Đại số 8

www.vmathlish.com

CHƯƠNG II. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

I. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
VẤN ĐỀ I. Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa
Câu 1. Tìm điều kiện xác định của phân thức:
2x  1
x2  4
x2  4
a)
b)
c)
x 2  4x  4
9 x 2  16
x2 1
x 2  5x  6

d)

5x  3
2x 2  x

2x  1
2
g)
( x  1)( x  3)
x2  1
x 2  5x  6

Câu 2. Tìm điều kiện xác định của phân thức:

e)

a)

1
2

x y

2

f)

b)

x2y  2x
2

x  2x  1

c)

5x  y

d)

2


x  6 x  10

xy
( x  3)2  ( y  2)2

VẤN ĐỀ II. Tìm điều kiện để phân thức bằng 0
Câu 3. Tìm các giá trị của biến số x để phân thức sau bằng không:
a)
d)

2x  1
5 x  10

( x  1)( x  2)

b)
e)

x2  x
2x

( x  1)( x  2)

c)
f)

2x  3
4x  5
x2  1


x2  2x  1
x2  4x  3
x2  4x  3
Câu 4. Tìm các giá trị của biến số x để phân thức sau bằng không:

a)

x2  4
x 2  3 x  10

b)

x 3  16 x
x 3  3x 2  4 x

c)

x3  x2  x  1
x3  2 x  3

VẤN ĐỀ III. Chứng minh một phân thức luôn có nghĩa
Câu 5. Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa:
3x  5
3
5x  1
a)
b)
c)
2
2

2
( x  1)  2
x 1
x  2x  4
d)

x2  4
2

e)

x5
2

x  4x  5
x x7
Câu 6. Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa:

1
www.vmathlish.com


Đại số 8
xy
a)
2
x  2y2  1

www.vmathlish.com


b)

4
2

2

x  y  2x  2

II. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
VẤN ĐỀ I. Phân thức bằng nhau
Câu 7. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)

3y 6 xy

( x  0)
4
8x

b)

3 x 2 3 x 2

( y  0)
2y
2 y

2 xy 8 xy 2
1 x x 1


(a  0, y  0)
d)
e)

( y  2)
3a 12ay
2y y2
Câu 8. Chứng minh các đẳng thức sau:

a)

x 2
23  x 3

( x  0)
x
x ( x 2  2 x  4)

b)

c)

2( x  y) 2

( x  y)
3( y  x ) 3

f)


2a 2a

(b  0)
5b 5b

3x
3x(x  y)

( x   y)
xy
y2  x 2

x  y 3a( x  y)2

(a  0, x   y)
c)
3a
9a2 ( x  y )

1
x 3
x  5x  6
Câu 10. Cho hai phân thức A và B. Hãy xét sự bằng nhau của chúng trong các trường hợp sau:
i) x  N
ii) x  Z
iii) x  Q
x 2
(2 x  1)( x  2)
, B
A

3
3(2 x  1)
Câu 11. Cho ba phân thức A, B và C. Hãy xét sự bằng nhau của chúng trong các trường hợp sau:
i) x  N
ii) x  Z
iii) x  Q
x 1
( x  1)( x  2)
( x  1)(3x  2)
, B
, C
A
5
5( x  2)
5(3x  2)

Câu 9. Với những giá trị nào của x thì hai phân thức sau bằng nhau:

x 2

2

và

VẤN ĐỀ II. Rút gọn phân thức
Câu 12. Rút gọn các phân thức sau:
5x
4 xy
b)
( y  0)

10
2y
2 x  2y
5 x  5y
d)
e)
( x  y)
4
3 x  3y
Câu 13. Rút gọn các phân thức sau:

a)

a)

x 2  16
4x  x2

( x  0, x  4)

21x 2 y3
( xy  0)
6 xy
15x( x  y)
f)
( x  y)
3( y  x )

c)


x2  4x  3
( x  3)
b)
2x  6

2
www.vmathlish.com


Đại số 8

www.vmathlish.com
3

c)

15 x ( x  y)

e)

2

5y( x  y )

2 x  2 y  5 x  5y
( x   y)
2 x  2 y  5 x  5y

g)
i)


( y  ( x  y )  0)

2ax 2  4ax  2a
5b  5bx 2

(b  0, x  1)

( x  y)2  z2
( x  y  z  0)
xyz

d)
f)
h)
k)

5( x  y)  3( y  x )
( x  y)
10( x  y)
x 2  xy
3 xy  3y 2

( x  y, y  0)

