02 BDT co si p2 BG
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (91.77 KB, 4 trang )
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
02. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI – P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
DẠNG 1. KĨ THUẬT GHÉP ĐỐI XỨNG
Trong kỹ thuật ghép đối xứng ta cần nắm một số thao tác sau:
a+b b+c c+a
+
+
a + b + c =
Phép cộng:
2
2
2
2(a + b + c ) = (a + b ) + (b + c ) + (c + a )
abc = ab bc ca ,
Phép nhân: 2 2 2
a b c = (ab )(bc )(ca )
(a, b, c ≥ 0)
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng
bc ca ab
+
+
≥ a+b+c
a
b
c
Hướng dẫn giải:
Ta có:
bc ca ab 1 bc ca 1 ca ab 1 ab bc
+
+
= + + + + +
a
b
c
b 2 b
c 2 c
a
2 a
bc ca
ca ab
ab bc
+
= a+b+c
. +
.
.
a b
b c
c a
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 .
b+c c+a a+b
Chứng minh rằng
+
+
≥ a + b + c +3
a
b
c
Hướng dẫn giải:
≥
bc
b + c c + a a + b 2 bc 2 ca 2 ab
ca
ab
+
+
≥
+
+
= 2
+
+
b
c
a
b
c
a
b
c
a
bc
ca ca
ab ab
bc
+
+
=
+
+
+
b b
c c
a
a
≥2
(
bc ca
+2
a b
ca ab
+2
b c
) (
=2 a+ b+ c =
ab bc
c a
) (
a+ b+ c +
a+ b+ c
)
≥ a + b + c + 33 a b c = a + b + c + 3
b+c c+a a+b
Vậ y
+
+
≥ a + b + c +3
a
b
c
a+b+c
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho ∆ABC , AB = c, BC = a, CA = b, p =
. Chứng minh rằng
2
1
a) ( p − a )( p − b )( p − c ) ≤ abc
8
1
1
1
1 1 1
b)
+
+
≥ 2 + +
p−a p−b p−c
a b c
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
( p − a )( p − b )( p − c ) = ( p − a )( p − b ) ( p − b )( p − c ) ( p − c )( p − a )
( p − a ) + ( p − b) . ( p − b) + ( p − c ) . ( p − c ) + ( p − a )
≤
2
2
2 p − (a + b ) 2 p − (b + c ) 2 p − (c + a )
≤
.
.
=
2
2
2
2
1
abc
8
b) Ta có:
1
1
1
1 1
1 1 1
1 1 1
1
+
+
+
+
=
+
+
+
p − a p − b p − c 2 p − a p − b 2 p − b p − c 2 p − c p − a
≥
1
( p − a )( p − b )
+
1
( p − b )( p − c )
+
1
( p − c )( p − a )
1
1
1
+
+
( p − a) + ( p − b) ( p − b) + ( p − c) ( p − c) + ( p − a )
2
2
2
1 1 1
≥ 2 + +
a b c
≥
DẠNG 2. KĨ THUẬT ĐỔI BIẾN SỐ
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho ∆ABC , AB = c, BC = a, CA = b.
a
b
c
Chứng minh rằng
+
+
≥3
(1)
b+c−a c+a−b a+b−c
Hướng dẫn giải:
y+z
a = 2
b + c − a = x > 0
z+x
Đặt: c + a − b = y > 0 ⇔ b =
2
a + b − c = z > 0
x
+
y
c = 2
Khi đó vế trái của bất đẳng thức (1) trở thành
y+z z+x x+ y
+
+
2x
2y
2z
Ta có:
y+ z z+ x x+ y 1 y x 1 z
+
+
= + + +
2x
2y
2z
2 x y 2 x
≥
2
2
y x 2
. +
x y 2
x 1 z y
+ +
z 2 y z
z x 2
. +
x z 2
z y
. =3
y z
a
b
c
+
+
≥ 3 (đpcm)
b+c−a c+a−b a+b−c
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho ∆ABC , AB = c, BC = a, CA = b.
