04 GTLN va GTNN BG
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (78.13 KB, 3 trang )
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
04. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT và GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho x, y là 2 số dương thỏa x + y = 1 . Tìm GTNN của A = x 2 + y 2
Lời giải:
2
2
2
2
Ta có x + m ≥ 2mx và y + m ≥ 2 ym, (m > 0)
Suy ra x 2 + y 2 + 2m 2 ≥ 2m ( x + y ) = 2m
Suy ra A = x 2 + y 2 ≥ 2m − 2m 2
Dấu “=” xảy ra khi x = y = m tức là x = y = m =
Vậy GTNN của A là
1
2
1
1
khi x = y =
2
2
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho x, y, z là 3 số dương thỏa x + y + z = 1 . Tìm GTNN của A = x 2 + y 2 + z 2
Lời giải:
2
2
2
2
2
2
Ta có x + m ≥ 2mx, y + m ≥ 2 ym, z + m ≥ 2mz , ( m > 0 )
Suy ra x 2 + y 2 + z 2 + 3m2 ≥ 2m ( x + y + z ) = 2m
Suy ra A = x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2m − 3m 2
Dấu “=” xảy ra khi x = y = m tức là x = y = z = m =
Vậy GTNN của A là
1
3
1
1
khi x = y = z =
3
3
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho x, y là 2 số dương thỏa x + y = 1 . Tìm GTNN của A = 4 x 2 + y 2
Lời giải:
2
2
2
2
4 x + m ≥ 4mx và y + n ≥ 2 yn ( m > 0, n > 0 )
Suy ra 4 x 2 + y 2 + m 2 + n 2 ≥ 4mx + 2ny
Ta chọn m, n sao cho 4m = 2n ( n = 2m )
Suy ra A = 4 x 2 + y 2 ≥ 4m ( x + y ) − m 2 − n 2 = 4m − 5m 2
m
5m
2
4
+ 2m =
⇒ m = ,n =
2
2
5
5
8
4
4
1
4
Vậy GTNN của A là: 4m − 5m 2 = − 5. = khi x = , y =
5
25 5
5
5
Dấu “=” xảy ra khi 2 x = m và y = n = 2m , tức là: 1 = x + y =
Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho x, y, z là 3 số dương thỏa x + y + z = 1 . Tìm GTNN của A = 4 x 2 + y 2 + z 2
Lời giải:
2
2
2
2
2
2
Ta có 4 x + m ≥ 4mx, y + n ≥ 2 yn, z + p ≥ 2 pz ( m > 0, n > 0, p > 0 )
Suy ra 4 x 2 + y 2 + z 2 + m 2 + n 2 + p 2 ≥ 4mx + 2ny + 2 pz
Ta chọn m, n, p sao cho 4m = 2n = 2 p ( n = p = 2m )
Suy ra A = 4 x 2 + y 2 + z 2 ≥ 4m ( x + y + z ) − m 2 − n 2 − p 2 = 4m − 9m2
Dấu “=” xảy ra khi 2 x = m và y = z = 2m , tức là: 1 = x + y + z =
m
9m
2
4
+ 4m =
⇒ m = ,n = p =
2
2
9
9
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Vậy GTNN của A là: 4m − 9m 2 =
Facebook: LyHung95
8
4 4
1
4
− 9. = , khi x = , y = z =
9
81 9
9
9
Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho x, y, z là 3 số dương thỏa x + y + z = 1 . Cho 3 số dương a, b, c.
Tìm GTNN của A = a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2
Lời giải:
Ta có a x + m ≥ 2amx , b y + n ≥ 2bny , c z + p 2 ≥ 2cpz , ( m > 0, n > 0, p > 0 )
2
2
2
2
2
2
2 2
Suy ra: a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 + m 2 + n 2 + p 2 ≥ 2amx + 2bny + 2cpz
Ta chọn m, n, p sao cho am = bn = cp
1 1 1
Suy ra: A = a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 ≥ 2am ( x + y + z ) − m2 − n 2 − p 2 = 2am − 2 + 2 + 2 a 2 m2
a b c
1 1 1
Đặt M = 2 + 2 + 2 ⇒ A ≥ 2am − Ma 2 m2
a b c
m
n
p
x = a , y = b , z = c
m am am
Dấu “=” xảy ra khi:
⇒ 1 = + 2 + 2 = amM
a b
c
1 = x + y + z = m + n + p
a b c
1
1
1
1
1
1
Vậy: m =
, x= 2 ; n=
, y= 2 ; p=
, z= 2
aM
a M
bM
b M
cM
c M
2
1
1
Vậy GTNN của A là: A =
−M 2 =
M
M
M
Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho x, y, z là 3 số dương thỏa x + y + z = 1 . Tìm GTNN của A = x 3 + y 3 + z 3 .
Lời giải:
Với m > 0:
x3 + m3 + m3 ≥ 3 3 m3m3 x 3 = 3m 2 x ; y 3 + m3 + m3 ≥ 3 3 m3m3 y 3 = 3m2 y ; z 3 + m3 + m3 ≥ 3 3 m3 m3 z 3 = 3m 2 z
Suy ra x3 + y 3 + z 3 + 6m3 ≥ 3m2 ( x + y + z ) = 3m 2
Suy ra A ≥ 3m 2 − 6m3
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = m =
1
3
3
1 1
Vậy GTNN của A là: A = 3 =
3 9
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN của các biểu thức sau:
a) y =
x 18
+ ; x > 0.
2 x
b) y =
x
2
+
; x > 1.
2 x −1
Bài 2: [ĐVH]. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN của các biểu thức sau:
a) y =
3x
1
+
; x > −1 .
2 x +1
b) y =
x
5
1
+
;x>
3 2x −1
2
Bài 3: [ĐVH]. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN của các biểu thức sau:
a) y =
x
5
+ ; 0 < x <1
1− x x
b) y =
x3 + 1
x2
; x>0
Bài 4: [ĐVH]. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN của các biểu thức sau:
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
a) y =
x2 + 4x + 4
; x>0
x
b) y = x 2 +
2
x3
Facebook: LyHung95
; x>0
Bài 5: [ĐVH]. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN của các biểu thức sau:
a) y = ( x + 3)(5 − x ); − 3 ≤ x ≤ 5
b) y = x (6 − x ); 0 ≤ x ≤ 6
Bài 6: [ĐVH]. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN của các biểu thức sau:
a) y = ( x + 3)(5 − 2 x ); − 3 ≤ x ≤
5
2
b) y = (2 x + 5)(5 − x ); −
5
≤x≤5
2
Bài 7: [ĐVH]. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN của các biểu thức sau:
a) y = (6 x + 3)(5 − 2 x ); −
1
5
≤x≤
2
2
b) y =
x
2
x +2
; x>0
Bài 8: [ĐVH]. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN của biểu thức sau y =
x2
( x 2 + 2 )3
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
