích phân Lebesgue và không gian Lp
Nhắc lại: Một hàm f : Rn → R là khả tích Lebesgue’s hay khả tích
nếu f là đo được và
|f (x)| dx <∞

(1.2)

Rn

Chú ý rằng |f | ≥ 0 là đo được nếu f là đo được và với một hàm đo
không âm g : Rn → [0, ∞] luôn có tồn tại tích phân
là vô hạn.

Rn

g(x)dx, có thể


9

Ngoài ra, nếu (1.1) thỏa mãn, f + := max {f, 0} và f − := max {−f, 0}
là các hàm không âm với tích phân hữu hạn và:
f − (x)dx

f + (x)dx −

f (x)dx :=

Rn

Rn

Rn

là hoàn toàn xác định.
Tổng quát hơn, một hàm số f : Rn → C nếu khả tích Lebesgue và
nếu chí có Re f và Im f là khả tích Lebesgue thì:

Im f (x)dx.

Re f (x)dx + i

f (x)dx :=

Rn

Rn

Rn

Không gian của tất cả hàm khả tích Lebesgue f : Rn → C được ký
hiệu là L1 (Rn ). Nó là không gian vector tuyến tính, được định chuẩn
bởi:
f
L1 (Rn ) là đủ với chuẩn ·

1

1

|f (x)| dx

:=
Rn

nếu hàm số khác nhau trên một tập của độ

đo không là coi đồng nhất.
Trong hầu hết các hàm số đề cập dưới đây sẽ ít nhất là liên tục, một
số trường hợp khả vi vô hạn. Nếu f và g liên tục và f = g hầu hết
khắp nơi. Tức là, chúng khác nhau trên một tập của độ đo không, thì
(x) = g(x) với mọi x ∈ Rn .

Bởi vậy chúng ta không cần chú ý vào các tập có độ đo không, trong
đó các hàm có thể khác nhau nếu chúng ta chỉ tập trung vào các hàm
số liên tục.
Định lý 1.2. ( Định lý Lebesgue về hội tụ trội)
Nếu fk ∈ L1 (Rn ) là dãy các hàm thỏa mãn lim fk (x) = f (x) h.k.n.,
x→∞


10

|fk (x)| ≤ g(x) h.k.n, trong đó g ∈ L1 (Rn ) thì f ∈ L1 (Rn ) và
f (x)dx.

fk (x)dx =

lim

x→∞

Rn

Rn

Áp dụng định lý hội tụ trội Lebesgue, ta có hai định lý về tích phân
phụ thuộc hàm số dưới dây.
Định lý 1.3. Cho U ⊂ Rn là một tập mở và u ∈ U . Hơn thế nữa, cho
f : Rn × U → C có hàm số thỏa mãn:
1. Với mọi x ∈ Rn hàm số t → f (x, t) là liên tục theo t
2. Với mọi t ∈ U hàm số x → f (x, t) là khả tích trên Rn .
3. Có một F ∈ L1 (Rn ) sao cho |f (x, t)| ≤ F (x) hầu hết tất cả x ∈ Rn

và với mọi t ∈ U .
Khi đó hàm số
f (x, t)dx, t ∈ U

g(t) :=
Rn

là liên tục theo t.
Định lý 1.4. Cho I ⊂ R là một khoảng mở và f : Rn × I → C sao cho:
1. Với mỗi x ∈ Rn thì hàm số t → f (x, t) là khả vi trên I.
2. Với mỗi t ∈ I thì hàm số x → f (x, t) là tích phân trên Rn
3. Có F ∈ L1 (Rn ) sao cho |∂t f (x, t)| ≤ F (x).
Khi đó hàm số
g(t) :=

f (x, t)dx
Rn

là một hàm khả vi trên I và với mọi t ∈ I g (t) :=

Rn

∂t f (x, t)dx.


