BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN HẢI DƯƠNG

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM
CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH
PARABOLIC SUY BIẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN HẢI DƯƠNG

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM
CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH
PARABOLIC SUY BIẾN
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. ĐÀO TRỌNG QUYẾT

HÀ NỘI, 2017

i

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Đào Trọng Quyết, người đã định
hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng
Sau đại học, cùng các thầy cô giáo dạy lớp thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích,
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn
bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình
học tập và hoàn thành luận văn.

Hà Nội, tháng 7 năm 2017
Tác giả

Nguyễn Hải Dương


ii

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Đào Trọng Quyết, luận văn thạc
sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài "Dáng điệu tiệm cận nghiệm của
một lớp phương trình Parabolic suy biến" được hoàn thành bởi nhận
thức của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.


Hà Nội, tháng 7 năm 2017
Tác giả

Nguyễn Hải Dương


iii

Mục lục

MỞ ĐẦU

1

1 LÝ THUYẾT VỀ TẬP HÚT TOÀN CỤC

4

1.1

Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Sự tồn tại của tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9


1.3

Cấu trúc của tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4

Xác định dáng điệu tiệm cận bởi tập hút toàn cục . . . . . . . . . 10

1.5

Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Dáng điệu tiệm cận nghiệm của một lớp phương trình Parabolic
suy biến

14

2.1

Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2

Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3

Sự tồn tại của tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

KẾT LUẬN


29

Tài liệu tham khảo

30


1

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, các phương trình phi tuyến với toán tử đạo hàm
riêng suy biến đã được nghiên cứu rộng rãi bởi nhiều nhà toán học trong nước
cũng như quốc tế. Có thể kể đến loại đầu tiên là lớp phương trình với hạng tử
phi tuyến thỏa mãn điều kiện liên tục Lipschitz địa phương và điều kiện tăng
trưởng Sobolev:
|f (u) − f (v)| ≤ C(1 + |u|ρ + |v|ρ )|u − v|,

0≤ρ<

4
,
Q−2

và một số điều kiện khuếch tán phù hợp; xem [3], [18]-[21], [12]. Loại thứ hai là
lớp phương trình với hạng tử phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng đa thức
C1 |u|ρ − C0 ≤ f (u)u ≤ C2 |u|ρ + C0

với mỗi ρ ≥ 2,


f (u) ≥ −l,

xem [4], [7], [10], [12].
Lưu ý rằng đối với cả hai lớp phương trình kể trên, hạng tử phi tuyến có hạn
chế về tốc độ tăng trưởng, chẳng hạn, với hạng tử phi tuyến kiểu hàm mũ. Một
số kết quả được công bố gần đây đã giải quyết được hạn chế này của hạng tử
phi tuyến, vì vậy trong luận văn này, dựa trên kết quả của bài báo [8], chúng
tôi trình bày kết quả về sự tồn tại, tính duy nhất và dáng điệu tiệm cận nghiệm
của một lớp phương trình Parabolic suy biến với hạng tử phi tuyến tăng trưởng
kiểu mũ có dạng sau:


2




ut −




λ

u + f (u) = g(x), x ∈ Ω,

t > 0,

x ∈ ∂Ω, t > 0,


u(x, t) = 0,





 u(x, 0) = u0 (x),

(1)

x ∈ Ω,

trong đó Ω là miền bị chặn trong RN (N ≥ 2) có biên trơn ∂Ω, u0 , g ∈ L2 (Ω),
hạng tử phi tuyến f (u), và

là toán tử suy biến xác định bởi:

λ

n

∂xi (λ2i (x)∂xi ).

λ :=
i=1

Ngoài lời cảm ơn, mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn
được chia thành hai chương:


Chương 1: Lý thuyết về tập hút toàn cục.

Trong chương này, chúng tôi trình bày lí thuyết cơ bản về tập hút toàn cục,
đây là công cụ được sử dụng nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của bài
toán được xét trong chương 2.

Chương 2: Dáng điệu tiệm cận nghiệm của một lớp phương trình
Parabolic suy biến.

Trong chương này chúng tôi nghiên cứu một lớp phương trình Parabolic suy
biến với hạng tử phi tuyến tăng trưởng kiểu mũ. Sự tồn tại tập hút toàn cục
của lớp phương trình này được chứng minh sau khi đã chứng minh được sự tồn
tại, duy nhất nghiệm yếu của bài toán.

