PHẦN NỘI DUNG
Chương 1: CƠ SỞ THỰC TIỄN
Giải toán là một hoạt động chủ yếu trong học toán. Các Bài là một phương tiện
hữu hiệu để học sinh có thể áp dụng các tri thức Toán học vào cuộc sống, từ đó góp
phần rèn kỹ năng thực hành, nâng cao các kĩ năng cuộc sống thông qua các tri thức
lĩnh hội ở trường phổ thông. Kĩ năng được định nghĩa là khả năng vận dụng những
kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế. Một định nghĩa khác
kĩ năng là khả năng thành công trong các công việc dự định tiến hành, trong việc giải
quyết các vấn đề thực tế; khả năng, kinh nghiệm trong việc thực hiện một hoạt động
trí tuệ hay nghệ thuật. Hai định nghĩa này đã nêu lên đặc điểm của kĩ năng vận dụng
các kiến thức đã có vào một vấn đề trong thực tế.
Trong dạy học Toán giải quyết vấn đề thông qua việc giải các Bài trong Toán
học là một trong các hoạt động chủ yếu trong dạy học Toán. Do đó việc giải các Bài
có nội dung thực tiễn sẽ hỗ trợ học sinh hình thành và phát triển kĩ năng cuộc sống.
Muốn sử dụng được những điều đã biết, cần phải kết hợp, biến đổi chúng, làm cho
chúng thích hợp với tình huống. Ví dụ cần làm cho học sinh làm toán có nội dung
thực tiễn như giải những Bài bằng cách lập phương trình, giải toán cực trị, đo những
khoảng cách không tới được bằng cách dùng những hàm số lượng giác hay việc giải
các Bài góp phần hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác
nhau của quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn.
Thật vậy, tri thức Toán học không phải được cho sẵn mà phải được kiến tạo,
xây dựng bắt đầu từ hoạt động giải toán của học sinh. Chính học sinh tự mình xây
dựng các kiến thức Toán học thông qua hoạt động giải các bài tập. Học Toán là học
nêu lên, học trình bày và học giải quyết các bài tập; học xem xét lại các bài tập dưới
ánh sáng của những công cụ lí thuyết nảy sinh từ chính nhu cầu giải quyết các vấn đề.
Như vậy, hoạt động giải các bài tập - giá mang các tri thức đóng vai trò trung tâm
trong hoạt động học Toán.
Trong các chức năng của bài tập trong việc dạy học Toán như tạo đông cơ; hoạt
hóa kiến thức cũ; phương tiện đưa vào kiến thức mới; củng cố kiến thức, rèn luyện kĩ

năng và kĩ xảo Toán học; phát triển năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ; công cụ


chẩn đoán biểu tượng của học sinh về một khái niệm; cho phép làm rõ vai trò ý nghĩa
thực tiễn của tri thức Toán học,cho phép tiếp cận dạy học mô hình hóa và bằng mô
hình hóa. Cần đặc biệt quan tâm đến làm rõ vai trò, ý nghĩa thực tiễn của Toán học vì
như đã chỉ ra ở trên, chúng góp phần phát triển các kĩ năng cuộc sống của học sinh.
Theo khái niệm kĩ năng trong cuộc sống được trình bày ở trên, chương trình
Toán Phổ Thông nhấn mạnh và coi việc giải các Bài có nội dung thực tiễn sẽ góp
phần hình thành và phát triển các kĩ năng này. Các Bài có nội dung thực tiễn được đưa
vào các chủ đề quen thuộc từ cấp Trung Học Cơ sở mỗi khi việc áp dụng tri thức Toán
học trong cuộc sống được nói đến. Đó là dạy học các nội dung phương trình và hệ
phương trình (bậc nhất, bậc hai), dạy học việc đo đạc thể tích, diện tích, khoảng cách
của các hình hình học trong cuộc sống. Các Bài có nội dung thực tiễn liên quan đến
các nội dung dạy học mới được đề cập ở Trung Học Phổ Thông như hàm số bậc hai,
góc và cung lượng giác (phần Đại số) hoặc phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
(phần Hình học) hầu như không được giới thiệu. học sinh do đó không có cơ hội để
hình thành và phát triển các kĩ năng áp dụng Toán học vào cuộc sống trong các lĩnh
vực khác của Toán học.
Tóm lại, dạy học giải quyết vấn đề thông qua việc giải các Bài trong Toán học
là một trong các hoạt động chủ yếu trong dạy học Toán. Do đó việc giải các Bài nội
dung thực tế sẽ hỗ trợ học sinh hình thành và phát triển kĩ năng cuộc sống.


