Tóm tắt bài học - Ôn tập Môn Toán Lớp 11d 28
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (352.71 KB, 2 trang )
ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
I. ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 (a; b): Nếu tồn tại giới hạn
(hữu hạn) lim
x x0
f(x) f(x 0 )
, thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại
x x0
điểm x0 , kí hiệu là f’(x0) hay y’(x0), tức là:
f(x) f(x 0 )
y
lim
(x = x – x0, y = f(x0 + x) – f(x0))
x 0 x
x x0
f '(x 0 ) lim
x x0
2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
Quy tắc 1: Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 bằng định nghĩa ta
thực hiện các bước:
Bước 1: Giả sử x là số gia của đối số tại x0. Tính y = f(x0 + x) – f(x0).
Bước 2:Lập tỉ số
y
x
y
y
. Kết luận f ' x 0 lim
x 0 x
x 0 x
Bước 3: Tính lim
Quy tắc 2: Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 bằng định nghĩa ta
thực hiện các bước:
Bước 1:Tính f x 0 . Tính f x f x 0
Bước 2:Tìm lim
x x0
f(x) f(x 0 )
f(x) f(x 0 )
.Kết luận f '(x 0 ) lim
x x0
x x0
x x0
Ví dụ 1: Tính bằng định nghĩa đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm đã chỉ ra
f(x) = x2 + 3 tại x0 = –1
1
f(x) =
tại x0 = 1
2x 1
f(x) =
x 2 tại x0 = 2
f(x) = 3x 2 1 tại x0 = -1
1
f(x) =
tại x0 = 1
3x 1
f(x) =
x 3 tại x0 = 7
3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
4. Ý nghĩa của đạo hàm
Ý nghĩa hình học:
f (x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M x 0 ;f(x 0 ) .
Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M x 0 ; y 0 là:
y – y0 = f (x0).(x – x0)
Ý nghĩa vật lí:
Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t) tại
thời điểm t0 là v(t0) = s(t0).
Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm t0 là I(t0) = Q(t0).
Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) = x3. Dùng định nghĩa tính f’(1). Lập phương trình
đường thẳng đi qua điểm M0(1; 1) và có hệ số góc bằng f’(1)
Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) = x3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(1; 1)
II. ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG
Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi
điểm x trên khoảng đó. Khi đó đạo hàm của hàm số y = f(x) trên khoảng (a;b), kí hiệu
là y’ hay f’(x)
Ví dụ: Hàm số y = x2 có đạo hàm y’ = 2x trên khoảng (– ; + )