11

Định lý 1.5. ( Định lý Fubini) Cho f ∈ L1 (Rk × Rl ); k, l ∈ N. Khi
đó f (x, ·) ∈ L1 (Rl ) hầu hết x ∈ Rk , x →

Rk

f (x, y)dy dx

f (x, y)d(x, y) =
Rk

Rk ×Rl

f (x, y)dy ∈ L1 (Rk ) và
(1.3)

Rl

Ngược lại, nếu f (x, ·) ∈ L1 (Rl ) h.k.n x ∈ Rk và x →

Rk

f (x, y)dy ∈ L1 (Rk )

thì f ∈ L1 (Rk × Rl ) và (1.3) xẩy ra.
−s

Bổ đề 1.1. Cho s > n . Thì x

∈ L1 (Rn ) và (1 + |x|)−s ∈ L1 (Rn )

Chúng ta sẽ sử dụng định lý đổi biến trong các trường hợp sau:
Rn

(Φ(x) |detDΦ(x)| dx =

Rn

f (y)dy cho tất cả f ∈ L1 (Rn ) và C 1 - vi

đồng phôi Φ : Rn → Rn . Đặc biệt, chúng ta có:
(Ax + b) |det A| dx =
Rn

f (y)dy
Rn

với mọi f ∈ L1 (Rn ), b ∈ Rn và A ∈ Rn×n mà det A = 0.
Chúng ta sử dụng không gian Lp (Rn ), 1 ≤ p < ∞ bao gồm tất cả
hàm số đo được f : Rn → C , sao cho
f

p

|f (x)|p

:=

1
p

< ∞.

Rn

Toàn bộ không gian này là không gian Banach (được đồng nhất các hàm
liên tục hầu khắp nơi). Chúng ta chủ yếu nghiên cứu với không gian
Hilbert L2 (Rn ); chuẩn của nó được tính nhờ tích vô hướng
f

2

=

(f, f )

(f, g) ≡ (f, g)L2 (Rn ) =

f (x)g(x)dx
Rn

Tích L2 −vô hướng sẽ đóng một vai trò cơ bản.


12

Một không gian con quan trọng trong không gian Lp (Rn ) là C0∞ (Rn )
là bộ tất cả hàm f : Rn → C trơn vô hạn với giá compact
supp f := {x ∈ Rn : f (x) = 0} .
Bổ đề 1.2. Cho 1 ≤ p < ∞ Thì C0∞ (Rn ) là một trù mật trong Lp (Rn ).
Tức là cho mọi f ∈ Lp (Rn ) là một dãy fk ∈ C0∞ (R n ) khi lim f − fk
k→∞

0. Như vậy C0∞ (Rn )

.

p

p

=

= Lp (Rn )

1.3. Biến đổi Fourier
Cho f ∈ L1 (Rn ). Chúng ta có biến đổi Fourier của f bởi
e−ixξ f (x)dx

f (ξ) := F [f ] (ξ) :=

(1.4)

Rn

vói ξ ∈ Rn . Vì e−1xξ f (x) = |f (x)| với mọi ξ ∈ Rn , ta có e−1xξ f (x) ∈
L1 (Rn ) đối với x và (1.4) được xác định.
Bổ đề 1.3. Chúng ta có các tính chất cơ bản sau:
1. F : L1 (Rn ) → Cab (Rn ) là 1 ánh xạ tuyến tính sao cho
F [f ] Cab (Rn ) ≤ f

L1 (Rn ) .

2. Nếu f : Rn → C là 1 khả vi liên tục sao cho f ∈ L1 (Rn ) và

∂i f ∈ L1 (Rn ) thì
F ∂xj f = iξi F [f ] = iξj f .

(1.5)

3. Nếu f ∈ L1 (Rn ) sao cho xj f ∈ L1 (Rn ) thì f (ξ) là có đạo hàm riêng
liên tục đối với ξj và
∂ξj f (ξ) = F [−ixj f (x)] .

