Tài liệu luyện thi Toán 12

GV:

Hồ Văn

Hoàng

KĨ NĂNG CƠ BẢN GIẢI ĐỀ THI TỐT
NGHIỆP
Cấu trúc đề thi môn TOÁN
I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT Câu IV.a (2 điểm):
CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Phương pháp tọa độ trong không gian:
Câu I (3 điểm):
 Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
 Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số.
 Mặt cầu.
 Các bài toán liên quan đến ứng dụng  Viết phương trình mặt phẳng, đường
của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều thẳng.
biến thiên của hàm số; cực trị; tiếp  Tính góc, tính khoảng cách từ điểm
tuyến; tiệm cận (đứng và ngang) của đồ đến mặt phẳng. Vị trí tương đối của
thị hàm số; tìm trên đồ thị những điểm đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
có tính chất cho trước; tương giao giữa Câu V.a (1 điểm):
hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường  Số phức: môđun của số phức, các phép
thẳng);...
toán trên số phức; căn bậc hai của số
Câu II (3 điểm):
thực âm; phương trình bậc hai hệ số thực
 Hàm số, phương trình, bất phương
có biệt thức Δ âm.

trình mũ và lôgarit.
 Ứng dụng của tích phân: tính diện tích
 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số hình phẳng, thể tích khối tròn xoay
 Tìm nguyên hàm, tính tích phân.
2. Theo chương trình Nâng cao:
 Bài toán tổng hợp.
Câu IVb(2 điểm) Thêm các mục so với
Câu III (1 điểm):
câu IV.a : tính khoảng cách từ điểm đến
Hình học không gian (tổng hợp): Diện đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách
tích xung quanh của hình nón tròn xoay, giữa hai đường thẳng
hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối Câu Vb(1 điểm)
lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, Thêm các mục sau so với câu Va.
khối trụ tròn xoay; diện tích mặt cầu và  Phương trình bậc hai với hệ số phức.
thể tích khối cầu.
Dạng lượng giác của số phức.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
ax 2 + bx + c
( ad ≠ 0 )
Thí sinh chỉ được chọn một trong hai  Hàm số y =
dx + e
phần (phần 1 hoặc phần 2).
và một số yếu tố liên quan.
1. Theo chương trình Chuẩn:
 Hệ phương trình mũ và logarit.

Chủ đề 1 : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

1. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số
y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0), y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0), y =

ax + b
(ac ≠ 0)
cx + d
Bước 1: Tập xác định.
Bước 2: Tính và xét dấu y’ ( y’=0 ⇔ x=? ⇒ y=?)

1


Tài liệu luyện thi Toán 12

GV:

Hồ Văn

Hoàng
Bước 3: giới hạn bên phải, giới hạn bên trái tại điểm gián đoạn
(hàm nhất biến), giới hạn khi x dần đến +∞, −∞ đồng thời chỉ ra
tiệm cận (nếu có).
Bước 4: Tóm tắt 3 bước trên qua bảng biến thiên.
Kết luận về tính tăng giảm và cực trị của hàm số
Bước 5: Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung, trục hoành (nếu
có), tính điểm
phụ rồi vẽ đồ thị hàm số.
2. Dùng đồ thị để biện luận số nghiệm của một phương
trình.
 Đưa phương trình về dạng f(x) =g(m) (1)
(1) là phương trình hoành độ giao điểm của (C): y = f(x); (D): y
= g(m) cùng phương Ox. Số điểm chung của (C ) và (D) là số
nghiệm của (1)

Chú ý : phân chia các trường hợp biện luận theo y cực đại ,
y cực tiểu.
3. Biện luận số giao điểm của đồ thị với đường thẳng y =
mx + n.
 Lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với đường
thẳng.
 Biến đổi dẫn đến phương trình dạng Ax 2 + Bx + C = 0 , (1).
Số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị với đường thẳng
Chú ý :  Khi A có chứa tham số ta phải xét hai trường hợp A = 0
, A ≠ 0.
ax + b
 Khi gặp đồ thị dạng y =
, cần đặt thêm điều kiện
cx + d
cx + d ≠ 0 .

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m.
2
1: Định m để hàm số đồng biến trên   TXĐ: D ;  Ta có: y’ = ax + bx + c
Hàm số có cực trị khi phương trình y’ =
 TXĐ: D ;  Ta có: y’ = ax2 + bx + c
0
Hs đồng biến / ¡ ⇔ y’> 0 ∀x∈⇔
có 2 nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi
a > 0
x

∆ ≤ 0
a ≠ 0

⇔ 
2: Định m để hàm số nghịch biến trên đi qua hai nghiệm đó
∆ > 0

4: Chứng minh rằng với mọi m hàm
 TXĐ: D ;  Ta có: y’ = ax2 + bx + c
số luôn luôn có cực trị?
 a > 0  TXĐ: D ;  Ta có: y’ = ax2 + bx + c
Hs nghịch b / ¡ ⇔ y’< 0 ∀x∈⇔ 
 ∆ ≤ 0 Xét phương trình y’ = 0,Cm: ∆ =…> 0
3: Định m để đồ thị hàm số có cực trị? ∀m.
2


Tài liệu luyện thi Toán 12

GV:

Hồ Văn

Hoàng
5: Định m để hàm số không có cực
trị?
a ≠ 0
Hàm số không có cực trị ⇔ 
∆ ≤ 0
6: Định m để hàm số đạt cực đại tại
x0?
 f '( x0 ) = 0
Hàm số đạt cực đại tại x0 ⇔ 

 f ''( x0 ) < 0
7: Định m để hàm số đạt cực tiểu tại
x0?
Hàm số đạt cực tiểu tại x0 ⇔
 f '( x0 ) = 0

 f ''( x0 ) > 0
8: Định m để hàm số đạt cực trị tại x0
 f '( x0 ) = 0
Hàm số đạt cực trị tại x0 ⇔ 
 f "( x0 ) ≠ 0
9: Định m để đồ thị hàm số đi qua điểm
cực trị M(x0; y0)?
 f '( x0 ) = 0
Điều kiện đề bài ⇔ 
 f ( x0 ) = y0
Dạng 10: Cho hàm số y = f(x) (C) và
M(x0;y0) ∈ (C). Viết PTTT tại điểm M
Ta có: y’ = f’(x) ⇒ hệ số góc k = f’(x0)
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0;
y0) là d: y – y0 = f’(x0).( x – x0 )
Các dạng thường gặp khác :
1/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
(C) tại điểm có hòanh độ x0.
Ta tìm: y0 = f(x0) ; hệ số góc k = f’(x0)
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
tại điểm thỏa mãn phương trình f”(x)=
0
Tính f’(x) ⇒ f”(x). Giải phương trình
f”(x) = 0 ⇒ x0 ⇒ y0 và f’(x0). Suy ra

PTTT
3/Tiếp tuyến của đồ thị qua điểm
A(x1,y1).
Cho (C): y = f(x). Gọi k là hệ số góc của
tiếp tuyến, A(x1,y1) là điểm mà tiếp tuyến

đi qua, thì phương trình có dạng
(d): y = k(x − x1) + y1
(d) tiếp xúc (C) ⇔ hệ tiếp xúc :

f(x) = k(x - x1 ) + y1 (1)
, có nghiệm

(2)
f '(x) = k
11: Cho (C): y = f(x). Viết phương trình
tiếp tuyến (d) của (C)
a/ song song với đường thẳng y = ax +
b.
b/ vuông góc với đường thẳng y = ax +
b.
Lưu ý: (d) // (d’): y = k1x + d ⇔ k =
k1.
 (d) ⊥ (d'): y = k1x + d ⇔ k. k1=
−1
a/ Tính: y’ = f’(x)
Vì tiếp tuyến (d) // đường thẳng y = ax +
b nên (d) có hệ số góc bằng a.
Ta có: f’(x) = a (Nghiệm của phương
trình này chính là hoành độ tiếp điểm)