Chương 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Cho tam giác ABC, AH là đường cao kẻ từ A. Đặt AB=c, AC=b, BH=c’, CH=b’.

α


•

Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của
cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó lên cạnh huyền.

Tức là: b 2 = ab '; c 2 = ac '.
• Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích
hai hình chiếu của cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
Tức là: h 2 = b ' c '.
• Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền và
đường cao tương ứng.
Tức là: bc = ah.
• Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh
huyền bằng tổng nghịch đảo các bình phương hai cạnh góc vuông
Tức là:

1
1 1
= 2 + 2.
2
h
b c

Trong tam giác vuông bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc
vuông (Định lý Pytago)
Tức là: a 2 = b 2 + c 2 .

•

sin α =


b
a


c
;
a
b
tan α = ;
c
c
cot α = ;
b
cos α =

• Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:
+ Cạnh huyền nhân sin góc đối hoặc nhân với cosin góc kề
+ Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với cotang góc kề

2. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC THƯỜNG
Trong tam giác ABC, ta gọi:
A, B, C lần lượt là các đỉnh của tam giác.
a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh của tam giác.
ha , hb , hc lần lượt là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C.
ma , mb , mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C.
la , lb , lc lần lượt là độ dài các đường phân giác kẻ từ các đỉnh A, B, C.

p là nữa chu vi tam giác
S là diện tích tam giác

R, r lần lượt là bán kính đường kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác.
Với các ký hiệu trên ta có công thức cơ bản trong tam giác ABC như sau:
•

Định lý cosin trong tam giác:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A;
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B;
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C.

Từ định lý cosin ta có được hệ quả sau:


b2 + c 2 − a 2
;
2bc
a 2 + c 2 − b2
cos B =
;
2ac
a 2 + b2 − c2
cos C =
.
2ab
cos A =

a
b
c
=
=

= 2R
sin A sin B sin C

•

Định lý sin trong tam giác:

•

Công thức độ dài đường trung tuyến
ma2 =

b2 + c2 a2
− ;
2
4

mb2 =

a 2 + c 2 b2
− ;
2
4

mc2 =

a2 + b2 c2
− ;
2
4


• Công thức độ dài đường phân giác trong:
la =

2bc
A
cos ;
b+c
2

lb =

2ac
B
cos ;
a+c
2

lc =

2ab
C
cos ;
a+b
2

• Công thức độ dài đường cao:
ha =

2S

2S
2S
; hb =
; hc =
;
a
b
c

• Công thức tính diện tích của tam giác:
S=

1
1
1
aha = bhb = chc
2
2
2

S=

abc
= pr
4R


1
1
1

S = bc sin A = ac sin B = ab sin C ;
2
2
2
S=

p( p − a )( p − b)( p − c) (Công thức Hêrong).

• Công thức bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp:
R=

a
b
c
abc
=
=
=
;
2sin A 2sin B 2sin C 4 S

r=

S
A
B
C
= ( p − a ) tan = ( p − b) tan = ( p − c) tan ;
p
2

2
2

3. PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
3.1. Phương trình
3.1.1. Cho phương trình dạng ax+b=0 (1)
Giải và biện luận phương trình (1)
b
a

• Nếu a ≠ 0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = − .
a = 0
thì phương trình (1) vô nghiệm.
b ≠ 0

• Nếu 

• Nếu a = b = 0 thì phương trình (1) có nghiệm đúng với mọi x ∈ R .
 Với a ≠ 0 thì (1) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
3.1.2. Cho phương trình dạng ax 2 + bx + c = 0 , ( a ≠ 0 ) (2)
Giải và biện luận phương trình (2):



b

* Tính ∆ : ∆ = b 2 − 4ac hoặc ∆ ' = b '2 − ac  b ' = ÷
2



* Biện luận:
• Nếu ∆ > 0 thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt
x=

−b + ∆
−b − ∆
và x =
2a
2a


• Nếu ∆ = 0 thì phương trình (2) có nghiệm kép x = −

b
2a

• Nếu ∆ < 0 thì phương trình (2) vô nghiệm

3.2. Hệ phương trình
 ax + by = c
( a 2 + b 2 ≠ 0; a '2 + b '2 ≠ 0 )
a ' x + b ' y = c '

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn 

Các phương pháp giải hệ phương trình trên:
1. Phương pháp thế:
+Bước 1: Từ một phương trình đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễn
một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được phương trình mới.
+Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ.

