Giáo Trình Toán cao cấp – Xác suất thống kê (Dược – 2017)

LỜI NÓI ĐẦU
Nâng cao chất lượng, đổi mới trong giáo dục đào tạo là tiêu chí sống còn đối với một
trường đại học trong thời đại khoa học công nghệ như hiện nay. Một trong những nội
dung đổi mới quan trọng ở Trường Đại học Lạc Hồng được thực hiện trong thời gian
qua là xây dựng và ban hành chuẩn đầu ra chất lượng cao bao gồm các yêu cầu về
 Kiến thức;
 Kĩ năng;
 Thái độ;
 Vị trí và khả năng công tác sau khi tốt nghiệp;
 Khả năng học tập và nâng cao trình độ sau khi tốt nghiệp.
Như vậy, việc trang bị và rèn luyện các kĩ năng nghề nghiệp cho sinh viên được xác
định là nhiệm vụ vô cùng quan trọng và phải thực hiện lâu dài, xuyên suốt trong cả quá
trình đào tạo. Tuy nhiên, một câu hỏi lớn nảy sinh đó là “các kĩ năng nghề nghiệp của
sinh viên được trang bị và rèn luyện như thế nào thông qua quá trình học tập các môn
thuộc lĩnh vực khoa học cơ bản và kiến thức đại cương?”
Môn học Toán Cao Cấp & Xác Suất Thống Kê là một môn thuộc khối kiến thức cơ
bản và đây là một trong những học phần quan trọng được Bộ Giáo Dục và Đào Tạo quy
định là môn học bắt buộc đối với sinh viên ngành Dược. Giáo trình Toán Cao Cấp &
Xác Suất Thống Kê theo định hướng phát triển kĩ năng này ra đời nhằm mục đích trả lời
câu hỏi ở trên với nội dung như sau:
Chương 1. Phép tính tích phân hàm một biến
Chương 2. Phương trình vi phân
Chương 3. Đại cương về xác suất
Chương 4. Đại lượng ngẫu nhiên
Chương 5. Thống kê
Trong giáo trình, bên cạnh việc trang bị các kiến thức cơ bản về phép tính tích phân
hàm một biến, phương trình vi phân, xác suất và công thức tính xác suất, các phân phối
xác suất thông dụng, các bài toán về thống kê toán học, giáo trình còn hướng đến việc
áp dụng các kiến thức vào bài toán ứng dụng thực tiễn của chuyên ngành Dược và rèn

luyện các kĩ năng cần có của sinh viên để thích ứng với nền giáo dục trong bối cảnh của
cuộc cách mạng khoa học và công nghệ hiện đại như hiện nay.
 Kĩ năng giải quyết vấn đề, đặc biệt là các vấn đề gắn với thực tiễn nghề nghiệp
thông qua các tình huống, câu hỏi có vấn đề và bài tập ứng dụng ở mỗi chương.
1


Giáo trình Toán Cao Cấp – Xác suất thống kê (Dược – 2017)

 Kĩ năng làm việc nhóm thông qua hệ thống bài tập ứng dụng.
 Kĩ năng tự học, tự nghiên cứu thông qua việc trả lời các câu hỏi và giải hệ thống
bài tập.
 Kĩ năng tư duy tựa thuật giải thông qua các thuật toán đối với từng bài toán cụ thể.
Như vậy, giáo trình trên đã bước đầu đáp ứng được các yêu cầu đặt ra trong chuẩn
đầu ra chất lượng cao của nhà trường. Tuy nhiên, đây là giáo trình đầu tiên được biên
soạn theo định hướng phát triển kĩ năng nên không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác
giả xin chân thành cảm ơn ThS. Trần Đình Ánh đã cho nhiều góp ý rất quý báu trong
suốt quá trình biên soạn giáo trình này. Tác giả cũng rất mong nhận được những góp ý
từ các bạn sinh viên và các đồng nghiệp gần xa để giáo trình được hoàn thiện hơn khi
tái bản.
Xin trân trọng cảm ơn.
Biên Hòa, ngày 20 tháng 07 năm 2017
Tác giả

2


Giáo Trình Toán cao cấp – Xác suất thống kê (Dược – 2017)

MỤC LỤC

Chương 3. ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT ............................................................................... 5
3.1. Giải tích tổ hợp ..............................................................................................................................5
3.1.1. Quy tắc cộng ......................................................................................................... 5
3.1.2. Quy tắc nhân ........................................................................................................ 5
3.1.3. Hoán vị ................................................................................................................. 7
3.1.4. Chỉnh hợp – Tổ hợp .............................................................................................. 8
3.2. Phép thử và biến cố .......................................................................................................................9
3.2.1. Khái niệm .............................................................................................................. 9
3.2.2. Phân loại biến cố ................................................................................................ 10
3.2.3. Quan hệ giữa các biến cố ................................................................................... 11
3.2.4. Phép toán của các biến cố .................................................................................. 12
3.3. Xác suất của biến cố ....................................................................................................................15
3.3.1. Định nghĩa xác suất ............................................................................................ 15
3.3.2. Xác suất có điều kiện .......................................................................................... 18
3.3.3. Biến cố độc lập ................................................................................................... 19
3.4. Các công thức tính xác suất.........................................................................................................20
3.4.1. Công thức cộng xác suất .................................................................................... 20
3.4.2. Công thức nhân xác suất .................................................................................... 22
3.4.3. Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes ................................................. 26
3.4.4. Công thức Bernoulli ............................................................................................ 29
CÂU HỎI ÔN TẬP ............................................................................................................................32
BÀI TẬP ............................................................................................................................................33
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ..............................................................................................................39
Chương 4. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN ............................................................................... 41
4.1. Khái niệm về đại lượng ngẫu nhiên ............................................................................................41
4.1.1. Định nghĩa .......................................................................................................... 41
4.1.2. Phân loại đại lượng ngẫu nhiên .......................................................................... 41
4.1.3. Luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên ............................................. 42
4.2. Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên........................................................................45
4.2.1. Kỳ vọng (hay giá trị trung bình) ........................................................................... 45

4.2.2. Phương sai và độ lệch chuẩn ............................................................................. 48
4.2.3. Mode................................................................................................................... 51
4.3. Đại lượng ngẫu nhiên có phân phối xác suất đặc biệt .................................................................52
4.3.1. Phân phối nhị thức (Bernoulli) ............................................................................. 52
4.3.1.1. Định nghĩa ....................................................................................................... 52
4.3.2. Phân phối Poisson .............................................................................................. 53