Tính y0 tương ứng với mỗi x0 tìm được.
Suy ra (d): y – y0 = a. ( x – x0 )
b/ Tính: y’ = f’(x)
Vì tiếp tuyến (d) ⊥ đường thẳng y = ax +
1
b nên (d) có hệ số góc bằng − .
a
1
Ta có: f’(x) = − (Nghiệm của phương
a
trình này chính là hoành độ tiếp điểm)
Tính y0 tương ứng với mỗi x0 tìm được.
1
Suy ra (d):
y – y 0 = − . ( x – x0 )
a
Chú ý: + Đường phân giác của góc phần
tư thứ nhất y = x; góc phần tư thứ hai y
=−x
12: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
y = f(x) trên [a;b]
 f(x) là hàm số xác định nên liên tục /
[a;b]
 Tìm các điểm x1,x2, ..., xn thuộc [a; b]
tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có
đạo hàm

3



Tài liệu luyện thi Toán 12

GV:

Hồ Văn

Hoàng
Tính f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(a )và f(b).
 x = X + x0
Công thức đổi trục: 
max
y
=
M;
min
y
=
m
Từ đó suy ra:
[ a;b]
[ a;b]
 y = Y + y0
Phương pháp chung ta thường lập
Thế vào y = f(x) ta được Y = f(X)
BBT
Chứng minh hàm số Y = f(X) là hàm số
13: Cho họ đường cong y = f(m,x) với m lẻ. Suy ra I(x0;y0) là tâm đối xứng của
(C).
là tham số.Tìm điểm cố định mà họ
đường cong trên đi qua với mọi giá trị 15: Cho (C): y = f(x). CMR đường thẳng

của m.
x = x0 là trục đối xứng của (C).
(dồn m, rút m, khử m)
Đổi trục bằng phép tịnh tiến
uur
Ta có: y = f(m,x)
OI = ( x0 ;0 )
Am + B = 0, ∀m(1)
hoặc Am2 + Bm + C = 0, ∀m
(2) Công thức đổi trục  x = X + x0
Đồ thị hàm số (1) luôn luôn đi qua điểm
y = Y
M(x;y) khi (1) hoặc (2) đúng ∀m ⇔
Thế vào y = f(x) ta được Y = f(X)
(x;y) là nghiệm của hệ phương trình:
C minh hàm số Y = f(X) là hàm số chẵn.
Suy ra đường thẳng x = x0 là trục đối
A = 0
A = 0

xứng của (C).
(a)(đối với (1)) Hoặc  B = 0 (b)

B
=
0
16: Sự tiếp xúc của hai đường cong

C = 0


(C ): y = f(x) và (C ): y = g(x).
(2)
Giải (a) hoặc (b) để tìm x ⇒ y tương
ứng.
Từ đó kết luận các điểm cố định cần tìm.
14: Cho (C): y = f(x). CMR điểm
I(x0;y0) là tâm đối xứng của (C)
Tịnh tiến hệ trục Oxy thành hệ trục
uur
OXY theo vectơ OI = ( x0 ; y0 ) .

1

2

(C1) và (C2) tiếp xúc với nhau khi và chỉ
 f ( x) = g ( x )
khi hệ phương trình 
có
 f '( x) = g '( x)
nghiệm và nghiệm của hệ phương trình
trên là hoành độ tiếp điểm của hai đường
cong đó.

BÀI
Bài 1: Tìm cực trị của các hàm
số sau:
a. y = sin2 x − 3 cos x , x ∈ [0;π].

TẬP

d. y = x2 − 2|x| + 2 (CT (±1;1)
,CĐ(0;2)
Bài 2:Tìm các số a,b,c sao cho
hàm số f(x) = x3 + ax2 + bx +c
 5π 7 
; ÷)
đạt cực tiểu tại điểm
(ĐS: CĐ 
 4 4
x = 1; f (1) = −3 và đồ thị hàm số
b. y = 2sinx + cos2x, x ∈ [0;π]. cắt trục tung tại điểm có tung
π 
 π 3
độ là 2
ĐS CT  ;1÷ ,CĐ  ; ÷ ,CĐ
(ĐS : a=3;b=−9;c=2 )
2 
 6 2
Bài 3. Tìm m:y=x3−3mx2+
 5π 3 
(m2−1)x+2
 6 ; 2÷


a.Đạt cực đại tại điểm x = 2.
c. y = x 3 − x
(ĐS : CĐ(2;2)) (m=11)
4



Tài liệu luyện thi Toán 12

GV:

Hồ Văn

Hoàng
b.Đạt cực tiểu tại x =1 (m = 3 − b. f(x)= 2 cos2x + 4sin x trên
7)
 π
x 2 − 2x + m
0;  (
Bài 5. CMR: y = 2
luôn  2 
x + 2x + 2
π
M = f( ) = 2 2; m = (0) = 2 )
luôn có hai cực trị với mọi m
4
x2 − x + m
Bài 6.Tìm m để y =
có c. f(x) = x2 ln(1−2 x) trên đoạn
x +1
[−2;0]
hai giá trị cực trị cùng dấu.(
1
1
M = f(−2) = 4 − ln5; m = (− ) = − ln2
1
2

4
)
−2 < m <
4
d.f(x) = sin3x − cos2x + sinx + 2
Bài 4.Tìm GTLN và GTNN của
hàm số
e. f(x) = cos3x − 6cos2x + 9cosx
3
2
a.f(x) = x + 3x − 9x + 1 trên
+5
[−4;4].
23
; e. M = 9;m =
(M = f(4) = 77 ; m = f(1) = − 4) d. M = 5,m =
27
3
b. f(x) = x + 5x −4 trên đoạn
−11
[−3; 1] (M = f(1) = 2 ;m = f(−3)
Bài 6.Trong các tam giác vuông
4
2
= − 46
c.f(x) = x − 8x +
mà cạnh huyền có độ dài bằng
16 trên [−1; 3].
10. Hăy xác định tam giác có
(M = f(3) =25 ; m = f(2) = 0)

diện tích lớn nhất
x
(∆vuông cân có cạnh góc
d. f (x ) =
/ (−2; 4].
x +2
vuông= 5 2 )
2
M = f (4) =
Bài 7. Viết phương trình tiếp
e.
3
tuyến với đồ thị hàm số :
1
1/ y = x3 − 3x2 + 1
/ (1 ;+∞) (m =
f(x)=x+2 +
a.Tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ
x −2
nhất (đáp số : y = −3x + 2 )
5) f. f (x ) = x 1 − x 2
*b.Tiếp tuyến đi qua điểm A(0;1)
(M = f (

2

)=

1


;m = f ( −

2

)=−

1

)

(y = −3x + 2 ; y=1 và
Bài 5. Tìm GTLN và GTNN
9
y = − x +1 )
4 3
4
a. f(x)=2sin x − sin x trên 0; π 
3
2x + 3
2/ y =
x +1
π
3π
2 3
;m=f(0)=f(π)
M=f( )=f(
)=
a.Tiếp
tuyến
⊥ đthẳng y = −4x +

4
4
3
3
=0
1
11
(ĐS y = − x +
và
4
4
1
3
y =− x+
)
4
4
2

2

2

2

5


Tài liệu luyện thi Toán 12


Hoàng

GV:

*b.Tiếp tuyến đi qua điểm
A(−1;3) .
1
11
(đáp số : y = − x +
)
4
4
3/ y = x4 − 4x2 + 2
a.Tại điểm A(0;2). (đáp số :
y=2 )
b.Tiếp tuyến đi qua A(0;2).
4x − 3
4/ y =
biết tiếp tuyến hợp
x −1
với trục hoành một góc 450 .
(đáp số : y = −x + 3 ; y = −x + 7
)
Bài 8.Tìm m để đ thẳng y = −6x
− 3 tiếp xúc với (Cm) : y = x4
−(3m + 5)x2 + (m + 1)2 tại điểm
có hoành độ bằng −1. (đáp số:
m= − 2)

Hồ Văn


Bài 9.Tìm m để tiếp tuyến với
đường cong :
(3m + 1)x + m − m2
tại
y =
x +m
giao điểm của đường cong với
trục
hoành sao cho tiếp tuyến song
song với đường thẳng y = x +
10 .
1
( đáp số : m = −1; m = − )
5
Bài 10. Tìm m để đường cong
2x 2 + mx + m
cắt trục
( Cm ) : y =
x +1
hoành tại hai điểm phân biệt
sao cho tiếp tuyến tại hai điểm
đó với ( C m ) là vuông góc với

nhau. ( m = 4 ± 17 )
Khảo sát hàm số
c.Tìm m để hàm số đạt C Đ tại x
1
Bài 1. Cho y = − x3 + 3x (C ) = −2.
4

d.
Tìm m để (C m ) tiếp xúc
a. Khảo sát hàm số.
b. Viết pttt với (C ) biết tiếp
với trục Ox.
tuyến song song với đường
ĐS b. m > 3; c. m = 0; d. m =
thẳng y = − 9x.
3
c. Biện luận theo m số nghiệm Bài 3.Cho y = x3 − 6x2 + 9x − 1
của phương trình:
(C )
a.
Khảo sát hàm số.
x 3 − 12x − 4m = 0
Tính diện tích hình
d. Đường thẳng d đi qua gốc toạ b.
độ và có hệ số góc k. Tìm k để d phẳng giới hạn bởi (C ) và đường
thẳng y =3
cắt (C ) tại 3 điểm phân biệt.
e.Tính diện tích hình phẳng giới c.Từ đồ thị (C ) suy ra đồ thị (C’)
của hàm số : y = |x3| − 6x2 + 9|
hạn bởi (C ) và trục Ox
ĐS b. y = −9x ±32; d. k < 3; e. x| − 1.
27
S=10
b. S=
; c. (C’) đối xứng (C)
3
2

Bài 2.Cho y = x + 3x + mx +
4
m−2
qua Oy
a.
Khảo sát hàm số khi
Bài 4.Cho y = 2x2 − x4 (C )
m=3
a.
Khảo sát hàm số.
b.
Tìm m để hàm số luôn b.
Viết pttt với đồ thị (C )
đồng biến trên tập xác định.
biết tiếp tuyến đi qua gốc toạ
độ.
6


Tài liệu luyện thi Toán 12

GV:

Hồ Văn

Hoàng

c.Biện luận theo m số nghiệm
của phương trình:
x 4 − 2x 2 + m − 1 = 0


c.Tính diện tích hình phẳng giới
hạn bởi (C ),trục Ox và đường
thẳng x = 5.
d.Tìm các điểm M trên đồ thị
4 30
(C ) và cách đều hai trục toạ độ.
ĐS b. y = 0 ; y = ±
x
25
ĐS: b. y = − x − 1; y = − x − 3 ;
Bài 5.Cho y = (m + 1)x4 − 4mx2 c. S = 2 − ln3 ; d.
+2
 1 ± 13 1 ± 13 
a.
Khảo sát hàm số khi
M
;
÷

2
2 ÷
m=1 (C)


b.
Tính diện tích hình phẳng
(m + 1)x + m + 3
giới hạn bởi (C ) và đường thẳng Bài 8.Cho y =
mx + 2

y =2
(C m )
c. Biện luận theo m số cực trị
hàm số
a.Tìm m để (C m ) đi qua điểm
d.
Tìm m để đồ thị (C m ) cắt
5
trục Ox tại 4 điểm phân biệt (b. M (0; 2) .
b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ
32 2
;d.m>1)
S=
đồ thị (C ) của hàm số với m vừa
15
4
2
Bài 6. Cho y = x − 2(m+1)x + tìm được.
c.Tìm các điểm M trên đồ thị (C )
2m+1
có toạ độ là các số nguyên.
a.
Khảo sát hàm số khi
d.Tìm m để hàm số đồng biến
m=0 (C).
b.
Tính diện tích hình phẳng trên tập xác định của nó.
a.m=2; b.(1;2)và
giới hạn bởi (C ) và trục Ox
(−3;1);d−2

c.Tìm m để đồ thị (C m ) cắt trục
x −1
Bài 9. a)KShàm số : y =
Ox tại 4 điểm phân biệt và
x
+1
hoành độ của 4 điểm đó lập
(C
)
thành một cấp số cộng.
b)Viết phương trình tiếp tuyến
16
với đồ thị (C ) biết tiếp tuyến đi
Đáp số : b. S =
c.
15
qua A(−1;2).
4
c)Tìm toạ độ điểm M∈(C):tổng
m = 4; m = −
khoảng cách từ M đên hai tiệm
9
cận nhỏ nhất.
x −3
Bài 7.Cho hàm số : y =
d)Tính thể tích vật thể tròn xoay
2− x
do hình phẳng giới hạn bởi đồ
(C )
thị (C ), Ox và đường thẳng x=3

a.
Khảo sát hàm số.
quay quanh Ox.
b.
Viết pttt với (C ) biết
tiếp tuyến song
song với đường thẳng y -= −x +
2010.

(

1
17
x+
;c M −1 ± 2; m 2
8
8
;d.V=π(3−4ln2)
b.y=

Bài 10.Cho y = −x + 3 −
7

)

1
(C ).
x −1

Tài liệu luyện thi Toán 12

GV:

Hồ Văn

Hoàng

a.
Khảo sát hàm số.
b.
Tính diện tích hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị
(C ),tiệm cận xiên và hai đường
thẳng x = 2, x = 4.
c.Gọi M là điểm thay đổi trên
(C ). Chứng minh tích hai
khoảng cách từ M đến hai đường
tiệm cận là nhỏ nhất.
d.
Tìm m để đường thẳng
y= m cắt (C )
tại hai điểm phân biệt A và
B:AB= 5
b.S = ln3; c. d(tcđ;tcx)=1(không
đổi) ; d. m =−1 và m=5
TN 2008 Cho y = 2x3 + 3x2 − 1.
a.
Khảo sát hàm số.
b.

Biện luận theo m
số nghiệm của phương trình 2x3
+ 3x2 − 1 = m.
TN2008 Cho hàm số y = x3 −
3x2
a.
Khảo sát hàm số đã cho.
b.
Tìm m để ptrình x3 − 3x2
− m = 0 c ó 3 nghiệm phân biệt.
TN2007 Cho y= x3 − 3x + 2
(C) .
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm
số .
b) Viết pttiếp tuyến tại điểm
A(2 ;4) .
TN2006 Cho y=−x3 + 3x2ị (C) .
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm
số .
b) Biện luận số nghiệm phương
trình : −x3 + 3x2 − m = 0 .