Giải hệ phương trình mới.
2. Phương pháp cộng:
+Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ đã cho để được một
phương trình mới.
+Bước 2: Dùng phương trình mới đó thay thế cho một trong hai phương trình của
hệ (và giữ nguyên phương trình kia).
3. Dùng định thức:
* Tính:
D=

a b
= ab '− a ' b;
a' b'

Dx =

c b
= cb '− c ' b;
c' b'

Dy =

a c
= ac '− a ' c
a' c'

* Biện luận:


•


Dx

 x = D
Nếu D≠0 thì hệ có nghiệm duy nhất 
 y = Dy

D

• Nếu D=0, Dx≠0 (hoặc Dy≠0) thì hệ vô nghiệm.
• Nếu D=Dx= Dy=0: Hệ có vô số nghiệm, tập nghiệm của hệ là tập
nghiệm của phương trình ax+by=c.


Chương 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬN DỤNG NỘI DUNG TOÁN
HỌC CỤ THỂ
Nhờ việc ứng dụng giải tam giác vào đo đạc trong thực tế, người ta có thể đo đạc
được chiều cao của một cây cổ thụ, tòa nhà, tháp,…Phức tạp hơn là những nơi mà ta
không tới được như ngọn núi, chiều rộng của một con sông…Sau đây là một số Bài
ứng dụng giải tam giác vào đo đạc thực tế.
1. VẬN DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1.1.

Các ví dụ

*Bài 1: Tính chiều cao của cây trong hình, biết rằng người đo đứng cách cây 2,25m
và khoảng cách từ người đo đến mặt đất là 1,5m.
Giải:
Bài đưa về như hình vẽ (Hình 1). Tam giác ADC vuông tại D, DB là đường cao ứng
với cạnh huyền AC và AB=1,5m. Theo định lý đã học ta có:

BD2=AB.AC, tức là:
(2, 25) 2
(2.25) =1,5.AC  BC=
=3,375 (m).
1,5
2

D

Vậy chiều cao của cây là:
B

AC=AB+BC=1,5+3,375=4,875 (m)

C
1,5m

A

2,25
mHình 1

* Bài 2: Một chiếc thang dài 3m(Hình 2). Cần đặt chân thang cách tường một khoảng
bao nhiêu để nó tạo được với mặt đất một góc “an toàn” 650 (tức là bảo đảm thang
không bị đổ khi sử dụng)?
Giải
Bài được đưa về Bài tìm cạnh của một tam giác như sau :


Tường là cạnh AB (B nằm trên mặt đất), chân cầu thang tại


A

điểm C.
3m

tam giác vuông ta có:

Tường

Yêu cầu ta đi tìm độ dài cạnh BC. Theo định lý về cạnh

650

BC=AC.cos ·ACB =3.cos65 ≈ 1,268 (m)
0

C

Hình 2 B

Vậy để thang không bị đổ thì đặt chân thang cách tường từ
1,268 m.
* Bài 3: Một chiếc máy bay bay lên với vận tốc 500 km/h. Đường bay lên tạo với
phương nằm ngang một góc 300 (Hình 3). Hỏi sau 1,2
B

phút máy bay lên cao bao nhiêu km theo phương thẳng
đứng?


500km/h

Giải
A

Giả sử trong hình 4, AB là đoạn đường máy bay bay lên

300
Hình 3

H

trong 1,2 phút thì BH chính là độ cao máy bay đạt được trong 1,2 phút đó. Vì 1,2 phút
=

1
500
1
giờ nên AB=
=10(km). Do đó: BH=AB.sinA=10.sin300=10. =5(km)
50
50
2

Vậy sau 1,2 phút máy bay lên cao được 5km.
* Bài 4: Hai cột thẳng đứng của hai trại A và B, của lớp 9A và 9B cách nhau 8m. Từ
một cái cọc chính giữa hai trại A và B đến cọc tạo với mặt đất lần lượt là 35 0 và 300
(Hình 4). Hỏi trại nào cao hơn và cao hơn bao nhiêu mét?