2. Mục đích nghiên cứu
Chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu và tập hút toàn cục cho bài toán (1).


3

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
1. Tìm hiểu về phương trình parabolic suy biến nửa tuyến tính;
2. Chứng minh sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu bài toán (1);
3. Chứng minh sự tồn tại và duy nhất của tập hút toàn cục cho bài toán (1).

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiêu cứu: phương trình parabolic suy biến nửa tuyến tính.
• Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn tại, duy nhất nghiệm yếu và tập hút toàn cục.

5. Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng một số công cụ của giải tích và lý thuyết định tính phương
trình vi phân bao gồm:
• Lý thuyết hệ động lực học;
• Lý thuyết về tập hút toàn cục.

6. Dự kiến đóng góp mới
Chứng minh chi tiết các kết quả trong công trình [8].


4

Chương 1

LÝ THUYẾT VỀ TẬP HÚT
TOÀN CỤC
Trong chương này, theo tài liệu tham khảo [1], chúng tôi trình bày lý thuyết
cơ bản về tập hút toàn cục, đây là công cụ được sử dụng để nghiên cứu dáng
điệu tiệm cận nghiệm của một lớp phương trình parabolic suy biến xét trong
chương 2.

1.1
1.1.1

Các khái niệm cơ bản
Khái niệm hệ động lực

Định nghĩa 1.1.1. Hệ động lực là một cặp (X; S(t)) gồm một không gian metric
đủ X và một họ các ánh xạ S(t), t ≥ 0, từ X vào X thỏa mãn:
a) S(0) = I;
b) S(t + s) = S(t).S(s), ∀t, s ≥ 0;

c) với mọi t ≥ 0, S(t) ∈ C 0 (X, X);
d) với mọi u ∈ X, t → S(t)u ∈ C 0 ((0; +∞), X).
Họ các ánh xạ S(t), t ≥ 0, gọi là một nửa nhóm liên tục trên X . Khi đó X gọi
là không gian pha (hay không gian trạng thái). Nếu khái niệm số chiều có thể


5

định nghĩa cho không gian pha X (chẳng hạn, khi X là không gian tuyến tính)
thì giá trị dim X gọi là số chiều của hệ động lực.
1.1.2

Quỹ đạo và tập bất biến

Định nghĩa 1.1.2. Giả sử (X; S(t)) là một hệ động lực.
a) Quỹ đạo dương của x ∈ X là tập hợp

γ + (x) = {S(t)x | t ≥ 0}.

Nếu E ⊂ X , quỹ đạo dương của E là tập hợp

γ + (E) =

γ + (z).

S(t)E =
t≥0

z∈E


Tổng quát hơn, với τ ≥ 0, ta định nghĩa quỹ đạo sau thời điểm τ của E bởi

γτ+ (E) = γ + (S(τ )E).

b) Quỹ đạo của S(t) trên khoảng I ⊂ R là một ánh xạ u : I → X thỏa mãn:

u(t + s) = S(t)u(s),

với mọi s ∈ I, t ≥ 0 sao cho t + s ∈ I .
Đặc biệt, nếu I = (−∞, 0] và u(0) = z ∈ X , thì u gọi là quỹ đạo âm xuyên
qua z và kí hiệu là γ − (z). Nếu I = R và u(0) = z , thì u gọi là quỹ đạo đầy
đủ xuyên qua z và kí hiệu là γ(z).
c) Quỹ đạo đầy đủ γ = {u(t) : t ∈ R} gọi là quỹ đạo tuần hoàn nếu có số τ > 0
sao cho:
u(t + τ ) = u(t),

∀t ∈ R.

Định nghĩa 1.1.3. Giả sử (X, S(t)) là một hệ động lực. Tập con Y của không
gian pha X được gọi là


6

a) bất biến dương nếu S(t)Y ⊂ Y với mọi t ≥ 0;
b) bất biến âm nếu S(t)Y ⊃ Y với mọi t ≥ 0;
c) bất biến nếu nó vừa bất biến dương vừa bất biến âm, tức là S(t)Y = Y với
mọi t ≥ 0.
1.1.3


Tập ω-giới hạn và tập α−giới hạn

Định nghĩa 1.1.4. Giả sử A ⊂ X .
a) Tập ω -giới hạn của A được định nghĩa bởi

ω(A) =

S(t)A
s≥0

t≥s

,
X

ở đó S(t)A = {ν = S(t)u : u ∈ A} và [Y ]X là bao đóng của Y trong X .
b) Tập α−giới hạn của A được định nghĩa bởi

