TÌM HIỂU CÁC NGUYÊN LÝ CƠ HỌC
B. NỘI DUNG:
CHƯƠNG 1: NGUYÊN LÝ DI CHUYỂN KHẢ DĨ.
1.1
1.1.1
a.

Các khái niệm cơ bản về cơ hệ:
Liên kết:
Định nghĩa: Tất cả những điều kiện cản trở những chuyển động của vật khảo
sát trong không gian được gọi là liên kết.
Ví dụ: cơ cấu tay quay thanh truyền. Tay quay OA quay quanh trục O. Thnah
truyền AB chuyển động song phẳng. Con trượt B chuyển động thẳng theo 0x.

b.

Phương trình liên kết:
Liên kết thường biểu diễn bằng các hệ thức giữa các vị trí và vận tốc các chất
điểm của cơ hệ. các hệ thức này gọi là phương trình liên kết.
Fi = (rk , vk, t) 0
J = 1….m; k = 1…n
J: là số thứ tự của phương trình liên kết.
K: là số thứ tự của các chất điểm trong hệ.
Ví dụ liên kết trong hệ:
y
.m1

o

m2

X

Z

phương trình liên kết là: l2 = ( x22 – x12) + ( y22 – y21) + ( z22 – z21).
c.

Phân loại liên kết:


-

-

-

-

Liên kết dừng và liên kết không dừng.
+ Nếu phương trình không chứa thừi gian t thì liên kết đó gọi là liên kết
dừng.
+ Nếu phương trình chứa thời gian t gọi là phương trình liên kết không dừng
Liên kết giữ hay không giữ:
+ Nếu phương trình mô tả đẳng thức thì ta gọi đó là phương trình liên kết
giữ.
+ Nếu phương trình mô tả bất đẳng thức thì ta gọi đó là phương trình liên kết
không giữ.
Liên kết hình học hay liên kết động học:
+ Nếu phương trình không chứa vận tốc v gọi là liên kết hình học .
+ Nếu phương trình có chứa vận tốc v gọi là liên kết động học.

Ví dụ về các loại liên kết:
Trên cơ hệ chịu liên kết hình học và liên kết dừng.
Cơ cấu tay quay OAB biểu diễn ở hình dưới: có phương trình liên kết là:
XA2 + YA2 = r2
( XB + XA)2 + YA2 = l2
YB = 0
Các phương trình liên kết trên thể hiện liên kết dừng, giữ và hô nô nôm.

A

B
-

Bánh xe Obán kính R lăn không trượt trên đường thẳng ở hình dưới có phương
trình liên kết:
Y0 R
VP = 0
Liên kết này là liên kết dừng, không giữ và không hô nô nôm.

M
R

P


-

Vật A treo vào sợi dây vắt qua ròng rọc cố định B. Đầu kia của dây được cuốn
lại liên tục theo thời gian. Giữ cho vật giao động trong mặt phẳng 0xy thẳng
đứng ( ở hình dưới) , có phương trình liên kết là:

XA2 + YA2 l2
ZA = 0.
Liên kết này không dừng không giữ và hô nô nôm.

B

A
C

1.1.2. Tọa độ suy rộng:
- Tọa độ suy rộng là các thông số định vị của cơ hệ. Ký hiệu là q j, giá trị này
có thể đo bằng đơn vị độ dài, đơn vị góc quay, điện lượng…
- Ta kí hiệu tọa độ suy rộng:
= q1, q2, …, qn
- Nếu các số tọa độ suy rộng đủ để xác định vị trí của hệ ta gọi là tọa độ suy
rộng đủ rộng. Nếu số tọa độ dư thừa nghĩa là vượt quá số tọa độ cần thiết để
xác định vị trí của hệ gọi là tọa độ dư.
- Ta gọi dq gia số n phân tố của tọa độ suy rộng, ta có thể biểu diễn các tọa
độ. Đề các, xk , yk , zk qua tọa độ suy rộng:
Xk = xk ( q1,q2,q3…,qm)
yk = yk ( q1,q2,q3…,qm)
zk = zk ( q1,q2,q3…,qm)
ví dụ về tọa độ suy rộng :


