Họ và tên học viên:
Lớp:

1


§1: ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ
MẶT PHẲNG

chúng ta cùng tìm hiểu về lý
thuyết nhé.

Đầu tiên là một số qui tắc vẽ hình

Hình ảnh của đường thẳng trong
không gian vẫn là đường thẳng,
của đoạn thẳng là đoạn thẳng.

Hình ảnh trong không gian phải giữ
nguyên quan hệ thuộc giữa điểm
và đường thẳng.

Hình ảnh của hai đường thẳng song
song là hai đường thẳng song song,
của hai đường thẳng cắt nhau là hai
đường thẳng cắt nhau.

Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bị che
khuất vẽ nét đứt.

Tiếp theo, chúng ta tìm hiểu

Điều kiện xác định mặt phẳng.

2


Ba điểm không
thẳng hàng
thuộc mặt
phẳng.
(mp(ABC),
(ABC))

Hai đường
thẳng cắt nhau
thuộc mặt
phẳng.
(mp(a, b))

Một điểm và một
đường thẳng
không đi qua điểm
đó thuộc mặt
phẳng. (mp(A,d))

Một số hình
Hình chóp

Chóp tam giác


Chóp tứ giác

Lăng trụ

3


Lăng trụ đứng

Lăng trụ nghiêng

Vị trí
tương đối
Đường thẳng và đường thẳng
Trùng nhau

Cắt nhau

4


Song song

Chéo nhau

Đường thẳng và mặt phẳng
Đường thẳng thuộc mặt phẳng

Song song


Cắt nhau

Mặt phẳng với mặt phẳng
Trùng nhau

Song song

5


Cắt nhau

Bây giờ các bạn hãy cùng
chúng tớ khám phá các
dạng bài tập nhé.

β
b

Dạng 1:
Xác định giao tuyến
của hai mặt phẳng

a
α

A

Phương pháp
- Tìm hai điểm chung

phân biệt của hai mặt
phẳng (α ) và (β ).
- Đường thẳng đi qua
hai điểm chung ấy là
giao tuyến cần tìm.

Một số ví dụ

1. Trong mặt phẳng ( α ) cho tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối không song song và
điểm S ∉ (α ) .

6


a. Xác định giao tuyến của (SAC ) và (SBD)

S

b. Xác định giao tuyến của (SAB) và (SCD)
c. Xác định giao tuyến của (SAD) và (SBC)
Giải
a. Xác định giao tuyến của (SAC) và (SBD)

C
A

Ta có : S là điểm chung của (SAC) và (SBD)

J


Trong (α), gọi O = AC ∩ BD
• J ∈ AC mà

AC ⊂ (SAC) ⇒ O ∈ (SAC)

• J ∈ BD

BD ⊂ (SBD) ⇒ O ∈ (SBD)

mà

k

B

O
D

⇒ J là điểm chung của (SAC) và (SBD)

I

Vậy : SJ là giao tuyến của (SAC) và (SBD)
b. Xác định giao tuyến của (SAB) và (SCD)
Ta có: S là điểm chung của (SAC) và (SBD)
Trong (α) , AB không song song với CD
Gọi I = AB ∩ CD
• I ∈ AB

mà


AB ⊂ (SAB) ⇒ I ∈ (SAB)

• I ∈ CD mà

CD ⊂ (SCD) ⇒ I ∈ (SCD)

⇒ I là điểm chung của (SAB) và (SCD)
Vậy : SI là giao tuyến của (SAB) và (SCD)
c. Tương tự câu a, b
2. Cho bốn điểm A,B,C,D không cùng thuộc một mặt phẳng .Trên các đoạn thẳng AB,
AC, BD lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho MN không song
song với BC. Tìm giao tuyến của (BCD) và (MNP) .
Giải

A

• P ∈ BD mà BD ⊂ (BCD) ⇒ P ∈ (BCD)

M

• P ∈ (MNP)
⇒ P là điểm chung của (BCD) và (MNP)
Trong mp (ABC) , gọi E = MN ∩ BC
• E ∈ BC mà
BC ⊂ (BCD) ⇒ E ∈ (BCD)

P

D


B
N
C
E

7


• E ∈ MN mà

MN ⊂ (MNP) ⇒ E ∈ (MNP)

⇒ E là điểm chung của (BCD) và (MNP)
Vậy : PE là giao tuyến của (BCD) và (MNP)
Dạng 2
Xác định giao điểm
giữ đường thẳng và
mặt phẳng

Phương pháp
a

β

b

A

α


• Tìm đường thẳng b nằm
trong mặt phẳng (α)
• Giao điểm của a và b là
giao đt a và mặt phẳng (α)