TN2004 Cho y= x3 − 6x2 +9x
(C) .
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm
số .
b/ Viết phương trình tiếp tuyến
tại điểm có hoành độ là nghiệm
pt y’’=0 .
c/ Với giá trị nào của m thì

đường thẳng y = x + m 2 − m đi
qua trung điểm đoạn thẳng nối
cực đại, cực tiểu .
TN2004 Cho y= x3 −3mx2 +
4m3.
a/ Khảo sát hàm số khi m=1 .
b/ Viết pttt tại điểm có hoành độ
x=1 .
1
TN2002 Cho y = x 3 − x 2 (C )
3
a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
b)Viết pttt của (C) đi qua điểm
A(3; 0)
1
TN2001 Cho y = x 3 − 3x (C )
4
a)Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b)Viết phương trình tiếp tuyến
của (C) tại điểm có hoành độ
bằng 2 3 .
TN 99 Cho y = x3 – (m + 2)x +
m
a)Tìm m để hàm số có cực đại
tại x=1
b)Khảo sát hàm số với m = 1(C)
c)Biện luận số giao điểm của (C)
với đường thẳng y = k

8

Tài liệu luyện thi Toán 12

GV:

Hồ Văn

Hoàng
Chủ đề 2 HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH, BPT
MŨ , LÔGARIT.
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ
n
1.a2...3a (n ∈ +, n ≥1, a ∈ )
1. Các định nghĩa:  a = a
n thua so

m
1
(n ∈ +, n ≥1, a ∈ \{0}).
 a n = n a m (m, n ∈ , a > 0)
an
m
−
1
1
n
 a = m = n m  a1 = a , ∀a;
 a 0 = 1 ∀a ≠0;
a

n
a
2. Các tính chất :
am
 a m .a n = a m + n ;  n = a m −n ;  (am)n = am.n;  (a.b)n = an.bn; 
a
n
a
a
( )n = n
b
b
3. Hàm số mu: Dạng : y = ax ( 0 < a ≠ 1)
 Tập xác định : D = ;
Tập giá trị : T = + ( ax > 0 ∀ x ∈ )
 Tính đơn điệu: * a > 1 đồng biến trên  . * 0 < a < 1 nghịch
biến trên .
II. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT
1. Định nghĩa: Với 0 < a ≠ 1 và N > 0 có loga N = M ⇔ aM = N.

 a −n =

Điều kiện có nghĩa: loga N có nghĩa khi

0 < a ≠ 1

N > 0

2. Các tính chất : loga 1 = 0 ;  loga a = 1 ;  logaaM = M; 
a loga N = N ;

 loga

 loga(N1.N2)= loga|N1| + loga|N2|

N1
= loga N1 − loga N2
N2

 logaNα = α; Đặc biệt : logaN2 = 2.loga|N|
3. Công thức đổi cơ số :
loga N
1
 logaN = logab.logbN ⇔logb N =
.  loga b =

logb a
loga b
1
loga N
k
4. Hàm số logarít: Dạng y = logax (0 < a ≠ 1)
 Tập xác định : D = +;
 Tập giá trị: T = .
 Tính đơn điệu: * a > 1 đồng biến trên +. * 0 < a < 1 nghịch
biến trên +.
Phương trình mu- lôgarít cơ bản :
logak N =

9

Tài liệu luyện thi Toán 12

GV:

Hồ Văn

Hoàng
Dạng ax = b ( 0 < a ≠ 1 )
 b ≤ 0 : pt vô nghiệm
 b > 0 : ax = b ⇔ x = loga b
Bất phương trình mu- lôgarít cơ
Dạng ax > b ( 0 < a ≠ 1 )
b≤0 : Bpt có tập nghiệm R
b>0:ax > b ⇔ x > loga b khi
a>1
ax > b ⇔ x < loga b khi 0< a
<1

Dạng loga x = b ( 0 < a ≠ 1 )
 Điều kiện : x > 0
 logax = b ⇔ x = ab.
bản :
Dạng loga x > b ( 0 < a ≠ 1 )
Điều kiện : x > 0
logax > b ⇔ x > ab khi a >1
logax > b ⇔ x < ab khi 0 < a<
1

A. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Dạng 1. Đưa về cùng cơ số
2
1
1) 2x + 3x − 2 = ⇔2x 2 + 3x − 2 = 2−2
4
x = 0
⇔ x2 + 3x − 2 = −2 ⇔ 
 x = −3

( )

⇔ 6561. 3x

2

− 972.3x + 27 = 0

(*)
Đặt t = 3x > 0; Phương trình (*)
⇔ 6561t 2 − 972t + 27 = 0 ⇔
1

x 2 − 3x +1
t = ⇔ 3x = 3−2 ⇔ x = −2

 1
2
9
2)  ÷
= 3 ⇔3− ( x −3x +1) = 31 ⇔ ⇔ 

 3
t = 1 ⇔ 3x = 3−3 ⇔ x = −3

27
x = 1
−(x 2 − 3x + 1) = 1 ⇔ ... ⇔ 
x
2) 25 − 2.5x − 15 = 0
x = 2
⇔ (5x)2 − 2.5x − 15 = 0 (*)
3) 2x +1 + 2x − 2 = 36 ⇔
Đặt t = 5x > 0;Phương trình (*)
x
2
t = 5
2.2x +
= 36
⇔ t 2 − 2t − 15 = 0 ⇔ 
4
t = −3 (loai)
⇔ 9.2x = 36.4 ⇔ 2x = 24 ⇔ x = 4
x
Với
t
=
5
⇔
5
=
5

⇔
x = 1.
x
x+2
2−x
x
2x −1
x 4
3) 3
− 3 = 24⇔
4) 5 .2
= 50 ⇔ 5 .
= 50
2
9
x
9.3 − x = 24
⇔ 20x = 100 ⇔ x = log20100.
3
BT: a) 2x − 4 = 3 4 b)
x 2 − 6x −

5

( )

2

2
2x − 3

2
= 9x + 3x −5
2
= 16 2 c) 3
⇔ 9. 3x − 24.3x − 9 = 0 (*)
d) 2x 2 − x + 8 = 41− 3x
Đặt t = 3x > 0. Pt (*)
x +17
x +5
1
t = 3
e) 32x − 7 = 128 x − 3
4
⇔ 9t2 − 24t − 9 = 0 ⇔ 
t = − 1 ( loai)
g) 2x + 2x −1 + 2x – 2 = 3x – 3x – 1 +

3
3x − 2
g) (1,25)1 – x =
x
Với
t
=
3
⇔
3
=
3
⇔

x
=
1;
(0,64)2(1+ x )
BT: a) 22x + 5 + 22x + 3 = 12
Dạng 2. đặt ẩn phụ
b) 92x +4 − 4.32x + 5 + 27 = 0
1) 32x + 8 − 4.3x +5 + 27 = 0 ⇔
c) 52x + 4 – 110.5x + 1 – 75 = 0
38.32x − 4.35.3x + 27 = 0

10


Tài liệu luyện thi Toán 12

GV:

Hồ Văn

Hoàng
e) 5

x

− 53−

= 20

x

x −1

e) 5x .8 x = 500
x
x
f) 52x + 1− 7x + 1 = 52x + 7x
f) 4 − 15 + 4 + 15 = 2
Dạng 4. sử dụng tính đơn
x
x
điệu
g)
5 + 2 6 + 5 − 2 6 = 10
a) 3x + 4 x = 5x
b) 3x – 12x
x
=4
h) 32x+1 − 9.3x + 6 = 0.
x/2
x
x
1− x
i) 7 + 2.7 − 9 = 0 (TN – 2007) c) 1 + 3 = 2
Dạng 5. Giải bất phương
j) 22x + 2 − 9.2x + 2 = 0
trình:
Dạng 3. Logarit hóạ
a) 49 x − 6.7 x − 7 < 0
a) 2x − 2 = 3

b) 3x + 1 = 5x – 2
x −1
x
b) 4 x +1 ≤ 0,25.32 x +1

(

) (

(

) (

c) 3x – 3 = 5x
2x − 2 = 5x

2

2

− 7x +12

)