3


Giáo trình Toán Cao Cấp – Xác suất thống kê (Dược – 2017)
4.3.3. Phân phối chuẩn ................................................................................................. 55
4.3.4. Phân phối “Chi – bình phương” ........................................................................... 57
CÂU HỎI ÔN TẬP ........................................................................................................................... 59
BÀI TẬP............................................................................................................................................ 60
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ ............................................................................................................. 63
Chương 5. THỐNG KÊ ........................................................................................................ 65
5.1. Lý thuyết mẫu ............................................................................................................................. 65
5.1.1. Khái niệm cơ bản ................................................................................................ 65
5.1.2. Phân loại mẫu ..................................................................................................... 66
5.1.3. Các tham số đặc trưng của mẫu ......................................................................... 67
5.1.4. Phương pháp tính các số đặc trưng của mẫu bằng bảng.................................... 68
5.1.5. Phương pháp tính các tham số đặc trưng của mẫu bằng máy tính ..................... 72
5.2. Ước lượng các tham số đặc trưng của tổng thể .......................................................................... 74
5.2.1. Bài toán ước lượng tỷ lệ tổng thể ........................................................................ 75
5.2.3. Bài toán xác định độ tin cậy trong ước lượng tỷ lệ .............................................. 78
5.2.4. Bài toán xác định độ tin cậy trong ước lượng trung bình ..................................... 79
5.2.5. Bài toán xác định kích thước mẫu trong ước lượng tỷ lệ..................................... 81
5.2.6. Bài toán xác định kích thước mẫu trong ước lượng trung bình ........................... 82
5.3. Kiểm định giả thiết thống kê ...................................................................................................... 83

5.3.1. Bài toán kiểm định giả thiết về tỷ lệ tổng thể ....................................................... 84
CÂU HỎI ÔN TẬP ........................................................................................................................... 88
BÀI TẬP............................................................................................................................................ 89
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ ............................................................................................................. 92
CÁC BẢNG PHỤ LỤC ......................................................................................................... 93
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................................... 104

4


Giáo Trình Toán cao cấp – Xác suất thống kê (Dược – 2017)

Chương 3. ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT
Mục đích yêu cầu
Chương này trình bày các kiến thức cơ bản về: quy tắc của đại số tổ hợp, khái niệm
biến cố, xác suất biến cố, các công thức tính xác suất.
Sinh viên cần nắm vững một cách có hệ thống kiến thức trên, sử dụng linh hoạt các
kiến thức để giải quyết các bài toán về:
 Tính xác suất của biến cố bằng định nghĩa và kết hợp vận dụng các quy tắc của đại
số tổ hợp.
 Nhận dạng bài toán và áp dụng đúng các công thức cộng, nhân, có điều kiện, đầy
đủ, Bayes, Bernoulli vào bài toán tính xác suất cụ thể.

3.1. Giải tích tổ hợp
Trong lý thuyết xác suất, ta thường thực hiện các công việc và phải tính số cách thực
hiện (hay số kết quả) khác nhau có thể xảy ra của công việc đó. Với các công việc đơn
giản, ta có thể tính bằng phương pháp suy luận trực tiếp. Chẳng hạn như, lấy từ một hộp
có 6 bi xanh và 4 bi đỏ ra một bi. Bằng suy luận ta thấy, có 10 cách lấy ra một bi có màu
tùy ý, có 6 cách lấy ra một bi xanh, có 4 cách lấy ra một bi đỏ. Với các công việc phức
tạp hơn, ta có thể tính bằng cách vẽ sơ đồ của công việc rồi đếm số kết quả, ta gọi cách

tính này là phương pháp vẽ sơ đồ. Chẳng hạn như, tung đồng thời hai hột xúc xắc. Bằng
phương pháp vẽ sơ đồ, ta thấy có 5 cách tung để tổng số nút xuất hiện của hai hột xúc
xắc là 6. Phương pháp tổng quát nhất để tính số cách thực hiện (hay số kết quả) khác
nhau có thể xảy ra của công việc là sử dụng các quy tắc và công thức của giải tích tổ
hợp.

3.1.1. Quy tắc cộng
Bài toán 1. Công việc: đi từ A đến B và có 3 loại phương tiện. Đi bằng xe: có 5
chuyến hàng ngày (7h, 9h, …), đi bằng tàu: có 3 chuyến hàng ngày, đi bằng máy bay:
có 2 chuyến hàng ngày. Có bao nhiêu cách đi từ A đến B hàng ngày?
Quy tắc. Giả sử công việc H được chia làm k trường hợp để thực hiện. Nếu có ni
cách thực hiện theo trường hợp i  i  1, 2,..., k  và không có bất kỳ cách thực hiện nào ở
trường hợp này trùng với cách thực hiện của các trường hợp khác, thì công việc đó sẽ
có số cách thực hiện là: n  n1  n2  ...  nk .

3.1.2. Quy tắc nhân
5


Giáo trình Toán Cao Cấp – Xác suất thống kê (Dược – 2017)

Bài toán 2. Đi từ A đến B phải qua điểm trung gian là C, biết rằng có 2 cách đi từ A
đến C và có 3 cách đi từ C đến B. Có bao nhiêu cách đi từ A đến B?
Quy tắc. Giả sử công việc H được chia làm k giai đoạn liên tiếp để thực hiện. Nếu
có ni cách thực hiện ở giai đoạn thứ i  i  1, 2,..., k  , thì công việc đó có số cách thực
hiện là: n  n1.n2 .....nk .
Ví dụ 3.1. Có 6 quyển sách toán, 5 quyển lý, 4 quyển sách hóa.
Hỏi có bao nhiêu cách để chọn trong các trường hợp sau:
a) Một quyển sách.
b) Một bộ gồm 3 quyển sách toán, lý, hóa.

Giải
a) Việc chọn một quyển sách được chia làm 3 trường hợp để thực hiện:
TH1: Chọn quyển Toán có 6 cách;
TH2: Chọn quyển Lý có 5 cách;
TH3: Chọn quyển Hóa có 4 cách.
Vậy, theo quy tắc cộng, có 6  5  4  15 cách chọn.
b) Việc chọn một bộ gồm 3 quyển sách (T, L, H) được chia làm 3 giai đoạn để thực
hiện:
GĐ1: Chọn quyển Toán có 6 cách;
GĐ2: Chọn quyển Lý có 5 cách;
GĐ3: Chọn quyển Hóa có 4 cách.
Vậy, theo quy tắc nhân, có 6.5.4  120 cách chọn.
Ví dụ 3.2. Một người có 5 cái áo, 3 cái quần và 2 đôi giày. Hỏi người đó có bao nhiêu
cách chọn một bộ đồ để đi dự tiệc (biết rằng một bộ đồ phải bao gồm: áo, quần và giày).
Giải
Việc chọn một bộ đồ được chia làm 3 giai đoạn để thực hiện:
GĐ1: Chọn áo có 5 cách;
GĐ2: Chọn quần có 3 cách;
GĐ3: Chọn giày có 2 cách.
Vậy, theo quy tắc nhân, có 5.3.2  30 cách chọn.

