Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

02. MỞ ĐẦU VỀ DÃY SỐ - P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
I. ĐỊNH NGHĨA DÃY SỐ

+ Dãy số vô hạn
Một hàm số u xác định trên tập số tự nhiên N được gọi là một dãy số vô hạn (hay gọi là dãy số).
Kí hiệu là u(n) hoặc viết gọn là (un).
+ Dãy số hữu hạn
Một hàm số u xác định trên tập M = {1; 2;3...m} được gọi là một dãy số hữu hạn.
Kí hiệu là u(n) hoặc viết gọn là (un).
II. CÁC CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ

Dãy số cho bởi công thức của số hạng tổng quát
Khi đó un = f (n) trong đó f là một hàm số xác định.
Ví dụ 1 [ĐVH]: Với un = n2 − 1; n ≥ 2 ⇒ u1 = 3; u2 = 8; u3 = 15...
Ví dụ 2 [ĐVH]: Viết 5 số hạng đầu tiên của các dãy số sau:
3n + 1
1 + (−2) n
a) un = 2
b) un =
n +1
n +1
d) un =

2n + 1
2n − 1

e) un =

n +1
n2 + 1

c) un =

1
n +1 − n

 1
f) un =  1 + 
 n

n

Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
Khi đó, dãy số xác định được số hạng đầu hoặc một vài số hạng đầu.
u = a
u = a; u2 = b
hoặc  1
Có hai dạng cho số hạng bởi hệ thức truy hồi thường gặp là  1
un = f (un−1 )
un = f (un−1; un−2 )
u = 2
Ví dụ 1 [ĐVH]:  1
⇒ u1 = 2; u2 = 3u1 + 1 = 7; u3 = 3u2 + 1 = 22...
un = 3un −1 + 1
Ví dụ 2 [ĐVH]: Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số. Dự đoán công thức un và chứng minh công thức đó bằng phương
pháp quy nạp?

u1 = 3
u1 = 1
u1 = −1
a) 
b) 
c) 
2
un +1 = un + 2n + 1; n ≥ 1
un +1 = un + 3; n ≥ 1
un +1 = 1 + un ; n ≥ 1
Hướng dẫn giải:
u1 = 1
a) 
⇒ u1 = 1; u2 = u1 + 3 = 4; u3 = u2 + 5 = 9; u4 = u3 + 7 = 16; u5 = u4 + 9 = 25.
un +1 = un + 2n + 1
Từ đó ta có thể nhận thấy un = n 2 ; n ≥ 1, (*)
Ta chứng minh (*) bằng quy nạp.
+) Với n = 1 ta có u1 = 1, vậy (*) đúng.
+) Giả sử (*) đúng với n = k, tức là uk = k 2 ; k ≥ 1.

+) Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + 1, tức là uk +1 = (k + 1)2 ; k ≥ 0.
Thật vậy, uk +1 = uk + 2k + 1 = k 2 + 2k + 1 = (k + 1)2 ⇒ (*) đúng.
Vậy un = n 2 ; n ≥ 1.
u1 = −1
b) 
⇒ u1 = −1; u2 = u1 + 3 = 2; u3 = u2 + 3 = 5; u4 = u3 + 3 = 8; u5 = u4 + 3 = 11.
un +1 = un + 3
Từ đó ta có thể nhận thấy un = 3n − 4, (*)
Ta chứng minh (*) bằng quy nạp.
+) Với n = 1 ta có u1 = −1, vậy (*) đúng với n = 1.

+) Giả sử (*) đúng với n = k, tức là uk = 3k − 4.

Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!


Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

+) Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + 1, tức là uk +1 = 3(k + 1) − 4.
Thật vậy, uk +1 = uk + 3 = 3k − 4 + 3 = 3k − 1 = 3(k − 1) + 4 ⇒ (*) đúng.
Vậy un = 3n − 4.
u1 = 3
c) 
⇒ u1 = 3 = 9; u2 = 1 + u12 = 10; u3 = 1 + u22 = 11; u4 = 1 + u32 = 12; u5 = 1 + u42 = 13.
2
un +1 = 1 + un
Ta nhận thấy un = n + 8, (*)
Ta chứng minh (*) bằng quy nạp.
+) Với n = 1 ta có u1 = 3, vậy (*) đúng với n = 1.
+) Giả sử (*) đúng với n = k, tức là uk = k + 8.
+) Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + 1, tức là uk +1 = (k + 1) + 8 = k + 9
Thật vậy, uk +1 = 1 + uk2 = 1 + k + 8 = k + 9 ⇒ (*) đúng.