4 x 2  4 xy
5x3  5x 2 y

( x  0, x  y )


x 6  2 x 3 y3  y 6

x 7  xy 6
Câu 14. Rút gọn, rồi tính giá trị các phân thức sau:

a) A 

(2 x 2  2 x )( x  2)2

1
với x 
2

( x 3  4 x )( x  1)
Câu 15. Rút gọn các phân thức sau:

b) B 

x 3  x 2 y  xy 2
x 3  y3

(a  b)2  c2
a2  b2  c2  2ab
b)
abc
a2  b2  c2  2ac
Câu 16. Rút gọn các phân thức sau:

a)


a)
c)
e)

a3  b3  c3  3abc
a2  b2  c2  ab  bc  ca

x 3  y3  z3  3xyz
( x  y)2  ( y  z)2  (z  x )2
a 2 ( b  c )  b 2 (c  a )  c 2 ( a  b )

b)
d)
f)

( x  0, x   y)

c)

với x  5, y  10

2 x 3  7 x 2  12 x  45
3 x 3  19 x 2  33 x  9

x 3  y3  z3  3xyz
( x  y)2  ( y  z)2  (z  x )2
a2 (b  c)  b2 (c  a)  c2 (a  b)
a4 (b2  c2 )  b4 (c2  a2 )  c 4 (a2  b2 )
x 24  x 20  x16  ...  x 4  1


ab2  ac2  b3  bc2
x 26  x 24  x 22  ...  x 2  1
Câu 17. Tìm giá trị của biến x để:
1
1
a) P 
đạt giá trị lớn nhất
ĐS: max P  khi x  1
2
5
x  2x  6
x2  x  1
3
b) Q 
đạt giá trị nhỏ nhất
ĐS: min Q  khi x  1
4
x2  2x  1
Câu 18. Chứng minh rằng phân thức sau đây không phụ thuộc vào x và y:

a)

( x 2  a)(1  a)  a2 x 2  1
( x 2  a)(1  a)  a2 x 2  1

b)


3 xy  3 x  2 y  2 9 x 2  1 
1


 x  , y  1
y 1
3x  1 
3


c)

ax 2  a axy  ax  ay  a

( x  1, y  1)
x 1
y 1

d)

( x  a)2  x 2
2x  a

e)

x 2  y2
( x  y)(ay  ax )

f)

2ax  2 x  3y  3ay
4ax  6 x  9 y  6ay


3
www.vmathlish.com


Đại số 8

www.vmathlish.com

III. CÁC PHÉP TOÁN VỀ PHÂN THỨC
VẤN ĐỀ I. Qui đồng mẫu thức của nhiều phân thức
Câu 19. Tìm điều kiện để các phân thức sau có nghĩa và tìm mẫu thức chung của chúng:
x xy
xy y
1 3
a)
b)
c)
,
,
,
16 20
8 15
4 x 6y
xy yz xz
x y
xy yz zx
d)
e)
f)
, ,

,
,
,
8 12 24
2y 2 x
2z 3x 4 y
Câu 20. Tìm điều kiện để các phân thức sau có nghĩa và tìm mẫu thức chung của chúng:
5
4
7
x
y
x
y
z
2a
a)
,
,
b)
,
,
c)
,
,
2
2
2
2 x  4 3x  9 50  25x
4  2a 4  2a 4  a

b 2a  2b a  b 2
3
x 2
1
2
,
e)
,
2
2
2
2x  6 x  6x  9
x  2x  1 x  2x
Câu 21. Qui đồng mẫu thức các phân thức sau:
1
x
x2
a)
,
,
2
2
2 x  7 x  15 x  3x  10 x  5
1
1
1
b)
,
,
 x 2  3x  2 x 2  5x  6  x 2  4 x  3

x
2x
3
c)
,
,
2
3
x 1 x  x 1 x 1
x
y
z
d)
,
,
x 2  2 xy  y 2  z2 x 2  2 yz  y2  z2 x 2  2 xz  y2  z2

d)

f)

x4  1
2

x 1

, x2  1

VẤN ĐỀ II. Thực hiện các phép toán trên phân thức
Câu 22. Thực hiện phép tính:

x  5 1 x
a)

5
5

d)

5 xy 2  x 2 y 4 xy 2  x 2 y

3 xy
3 xy

x2  x 1  4x

c)
xy
xy

x  y 2y
b)