)

d)

c) 32 x +2 − 4.3 x +2 + 27 > 0
d) ( 2,5) x − 2.(0,4) x + 1,6 < 0

− 5x + 6

B. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
LÔGARIT
Dạng 1. Đưa về cùng cơ số
Bài tập
a) log4(x + 2) – log4(x −2) = 2 log46 b) lg(x + 1) – lg( 1 – x) =
lg(2x + 3)
c) log4x + log2x + 2log16x = 5
d) log4(x +3) – log4(x2 –
1) = 0
e) log3x = log9(4x + 5) + ½
f) log4x.log3x = log2x + log3x –
2
g) log2(9x – 2+7) – 2 = log2( 3x – 2 + 1) h)log3(x + 2) + log3(x − 2) =
log35
Dạng 2. đặt ẩn phụ
1
2
a)
+
=1
b) logx2 + log2x = 5/2
4 − ln x 2 + ln x
c) logx + 17 + log9x7 = 0
d) log2x +
10log2 x + 6 = 9
e) log1/3x + 5/2 = logx3
2log2x

2
g) log 2 x + 3log 2 x + log1 x = 4

f) 3logx16 – 4 log16x =
h) lgx 2 16 + lo g2x 64 = 3

2

Dạng 3 mũ hóa
a) 2 – x + 3log52 = log5(3x – 52 − x) b) log3(3x – 8) = 2 – x
Bất phương trình logarit
a) log4(x + 7) > log4(1 – x) b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – 4
c) log2( x2 – 4x – 5) < 4
d) log1/2(log3x) ≥ 0

11


Tài liệu luyện thi Toán 12

GV:

Hồ Văn

Hoàng
e) 2log8( x− 2) – log8( x− 3) >
log1
3

2

f) log2x(x2 −5x + 6) < 1 g)
3

3x − 1
>1
x +2

Bảng đạo hàm:
(e x ) ' = e x

(eu ) ' = u '.eu

(a x ) ' = a x .lna

(au ) ' = u '.au .lna

1
x
1
(loga x ) ' = x
a lna
(x α ) ' = α .x α −1 (α ≠ 0, x > 0)

u'
u
u'
(loga u ) ' =
u .lna

(ln x ) ' =

(n x ) ' =

(ln u ) ' =

(u α ) ' = α .u α −1 u '

1
n

(n u ) ' =

n −1

u'

n. u n −1
Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương
ứng đã cho.
1) y = esinx
CMR: y’cosx – ysinx – y’’ = 0
2) y = ln(cosx)
CMR: y’tanx – y’’ – 1 = 0
x
3) y = ln(sinx)
CMR: y’ + y’’sinx + tan
=0
2
4. y = ex. cosx
CMR: 2y’ − 2y − y’’ = 0

5. y = ln2x
CMR: x2y’’ + xy’ = 2
n x

n

Chủ đề 3 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
I. NGUYÊN HÀM
A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa: Hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là
của f trên K nếu F '(x ) = f (x ), ∀x ∈ K .
Chú ý

∫ f (x )dx = F (x ) + C : Họ tất cả các nguyên hàm của f trên K.

2. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:
1) ∫ 0dx = C ;
∫ dx = x + C
x α +1
+ C . (α ≠ −1)
α +1
4) Với k là hằng số khác 0.
cos kx
a. ∫ sinkxdx = −
+C ;
k
2) ∫ x α dx =

3) ∫
b.

12

dx
= ln x + C . (x ≠ 0)
x

∫ cos kxdx =

sin kx
+C ;
k


Tài liệu luyện thi Toán 12

GV:

Hồ Văn

Hoàng
c.

kx
∫ e dx =

1

∫ cos

e kx
+C ;
k

d.

ax
+ C (0 < a ≠ 1) ;
lna

1

∫ sin

dx = − cot x + C .
2
x
x
3. Các phương pháp tính nguyên hàm
 Phương pháp đổi biến
∫ f u (x ) u '(x )dx = F u (x ) + C
5. a.

2

dx = tan x + C ;

x
∫ a dx =

 Phương pháp từng phần:

b.

∫ udv = u .v − ∫vdu

Dạng 1: Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và tính chất.
Phương pháp giải:
Thường đưa nguyên hàm đă cho về nguyên hàm của tổng và
hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng ⇒ kết quả.
Ví dụ: Tìm nguyên hàm các hàm số sau:
1
a) f(x) = x3 – 3x +
b) f(x) = 2 x + 3x c) f(x) = (5x + 3)5 d) f(x) = sin4x cosx
x
Giải
1
1
x4 3 2
a/ ∫ f ( x)dx = ∫ (x 3 - 3x + )dx = ∫ x 3 dx − 3∫ xdx + ∫ dx =
− x + ln x + c
x
x
4 2
2x
3x
b/ ∫ f ( x)dx = ∫ (2 x + 3x ) dx = ∫ 2 x dx + ∫ 3x dx =
+
+c
ln 2 ln 3

d (5 x + 3) (5 x + 3) 6
c/ ∫ f ( x)dx = ∫ (5x+ 3)5 dx = ∫ (5x+ 3)5
=
+c
5
30
sin 5 x
d/ ∫ f ( x)dx = ∫ sin 4 x cosxdx = ∫ sin 4 x d (sin x) =
+c
5
Dạng 2: Tìm nguyên hàm của một hàm số thoả điều kiện
cho trước.
B1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số đă cho
B2: Thay điều kiện đă cho vào họ nguyên hàm tìm được C thay
vào họ nguyên hàm ⇒ nguyên hàm cần tìm.
π
Ví dụ: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=1+ sin3x biết F( )= 0.
6
1
π
π 1
π
π
Ta có F(x)= x – cos3x+C. Do F( ) = 0 ⇔ − cos + C = 0 ⇔ C = − .
3
6
6 3
6
2
1

π
Vậy nguyên hàm cần tìm là: F(x)= x –
cos3x − .
3
6
Tự luyện
1. Tìm nguyên hàm của f(x)
a) f(x) = (2x −1)2 biết F(0)=3
b) f(x) = 2sinx +.x biết
F(π) = 1.
13


Tài liệu luyện thi Toán 12

GV:

Hồ Văn

Hoàng
c) f(x) = sin2x.cosx, biết F(

π
− 3
)=
d) f(x) = e1−2x , biết F(
3
8

1

)=0
2
e) f(x) =

1
x 3 + 3x 2 + 3x − 1
, biết F( 1) =
3
x 2 + 2x + 1

2. CMR F ( x ) =

1
1
x + sin2x là nguyên hàm của f(x) = cos2x.
2
4

3. Tính đạo hàm của F(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x) (a là
hằng số)
1
1
x
a) F(x) = ln
; f(x)=
b) F(x) =
,
2
2
x + x +a

x −4
x2 +1
1
f (x ) =
3
x2 +1

(

)

II. TÍCH PHÂN
b

∫ f (x )dx = [ F (x )]

1.Định nghĩa

b
a

= F (b ) − F (a)

a

2. Tính chất Với f(x), g(x) liên tục trên khoảng K và a, b, c ∈ K.
Khi đó ta có:

∫

1)

a

a

∫

3)

b

a

2)

∫

f (x )dx + ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx ; 4)

∫

f (x )dx = 0;
c

c

b

a

a

b
b

a

f (x )dx = −

∫

b

a

f (x )dx ;
b

k .f (x )dx = k. ∫ f (x )dx ;
a

k∈ 
b

b

a

a

5) ∫ [f (x ) ± g (x )]dx = ∫ f (x )dx ±
2

 Tính 1.