Vậy un = n + 8.

u1 = 1

Ví dụ 3 [ĐVH]: Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức 
3 2 5

un +1 = − 2 un + 2 un + 1; n ≥ 1
a) Tính u2, u3, u4.
b) Chứng minh rằng un +3 = un ∀n ∈ ℕ*
Hướng dẫn giải:
u1 = 1
3
5
3
5
3
5

a) Ta có 
⇒ u2 = − u12 + u1 + 1 = 2; u3 = − u22 + u2 + 1 = 0; u4 = − u32 + u3 + 1 = 1.
3 2 5
2
2
2
2
2
2
un +1 = − 2 un + 2 un + 1

b) Ta chứng minh un +3 = un , (*) ∀n ∈ ℕ* bằng quy nạp.
+ Với n = 1 ta có u4 = u1, đúng theo phần a.
+ Giả sử (*) đúng với n = k, tức là uk +3 = uk .
+ Ta chứng minh (*) đúng với n = k + 1, tức cần chứng minh uk + 4 = uk +1
3
5
3

5
Thật vậy, theo cách cho dãy số ta có uk + 4 = − uk2+3 + uk +3 + 1 = − uk2 + uk + 1 = uk +1 ⇒ (*) đúng.
2
2
2
2
*
Vậy un +3 = un ∀n ∈ ℕ .
Ví dụ 4 [ĐVH]: Viết 6 số hạng đầu tiên của các dãy số sau và dự đoán số hạng tổng quát của dãy số đó.
u1 = 1
u1 = 1
u1 = 1

a) 
b)
c)
u


n
2
un +1 = un + 2n + 1; n ≥ 1
un +1 = un + 1; n ≥ 1
un +1 = u + 1 ; n ≥ 1
n

Đ/s: a) un = n.

1
b) un = .

n

c) un = n2 .

III. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM

Dãy số (un) được gọi là tăng nếu un < un+1; ∀n ∈ ℕ*.
Dãy số (un) được gọi là giảm nếu un > un +1; ∀n ∈ ℕ* .
Một dãy số tăng, giảm được gọi chung là dãy số đơn điệu.
Phương pháp khảo sát tính đơn điệu của một dãy số
Phương pháp 1: Xét hiệu H = un+1 − un
+) Nếu H > 0 thì dãy số đã cho là dãy tăng.
+) Nếu H < 0 thì dãy số đã cho là dãy giảm.
un +1
un
+) Nếu T > 1 ⇔ un+1 > un ⇒ dãy số đã cho là dãy tăng.
+) Nếu T < 1 ⇔ un+1 < un ⇒ dãy số đã cho là dãy giảm.
Phương pháp 2: Nếu un > 0 thì ta lập tỉ số T =

Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!


Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Ví dụ 1 [ĐVH]: Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
n
a) un = 2n + 3.
b) un = n .
2

c) un =


n
.
n +1
2

Facebook: LyHung95

d) un =

n +1 − n
.
n

Hướng dẫn giải:
a) Theo cách cho dãy số ta được un = 2n + 3; un +1 = 2(n + 1) + 3 = 2n + 5 ⇒ un +1 − un = (2n + 5) − (2n + 3) > 0
Suy ra un +1 > un ⇒ dãy số đã cho là dãy tăng.
b) Ta có un =
Giả sử

