Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

12. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
x −5
≤0
x−2 x +7

Ví dụ 1. Giải bất phương trình

( x ∈ ℝ) .
Lời giải.

Điều kiện x ≥ 0 .
Nhận xét x − 2 x + 7 =

(

)

2

x − 1 + 6 > 0, ∀x ≥ 0 nên bất phương trình ban đầu trở thành

x − 5 ≤ 0 ⇔ x ≤ 5 ⇔ x ≤ 25 .
Kết hợp điều kiện thu được nghiệm 0 ≤ x ≤ 25 .
2 x −1
≤0
3x − 2 x + 4

Ví dụ 2. Giải bất phương trình

( x ∈ ℝ) .
Lời giải.

Điều kiện x ≥ 0 .
Để ý rằng 3 x − 2 x + 4 = 2 x +

(

)

2

x − 1 + 3 > 0, ∀x ≥ 0 . Bất phương trình đã cho trở thành

2 x −1 ≤ 0 ⇔ 2 x ≤ 1 ⇔ x ≤

1
1
⇔ x≤ .
2
4

 1
So sánh điều kiện ta được tập nghiệm S =  0;  .
 4
2 x −3
>0

x−4 x +5

Ví dụ 3. Giải bất phương trình

( x ∈ ℝ) .
Lời giải.

Điều kiện x ≥ 0 .
Dễ thấy x − 4 x + 5 =

(

)

2

x − 2 + 1 > 0, ∀x ∈ ℝ . Bất phương trình đã cho trở thành
2 x −3 > 0 ⇔ 2 x > 3⇔ x >

Kết luận nghiệm x >

3
9
⇔x> .
2
4

9
.
4


3 x
x
4x −1
+
>
( x ∈ ℝ) .
x −2
x +2 x−4
Lời giải.
Điều kiện 0 ≤ x ≠ 4 . Bất phương trình đã cho tương đương với

Ví dụ 4. Giải bất phương trình

3 x

(

x +2

)+ x(

x −2

) − 4 x − 1 > 0 ⇔ 3x + 6

x−4
x−4
x−4
4 x +1

⇔
> 0 ⇔ x−4 > 0 ⇔ x > 4
x−4
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm S = ( 4; +∞ ) .
Ví dụ 5. Giải bất phương trình x − − x 2 + 4 x − 3 > 2

x + x − 2 x − 4x +1
>0
x−4

( x ∈ ℝ) .

Lời giải.
Điều kiện − x + 4 x − 3 ≥ 0 ⇔ x − 4 x + 3 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 3 .
Bất phương trình đã cho tương đương với
2

2

Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!


Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

x − 2 ≥ 0
x ≥ 2
2
x − 2 > −x2 + 4x − 3 ⇔  2

⇔
⇔ x > 2+
.
 2
2
2
 x − 4 x + 4 > − x + 4 x − 3 2 x − 8 x + 7 > 0

2 
Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm S =  2 +
;3 .
2


Ví dụ 6. Giải bất phương trình

x3 + x 2 + 4 x < x + 2

( x ∈ ℝ) .

Lời giải.
Điều kiện x ( x + x + 4 ) ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 . Bất phương trình đã cho tương đương với
2

x + 2 ≥ 0
 x ≥ −2
⇔
⇔ −2 ≤ x ≤ 3 4 .
 3
 3

2
2
x + x + 4x < x + 4x + 4
x < 4
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm 0 ≤ x ≤ 3 4 .
Ví dụ 7. Giải bất phương trình

5x3 + x2 − 6 x ≤ x − 3

( x ∈ ℝ) .

Lời giải.
x ≥ 1
3
2
Điều kiện 5 x + x − 6 x ≥ 0 ⇔ x ( x − 1)( 5 x + 6 ) ≥ 0 ⇔  6
− ≤ x ≤ 0
 5
x − 3 ≥ 0
x ≥ 3
Bất phương trình đã cho tương đương với  3
⇔
(Hệ vô nghiệm).
 3
2
2
5 x + x − 6 x ≤ x − 6 x + 9
5 x ≤ 9
Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 8. Giải bất phương trình


x3 + 4 x 2 + 4 x + 5 < 2 x + 1

( x ∈ ℝ) .

Lời giải.
Điều kiện x + 4 x + 4 x + 5 ≥ 0 .
3

2

1

2 x + 1 ≥ 0
x ≥ −
2 (Hệ vô nghiệm).
Bất phương trình đã cho tương đương với  3
⇔
2
2
x
+
4
x
+
4
x
+
5
≤

4
x
+
4
x
+
1

x ≤ − 3 4

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

Ví dụ 9. Giải bất phương trình

6 x3 + x 2 − 2 x − 40 ≤ x − 1

( x ∈ ℝ) .