Cơ cấu tay quay thanh truyền biểu diễn trên hình một ở trên. Nếu ta chọn
q1 = và q2 = thì giữ q1 và q2 ta có phương trình:
rsinq1 – lsinq2 = 0
Nếu chọn q1 = xA và q2 = yA thì giữ q1 và q2 có phưng trình là:
q12 + q22 = r2

q1 = R cosq3.
1.1.3

Di chuyển khả dĩ của cơ hệ:
Di chuyển khả dĩ là di chuyển vô cùng nhỏ của cơ hệ tại vị trí đang xét sang
vị trí lân cận mà cơ hệ có thể thực hiện phù hợp với liên kết đặt lên hệ. Để
phân biệt với di chuyển thực dr ta lí hiệu di chuyển khả dĩ là r.
Nếu gọi , ’, là vecto định vị của chất điểm thứ k trong hệ tại vị trí đang xét và
tại vị trí lân cận thì ta có:
Fi ( rk’,vk’, t) – fi( rk,vk, t) = 0.
Với định nghĩa trên ta thấy di chuyển thực khác với di chuyển khả dĩ ở chổ:

-

Di chuyển thực phụ thuộc vào tác dụng lực và điều kiện đầu và liên kết đặt
lên hệ còn liên kết khả dĩ chỉ phụ thuộc vào liên kết đặt lên hệ mà thôi.
Chính vì thế di chuyển thực chỉ còn một di chuyển khả dĩ có thể có thể có một
hoặc nhiều.


-

Đối với hệ nhiều liên kết dừng, di chuyển thực sẽ trùng với một trong số các
di chuyển khả dĩ.
Trong cơ cấu tay quay thanh truyền trên hình di chuyển khả dĩ của hệ là một
tập hợp các véc tơ thỏa mãn điều liện liên kết sau: hình chiếu AB của , chất
điểm đặt lên mặt cong có di chuyển khả dĩ là tập hợp các vecto tiếp tuyến với
mặt cong tại vị trí đang xét.
1.1.4. Bậc tự do của cơ hệ:
Di chuyển khả dĩ của cơ hệ là có nhiều tuy nhiên mức độ nhiều có hạn chế.

Trong số các di chuyển khả dĩ của cơ hệ có thể có một hay nhiều số m di
chuyển cơ sở. các di chuyển còn lại được biểu diễn qua các di chuyển cơ sở
nói trên. Các di chuyển cơ sở độc lập tuyến tính với nhau và đúng bằng thông
số định vị của cơ hệ tức là bằng số tọa độ suy rộng đủ. Ta gọi các số di chuyển
khả dĩ cơ sở của hệ là số bậc tự dô m của hệ.

-

1.
2.

Trong cơ cấu tay quay thanh truyền số bậc tự do là m = 1, và có thể chọn một
trong hayμ làm di chuyển cơ sở.
Số bậc tự do của cơ hệ càng cao thì mức độ tùy ý của các di chuyển khả dĩ
càng lớn có thể xác định số bậc tự do của cơ hệ bằng biểu thức:
S = 3N – n
Trong đó: N là sỗ chất điểm trong cơ hệ
N là số phương trình liên kết
Ví dụ:
Một cơ hệ gòm 2 chất điểm m1, và m2 ràng buộc bởi một thanh có chiều dài
không đổi nên số bậc tự do tự do của cơ hệ là 5.
Đối với vật rắn nó được xác định bởi 3 chất điểm khong nă,f trên cùng một
đường thẳng trong không gian và chúng ở vị trí xác định
Số bậc tự do của vật rắn là 6.
1.1.5. Liên kết lí tưởng:
Ta gặp những liên kết mà tổng cộng các lực liển kết sinh ra trên các độ dời
phân bố của hệ triệt tiêu. Hay nói cánh khác liên kết này không ảnh hưởng
đến biến thiên động năng của hệ trong quá trình chuyển động, ta gọi là liên
kêt lí tưởng.



Ta có định nghĩa sau: các liên kết của hệ được gọi là lí tưởng nếu tổng công
nguyên tố của các lực liên kết trên mọi di chuyển khả dĩ của hệ đều bằng
không:
= =0
Các liên kết thường gặp sau đây là liên kết lí tưởng:
-