8
8

e)

x 1 x 1 x  3



ab ab ab

f)

b)

3x 2 x  1 2  x


10
15
20

c)

5 xy  4 y
2

2x y

3



3 xy  4 y
2x2 y3

2 x 2  xy xy  y 2 2 y 2  x 2



xy
yx
xy
Câu 23. Thực hiện phép tính:

g)

a)
d)

2x  4 2  x

10
15
1  2x
2x
1


2x
2x  1 2x  4x 2

www.vmathlish.com

e)

x
xy  y

2




2x  y
xy  x

2

f)

x 1
x2  3

2x  2 2  2x2

x2
2

x  4x



6
1

6  3x x  2

4



Đại số 8

www.vmathlish.com

2

g)

2 x  10 xy 5y  x x  2 y


2 xy
y
x

h)

2
1
3x


2
x  y x  y x  y2

Câu 24. Thực hiện phép tính:
2x
y
4


 2
a)
2
2
x  2 xy xy  2 y
x  4 y2

2x  y

c)



16 x
2

2



1
3xy
xy


3
3
2
xy y x
x  xy  y 2

1
1
2
4
8
16
d)





2
4
8
1 x 1 x 1 x
1 x
1  x 1  x16

2x  y

1  3x x  3

2
2

b)

2( x  y )( x  y ) 2 y 2


x
x

c)

4x 1 7 x 1
xy
x2  1

d)
e)

3x 2 y
3x 2 y
2x  y y  2x
Câu 26. Thực hiện phép tính:
4 x  1 3x  2
x 3
x
9
a)
b)



2
3
x
x  3 x 2  3x
1

4
10 x  8
3
2x  1 2
d)
e)




2
2
3x  2 3x  2 9 x  4
2x  2x x2  1 x

g)

4a2  3a  5
3

a 1



1  2a

6
2
a  a 1 a 1



h)

x y
xy

i) x  y 

2

b)

2 x  xy y  4 x
2 x 2  xy
Câu 25. Thực hiện phép tính:
a)

2

2

5x 2  y2 3x  2 y

xy
y

c)

3x  2
6

3x  2
3
x6
 2
 2

l)
2
2x  6 2x2  6x
x  2x  1 x  1 x  2x  1
5
10
15
n)


2
3
a  1 a  (a  1) a  1

x 3

1



x2  1 x2  x
3x
x
f)


5x  5y 10 x  10 y
i)

k)

3x  1 2 x  3

xy xy

x  9y
x 2  9y2

m) x 2  1 



3y
x 2  3xy

x4  1
x2  1

Câu 27. Thực hiện phép tính:
a)

1 6x
.
x y


b)

2x2 y
.
d)
x  y 5x 3

g)

x 2  9y2

.

2x2
.3 xy 2
y

5 x  10 4  2 x
.
e)
4x  8 x  2

3xy
2 x  6y

h)

x 2 y2
Câu 28. Thực hiện phép tính:


3x 2  3y 2 15x 2 y
.
5 xy
2y  2 x

a)

2x 5
:
3 6x2

 18 x 2 y 5 
b) 16 x 2 y 2 :  

5 


d)

x 2  y2 x  y
:
3 xy
6x2y

e)

1  4x2 2  4 x
:
g) 2
x  4 x 3x

4 x  24
x 2  36
: 2
k)
5x  5 x  2x  1

a2  ab
ab
:
b  a 2a2  2b2

5 x  15
x 2 9
:
h)
4x  4 x 2  2x  1
3 x  21 x 2  49
:
l)
5x  5 x 2  2 x  1

c)

15 x 2 y 2
.
7 y3 x2

x 2  36 3
.
f)

2 x  10 6  x

i)

2 a3  2 b3
6a  6b
.
3a  3b a2  2ab  b2

c)