I


C
Hình 4

D


Giải
Gọi C, D lần lượt là chân của của cọc trại A và trại B. I là trung điểm của CD.
Theo định lý ta có:
Trong tam giác ACI ta có:
tan350 =

AC
⇒ AC = tan 350.CI ≈ 0, 7.4 = 2,8( m)
CI

Trong tam giác BDI ta có:
tan300 =

BD
⇒ BD = tan 300.DI ≈ 0, 58.4 = 2,32( m)
DI

Vậy cột của trại A cao hơn trại B: 2,8 – 2,32 = 0,48(m)
* Bài 5: Một người trinh sát đứng các tòa nhà
một khoảng 10m. Góc “nâng” từ chỗ anh ta
đến nóc tòa nhà là 400().
a) Tính chiều cao của tòa nhà?
b) Nếu anh ta dịch chuyển sao cho góc

“nâng” là 350 thì anh ta cách tòa nhà bao

Hình 5

nhiêu mét? Khi đó anh ta tiến lại gần hay ra xa ngôi nhà.

Giải
Gọi A là đỉnh tòa nhà, B là vị trí của người trinh sát, C là chân của tòa nhà.
a) Tam giác vuông ABC có:
tan400 =

AC
⇒ AC = tan 40 0.BC ≈ 0,84.10 = 8, 4( m)
BC

Vậy tòa nhà cao 8,4 mét.


b) Nếu người trinh sát dịch chuyển sao cho góc “nâng” là 35 0 thì khoảng cách của
người này so với tòa nhà là:
tan350 =

AC
AC
8, 4
⇒ BC =
≈
= 12(m)
0
BC

tan 35
0, 7

Vậy người trinh sát đứng cách tòa nhà là 12m. Lúc này người trinh sát tiến ra xa ngôi
nhà.
* Bài 6: Một máy bay đang bay ở độ cao 10 km. Khi bay hạ cánh xuống mặt đất,
đường đi của máy bay tạo một góc nghiêng so với mặt đất (Hình 6).
a) Nếu phi công muốn tạo với góc nghiêng 3 0 thì cách sân bay bao nhiêu kilomet
phải bắt đầu cho máy bay hạ cánh?
b) Nếu cách sân bay 300km máy bay bắt đầu hạ cánh thì góc nghiêng là bao nhiêu?
Giải
A

a) Ta gọi ba điểm A, B, C như hình vẽ.

10km

α

Ta có:
B
tan α =

Hình 6

C

AB
AB
10

⇒ BC =
=
≈ 192,31(km)
BC
tan α 0, 052

Vậy phi công muốn tạo với góc nghiêng 30 thì cách sân bay khoảng 192,31 kilomet
phải bắt đầu cho máy bay hạ cánh.
b) Ta có:
AB 10
=
≈ 0.033
BC 300
⇒ α ≈ 1,890
tan α =

Vậy để cách sân bay 300km máy bay bắt đầu hạ cánh thì góc nghiêng gần 1,89 0.
* Bài 7: Bài chiếu xạ chữa bệnh


Một khối u của một bệnh nhân cách mặt da 5,7cm, được chiếu bởi một chùm tia
gamma. Để tránh làm tổn thương mô, bác sĩ đặt nguồn tai cách khối u (trên mặt da)
8,3cm (Hình 7)
8,3cm

a) Hỏi góc giữa chùm tia với
B

da.?


mặt

A da

α

b) Chùm tia phải đi một đoạn

5,7cm

mô

bao nhiêu để đến được
u?

khối

C

Hình 7
Giải

a) Gọi α là góc giữa chùm tia với mặt da. Và đỉnh A, B, C như hình vẽ
Ta có:
tan α =

AC 5, 7
=
≈ 0, 687
AB 8,3


⇒ α ≈ 34,50

Vậy góc cần tìm là α ≈ 34,50
b) Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC ta có:
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 8,32 + 5, 7 2 = 101,38
⇒ BC ≈ 10.07(cm)

Vậy chùm tia phải đi một đoạn là 10,07 để
Mặt Trời

đến được khối u
* Bài 8: Cách đo chu vi trái đất của
Eratosthenes.
Cách đo được tiến hành như sau (Hình 8):

C
B

1) Vào một ngày hạ chí trong năm, mặt
trời chiếu thẳng các đáy giếng ở thành
phố Syen, tức là tia nắng chiếu thẳng

