Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

03. HÀM SỐ BẬC HAI – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
DẠNG 1. XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC 2 – PARABOL
Ví dụ 1: [ĐVH]. Xác định parabol ( P ) : y = ax 2 + c biết:
a) y = 3 tại x = 2 , và có giá trị nhỏ nhất là −1.

b) Đỉnh là I ( 0; 3) và một trong hai giao điểm của ( P ) với trục hoành là A ( −2; 0 ) .
Lời giải:
∆
4ac
a) Ta có : f ( 2 ) = 3, a > 0, −
= −1 ⇔ 4a + c = 3, a > 0,
= −1 .
4a
a
⇔ c = −1, a = 1 > 0. Vậy ( P ) : y = x 2 − 1 .
0
∆
4ac
= 0, −
= 3, f ( −2 ) = 0 ⇔
= 3, 4a + c = 0
2a
4a
a
3
3

⇔ c = 3; a = − . Vậy ( P ) : y = − x 2 + 3
4
4
2
Ví dụ 2: [ĐVH]. Xác định parabol ( P ) : y = a ( x − m ) biết :

b) Theo giả thiết :

a) Đỉnh I ( −3; 0 ) và cắt trục tung tại M ( 0; − 5 ) .

b) Đường thẳng y = 4 cắt ( P ) tại A ( −1; 4 ) và B ( 3; 4 ) .
Lời giải:
2
2
2
a) ( P ) : y = a ( x − m ) = ax − 2amx + am
b
∆
= −3; −
= 0, f ( 0 ) = −5
2a
4a
4a 2 m 2 − 4a 2 m 2
⇔ m = 3, −
= 0, am 2 = −5
4a
5
5
2
⇔ m = 3, a = − . Vậy ( P ) : y = − ( x + 3) .

9
9
2
2
b) Theo giả thiết: f ( −1) = 4, f ( 3) = 4 ⇔ a ( −1 − m ) = 4, a ( 3 − m ) = 4
Theo giả thiết : −

Do đó ( −1 − m ) = ( 3 − m ) ⇒ 1 + 2m + m 2 = 9 − 6m + m 2
2

2

⇒ m = 1 nên a = 1 . Vậy ( P ) : y = ( x − 1) .
2

x A + xB
=1.
2
Ví dụ 3: [ĐVH]. Xác định parabol y = ax 2 + bx + 2 biết rằng parabol :
Cách khác : ( P ) có trục đối xứng d : x = m nên theo giả thiết m =

a) đi qua hai điểm M (1; 5 ) và N ( −2; 8 ) .

3
b) đi qua điểm B ( 3; − 4 ) và có trục đối xứng x = − .
2
1
c) đi qua điểm B ( −1; 6 ) , đỉnh có tung độ − .
4


Lời giải:
a) Theo giả thiết ta có:
 f (1) = 5
a + b + 2 = 5
a + b = 3
a = 2
⇔
⇔
⇔

 f ( −2 ) = 8 4a − 2b + 2 = 8  4a − 2b = 6 b = 1
Vậy ( P ) : y = 2 x 2 + x + 2.
 f ( 3) = −4
1

9a + 3b = −6  a = −

b) Theo giả thiết:  b
3
3 ⇔ 3a − b = 0 ⇔ 
=−

−
b = −1
2
 2a

Tham gia khóa TOÁN 10 tại www.Moon.vn để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi TSĐH!



Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

1
Vậy ( P ) : y = − x 2 − x + 2.
3
 f ( −1) = 6

 a − b = 4
 a − b = 4
c) Theo giả thiết:  ∆
⇔ 2
1⇔ 2
=−
b − 8a = a
b − 9a = 0
−
4
 4a
Ta có a = b + 4 nên : b 2 − 9b − 36 = 0 ⇔ b = −3 hoặc b = 12 ⇒ a = 1 hoặc a = 16 .
Ví dụ 4: [ĐVH]. Xác định hàm số bậc hai y = 2 x 2 + bx + c biết rằng đồ thị :

a) Có trục đối xứng là đường thẳng x = 1 và cắt trục tung tại điểm ( 0; 4 ) .
b) Có đỉnh là I ( −1; − 2 ) .