S(t)−1 A

α(A) =
s≥0

,
X

t≥s

ở đó S −1 (t)A = {ν : S(t)ν ∈ A}.
Bổ đề sau đây đưa ra đặc trưng của các tập ω -giới hạn và tập α−giới hạn

theo giới hạn của dãy.
Bổ đề 1.1.5. Giả sử A là một tập con khác ∅ của X . Khi đó
n→+∞

n→+∞

ω(A) = y ∈ X|∃tn ≥ 0, yn ∈ A sao cho tn −−−−→ +∞ và S(tn )yn −−−−→ y ,
α(A) = y ∈ X|∃tn ≥ 0, xn ∈ A sao cho tn → +∞, xn → y,

với xn = uzn (−tn ) và uzn là một quỹ đạo âm xuyên qua z .
1.1.4

Tập hút toàn cục

Tập hút toàn cục là đối tượng trung tâm của lý thuyết các hệ động lực tiêu
hao vô hạn chiều.


7

Định nghĩa 1.1.6. Một tập con khác rỗng A của X gọi là một tập hút toàn
cục đối với hệ động lực (X, S(t)) nếu:
a) A là một tập đóng và bị chặn;
b) A là bất biến, tức là S(t)A = A với mọi t > 0;
c) A hút mọi tập con bị chặn B của X , tức là

lim dist(S(t)B, A) = 0,

t→+∞


ở đó dist(E, F ) = sup inf d(a, b) là nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập
a∈E b∈F

con E và F của X .
Các tính chất sau đây của tập hút toàn cục là hệ quả trực tiếp của định nghĩa.
Mệnh đề 1.1.7. Giả sử hệ động lực (X, S(t)) có tập hút toàn cục A. Khi đó:
a) Nếu B là một tập con bị chặn bất biến của X thì B ⊂ A (tính cực đại);
b) Nếu B là một tập con đóng hút các tập bị chặn của X thì B ⊃ A (tính cực
tiểu);
c) A là duy nhất.
1.1.5

Tính tiêu hao

Định nghĩa 1.1.8. Hệ động lực (X, S(t)) gọi là tiêu hao điểm (tương ứng, tiêu
hao bị chặn) nếu tồn tại một tập bị chặn B0 ⊂ X hút các điểm (tương ứng, hút
các tập bị chặn) của X .
Nếu hệ động lực (X, S(t)) là tiêu hao bị chặn thì tồn tại một tập B0 ⊂ X sao
cho với mọi tập bị chặn B ⊂ X , tồn tại T = T (B) ≥ 0 sao cho S(t)B ⊂ B0 , ∀t ≥ T .
Tập B0 như vậy gọi là một tập hấp thụ đối với hệ động lực (X, S(t)). Một hệ
động lực tiêu hao bị chặn thường được gọi tắt là hệ động lực tiêu hao.
Dễ thấy một hệ động lực tiêu hao bị chặn thì tiêu hao điểm. Điều ngược lại
nói chung không đúng, nhưng nó đúng đối với các hệ động lực hữu hạn chiều.


8

1.1.6

Tính compact tiệm cận


Định nghĩa 1.1.9. Giả sử X là một không gian Banach. Hệ động lực (X, S(t))
gọi là compact tiệm cận nếu với mọi t > 0, S(t) có thể biểu diễn dưới dạng

S(t) = S (1) (t) + S (2) (t),

(1.1)

ở đó S (1) (t) và S (2) (t) thỏa mãn các tính chất sau đây:
a) với bất kì tập bị chặn B ⊂ X ,
rB (t) = sup

S (1) (t)y

X→

0, t → +∞;

y∈B

b) với bất kì tập bị chặn B trong X , tồn tại t0 sao cho tập hợp
γ (2) (t0 )B =

S (2) (t)B

(1.2)

t≥t0

là compact trong X , ở đây [γ] là bao đóng của γ .

Một hệ động lực là compact nếu nó là compact tiệm cận và ta có thể lấy
S (1) (t) ≡ 0 trong biểu diễn (1.1). Rõ ràng bất kì một hệ động lực tiêu hao hữu

hạn chiều cũng là compact.
Dễ dàng thấy rằng điều kiện (1.2) được thỏa mãn nếu tồn tại một tập
compact K trong X sao cho với bất kì tập bị chặn B ⊂ X , tồn tại t0 (B) sao cho
S (2) (t)B ⊂ K, ∀t ≥ t0 (B).