α
O

Trái Đất

đứng.
2)


Cùng lúc đó ở thành phố
Alexanria cách Syen là 800km, một

25m

3,1m A

Hình 8

là

S


tháp cao 25m có bóng trên mặt đất dài 3,1m. Từ đây ta có thể tính xấp xỉ chu vi
của trái đất như sau:
Gọi O là tâm của trái đất, AC là chiều cao của cái tháp với C là đỉnh tháp. AB là
độ dài bóng của tháp, α là góc ở tâm trái đất như hình vẽ.
Ta thấy: ·ACB = α (hai góc so le trong)
Mà: tan ·ACB =

AB 3,1
=
= 0,124 ⇒ ·ACB ≈ 7,10
AC 25

Gọi Ctd là chu vi của trái đất. Ta có tỉ lệ:
7,10 AS
=

3600 C td
⇒ Ctd =

AS.3600 800.360
=
≈ 40563,38(km)
7,10
7,1

Vậy chu vi của trái đất gần bằng 40563,38(km) .
* Bài 9: Bài “Cây sậy”
Một hồ nước có cạnh là một trượng. Giữa bể mọc một cây sậy nhô cao

1
cách mặt
10

nước. Nếu kéo vào bờ thì ngọn sậy vừa chạm bờ. Hỏi bể sâu bao nhiêu, cây sậy cao
bao nhiêu?
Giải
Bài được mô tả bằng hình sau đây (Hình 9):
Gọi A, B, C như hình vẽ.
a là nửa độ dài của cái hồ
b là chiều sâu của cái hồ
c là chiều cao của cây sậy
Ta thấy tam giác ABC là tam giác vuông tại B
nên áp dụng định lý Pytago ta có:
AC 2 = AB 2 + BC 2 ⇔ c 2 = a 2 + b 2 ⇔ a 2 = c 2 − b 2
Hình 9



Mặt khác ta có:
c 2 − b 2 = (c − b) 2 + 2b(c − b)
⇔ a 2 = (c − b) 2 + 2b(c − b)
⇒b=

a 2 − (c − b ) 2
2(c − b)
2

2

1  1 
24
 ÷ − ÷
1
24
6
Mà: c-b= ⇒ b =  2   10  = 100 =
×5 =
10
1
1
100
5
2.
10
5
⇒c=


6
6 1 13
+b = + =
= 1,3
5
5 10 10

Vậy: Hồ sâu 1,2 trượng
Cây cao 1,3 trượng.
* Bài 10: (Bài cây bông sen)
Giữa hồ nước có cây bông sen nhô cao khỏi mặt nước

1
(m) . Bỗng có một ngọn gió
2

thổi bông sen ngã về phía xa chỗ cũ 2(m) và
bông sen vừa chạm đến mặt nước(Hình 10).
Hỏi hồ nước sâu bao nhiêu?
Giải
Bài được mô tả như sau:
Hình 10

Gọi a là khoảng cách như hình vẽ
b là chiều sâu của hồ nước.
c là chiều cao của cây
Ta thấy tam giác tạo bởi 3 cạnh a, b, c là tam giác vuông tạo bởi hai cạnh a và b.
Áp dụng định lý Pitago ta có:



b 2 = c 2 − a 2 = (b + 0,5) 2 − a 2
⇔ b 2 = b 2 + b + 0, 25 − a 2
⇔ b = a 2 − 0, 25 = 22 − 0, 25 = 3, 75
⇒ c = 3, 75 + 0,5 = 4, 25

Vậy: Hồ sâu 3,75m và cây cao 4,25m
* Bài 11: Tính chiều cao của bức tường. Biết rằng
chiều dài của thang là 4m và thang cách chân tường
1m (Hình 11)?
Giải
Gọi A, B, C như hình vẽ ta có được tam giác ABC vuông tại B.
Áp dụng định lý Pitago ta được:
BC 2 = AB 2 + AC 2
⇔ AB 2 = AC 2 − CB 2 = 42 − 12 = 15
⇒ AB = 15 ≈ 3,87(m)

Vậy tường cao gần bằng 3,87m.