Liên kết tựa không ma sát.
Liên kết lăn không trượt trên mặt cong nhám
Liên kết dây mền không giản
Liên kết thanh…
Trong thực tế, nếu cần bỏ qua lực ma sát và tính đàn hồi của vật thể tạo thành
cơ hệ thì đa số các cơ hệ thõa mãn biểu thức trên như vậy chúng chịu các lực
liên kết lí tưởng. Khi phải kể đến các lực ma sát và tính đàn hồi của vật thể ta
vẫn dùng được khái niệm liên kết lí tưởng trên đây nhưng phải xem các lực do
ma sát hoặc do tính đàn hồi của vật thể tác dụng lên cơ hệ như là các hoạt lực.
Ví dụ: vật rắn tự do là một cư hệ chịu liên lí tưởng
Quả vậy nếu ta xét một cặp chất điểm M,N bất kì trong vật thì lực tác dụng
tương hổ giữa chúng là F, F’ với F = -F’
Gọi r và r’ là các vecto di chuyển khả dĩ của chất điểm M,N, ta có:
Theo động học vật rắn ta có:
- ’= .
Vectơ MN có độ lớn không đổi nên vuông goc với vecto F.
Cuối cùng ta có - ’ = .= 0
Điều này cứng tỏ vật rắn tự do là cơ hệ chịu liên kết lí tưởng.

-

Hai vật rắn có bề mặt trơn nhẵn tiếp xúc với nhau tạo thành một cơ hệ chịu

liên kết lí tưởng.
Cũng dễ nhận thấy hai vật rắn có bề mặt trơn nhẵn tiếp xúc với nhau tạo thành
một cư hệ lú tưởng.


-

-

-

Dây mền không dãn vắt qua ròng rọc khi bỏ qua sự trượt của dây và bỏ qua
ma sát ổ trục cũng là cơ hệ chịu liên kết lí tưởng.
1.1.6 Lực suy rộng:
- Xét cơ hệ N chất điểm, có m tọa độ suy rộng đủ q 1, q2…., qm. Biểu thức tổng
công của các hoạt lực trng một di chuyển khả dĩ nào đó của cơ hệ có thể viết:
=�
Trong đó vecto lực là tổng các hoạt lực tác dụng lên chất điểm
là di chuyển khả dĩ của chất điểm Mk tại vị trí đang xét.
Biểu diễn các vecto định vị của và di chuyển khả dĩ qua các
tọa độ suy rộng ta có:
= ( q1, q2…, qm).
Thay kết quả vào các biểu trên ta có:
Qj = : được gọi là lực suy rộng ứng với tọa đọ suy rộng qj
Ta có định nghĩa: Lực suy rộng Q j ứng với tọa đọ suy rộng q j là đại lượng vô
hướng biểu thị bằng hằng số của biến phân tương ứng trong biểu thức tổng
công của các hoạt lực tác dụng lên cơ hệ trong di chuyển khả dĩ bất kì của cơ
hệ đó.
Bản chất vật lí của lực suy rộng phụ thuộc vào bản chất vật lí của tọa độ suy
rộng tương ứng. Chẳng hạn ta găp :

+ Tọa độ suy rộng qj là đọ dài thì Qj là lực, là góc quay thì Qj là momen lực .
Trong thực hành để xác định lực suy rộng ta có phương pháp sau đây
+ Cho hệ một di chuyển khả dĩ, các biến phân khác của tọa độ suy rộng cho
bằng không, sau đó, tính công của lực trong di chuyển đó của hệ.
Theo định nghĩa ta có:
Vì các biến phân đều triệt tiêu nên biểu thức trên được viết:
Từ đây ta suy ra biểu thức xác đingj lực suy rộng:
Qj =
1.1.7 Nguyên lí di chuyển khả dĩ :
Khi cơ hệ chịu liên kết dừng và lí tưởng thì điều kiện cần và đủ để nó cân
bằng tại vị trí đang xét là tổng công của các hoạt lực trong mọi di chuyể khả
dĩ của hệ tại vị trí đang xét bằng không.
=0
Trước hết ta chứng minh điều kiện cần. Xét cơ hệ chịu liên kết dừng và liên
kết lí tưởng. Giả sử ở vị trí đang xét hệ cân bằng.


Ta phải chứng minh điều kiện cần có là: = 0.
Thật vậy, vì hệ cân bằng nên chất điểm Mk trong hệ cũng cân bằng.
Nếu gọi và là hạt lực và phản lực liên kết tác dụng lên chất điểm khảo sát ta
sẽ có:
+ =0
Cho hệ một di chuyển khả dĩ tại vị trí đang xét và gọi là di chuyển của chất
điểm, ta cũng có thể viết được:
. + . = 0.
Viết cho cả hệ thức, nghĩa là cho k tiến từ 1 tới N sau đó cộng hai vế của các
biểu thức sẽ được:
+ =0
Vì liên kết là lí tưởng nên :
=0

