TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn

BÀI TẬP YÊU CẦU
A. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vectơ pháp tuyến
1

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) và mặt phẳng (P):
x – 3y + 2z – 5 = 0
. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với
mặt phẳng (P).
r
r
r
r uuu
n =  nP , AB = (0; −8; −12) ≠ 0
• (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ⇒ (Q) có VTPT
(Q) : 2y + 3z − 11= 0
⇒
.
Câu hỏi tương tự:
(P ) : x + 2 y + 3z + 3 = 0
(Q) : x − 2y + z − 2 = 0
A(1;
0;
1),
B(2;

1;
2),
.
ĐS:
a) Với

2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm
 x = −1+ t

d :  y = 2t

A(2;1;3), B(1; −2;1)
 z = −3− 2t
và song song với đường thẳng
.
uur
r
BA = (1;3;2)
u = (1;2; −2)
• Ta có
, d có VTCP
.
uur
r
n ⊥ BA
uur r
r r
r

r
n =  BA,u = (−10;4; −1)
n
n ⊥ u
Gọi là VTPT của (P) 
 chọn
10x − 4y + z − 19 = 0
 Phương trình của (P):
.

3

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng
(d1);

x − 1 y+ 1 z− 2
x − 4 y − 1 z− 3
=
=
(d2):
=
=
2
3
1
6
9
3

,


(d2)

) và
.
• Chứng tỏ (d1) // (d2). (P): x + y – 5z +10 = 0

(d1)

và

(d2)

có phương trình:

. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d

1


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn

4

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,
2


2

cho mặt cầu (S) có phương trình:

2

x + y + z − 2x + 6y − 4z − 2 = 0

. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của
(α ) : x + 4y + z − 11 = 0
véc tơ
, vuông góc với mặt phẳng
và tiếp xúc với (S).
r
(α )
n = (1;4;1)
• (S) có tâm I(1; –3; 2) và bán kính R = 4. VTPT của
là
.
r
r r
nP = [ n, v] = (2; −1;2)
2x − y + 2z + m= 0
 VTPT của (P) là:
 PT của (P) có dạng: ư
.
 m= −21
⇔
d(I ,(P )) = 4

 m= 3
Vì (P) tiếp xúc với (S) nên
.
2x − y + 2z + 3 = 0
2x − y + 2z − 21= 0
Vậy: (P):
hoặc (P):
.
r
v = (1;6;2)

5

6

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –1; 1) và hai đường thẳng
x y+ 1 z
x y− 1 z− 4
(d1): =
=
(d2) : =
=
M , d1, d2
1 −2 −3
1
2
5
và
. Chứng minh rằng điểm
cùng

nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó.
r
r
d1
M1(0; −1;0)
u1 = (1; −2; −3) d2
M2(0;1;4)
u2 = (1;2;5)
•
qua
và có
,
qua
và có
.
r uuuuuur
r r uuuuuur
r r
 u1; u2 = (−4; −8;4) ≠ 0 M1M2 = (0;2;4) u1; u2  .M1M2 = 0 d1,d2
,


đồng phẳng.
r
d1,d2
n = (1;2; −1)
Gọi (P) là mặt phẳng chứa
 (P) có VTPT
và đi qua M1 nên có
x + 2y − z + 2 = 0

M (1;–1;1) ∈ (P )
phương trình
. Kiểm tra thấy điểm
.
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:
x2 + y2 + z2 − 2x − 2y − 4z + 2 = 0

x − 3 y− 3 z
=
=
2
2
1

và mặt cầu (S):

. Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và trục
Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S).
r
u = (2;2;1)
• (S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = 2. d có VTCP
.
r r r
n = [ u, i ] = (0;1; −2)
y − 2z + D = 0
(P) // d, Ox ⇒ (P) có VTPT
⇒ PT của (P) có dạng:
.



TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn

1− 4 + D
d(I ,(P )) = R

(P) tiếp xúc với (S) ⇔

⇒ (P):

7

y − 2z + 3+ 2 5 = 0

⇔

hoặc

12 + 22

(P):

=2

⇔


D−3 = 2 5

y − 2z + 3− 2 5 = 0

⇔

 D = 3+ 2 5

 D = 3− 2 5

.

x2 + y2 + z2 + 2x − 4y − 4 = 0

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):
và mặt
M(3;1; −1)
x + z− 3 = 0
phẳng (P):
. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm
vuông góc
với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
r
nP = (1;0;1)
• (S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) có VTPT
.
PT (Q) đi qua M có dạng:

A(x − 3) + B(y − 1) + C(z + 1) = 0, A2 + B2 + C 2 ≠ 0


d(I ,(Q)) = R ⇔ −4A + B + C = 3 A2 + B2 + C 2

(Q) tiếp xúc với (S) 
r r
(Q) ⊥ (P ) ⇔ nQ.nP = 0 ⇔ A + C = 0 ⇔ C = − A
2

2

2

(*)

(**)
2

B − 5A = 3 2A + B ⇔ 8B − 7A + 10AB = 0

A = 2B ∨ 7A = −4B

Từ (*), (**) 

2
x
+
y
−
2
z

− 9= 0
A = 2B
 Với
. Chọn B = 1, A = 2, C = –2  PT (Q):
4x − 7y − 4z − 9 = 0
7A = −4B
 Với
. Chọn B = –7, A = 4, C = –4  PT (Q):
Câu hỏi tương tự:

(S) : x2 + y2 + z2 − 2x + 4y − 4z + 5 = 0 (P ): 2x + y − 6z + 5 = 0, M (1;1;2)
a) Với
,
.
(Q) : 2x + 2y + z − 6 = 0
(Q) :11x − 10y + 2z − 5 = 0
ĐS:
hoặc
.