Nói riêng, một hệ tiêu hao là compact nếu nó có một tập hấp thụ compact.
Bổ để sau đây rất hữu ích khi chứng minh tính compact tiệm cận.
Bổ đề 1.1.10. Hệ động lực (X, S(t)) là compact tiệm cận nếu tồn tại một tập
compact K sao cho
lim dist(S(t)B, K) = 0,

t→+∞


9

với mọi tập B bị chặn trong X.

1.2

Sự tồn tại của tập hút toàn cục

Để đơn giản trong mục này ta giả sử không gian pha X là một không gian
Banach, mặc dù các kết quả chính vẫn đúng với một lớp rộng hơn các không
gian pha. Định lý sau đây là kết quả chính của mục này.
Định lý 1.2.1. Giả sử hệ động lực (X, S(t)) là tiêu hao và compact tiệm cận.
Nếu B là một tập hấp thụ bị chặn của hệ (X, S(t)) thì A = ω(B) là một tập

compact khác rỗng và là tập hút toàn cục đối với hệ động lực (X, S(t)). Hơn nữa,
tập hút toàn cục A là liên thông trong X .
Bổ đề 1.2.2. Giả sử hệ động lực (X, S(t)) là compact tiệm cận. Khi đó với mọi
tập bị chặn B của X , tập ω -giới hạn ω(B) là một tập compact bất biến khác rỗng.
Do tập hút toàn cục A có dạng A = ω(B), ở đó B là một tập hấp thụ bị chặn
bất kì của hệ đông lực, ta có thể thấy rằng tập hợp S(t)B không chỉ dần đến
tập hút A, mà còn phân bố đều trên A khi t → ∞. Cụ thể ta có định lý sau đây.
Định lý 1.2.3. Giả sử hệ động lực tiêu hao (X, S(t)) có một tập hút toàn cục
A và B là một tập hấp thụ bị chặn của (X, S(t)). Khi đó

lim dist(A, S(t)B) = 0.

t→+∞

Hệ quả 1.2.4. Giả sử (X, S(t)) là một hệ động lực tiêu hao compact tiệm cận.
Khi đó tập hút toàn cục A của nó có tính chất

lim Hdist(S(t)B, A) = 0,

t→+∞

với mọi tập hấp thụ bị chặn B của hệ (X, S(t)). Ở đây Hdist(., .) là khoảng cách
Hausdorff giữa hai tập, tức là
Hdist(A, B) = max{dist(A, B), dist(B, A)}.


10

1.3


Cấu trúc của tập hút toàn cục

Định lý 1.3.1. Giả sử hệ động lực (X, S(t)) có tập hút toàn cục A. Khi đó mọi
quỹ đạo đầy đủ bị chặn (nói riêng là các điểm dừng và các quỹ đạo tuần hoàn,
nếu có) đều nằm trên A. Hơn nữa, nếu S(t) là đơn ánh trên A thì A là hợp của
tất cả các quỹ đạo đẩy đủ bị chặn.
Để khảo sát kĩ hơn cấu trúc của tập hút toàn cục, ta cần các khái niệm đa
tạp ổn định và đa tạp không ổn định.
Định nghĩa 1.3.2.

a) Giả sử z là một điểm dừng của hệ động lực (X, S(t)).

Ta định nghĩa:
• Đa tạp không ổn định của z là tập hợp
W u (z) = {u0 ∈ X : S(t)u0 xác định với mọi t, S(−t)u0 → z khi t → +∞}.
• Đa tạp ổn định của z là tập hợp
W s (z) = {u0 ∈ X : S(t)u0 → z khi t → +∞}.

b) Giả sử Y là một tập bất biến của hệ động lực (X, S(t)). Ta định nghĩa
• Đa tạp không ổn định của Y là tập
W u (Y ) ={u0 ∈ X : S(t)u0 xác định với mọi t,
dist(S(−t)u0 , Y ) → 0 khi t → +∞}.

Định lý 1.3.3. Nếu Y là một tập compact bất biến của hệ động lực (X, S(t)) thì
W u (Y ) ⊂ A.

1.4

Xác định dáng điệu tiệm cận bởi tập hút toàn cục


Trong mục này ta sẽ chỉ ra rằng quỹ đạo trên tập hút toàn cục sẽ quyết định
các dáng điệu tiệm cận có thể có của các quỹ đạo riêng lẻ, nghĩa là sau một thời
điểm đủ lớn, bất kì một quỹ đạo nào của phương trình gốc trông sẽ giống như
một quỹ đạo nào đó trên tập hút toàn cục trong một khoảng thời gian đủ dài.
Định lý 1.4.1. Giả sử hệ động lực (X, S(t)) có tập hút toàn cục A. Cho trước


11

một quỹ đạo u(t) = S(t)u0 , một sai số > 0 và một khoảng thời gian T > 0. Khi
đó tồn tại một thời điểm τ = τ ( , T ) và một phần tử ν0 ∈ A sao cho
u(τ + t) − S(t)ν0 ≤

với mọi 0 ≤ t ≤ T.