Một số ví dụ

1. Trong mp (α) cho tam giác ABC . Một điểm S không thuộc (α) . Trên cạnh AB lấy
một điểm P và trên các đoạn thẳng SA, SB ta lấy lần lượt hai điểm M, N sao cho MN
không song song với AB .
a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC)
b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (α)
Giải
a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC)
Cách 1 : Trong (SAB) , gọi E = SP ∩ MN
• E ∈ SP mà SP ⊂ (SPC) ⇒ E ∈(SPC)
• E ∈ MN
Vậy : E = MN ∩ (SPC)
Cách 2 :

• Chọn mp phụ (SAB) ⊃ MN

• (SAB) ∩ (SPC) = SP
• Trong (SAB), gọi E = MN ∩ SP
E ∈ MN
E ∈ SP mà SP ⊂ (SPC)
Vậy : E = MN ∩ (SPC)
b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mp (α)


8


Cách 1: Trong (SAB) , MN không song song với AB
Gọi D = AB ∩ MN
• D ∈ AB mà AB ⊂ (α) ⇒ D ∈(α)
• D ∈ MN
Vậy: D = MN ∩ (α)
Cách 2 :
• Chọn mp phụ (SAB) ⊃ MN
• (SAB) ∩ (α) = AB
• Trong (SAB) , MN không song song với AB
Gọi D = MN ∩ AB
D ∈ AB mà AB ⊂ (α) ⇒ D ∈(α)
D ∈ MN
Vậy : D = MN ∩ (α)

Phương pháp :
• Chứng minh ba điểm đó
cùng thuộc hai mp phân biệt

Dạng 3:
Chứng minh 3 điểm
thẳng hàng

• Khi đó ba điểm thuộc
đường thẳng giao tuyến của
hai mp

Một số ví dụ


Cho tứ diện SABC.Gọi L, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB và AC sao
cho LM
không song song với AB, LN không song song với SC.
a. Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC)
b. Tìm giao điểm I = BC ∩ (LMN) và J = SC ∩ (LMN)
c. Chứng minh M , I , J thẳng hàng

9


Giải

S

a. Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC)
Ta có : N là điểm chung của (LMN) và
(ABC)

L

Trong (SAB) , LM không song song với AB

C

N

Gọi K = AB ∩ LM
∈ (LMN)
(ABC)

(LMN)

K ∈ LM mà LM ⊂ (LMN) ⇒ K

A

K ∈ AB mà AB ⊂ (ABC) ⇒ K ∈
b. Tìm giao điểm I = BC ∩

I

M
B

J
K

• Chọn mp phụ (ABC) ⊃ BC
• Tìm giao tuyến của (ABC) và (LMN)
⇒ (ABC) ∩ (LMN) = NK
• Trong (ABC), gọi I = NK ∩ BC
I∈ BC
I∈ NK mà NK ⊂ (LMN) ⇒ I ∈ (LMN)
Vậy : I = BC ∩ (LMN)
Tìm giao điểm J = SC ∩ (LMN)
• Trong (SAC), LN không song song với SC
gọi J = LN ∩ SC
J∈ SC
J∈ LN mà LN ⊂ (LMN) ⇒ J ∈ (LMN)
Vậy : J = SC ∩ (LMN)

c. Chứng minh M , I , J thẳng hàng
Ta có : M , I , J là điểm chung của (LMN) và (SBC)
Vậy : M , I , J thẳng hàng

10


Cách 1 : Xác định thiết diện
bằng cách kéo dài các giao
tuyến

Dạng 4 :
Tìm thiết diện của
hình chóp và mặt
phẳng (α)

Cách 2 :Xác định thiết diện
bằng cách vẽ giao tuyến phụ :

1. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O .
Gọi M, N , I là ba điểm lấy trên AD , CD , SO .
Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNI)
Giải
Trong (ABCD), gọi

S

J = BD ∩ MN

K = MN ∩ AB

H = MN ∩ BC
Trong (SBD), gọi

Q = IJ ∩ SB

Trong (SAB), gọi

R = KQ ∩ SA

Trong (SBC), gọi

P = QH ∩ SC

B

A

Vậy : thiết diện là ngũ giác MNPQR
C

D

2.Cho hình chóp S.ABCD .Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB và SC . Giả sử AD và
BC không song song .
a. Xác định giao tuyến của (SAD) và (SBC)

11


b. Xác định thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD


S

Giải

M

a. Xác định giao tuyến của (SAD) và (SBC) :
Trong (ABCD) , gọi I = AD ∩ BC

N

A

Vậy : SI = (SAD) ∩ (SBC)

K

b. Xác định thiết diện của mặt phẳng (AMN)

J

D

C

với hình chóp S.ABCD
Trong (SBC) , gọi

J = MN ∩ SI


Trong (SAD) , gọi

K = SD ∩ AJ

B

I

Vậy : thiết diện là tứ giác AMN

§2: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG
SONG

Áp dụng các tính chất của
hình học phẳng.