8

x2 + y2 + z2 – 2x + 4y + 2z – 3 = 0

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S):
. Viết
phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán
r =3
kính
.

• (S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3. (P) chứa Ox ⇒ (P): ay + bz = 0.
Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (P) đi qua tâm I.
Suy ra: –2a – b = 0

⇔

≠

b = –2a (a 0) ⇒ (P): y – 2z = 0.


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn

9

x2 + y2 + z2 + 2x − 2y + 2z – 1= 0

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S):
và
x− y− 2 = 0
d:
2x − z − 6 = 0
đường thẳng
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và cắt mặt cầu (S)
r =1
theo một đường tròn có bán kính

.
I (−1;1; −1)
• (S) có tâm
, bán kính R = 2.
ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ≠ 0)

PT mặt phẳng (P) có dạng:
.
M (2;0; −2), N(3;1;0) ∈ d
Chọn
.
 M ∈ (P )
 N ∈ (P )

 a = b,2c = −(a + b),d = −3a − b
(1)
d(I ,(P )) = R2 − r 2 17a = −7b,2c = −(a + b), d = −3a − b (2)


Ta có:

x + y − z− 4 = 0
7x − 17y + 5z − 4 = 0
+ Với (1)  (P):
+ Với (2)  (P):

∆1 :
10 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng

∆2 :


x−1 y z
= =
−1 1 −1

x y− 1 z
=
=
2 −1 1

,

x2 + y2 + z2 – 2x + 2y + 4z – 3 = 0

và mặt cầu (S):
. Viết phương trình
tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng ∆1 và ∆1.

• (P):

y + z + 3+ 3 2 = 0

hoặc (P):

y + z + 3− 3 2 = 0

11 Trong không gian với hệ toạ độ

x2 + y2 + z2 − 2x + 4y − 6z − 11= 0


Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình

và mặt phẳng (α) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0.
Viết phương trình mặt phẳng ( β) song song với (α) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn
p = 6π
có chu vi bằng
.
≠
• Do (β) // (α) nên (β) có phương trình 2x + 2y – z + D = 0 (D 17)
(S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = 5. Đường tròn có chu vi 6π nên có bán kính r = 3.


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn

R2 − r 2 = 52 − 32 = 4

Khoảng cách từ I tới (β) là h =
2.1+ 2(−2) − 3+ D
 D = −7
= 4 ⇔ −5+ D = 12 ⇔ 
 D = 17 (loaïi)
22 + 22 + (−1)2
Do đó
2x + 2y – z – 7 = 0
Vậy (β) có phương trình
.

Câu hỏi tương tự:
(S): x2 + y2 + z2 + 2x + 4y − 6z − 11= 0 (a ):2x + y − 2z + 19 = 0 p = 8π
a)
,
,
.
(b ) : 2x + y − 2z + 1 = 0
ĐS:

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách
12 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với

x + y+ z = 0

2
và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng
.
Ax + By + Cz = 0
A2 + B2 + C 2 ≠ 0
• PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng:
(với
).

mặt phẳng (Q):


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /

Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn

• Vì (P) ⊥ (Q) nên:

1.A + 1.B + 1.C = 0
A + 2B − C

•

d(M ,(P )) = 2

⇔

A2 + B2 + C 2

⇔

= 2

2

Từ (1) và (2) ta được:

8AB + 5B = 0

C = −A − B

⇔

(1)


( A + 2B − C )2 = 2( A2 + B2 + C 2)

⇔
B = 0
8A + 5B = 0


• Từ (3): B = 0 ⇒ C = –A. Chọn A = 1, C = –1 ⇒ (P):

(2)

(3)
(4)

x− z = 0

• Từ (4): 8A + 5B = 0. Chọn A = 5, B = –8 ⇒ C = 3 ⇒ (P):

5x − 8y + 3z = 0

13 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :

.

x− 1 y− 3 z
=
=
1
1

4

và điểm
M(0; –2; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, song song với đường thẳng ∆,
đồng thời khoảng cách d giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) bằng 4.
ax + by + cz + 2b = 0 a2 + b2 + c2 ≠ 0
• Phương trình mp (P) đi qua M(0; –2; 0) có dạng:
(
)
r
u = (1;1;4)
∆ đi qua điểm A(1; 3; 0) và có một VTCP

Ta có:

a + b + 4c = 0

∆ P (P )
a + 5b
⇔

d(A;(P )) = d  2 2 2 = 4
 a +b +c



a = 4c
a = −2c



.

a = 4,c = 1⇒ b = −8
4x − 8y + z − 16 = 0
. Chọn
 Phương trình (P):
.
a
=
2,
c
=
−
1
⇒
b
=
2
2
x
+
2
y
−
z
+
4
=
0
a = −2c

 Với
. Chọn
 Phương trình (P):
.
Câu hỏi tương tự:
x y z− 1
∆: = =
; M (0;3; −2), d = 3
1 1
4
a) Với
.
(P ) : 2x + 2y − z − 8 = 0
(P ) : 4x − 8y + z + 26 = 0
ĐS:
hoặc
.