Do đó cần phải có:
. = 0.
Sau đay ta chứng minh điều kiện đủ:
Giả sử cơ hệ thõa mãn điều kiện = 0 ta phải chứng minh rằng điều kiện này đủ
để cho hệ tự cân bằng ở vị trí đang xét.
Thật vậy, nếu cơ hệ thõa mãn điều liện trên mà không căn bằng thì chứng tỏ
nó phải khởi động tại vị trí đang xét. Như vậy biến thiên của hệ phải dương.
Theo định lí động năng ta có:
dT = = + .
Với hệ chịu liên kết dừng thì di chuyển thực dr sẽ trùng với một trong các di
chuyển khả dĩ. Ta có dr =
Thay vào biểu yhuwcs trên ta được:


dT = + 0
Vì hệ chịu liên kết lí tưởng nên:
= 0.
Chỉ còn lại: dT = > 0.
Điều này trái với giả thuyết đã nêu , chứng tỏ cơ hệ khong thể khởi đọng tại vị
trí đang xét, nghĩa là khi thõa mãn điều kiện: = 0. Thì chắc chắn cơ hệ sẽ cân
bằng.
1.1.8 Phương trình cân bằng tổng quát của cơ hệ không tự do:
Từ điều kiện cân bằng = 0.
Ta có thể thiết lập phương trình tổng quát ch cơ hệ dưới dạng tạ độ Đề các và
tọa độ suy rộng.
-

Dạng tọa độ Đề các:

Gọi Xk, Yk.. Zk, là hình chiếu của của hoạt lực và x k, yk, zk, là hình chiếu của

di chuyển khả dĩ lên các trục tọa độ 0xyz. Ta có thể viết phương trình cân
bằng của hệ dưới dạng phương trình đây:
= = . + YkYk + Zk .Zk ).
Phương trình này gọi là phương trình cân bằng tổng quát của hệ dưới dạng tọa
độ Đề các.
-

Dạng tọa độ suy rộng:

Xét hệ có m tọa độ suy rộng đủ q1, q2, …qm.
Điều kiện cân bằng của hệ có:
= = = 0.
Nếu hệ chịu liên kết hình học ( hô nô nôm) thì các là độc lập với nhau và dễ
dàng suy ra các điều kiện cân bằng sau đây:
Q1 = 0, Q2 = 0, …. Qm = 0.


Các phương trình trên chính là điều kiện cân bằng tổng quát của cơ hệ chịu
liên kết dừng, hô nô nôm là lí tưởng.
1.2

Các dạng bài tập minh họa về nguyên lí di chuyển khả dĩ:
1.2.1. Dạng bài toán về lực suy rộng;
Bài 1: Xác định lực suy rộng tương ứng với tọa độ suy rộng của hệ con lắc
vật lí kép biểu diễn bởi hình ở dưới,. Cho biết trọng lượng của mỗi cn lắc đều
bằng P và đặt tại điểm C1 và C2, chứng từ của con lắc, độ dài của mỗi con lắc
là một.
Bài giải:
x
o


C1
A
C2

Y

Chọn gốc tọa độ suy rộng đủ của hệ là các góc 1 và 2 như trên hình vẽ:
Gọi các lực tương ứng là Q 1 , Q2 . Trước hết xác định Q1 , ta cho hệ mọt di
chuyển khả dĩ sao cho 1 0 và 2 = 0
Công thức của các hoạt lực P1 , và P2 trong di chuyển đó được tính:
= - P.. sin1,1 – P2 l. sin1,1
= . l. sin1,1.
Suy ra :
Q1 = - .l. sin1 .
Để tinh Q2 cho hệ một di chuyển khả dĩ với 2 0 và 1 = 0 .
Khi đó chỉ có con lắc AB di chuyển và công của hoạt lực trong di chuyển này
là:
= - P2.. sin2,2
= -P. sin2,2
= Q2 2
Suy ra : Q2 = -P. sin .
1.2.2 Dạng phương trình cân bằng tổng quát của cơ hệ không tự do:


Bài 1: Xà kép gồm hai đoạn AC và chuyển động nối với nhau bằng khớp bản
lề ở C. Trên đoạn chuyển động cs lực tập trung P tác dụng theo phương
vuông góc với xà phòng tại E. Xác định phản lực tại gối đỡ di động B. Kích
thước kết cấu xà phòng cho trên hình:
Bài giải:


B

a

C

E

D

b

Để xác định phản lực NB ta giải phóng liên kết ( gối tựa di động) tại B và thay
cà đó phản lực NBL1.
L2
Cho hệ di chuyển khả dĩ với , , SE .
Phương trình cân bằng tổng quát cho hệ được viết:
= NB - P.SE .
Trong đó:
SE = .
Suy ra: NB = P. .
Kết quả này cho thấy giá trị dương chứng tỏ NB chọn như hình vẽ là đúng.
Bài 2: Cho cơ cấu chịu tác dụng các lực cân bằng biểu diễn trên hình bên
dưới. Xác định độ biến dạng h của lò xo nếu cho Q = 100 N. độ cứng của lò
xo là c = 5N/cm. r1= 20cm, r2 = 10cm, OA = 50cm, góc anfa bằng 30 độ, góc
beta bằng 90 độ.
Bài giải:
Xét hệ bao gồm vật D đến con trượt B, bỏ qua ma sát ở trục quay và mặt trượt
liên kết đặt lên hệ là liên kết dừng, một phía, hô nô nôm và lý tưởng.

Hoạt lực tác dụng lên hệ gồm trọng lượng Q, G 1, G3, P và các lực đàn hồi
vecto F của lò xo.
Trng đó các lực sinh ra công là: Q và F.


Cho hệ một di chuyển khả dĩ với s là di chuyển của vật d làm cơ sở. ta có thể
tìm được di chuyển của điểm B như sau:
Ta có: 1 =
Điểm tiếp xúc K và giữa hai bánh răng 2 va3 có di chuyển s1 với:
s1 = r1 .1 = s di chuyển một góc quay của bánh răng 3 sẽ là:
s3 = s 1 .
Vì thanh O3A gắn với bánh răng A nên điểm A có di chuyển :
O3.A s3 = l. s1 .
Ta có thể xác định di chuyển của B thông qua s A . Vì thanh AB chuyển động
song phẳng với P là tâm vận tốc tức thời nên suy ra:
=
Trong tam giác ABM ta có: =
Nên :
sB = s.


A

1

Thiết lập điều kiện cân bằng cho hệ nhờ nguyên lí di chuyển khả dĩ, ta có:
=0
Thay F = c. h

1.3

2.1.

Ta được: Qs – c.h s = 0
Thay số vào biểu thức trên ta được h = 1,74cm.
Như vậy hệ cân bằng khi lò xo bị nén một đoạn h = 1,74cm.
Các bài tập tự rèn luyện:
CHƯƠNG II: NGUYÊN LÝ DALAMBE.
Lực quán tính và nguyên lý Dalambe:
Xét chất điểm có khói lượng m chuyển động với vecto gia tốc W dưới tác
dụng của các vect lực F1, F2…, Fn.


Phương trình cơ bản của động lực học viết cho chất điểm :
m = + +…+
= .
Chuyển các số hạng của phương trình sang một vế ta được :
+(-m)=0

(1)

Số hạng ( - m ) có thứ nguyên của lực bằng tích số giữa khối lượng m với gia
tốc W , cùng phương nhưng ngược chiều với gia tốc được gọi là lực quán tính
của chất điểm và kí hiệu là .
Ta có : = - m
Thay biểu thức trên vào (1) ta có:
+ =0
Các lực

và lực đồng qui tại chất điểm vì vậy có thể viết:


, ,… =0
Đây chính là biểu thức Dalambe cho chất điểm.
Phát biểu định lý Dalambe: Khi chất điểm chuyển động, các lực thực sự tác
dụng lên chất điểm ( bao gồm các hoạt lực và phản lực liên kết) cùng với lực
quán tính của nó tạo thành một hệ lực cân bằng.
Điều kiện cân bằng của hệ lực biểu diễn nguyên lí Dalambe cho chất
điểm viết được:
I = X1 + X2 +……..+ Xn + Xqt = 0
I = Y1 + Y2 +……..+ Yn + Yqt = 0
-


M

= Z1 + Z2 +……..+ Zn + Zqt = 0
Trong đó:
Xi, Yi , Zi và Xqt , Yqt , Zqt là các hình chiếu của lực F i thực sự tác động lên chất
điểm của lực quán tính lên trục oxyz.
Chú ý:
Lực quán tính không đặt lên chất điểm, đó là lực tưởng tượng thêm vòa để
có nhuyên lý Đalambe. Thực tế lực quán tính đặt vào liên kế của chất điểm.
Ví dụ: Khi buộc một vật nặng vào đầu một sợi dây và quay thì lực thực sự tác
dụng lên vật trong trường hợp này chỉ có trọng lực, lực căng của sợi dây, lực
cản không khí, còn lực quán tính của vật lại đặt lên sợi dây và có xu hướng
đứt dây.
- Khi chất điểm chuyển động cong, gia tốc của chất điểm có hai thành phần là
tiếp tuyến và pháp tuyến do đó lực quán tính cũng có hai thành phần tương
ứng. Ta có:
=t+n
=-m =-t-n =t +n