* Bài 12: Cạnh nhà Jacque có mảnh đất trống dài 30m, rộng 10m. Mỗi lần đi học về
Jacque đi đường chéo chứ không đi vòng theo vỉa hè. Hỏi Jacque tiết kiệm được bao
nhiêu mét?
Giải
Chiều dài, chiều rộng và đường chéo của mảnh đất tạo thành một tam giác vuông.
Chọn trục mét làm đơn vị gọi các cạnh của tam giác vuông là a=10m và b=30m và c
là đường chéo của mảnh đất
Áp dụng định lý Pitago ta được:
c 2 = a 2 + b 2 = 102 + 302 = 1000
⇒ c = 10 10 ≈ 31, 623(m)



Vậy nếu đi theo đường chéo của mảnh đất thì Jacque tiết kiệm được
(30+10)-31,623=8,377(m)
1.2.

Bài tập tham khảo

Bài 1: Từ đỉnh của một ngọn hải đăng cao 38m so với mặt nước biển, người ta nhìn
thấy hòn đảo dưới góc 300 so với đường nằm ngang của chân đèn (Hình 12). Hỏi
khoảng cách từ đảo đến chân đèn (ở mực nước biển) là bao nhiêu?

Bài
2:
Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 34 và bóng của một tháp
trên mặt đất dài 86m (Hình 13). Tính chiều cao của tháp?
0

Bài 3: Một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất dài 4m. Hãy tính góc (làm tròn đến
phút) mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất.
Bài 4: Một khúc sông rộng khoảng 250m.
Một chiếc đò chèo qua sông bị nước đẩy
xiên nên chèo khoảng 320m mới sang
được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đẩy chiếc
đò một góc bằng bao nhiêu độ (góc α
trong hình 14)?

250m α

320m

Hình 14


Bài 5: Hai chiếc thuyền A và B được mô tả
như hình15. Hãy tính khoảng cách giữa
chúng.
Bài 6: Tìm khoảng cách giữa hai cọc để căng dây vượt qua vực trong hình sau.


Bài 7: Một tòa nhà cao 60m, người ta thấy một chiếc xe ô tô đang đỗ dưới một góc
280 so với đường nằm ngang. Hỏi chiếc xe đó đỗ cách tòa nhà bao nhiêu mét?
Bài 8: Một em học sinh đứng ở mặt đất cách ăng-ten 150m. Biết rằng em nhìn thấy
đỉnh tháp ở góc 200 so với đường nằm ngang, khoảng cách từ mắt đến mặt đất bằng
1,5m. Hãy tính chiều cao của tháp?
Bài 9: Con mèo ở cành cây 6,5m. Để bắt mèo xuống cần phải đặt thang sao cho đầu
thang đạt độ cao đó, khi đó góc của thang với mặt đất là bao nhiêu, biết chiếc thang
dài 6,7m?
Bài 10: Đài quan sát ở Toronto, Ontario, Canada cao 533m. Ở một thời điểm nào đó
vào ban ngày, Mặt Trời chiếu tạo thành bóng dài 1100m. Hỏi lúc đó góc tạo bởi tia
sáng mặt trời và mặt đất là bao nhiêu?
Bài 11: Một người quan sát ở đài hải đăng cao 80 feet (đơn vị đo lường Anh) so với
mực nước biển, nhìn một chiếc tàu ở xa với một góc 0 042’. Hỏi khoảng cách từ tàu
đến chân hải đăng là bao nhiêu tính theo đơn vị hải lí? (1 hải lí = 5280 feet).
Bài 12: Bài tàu ngầm:Tàu ngầm đang ở mặt biển bỗng đột ngột lặn xuống theo
phương tạo với mặt nươc biển 210.
a) Nếu tàu chuyển động theo phương lặn xuống được 300m thì nó ở độ sâu bao
nhiêu? Khi đó khoảng cách theo phương nằm ngang là bao nhiêu?
b) Tàu phải ở độ sâu là bao nhiêu mét để đạt đến độ sâu là 1000m?
Bài 13: (Bài cây tre) Một cây tre cao 10m mọc thẳng đứng, qua một cơn bão cây tre
bị gãy ngang thân. Biết ngọn của cây vừa chạm mặt đất và cách gốc một khoảng bằng
3m. Hãy tính chiều cao từ gốc đến chỗ gãy và từ chỗ gãy đến ngọn?
Bài 14: Người ta buộc con Cún bằng sợi dây có đầu buộc tại điểm O, là cho Cún cách

điểm O nhiều nhất là 9m (Hình 17). Hỏi Cún có thể tới các vị trí A, B, C, D để canh
giữ mảnh vườn hình chữ nhật A, B, C, D hay không?(Các kích thước như hình vẽ)


4m

8m

D

A

6m

3m

Bài 15: Jean đang làm mô hình máy
bay trong phòng. Nhưng đến khi lắp
cánh máy bay vào mô hình thì bỗng
Jean tự hỏi: “Không biết khi làm
xong, máy bay của ta có lọt khỏi
phòng không?”. Biết sải cánh của
máy bay là 1m70, kích thước cánh
cửa là 1m50×1m.