 Với

a = 4c

14 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng

x = t

(d) :  y = −1+ 2t
 z = 1

và điểm


A(−1;2;3)


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn

. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ điểm A đến
mặt phẳng (P) bằng 3.
r
r
M(0; −1;1)
u = (1;2;0)
n = (a; b; c)
a2 + b2 + c2 ≠ 0
• (d) đi qua điểm
và có VTCT
. Gọi
với
là VTPT của (P) .
a(x − 0) + b(y + 1) + c(z − 1) = 0 ⇔ ax + by + cz + b − c = 0
PT mặt phẳng (P):
(1).
rr
u.n = 0 ⇔ a + 2b = 0 ⇔ a = −2b
Do (P) chứa (d) nên:
(2)

−a + 3b + 2c
5b + 2c
d ( A,(P )) = 3 ⇔
= 3⇔
= 3 ⇔ 5b + 2c = 3 5b2 + c2
a2 + b2 + c2
5b2 + c2
⇔ 4b2 − 4bc + c2 = 0 ⇔ ( 2b − c) = 0 ⇔ c = 2b
2

Từ (2) và (3), chọn

b = −1



a = 2, c = −2

(3)

 PT mặt phẳng (P):

15 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm

2x − y − 2z + 1= 0

M (−1;1;0), N(0;0; −2), I (1;1;1)

3


phương trình mặt phẳng (P) qua A và B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) bằng
ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ≠ 0)

• PT mặt phẳng (P) có dạng:
 M ∈ (P )

 a = − b,2c = a − b, d = a − b (1)
 N ∈ (P )
d(I ,(P )) = 3  5a = 7b,2c = a − b,d = a − b (2)
Ta có:

.
+ Với (1)  PT mặt phẳng (P):
+ Với (2)  PT mặt phẳng (P):

.
. Viết

.

.

x − y + z+ 2 = 0

7x + 5y + z + 2 = 0

.

16 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với
C(−3;4;1) D(1;2;1)


A(1; −1;2)

,

B(1;3;0)

,

,
. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C
đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).

• PT mặt phẳng (P) có dạng:

ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ≠ 0)

.


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn

 A ∈ (P )

 B ∈ (P )
d(C,(P )) = d(D,(P ))


a − b + 2c + d = 0
a + 3b + d = 0
 −3a + 4b + c + d a + 2b + c + d
=

2
2
2
a2 + b2 + c2
 a + b + c

Ta có:

 b = 2a,c = 4a, d = −7a
 c = 2a, b = a, d = −4a


b = 2a,c = 4a,d = −7a
x + 2y + 4z − 7 = 0
+ Với
 (P):
.
c = 2a,b = a, d = −4a
x + y + 2z − 4 = 0
+ Với
 (P):
.
Câu hỏi tương tự:
A(1;2;1), B(−2;1;3),C (2; −1;1), D(0;3;1)

a) Với
.
(P ) : 4x + 2y + 7z − 15 = 0
(P ) : 2x + 3z − 5 = 0
ĐS:
hoặc
.
A(1;2;3) B(0; −1;2) C(1;1;1)
, cho các điểm
,
,
.
O
A
B
Viết phương trình mặt phẳng
đi qua
và gốc tọa độ
sao cho khoảng cách từ
đến
(P )
(P )
C
bằng khoảng cách từ
đến
.
(P ) : ax + by + cz = 0
a2 + b2 + c2 ≠ 0
• Vì O  (P) nên
, với

.
d(B,(P )) = d(C,(P )) ⇔ −b + 2c = a + b + c
a + 2b + 3c = 0
Do A  (P) 
(1) và
(2)
b= 0
c= 0
Từ (1) và (2) 
hoặc
.
(
P
)
:3
x
− z= 0
b = 0 a = −3c
c= 0
a = −2b (P ) : 2x − y = 0
 Với
thì

 Với
thì

Câu hỏi tương tự:
A(1;2;0), B(0;4;0),C (0;0;3)
−6x + 3y + 4z = 0
6x − 3y + 4z = 0

a) Với
.
ĐS:
hoặc
.

17 Trong không gian với hệ trục tọa độ
(P )

Oxyz

Oxyz

A(1;1; −1) B(1;1;2) C(−1;2; −2)
18 Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba điểm
,
,
x − 2y + 2z + 1= 0
(α )
và mặt phẳng (P):
. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua A, vuông góc

với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC tại I sao cho

IB = 2IC

.



TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn

• PT

(α )

có dạng:
A(1;1; −1) ∈ (α )

ax + by + cz + d = 0

a2 + b2 + c2 ≠ 0

, với
(α ) ⊥ (P )
a + b− c + d = 0
a − 2b + 2c = 0
Do
nên:
(1);
nên
(2)
a + b + 2c + d
− a + 2b − 2c + d
=2

a2 + b2 + c2
a2 + b2 + c2
IB = 2IC d(B,(α )) = 2d(C;(α ))


3a − 3b + 6c − d = 0
⇔
(3)
 −a + 5b − 2c + 3d = 0
Từ (1), (2), (3) ta có 2 trường hợp sau :
a + b − c + d = 0
−1
−3

⇔ b = a; c = −a; d =
a
 a − 2b + 2c = 0
2
2
3a − 3b + 6c − d = 0
TH1 :
.
a = 2 ⇒ b = −1; c = −2; d = −3 (α ) 2x − y − 2z − 3 = 0
Chọn

:
a + b − c + d = 0
3
−3


⇔ b = a; c = a; d =
a
a − 2b + 2c = 0
2
2
−a + 5b − 2c + 3d = 0
TH2 :
.
a = 2 ⇒ b = 3; c = 2; d = −3 (α ) 2x + 3y + 2z − 3 = 0
Chọn

:
(α ) 2x − y − 2z − 3 = 0
(α ) 2x + 3y + 2z − 3 = 0
Vậy:
:
hoặc
:

19 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng

d1,d2

lần lượt có phương trình

x − 2 y − 2 z− 3
x − 1 y − 2 z− 1
=
=
d2 :