∫

1

x

b

a

2

x + 1dx

2.

1

∫ (e

∫

∫(

g (x )dx ;
x − 1)(x + x + 1)dx

3.

1

+ x )dx

0

5

4.

∫
2

1

∫

dx
x+2+ x −2

π
2

5.

∫ (2sin x + 3cosx + x )dx

6.

π
3

x 2 − 6x + 9dx

0

 Đổi biến số : chú ý các dạng đổi biến số thường gặp :
14


Tài liệu luyện thi Toán 12

Hồ Văn

GV:

Hoàng
Loại 1:

∫ f (x

b

u (b )

a

u (a )

∫ f u (x ) u '(x )dx =

∫

f (u )du ; (nhớ đổi cận)

n +1

).x ndx (đặt t = x n +1 ),
logarit...)
∫ f (cos x ).sin xdx (đặt t = cos x ),
1

∫ f (tan x ). cos

),

2

x

1

01

2

2
3. ∫ x x + 1dx (t= x +1)

∫
7. ∫
11

∫
0

2

4.

π

4

∫
1

tan x + 2

e

∫
1

0

3

1− x 2 dx

(t = 1 − x 2 )

0

sin 2 x
cos x + 4sin 2 x
2

e x + 1dx (t = e x + 1)

ln 3

e

sin(ln x)
∫1 x dx (t = lnx) 15.

∫

1

−a

a 2 − x 2dx ;

2

∫x
1

e 2 ln x +1
∫1 x dx (t = 2lnx +
e

1
x3 + 1

dx 18.

dx .
a

∫x

2

a2 − x 2

dx

a 2 − x 2dx

 π π
Đặt x=asint, t∈  − ;  ⇒dx=
 2 2
acostdt

∫

1 + 3ln x ln x
dx (t = 1 + 3ln x ) 17.
x

Loại 2: Dạng 1:

∫

12.

e
dx (t=tanx+2) 14.
cos 2 x

1) 16.

∫

∫x

0
ln 8

ex
dx . (t = ex − 1)
11 ∫ x
1 e −1

π
2

(đặt

e
1 + ln x
(
t
=
1
+
3sin
x
)
cos x 1 + 3sin xdx
6. ∫ x dx (t=lnx)
e
2 + 3ln x
1 +13ln x
dx (t = 2 + 3ln x ) 8. ∫
ln xdx (t = 1 + 3ln x )
x
x
12
x
x +1
dx
dx (t = 3 3 x + 1)

(t = 5 x + 1) 10. ∫ 3
5x + 1
3x + 1

6

e0

13.

1

∫ f (ln x ). x dx

2. ∫ x 2 x + 3dx (t = 2 x + 3)

0

9.

(đặt t = sin x

1

2010
1. ∫1x(1 − x) dx (t = 1−x)

5.

∫ f (sin x ) cos xdx

dx (đặt t = tan x ),

t = ln x )…

π0

(Đặt t = mẫu, mũ, căn,

(hoặc x = acost, t∈[0 ;π]), đổi
cận rồi thay vào tích phân ban
đầu .
Dạng 2:
a
1
∫−a x 2 + a 2 dx ;

15

∫

a 2 + x 2dx


Tài liệu luyện thi Toán 12

GV:

Hồ Văn

Hoàng
 π π
Đặt x = a.tant, t ∈  − ; ÷
 2 2
⇒ dx = a(1+ tan2t ).dt, đổi cận
rồi thay vào tích phân ban đầu
1

2

∫

1/ a)

∫

1− x2

−1

−2
1

1

4 − x 2dx ; b) ∫

1

dx ; c) ∫ x 2 1 − x 2dx ; d)

−1

2x − x 2dx

0

2

1
dx ;
−2 x + 4
nghiệm)
2/a) ∫

2

1

1

1
dx (mẫu bậc 2 vô
−1 x ± x + 1

b) ∫ 1 + x 2dx ; c) ∫
−1

2

b

b

a

a

 Tích phân từng phần: ∫ udv = [uv ]ba − ∫vdu
Các dạng hàm số dưới dấu tích phân thường dùng tích phân từng
phần:
 P(x).sin ax
 P(x).cos ax
 P(x).Lnx
 P(x).eax
 eax.sin bx
 eax.Cosbx.
π
2

π
2

1. e x cos xdx
∫

2. (x − 1) cos xdx
∫

0

0

e

∫ (2 − x ) sin3xdx
0

3

2
∫ (1 − x ).ln x .dx

4.

3.

π
6

5.

1

1

∫ 4x .ln x .dx

6.

1

∫ x .ln(3 + x

2

).dx

0

 Tích phân hàm hữu tỉ:
5

2

2x − 1
dx ;
2
3 x − 3x + 2

1
dx ;
2
0 4+ x

1. ∫

2. ∫

1

x
dx ;
4
0 1+ x

3. ∫

 Tích phân hàm lượng giác: 1.

π
2

∫ sin

2

2

1
dx
4
1 x (1 + x )

4. ∫

x cos4 xdx

2.

0

π
2

∫ sin
0

π
2

2

π
2

π
2

π
2

dx
1
;4
dx ;5 ∫ sin7x .sin2xdx ;6
∫
π
−
0 2 − cos x
0 2 + sin x

x cos3 xdx 3 ∫

2

∫ cos x (sin

4

x + cos4 x )dx

0

III. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
 Bài toán diện tích hình phẳng:
16


Tài liệu luyện thi Toán 12

GV:

Hồ Văn

Hoàng
1) Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục hai hàm số (C): f1(x), (C’): f2(x), x = a, x
b
trên [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn
S
=

=
b
là:
bởi đồ thị (C): y = f(x), t Ox và hai
∫a f1 ( x) − f 2 ( x) dx
đường thẳng x = a và x = b là:
 Bài toán tính thể tích khối tròn
b
S = ∫ f ( x) dx
xoay:
a
Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình
2) Dạng 2: Cho hai hàm số y = f1(x) và phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x),
y = f2(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó diện trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b
tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị quay xung quanh trục Ox là:
b

V = π ∫ f 2 ( x)dx
a

Chủ đề 4 SỐ PHỨC
Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau :
a) (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i)
ĐS : 1 và 1
b) (1 + i)2 – (1 – i)2
ĐS: 0 và 4
c) (2 + i)3 – (3 – i)3
ĐS: −16 và 37
3−i
2−i

3−3
d)
ĐS :
và
−
1+ i
i
2
2 2 −1− 3
2
Bài 2: Cho số phức z = x + yi. Tìm phần thực và phần ảo của các
số phức :
a) z2 – 2z + 4i
ĐS: x2 – y2 – 2x và 2(xy – y + 2)
−2xy
y 2 − x 2−1
z +i
b)
ĐS: 2
2 và
2
x + (y + 1)
x + (y + 1)2
iz − 1
Bài 3: Giải các phương trình sau (ẩn z):
2+ i
−1 + 3i
1
a)
z=

b) [(2 − i )z + 3 + i ](iz + ) = 0
1− i
2+ i
2i
c) z + 2z = 2 − 4i ;
ĐS: a)

d) z 2 + z = 0 ;

e) z 2 + z

2

=0

22 4
2
1
+
i ; b) ĐS: −1 + i ; ; c) + 4i; d) 0; I; −1; e) bi (b∈
25 25
3
2

)
Bài 4: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu
diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau:
ĐS: x = 1/2 và x = −7/2
17

a) z + z + 3 = 4


Tài liệu luyện thi Toán 12

GV:

Hồ Văn

Hoàng
1± 3
b) z − z + 1 − i = 2 ĐS: y =
; c) 2|z – i| = z − z + 2i ĐS: y =
2
x2
4
4

z +i 
Bài 5: Tìm số phức z thỏa mãn : 
ĐS: 0, 1 ,
÷ =1
z −i 
−1
Bài 6: Phân tích ra thứa số : a) a2 + 1
b) 2a2 + 3 c) 4a4 +
2
9b
ĐS: a) (a – i)(a + i); b) (a 2 − i 3)(a 2 + i 3) ;c) (2a – 3bi)(2a +
3bi)

Bài 7: Thực hiện phép tính :
3 6
3
1+ i
− i
a)
ĐS:
b)
ĐS: i
5
5
1 + 2i
1− i
m
a+i a
c)
ĐS: −i m
d)
ĐS:
i m
a −i a
a −1 2 a
+
i
a +1 a +1
3+ i
(1 + 2i )2 − (1 − i )2
4 3
21 9
+

i
e)
ĐS: + i
f)
ĐS:
(1 − 2i )(1 + i )
(3 + 2i )2 − (2 + i )2
5 5
34 17
Bài 8*: Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau :
a) −1 + 4 3.i
ĐS: ±( 3 + 2.i )
b) 4 + 6 5.i
ĐS:
±(3 + 5.i )
c) −1 − 2 6.i
ĐS: ±( 2 − 3.i ) d) −5 + 12.i
ĐS: ± (2 +
3i)
Bài 9: Giải các phương trình sau trong C.
3 1
a) x 2 − 3.x + 1 = 0 ĐS:
± i b) 3 2.x 2 − 2 3.x + 2 = 0 ĐS:
2 2
6
(1 ± i )
6
c*) x2 – (3 – i)x + 4 – 3i = 0
ĐS: 2 + i ; 1 – 2i
Bài 10: Giải các hệ phương trình :

z1 + z2 = 4 + i
z1.z2 = −5 − 5.i
a)  2
b)  2
2
2
z1 + z 2 = 5 − 2i
z1 + z2 = −5 + 2.i
ĐS:a) (3 – i; 1 + 2.i) và (1 + 2.i; 3 – i)
ĐS:b) (2 – i; −1 – 3.i), (−1 – 3i; 2 – i), (−2 + i; 1 + 3i), (1 + 3i; −2
+ i)
18


Tài liệu luyện thi Toán 12

GV:

Hồ Văn

Hoàng

Bài 11: Tìm một acgumen của mỗi số phức sau:
2π
3π
a) −2 + 2 3.i ĐS:
b) 4 – 4i ĐS:
c) 1 − 3.i ĐS:
3
4

π
π
π
π
π
π
−
d) cos − i .sin ĐS − e) − sin − i .cos ĐS
3
8
8
4
4
4
5π
π
−
f) (1 − i . 3)(1 + i ) ĐS −
8
12
Bài 12: Thực hiện phép tính :
3 2
3 2
a) 3(cos20o + isin20o)(cos25o + isin25o) ĐS:
+ i.
2
2
π
π
π

π
5π
5π
b) 5 (cos + i .sin ).3(cos + i .sin )
ĐS: 15(cos
+ i .sin )
6
6
4
4
12
12
2(cos 450 + i .sin450 )

2
6
+ i.
3(cos15 + i .sin15 )
2
6
Bài 13: Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:
a) 1 − i 3
b) 1 + I
c) (1 − i 3)(1 + i )
c)

0

ĐS:

0

d)

1− i 3
1+ i
1
2 + 2i
 −π 
 −π 
ĐS: a) 2[cos 
÷ + i .sin  3 ÷ ]
 3 


π
π
c) 2 2[cos(− ) + i .sin(− )]
12
12
π
π
e) 4(cos + i .sin )
3
3
e) 2.i .( 3 − i )

g) z = sinφ + i .cos φ

f)

π
π

2.  cos + i .sin ÷
4
4

7π
7π
d) 2[cos(− ) + i .sin(− )]
12
12
π

π

f) cos  − φ ÷ + i sin  − φ ÷
2
2




b)

Bài 14: Tính : a) (cos12o + isin12o)5

ĐS:

1
3
+i
2
2

a) [ 2(cos300 + i sin300 )]7

ĐS: −4 6 − i .4 2

b) ( 3 − i )6
c) (1 + i)16

ĐS: −2 6
ĐS: 2 8

Chủ đề 5 − 6

Hình học không gian

Câu III (1 điểm): Hình học không gian (tổng hợp)
Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ
tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón

19


Tài liệu luyện thi Toán 12

GV:

Hồ Văn

Hoàng
tròn xoay, khối trụ tròn xoay; diện tích mặt cầu và thể tích
khối cầu.
1
V = Bh
3
Lăng trụ:
V =Bh
1
1
Khối nón: V = Bh= π r 2h
3
3
S xq = π rl
Khối chóp:

Khối trụ: V = Bh = π r 2h S xq =2π rl

Khối cầu: V =

4 3
πr ,
3

S = 4π r 2
Bài 1(2008 - lần 1): Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh
đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.

a) Chứng minh SA vuông góc với BC. b) Tính thể tích khối chóp
S.ABI theo a.
Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Tính thể tích của khối
chóp, biết:
a) Cạnh đáy bằng 2cm, cạnh bên bằng 3cm.
b) Cạnh đáy bằng 2cm, cạnh bên hợp với đáy 1 góc 60 0.
c) Cạnh đáy bằng 2cm, mặt bên hợp với đáy 1 góc 60 0.
Bài 3:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Tính thể tích của khối
chóp, biết:
a) Cạnh đáy bằng 2cm, cạnh bên bằng 2cm.
b) Cạnh đáy bằng 2cm, cạnh bên hợp với đáy 1 góc 60 0.
c) Cạnh đáy bằng 2cm, mặt bên hợp với đáy 1 góc 60 0.
Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a,
góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60 0. Tính thể tích của khối
chóp S.ABCD theo a.
Bài 5: Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều S.ABCD biết SA =
BC = a
Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a,
cạnh bên là a 3 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.
Bài 7 (2006): Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB bằng a 3 .
a) Tính thể tích của khối chóp S. ABCD.
b) Cmr trung điểm cạnh bên SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp S.ABCD.
Bài 8 (2007- lần 1): Hình chóp tam giác S. ABC có đáy ∆ ABC
vuông đỉnh B, SA vuông góc với đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính
thể tích S. ABC.