B

Hình 17

C


Bài 16: “Bài của Heron”
Một người muốn đi từ nhà ra một con sông thẳng để múc một sô nước rồi mang về
nhà kho (khác vị trí vói nhà người đó) ở cùng bên bờ sông với ngôi nhà đó. Tìm điểm
múc nước sao cho đoạn đường đó là ngắn nhất.


2. VẬN DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC THƯỜNG
2.1.

Các ví dụ

* Bài 1: Một cái tháp có độ cao h và dưới chân tháp là một cái hố sâu không qua
được. Từ đỉnh tháp người ta nhìn xuống một điểm A trên mặt đất, tạo với mặt đất một
góc α = 630, và nhìn xuống điểm B khác tạo và
D

0

tạo với mặt đất một góc β = 48 . Và khoảng
cách A đến B bằng 24m (Hình 18).Tính chiều
h

cao của cái tháp.
Giải:
Giả sử CD = h, khi đó chiều cao của tháp được
tính như sau:

α
C


β
A

B

Hình 18

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABD ta có:
AD
AB
=
.
sin β sin D
µ + β nên D
µ = α − β = 630 − 480 = 150.
Ta có: α = D

Do đó, AD =

AB sin β
24sin 480
=
≈ 68,91.
sin(α − β )
sin150

Trong tam giác vuông ACD có h = CD = AD sin α ≈ 61, 4(m).
* Bài 2: Tính khoảng cách từ một điểm
trên bờ sông đến một cây trên cù lao ở

giữa sông (Hình 19).
Giải
Để đo khoảng cách từ một điểm A trên
bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa
sông, người ta chọn điểm B cùng nằm
trên bờ với A sao cho từ A và B có thể
nhìn thấy C. Ta đo khoảng cách AB , góc

Hình 19

·
·
·
·
và góc CBA
. Chẳng hạn ta đo được AB = 40m, CAB
= β = 700.
CAB
= α = 450 và CBA

Khi đó khoảng cách AC được tính như sau:


Áp dụng định lý sin vào tam giác ABC ta có,
AC
AB
AB sin β
40.sin 700
sin
C

=
sin(
α
+
β
)
=
AC
=
=
≈ 41, 47(m).
vì
nên
sin B sin C
sin(α + β )
sin1150

Vậy AC ≈ 41, 47(m).
* Bài 3: Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phá từ
một vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với
nhau góc 600. Tàu B chạy với vận tốc 20 hải lí
một giờ. Tàu C chạy với vận tốc 15 hải lí một
giờ. Sau hai giờ tàu cách nhau bao nhiêu hải lí?
Hình 20

Giải
Sau 2 giờ tàu B đi được 40 hải lí, tàu C đi được 30 hải lí. Vậy tam giác ABC có cạnh
AB = 40, cạnh AC = 30 và µA = 600 . Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:
BC 2 = AC 2 + AB 2 − 2 AB. AC cos A
= 302 + 402 − 2.30.40 cos 600

= 900 + 1600 − 1200 = 1300

Vậy: BC = 1300 ≈ 36 (hải lí)
Vậy sau hai giờ hai tàu cách nhau khoảng 36 hải lí.
* Bài 4: Từ hai vị trí A và B của
một tòa nhà, người ta quan sát
đỉnh C của một ngọn núi. Biết
rằng độ cao của AB = 70m.
Phương nhìn AC tạo với phương
nằm ngang một góc 300, phương
nhìn BC tạo với phương nằm
ngang một góc 15030’ (Hình 21).
Hỏi ngọn núi đó cao bao nhiêu
mét so với mặt đất.