Lời giải.
Điều kiện 6 x + x − 2 x − 40 ≥ 0 ⇔ ( x − 2 ) ( 6 x + 13 x + 20 ) ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 .
3

2

2

Bất phương trình đã cho tương đương với 6 x3 + x 2 − 2 x − 40 ≤ x 2 − 2 x + 1 ⇔ x ≤

3


41
.
6

Kết hợp điều kiện ta được nghiệm x ≥ 2 .

Ví dụ 10. Giải bất phương trình

2 x4 − 4 x2 + 3 ≤ 2 x2 − 1

( x ∈ ℝ) .

Lời giải.
Điều kiện 2 x − 4 x + 3 ≥ 0 ⇔ x ∈ ℝ .
Bất phương trình đã cho tương đương với
2
2
x ≥ 1
2 x ≥ 1
 2 x ≥ 1
⇔ 4
⇔ x2 ≥ 1 ⇔ 
 4
2
4
2
 x ≤ −1
2 x − 4 x + 3 ≤ 4 x − 4 x + 1  2 x ≥ 2
Vậy bất phương trình đề bài có nghiệm x ≥ 1 ∨ x ≤ −1 .
4


2

Ví dụ 11. Giải bất phương trình 3x ≤ 9 x 2 − 10 x + 1 + 2

( x ∈ ℝ) .

Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!


Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Lời giải.
x ≥ 1
Điều kiện 9 x − 10 x + 1 ≥ 0 ⇔ 
1 (*)
x ≤
9

2

Bất phương trình đã cho tương đương với 3x − 2 ≤ 9 x 2 − 10 x + 1 (1).
2
1
Xét 3 x − 2 < 0 ⇔ x < . Kết hợp điều kiện (*), suy ra (1) nghiệm đúng với x ≤ .
3
9
2

Xét 3 x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ . Bất phương trình (1) tương đương với
3
3 x ≥ 2
3 x ≥ 2
3

⇔
 2
3 ⇔ x≥ .
2
2
9 x − 12 x + 4 ≤ 9 x − 10 x + 1  x ≥

2
Kết hợp điều kiện (*) thu được x ≥

3
1 3


. Kết luận tập nghiệm của bất phương trình: S =  −∞;  ∪  ; +∞  .
2
9 2



( x ∈ ℝ) .

Ví dụ 12. Giải bất phương trình 2 2 x 2 − 3x + 1 + 2 ≥ x
Lời giải.

x ≥ 1
Điều kiện 2 x − 3 x + 1 ≥ 0 ⇔ 
(*)
x ≤ 1

2
2

x < 2

x − 2 < 0
 x ≥ 2

x < 2
Biến đổi về dạng 2 2 x 2 − 3 x + 1 ≥ x − 2 ⇔   x − 2 ≥ 0
⇔   
⇔ x∈ℝ .
7⇔
x
≥
2
x
≥




 4 2 x 2 − 3 x + 1) ≥ x 2 − 4 x + 4

8


  (
   x ≤ 0
1

Kết hợp điều kiện (*) thu được tập nghiệm S =  −∞;  ∪ [1; +∞ ) .
2


Ví dụ 13. Giải bất phương trình

3x 2 + x + 1 ≥ 2 x − 1

( x ∈ ℝ) .

Lời giải.
Điều kiện x ∈ ℝ . Bất phương trình đã cho tương đương với
2 x < 1
2 x < 1
2 x − 1 < 0
2 x < 1


1

1






⇔ x ≥
⇔ x ≥
⇔ 1
⇔ x ≤ 5.
 2 x − 1 ≥ 0
 ≤ x≤5

2

2

2
2

2
 0 ≤ x ≤ 5
 3 x + x + 1 ≥ 4 x − 4 x + 1   x 2 − 5 x ≤ 0


Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x ≤ 5 .
Ví dụ 14. Giải bất phương trình

x4 + 2 x2 − 4 x + 5 ≥ x + 1

( x ∈ ℝ) .

Lời giải.
Điều kiện x + 2 x − 4 x + 5 ≥ 0 ⇔ x + 2 ( x − 1) + 3 ≥ 0 ⇔ x ∈ ℝ .
Bất phương trình đã cho tương đương với

4

2

4

2

Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!


Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

 x < −1
 x < −1
 x < −1



⇔   x ≥ −1
⇔   x ≥ −1
  x ≥ −1
  x 4 + 2 x 2 − 4 x + 5 ≥ x 2 + 2 x + 1   x 4 + x 2 − 6 x + 4 ≥ 0
  x 4 − 2 x 2 + 1 + 3 x 2 − 6 x + 3 ≥ 0



 x < −1


⇔   x ≥ −1
⇔ x∈ℝ
2
2
 2
x − 1) + 3 ( x − 1) ≥ 0
 (
Vậy bất phương trình ban đầu có tập nghiệm S = ℝ .

Ví dụ 15. Giải bất phương trình

Điều kiện

3x − 2 − x + 1
<1
( x ∈ ℝ) .
x −1
Lời giải.

2
≤ x ≠1.
3

Bất phương trình đã cho tương đương với

3x − 2 − x + 1
3x − 2 − 2 x + 2
−1 < 0 ⇔
< 0.

x −1
x −1

Xét hai trường hợp

o Với x > 1 ta có
o Với

x > 2
3 x − 2 < 2 x − 2 ⇔ 3 x − 2 < 4 x − 8 x + 4 ⇔ 4 x − 11x + 6 > 0 ⇔ 
⇒ x > 2.
x < 3

4
2

2
≤ x < 1 ta có
3

2

3 x − 2 > 2 x − 2 (Nghiệm đúng).

2 
Kết hợp lại ta thu được nghiệm S =  ;1 ∪ ( 2; +∞ ) .
3 

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Giải các hệ bất phương trình sau:

a)

x 2 − x − 12 < 7 − x

b)

21 − 4 x − x 2 < x + 3

b)

x 2 − 3x − 10 ≥ x − 2

b)

3x 2 + 13 x + 4 + 2 − x ≥ 0

b)

2x + 3 + x + 2 ≤ 1

b)

2 − x > 7 − x − −3 − 2 x

b)

4
− 2− x < 2
2− x


b)

1 − 4x ≥ 2x + 1

Bài 2: [ĐVH]. Giải các hệ bất phương trình sau:
a) 1 − x + 2 x 2 − 3x − 5 < 0
Bài 3: [ĐVH]. Giải các hệ bất phương trình sau:
a) 3 − x 2 + x + 6 + 2(2 x − 1) > 0
Bài 4: [ĐVH]. Giải các hệ bất phương trình sau:
a)

x + 3 − 7 − x > 2x − 8

Bài 5: [ĐVH]. Giải các hệ bất phương trình sau:
a)

2 x + x2 + 1 > x + 1

Bài 6: [ĐVH]. Giải các hệ bất phương trình sau:
a) 11 − x − x − 1 ≤ 2
Bài 7: [ĐVH]. Giải các hệ bất phương trình sau:
a)

x 2 − 16
+ x −3 >
x −3

5
x−3


Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!


Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Bài 8: [ĐVH]. Giải các hệ bất phương trình sau:

x 2 − 4 x + 3 − 2 x 2 − 3x + 1 ≥ x − 1

a)

b) ( x − 3) x 2 − 4 ≤ x 2 − 9

Bài 9: [ĐVH]. Giải các hệ bất phương trình sau:

(

a) x 2 − 4 x + 3

)

x2 − 4 > 0

b)

( x − 1)
( x − 2) 2


x( x + 2) ≥ 0

Bài 10: [ĐVH]. Giải các hệ bất phương trình sau:
a)

3 ( 4 x2 − 9 )
3x 2 − 3

≤ 2x + 3

b)

9 x2 − 4
5x2 − 1

≤ 3x + 2

Bài 11: [ĐVH]. Giải các hệ bất phương trình sau:
a)

x 2 + 3x + 2 + x 2 + 6 x + 5 ≤ 2 x 2 + 9 x + 7

b)

x2 − 3x + 2 + x 2 − 4 x + 3 ≥ 2 x2 − 5x + 4

b)

3x + 4 + x − 3 ≤ 4 x + 9


Bài 12: [ĐVH]. Giải các hệ bất phương trình sau:
a)

x −1 − x − 2 > x − 3

Bài 13: [ĐVH]. Giải các hệ bất phương trình sau:
a)

5 x − 1 − 3x − 2 − x − 1 > 0

b)

x + 3 ≥ 2x − 8 + 7 − x

Bài 14: [ĐVH]. Giải các hệ bất phương trình sau:
a)

1 3 1 1
− < −
x2 4 x 2

b)

1 1
− >
x 2

4 3
−
x2 4


Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!