phương trình lượng giác
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (70.93 KB, 5 trang )
CHUYÊN ĐỀ 3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1. Phương trình đưa về dạng tích
1.1. Phương trình sử dụng các công thức biến đổi lượng giác: công thức biến tích thành tổng,
tổng thành tích, công thức hạ bậc,…
Ví dụ 1. Giải phương trình: sinx+sin2x+sin3x+sin4x+sin5x+sin6x=0
(1)
Giải
( 1) ⇔ ( sin 6 x + sin x ) + ( sin 5 x + sin 2 x ) + ( sin 4 x + sin 3 x ) = 0
⇔ 2sin
7 x
5x
x
3x
7x
3x
cos + cos ÷+ cos = 0 ⇔ 4sin cos ( 2cos x + 1) = 0
2
2
2
2
2
2
k 2π
7x
x = 7
sin 2 = 0
3x
π k 2π
⇔ cos = 0 ⇔ x = +
;k ∈ Z
2
3
3
2cos x + 1 = 0
x = ± 2π + k 2π
3
*Lưu ý: Khi ghép cặp để ra tổng ( hoặc hiệu ) sin ( hoặc cos ) cần để ý đến góc để sao cho tổng
hoặc hiệu các góc bằng nhau
cos3x cos3 x − sin 3x sin 3 x =
Ví dụ 2. Giải phương trình:
Giải
( 2) ⇔
2−3 2
8
(2)
1
1
2−3 2
cos 2 x ( cos 4 x + cos 2 x ) − sin 2 x ( cos 2 x − cos 4 x ) =
2
2
8
2−3 2
2−3 2
⇔ cos 4 x + cos 2 2 x =
4
4
2
π kπ
⇔ 4cos 4 x + 2 ( 1 + cos 4 x ) = 2 − 3 2 ⇔ cos 4 x =
⇔ x=± +
( k∈Z)
2
16 2
⇔ cos 4 x ( cos 2 x + sin 2 x ) + cos 2 x ( cos 2 x − sin 2 x ) =
*Lưu ý: Việc khéo léo sử dụng công thức biến tích thành tổng có thể giúp ta tránh được việc sử
dụng công thức nhân 3
Ví dụ 3. Giải phương trình :
Giải
π
2cos 2 − 2 x ÷+ 3 cos 4 x = 4cos 2 x − 1
4
(3)
π
− 4 x ÷+ 3 cos 4 x = 4 cos 2 x − 1 ⇔ sin 4 x + 3 cos 4 x = 2 ( 2cos 2 x − 1)
2
( 3) ⇔ 1 + cos
1
3
π
⇔ sin 4 x +
cos 4 x = cos 2 x ⇔ cos 4 x − ÷ = cos 2 x
2
2
6
⇔x=
π
π kπ
+ kπ ∨ x =
+
,k ∈¢
12
36 3
1.2. Phương trình sử dụng một số biến đổi khác
Việc đưa phương trình về dạng tích điều quan trọng nhất vẫn là làm sao để phát hiện ra
nhân tử chung nhanh nhất, sau đây là một số biến đổi có thể giúp ta làm được điều đó
⊕ sin 2 x = ( 1 − cos x ) ( 1 + cos x )
,
cos 2 x = ( cos x − sin x ) ( cos x + sin x )
⊕1 + sin 2 x = ( sin x + cos x )
2
1 − sin 2 x = ( sin x − cos x )
2
cos 2 x = ( 1 − sin x ) ( 1 + sin x )
1 + cos 2 x + sin 2 x = 2cos x(sin x + cos x)
1 − cos 2 x + sin 2 x = 2sin x(sin x + cos x)
sin x + cos x
cos x
π
⊕ 2 sin x + ÷ = sin x + cos x
4
⊕1 + tan x =
Ví dụ 4. Giải phương trình:
Giải
Cách 1:
2sin x(1 + cos 2 x) + sin 2 x = 1 + 2cos x
(4)
( 4 ) ⇔ 2sin x.2cos 2 x + 2sin x cos x = 1 + 2cos x ⇔ ( 2cos x + 1) ( 2sin x cos x − 1) = 0
1
cos x = −
⇔
2
sin 2 x = 1
Cách 2:
phần còn lại dành cho bạn đọc
( 4 ) ⇔ 2sin x cos 2 x − (1 − sin 2 x) − 2(cos x − sin x) = 0
⇔ 2sin x ( cos x − sin x ) ( cos x + sin x ) − ( cos x − sin x ) − 2 ( cos x − sin x ) = 0
2
⇔ ( cos x − sin x ) ( 2sin x cos x + 2sin 2 x − cos x + sin x − 2 ) = 0
⇔ ( cos x − sin x ) ( 2sin x cos x − 2cos 2 x − cos x + sin x ) = 0
(phần còn lại HS tự
làm)
Ví dụ 5.Giải phương trình:
Giải
cos 2 x + 3sin 2 x + 5sin x − 3cos x = 3
(5)
( 5) ⇔ (6sin x cos x − 3cos x) − (2sin 2 x − 5sin x + 2) = 0
⇔ 3cos x(2sin x − 1) − (2sin x − 1)(sin x − 2) = 0
⇔ (2sin x − 1)(3cos x − sin x + 2) = 0
Phương trình này tương đương với 2 phương trình cơ bản (HS tự làm)
2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Cần lưu ý các điều kiện xác định của từng công thức
cot x = tan x +
Ví dụ 6. Giải phương trình:
Giải.
ĐK:
2cos 4 x
sin 2 x
(6)
sin x ≠ 0
kπ
,k ∈Z
cos x ≠ 0 ⇔ sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠
2
sin 2 x ≠ 0
x = lπ
2cos4 x
2cos 2 x 2cos4 x
⇔
=
⇔ cos4 x = cos2 x ⇔
,l ∈ Z
( 6 ) ⇔ cot x − tan x =
x = lπ
sin 2 x
sin 2 x
sin 2 x
3
x=±
Kiểm tra điều kiện ta được
Ví dụ 7. Giải phương trình:
Giải.
π
+ lπ , l ∈ Z
3
4cos3 x + 2cos 2 x ( 2sin x − 1) − sin 2 x − 2 ( sin x + cos x )
=0
2sin 2 x − 1
2sin 2 x − 1 ≠ 0 ⇔ cos2 x ≠ 0 ⇔ x ≠
ĐK:
π kπ
+
,k ∈ Z
4
2
(7)
( 7 ) ⇔ 4cos 2 x ( sin x + cos x ) − 2cos x ( sin x + cos x ) − 2 ( sin x + cos x ) = 0
π
x
=
−
+ mπ
4
⇔ 2 ( sin x + cos x ) ( cos x − 1) ( 2cos x + 1) = 0 ⇔ x = m2π
,m∈Z
2π
+ m 2π
x = ±
3
x=
Kiểm tra điều kiện ta được nghiệm
m 2π
,m∈ Z
3
3tan 3 x + cot 2 x = 2 tan x +
Ví dụ 8. Giải phương trình:
Giải
ĐK:
cos3x ≠ 0
π kπ
x
≠
+
sin2x ≠ 0
6 3
⇔
,k ∈ Z
cos x ≠ 0
x ≠ kπ
sin 4 x ≠ 0
4
2
sin 4 x
(8)
(*)
2
2sin 2 x
cos x
2
⇔
+
=
sin 4 x
cos3 x cos x cos3 x sin 2 x sin 4 x
⇔ 4sin 4 x sin x + 2cos2 x cos x = 2cos3 x ⇔ 4sin 4 x sin x + cos3 x + cos x = 2cos3 x
( 8) ⇔ 2 ( tan 3x − tan x ) + ( tan 3x + cot 2 x ) =
⇔ 4sin 4 x sin x = cos3x − cos x ⇔ 8sin 2 xcos2 x sin x = −2sin 2 x sin x
⇔ cos2 x = −
1
1
−1
⇔ x = ± arccos ÷+ mπ , m ∈ Z
4
2
4
Nghiệm này thỏa mãn ĐK
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
( do
(*) )
1)cos3 x + cos2 x − cos x − 1 = 0
3)(1 − tan x)(1 + sin 2 x) = 1 + tan x
π
2) 2 2 sin x − ÷cos x = 1
12
1
1
4)sin 2 x + sin x −
−
= 2cot 2 x
sin 2 x 2sin x
5)sin 2 x + cos2 x + 3sin x − cos x − 2 = 0
x
6) tan x + cos x − cos 2 x = sin x 1 + tan x tan ÷
2
π
7)2 2cos3 x − ÷− 3cos x − sin x = 0
4
8)
1
=
tan x + cot 2 x
1
2
π
π
10)sin 3 x − cos3 x = cos2 x tan x + ÷tan x − ÷
4
4
11) tan x + tan 2 x = − sin 3 x cos 2 x
9) cos x cos 2 xcos3 x + sin x sin 2 x sin 3 x =
π x 7
12)sin x cos 4 x − sin 2 2 x = 4sin 2 − ÷−
4 2 2
x
x
π x
13)sin sin x − cos sin 2 x + 1 = 2cos 2 − ÷
2
2
4 2
14)2sin x + cot x = 2sin 2 x + 1
15)sin 2 x +
sin 2 3 x
cos3 x sin 3 x + sin 3 x cos3 x ) = sin x sin 2 3 x
(
3sin 4 x
2 ( cos x − sin x )
cot x − 1