(1.6)


13

4. Cho f ∈ L1 (Rn )và (τy f )(x) := f (x + y), y ∈ Rn , kí hiệu các phép
tịnh tiến của f dọc véc tơ −y. Khi đó F [τy f ] (ξ) = eiyξ f (ξ) với
ξ ∈ Rn
5. Nếu f, g ∈ L1 (Rn )thì f (ξ)g(ξ) = F [f ∗ g] . Trong đó
f (x − y)g(y)dy

f ∗ g(x) :=
Rn

là tích chập của f và g.
6. Cho f ∈ L1 (Rn ) và cho (pε f )(x) := f (εx), ε > 0, kí hiệu các phép
giãn của f bởi ε. Khi đó
F [pε f ] (ξ) = ε−n f (ξ/ε) = ε−n pε−1 f (ξ).
Nếu f ∈ L1 (Rn ) là khả vi liên tục và ∂i f ∈ L1 (Rn ) với mọi j = 1, . . . , n
thì f (ξ) và ξj f (ξ) là hàm số bị chặn. Vì thế
(1 + |ξ|) f (ξ) ≤ C ⇔ f (ξ) ≤

C
1 + |ξ|

nghĩa là f (ξ) triệt tiêu như |ξ|−1 khi |ξ| → ∞.
Nhìn chung, nếu f ∈ C k (Rn ) thỏa mãn ∂xα f ∈ L1 (Rn ) với mọi |α| ≤ k
thì chúng ta có thể hiện sau:
f (ξ) ≤

C
(1 + |ξ|)k

tóm lại, tính khả vi của f suy ra sự triệt tiêu cấp đa thức f khi |ξ| → ∞
Mặt khác, nếu (1 + |x|)k f (x) ∈ L1 (Rn ) cho 1 số k ∈ N, chúng ta áp
dụng Bổ đề 1.3 liên tục để kết luận rằng f ∈ C k (Rn )
Hơn nữa phân rã nhanh hơn của f (x) khi |x| → ∞ xảy ra đối với
tính khả vi cao hơn của f .


14

1.4. Không gian các hàm số giảm nhanh S(Rn)
Cho f ∈ C0∞ (Rn ). Khi đó ∂xα f ∈ L1 (Rn ) với mọi α ∈ N0 . Do đó
f (ξ) phân huỷ nhanh hơn bất kỳ bậc (1 + |x|)−k , k ∈ N. Hơn nữa
(1 + |x|)k f (x) ∈ L1 (Rn ) với mọi k ∈ N. Vì thế f ∈ Cbk (Rn ) với mọi
k ∈ N nghĩa là f ∈ Cb∞ (Rn ) =
không có giá compact. Nếu f ∈

∞

Cbk (Rn ). Nhưng nói chung, f (ξ)

k=1
∞
C0 (Rn )

thì f thuộc về không gian hàm

số sau:
Định nghĩa 1.1. Không gian S(Rn ) tất cả các hàm số khả vi vô hạn
giảm nhanh là tập của tất cả hàm trơn vô hạn f : Rn → C sao cho với
mọi α ∈ Nn0 , N ∈ N đều tồn tại hằng số Cα,N sao cho
|∂xα f (x)| ≤ Cα,S (1 + |x|)−N

(1.7)

đều theo x ∈ Rn . Nếu f ∈ S (Rn ) và m ∈ N chúng ta định nghĩa nửa
chuẩn:
|f |m,S :=

sup

sup xα ∂xβ f (x) .

|α|+|β|≤m x∈n

Hiển nhiên, C0∞ (Rn ) ⊂ S (Rn ), bao hàm thức là chặt chẽ vì f (x) =
2

e−|x| ∈ S (Rn ). Hơn nữa S (Rn ) ⊂ Cb∞ (Rn )

Nhận xét 1.1. Ngay từ đầu, có thể sử dụng
|f | m,S :=

sup

sup xα ∂xβ f (x)

|α|+|β|≤m x∈n

làm họ nửa chuẩn S(Rn )vì liên quan chặt chẽ đến bất đẳng thức(1.7).
Nhưng định nghĩa của |.|m,S là mạnh hơn khi làm việctrên biến đổi
Fourier. Điều này được mình họa trong chứng minh bằng bổ đề tiếp theo.