6


Giáo Trình Toán cao cấp – Xác suất thống kê (Dược – 2017)

Ví dụ 3.3. Cho tập hợp A  0;1; 2;3; 4;5;6 . Hỏi có bao nhiêu số ngàn được lập từ
tập A trong các trường hợp sau:
a) Số ngàn có các chữ số khác nhau.
b) Số ngàn có các chữ số khác nhau và là số chẵn.

c) Số ngàn có các chữ số khác nhau và là số lẻ.
Hướng dẫn
a) Gọi số ngàn cần tìm là abcd, áp dụng quy tắc nhân. Số các số tìm được là 720.
b) Số các số ngàn chẵn là 420.
c) Số các số ngàn lẻ là 300.

3.1.3. Hoán vị
Bài toán 3. Có bao nhiêu bộ thứ tự của 3 phần tử A, B, C?
Quy tắc. Một hoán vị của n phần tử là một cách xếp thứ tự của n phần tử đó. Số hoán
vị của n phần tử kí hiệu là Pn  n! .
Chú ý. n !  n(n  1)(n  2) 1.0! (quy ước 0!  1 ).
Ví dụ 3.4. Xếp ngẫu nhiên 5 sinh viên trong đó có M, N vào một bàn dài có 5 chỗ.
Có bao nhiêu cách xếp trong các trường hợp sau:
a) Ngồi tùy ý.
b) M và N ngồi cạnh nhau.
c) M và N ngồi ở hai đầu bàn.
d) M và N ngồi cách nhau một người.
e) M và N không ngồi cạnh nhau.
Giải
a) 5! Cách.
b) Chia việc xếp thành 2 giai đoạn:
GĐ1: Xếp M, N cạnh nhau có 2! cách;
GĐ2: Xếp 3 người còn lại và M, N vào bàn có 4! cách.
Vậy, theo quy tắc nhân có 2!.4!  48 cách.
c) Chia việc xếp thành 2 giai đoạn:
7


Giáo trình Toán Cao Cấp – Xác suất thống kê (Dược – 2017)


GĐ1: Xếp M, N ngồi ở hai đầu bàn có 2! cách;
GĐ2: Xếp 3 người còn lại vào bàn có 3! cách.
Vậy, theo quy tắc nhân có 2!.3!  12 cách.
d) Tương tự câu b), ta có số cách xếp là 2!.3.3!  36 cách.
e) Ta có số cách xếp M, N không ngồi cạnh nhau = Xếp tùy ý – số cách xếp M, N
ngồi cạnh nhau. Vậy, có 5! 2!.4!  72 cách.

3.1.4. Chỉnh hợp – Tổ hợp
Bài toán 4. Trong mặt phẳng cho 3 điểm không thẳng hàng A, B, C.
a) Có bao nhiêu đường thẳng được tạo thành?
b) Có bao nhiêu vector được tạo thành?
Định nghĩa 1. Một tổ hợp chập k của n là một cách lấy ra k phần tử khác nhau từ n
phần tử cho trước và không kể đến thứ tự của k phần tử đó.
Số tổ hợp chập k của n phần tử là Cnk 

n!
.
k !( n  k )!

Định nghĩa 2. Một chỉnh hợp chập k của n là một cách lấy ra k phần tử khác nhau
từ n phần tử cho trước và có kể đến thứ tự của k phần tử đó.
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là Ank 

n!
.
( n  k )!

Khi nào số tổ hợp bằng số chỉnh hợp?
Ví dụ 3.5. Trong một buổi tiệc cứ hai người thì bắt tay nhau và người ta đếm được
có 120 cái bắt tay. Hỏi buổi tiệc có bao nhiêu người tham dự?

Giải
Gọi số người tham dự buổi tiệc là n, với n  .
Số cái bắt tay là số tổ hợp chập 2 của n người tham dự buổi tiệc, suy ra Cn2  120 .
Giải phương trình ta nhận nghiệm là n  16 .
Vậy, có 16 người tham dự buổi tiệc.
Ví dụ 3.6. Một lớp có 50 sinh viên, trong đó có 30 nữ. Chọn ngẫu nhiên từ lớp đó ra
5 sinh viên. Có bao nhiêu cách chọn trong các trường hợp sau
a) Có 5 sinh viên nữ trong 5 sinh viên được chọn.
8


Giáo Trình Toán cao cấp – Xác suất thống kê (Dược – 2017)

b) Có 3 sinh viên nữ trong 5 sinh viên được chọn.
c) Có ít nhất 4 sinh viên nữ trong 5 sinh viên được chọn.
d) Có nhiều nhất 2 sinh viên nữ trong 5 sinh viên được chọn.
e) Có ít nhất 1 sinh viên nữ trong 5 sinh viên được chọn.
f) Có nhiều nhất 4 sinh viên nữ trong 5 sinh viên được chọn.
Giải
a) Số cách chọn là số tổ hợp chập 5 của 30 phần tử.
b) Việc chọn được chia thành 2 giai đoạn:
GĐ1: Chọn 3 sinh viên nữ trong 30 nữ: C330 ;
GĐ2: Chọn 2 sinh viên nam trong 20 nam: C220 .
2
Vậy, có C330C20
cách chọn.

c) Chia việc chọn thành 2 trường hợp:
4
TH1: Chọn 4 sinh viên nữ, 1 sinh viên nam: C30

C120 ;

TH2: Chọn 5 sinh viên nữ: C530 ;
4
Vậy, có C30
C120  C530 cách chọn.

d) Chia việc chọn thành 3 trường hợp:
2
TH1: Chọn 2 sinh viên nữ, 3 sinh viên nam: C30
C320 ;

TH2: Chọn 1 sinh viên nữ, 4 sinh viên nam: C130C420 ;
TH3: Chọn 5 sinh viên nam: C520 .
2
Vậy, có C30
C320  C130C420  C520 cách chọn.

e) Số cách chọn có ít nhất 1 sinh viên nữ = Số cách chọn tùy ý – Số cách chọn 5 sinh
viên nam.
f) Số cách chọn có nhiều nhất 4 sinh viên nữ = Số cách chọn tùy ý – Số cách chọn 5
sinh viên nữ.

3.2. Phép thử và biến cố
3.2.1. Khái niệm

9


Giáo trình Toán Cao Cấp – Xác suất thống kê (Dược – 2017)


Ví dụ 3.7.
i) Tung một đồng xu, có 2 kết quả có thể xảy ra là: sấp hoặc ngửa.
Tung đồng xu được gọi là phép thử. Đồng xu xuất hiện mặt sấp hay ngửa được gọi
là biến cố của phép thử “tung đồng xu”.
ii) Tung một hột xúc xắc, có 6 kết quả có thể xảy ra là: 1 nút, …, 6 nút.
iii) Quan sát giới tính một ca sinh ta được: nam hoặc nữ
Định nghĩa. Thực hiện một công việc được gọi là phép thử. Các kết quả có thể xảy
ra của công việc đó được gọi là biến cố. Các kết quả đơn giản nhất có thể xảy ra của
phép thử được gọi là các biến cố sơ cấp. Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp của phép thử
được gọi là không gian mẫu của phép thử đó.
Mỗi biến cố của một phép thử được trình bày dưới dạng một mệnh đề xác định kết
quả của phép thử và người ta thường viết mệnh đề đó giữa hai dấu ngoặc kép.
Người ta thường dùng các chữ cái in hoa để đặt tên cho các biến cố, đôi khi có chỉ số
chẳng hạn: A, B, C, Di ,…
Ví dụ 3.8. Gọi A: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp”; Ai: “Hột xúc xắc xuất hiện mặt i
nút”, với i  1; 2;

; 6 ta được các biến cố: A1, A2,…, A6.

Biến cố có hai đặc trưng định tính là xảy ra và không xảy ra. Tùy theo hai đặc trưng
này, người ta phân loại biến cố, xét quan hệ giữa các biến cố và xác định các phép toán
đối với các biến cố.

3.2.2. Phân loại biến cố
3.2.2.1. Biến cố chắc chắn
Là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực hiện phép thử. Kí hiệu: Ω.
Ví dụ 3.9. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm không
quá 6” là biến cố chắc chắn.


3.2.2.2. Biến cố không thể
Là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử. Kí hiệu: Φ.
Ví dụ 3.10. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm lớn
hơn 6” là biến cố không thể.

3.2.2.3. Biến cố ngẫu nhiên

10


Giáo Trình Toán cao cấp – Xác suất thống kê (Dược – 2017)

Là biến cố có thể xảy ra cũng có thể không xảy ra khi thực hiện phép thử. Ta thường
dùng các kí tự A, A1, A2, B, C,… để chỉ các biến cố ngẫu nhiên.
Ví dụ 3.11. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt 1 chấm” là một
biến cố ngẫu nhiên.

3.2.3. Quan hệ giữa các biến cố
3.2.3.1. Biến cố tương đương
Định nghĩa. Hai biến cố A và B được gọi là tương đương nếu A xảy ra thì B xảy ra
và A không xảy ra thì B không xảy ra. Kí hiệu: A  B .
Ví dụ 3.12. Một hộp thuốc có 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng. Lấy từ hộp thuốc ra 3 lọ.
Gọi A “Ba lọ lấy ra không có lọ hỏng”; B “Ba lọ lấy ra là 3 lọ tốt”. Khi đó ta có
AB

3.2.3.2. Biến cố đối lập
Bài Toán 5. Tung đồng xu. Gọi A: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp”; B: “Đồng xu xuất
hiện mặt ngửa”.
Quan hệ giữa A và B ?
Nhận xét. Nếu A xảy ra thì B không xảy ra và ngược lại, vậy A, B có quan hệ đối

lập.
Định nghĩa. Hai biến cố A và B được gọi là đối lập nếu A xảy ra thì B không xảy ra
và ngược lại. Kí hiệu: B  A .
Ví dụ 3.13. Một hộp thuốc có 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng. Lấy từ hộp thuốc ra 3 lọ.
Gọi A: “Ba lọ lấy ra có ít nhất 1 lọ hỏng”;
Gọi B: “Ba lọ lấy ra có nhiều nhất 2 lọ hỏng”.
Hãy tìm biến cố đối lập của A, B?
Hướng dẫn
Để A xảy ra gồm có các trường hợp: 1 lọ hỏng, 2 lọ hỏng, 3 lọ hỏng.
Suy ra A : “Ba lọ lấy ra là 3 lọ tốt”.
Tương tự ta có B : “Ba lọ lấy ra là 3 lọ hỏng”.

3.2.3.3. Biến cố xung khắc

11


Giáo trình Toán Cao Cấp – Xác suất thống kê (Dược – 2017)

Bài toán 6. Tung hột xúc xắc. Gọi Ai: “Hột xúc xắc xuất hiện mặt i nút”, i  1, 2,

,6

.
Quan hệ giữa A1 và A2?
A1 và A2 có đối lập không? Tại sao?
Nhận xét. Nếu A1 xảy ra thì A2 không xảy ra và nếu A2 xảy ra thì A1 không xảy ra.
Nhưng nếu A1 không xảy ra thì sao? (chưa chắc A2 xảy ra mà có thể là A3, A4, A5,
A6 )
Định nghĩa. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu A xảy ra thì B không xảy

ra và nếu B xảy ra thì A không xảy ra.
Phân biệt quan hệ xung khắc và đối lập?
Ví dụ 3.14. Một lô thuốc có 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng. Lấy từ lô ra 3 lọ.
Gọi Ai: “Ba lọ lấy ra có i lọ hỏng”, i  0;1; 2;3 . Khi đó A0, A1, A2, A3, là các biến cố
xung khắc.

3.2.4. Phép toán của các biến cố
3.2.4.1. Phép cộng biến cố
Bài toán 7. Lấy ngẫu nhiên từ hộp thuốc có 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng ra 3 lọ.
Gọi A1: “Ba lọ thuốc lấy ra là 3 lọ hỏng”;
A2: “Ba lọ thuốc lấy ra là 3 lọ tốt”.
Gọi A: “Ba lọ thuốc lấy ra có cùng loại”.
Biểu diễn A qua A1, A2.
Định nghĩa. Tổng của hai biến cố là một biến cố xảy ra khi có ít nhất 1 trong 2 biến
cố đó xảy ra.

12

A

B

A+B

0

0

0


0

1

1

1

0

1


Giáo Trình Toán cao cấp – Xác suất thống kê (Dược – 2017)

1

1

1

3.2.4.2. Phép nhân biến cố
Bài toán 8. Có hai hộp thuốc, hộp 1 có 6 lọ tốt, 4 lọ hỏng; hộp 2 có 7 lọ tốt, 3 lọ hỏng.
Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một lọ. Gọi Ai: “Lọ thuốc lấy ra từ hộp i là lọ hỏng”

 i  1; 2 .
Dùng A1, A2 biểu diễn các biến cố sau:
a) A “Hai lọ thuốc lấy ra là hai lọ hỏng”;
b) B “Hai lọ thuốc lấy ra có một lọ hỏng”.
Định nghĩa. Tích của hai biến cố là một biến cố xảy ra khi cả hai biến cố đó đồng

thời xảy ra
A

B

A.B

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1


Định lí. Nếu A1, A2, … , An là các biến cố thì:
a) A1  A2  ...  An  A1 .A2 .....A n ;
b) A1 .A2 . ... .A n  A1  A 2  ...  A n .
Nhận xét. Với biến cố A, có khả năng xảy ra phụ thuộc vào nhiều biến cố khác, thì
biến cố đó được biểu diễn dưới dạng tích của các biến cố. Khi đó, nếu ta suy luận: “A
nghĩa là A1 và A2 và … và An”, thì ta có: A = A1 . A2 .….An
Ví dụ 3.15. Có 2 hộp thuốc, mỗi hộp có 10 lọ trong đó hộp thứ i có i + 2 lọ hỏng còn
lại là lọ tốt. Lấy từ mỗi hộp ra 1 lọ thuốc. Gọi Ai “Lọ thuốc lấy ra từ hộp i là lọ hỏng”, i
= 1 ;2.
Hãy dùng A1, A2 để biểu diễn các biến cố sau :
a) Hai lọ thuốc lấy ra là hai lọ hỏng .
b) Hai lọ thuốc lấy ra có 1 lọ hỏng.
13


