03 mot so BDT khac BG
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (100.88 KB, 3 trang )
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
03. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC KHÁC
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Bài 1: [ĐVH]. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
b) 3a2 + 5b2 ≥
a) 3a2 + 4b2 ≥ 7 , với 3a + 4b = 7
735
, với 2a − 3b = 7
47
Bài 2: [ĐVH]. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
2464
4
, với 3a − 5b = 8
b) a2 + b2 ≥ , với a + 2b = 2
137
5
Bài 3: [ĐVH]. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) 7a2 + 11b2 ≥
a) 2a2 + 3b2 ≥ 5 , với 2a + 3b = 5
b) ( x − 2 y + 1)2 + (2 x − 4 y + 5)2 ≥
9
5
Bài 4: [ĐVH]. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1
1
a) a2 + b2 ≥ , với a + b ≥ 1 .
b) a3 + b3 ≥ , với a + b ≥ 1 .
2
4
Hướng dẫn:
a) 1 ≤ (1a + 1b)2 ≤ (12 + 12 )(a2 + b2 ) ⇒ đpcm.
2
1 1 1
b) a + b ≥ 1 ⇒ b ≥ 1 − a ⇒ b ≥ (1 − a) = 1 − 3a + 3a − a ⇒ b + a ≥ 3 a − + ≥ .
2 4 4
Bài 5: [ĐVH]. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1
a) a 4 + b 4 ≥ , với a + b ≥ 1 .
b) a 4 + b 4 ≥ 2 , với a + b = 2 .
8
Hướng dẫn:
1
a) (12 + 12 )(a4 + b4 ) ≥ (a2 + b2 )2 ≥ ⇒ đpcm.
4
3
3
2
3
3
3
b) (12 + 12 )(a2 + b2 ) ≥ (a + b)2 = 4 ⇒ a2 + b2 ≥ 2 .
(12 + 12 )(a4 + b 4 ) ≥ (a2 + b2 )2 ≥ 4 ⇒ a 4 + b 4 ≥ 2
Bài 6: [ĐVH]. Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z = 1 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 1 − x + 1 − y + 1 − z .
Hướng dẫn:
Ta có P ≤ 1 + 1 + 1. (1 − x ) + (1 − y ) + (1 − z) ≤
6
Dấu "=" xảy ra ⇔ 1 − x = 1 − y = 1 − z ⇔ x = y = z =
1
.
3
1
.
3
Bài 7: [ĐVH]. Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z ≤ 1 .
Vậy Max P =
6 khi x = y = z =
Chứng minh rằng:
x2 +
1
x
2
+ y2 +
Áp dụng BĐT (B.C.S), ta có: x 2 +
Tương tự ta có:
y2 +
1
y
2
≥
1
y
2
+ z2 +
1
≥ 82
z2
Hướng dẫn:
2
1 2
9
(1 + 92 ) ≥ x + ⇒
x
x2
1
9
y +
y
82
(2),
z2 +
1
z
2
x2 +
≥
1
x2
≥
1
9
z+
z
82
1
9
x+
x
82
(1)
(3)
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
Từ (1), (2), (3) suy ra:
P≥
≥
1 1 1
1
1
1 1 1 1 80 1 1 1
( x + y + z) + 9 + + =
( x + y + z) + + + + + +
9 x y z 9 x y z
82
82
x y z
1 1 1 80
1 2
9
( x + y + z) + + + .
≥ 82 .
82 3
x y z 9 x + y + z
1
3
Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = .
Bài 8: [ĐVH]. Cho a, b, c ≥ −
1
thoả a + b + c = 1 .
4
(1)
(2)
Chứng minh: 7 < 4a + 1 + 4 b + 1 + 4c + 1 ≤ 21 .
Hướng dẫn:
Áp dụng BĐT (B.C.S) cho 6 số: 1;1;1; 4a + 1; 4b + 1; 4c + 1 ⇒ (2).