=
=
2
1
3
2
−1
4
,
. Viết phương trình mặt phẳng cách đều
d1,d2
hai đường thẳng
.
r
r
d1
ud1 = (2;1;3) d2
ud2 = (2; −1;4)
B(1;2;1)
• Ta có
đi qua A(2;2;3) , có
,
đi qua
và có
.
r
r r
nP = ud1,ud2  = (7; −2; −4)
d1,d2
d1,d2

Do (P) cách đều
nên (P) song song với

7x − 2y − 4z + d = 0
 PT mặt phẳng (P) có dạng:
d1 :


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn

d1,d2

d( A,(P )) = d(B,(P ))
Do (P) cách đều
suy ra
7.2 − 2.2 − 4.3+ d 7.1− 2.2 − 4.1+ d
3
=
⇔ d− 2 = d−1 ⇔ d =
69
69
2

14x − 4y − 8z + 3 = 0
 Phương trình mặt phẳng (P):


20 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng

d1,d2

lần lượt có phương trình

 x = 1+ t

d1 :  y = 2 − t
x − 2 y − 1 z+ 1
d2 :
=
=
 z = 1
d1
1
−2
2
,
. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với
d2
d1
d2
và
, sao cho khoảng cách từ
đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ
đến (P).
r
d1
u1 = (1; −1;0)

A(1;2;1)
• Ta có :
đi qua
và có VTCP
r
d2
u2 = (1; −2;2)
B(2;1; −1)
đi qua
và có VTCP là
r
r r
r
n = u1,u2  = (−2; −2; −1)
d1
d2
n
Gọi là VTPT của (P), vì (P) song song với
và
nên
2x + 2y + z + m= 0
 Phương trìnht (P):
.
7+ m
5+ m
d(d1,(P )) = d(A;(P )) =
d(d2,(P )) = d(B,(P )) =
3
3
;

 7 + m= 2(5+ m)
17
⇔
⇔ m= −3; m= −
d(d1,(P )) = 2d(d2,(P )) ⇔ 7 + m = 2. 5+ m
 7 + m= −2(5+ m)
3

+ Với

m= −3 ⇒ (P ): 2x + 2y + z – 3 = 0

m= −
+ Với

17
17
(P ) : 2x + 2y + z − = 0
3 ⇒
3

21 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm

(x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = 2
A(0; −1;2) B(1;0;3)
,
và tiếp xúc với mặt cầu (S):
.

• (S) có tâm


I (1;2; −1)

, bán kính

R= 2

.


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn

ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ≠ 0)

PT mặt phẳng (P) có dạng:
 A ∈ (P )

 a = −b,c = −a − b,d = 2a + 3b
 B ∈ (P )
3a = −8b,c = −a − b, d = 2a + 3b

d
(
I
,(
P

))
=
R


Ta có:

x − y − 1= 0
+ Với (1)  Phương trình của (P):
8x − 3y − 5z + 7 = 0
+ Với (2)  Phương trình của (P):
22 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm

A(2; −1;1)

(1)
(2)

. Viết phương trình mặt phẳng (P)

đi qua điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất.
d(O,(P ))max = OA
d(O,(P )) ≤ OA
⇔ OA ⊥ (P )
• Ta có
. Do đó
xảy ra
nên mặt phẳng (P)
uuu
r

OA = (2; −1;1)
cần tìm là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với OA. Ta có
2x − y + z − 6 = 0
Vậy phương trình mặt phẳng (P):
..
23 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng d có phương

x − 1 y z− 1
= =
2
1
3

trình:
. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và
khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.
• Gọi H là hình chiếu của A trên d ⇒ d(d, (P)) = d(H, (P)). Giả sử điểm I là hình chiếu của
AH ≥ HI
A≡ I
H lên (P),uuta
có

HI
lớn
nhất
khi
. Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A
ur
7x + y − 5z − 77 = 0
AH

và nhận
làm VTPT ⇒ (P):
.
24 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình tham số

{ x = −2+ t; y = −2t; z = 2+ 2t

. Gọi  là đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d)
và I(–2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (d). Viết phương trình của mặt phẳng chứa
∆ và có khoảng cách đến (d) là lớn nhất.
(P ) P (d)
(P ) ⊃ (d)
• Gọi (P) là mặt phẳng chứa ∆, thì
hoặc
. Gọi H là hình chiếu vuông
IH ≤ IA
IH ⊥ AH
góc của I trên (P). Ta luôn có
và
.


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn

 d(d,(P )) = d(I ,(P )) = IH
 H ∈ (P )



Mặt khác

maxIH = IA ⇔ H ≡ A
. Lúc này (P) ở vị trí (P0) ⊥ IA tại A.
r uu
r
r
n = IA = ( 6;0; −3)
v = ( 2;0; −1)
Vectơ pháp tuyến của (P0) là
, cùng phương với
.
2(x − 4) − 1.(z + 1) = 2x − z − 9 = 0
Phương trình của mặt phẳng (P0) là:
.

Trong (P),

IH ≤ IA

; do đó

d:
25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
A(2;5;3)

x − 1 y z− 2
= =

2
1
2

và điểm

. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn

nhất.