Trong đó lực quán tính tiếp tuyến có phương tiếp tuyến với quĩ đạo có chiều
phụ thuộc vào tính chất chuyển động của chất điểm. Nếu Wt = > 0
Thì lực quán tính tiếp tuyến ngực chiều với vận tốc của chất điểm.
Wt = < 0 thì lực quán tính tiếp cùng chiều cùng chiều với vận tốc của chất
điểm. Vì vậy gia tốc pháp tuyến Wn luôn luôn cùng hướng vào tâm của đường
G1cong ra ngoài vì thế n được gọi là lực quán tính li tâm. Như hình bên dưới
I

O1


Nhờ nguyên lý Đalambe ta có thể giải thích các bài động lực học của chất
điểm bằng phương pháp giải toàn cân bằng của hệ lực đồng qui đã biết trong
tĩnh học.
2.2 Nguyên lý Đălămbe đối với hệ:
2.2.1 Nguyên lý :
Xét hệ gồm N chất O2
điểm: M1 , M2, ….Mn .
Tách một chất điểm Mk ra xét. Gọi và là tổng các nội lực và các ngoại lực
tác dụng lên chất điểm. Nếu chất điểm chuyển động với gai tốc thì lực quán
tính của chất điểm sẽ là Gọi = -mk. .
Áp dụng nguyên lý Đalambe cho chất điểm ta có:
( , , ) =0
Cho k chạy từ 1…n ta được hệ lực cân bằng viết theo dạng trên. Tất cả các
hệ lực đó hợp lại thành một hệ lực cân bằng:
R1

( , , ) =0 ( k = 1….n)

Q


Biểu thức trên biểu diễn nguyên Dalambe đối với hệ và được phát biểu như
sau:
Khi hệ chuyển động các lực thực sự tác dụng lên hệ ( kể cả nội lực và ngoại
lực) cùng với lực quán tính của hệ tạ thành một hệ lực cân bằng.
Hệ lực biểu diễn bởi nguyên lý Dalambe là hệ lực bất kì trong không gian và
vậy điều kiện cân bằng của hệ có thể viết như sau:
=0
=0
Vì = 0 nên phương trình còn lại :
=0

Trong đó và là vecto chính và momen chính lực quán tính của hệ.


Nếu viết dưới dạng hình chiếu có 6 phương trình sau:
+ Xqt = 0
1

+ Yqt = 0
+ Zqt = 0
( Fke ) + Mqtx = 0
( Fke ) + Mqty = 0
( Fke ) + Mqtz = 0
Trong đó: Xek , Yek , Zek , Xqt , Yqt , Zqt, là các thành phần hình chiếu lên các
trục 0xyz của ngoại lực . Fke là vecto chính của lực quán tính còn
mx( Fke ), my( Fke ), my( Fke ) và Mqtx, Mqty, Mqtz ,là momen đối với ba trục
oxyz của ngoại lực và momen chính của lực quán tính đối với ba trục.

Y


Cũng như đối với chất điểm nguyên lý Dalambe đối với hệ cho ta phương
pháp giải các bài toán động lực học cho hệ theo phương pháp tĩnh học và
được gọi là phương pháp tĩnh động … Phương pháp tĩnh động được áp
dụng rộng rãi để giải các bài toán động lực học đặc biệt là những bài toán
xác định các phản lực liên kết . Khi sử dụng phương pháp khó khăn chính là
việc xác định vecto chính và momen chính Mqtc .
2.2.2 Thu gọn hệ lực quán tính:
a) Thu gọn hệ lực quán tính của vật rắn chuyển động tịnh tiến:
Các chất điểm trong vật có gia tốc như nhau và bằng gia tốc khối tâm :
= ( k = 1…n)
Khi thu gọn hệ lực quán tính về khối tâm C ta được:
= mk. = -M
Mqtc = - ) = 0
Vì = 0 do ta chọn C làm tâm thu gọn .