25 x 3 y 5
:15 xy 2
3

f)

x  y x 2  xy
:
y  x 3 x 2  3y 2

6 x  48
:
i)
7x  7
3  3x
m)
(1  x) 2

x 2  64

x 2  2x  1
6x 2  6
:
x 1

5
www.vmathlish.com


Đại số 8
Câu 29. Thực hiện phép tính:
2 x 1
 1

a)  2

 :   x  2
 x  x x 1   x

1   x3
x 
 9
c)  3


: 2

 x  9 x x  3   x  3x 3x  9 
Câu 30. Rút gọn các biểu thức sau:
1 1

x
x 1


x y
x
a)
b) x  1
x
x 1
1 1


x 1
x
x y
x y
2

1
y x
x

1
d)
e)
xy xy
x2  2

1 2

xy xy
x 1

www.vmathlish.com

2 x  6 x 2  10 x
 3x

b) 
:
2
 1  3x 3x  1  1  6 x  9 x
x 1  x  2 x  3 
d)
:
:

x  2  x  3 x 1 

c) 1 

x
1

x
x 1

ax
x


ax
f) a
a x
x

a
a x

Câu 31. Tìm các giá trị nguyên của biến số x để biểu thức đã cho cũng có giá trị nguyên:
x3  x2  2
a)
x 1

x3  2 x2  4
b)
x 2

2 x3  x2  2 x  2
c)
2x  1

3 x 3  7 x 2  11x  1
x 4  16
e)
3x  1
x 4  4 x 3  8x 2  16 x  16
Câu 32. * Phân tích các phân thức sau thành tổng các phân thức mà mẫu thức là các nhị thức bậc
nhất:

d)


x2  2x  6
( x  1)( x  2)( x  4)
x 2  5x  6
Câu 33. * Tìm các số A, B, C để có:

a)

a)

2x  1

x2  x  2

b)



A



B



C
x 1

( x  1)3

( x  1)3 ( x  1)2
Câu 34. * Tính các tổng:
a
b
c
a) A 


(a  b)(a  c) (b  a)(b  c) (c  a)(c  b)

b)

c)
x2  2x  1
( x  1)( x 2  1)

3 x 2  3 x  12
( x  1)( x  2) x



A
Bx  C

x  1 x2  1

a2
b2
c2



(a  b)(a  c) (b  a)(b  c) (c  a)(c  b)
Câu 35. * Tính các tổng:
1
1
1
1
1
1
1
a) A 
HD:


 ... 
 
1.2 2.3 3.4
n(n  1)
k (k  1) k k  1
1
11
1 
1
1
1
1
1
  
b) B 
HD:



 ... 

k (k  1)(k  2) 2  k k  2  k  1
1.2.3 2.3.4 3.4.5
n(n  1)(n  2)
Câu 36. * Chứng minh rằng với mọi m  N , ta có:
4
1
1
4
1
1
1
a)
b)





4m  2 m  1 (m  1)(2m  1)
4m  3 m  2 (m  1)(m  2) (m  1)(4m  3)
4
1
1
1
c)




8m  5 2(m  1) 2(m  1)(3m  2) 2(3m  2)(8m  5)

b) B 

6
www.vmathlish.com


Đại số 8
4
1
1
1
d)



3m  2 m  1 3m  2 (m  1)(3m  2)

www.vmathlish.com

BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG II
Câu 37. Thực hiện phép tính:

8

a)


2





xy
xy
2y2


2( x  y ) 2( x  y ) x 2  y 2
xy ( x  a)( y  a) ( x  b)( y  b)
d)


ab
a(a  b)
b(a  b)

1
x 1

b)

( x 2  3)( x 2  1) x 2  3
x 1
x 1
3
c)



x3
x3  x 2 x3  2 x 2  x
x3
x2
1
1



e)
x 1 x 1 x 1 x 1

f)


 x  y x  y   x 2  y2
xy
g) 

.

1

. 2

 x  y x  y   2 xy
 x  y2


d)

25 x 2  20 x  4

b)

25 x 2  4

h)

x2  4



5
3

x 2 x 2

1
1
1


(a  b)(b  c) (b  c)(c  a) (c  a)(a  b)

 x 2  y2
1  x 2 y2  x  y

k) 

   :
xy y
x   x
 xy

 a2  (b  c)2  (a  b  c)
(a  b  c)(a2  c2  2ac  b2 )
Câu 38. Rút gọn các phân thức:
i)

a)

x 3  x 2  2 x  20

5 x 2  10 xy  5y 2

c)

3 x 3  3y 3

x2  1
x3  x2  x  1

4 x 4  20 x 3  13 x 2  30 x  9

x3  x2  4 x  4

e)
x 4  16
(4 x 2  1)2

Câu 39. Rút gọn rồi tính giá trị các biểu thức:
a)

c)

a2  b2  c2  2ab
2

2

2

a  b  c  2ac

với a  4, b  5, c  6

x 2  xy  y 2 x 2  xy  y 2

xy
xy
x2
xy
xy

b)

16 x 2  40 xy
2

8 x  24 xy


với

x 10

y 3

với x  9, y  10

Câu 40. Biểu diễn các phân thức sau dưới dạng tổng của một đa thức và một phân thức với bậc
của tử thức nhỏ hơn bậc chủa mẫu thức:
x5  2x4  x  3
x 1
x2  1
x2  1
x2  1
Câu 41. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức sau cũng có giá trị nguyên:

a)

x2  3

1
a)
x2

b)

x2  1


1
b)
2x  3

Câu 42. Cho biểu thức:

P

c)

x 4  x3  4 x2  x  5

x3  x2  2
c)
x 1

d)

x3  2 x2  4
d)
x 2

3x 2  3x
.
( x  1)(2 x  6)

7
www.vmathlish.com



Đại số 8
www.vmathlish.com
a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Tìm giá trị của x để P  1 .
x2
5
1
Câu 43. Cho biểu thức:
P


2
x 3 x  x 6 2 x
a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn biểu thức P.
3
c) Tìm x để P 
.
4
d) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P cũng có giá trị nguyên.
e) Tính giá trị của biểu thức P khi x 2 – 9  0 .

(a  3)2  6a  18 
 1 
.
2a2  6a 
a2  9 
a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn biểu thức P.
c) Với giá trị nào của a thì P = 0; P = 1.


Câu 44. Cho biểu thức:

P

x
x2  1
Câu 45. Cho biểu thức:
.
P

2x  2 2  2x2
a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn biểu thức P.
1
c) Tìm giá trị của x để P   .
2
x 2  2 x x  5 50  5 x


.
2 x  10
x
2 x ( x  5)
a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Tìm giá trị của x để P = 1; P = –3.
2
3
6x  5
Câu 47. Cho biểu thức:

.
P


2 x  3 2 x  1 (2 x  3)(2 x  3)
a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn biểu thức P.
c) Tìm giá trị của x để P = –1.
1
2
2 x  10
Câu 48. Cho biểu thức:
.
P


x  5 x  5 ( x  5)( x  5)
a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn biểu thức P.

Câu 46. Cho biểu thức:

P

c) Cho P = –3. Tính giá trị của biểu thức Q  9 x 2 – 42 x  49 .
3
1
18
Câu 49. Cho biểu thức:
.

P


x  3 x  3 9  x2
a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn biểu thức P.
c) Tìm giá trị của x để P = 4.
x2
2 x  10 50  5 x


.
5 x  25
x
x 2  5x
a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn biểu thức P.
c) Tìm giá trị của x để P = –4.

Câu 50. Cho biểu thức:

Câu 51. Cho biểu thức:

P

P

3 x 2  6 x  12

a) Tìm điều kiện xác định của P.

4001
c) Tính giá trị của P với x 
.
2000

x3  8

b) Rút gọn biểu thức P.

8
www.vmathlish.com


Đại số 8

www.vmathlish.com

 1
x
x2  x 1  2x  1
P 

.
.
:
 x  1 1  x3
x  1  x 2  2 x  1

a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn biểu thức P.

1
c) Tính giá trị của P khi x  .
2

Câu 52. Cho biểu thức:

x 2  2 x x  5 50  5 x
.


2 x  10
x
2 x ( x  5)
a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn biểu thức P.
1
c) Tìm giá trị của x để P = 0; P = .
4
d) Tìm giá trị của x để P > 0; P < 0.

Câu 53. Cho biểu thức:

P

 x 1
3
x  3  4x2  4
P



. 5 .
 2x  2 x2  1 2x  2 
a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) CMR: khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x?

Câu 54. Cho biểu thức:

 5x  2 5x  2  x 2  100
.
P 

.
 x 2  10 x 2  10  x 2  4
a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn biểu thức P.
c) Tính giá trị của P khi x = 20040.

Câu 55. Cho biểu thức:

Câu 56. Cho biểu thức:

P

x 2  10 x  25
x 2  5x

a) Tìm điều kiện xác định của P.

.
b) Tìm giá trị của x để P = 0; P 


5
.
2

c) Tìm giá trị nguyên của x để P cũng có giá trị nguyên.

www.vmathlish.com
VanLucNN

www.facebook.com/VanLuc168

Nguồn bài tập: Thầy Trần Sĩ Tùng

9
www.vmathlish.com


Đại số 8

www.vmathlish.com

……………………….……………………….……………………….……………………….……
………………….……………………….……………………….…………………

10
www.vmathlish.com