V ậy

2n

; un +1 =

n + 1 un+1
n + 1 2n 1 n + 1 1 n + 1
⇒
=

.
=
=
un
2
n
2n+1
2n +1
n 2
n

un +1 1 n + 1
1 n +1
=
>1⇔
> 1 ⇔ n + 1 > 4n ⇔ 3n < 1 ⇒ vô lý.
2
4 n
un
n

un +1
< 1 ⇔ un +1 < un ⇒ dãy số đã cho là dãy số giảm.
un

c) Ta có un =
=

n


n
n +1
n +1
n +1
n
(n + 1)(n2 + 1) − n(n 2 + 2n + 2)
;
=
=
⇒
−
=
−
=
u
u
u
n +1
n +1
n
(n + 1)2 + 1 n 2 + 2n + 2
(n2 + 1)(n 2 + 2n + 2)
n2 + 1
n 2 + 2n + 2 n 2 + 1

n3 + n 2 + n + 1 − n 3 − 2 n 2 − 2n
−n2 − n + 1
=
< 0 ∀n ≥ 1 ⇒ (un ) là dãy số giảm.
(n 2 + 1)(n 2 + 2n + 2)

(n 2 + 1)(n 2 + 2n + 2)

n +1 − n
n +1
n+2
=
− 1 ⇒ un +1 =
−1
n
n
n +1
 n + 2   n +1 
n+2
n + 1 n n + 2 − (n + 1) n + 1)
Khi đó ta có un +1 − un = 
− 1 − 
− 1 =
−
=
n +1
n
n(n + 1)
 n +1
  n

Giả sử un +1 − un > 0 ⇔ n n + 2 − (n + 1) n + 1) > 0 ⇔ n n + 2 > (n + 1) n + 1) ⇔ n 2 ( n + 2) > (n + 1)3

d) un =

⇔ n3 + 2n2 > n3 + 3n2 + 3n + 1 ⇔ n2 + 3n + 1 < 0 ⇒ vô lý.

Vậy un +1 − un < 0 ⇒ (un ) là dãy số giảm.
IV. DÃY SỐ BỊ CHẶN

Dãy số (un) được gọi bị chặn trên nếu tốn tại một số M sao cho un ≤ M ; ∀n ∈ ℕ* .
Dãy số (un) được gọi bị chặn dưới nếu tốn tại một số m sao cho un ≥ m; ∀n ∈ ℕ* .
Dãy số (un) được gọi bị chặn nếu tốn tại một số M và m sao cho m ≤ un ≤ M ; ∀n ∈ ℕ*.
Chú ý:
+) Trong các điều kiện về bị chặn ở trên thì không nhất thiết phải xuất hiện dấu ‘=’
+) Nếu một dãy số tăng thì luôn bị chặn dưới bởi u1; còn dãy số giảm thì bị chặn trên bởi u1.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
n −1
2n + 1
1
a) un = − 2.
b) un =
.
c) un =
.
n +1
5n + 2
n
2n 2 − 1
3n 2 − 2n + 1
e) un = 2
f) un = n + 1 − n .
g) un =
.
n +1

n +1
3n + ( −1) n
Bài 2: [ĐVH]. Cho dãy số (un), với un =
.
4n + (−1)n +1
a) Tính 6 số hạng đầu tiên của dãy, nêu nhận xét về tính đơn điệu của dãy số.
3n + 4
b) Tính u2n và u2n + 1. Chứng minh rằng 0 < un ≤
.
4n − 1
na + 2
Bài 3: [ĐVH]. Với giá trị nào của a thì dãy số (un), với un =
n +1
a) là dãy số tăng.
b) là dãy số giảm.
Bài 4: [ĐVH]. Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

d) un = 2n 2 + 5
h) un =

n +1 −1
.
n

Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!


Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
n2 + 1
7n + 5

b) un =
.
2
2n − 3
5n + 7
Bài 5: [ĐVH]. Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
1
n −1
a) un = 2 .
b) un =
.
2n − 1
n2 + 1

a) un =

c) un =

c) un =

1
2n − 3
2

Facebook: LyHung95
.

2n 2
.
n2 + 1


d) un =

1
.
n(n + 1)

d) un =

2 n 2 + 2n + 1
.
n2 + n + 4

n+3
giảm và bị chặn.
n +1
1
1
1
1
Bài 7: [ĐVH]. Chứng minh rằng dãy số un =
tăng và bị chặn trên.
+
+
+ ... +
1.2 2.3 3.4
n(n + 1)

Bài 6: [ĐVH]. Chứng minh rằng dãy số un =


Bài 8: [ĐVH]. Chứng minh rằng dãy số un =

n2 + 1
là một dãy số bị chặn.
2n 2 − 3

Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!