• Sử dụng các định lý
Dạng 5 : Chứng minh
hai đường thẳng a và b
song song.

• Chứng minh a và b đồng phẳng và
không có điểm chung
• Chứng minh bằng phản chứng

• Chứng minh a và b phân biệt và
cùng song song với đường thẳng thứ ba
12



1. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành .Gọi A’ ,B’ ,
C’ ,D’ lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB , SC , SD .
a. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành
b. Gọi M là điểm bất kì trên BC . Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S.ABCD
S
Giải
a. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành :
Trong tam giác SAB, ta có : A’B’ //

1
AB
2

Trong tam giác SCD, ta có : C’D’ //

1
CD
2

Mặt khác AB // CD

D'
A'

C'
B'

D
A


C

N

M
B

⇒ A’B’ // C’D’
Vậy : A’B’C’D’ là hình bình hành
b. Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S.ABCD:
Ta có : AB ∕ ∕ A’B’ và M là điểm chung của (A’B’M) và (ABCD)
Do đó giao tuyến của (A’B’M) và (ABCD) là Mx song song AB và A’B’
Gọi N = Mx ∩ AD
Vậy : Thiết diện là hình thang A’B’MN

2. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB và CD (AB
> CD). Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB
a. Chứng minh : MN ∕ ∕ CD

S

Giải
a. Chứng minh : MN ∕ ∕ CD :
Trong tam giác SAB, ta có : MN ∕ ∕ AB
N

Mà AB ∕ ∕ CD (ABCD là hình thang)

M


C

Vậy : MN ∕ ∕ CD

D

A
B

A

E
I
3. Cho tứ diện ABCD .Gọi I ,J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC
và ABD.

Chứng minh : IJ ∕ ∕ CD

B

J

C

D

13



Giải
Gọi E là trung điểm AB
 I ∈ CE
⇒ IJ và CD đồng phẳng
 J ∈ DE

Ta có : 
Do đó :

EI
EJ 1
=
= (tính chất trọng tâm)
EC ED 3

Vậy : IJ // CD

§3: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
VỚI MẶT PHẲNG

Chứng minh
Dạng 6 : Chứng minh
đường thẳng a song
song mặt phẳng (P).

d

a

1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .

Gọi M ,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD .
a. Chứng minh MN // (SBC) , MN // (SAD)
b. Gọi P là trung điểm cạnh SA . Chứng minh SB và SC

14


đều song song với (MNP)
c. Gọi G 1 ,G 2 lần lượt là trọng tâm của ∆ABC và ∆SBC
Chứng minh G1G2 // (SAB)
Giải
a. Chứng minh MN // (SBC):
MN ⊄ ( SBC )

Ta có : MN // BC
 BC ⊂ ( SBC )


⇒

MN ⊄ ( SAD)

Tương tự : MN // AD
 AD ⊂ ( SAD)


MN //( SBC )

⇒


MN //( SAD)

b. Chứng minh SB // (MNP):
SB ⊄ ( MNP )

Ta có : SB // MP
MP ⊂ ( MNP )


⇒

SB //( MNP )

Chứng minh SC // (MNP):
Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAD)
Ta có : P là điểm chung của (MNP) và (SAD)
MN // AD
Do đó giao tuyến là đường thẳng qua P song song MN cắt SD tại Q
⇒ PQ = (MNP) ∩ (SAD)
Xét ∆ SAD , Ta có : PQ // AD
P là trung điểm SA
⇒ Q là trung điểm SD
Xét ∆ SCD , Ta có : QN // SC
SC ⊄ ( MNP )

Ta có : SC // NQ
 NQ ⊂ ( MNP)


⇒


SC //( MNP )

2. Cho tứ diện ABCD .Trên cạnh AD lẩy trung điểm M , trên cạnh BC lẩy trung điểm
N bất kỳ . Gọi ( α ) là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD .

15


a. Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng ( α ) với tứ diện ABCD.
b. Xác định vị trí của N trên CD sao cho thiết diện là hình bình hành .
Giải
a. Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng ( α ) với tứ diện ABCD.
(α ) // CD

Ta có : CD ⊂ ( ACD )
M ∈ (α ) ∩ ( ACD)


⇒

(α ) // CD

Tương tự : CD ⊂ ( BCD)
 N ∈ (α ) ∩ ( BCD)


MP // CD

⇒


NQ // CD

(1)

(2)

Từ (1) và (2), ta được : MP // NQ
Vậy: thiết diện là hình thang MPNQ
b. Xác định vị trí của N trên BC sao cho thiết diện là hình bình hành .
A

Ta có : MP // NQ
MP =

1
.CD
2

M
P

MP // NQ
MP = NQ

MPNQ là hình bình hành ⇔ 

⇔

MP // NQ

B


1
MP = NQ = 2 CD

D

Q
N
C

Do đó : N là trung điểm BC .
Vậy : N là trung điểm BC thì MPNQ là hình bình hành

§4: HAI MẶT PHẲNG SONG
SONG

Dạng 7 : Chứng
minh (α) // (β)

16


Cách 1:

Cách 2:

–


Cách 3

Một số bài tập ví dụ

1.Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của SA ,SD
a. Chứng minh rằng : (OMN) // (SBC)
b. Gọi P, Q , R lần lượt là trung điểm của AB ,ON, SB.
Chứng minh : PQ // (SBC), (MOR) // (SCD)

17


a. Chứng minh rằng : (OMN) // (SBC):

S

Xét tam giác SAC và SDB :
OM // SC
ON // SB

Ta có : 

⇒

(OMN ) //( SBC )

b. Chứng minh : PQ // (SBC)
OP // AD
Ta có : 

 AD // MN

⇒

R

M
N

P

A

OP // MN

Q
O

⇒ M, N, P, O đồng phẳng
D

⇒ PQ ⊂ (MNO)

B

C

Mà
 PQ ⊂ ( MNO)


( MNO) // (SBC)

Vậy :

⇒

PQ //( SBC )

PQ // (SBC)

Chứng minh : PQ // (SBC), (MOR) //
(SCD) :
MR // AB
 AB // DC

Ta có : 

⇒

MR // DC

(1)
Xét tam giác SDB : ta có OR // SD
(2)

MR // DC và OR // SD

Từ (1) và (2) , ta được MR ⊂ ( MOR) và OR ⊂ ( MOR)

 DC ⊂ ( SCD) và SD ⊂ ( SCD )


⇒

( MOR) //( SCD )

2. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB và không đồng
phẳng . I , J , K lần lượt là trung điểm các cạnh AB , CD, EF. Chứng minh :
a. (ADF) // (BCE)

b. (DIK) // (JBE)

Giải

F

a. (ADF)//(BCE):

K

A
D

E

I
J

B
C


18


 AD // BC

Ta có :  AD ⊄ ( BCE )
 BC ⊂ ( BCE )

 AF // BE

Tương tự :  AF ⊄ ( BCE )
 BE ⊂ ( BCE )


⇒

AD //( BCE )

⇒

(1)

AF //( BCE )

(2)

Từ (1) và (2) , ta được :
 AD //( BCE )

 AF //( BCE )

 AD ⊂ ( ADF ) và AF ⊂ ( ADF )


⇒

( ADF ) //( BCE )

Vậy : ( ADF ) //( BCE )
b. (DIK)//(JBE) :
 DI // JB
 IK // BE

Ta có : 

⇒

( DIK ) //( JBE )

Vậy : (DIK)//(JBE)

Bài tập luyện tập tại lớp
Bài 1: Cho tứ diện ABCD, lấy điểm M trên đoạn AB, điểm N trên đoạn AC và I trong tam
giác BCD. Giả sử MN không song song với BC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
a. (MNI) và (BCD)
b. (MNI) và (ABD)
c. (MNI) và (ACD)
Bài 2: Cho tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối không song song và điểm S không thuộc mp
(ABC). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng :

19



a. (SAC) và (SBD)
b. (SAB) và (SCD)
c. (SAD) và (SBC)
Bài 3: Cho đường thẳng d cắt mặt phằng (a) tại I. Lấy hai điểm A và B trên d và điểm M
trong không gian không thuộc d và (a). Giả sử MA và MB lần lượt cắt (a) tại A’ và B’.
Chứng minh ba điểm I, A’, B thẳng hang.
Bài 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm của CD, E là trung điểm của AM và F là trung điểm
của BM.
a) Chứng minh rằng EF song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD)
b) Lấy điểm N trên cạnh AC. Xác định thiết diện của hình chóp với mp(NEF). Thiết diện là
hình gì?
Bài 5 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm của B’C’
a) Chứng tỏ mp(AA’M) cắt BC tại N và AN//A’M
b) Chứng minh rằng đường thẳng AC’ song song với mp(BA’M)
c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (AB’C’) và (A’BC)

20