20

Tài liệu luyện thi Toán 12

GV:

Hoàng

Hồ Văn

Bài 9 (2007-lần 2): Hình chóp tứ giác S. ABCD có đáy ABCD là
hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = AC.
Tính thể tích S. ABCD.
Bài 10 (2008 - lần 2): Hình chóp S.ABC, ∆ABC vuông đỉnh B, SA
⊥ (ABC). Biết AB = a; BC = a 3 và SA = 3a. Gọi I là trung điểm
của cạnh SC.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. b) Tính độ dài đoạn
thẳng BI theo a
Bài 11 (2009): Cho hình chóp S. ABC có mặt bên SBC là tam
·
giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy. Biết BAC
=1200, tính thể
tích khối chóp S. ABC theo a.
Bài 12: Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông cân tại
A, cạnh huyền bằng a 2 , SA vuông góc với (ABC) .Tính thể tích
khối chóp, biết:
a) SB hợp với đáy một góc 300.
b) (SBC) hợp với đáy
một góc 450.
Bài 13 Hình chóp S.ABCD; ABCD hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD)
.Tính thể tích khối chóp, biết: a) SC hợp với đáy góc 45 0. b) (SBC)

hợp với đáy góc 300.
Bài 14 Hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông cạnh a. SA ⊥
(ABCD), SA = 2a .
a) Chứng minh BD ⊥ SC.
b) Tính thể tích khối chóp S.BCD
theo a .
Bài 15 : Cho hình lăng trụ đứng ABC. A'B'C' có đáy là ∆ABC vuông
cân tại A có AB = a, cạnh bên của lăng trụ bằng a 3 .Tính thể
tích của khối lăng .
Bài tập 16: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D có cạnh bằng a .
a) Tính thể tích khối lập phương theo a
b) Tính thể tích của khối chóp A. A’B’C’D theo a .
Bài 17 Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C có cạnh bên bằng cạnh đáy
và bằng a .
a) Tính thể tích khối lăng trụ . b) Tính thể tích của khối chóp A'.
ABC theo a .
Bài 18 Hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang cân (AB //
·
CD), AB = a, DC = 2a, ADC
= 600, (SAD) ⊥ đáy, SA=SD= AD.
Tính thể tích khối chóp .
Bài 19 Tứ diện ABCD, ∆DBC cân tại D, ∆ABC vuông cân, cạnh
huyền BC = 2a. (DBC) ⊥ (ABC), DA hợp với đáy góc 450. Tính thể
tích tứ diện ABCD theo a
Bài 20 Hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông cạnh a, (SAB) và
(SAD) cùng vuông góc với đáy, SB hợp với đáy góc 60 0. Tính thể
tích S.ABCD theo a
21

Tài liệu luyện thi Toán 12

GV:

Hồ Văn

Hoàng

Bài 21 Hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thoi tâm O, AC = 2a, BD
= 2b. Hai mặt chéo (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy.
Mặt bên (SBC) hợp với mặt đáy một góc bằng 45 0. Tính theo a, b
thể tích khối chóp S. ABCD.
Bài 22 Tứ diện SABC có ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc và
có độ dài lần lượt là a, b, c. Tính thể tích khối tứ diện S ABC theo
a, b, c.
Bài 23 Tính thể tích của khối chóp S.ABC cho biết AB=BC=CA=
3 ; góc giữa các cạnh SA,SB,SC với mặt phẳng (ABC) bằng 600 .
Bài 24 Cho hình chóp S. ABCD, đáy là hình chữ nhật có AB = 3a;
AD = 4a. Các cạnh bên hợp với mặt đáy góc α . Tính thể tích khối
chóp theo a và α .
Bài 25 Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA,SB,SC vuông góc với
nhau từng đôi một với SA = 1cm, SB = SC = 2cm .Xác định tâm
và tính bán kính của mặt cấu ngoại tiếp tứ diện , tính diện tích
của mặt cầu và thể tích của khối cầu đó .
Bài 26 Cho hình vuông ABCD cạnh 2a. Gọi M,N lần lượt là trung
điểm AB và CD. Khi quay hình vuông ABCD xung quanh trục MN
ta được hình trụ tròn xoay. Tính thể tích của khối trụ tròn xoay
được giới hạn bởi hình trụ nói trên.
Bài 27 Cho hình nón tròn xoay có đường cao h=20,bán kính đáy
r=25.

aTính diện tích xung quanh hình nón và khối nón.
Bài 28 Hình lăng trụ ∆đều ABC.A’B’C’ có tất cà các cạnh đều
bằng a .Tính thể tích của hình lăng trụ và diện tích của mặt cầu
ngoại tiếp hình lăng trụ .

Chủ đề 7 Phương pháp tọa độ trong không gian
Câu IV.a (2 điểm):
− Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
− Mặt cầu.
− Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
− Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị
trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
1. Cho A(1;0;0), B(0;2;0),
a.Lập pt mặt cầu tâm A tiếp xúc
C(0;0;4)
(P).
a. Viết phương trình mp(α) qua 3 b. Viết pt đ thẳng qua điểm A,
điểm A, B, C. Chứng tỏ OABC là vuông góc và cắt đ thẳng (d).
3.Cho hình hộp chữ nhật
tứ diện.
b. Viết phương trình mặt cầu (S) ABCD.A’B’C’D’ A(0,0,0),
B(1;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;3)
ngoại tiếp tứ diện OABC.
2. Cho A(2;0;1), (P): 2x − y + z a. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại
+1=0 và (d): x = 1+ t ; y = 2t; z của hình hộp. Tính thể tích hình
hộp
= 2+ t .
22

Tài liệu luyện thi Toán 12

Hoàng

GV:

b. Chứng tỏ rằng AC’ đi qua
trọng tâm của 2 tam giác A’BD
và B’CD’.
c. Tìm tọa độ điểm H là hình
chiếu vuông góc của D lên đoạn
A’C.
4. Trong kg Oxyz cho điểm
A(3;4;2), đường thẳng (d):
x y z −1
= =
và mặt phẳng (P):
1 2
3
4x + 2y + z − 1 = 0.
a.Lập pt mặt cầu tâm A tiếp xúc
(P).
b. Lập pt đthẳng d’ qua A, ⊥d và
//(P)
5. Cho A(1; 0;−2), B(−1;−1 ;3)
và mặt phẳng (P): 2x – y +2z +
1=0
a. Viết phương trình mặt phẳng (
Q) qua hai điểm A,B và vuông
góc với (P)

b.Viết pt mặt cầu tâm A và tiếp
xúc(P)
6. Cho (S):x2+y2+z2–2x+2y+4z–
3= 0
 x + 2y − 2 = 0
Và hai đthẳng (∆1): 
 x − 2z = 0
,
x −1 y
z
(∆2):
= =
−1
1 −1
a. CMR (∆1) và (∆2) chéo nhau.
b. Viết phương trình tiếp diện
của mặt cầu (S), biết tiếp diện
đó song song với hai đường
thẳng (∆1) và (∆2).
7. Cho M(1; − 1;1) , hai đường
x −1 y z
thẳng (∆1 ) :
= =
,
−1
1 4
x = 2 − t

(∆ 2 ) : y = 4 + 2t mp (P) :
z = 1



Hồ Văn

a. Tìm điểm N là hình chiếu
vuông góc của điểm M lên
đường thẳng (∆2)
b. Viết pt đường thẳng cắt cả
hai đường thẳng (∆1), (∆2) và đi
qua M.
8. Cho điểm M (−1; 4; 2) và hai
mặt phẳng (P1): 2x – y + z − 6
=0
(P2): x + 2y − 2z +2 =0 .
a. CMR (P1) và (P2) cắt nhau .
Viết phương trình giao tuyến ∆
của chúng.
b. Tìm điểm H là hình chiếu
vuông góc của điểm M trên giao
tuyến ∆.
9. Cho hai đường thẳng (∆) và
(∆’) lần lượt có phương trình:
 2x + y + 1 = 0
3x + y − z + 3 = 0
; 

 x − y + z − 1 = 0  2x − y + 1 = 0
a. Chứng minh rằng hai đường
thẳng đó cắt nhau tìm tọa độ
giao điểm.

b. Viết phương trình tổng quát
của mặt phẳng (α) đi qua (∆) và
(∆’).
c. Viết p trình đường thẳng (d)
vuông góc và cắt cả hai đường
(∆) và (∆’) .

y + 2z = 0

23