c) Có hoành độ đỉnh là 2 và đi qua điểm I (1; − 2 ) .
Lời giải:
 b
=1

b = −4
−
a) Theo giả thiết :  2a
⇔
. Vậy ( P ) : y = 2 x 2 − 4 x + 4.
c
=
4

 f ( 0) = 4

 b
=1
b = −4
b = 4
−
b) Theo giả thiết:  2a
⇔
⇔
. V ậy ( P ) : y = 2 x 2 + 4 x
b
c
c
2
−
+
=
−
2
=

0


 f ( −1) = −2

 b
=2
b = −8
b = −8
−
c) Theo giả thiết:  2a
⇔
⇔
. Vậy ( P ) : y = 2 x 2 − 8 x + 4 .
2
+
b
+
c
=
−
2
c
=
4


 f (1) = −2



Ví dụ 5: [ĐVH]. Xác định parabol y = ax 2 + bx + c :
a) đi qua A ( 0; − 1) , B (1; − 1) , C ( −1;1)

b) đi qua A ( 8; 0 ) và có dỉnh I ( 6; − 12 )
Lời giải:

 f ( 0 ) = −1 c = −1
a = 1



a) Theo giả thiết:  f (1) = −1 ⇔  a + b + c = −1 ⇔ b = −1 . Vậy ( P ) : y = x 2 − x − 1 .

a − b + c = 1
c = −1


 f ( −1) = 1

 f (8) = 0
64a + 8b + c = 0
a = 3



b) Theo giả thiết:  f ( 6 ) = −12 ⇔ 36a + 6b + c = −12 ⇔ b = −36 . Vậy ( P ) : y = 3 x 2 − 36 x + 96 .

12a + b = 0
c = 96



− b = 6
 2a

Ví dụ 6: [ĐVH]. Xác định parabol ( P ) : y = ax 2 + bx + c :
a) Đạt giá trị nhỏ nhất 3/4 khi x = 1/2 và nhận giá trị y = 1 tại x = 1
b) Đạt giá trị lớn nhất bằng 1/4 khi x = 3/2 và tổng lập phương các nghiệm của y = 0 bằng 9.
Lời giải:
a > 0
a > 0
 b 1
a + b = 0
−
=
a = 1 > 0

 2a 2

2
a) Theo giả thiết: 
⇔ a b
3 ⇔ b = −1 . Vậy ( P ) : y = x − x + 1.
1
3
 f   =
4 + 2 + c = 4
c = 1

 2 4


a + b + c = 1


 f (1) = 1
2
b) y = 0 ⇔ ax + bx + c = 0
3

2
3
 b  c  b  3abc − b
Khi ∆ ≥ 0 thì x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − 3 x1 x2 ( x1 + x2 ) =   −  −  =
a3
a a a

Tham gia khóa TOÁN 10 tại www.Moon.vn để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi TSĐH!


Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

a < 0
 b 3
a < 0
−
=
3a + b = 0
 a = −1 < 0
 2a 2




Theo giả thiết:   3  1
. Vậy ( P ) : y = − x 2 + 3 x − 2.
⇔ 9
3
1 ⇔ b = 3
f
=
a
+
b
+
c
=


 2 4
4
c = −2
2
4



3
3
 3abc − b3
3abc + b = 9a

=9

a3

Ví dụ 7: [ĐVH]. Xác định parabol ( P ) : y = ax 2 + bx + c biết rằng :

a) ( P ) đi qua M ( −2; 3) , N ( 2; 3) và tiếp tuyến ở đỉnh của ( P ) là đường thẳng y = 1.

x
tại các điểm có hoành độ là −1 và 3/2
2
Lời giải:

b) Nhận trục tung làm trục đối xứng và cắt đường thẳng y =
a) Đường thẳng y = 1 là tiếp tuyến tại đỉnh nên y1 = 1 .



 f ( −2 ) = 3
b = 0
4a − 2b + c = 3 4a − 2b + c = 3 b = 0





Theo giả thiết :  f ( 2 ) = 3
⇔ 4a + 2b + c = 3 ⇔ b = 0
⇔  ac = a
⇔ c = 1 .