Hệ quả 1.4.2. Cho trước một quỹ đạo u(t), tồn tại một dãy các sai số { n }∞
n=1
với
n

→ 0,

một dãy tăng các thời điểm {tn }∞
n=1 với
tn+1 − tn → ∞ khi n → ∞,

và một dãy các phần tử {νn }∞
n=1 với νn ∈ A sao cho
u(t) − S(t − tn )νn ≤


n

với mọi tn ≤ t ≤ tn+1 .

Hơn nữa, bước nhảy νn+1 − S(tn+1 − tn )νn dần tới 0 khi n → ∞.

1.5

Các ví dụ

Sau đây chúng tôi trình bày một số ví dụ cụ thể minh họa cho các lí thuyết được
trình bày ở trên.
Ví dụ 1.5.1. Xét phương trình vi phân thường có trễ
x(t)
˙ + αx(t) = f (x(t − 1)),

t > 0,

(1.3)

ở đó f là một hàm liên tục trên R, α > 0. Hiển nhiên một điều kiện ban đầu
đối với (1.3) nên cho dưới dạng:
x(t)|t∈[−1,0] = ϕ(t).

(1.4)

Giả sử ϕ ∈ C[−1, 0], không gian các hàm số thực liên tục trên đoạn [−1, 0]. Trong
trường hợp này nghiệm của bài toán (1.3)-(1.4) có thể xây dựng trên từng đoạn.
Chẳng hạn, nếu 0 ≤ t ≤ 1, nghiệm x(t) cho bởi
t


x(t) = e

−αt

e−α(t−τ ) f (ϕ(τ − 1))dτ,

ϕ(0) +
0

và nếu t ∈ [1, 2] thì nghiệm biểu diễn bằng công thức tương tự theo giá trị của
hàm x(t) với t ∈ [0, 1], và cứ tiếp tục như vậy trên các đoạn khác. Rõ ràng rằng


12

nghiệm được xác định một cách duy nhất bởi hàm ban đầu ϕ(t). Nếu bây giờ ta
định nghĩa một toán tử S(t) trong không gian X = C[−1, 0] bởi công thức:
(S(t)ϕ)(τ ) = x(t + τ ),

τ ∈ [−1, 0],

ở đó x(t) là nghiệm của bài toán (1.3)-(1.4), thì ta nhận được một hệ động lực
vô hạn chiều (C[−1, 0], S(t)).
Ví dụ 1.5.2. Xét hệ Lorenz

dx


= −σx + σy



 dt






dy
= rx − y − xz
dt
dz
= xy − bz,
dt

ở đó σ, r và b là các hằng số dương.
Vì hệ động lực sinh bởi phương trình này là hữu hạn chiều và mọi tập đóng
bị chặn trong không gian hữu hạn chiều là compact nên ta chỉ cần chứng minh
hệ động lực này có một tập hấp thụ bị chặn.
Xét hàm
V (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 + (z − r − σ)2 .

Đạo hàm dọc theo quỹ đạo, ta có
dV
= −2σx2 − 2y 2 − 2bx2 + 2b(r + σ)z
dt
= −2σx2 − 2y 2 − b(z − r − σ)2 − bz 2 + b(r + σ)
≤ −αV + b(r + σ)2 ,


ở đó α = min{2σ, 2, b}. Sử dụng bất đẳng thức Gronwall ta có
V (t) ≤

b(r + σ)2
,
α

Ví dụ 1.5.3. Ví dụ về hệ động lực và tìm tập hút toàn cục của hệ đó Xét hệ
phương trình:


 x (t) = −x,

 x(0) = x0 là giá trị ban đầu cho trước.


13

Hệ này có nghiệm x(t) = x0 e−t .
Hệ động lực: (S(t); R) xác định bởi:
S(t)x0 = x(t) = x0 e−t .

Khi t → +∞ thì x(t) = x0 e−t → 0.
Vậy tập hút A = {0}.


14

Chương 2


Dáng điệu tiệm cận nghiệm của một
lớp phương trình Parabolic suy biến
Trong chương này, theo tài liệu tham khảo [8], chúng tôi xét một lớp phương
trình Parabolic suy biến với hạng tử phi tuyến tăng trưởng kiểu mũ. Sự tồn tại
tập hút toàn cục được chứng minh sau khi đã trình bày chứng minh về sự tồn
tại và tính duy nhất nghiệm yếu của bài toán.