• PT mặt phẳng (P) có dạng:
r
n = (a; b; c)

ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ≠ 0)

.
r
u = (2;1;2)

M(1;0;2)
, d đi qua điểm
và có VTCP
.
 M ∈ (P )  a + 2c + d = 0
2c = −(2a + b)
rr

n


 .u = 0
2a + b + 2c = 0 d = a + b
Vì (P)  d nên


. Xét 2 trường hợp:
d( A,(P )) = 0
x − z + 1= 0
TH1: Nếu b = 0 thì (P):
. Khi đó:
.
2ax + 2y − (2a + 1)z + 2a + 2 = 0
b= 1
TH2: Nếu b  0. Chọn
ta được (P):
.
9
9
d(A,(P )) =
=
≤3 2
2
8a2 + 4a + 5

1 3
2 2a + ÷ +

2 2
Khi đó:
1

1
2a + = 0 ⇔ a = −
max d( A,(P )) = 3 2
x − 4y + z − 3 = 0
2
4
Vậy

. Khi đó: (P):
.
Câu hỏi tương tự:
x − 1 y + 1 z− 2
d:
=
=
, A(5;1;6)
(P ) : 2x + y − z + 1= 0
2
1
5
a)
.
ĐS:
x − 1 y+ 2 z
d:
=
= , A(1;4;2)
(P ) : 5x + 13y − 4z + 21= 0
−1
1

2
b)
.
ĐS:

(P) có VTPT


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn

26 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm

M(0; −1;2)

N(−1;1;3)

và
K(0;0;2)

. Viết phương trình

mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng (P) là lớn
nhất.
Ax + B(y + 1) + C(z − 2) = 0 ⇔ Ax + By + Cz + B − 2C = 0
• PT (P) có dạng:

(A2 + B2 + C 2 ≠ 0)
N(−1;1;3) ∈ (P ) ⇔ − A + B + 3C + B − 2C = 0 ⇔ A = 2B + C

⇒ (P ) :(2B + C )x + By + Cz + B − 2C = 0

d(K ,(P )) =

;

B
2
2
4B + 2C + 4BC

 Nếu B = 0 thì d(K, (P)) = 0 (loại)
d(K ,(P )) =

 Nếu

B≠ 0

thì

B
4B2 + 2C 2 + 4BC

1

=


2

C 
2 + 1÷ + 2
B 

Dấu “=” xảy ra khi B = –C. Chọn C = 1. Khi đó PT (P):

≤

1
2

x + y – z+ 3= 0

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc

.


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn

27 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) chứa đường thẳng ():

x−1 y
z

=
=
1
−1 −2

2x − 2y − z + 1= 0
và tạo với mặt phẳng (P) :
một góc 600. Tìm tọa độ giao
điểm M của mặt phẳng (α) với trục Oz.
r
r
n′ = (2; −2; −1)
A(1;0;0)
u = (1; −1; −2)
• () qua điểm
và có VTCP
. (P) có VTPT
.
uuuur
r  uuur ur 
n =  AM ,u  = (m; m− 2;1)
AM = (−1;0; m)
M (0;0; m)
Giao điểm
cho
. (α) có VTPT
2x − 2y − z + 1= 0
(α) và (P):
tạo thành góc 600 nên :
1

1
1
r r
cos( n, n′ ) = ⇔
= ⇔ 2m2 − 4m+ 1= 0
2
m= 2 − 2
m= 2 + 2
2m2 − 4m+ 5 2
⇔
hay

Kết luận :

M(0;0;2 − 2)

hay

M(0;0;2 + 2)

28 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến d

của hai mặt phẳng
(Q) : x – 2y + 2z – 1 = 0

(a ) :2x – y – 1= 0

,

(β ) : 2x – z = 0


cosϕ =

2 2
9

và tạo với mặt phẳng

một góc ϕ mà
A(0;1;0), B(1;3;2)∈ d
Ax + By + Cz – B = 0
• Lấy
. (P) qua A  PT (P) có dạng:
.
A = −(2B + 2C )
A + 3B + 2C – B = 0
(P) qua B nên:

(P ) : −(2B + 2C )x + By + Cz – B = 0

−2B − 2C − 2B + 2C
2 2
cosϕ =
=
9
3 (2B + 2C )2 + B2 + C 2
13B2 + 8BC – 5C 2 = 0
⇔
.
5

C = 1⇒ B = 1; B =
13
Chọn
.
B = C = 1 (P ) : −4x + y + z – 1= 0
+ Với

5
B = , C =1
(P ) : −23x + 5y + 13z – 5 = 0
13
+ Với

.


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn

29 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm

(P ) : x + 2y + z − 3 = 0

A(−1;2; −3), B(2; −1; −6)

. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB và tạo với mặt phẳng (P)


cosα =
một góc  thoả mãn

3
6

.

ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ≠ 0)

• PT mặt phẳng (Q) có dạng:
−a + 2b − 3c + d = 0
 A ∈ (Q)
2a − b − 6c + d = 0
 B ∈ (Q)



a + 2b + c
3
3

=
cosα =
 a2 + b2 + c2 1+ 4 + 1 6

6
Ta có:



 Phương trình mp(Q):
Câu hỏi tương tự:

a)

A(0;0;1), B(1;1;0)

và mặt phẳng

4x − y + 3z + 15 = 0

(P ) ≡ (Oxy),cosα =
,

hoặc (Q):

.

 a = −4b,c = −3b, d = −15b
 a = − b,c = 0, d = −b


x− y− 3= 0

.

1
6

.

2x − y + z − 1= 0

x − 2y − z + 1= 0
hoặc (Q):
.
x + y+ z− 3= 0
d:
2x + y + z − 4 = 0
30 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
. Viết phương

ĐS: (Q):

trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc

• ĐS:

(P ) : 2x + y + z − 2 − 2 = 0

hoặc

.

(P ) : 2x − y − z − 2 + 2 = 0

31 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng
(Q) : x − 4y − 8z + 12 = 0
(R)

. Lập phương trình mặt phẳng


(P ) : 5x − 2y + 5z − 1 = 0

và

đi qua điểm M trùng với gốc tọa

độ O, vuông góc với mặt phẳng (P) và tạo với mặt phẳng (Q) một góc

• Giả sử PT mặt phẳng (R):

α = 600

ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ≠ 0)

.

a = 450

.