Như vậy trong trường hợp vật chuyển động tịnh tiến hợp lực của các lực
quán tính bằng vecto chính = -M và đi qua khối tâm C.
b) Thu gọn hệ lực quán tính của vật rắn chuyển động quay quanh một trục cố
định đi qua khối tâm C.
Gọi vận tốc và gia tốc của vật là và ta có:
= mk. = -M = 0 vì
Mqtc = ()
= (t + n )
Các lực quán tính pháp tuyến luôn đi qua trục quay do đó:
R2

() = 0
Ta có:

Mqtcz = (t ) = - mkdk = -J0z
Vậy Mqtcz = -J0z .
Với J0z là momen quán tính của vật đối với trục quay.
Kết quả thu gọn hệ lực quán tính của hệ chuyển động quay quanh một trục
đi qua khối tâm là:
= 0 và Mqtcz = -J0z .
c) Thu gọn hệ lực quán tính của vật rắn chuyển động song phẳng.
Theo động học chuyển động song phẳng của vật có thể phân tích thành hai
chuyển động cơ bản là tịnh tiến theo khối tâm và chuyển động quay quanh
trục z đi qua khối tâm C vuông góc với mặt phẳng cơ sở.
Thu gọn hệ lực quán tính với từng chuyển động cơ bản đó đã được trình bày
trong hai trường hợp trên. Dễ nhận thấy khi thu gọn các hệ lực quán tính của
hệ chuyển động sng phẳng có kết quả sau:
= -M và Mqtcz = -J0z .


Trong đó: M và J0z là khối lượng và momen quán tính của hệ đối với trục
quay cz . Wc và là gia tốc khối tâm và gia tốc của hệ.
2.3 các bài tập minh họa:
Bài 1: Một bóng đèn có trọng lượng P treo trên trần của toa tàu đang chạy.
tại một thờ điểm nào đó người ta thấy dây treo đèn lệch đi so với phương
thẳng đứng một góc . Tìm gia tốc của tàu tại thời điểm đó? Tính lực căng
của sợi dây?
0

M

Bài giải:
Xét chuyển động của bóng đèn. Gọi gia tốc của bngs đèn là:
Ta có: các lực thực sự tác dụng lên bóng đèn là trọng lực P, lực căng dây

Của dây. Lực quán tính của bóng đèn là:
=Theo nguyên lý Ddalambe ta có:
( , ) =0
Hệ lực này gồm ba lực đồng qui ta có thể thiết lập điều kiện cân bằng của
chúng bằng tam giác khép kín như trên hình vẽ:
Từ tam giác lực này ta suy ra :
Fqt = P.tan
Hay: mw = P.tan= mg.tan
W = g tan


Tại thời điểm xét coi bóng đèn là cân bằng tương đối trong toa tàu do đó gia
tốc của bóng đèn cũng chính là gia tốc của toa tàu.
Cuối cùng lực căng T tính được
T=
Ta có phương chương biểu diễn như hình vẽ.
Bài 2: Một bình hình trị chứa chất lỏng quay quanh trục thẳng đứng với vận
tốc không đổi 0. Tìm dạng mặt thoáng chất lỏng ở vị trí cân bằng tương đối:
y
A
B

M

x

O

B
K


Bài giải:

R3
G3

Xét một phần tử chất lỏng M nằm trên mặt thoáng:
Giả thiết mặt phẳng oxy cắt mặt thoáng theo giao tuyến OAB di chuyển qua
M ( như hình vẽ ở trên)
Các lực thực sự tác động lên chất điểm M gồm: trọng lực , phản lực , của
phần chất lỏng còn lại tác dụng lên chất điểm có hướng theo pháp tuyến Mn.
Lực quán tính của chất điểm:
=m

x


Vì khối chất lỏng quay đều quanh trục quay nên gia tốc chỉ gồm thành phần
pháp tuyến n và lực quán tính có phương chiều như hình vẽ:
Fqt = Fnqt = m .x. 2.
Trong đó x là tọa độ của chất điểm M.
Áp dụng nguyên lí Đalambe cho chất M ta có:
(, , ) 0.
Phương trình cân bằng của hệ lực này trên trực tuyến Mt viết được:
m .x. 2cos – mgsin = 0
: là góc nghiêng của đường tiếp tuyến với trục x.
Suy ra tan = . X
Thay tan =

ta được:


=.X
Hay: dy = . X.dx
Lấy tích phân hai vế theo các cạnh tương ứng ta có:
=
Hay y =. X2
Như vậy đường AOB là đường Parapol và mặt thoáng của chất lỏng là một
mặt của paraboloit tròn xoay nhận trục oy là trục đối xứng.
Bài 3: Hai vật A và B có trọng lượng P 1 và P2 liên kết với nhau bằng một sợi
dây không dãn trọng lực không đáng kể. Hai vật chuyển động trên mặt phẳng
nằm ngang có hệ số ma sát f nhờ tác dụng lực Q vào vật B theo phương
ngang, như hình bên dưới. Xác định gia tốc của hai vật và lực căng của sợi
dây?
Bài giải:


Xét hệ gồm cả hai vật. Các lực ngoài tác dụng lên hệ gồm trọng lượng 1, 2,
phản lực pháp tuyến , lực ma sát trượt , , và lực kéo Q.

B

2

A
A

Q
Q

1


Gọi lực quán tính đặt lên vật A và vật B là , ta có:
= - .1
= - .2
Với 1 = 2 =
Theo nguyên lý Đalambe ta có:
(1, 2, , , , , , , ) = 0
Các lực này biểu diễn trên hình ở trên. Phương trình cân bằng theo phương
trục ox nằm ngang viết được:
Q- - - - =0
Hay : Q = - . - (P1 + P2) f = 0.
Suy ra gia tốc của hai vật là:
W = ( - f).g


Từ kết quả trên ta nhận thấy vật chuyển động khi:
f > ( ).
Để tính lực căng dây T của dây ta phải tách một trong hai vật ra để xét chẳng
hạn vật B. Các lực thực sự tác dụng lên B là :
(2 , , , ,) lực quán tính là: , . các lực này biểu diễn trên hình:

Áp dụng nguyên lí Đalambe ta có:
(2 , , , , , ) = 0
Viết phương trình
này lên phương ngang ta có:
Y
Q – T –F2 – F2qt = 0
D

B


E

Thay các giá trị tìm được của w vào phương trình trên ta tinh được:
T= .
Kết quả này cho thấy lực căng dây không phụ thuộc vào lực ma sát.
Bài 4: Thanh đồng chất có chiều dài l, trọng lượng P. Đầu A được giữ bằng
khớp bản lề và đầu B được giữ bằng sợi dây. Xác định lực căng T của sợi dây
h khi trục quay đều với vận tốc .
BD
YA
Cho biết góc hợp bởi giữa thanh AB và trục quay AD là .
X

Bài giải:
xA

A


Xét chuyển động của thanh AB. Các lực ngoài tác dụng lên thanh là:
Trọng lực , phản lực , và lực căng của sợi dây. Gọi hợp của các lực quán tính là .
Theo nguyên lý Đalambe ta có:
(, , , ) = 0
Ta có nhận xét:
Lực quán tính của các phần tử trên thanh có cùng phương chiều và tỉ lệ với tọa độ
xk của nó. Điều này cho phép ta vẽ biểu đồ phân bố các lực quán tính theo hình
trên.
Ta nhận thấy rằng hợp lực của hệ này là = M . và đi qua trọng tâm của tam giác
ABE, nghĩa là đi qua điểm F cách A một đoạn bằng 21/3 .



Dễ dàng tìm thấy phương trình cân bằng của hệ lực:
= - T + XA + Rqt = 0.
= YA – P = 0.
(Fi) = T.l . cos – Rqt .. cos - P.sin = 0.
Thay Rqt = MWc = sin . và giải hệ phương trình ta được:
T = P ( . sin + tan )
YA = P
Và XA = P ( . sin + tan ) - . sin .
2.4. Bài tập tự ren luyện:

CHƯƠNG III: NGUYÊN LÝ ĐALAMBE – LAGORANGE
3.1 Nguyên lý:
Kết hợp hai nguyên lý : Di chuyển khả dĩ và nguyên ký Đalambe. Ta có thể phát
biểu như sau:
Tại mỗi thời điểm cơ hệ chịu liên kết hình học lý tưởng là tổng công củ các lực chủ
động cà các phản lực quán tính trong mọi di chuyển khả dĩ bằng không.
dA(ch) + dA(qt) = 0
3.2 Phương trình tổng quát của động lực học:
Như chúng ta đã biết , nguyên lý Đalambe cho ta phương pháp tĩnh động để giải
quyết các bài toán động lực học, còn nguyên lý di chuyển khả dĩ cho ta phương
pháp tổng quát giải các bài toán cân bằng của cơ hệ tự do. Kết hợp hai guyên lý
trên cho chúng ta thiết lập phương trình vi phân của chuyển động của cơ hệ tự do
gọi là phương trình tổng quát của động lực học.