2.1

Đặt bài toán

Xét phương trình Parabolic suy biến nửa tuyến tính có dạng:



ut −




λ

u + f (u) = g(x), x ∈ Ω,

t > 0,

x ∈ ∂Ω, t > 0,

u(x, t) = 0,






 u(x, 0) = u0 (x),

(1)

x ∈ Ω,

trong đó Ω là miền bị chặn trong RN (N ≥ 2) có biên trơn ∂Ω, u0 , g ∈ L2 (Ω),
hạng tử phi tuyến f (u), và

λ

là toán tử suy biến xác định bởi:
n

∂xi (λ2i (x)∂xi ),

λ :=
i=1


15

ở đó λ = (λ1 , . . . , λN ) : RN → RN . Toán tử này được đưa ra bởi bởi Franchi và
Lanconelli trong [15] và gần đây được xét tới trong [16] với giả thiết các toán tử
là thuần nhất bậc hai đối với một nhóm giãn trong RN . Ở đây, hàm λi : RN → R
là liên tục, dương ngặt và thuộc C 1 , không nằm trong siêu phẳng tọa độ, tức là,

λi > 0, i = 1, . . . , N trong RN \ Π ở đó Π = {(x1 , . . . , xN ) ∈ RN ; ΠN
i=1 xi = 0}. Như

trong [18], ta giả thiết λi thỏa mãn các tính chất sau:
1. λ1 (x) ≡ 1, λi (x) = λi (x1 , . . . , xi−1 ), i = 2, . . . , N ;
2. Với mọi x ∈ RN , λi (x) = λi (x∗ ), i = 1, . . . , N , ở đó:
x∗ = (|x1 |, . . . , |xN |) nếu x = (x1 , . . . , xN );

3. Tồn tại hằng số ρ ≥ 0 sao cho
0 ≤ xk ∂xk λi (x) ≤ ρλi (x),

∀k ∈ {1, . . . , i − 1}, i = 2, . . . , N,

N
với mọi x ∈ RN
+ := {(x1 , . . . , xN ) ∈ R : xi ≥ 0,

∀i = 1, . . . , N };

4. Tồn tại nhóm giãn {δt }t>0
δt : RN → RN , δt (x) = δt (x1 , . . . , xN ) = (t 1 x1 , . . . , t N xN ),

ở đó 1 ≤

1

≤

2


≤

3

≤ ...

N

sao cho λi là δt -thuần nhất bậc

λi (δt (x)) = tεi −1 λi (x),

i

− 1, tức là,

∀x ∈ RN , t > 0, i = 1, . . . , N.

Ta dễ dàng thấy rằng ∆λ là δt − thuần nhất bậc 2 , tức là,
∆λ (u(δt (x))) = t2 (∆λ u)(δt (x)),

∀u ∈ C ∞ (RN ).

Ta kí hiệu Q là số chiều trong RN đối với nhóm {δt }t≥0 , tức là,
Q :=

1

+ ... +


N.

Số chiều thuần nhất Q có một vai trò quan trọng trong cả hình học và giải tích
hàm liên quan đến toán tử ∆λ .
Toán tử ∆λ −Laplace chứa nhiều lớp toán tử eliptic suy biến, ví dụ như toán
tử dạng Grushin


16

Gα = ∆x + |x|2α ∆y ,

α > 0,

ở đó (x, y) là điểm trong RN1 × RN2 , và toán tử suy biến mạnh được cho bởi
dạng:
Pα,β = ∆x + ∆y + |x|2α |y|2α ∆z ,

ở đó (x, y, z) ∈ RN1 × RN2 × RN3 (Ni ≥ 1, i = 1, 2, 3), α, β là hằng số thực dương,
xem [11].

Hạng tử phi tuyến f và hàm g thỏa mãn các điều kiện sau đây:
(F) f : R → R là hàm khả vi liên tục thỏa mãn
f (u) ≥ −l,

(2)

f (u)u ≥ −µu2 − C1 ,

(3)


ở đó C1 , l là hằng số dương, 0 < µ < γ1 cùng với γ1 > 0 là giá trị riêng của
toán tử −∆λ trong Ω cùng với điều kiện bị chặn Dirichlet thuần nhất, và
u

f (s)ds là nguyên hàm của f;

F (u) =
0

(G) g ∈ L2 (Ω).
u

Trong [3] ta có 0 ≤

(f (s)s + ls)ds, và từ đó ta tích phân từng phần, ta có
0

được
F (u) ≤ f (u)u + l

u2
2

∀u ∈ R.