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn

Ta có:


(R) ⊥ (P ) ⇔ 5a − 2b + 5c = 0

· R),(Q)) = cos450 ⇔
cos((

(1);

a − 4b − 8c
9 a2 + b2 + c2

2
2

=

(2)

 a = −c
7a2 + 6ac − c2 = 0 ⇔ 
c = 7a

Từ (1) và (2) 
a = 1, b = 0,c = −1
(R) : x − z = 0
a = −c
 Với
: chọn
 PT mặt phẳng
a = 1, b = 20,c = 7
(R) : x + 20y + 7z = 0

c = 7a
 Với
: chọn
 PT mặt phẳng
Câu hỏi tương tự:
a) Với

(P ): x − y − 2z = 0,(Q) ≡ (Oyz), M (2; −3;1),a = 450
ĐS:

(R) : x + y + 1= 0

hoặc

.
(R) : 5x − 3y + 4z − 23 = 0

32 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình:

∆1 :

x − 1 y+ 1 z−1
=
=
1
−1
3

tạo với


∆2

và

x y z
∆2 : =
=
1 −2 1

. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa

∆1

và

a = 300

một góc
.
5x + 11y + 2z + 4 = 0
2x − y − z − 2 = 0
• Đáp số: (P):
hoặc (P):
.
Câu hỏi tương tự:
x y− 2 z
x − 2 y − 3 z+ 5
∆1 : =
=
∆2 :

=
=
1
−1 1
2
1
−1 a = 300
a) Với
,
,
.
x − 2y − 2z + 2 = 0
x + 2y + z − 4 = 0
ĐS: (P):
hoặc (P):
x − 1 y z+ 1
x y− 2 z+ 1
∆1 :
= =
∆2 : =
=
−2 1
1
1
−1
1 a = 300
b)
,
,
.

ĐS: (P):

(18+ 114)x + 21y + (15+ 2 114)z − (3− 114) = 0

hoặc (P):

(18− 114)x + 21y + (15− 2 114)z − (3+ 114) = 0

33 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn

450, 300

M(1;2;3)

và tạo với các trục Ox, Oy các góc tương ứng là
.
r
r
r
i = (1;0;0), j = (0;1;0)
n = (a; b; c)
• Gọi
là VTPT của (P). Các VTCP của trục Ox, Oy là

.

Ta có:


2
sin(Ox,(P )) =
2

1
sin(Oy,(P )) =

2

PT mặt phẳng (P):

a = 2 b

c = b



2(x − 1) + (y − 2) ± (z − 3) = 0

− 2(x − 1) + (y − 2) ± (z − 3) = 0

hoặc

34 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q):


d:

x + 2y − z + 5 = 0

và đường thẳng

x + 1 y+ 1 z− 3
=
=
2
1
1

. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt
phẳng (Q) một góc nhỏ nhất.
· P ),(Q))
ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ≠ 0)
a = ((

• PT mặt phẳng (P) có dạng:

Chọn hai điểm

 (P):

M (−1; −1;3), N(1;0;4) ∈ d

ax + by + (−2a − b)z + 7a + 4b = 0

cosα =


3
6

b

.

2b2

TH1: Nếu a = 0 thì

cosα =

TH2: Nếu a  0 thì

Xét hàm số

3
6

. Ta có:

cosα =

=

3
2


6

.



a = 300

a+ b
5a2 + 4ab + 2b2

.

b
a
2

b  b
5+ 4 + 2 ÷
a  a

9 x2 + 2x + 1
f (x) = .
6 5+ 4x + 2x2

3



1+


.

. Gọi
 M ∈ (P ) c = −a − b
 N ∈ (P ) ⇒ d = 7a + 4b



.

x=
. Đặt

b
a

và

f (x) = cos2 α

.


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn


Dựa vào BBT, ta thấy

min f (x) = 0 ⇔ cosα = 0 ⇔ a = 900 > 300
b = 1,c = 1, d = 4

Do đó chỉ có trường hợp 1 thoả mãn, tức a = 0. Khi đó chọn
.
y− z+ 4 = 0
Vậy: (P):
.
Câu hỏi tương tự:
x−1 y+ 2 z
d:
=
=
x + 2y + 2z – 3 = 0
(P ) : x + 2y + 5z +3 = 0
1
2
−1
a) Với (Q):
,
.
ĐS:
.
x − 1 y+ 2 z
(Q) ≡ (Oxy), d :
=
=
(P ) : x − y + z − 3 = 0

−1
1
2
b) Với
.
ĐS:
.
 x = −t

d :  y = −1+ 2t

(Q) : 2x − y − z − 2 = 0
(P ) : x + y + z − 3 = 0
z = 2+ t
c) Với
,
.
ĐS:
.
35 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm

M (−1; −1;3), N(1;0;4)

x + 2y − z + 5 = 0

và mặt phẳng

(Q):
. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N và tạo với (Q) một góc
nhỏ nhất.

(P ) : y − z + 4 = 0
• ĐS:
.
Câu hỏi tương tự:
M (1;2; −1), N(−1;1;2),(Q) ≡ (Oxy)
(P ) : 6x + 3y + 5z − 7 = 0
a)
.
ĐS:
.

36 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

 x = 1− t

d :  y = −2 + t
 z = 2t

. Viết phương trình

mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với trục Oy một góc lớn nhất.

• PT mặt phẳng (P) có dạng:

Chọn hai điểm

ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ≠ 0)

M (1; −2;0), N(0; −1;2) ∈ d


. Ta có:

· P ),Oy)
a = ((

. Gọi
 M ∈ (P ) 2c = a − b
 N ∈ (P ) ⇒ d = −a + 2b



.