15

Hơn nữa nó không quan trọng nếu chúng ta sử dụng nửa chuẩn |.|m,S
hoặc |.| m,S vì các nửa chuẩn là tương đương theo định nghĩa sau đây. Với
mọi m ∈ N0 tồn tại k(m) ∈ N0 sao cho: |f |
C m |f |

k(m),S

m,S

≤ Cm |f |k(m),S ; |f |m,S ≤

với mọi f ∈ S (Rn ) ( thực chất trong trường hợp đặc biệt

chúng ta có thể chọn đơn giản k(m) = m) Cuối cùng , chúng ta có thể

chú ý rằng thay thế (1 + |x|) trong (1.7) bởi : x :=
√
x ≤ (1 + |x|) ≤ 2 x .

2

1 + |x|

1
2

vì

Không gian S(Rn ) có các tính chất cơ bản như sau.
Bổ đề 1.4. F : S(Rn ) → S(Rn ) là ánh xạ tuyến tính . Chính xác hơn
f
m,S

≤ Cm |f |m,S với mọi m ∈ N0 trong đó Cm chỉ phụ thuộc vào n và

m
Chứng minh. Đầu tiên, nếu f ∈ S (Rn ), thì
f

1

(1 + |x|)−n−1 (1 + |x|)n+1 |f (x)| dx

=
n

≤c
n

(1 + |x|)−n−1 dx|f |n+1,S = c|f |n+1,S

Trong đó C phụ thuộc vào n, do đó:
f

= f
0,S

∞

≤ f

1

≤C f

n+1,S

(1.8)

Bởi Bổ đề 1.3 và ước tính lúc trước. Bởi vì Bổ đề 1.3 (ý 2):
ξ α Dξβ f (ξ) = F Dxα (xβ f (x))
Do đó : ξ α Dξβ f
Leibniz:
Dxα

∞

≤ C Dxα xβ f (x)

n+1,S

Bởi (1.8). Sử dụng công thức

 
α
  Dxγ xβ
xβ f (x) =
γ
γ≤α

Dxα−γ f (x) .


16

Vig Dxγ xβ là đa thức có mức độ bé hơn |β|,
Dxα (xβ f (x)

n+1,S

≤ Cα,β |f ||α|+|β|+n+1

Thu thập tất cả đánh giá và lấy cận trên đúng theo α, β ∈ NN với
|α| + |β| ≤ m, cuối cùng chúng ta thu được: f
m,S

≤ Cm |f |n+m+1,S với

mọi m ∈ N0 , trong đó Cm phụ thuộc vào n và m. Vì thế,F [f ] ∈ S (Rn )
với mọi f ∈ S (Rn ).
2

Ví dụ 1.1. Cho f (x) = e−|x|

/2

, x ∈ Rn . Khi đó f (ξ) = (2π)n/2 e−|ξ|

2

2

/2

2

Chứng minh. Vì f (x) = e−x1 /2 ...e−xn /2 và e−ixξ = e−ix1 ξ1 ...e−ixn ξn nên
2

2

e−ix1 ξ1 e−x1 /2 dx1 ...

f (ξ) =
R

trong đó g(x) = e−x

e−ix1 ξ1 e−xn /2 dxn = g(ξ1 )...g(ξn ),
R

2

/2

, x ∈ R do đó nó là đủ để xem xét các trường hợp

n = 1. Do ở Bổ đề 1.3 (ý 3) , g (ξ) là khả vi liên tục và g (ξ) = F [−ixg(x)]
Ngoài ra, −xg(x) =

d −x2 /2
dx e

= g (x). Do đó sử dụng Bổ đề 1.3 (ý 2)
√
2
g (ξ) = iF [g (x)] = −ξg (ξ) , ξ ∈ R, và g (0) = R e−x /2 dx = 2π. Vì
thế g được xác định duy nhất bởi bài toán có giá trị ban đầu, trong đó
√
2
có nghiệm duy nhất là g (ξ) = 2πe−ξ /2 .
Bổ đề 1.5. Cho f ∈ C0∞ (R) sao cho f ⊆ BR (0). Khi đó f (ξ) =
R iξx
−R e f