Hình 21

Giải
Từ giả thuyết suy ra tam giác ABC có:


·
CAB
= 600 , ·ABC = 105030 ', c = 70
µ = 1800 − ( µA + B
µ ) = 1800 − 165030 ' = 14030 '.
C

Theo định lý sin trong tam giác ta có:
b

c
b
c
=
=
.
hay
0
sin B sin C
sin105 30 ' sin14030 '
70.sin105030 '
≈ 269, 4(m)
Do đó: AC = b =
sin14030 '

Gọi CH là khoảng cách từ C đến mặt đất. Trong tam giác ACH có cạnh CH đối diện
với góc 300 nên:
CH =

AC 269, 4
≈
= 134, 7(m) .
2
2

Vậy ngọn núi cao khoảng 135m.
* Bài 5: Đường dây cao thế nối thẳng từ
vị trí A đến vị trí B dài 10 km, từ vị trí A
đến vị trí C dài 8 km (Hình 22), góc tạo
bởi hai đường dây trên là 750. Tính

khoảng cách từ vị trí A đến vị trí C.

Hình 22

Giải
Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC ta có:
BC 2 = AC 2 + AB 2 − 2 AB. AC cos A ≈ 82 + 102 − 2.8.10.cos 750 ≈ 123.

Suy ra: a ≈ 11(km)
Vậy khoảng cách từ B đến C xấp xỉ 11km.
* Bài 6: Một người ngồi trên tàu hỏa đi từ ga
A
đến ga B. Khi tàu đỗ ở ga A, qua ống nhòm
C
người đó nhìn thấy một tháp C. Hướng nhìn
từ
người đó đến tháp tạo với hướng đi của tàu
một
0
góc 60 . Khi tàu ở ga B, người đó nhìn lại
vẫn
thấy tháp C, hướng nhìn từ người đó đến
tháp
600
450
B
A
với hướng ngược với hướng đi của tàu một
góc
8

0
Hình
23
45 (Hình 23). Biết rằng đoạn đường tàu nối
thẳng ga A với ga B dài 8 km. Hỏi khoảng cách từ ga A đến tháp C là bao nhiêu?


Giải
Xét tam giác ABC. Ta có,
µ = 1800 − (600 + 450 ) = 750.
C

Áp dụng định lý sin vào tam giác ABC, ta được
AC
AB
=
sin B sin C

Mặt Trăng
C
sin 450
≈ 6(km)
sin 750

Suy ra: b = 8 ×

Vậy khoảng cách từ A đến tháp C gần bằng 6 km.
* Bài 7: Người ta đo khoảng cách giữa trái đất và Mặt
Trăng như thế nào?
Ở đây tôi hướng dẫn cho các bạn cách thức đo khoảng

cách này như thế nào.

A

α

β

x

y

u

u

B

Loài người đã biết được khoảng cách giữa Trái Đất và
O
Mặt Trăng cách đây hai ngàn năm với độ chính xác
Trái Đất
tuyệt vời là khoảng 384 000 km. Sau đó khoảng cách
giữa Trái Đất và Mặt Trăng đã được xác lập một cách
Hình 24
chắc chắn vào năm 1751 do một nhà thiên văn người
Pháp là Joseph Lalande (1732-1807) và một nhà toán học người Pháp là Nicolas
Lacaille (1713-1762). Hai ông đã phối hợp tổ chức đứng ở hai địa điểm rất xa nhau,
một người ở Beclin gọi là điểm A, còn người kia ở Mũi Hảo Vọng (một mũi đất ở
nam châu Phi) gọi là điểm B. Gọi C là một điểm trên Mặt Trăng. Từ A và B người ta

tính được các góc A, B và cạnh AB của tam giác ABC (Hình 24).
Trong mặt phẳng (ABC), gọi tia Ax là đường chân trời vẽ từ đỉnh A và tia By là
· , β = CBy
· . Gọi O là tâm của Trái Đất, ta có:
đường chân trời kẻ từ B. Kí hiệu: α = xAB
1
·
u = xAB
= ·yBA = ·AOB.
2
µ = β + u.
Tam giác ABC có µA = α + u , B
·
Vì biết độ dài cung »AB nên tính được góc AOB
và do đó tính được độ dài cạnh AB.
Tam giác ABC được xác định vì biết “góc-cạnh-góc” của tam giác đó. Từ đó ta có thể
tính được chiều cao CH của tam giác ABC là khoảng cách cần tìm. Người ta nhận