Chú ý: x + y + z ≤ x + y + z . Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = 0. Từ đó ⇒ (1)
Bài 9: [ĐVH]. Cho x, y > 0. Tìm GTNN của các biểu thức sau:
4 1
2 3
a) A = +
, với x + y = 1
b) B = x + y , với + = 6
x 4y
x y
Hướng dẫn:
2
2
2 1
a) Chú ý: A =
+
.
x 2 y
Áp dụng BĐT (B.C.S) với 4 số:
x;
2
x
; y;
1
2 y
ta được:
2
4 1
25
2
1
≤ x.
+ y.
≤ ( x + y) +
4
x
2 y
x 4y
4
1
25
4
1
Dấu "=" xảy ra ⇔ x = ; y = . Vậy minA =
khi x = ; y = .
5
5
4
5
5
2
2
2 3 2 3
b) Chú ý: + =
+
.
x y x y
Áp dụng BĐT (B.C.S) với 4 số:
x; y;
2
;
x
3
ta được:
y
2
2
2
( 2 + 3)
2 3
2
3 (
( x + y ) + ≥ x .
+ y.
.
= 2 + 3 ) ⇒ x + y ≥
x
y
6
x y
Dấu "=" xảy ra ⇔ x =
2 3 +3 2
6 3
; y=
2 3 +3 2
6 2
. Vậy minB =
(
2 + 3)
6
2
.
Bài 10: [ĐVH]. Tìm GTLN của các biểu thức A = x 1 + y + y 1 + x , với mọi x, y thoả x 2 + y 2 = 1 .
Hướng dẫn:
Chú ý: x + y ≤ 2( x 2 + y 2 ) = 2 .
Ta có A ≤
( x 2 + y 2 )(1 + y + 1 + x ) = x + y + 2 ≤
2+ 2 .
2
.
2
Bài 11: [ĐVH]. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau:
Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y =
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
a) A = 7 − x + 2 + x , với –2 ≤ x ≤ 7
a) • A ≤
b) B = 6 x − 1 + 8 3 − x , với 1 ≤ x ≤ 3
Hướng dẫn:
5
(12 + 12 )(7 − x + x + 2) = 3 2 . Dấu "=" xảy ra ⇔ x = .
2
• A ≥ (7 − x ) + ( x + 2) = 3 . Dấu "=" xảy ra ⇔ x = –2 hoặc x = 7.
5
2
⇒ maxA = 3 2 khi x = ;
b)• B ≤
minA = 3 khi x = –2 hoặc x = 7.
(62 + 82 )( x − 1 + 3 − x ) = 10 2 . Dấu "=" xảy ra ⇔ x =
43
.
25
• B ≥ 6 ( x − 1) + (3 − x ) + 2 3 − x ≥ 6 2 . Dấu "=" xảy ra ⇔ x = 3.
43
;
minB = 6 2 khi x = 3.
25
Bài 12: [ĐVH]. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau:
⇒ maxB = 10 2 khi x =
x2 y2
a) C = y − 2 x + 5 , với 36 x + 16 y = 9
b) D = 2 x − y − 2 , với
+
=1
4
9
Hướng dẫn:
1
1
a) Chú ý: 36 x 2 + 16 y 2 = (6 x )2 + (4 y )2 . Từ đó: y − 2 x = .4 y − .6 x .
4
3
2
2
1 1
1
1
5
.4 y − .6 x ≤ + 16 y 2 + 36 x 2 =
4
3
4
16 9
5
5
15
25
⇒ − ≤ y − 2x ≤ ⇒
≤ C = y − 2x + 5 ≤ .
4
4
4
4
15
2
9
25
2
9
⇒ minC =
khi x = , y = − ;
maxC =
khi x = − , y =
.
4
5
20
4
5
20
(
⇒ y − 2x =
b) Chú ý:
)
x2 y2 1
2
1
+
=
(3x )2 + (2 y )2 . Từ đó: 2 x − y = .3 x − .2 y .
4
9 36
3
2
(
)
4 1
2
1
.3 x − .2 y ≤ + 9 x 2 + 4 y 2 = 5
3
2
9 4
⇒ −5 ≤ 2 x − y ≤ 5 ⇒ −7 ≤ D = 2 x − y − 2 ≤ 3 .
(
⇒ 2x − y =
8
5
⇒ minD = –7 khi x = − , y =
9
;
5
)
8
9
maxD = 3 khi x = , y = − .
5
5
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