(4)

o 1,2


Để xét bài toán (1), ta sử dụng không gian W λ (Ω) là sự mở rộng của C01 (Ω) với
chuẩn
u

|∇λ u|2 dx

:=

o 1,2

W λ (Ω)

1/2

.

Ω

Đây là không gian Hilbert với tích vô hướng sau
((u, v)) o 1,2
W λ (Ω)

∇λ u.∇λ vdx.

=
Ω

Ta cũng sẽ sử dụng không gian Hilbert D(∆x) để định nghĩa miền xác định của
toán tử ∆λ cùng với điều kiện Dirichlet thuần nhất



17
o 1,2

D(∆λ ) = u ∈ W λ (Ω)|∆λ u ∈ L2 (Ω) ,

cùng với chuẩn
u

D(∆λ )

|∆λ u|2 dx

:=

1/2

.

Ω
o 1,2

Sử dụng kết quả trong [18] thì phép nhúng W λ (Ω) → L2 (Ω) là compact. Sử
dụng phép nhúng và định nghĩa của D(∆λ ), ta sẽ đưa ra bổ đề (2.3.4) dưới đây
o 1,2

chứng minh phép nhúng D(∆λ ) → W λ (Ω) cũng compact.
Cho γ1 > 0 là giá trị riêng của toán tử −∆λ trong Ω cùng với điều kiện
Dirichlet thuần nhất. Đặt
u

γ1 = inf

2
o 1,2

W λ (Ω)
u 2L2 (Ω)

o 1,2

: u ∈ W λ (Ω) \ {0} .

Ta có,
u

2
o 1,2

W λ (Ω)

≥ γ1 u

2
L2 (Ω) ,

o 1,2

∀u ∈ W λ (Ω).

(5)


Sau đây chúng tôi trình bày kết quả về sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm yếu
của bài toán trên.


18

2.2

Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu

Định nghĩa 2.2.1. Một hàm u được gọi là nghiệm yếu của bài toán (1) trên
(0; T ) nếu
u∈

o 1,2
2
2
C([0; T ]; L (Ω)) ∩ L (0, T ; W λ (Ω)),

o 1,2

2
∗
1
f (u) ∈ L1 (QT ), u(0) = u0 , du
dt ∈ L (0, T ; (W λ (Ω)) ) + L (QT ), và
o 1,2

du

− ∆λ u + f (u) = g
dt

trong L2 (0, T ; (W λ (Ω))∗ ) + L1 (QT )

hoặc điều kiện tương đương,
du
− ∆λ u + f (u), w = g, w
dt
o 1,2

với mọi hàm thử w ∈ W := W λ (Ω) ∩ L∞ (Ω) và hầu khắp t ∈ (0; T ). Ở đây, ., .
kí hiệu là tích vô hướng của W và đối ngẫu của nó

W ∗,

o 1,2

o 1,2

và (W λ (Ω))∗ là không

gian đối ngẫu của W λ (Ω).
Định lý 2.2.2. Với các giả thiết (F)-(G). Khi đó với mỗi u0 ∈ L2 (Ω) và T > 0
cho trước, bài toán (1) tồn tại duy nhất nghiệm yếu trên khoảng (0; T ). Hơn nữa,
ánh xạ u0 → u(t) là liên tục trên L2 (Ω), nói cách khác nghiệm phụ thuộc liên tục
vào dữ kiện ban đầu.
Chứng minh. i)Sự tồn tại
Ta sẽ chứng minh sự tồn tại của nghiệm yếu bằng phương pháp compact hóa.
Điểm khác so với các chứng minh trong [4], [12] là hạng tử phi tuyến f (u) chỉ

thuộc L1 (QT ) và không bị hạn chế độ tăng trưởng trên của nó. Vì vậy sẽ có một
số khó khăn cần thiết khi thiết lập các đánh giá và sự hội tụ của giới hạn cho
hạng tử phi tuyến.
Cho {un } là nghiệm Galerkin thích hợp. Ta sẽ thiết lập một số đánh giá cho
un . Ta có
1d
un
2 dt

2
L2 (Ω)

+ un

2
o 1,2

+

f (un )un dx =

gun dx.

W λ (Ω)
Ω

Ω

(6)



19

Do đó,
1d
un (t) 2L2 (Ω) + un (t) 2o 1,2 − µ un (t)
2 dt
W λ (Ω)
ε
1
g 2L2 (Ω) + un (t) 2L2 (Ω) .
≤
2ε
2

2
L2 (Ω)

− C1 |Ω|

Sử dụng bất đẳng thức (5), ta có
d
un (t) 2L2 (Ω) + ε un (t)
dt
1
≤ g 2L2 (Ω) + 2C1 |Ω|,
ε

2
o 1,2


+ (2γ1 − 2µ − εγ1 − ε) un (t)

W λ (Ω)

2
L2 (Ω)

ở đó ε > 0 đủ nhỏ để cho 2γ1 − 2µ − εγ1 − ε > 0. Tích phân từ 0 đến t, 0 ≤ t ≤ T ,
ta có
t

un (t)

2
L2 (Ω)

+ε

t

un (s)

2

ds + (2γ1 − 2µ − εγ1 − ε)

o 1,2

W λ (Ω)

0

1
≤ g
ε

2
L2 (Ω) T

un (s)

2
L2 (Ω) ds

0

+ 2C1 |Ω|T + u(0)

2
L2 (Ω) .

Ta có
{un } là bị chặn trong L∞ (0, T ; L2 (Ω)),
{un } là bị chặn trong L2 (0, T ; Wλ1,2 (Ω)).
o 1,2

Sử dụng tính bị chặn của {un } trong L2 (0, T ; W λ (Ω)), ta dễ dàng kiểm tra được
o 1,2

{∆λ un } là bị chặn trong L2 (0, T ; (W λ (Ω))∗ ). Từ kết quả trên, ta có thể khẳng


định được rằng
o 1,2

un

u trong L2 (0, T ; W λ (Ω)),

un

∗

∆λ un

u trong L∞ (0, T ; L2 (Ω)),

∆λ u trong

o 1,2
2
L (0, T ; (W λ (Ω))∗ ).

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy trong (6) ta có
1d
un
2 dt

2
L2 (Ω)


+ un

2
o 1,2

f (un )un dx ≤

+

W λ (Ω)
Ω

1
g
2γ1

2
L2 (Ω)

+

γ1
un
2

2
L2 (Ω) .


20


Chú ý rằng un

2
o 1,2

≥ γ1 un

2
L2 (Ω) ,

ds + 2

f (un )un dxdt ≤ u0

W λ (Ω)

tích phân hai vế từ 0 đến T, ta có

T

un

2
o 1,2

W λ (Ω)
0

2

L2 (Ω)

+

1
g
γ1

2
L2 (Ω) T.

QT

Do đó,
f (un )un dxdt ≤ C.

(7)

QT

Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng {f (un )} bị chặn trong L1 (QT ). Đặt
h(s) = f (s) − f (0) + γs, ở đó γ > l và chú ý rằng h(s)s = (f (s) − f (0))s + γs2 =
f (c)s2 + γs2 ≥ (γ − l)s2 ≥ 0,

|h(un )|dxdt ≤
QT

∀s ∈ R, ta có

|h(un )un |dxdt +

QT ∩{|un |>1}

≤

|h(un )|dxdt

QT ∩{|un |≤1}

h(un )un dxdt + sup |h(s)||QT |
|s|≤1
QT

f (un )un dxdt + |f (0)| un

≤

L1 (QT )

+ γ un

2
L2 (QT )

+ sup |h(s)||QT |
|s|≤1

QT

≤ C.


Ở đây ta sử dụng (7) và tính bị chặn của {un } trong L∞ (0, T ; L2 (Ω)). Do đó,
{h(un )} là bị chặn trong L1 (QT ). Nhớ rằng
dun
= ∆λ un − f (un ) + g,
dt
o 1,2
dun
2
} là bị chặn trong L 0, T ; (W λ (Ω))∗ ) + L1 (QT ), và do đó trong
ta suy ra {
dt
o 1,2
1
L (0, T ; (W λ (Ω))∗

+

L1 (Ω)).

o 1,2

Bởi vì W λ (Ω) ⊂⊂

L2 (Ω)

o 1,2

⊂ (W λ (Ω))∗ + L1 (Ω),

sử dụng bổ đề compact Aubin-Lions-Simon (xem[13]), ta thấy rằng {un } là

compact trong L2 (0, T ; L2 (Ω)). Khi đó, ta sẽ khẳng định được rằng, un → u hầu
khắp trong QT . Sử dụng Bổ đề 6.1 trong [16], ta thấy rằng h(u) ∈ L1 (QT ) và với