Hay
Chứng minh rằng
a2
b2
c2
+
+
≥ a + b + c (1)
b+c−a c+a−b a+b−c
Hướng dẫn giải:
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
y+z
a = 2
b + c − a = x > 0
z+x
Đặt: c + a − b = y > 0 ⇔ b =
2
a + b − c = z > 0
x+ y
c = 2
Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau:
( y + z )2 + ( z + x )2 + ( x + y )2 ≥ x + y + z
4x
4y
4z
Ta có:
( y + z)
4x
2
( z + x)
+
4y
2
( x + y)
+
2
4z
≥
yz zx xy 1 yz zx 1 zx xy 1 xy yz
+ +
= + + + + +
x
y
z 2 x
y 2 y
z 2 z
x
yz zx
zx xy
xy yz
. +
. +
.
= z+x+ y
x y
y z
z x
≥
Hay
a2
b2
c2
+
+
≥ a + b + c (đpcm)
b+c−a c+a−b a+b−c
a+b+c
.
2
p
≥
( p − a )( p − b )( p − c )
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho ∆ABC , AB = c, BC = a, CA = b, p =
Chứng minh rằng
1
( p − a)
2
+
1
( p − b)
2
+
1
( p − c )2
(1)
Hướng dẫn giải:
Ta có: p − a =
b+c−a
>0
2
Tương tự: p − b > 0; p − c > 0
Đặt:
p − a = x > 0
p −b = y > 0 ⇒ p = x + y + z
p − c = z > 0
Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau
Ta có
1
1
1 1 1
1 1 1
1
+ 2 + 2 = 2 + 2 + 2 + 2
2
2 x
x
y
z
y 2 y
z
1
1
1
x+ y+z
+ 2 + 2 ≥
2
xyz
x
y
z
1 1
1
+ 2 + 2
x
2 z
1 1
1 1
1 1
1
1
1
x+ y+ z
=
+
+
=
. 2 +
. 2 +
2
2
2
2
xy yz zx
xyz
x y
y z
z x
1
1
p
+
+
≥
(đpcm)
2
2
( p − b ) ( p − c ) ( p − a )( p − b )( p − c )
≥
Hay
1
( p − a )2
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
x
x
x
12 15 20
Bài 1: [ĐVH]. Chứng minh rằng với mọi x ∈ ℝ thì + + ≥ 3x + 4 x + 5 x (ĐH khôi A-2005)
5 4 3
Bài 2: [ĐVH]. Cho a, b, c là 3 số thực bất kỳ thoả a + b + c = 0 . Chứng minh 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c
Bài 3: [ĐVH]. Cho ba số thực dương a, b, c .
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Chứng minh rằng
a2
3a2 + 8b2 +14ab
b2
+
3b2 + 8c2 +14bc
+
Facebook: LyHung95
c2
1
≥ (a + b + c)
3c2 + 8a2 +14ca 5
Bài 4: [ĐVH]. Cho a, b, c >0 thoả mãn: ab + bc + ca = 1 .
Chứng minh rằng
a
1 + a2
+
b
1 + b2
c
+
1 + c2
≤
3
2
Bài 5: [ĐVH]. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thoả mãn: a 2 + b 2 + c 2 = 3 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
a2
b2
c2
+
+
b 2 + c 2 + bc a 2 + c 2 + ac a 2 + b 2 + ab
Bài 6: [ĐVH]. Cho ba số x, y, z > 0 thoả x 2 + y 2 + z 2 = xyz.
Tìm GTLN của biểu thức A =
x
y
z
+ 2
+ 2
.
x + yz y + xz z + xy
2
Bài 7: [ĐVH]. Cho a, b, c >0, abc = 1.
Tìm GTLN của biểu thức P =
1
1
1
+ 2
+ 2
2
2
a + 2b + 3 b + 2c + 3 c + 2a 2 + 3
2
Bài 8: [ĐVH]. Cho a ,b, c > 0 và a + b + c = 1.
Chứng minh rằng
1
ab + 2c2 + 2c
+
1
cb + 2a2 + 2
Bài 9: [ĐVH]. Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn
+
1
ac + 2b2 + 2b
≥
1
ab + bc + ac
1
1
1
+
+
≥2
1+ a 1+ b 1+ c
1
Chứng minh rằng abc ≤ .
8
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