 2


 4a + c = 3 
2
2
1

4ac − b = 4a
− b − 4ac = 1 4ac − b = 4a
a =
2


4a
2
b) Vì đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng cho nên hàm số y = f ( x ) = ax + bx + c là hàm số chẵn, do đó
f ( − x ) = f ( x ) , ∀x ⇒ ax 2 + bx + c = ax 2 − bx + c, ∀x ⇒ 2bx = 0, ∀x ⇒ b = 0 . Do đó y = ax 2 + c .

Vì parabol cắt đường thẳng y =

x
3
1

tại các điểm có hoành độ −1 và
nên ( P ) đi qua hai điểm M  −1; −  ,
2
2
2



3 3
N ; .
2 4


 f
Ta có hệ phương trình : 
f


( −1) = −
3 3
2= 4
 

1
2

1

a = 1
 a + c = − 2
3

2
⇔
⇔
3 . Vậy ( P ) là y = x − .

2
 9a + c = 3
c = − 2
 4
4

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Xác định parabol (P) biết:
a) ( P ) : y = ax 2 + bx + 2 đi qua điểm A (1;0 ) và có trục đối xứng x =

3
.
2

b) ( P ) : y = ax 2 − 4 x + c có trục đối xứng là đường thẳng x = 2 và cắt trục hoành tại điểm M ( 3;0 ) .
Bài 2: [ĐVH]. Xác định parabol (P) biết:
a) ( P ) : y = ax 2 + bx + 3 đi qua điểm A ( −1;9 ) và có trục đối xứng x = −2 .
b) ( P ) : y = 2 x 2 + bx + c có trụ đối xứng là đường thẳng x = 1 và cắt trục tung tại điểm M ( 0; 4 ) .
Bài 3: [ĐVH]. Xác định parabol (P) biết:
a) ( P ) : y = ax 2 − 4 x + c đi qua hai điểm A (1; −2 ) và B ( 2;3) .
b) ( P ) : y = ax 2 − 4 x + c có đỉnh là I ( −2; −1) .
Bài 4: [ĐVH]. Xác định parabol (P) biết:
Tham gia khóa TOÁN 10 tại www.Moon.vn để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi TSĐH!


Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

a) ( P ) : y = ax 2 − 4 x + c có hoành độ đỉnh là −3 và đi qua điểm A ( −2;1) .

b) ( P ) : y = ax 2 + bx + c đi qua điểm A ( 0;5 ) và có đỉnh I ( 3; −4 ) .
Bài 5: [ĐVH]. Xác định parabol (P) biết:
a) ( P) : y = ax 2 + bx + c đi qua điểm A ( 2; −3) và có đỉnh I (1; −4 ) .
b) ( P) : y = ax 2 + bx + c đi qua điểm A (1;1) và có đỉnh I ( −1;5 ) .
Bài 6: [ĐVH]. Xác định parabol (P) biết:
a) ( P) : y = ax 2 + bx + c đi qua các điểm A (1;1) , B ( −1;3) , O ( 0;0 ) .
b) ( P) : y = ax 2 + bx + c đi qua các điểm A ( 0; −1) , B (1; −1) , C ( −1;1) .
Bài 7: [ĐVH]. Xác định parabol (P) biết:
a) ( P) : y = ax 2 + bx + c đi qua các điểm A ( −1;1) , B ( 0; 2 ) , C (1; −1) .
b) ( P ) : y = x 2 + bx + c đi qua điểm A (1;0 ) và đỉnh I có tung độ bằng −1 .
c) ( P) : y = ax 2 + bx + c có đỉnh là I ( 3; −1) và cắt trục Ox tại điểm có hoành độ là 1.

Tham gia khóa TOÁN 10 tại www.Moon.vn để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi TSĐH!