Giáo trình Toán Cao Cấp – Xác suất thống kê (Dược – 2017)

c) Hai lọ thuốc lấy ra có cùng loại.
d) Hai lọ thuốc lấy ra có ít nhất 1 lọ hỏng.
e) Hai lọ thuốc lấy ra có nhiều nhất 1 lọ hỏng.
Giải
a) Gọi A : " Hai lọ thuốc lấy ra là hai lọ hỏng".
Suy ra A  A1A2 .
b) Gọi B: " Hai lọ thuốc lấy ra có 1 lọ hỏng".
Suy ra B  A1A2  A1A2 .
c) Gọi C: " Hai lọ thuốc lấy ra có cùng loại".
Suy ra C  A1A2  A1A2 .
d) Gọi D: " Hai lọ thuốc lấy ra có ít nhất 1 lọ hỏng".
Suy ra D  A1A2  A1A2  A1A2 .

Có thể làm theo cách 2:
Suy ra D : “Hai lọ thuốc lấy ra là hai lọ tốt”.
Do đó D  A1A 2 .
e) Gọi E: " Hai lọ thuốc lấy ra có nhiều nhất 1 lọ hỏng".
Suy ra E : “Hai lọ thuốc lấy ra là hai lọ hỏng”.
Do đó E  A1A 2 .
Ví dụ 3.16. Ba bác sĩ khám bệnh độc lập nhau. Khả năng chuẩn đoán sai của các bác
sĩ tương ứng là 5%, 10% và 15%. Ba người đã khám cho một bệnh nhân.
Gọi Ai: ‘‘ Bác sĩ thứ i chuẩn đoán đúng’’, i=1;2;3.
Hãy dùng A1, A2, A3 để biểu diễn các biến cố sau:
a) Cả ba bác sĩ chuẩn đoán đúng.
b) Có 1 bác sĩ chuẩn đoán đúng.
c) Có 2 bác sĩ chuẩn đoán đúng.
d) Có ít nhất 1 bác sĩ chuẩn đoán đúng.
e) Có nhiều nhất 2 bác sĩ chuẩn đoán đúng.

14


Giáo Trình Toán cao cấp – Xác suất thống kê (Dược – 2017)

f) Chỉ có bác sĩ thứ hai chuẩn đoán đúng.
Hướng dẫn
Giải tương tự như Ví dụ 3.15 với chú ý để xảy ra một trường hợp cần có 3 giai đoạn.

3.3. Xác suất của biến cố
3.3.1. Định nghĩa xác suất
Biến cố có hai đặc trưng định tính là xảy ra và không xảy ra. Khi gặp một biến cố của
một phép thử, câu hỏi được đặt ra là biến cố đó có xảy ra không? Biến cố chắc chắn thì
dĩ nhiên phải xảy ra, biến cố không thể thì đương nhiên không xảy ra dù ta thực hiện

phép thử của biến cố đó bao nhiêu lần. Biến cố ngẫu nhiên thì có thể xảy và cũng có thể
không xảy ra trong những lần thử khác nhau. Khi thực hiện phép thử của một biến cố
ngẫu nhiên nhiều lần trong những điều kiện như nhau, ta thấy đặc trưng xảy ra hay không
xảy ra của biến cố có tuân theo những quy luật xác định. Để thể hiện quy luật xảy ra của
một biến cố, người ta gán cho biến cố một số hợp lý để thể hiện khả năng xảy ra của
biến cố đó. Người ta gọi số đó là xác suất của biến cố và đó là đặc trưng định lượng của
biến cố. Như vậy, xác suất của một biến cố là một số thể hiện khả năng xảy ra của biến
cố đó. Tính xác suất của một biến cố là tính khả năng xảy ra, hay tỷ lệ xảy ra trong số
lần thử, của biến cố.

3.3.1.1. Định nghĩa cổ điển
Bài toán 9.
a) Tung một đồng xu, gọi A: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp”.
b) Tung một hột xúc xắc, gọi B: “Hột xúc xắc xuất hiện mặt có nút lẻ”.
Khả năng A, B xảy ra khi thực hiện hai phép thử trên là bao nhiêu và tại sao?
Xét một phép thử ngẫu nhiên gồm có n biến cố sơ cấp A1 ,A2 ,

,An (n kết quả có

thể có của phép thử).
Giả sử các biến cố Ai (i  1; 2;

; n) đồng khả năng lập thành một nhóm đầy đủ các

biến cố và biến cố A là biến cố bằng tổng của m biến cố sơ cấp Ai nào đó (m biến cố
thuận lợi cho biến cố A). Khi đó ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa. Xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A) là một số được xác định như
sau: P(A) 

m

.
n

Trong đó: n: Số biến cố sơ cấp của phép thử;
15


Giáo trình Toán Cao Cấp – Xác suất thống kê (Dược – 2017)

m: Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A.
Theo định nghĩa trên thì: 0  P(A)  1, P() = 0, P() = 1. Ngoài ra, nếu A và B là
hai biến cố tương đương thì P(A) = P(B).
Nhận xét. Để tính xác suất của biến cố theo định nghĩa cổ điển, ta có thể thực hiện
theo các bước sau:
1. Xác định và đặt tên cho biến cố cần tính xác suất.
2. Xác định phép thử của biến cố và tính số biến cố sơ cấp của phép thử.
3. Tính số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố cần tính xác suất.
4. Dùng công thức xác định xác suất trong định nghĩa để tính xác suất.
Khi tính số biến cố sơ cấp của phép thử và số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố
cần tính xác suất, ta có thể sử dụng các phương pháp: Suy luận trực tiếp, vẽ sơ đồ, sử
dụng các quy tắc và công thức của giải tích tổ hợp.
Ví dụ 3.17. Một hộp thuốc có 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra ba
lọ. Tính các xác suất sau:
a) Ba lọ thuốc lấy ra là 3 lọ tốt.
b) Ba lọ thuốc lấy ra có 1 lọ tốt.
c) Ba lọ thuốc lấy ra có nhiều nhất 1 lọ tốt.
d) Ba lọ thuốc lấy ra có ít nhất 1 lọ tốt.
Giải
a) Gọi A: “Ba lọ thuốc lấy ra là 3 lọ tốt”.
Suy ra P(A) 


m
.
n

Với m là số cách lấy ra 3 lọ tốt từ 6 lọ tốt, suy ra m  C36 ; và n là số cách lấy 3 lọ từ
3
hộp có 10 lọ, suy ra n  C10
.

Do đó P(A) 

C36
 0,1667 .
C103

b) Gọi B: “Ba lọ thuốc lấy ra có 1 lọ tốt”.

m C16C42
Suy ra P(B)   3  0,3 .
n
C10
c) Gọi C: “Ba lọ thuốc lấy ra có nhiều nhất 1 lọ tốt”.
16


Giáo Trình Toán cao cấp – Xác suất thống kê (Dược – 2017)

m C16C24  C34
 0,3333 .

Suy ra P(C)  
n
C103
d) Gọi D: “Ba lọ thuốc lấy ra có ít nhất 1 lọ tốt”.
Suy ra P(D) 

m C16C 24  C62C14  C36
C34


1

 0,9667 .
n
C103
C103

Ví dụ 3.18. Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ một công ty sữa, người ta đã gửi đến
bộ phận kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho. Bộ phận kiểm
nghiệm chọn ngẫu nhiên 3 hộp sữa để phân tích mẫu. Tính các xác suất sau:
a) 3 hộp sữa được chọn có cùng loại.
b) 3 hộp sữa được chọn thuộc 3 loại khác nhau.
c) 3 hộp sữa được chọn có 2 hộp sữa dâu.
d) 3 hộp sữa được chọn có ít nhất 1 hộp sữa dâu.
e) 3 hộp sữa được chọn có nhiều nhất 2 hộp sữa dâu.
Hướng dẫn
a) Gọi A: “Ba hộp sữa được chọn có cùng loại”.
Suy ra P(A) 

m

.
n

Với m là số cách lấy ra 3 hộp sữa có cùng loại: Có 3 trường hợp:
TH1: Cả 3 hộp là sữa cam;
TH2: Cả 3 hộp là sữa dâu;
Th3: Cả 3 hộp là sữa nho.
Suy ra m  C35  C34  C33 .
3
Và n là số cách lấy 3 hộp sữa từ 12 hộp, suy ra n  C12
.

C35  C34  C33
 0,0682 .
Do đó P(A) 
C123
Phân tích tương tự để giải các câu còn lại.
Định nghĩa cổ điển về xác suất có ưu điểm cơ bản là để tìm xác suất của một biến cố
ta chỉ cần thực hiện phép thử một cách giả định. Ngoài ra, có thể tìm được chính xác giá
trị xác suất của một biến cố.

17


Giáo trình Toán Cao Cấp – Xác suất thống kê (Dược – 2017)

Tuy nhiên, định nghĩa cổ điển về xác suất có hạn chế là nó đòi hỏi phải biết được số
kết quả đồng khả năng thuận lợi cho biến cố cần tìm và số kết quả đồng khả năng của
phép thử, đồng thời số kết quả đồng khả năng thì phải hữu hạn.
Câu hỏi đặt ra là, trong thực tế có nhiều phép thử mà số kết quả có là vô hạn hoặc

không biết được hoặc không biết số kết quả thuận lợi cho biến cố cần tìm. Trong những
trường hợp này thì xác suất được tính như thế nào?

3.3.1.2. Định nghĩa thống kê
Xét A là một biến cố của một phép thử. Thực hiện phép thử n lần trong những điều
m
là tần suất của
n
biến cố A. Khi số lần thử n của phép thử tăng lên thì người ta thấy tần suất của biến cố

kiện như nhau và giả sử có m lần biến cố A xảy ra. Người ta gọi tỉ số

A ngày càng gần với một số xác định gần bằng với tần suất của A. Người ta đồng nhất
tần suất của biến cố A với số xác định đó và gọi là xác suất của A.
Định nghĩa. Xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A), là tần suất của biến cố A khi
số lần thử của phép thử tăng dần lên.
Ví dụ 3.19. Tung một đồng xu cân đối và đồng chất, gọi A là biến cố được mặt sấp.
Một số nhà toán học đã thực hiện nhiều lần tung và thu được kết quả như sau
Người thí nghiệm

Số lần tung

Số lần sấp

Tần suất

Buffon

4040


2048

0,5086

Pearson

12000

6019

0,5016

Pearson

24000

12012

0,5005

Người ta nhận thấy khi n khá lớn, tần suất dao động quanh 0,5 nên xem như

P(A)  0,5 .

3.3.2. Xác suất có điều kiện
Khi tính xác suất của biến cố A bằng định nghĩa cổ điển, ta phải tính số kết quả sơ
cấp của phép thử và số kết sơ cấp quả thuận lợi cho A. Trong thực tế, ta có thể phải tính
xác suất của biến cố A trong điều kiện đã biết biến cố B nào đó đã xảy ra. Khi tính xác
suất trong trường hợp này, số kết quả của phép thử và số kết quả thuận lợi cho A có thể
thay đổi. Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện B đã xảy ra được gọi là xác

suất có điều kiện.
18


Giáo Trình Toán cao cấp – Xác suất thống kê (Dược – 2017)

Bài toán 10. Có 3 sinh viên X, Y, Z cùng thi xác suất thống kê và có hai sinh viên thi
đậu.
Tính xác suất để sinh viên X thi đậu biết rằng sinh viên Y đã thi đậu.
Gọi A: "Sinh viên X thi đậu"; B: "Sinh viên Y thi đậu". Như vậy, yêu cầu đề bài là
tính xác suất để biến cố A xảy ra biết rằng biến cố B đã xảy ra. Đó chính là xác suất có
điều kiện.
Định nghĩa. Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã xảy ra được
gọi là xác suất có điều kiện của A đối với B.
A
Công thức. Xác suất có điều kiện của A đối với B. Kí hiệu P   và được xác định
B

 A  P(A.B)
như sau: P   
.
P(B)
B
Trong đó: P(AB) là xác suất để cả A và B cùng xảy ra;
P(B) là xác suất để B xảy ra.
Ví dụ 3.20. Tại một địa phương trong dân số, tỷ lệ bệnh sốt rét là 20%, tỷ lệ lách to
là 30%, trong số người bị sốt rét thì tỷ lệ lách to là 80%. Một người đến ngẫu nhiên từ
dân số đó, người này có lách to, tính khả năng người này bị sốt rét.
Giải
Gọi A: “Người bệnh bị sốt rét”; B: “Người bệnh có lách to”.


 A  P(A.B)
Yêu cầu đề bài là tính P   
.
P(B)
B
Trong đó P(B)  0,3 ; P(AB)  0,8.0,2  0,16 .

 A  0,16
 0,53 .
Suy ra: P   
 B  0,3

3.3.3. Biến cố độc lập
Bài toán 11. Một hộp có 10 lọ thuốc, trong đó có 4 lọ hỏng.

19


Giáo trình Toán Cao Cấp – Xác suất thống kê (Dược – 2017)

a) Lấy ngẫu nhiên lần lượt có hoàn lại từ hộp mỗi lần ra 1 lọ thuốc. Gọi A1: "Lọ thuốc
A 
lấy ra lần thứ nhất là lọ tốt" ; A2: "Lọ thuốc lấy ra lần thứ hai là lọ tốt". Tính P  2  ,
 A1 

A 
P  2  . Nhận xét về kết quả nhận được?
 A1 


b) Lấy ngẫu nhiên lần lượt không hoàn lại từ hộp mỗi lần ra 1 lọ thuốc. Gọi B1: "Lọ
B 
thuốc lấy ra lần thứ nhất là lọ tốt"; B2: "Lọ thuốc lấy ra lần thứ hai là lọ tốt". Tính P  2 
 B1 
B 
, P  2  . Nhận xét về kết quả nhận được?
 B1 

Định nghĩa. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu A xảy ra hay không xảy ra
không làm thay đổi xác suất của B, hay ngược lại.
Định lý. Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi

A
 B
P    P(A) hay P    P(B) .
B
A
Ví dụ 3.21. Gọi A là biến cố chị X sinh con trai, B là biến cố chị Y sinh con trai, thì
A và B là hai biến cố độc lập.
Nhận xét. Khi xét sự độc lập của các biến cố, ta chú ý các trường hợp:
1. Nếu A và B là hai biến cố của hai phép thử được thực hiện theo kiểu lần lượt
không hoàn lại từ một tập hợp thì A và B không độc lập.
2. Nếu A và B là hai biến cố của hai phép thử được thực hiện theo kiểu lần lượt có
hoàn lại từ một tập hợp thì A và B độc lập.
3. Nếu A và B là hai biến cố của hai phép thử được thực hiện từ hai tập hợp khác
nhau thì A và B độc lập.

3.4. Các công thức tính xác suất
Để tính xác suất của biến cố chỉ của một phép thử, ta sử dụng định nghĩa là đủ. Tuy
nhiên, với các biến cố có dạng tổng hay tích của nhiều biến cố, việc sử dụng định nghĩa

để tính xác suất là khá phức tạp, thậm chí khó có thể thực hiện được. Người ta đã tìm
được các quy tắc tính xác suất của các biến cố đó và gọi là công thức tính xác suất.

3.4.1. Công thức cộng xác suất

20


Giáo Trình Toán cao cấp – Xác suất thống kê (Dược – 2017)

Nếu C  A  B thì P(C)  P(A)  P(B) ?

3.4.1.1. Công thức cộng xác suất thứ nhất
Với A và B là hai biến cố xung khắc, ta có: P(A  B)  P(A)  P(B) .
Mở rộng. Với A1, A2, …, An là n biến cố xung khắc từng đôi, ta có:

P(A1  A2 

 An )  P(A1 )  P(A2 ) 

 P(An ) .

Hệ quả. Với A là một biến cố bất kỳ, ta có: P(A)  1  P(A) .
Ví dụ 3.22. Một chuồng gà có 10 con trong đó có 4 con gà trống. Chọn ngẫu nhiên 3
con gà trong chuồng. Tính xác suất để trong 3 con gà được chọn có nhiều nhất 2 con gà
trống.
Giải
Gọi Ai: “3 con gà được chọn có i con gà trống”, i  0;1; 2 .
Gọi A: “3 con gà được chọn có nhiều nhất 2 con gà trống”.
Cách 1. Suy ra: A  A0  A1  A2 và A0 ,A1 ,A2 từng đôi xung khắc, nên:


C04C36 C14C62 C 24C16 29
P(A)  P(A 0 )  P(A1 )  P(A 2 )  3  3  3 
.
C10
C10
C10
30
Cách 2. Suy ra A : “3 con gà được chọn là 3 con gà trống”.

C34 29
Ta có P(A)  1  P(A) nên P(A)  1  3 
.
C10 30

3.4.1.2. Công thức cộng xác suất thứ hai
Với A và B là hai biến cố bất kỳ, ta có: P(A  B)  P(A)  P(B)  P(AB) .
Ví dụ 3.23. Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 50 sinh viên giỏi Toán, 60 sinh
viên giỏi ngoại ngữ và 20 sinh viên giỏi cả hai môn Toán và ngoại ngữ. Chọn ngẫu nhiên
một sinh viên của lớp. Tính các xác suất sau :
a) Sinh viên đó chỉ giỏi môn toán.
b) Sinh viên đó chỉ giỏi ngoại ngữ.
c) Sinh viên đó giỏi ít nhất một trong hai môn.
Giải
a) Gọi A: "Sinh viên chỉ giỏi môn toán".

21


Giáo trình Toán Cao Cấp – Xác suất thống kê (Dược – 2017)


Số sinh viên chỉ giỏi Toán là: 50  20  30 .
Vậy, P(A) 

30
 0,3 .
100

b) Gọi B: "Sinh viên chỉ giỏi môn ngoại ngữ".
Số sinh viên chỉ giỏi Ngoại ngữ là: 60  20  40 .
Vậy, P(B) 

40
 0, 4 .
100

Cách 1
Gọi C: “sinh viên được chọn giỏi môn Toán”;
D: “sinh viên được chọn giỏi môn ngoại ngữ”
Khi đó:
- CD là biến cố sinh viên được chọn giỏi cả hai môn Toán và ngoại ngữ.
- C + D là biến cố sinh viên được chọn giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc
ngoại ngữ. Vì C, D không xung khắc nên:
P(C + D) = P(C) + P(D) − P(CD);
P(C  D) 

50 60 20


 0,9 .

100 100 100

Cách 2
Gọi E: “Sinh viên giỏi ít nhất một trong hai môn”.
Khi đó E  A  B  AB , vì A, B, AB xung khắc nên theo công thức cộng thứ nhất

P(E)  P(A)  P(B)  P(AB)  0,3  0,4  0,2  0,9 .

3.4.2. Công thức nhân xác suất
Nếu C  A.B thì P(C)  P(A).P(B) ?

3.4.2.1. Công thức nhân xác suất thứ nhất
Nếu biến cố A độc lập với biến cố B thì B cũng độc lập với A và ta có:

P(AB)  P(A)P(B) .
Mở rộng. Với A1, A2, …, An là n biến cố độc lập từng đôi, nghĩa là với mọi
1 ≤ i ≠ j ≤ n , Ai và Aj độc lập, ta có: P(A1A2
22

An )  P(A1 )P(A2 )

P(An ) .