(x) dx, ξ ∈ C là hàm số giả tích trong C. Ngoài ra f (ξ) ≤

CeR|Im ξ| Đặc biệt, f (ξ) , ξ ∈ R là giải tích thực và supppf không compact
trừ khi f (ξ) ≡ 0

1.5. Không gian Fréchet
Định nghĩa 1.2. Không gian tuyến tính V gọi là không gian Fréchet
nếu nó là dãy nửa chuẩn ρm , m ∈ N thoả mãn các điều kiện sau


17

1) (ρm )m∈N là 1 dãy tăng ρ1 (f ) ≤ ρ2 (f ) ≤ ... ≤ ρm(f ) ≤ ..., ∀f ∈ V
2) (ρm )m∈N tách điểm, nghĩa là với mọi f = 0 tồn tại một m ∈ N sao
cho ρm (f ) = 0
3) V là đầy, nghĩa là một dãy Cauchy bất kỳ đều hội tụ tới một véc
tơ f ∈ V .
Bổ đề 1.6. Không gian S (Rn ) cùng với |·|m,S ; m ∈ N là không gian
Fréchet.
Bổ đề 1.7. Mỗi không gian Fréchet V, (ρm )m∈N là một không gian metric đầy (V,d) với :
∞

2−m

d (f, g) :=
m=1

ρm (f − g)
(3.6)
1 + ρm (f − g)

Định nghĩa 1.3. Cho V và W là các không gian Fréchet với họ nửa
chuẩn (ρm )m∈N và (τm )m∈N . Khi đó ánh xạ tuyến tính T : V → W được
gọi là bị chặn nếu với mỗi m ∈ N tồn tại ak = k(m) ∈ N và Cm sao cho
τm (T f ) ≤ Cmρ(m) (f ) , f ∈ V
Định lý 1.6. Cho V và W là không gian Fréchet và T : V → W là 1
ánh xạ tuyến tính. Khi đó T bị chặn nếu và chỉ nếu T là liên tục theo
nghĩa là lim fj = f suy ra lim T fj = T f
j→∞

j→∞

Đặc biệt, nếu W là không gian Banach , T : V → W là liên tục nếu
và chỉ nếu T f
.

w

≤ Cρm (f ) , ∀f ∈ V , với một hằng số C > 0 và m ∈ N


18

1.6. Phép biến đổi Fourier ngược và công thức Parseval
Biến đổi Fourier F : S (Rn ) → S (Rn ) là khả nghịch và sự nghịch đảo
của nó được cho bởi :
F −1 g(x) :=

1
(2π)n

eixζ g(ζ)dζ
Rn

được định nghĩa cho tất cả g ∈ L1 (Rn ). Lưu ý rằng:
F −1 g(x) = (2π)n Fg(−x).
2

Nếu f (x) = e−(x)

/2

(1.9)

là hàm số thảo luận trong Ví dụ 1.1 thì

F −1 f (ζ) = (2π)−n/2 F e−|ζ|

2

/2

2

(−x) = e−|x|

/2

= f (x).

Vì thế F −1 f = f cho hàm f đặc biệt này.
Bổ đề 1.8. (Công thức nghịch đảo) Cho f ∈ S(Rn ) . Khi đó f (x) =
F −1f[ ](x), x ∈ Rn . Đặc biệt F : S(Rn ) → S(Rn ) là một đẳng cấu tuyến
tính.
Hệ quả 1.1. (Công thức Parseval/ định lý Plancharel) Với mỗi
f, g ∈ S(Rn )
f (x)g(x)dx =
Rn

1
(2π)n

f (ξ)g(ξ)dξ
Rn

Đặc biệt
f

2
2

=

1
f
(2π)n

2
2

và F mở rộng đến một đẳng cấu F : L2 (Rn ) → L2 (Rn ).

(1.10)