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn

 (P):

a− b
ax + by +
z − a + 2b = 0
2

sinα =




2b
5a2 + 5b2 − 2ab

.

0

a =0

TH1: Nếu b = 0 thì

.
2

sinα =

2

 a
a
5 ÷ + 5− 2
b
 b

TH2: Nếu b  0 thì
f (x) =
Xét hàm số

x=

. Đặt

4

Vậy  lớn nhất khi

a 1
=
b 5

và

f (x) = sin2 a

max f (x) =

2

5x − 2x + 5

a
b

. Dựa vào BBT, ta được

. Chọn

a = 1, b = 5,c = −2, d = 9

 (P):


5
1
⇔ x=
6
5

37 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

x+ 2 y−1 z
=
=
2
−1 2



a > 00

x + 5y − 2z + 9 = 0

d1 :
d2 :

.

.

x − 1 y+ 2 z
=

=
1
2
−1

d1

.

và

. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
sao cho góc giữa mặt phẳng
d2
(P) và đường thẳng
là lớn nhất.
r
d1
d1 ⊂ (P )
M(1; −2;0)
u = (1;2; −1)
M ∈ (P )
•
đi qua
và có VTCP
.Vì
nên
.
A(x − 1) + B(y + 2) + Cz = 0 ( A2 + B2 + C 2 ≠ 0)


PT mặt phẳng (P) có dạng:
rr
d ⊂ (P ) ⇔ u.n = 0 ⇔ C = A + 2B
Ta có:
.

Gọi

· P ), d )
a = ((
2

sina =


sina =
TH1: Với B = 0 thì

1
(4A + 3B)2
= .
2
2
3. 2A2 + 4AB + 5B2 3 2A + 4AB + 5B

2 2
3

4A + 3B



TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn

TH2: Với B  0. Đặt
f (t) =

Xét hàm số

A
t=
B

2

(4t + 3)

2t + 4t + 5

5 3
9

25
7

max f (t) =


2

sina = f (−7) =
Khi đó

, ta được:

1
(4t + 3)2
sina = .
3 2t2 + 4t + 5

. Dựa vào BBT ta có:

khi

t = −7



A
= −7
B

.

sina =

5 3
9


So sánh TH1 và TH2   lớn nhất với
khi
7x − y + 5z −9 = 0 
 Phương trình mặt phẳng (P) :
.

A
= −7
B

d:
38 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

.

x + 1 y − 2 z+ 1
=
=
1
1
−1

A(2; −1;0)

và điểm

. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d và tạo với mặt phẳng
(Oxy) một góc nhỏ nhất.
(P ) : x + y + 2z − 1= 0

• ĐS:
.
39 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q):
A(1;1; −1)

2x − y + z + 2 = 0

và điểm

. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A, vuông góc với mặt phẳng (Q) và
tạo với trục Oy một góc lớn nhất.
(P ) : y + z = 0
(P ) : 2x + 5y + z − 6 = 0
• ĐS:
hoặc
.

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến tam giác
40 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 6). Viết phương trình mặt phẳng

(P) qua A, cắt các trục tọa độ lần lượt tại I, J, K mà A là trực tâm của tam giác IJK.


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn

• Gọi I(a;0;0), J(0;b;0), K(0;0;c) ⇒

uu
r
IA
uur= (4 − a;5;6),
J K = (0; −b; c),

uur
Juu
A
r = (4;5− b;6)
IK = (− a;0; c)

x y z
(P ): + + = 1
a b c
4 5 6
 a + b + c = 1
−5b + 6c = 0

−4a + 6c = 0

⇒
⇒
4x + 5y + 6z − 77 = 0
Vậy phương trình mặt phẳng (P):
.
Câu hỏi tương tự:
a) Với A(–1; 1; 1).

ĐS: (P):


a=

77
77
77
; b= ; c =
4
5
6

x − y− z+ 3 = 0

41 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2; 0; 0) M(1; 1; 1). Mặt phẳng (P) thay đổi qua

AM cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B(0; b; 0), C(0; 0; c) (b > 0, c > 0). Chứng minh rằng:
b+ c =

bc
2

. Từ đó, tìm b, c để diện tích tam giác ABC nhỏ nhất.
x y z
1 1 1
bc
+ + = 1.
+ + = 1 b+ c =
M ∈ (P )
2 b c
2 b c

2
• PT mp (P) có dạng:
Vì
nên

.
uuu
r
uuur
S = b2 + c2 + (b + c)2
AB(−2; b;0) AC(−2;0; c).
Ta có
,
Khi đó
.
Vì

b2 + c2 ≥ 2bc; (b + c)2 ≥ 4bc

Mà

nên

bc = 2(b + c) ≥ 4 bc ⇒ bc ≥ 16

Vậy:

minS = 96

khi


b= c = 4

42 Trong không gian toạ độ

Oxyz,

S ≥ 6bc
. Do đó

.

S ≥ 96

. Dấu "=" xảy ra 

b= c= 4

.

.

cho điểm

A(2;2;4)

và mặt phẳng

(P ) : x + y + z + 4 = 0


Ox, Oy

. Viết

phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và (Q) cắt hai tia
tại 2 điểm B, C
sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 6.
x + y + z + d = 0 (d ≠ 4)
B = (Q) ∩ Ox, C = (Q) ∩ Oy
• Vì (Q) // (P) nên (Q):
. Giả sử
r uuur
1 uuu
SABC =  AB, AC  = 6
B(−d;0;0),C(0; − d;0) (d < 0)
d = −2
2

.



TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn




(Q) : x + y + z − 2 = 0

.