Giáo Trình Toán cao cấp – Xác suất thống kê (Dược – 2017)

Ví dụ 3.24. Có 2 hộp thuốc, mỗi hộp có 10 lọ trong đó hộp thứ i có i + 2 lọ hỏng còn
lại là lọ tốt. Lấy từ mỗi hộp ra 1 lọ thuốc. Tính các xác suất sau:
a) Hai lọ thuốc lấy ra là hai lọ hỏng.
b) Hai lọ thuốc lấy ra có 1 lọ hỏng.

c) Hai lọ thuốc lấy ra có cùng loại.
d) Hai lọ thuốc lấy ra có ít nhất 1 lọ hỏng.
e) Hai lọ thuốc lấy ra có nhiều nhất 1 lọ hỏng.
f) Lọ thuốc lấy từ hộp 2 là hỏng, biết rằng hai lọ thuốc lấy ra có một lọ hỏng.
g) Lọ thuốc lấy từ hộp 1 là tốt, biết rằng hai lọ thuốc lấy ra có một lọ tốt.
Giải
Gọi Ai: "Lọ thuốc lấy ra từ hộp i là lọ hỏng", i=1;2.
P(A1 )  0,3;P(A1 )  0,7 , P(A2 )  0, 4;P(A 2 )  0,6 .

a) Gọi A: " Hai lọ thuốc lấy ra là hai lọ hỏng".
Suy ra A  A1A2 .
Do đó P(A)  P(A1 )P(A2 )  0,3.0,4  0,12 .
b) Gọi B: " Hai lọ thuốc lấy ra có 1 lọ hỏng".
Suy ra B  A1A2  A1A2 .
Do đó P(A)  P(A1 )P(A 2 )  P(A1 )P(A 2 )  0, 3.0, 6  0, 7.0, 4  0, 46 .
c) Gọi C: " Hai lọ thuốc lấy ra có cùng loại".
Suy ra C  A1A2  A1A2 .
Do đó C  P(A1 )P(A 2 )  P(A1 )P(A 2 )  0,3.0, 4  0,7.0,6  0,54 .
d) Gọi D: " Hai lọ thuốc lấy ra có ít nhất 1 lọ hỏng".
Suy ra D : “Hai lọ thuốc lấy ra là hai lọ tốt”.
Do đó D  A1A2  P(D)  P(A1 )P(A 2 )  0,7.0,6  0, 42 .
Vậy, P(D)  1  P(D)  1  0,42  0,58 .
e) Gọi E: " Hai lọ thuốc lấy ra có nhiều nhất 1 lọ hỏng".
Suy ra E : “Hai lọ thuốc lấy ra là hai lọ hỏng.
23


Giáo trình Toán Cao Cấp – Xác suất thống kê (Dược – 2017)

Do đó E  A1A 2  P(E)  P(A1 )P(A 2 )  0,3.0, 4  0,12 .

Vậy, P(E)  1  P(E)  1  0,12  0,88 .
f) + Hai lọ thuốc lấy ra có một lọ hỏng: B;
+ Lọ thuốc lấy từ hộp 2 là hỏng: A2.

 A  P(A 2 .B) P(A 2 ).P(A1 ) 0, 4.0,7


 0,6087 .
Vậy, P  2  
P(B)
P(B)
0, 46
 B
Ví dụ 3.25. Tỷ lệ mắc bệnh X ở lô chuột thứ I là 10% và ở lô chuột thứ II là 7%. Lấy
ngẫu nhiên ra mỗi lô một con chuột. Tính các xác suất sau:
a) Hai chuột lấy ra là hai chuột mắc bệnh X.
b) Hai chuột lấy ra có một chuột mắc bệnh X.
c) Hai chuột lấy ra có ít nhất một chuột mắc bệnh X.
d) Chuột mắc bệnh X được lấy từ lô thứ I, biết rằng hai chuột lấy ra có 1 chuột mắc
bệnh X.
Hướng dẫn
Gọi Ai: “Chuột lấy ra từ lô thứ i là chuột mắc bệnh X”, i=1;2.

P(A1 )  0,1 ; P(A2 )  0,07 ; P(A1 )  0,9 ; P(A 2 )  0,93 .
Ý a), b) giải tương tự ví dụ trên.
c) Gọi A: “Hai chuột lấy ra có ít nhất 1 chuột mắc bệnh X”.
A  A1A2  P(A)  P(A1 )P(A 2 )  0,9.0,93  0,837 .

Do đó: P(A)  1  P(A)  1  0,837  0,163 .
d) Gọi B: “Hai chuột lấy ra có một chuột mắc bệnh X”.

B  A1A2  A1A2  P(B)  0,1.0,93  0,9.0,07  0,156 .

 A  P(A1 )P(A 2 ) 0,1.0,93

 0,5962 .
Vậy, P  1  
P(B)
0,156
B
Ví dụ 3.26. Tỷ lệ thuốc hỏng ở lô A là 10%; lô B là 8%; lô C là 15%. Giả sử các lô
có rất nhiều lọ. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô ra một lọ. Tính các xác suất sau:
a) Ba lọ lấy ra là 3 lọ hỏng.
b) Ba lọ lấy ra có 1 lọ hỏng.
c) Ba lọ lấy ra có 2 lọ hỏng.

24


Giáo Trình Toán cao cấp – Xác suất thống kê (Dược – 2017)

d) Ba lọ lấy ra có ít nhất 1 lọ hỏng.
e) Ba lọ lấy ra có nhiều nhất 2 lọ hỏng.
f) Ba lọ lấy ra chỉ có lọ thuốc lấy từ lô 2 là lọ hỏng.
g) Lọ thuốc lấy ra từ lô 2 là hỏng, biết rằng ba lọ lấy ra có 1 lọ hỏng.
h) Lọ thuốc lấy ra từ lô 1 là tốt, biết rằng ba lọ lấy ra có 1 lọ hỏng.
Hướng dẫn
Gọi Ai: “Lọ thuốc lấy ra từ lô thứ i là lọ hỏng”, i=1;2;3.

P(A1 )  0,1 ; P(A2 )  0,08 ; P(A3 )  0,15 ; P(A1 )  0,9 ; P(A2 )  0,92 ;
P(A3 )  0,85 .


Giải tương tự các ví dụ trên với chú ý để có một trường hợp của yêu cầu đề bài xảy
ra cần có 3 giai đoạn.

3.4.2.2. Công thức nhân xác suất thứ hai
B
A
Với A, B là hai biến cố bất kỳ, ta có P(AB)  P(A)P    P(B)P   .
A
 B
Mở rộng. Với A1, A2, …, An là n biến cố bất kỳ, ta có:
P(A1A 2

A 
A n )  P(A1 )P  2 
 A1 



An
P
.
A
A
A
 1 2
n 1 

 B  C 
Chẳng hạn: P(ABC)  P(A)P   P 

.
 A   AB 
Ví dụ 3.27. Trong một kỳ thi, bạn phải thi hai môn. Giả sử bạn có hy vọng 70% đạt
môn thứ nhất. Nếu đạt môn thứ nhất thì hy vọng 60% bạn đạt môn thứ hai. Nếu không
đạt môn thứ nhất thì hy vọng đạt môn thứ hai chỉ còn 40%. Hãy tính xác suất để bạn:
a) Đạt yêu cầu cả hai môn thi.
b) Không đạt yêu cầu cả hai môn thi.
Giải
Gọi Ai: “Đạt môn thứ i”, i  1; 2 .
A 
A 
Ta có: P(A1 )  0,7; P  2   0,6; P  2   0, 4 .
 A1 
 A1 

a) Gọi A: “Đạt yêu cầu cả hai môn thi”.
25