43 Trong không gian toạ độ

Oxyz,

cho các điểm

A(3;0;0), B(1;2;1)

. Viết phương trình mặt
9
2
phẳng (P) qua A, B và cắt trục Oz tại M sao cho tam giác ABC có diện tích bằng .
(P ) : x + 2y − 2z − 3 = 0
• ĐS:
.
Dạng 6: Các dạng khác về viết phương trình mặt phẳng

44 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm

M(9;1;1)

, cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ

nhất.

• Giá sử


A(a;0;0) ∈ Ox, B(0; b;0) ∈ Oy,C(0;0; c) ∈ Oz (a, b, c > 0)

.

x y z
+ + =1
a b c
Khi đó PT mặt phẳng (P) có dạng:
.
9 1 1
1
+ + =1
VOABC = abc
M (9;1;1) ∈ (P ) a b c
6
Ta có:

(1);
(2)
(1) 

abc = 9bc + ac + ab

Dấu "=" xảy ra 
Câu hỏi tương tự:
a) Với

M(1;2;4)


.

33 9(abc)2

(abc)3 ≥ 27.9(abc)2 ⇔ abc ≥ 243

≥

9bc = ac = ab a = 27


⇔ b = 3
9 1 1
c = 3
 a + b + c = 1

ĐS:

x y z
+ + =1
27 3 3
 (P):
.

x y z
(P ) : + +
=1
3 6 12

45 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm


1
M(1;2;3)

, cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức
nhỏ nhất.
(P ): x + 2y + 3z − 14 = 0
• ĐS:
.

2

OA

+

1
2

OB

+

1
OC 2

có giá trị


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS

Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn

46 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M(2;5;3)
OA + OB + OC

, cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức

nhất.

(P ):

• ĐS:

x
2 + 6 + 10

+

y

+

z

5+ 10 + 15 3 + 6 + 15


=1
.

có giá trị nhỏ


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn

B. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định vectơ chỉ phương

d:
47 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng

P : x − y − z − 1= 0

x + 1 y− 1 z− 2
=
=
2
1
3
A(1;1; −2)

. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua
(P )

d
với mặt phẳng
và vuông góc với đường thẳng .
uu
r uur
x − 1 y − 1 z+ 2
r
∆:
=
=
r
u = ud; nP  = (2;5; −3)
u
2
5
−3
•
. ∆ nhận làm VTCP ⇒
phẳng

và mặt

, song song

48 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình: {

x = −t

;
y = −1+ 2t z = 2 + t t ∈ R

2x − y − 2z − 3 = 0
;
(
) và mặt phẳng (P):
.Viết phương trình tham
số của đường thẳng ∆ nằm trên (P), cắt và vuông góc với (d).
A(1; −3;1)
• Gọi A = d ∩ (P) ⇒
.
− x + 2y + z + 6 = 0
Phương trình mp(Q) qua A và vuông góc với d:
{ x = 1+ t; y = −3; z = 1+ t
∆ là giao tuyến của (P) và (Q) ⇒ ∆:

49 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng ∆:

x − 1 y+ 1 z
=
=
2
1
−1

. Lập phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M, cắt và vuông góc
với ∆.
uuuu
r
r
u∆ = (2;1; −1)
MH = (2t − 1; t − 2; −t)

H (1+ 2t; −1+ t; −t)
•
. Gọi H = d ∩ ∆. Giả sử
⇒
.
2
uuuu
r r
uuuu
r
r
t=
MH ⊥ u∆
u
=
3
MH
= (1; −4; −2)
2(2t − 1) + (t − 2) − (−t) = 0
3
d
⇔
⇔
⇒
 x = 2+ t

 y = 1− 4t

 z = 2t
⇒ d:

.


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn

50 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 1 = 0 và hai

điểm A(1;7; –1), B(4;2;0). Lập phương trình đường thẳng (D) là hình chiếu vuông góc của
đường thẳng AB trên (P).
• Gọi (Q) là mặt phẳng qua A, B và vuông góc với (P)  (Q): 8x + 7x + 11z – 46 = 0.
(D) = (P)

∩

(Q) suy ra phương trình (D).

51 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường

thẳng

 x − 2z = 0
d:
3x − 2y + z − 3 = 0

• PTTS của d:


 x = 4t

3
 y = − + 7t
2

 z = 2t

trên mặt phẳng

P : x − 2y + z + 5 = 0

.

r
n = (1; −2;1)

. Mặt phẳng (P) có VTPT
.
 11 


3 
3 
A 4; ;2÷
B  0; − ;0÷∈ d, B  0; − ;0÷∉ (P )
A = d ∩ (P )
 2 

2 


2 
Gọi

. Ta có
.
 4 7 4
H  − ; ;− ÷
H (x; y; z)
 3 6 3
Gọi
là hình chiếu vuông góc của B trên (P). Ta tìm được
.
Gọi  là hình chiếu vuông góc của d trên (P)   đi qua A và H
 x = 4 + 16t

11
 y = + 13t
2
uuu
r

r
z
=
2
+ 10t
u = 3HA = (16;13;10)

  có VTCP

 Phương trình của :
.
Câu hỏi tương tự:
 x = 1+ 23m

∆ :  y = 2 + 29m
x + 1 y− 1 z− 2
d:
=
=
 z = 5+ 32m
2
1
3 (P ) : x − 3y + 2z − 5 = 0
a) Với
,
.
ĐS:
52 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi A, B, C lần lượt giao điểm của mặt phẳng

( P) :

6 x + 2 y + 3z − 6 = 0

với Ox, Oy, Oz. Lập phương trình đường thẳng d đi qua tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P).
(P ) ∩ Ox = A(1;0;0); (P ) ∩ Oy = B(0;3;0); (P ) ∩ Oz = C(0;0;2)
• Ta có: