TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

======

TRƢƠNG THỊ MINH HOA

PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER
CHO HỆ NHIỀU HẠT

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2017


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo
trong khoa Vật lý, trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã dạy dỗ chỉ bảo và
truyền đạt kiến thức cho em trong suốt quá trình học tập và rèn luyện tại
trƣờng cũng nhƣ trong quá trình thực hiện khóa luận này.
Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn PGS.TS Lƣu Thị Kim Thanh đã tận
tình hƣớng dẫn giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt
nghiệp này.
Là một sinh viên lần đầu tiên nghiên cứu khoa học nên khóa luận của
em không tránh khỏi thiếu sót, vì vậy em rất mong nhận đƣợc những đóng
góp ý kiến của các thầy cô và bạn bè để khóa luận đƣợc hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, Ngày 18 tháng 4 năm 2017
Sinh viên

Trƣơng Thị Minh Hoa


LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan đề tài khóa luận này là do sự cố gắng nỗ lực tìm hiểu,
nghiên cứu của bản thân với sự giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS Lƣu Thị Kim
Thanh. Công trình này không trùng lặp với các kết quả luận văn của các tác
giả.
Nếu sai sót em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017
Sinh viên
Trƣơng Thị Minh Hoa


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 1
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu................................................................. 1
4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 1
5. Phƣơng pháp nghiên cứu............................................................................... 1
6. Cấu trúc đề tài ............................................................................................... 2
NỘI DUNG ....................................................................................................... 3
CHƢƠNG 1 : CÁC TÍNH CHẤT CHUNG CỦA HỆ NHIỀU HẠT............... 3
1.1. Khái niệm về hệ nhiều hạt.......................................................................... 3
1.1.1. Đặc điểm chung của hệ nhiều hạt ........................................................... 3
1.1.2. Hệ nhiều hạt cơ học................................................................................. 3
1.1.3. Hệ nhiều hạt nhiệt động .......................................................................... 5
1.1.4. Hệ nhiều hạt ở nhiệt độ T = 0K............................................................... 7
1.2. Hệ nhiều hạt đồng nhất .............................................................................. 8

1.2.1. Nguyên lý không phân biệt các hạt đồng nhất trong cơ học lƣợng tử .... 8
1.2.2. Hàm sóng của hệ các hạt đồng nhất ........................................................ 9
1.3. Các đại lƣợng bảo toàn của hệ nhiều hạt ................................................. 12
1.3.1. Toán tử Hamilton của hệ nhiều hạt ....................................................... 12
1.3.2. Bảo toàn động lƣợng của hệ nhiều hạt .................................................. 13
1.3.3. Bảo toàn mô men động lƣợng của hệ nhiều hạt .................................... 13
1.4. Các biểu diễn của toán tử và hàm sóng cho hệ nhiều hạt…………….15
1.4.1. Biểu diễn Schodinger ............................................................................ 15
1.4.2. Biểu diễn Heisenberg ............................................................................ 15
1.4.3. Biểu diễn tƣơng tác…………………………………………………..16
KẾT LUẬN CHƢƠNG 1................................................................................ 23


CHƢƠNG 2: PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHO HỆ ....................... 24
CÁC ELECTRON VÀ CÁC ION TRONG VẬT RẮN TINH THỂ ............. 24
2.1. Phƣơng trình schrodinger tổng quát cho hệ các electron và ion .............. 24
2.2. Gần đúng đoạn nhiệt và các phƣơng trình schrodinger cho hệ các electron
và cho hệ các ion. ............................................................................................ 25
KẾT LUẬN CHƢƠNG 2................................................................................ 28
CHƢƠNG 3: PHƢƠNG TRÌNH SCHODINGER CHO HỆ ......................... 29
CÁC ELECTRON TRONG LIÊN KẾT MẠNH VÀ LIÊN KẾT YẾU ........ 29
3.1. Phƣơng trình Schrodinger cho hệ electron trong trƣờng hợp liên kết
mạnh. ............................................................................................................... 30
3.2. Phƣơng trình Schodinger cho electron trong trƣờng hợp liên kết yếu. ... 33
KẾT LUẬN CHƢƠNG 3................................................................................ 36
CHƢƠNG 4: DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ ............................................ 37
4.1. Phƣơng trình Schodinger cho các dao động mạng tính thể trong biểu diễn
tọa độ. .............................................................................................................. 37
4.2. Phƣơng trình Schodinger cho các phonon trong biểu diễn lƣợng tử hóa
lần thứ hai. ....................................................................................................... 38

KẾT LUẬN CHƢƠNG 4................................................................................ 43
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 45


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong cơ học lƣợng tử. Phƣơng trình Schodinger là một phƣơng trình cơ
bản của vật lý lƣợng tử mô tả sự biến đổi trạng thái lƣợng tử của một hệ vật lý
theo thời gian, thay thế cho các định luật Niuton và biến đổi Galile trong cơ
học cổ điển.Trong cơ học lƣợng tử, trạng thái lƣợng tử của một hệ vật lý đƣợc
mô tả đầy đủ nhất bởi một vecto trạng thái thí dụ nhƣ hàm sóng trong không
gian cấu hình, nghiệm của phƣơng trình Schodinger. Nghiệm của phƣơng
trình Schodinger không chỉ mô tả các hệ nguyên tử và hạ nguyên tử (nguyên
tử, phân tử, hạt nhân, điện tử và các hạt cơ bản khác) mà cả các hệ vi mô,
thậm trí có thể là toàn bộ vũ trụ. Phƣơng trình này đƣợc đặt theo tên nhà vật
lý ngƣời Áo Erwin Schrodinger, ngƣời đã lần đầu tiên thiết lập nó vào năm
1926. Việc sử dụng phƣơng trình Schodinger cho hệ nhiều hạt giúp giải quyết
các bài toán đơn giản hơn.
Với mong muốn tìm tòi, mở rộng hiểu biết của bản thân về các phƣơng
pháp giải các bài tập trong vật lý, em lựa chọn đề tài “phƣơng trình
Schodinger cho hệ nhiều hạt“ làm đề tài tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu phƣơng trình Schodinger cho hệ nhiều hạt.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Phƣơng trình Schodinger cho hệ nhiều hạt
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Xây dựng phƣơng pháp giải bài tập khi áp dụng phƣơng trình
Schrodinger
Áp dụng để giải một số bài tập

5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phƣơng pháp vật lý lý thuyết và vật lý toán

1


- Đọc tài liệu và tra cứu
- Tham khảo ý kiến giáo viên hƣớng dẫn
6. Cấu trúc đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo dề tài bao gồm 4
phần:
Chƣơng 1: Các tính chất chung của hệ nhiều hạt
1.1.

Khái niệm về hệ nhiều hạt

1.2.

Hệ nhiều hạt đồng nhất

1.3.

Các đại lƣợng bảo toàn của hệ nhiều hạt

1.4.

Các biểu diễn của toán tử và hàm sóng cho hệ nhiều hạt

Chƣơng 2:Phƣơng trình schodinger cho hệ các electron và các ion trong vật
rắn tính thể

2.1. Phƣơng trình Schodinger tổng quát cho hệ các electron và các ion
2.2. Gần đúng đoạn nhiệt và các phƣơng trình Schodinger cho hệ các electron
và cho hệ các ion
Chƣơng 3: Phƣơng trình Schodinger cho hệ các electron trong liên kết mạnh
và liên kết yếu
3.1. Phƣơng trình Schodinger cho hệ electron trong trƣờng hợp liên kết mạnh
3.2. Phƣơng trình Schodinger cho electron trong trƣơng hợp liên kết yếu
Chƣơng 4: Dao động mạng tinh thể
4.1. Phƣơng trình Schodinger cho các dao động mạng tinh thể trong biểu diễn
tọa độ
4.1. Phƣơng trình Schodinger cho các phonon trong biểu diễn lƣợng tử hóa
lần thứ hai

2


NỘI DUNG
CHƢƠNG 1 : CÁC TÍNH CHẤT CHUNG CỦA HỆ NHIỀU HẠT
1.1. Khái niệm về hệ nhiều hạt
1.1.1. Đặc điểm chung của hệ nhiều hạt
Một cách chung nhất hệ nhiều hạt là hệ gồm từ hai hạt trở lên. Việc
tăng thêm số hạt của hệ tạo nên những đặc điểm mới cho hệ. Trƣớc hết là vẫn
đề giải hệ phƣơng trình Hamiton (cho hệ cổ điển) hoặc phƣơng trình
Shrodinger (cho hệ lƣợng tử). Với hệ nhiều hạt số biến của hệ phƣơng trình
Hamilton hoặc của phƣơng trình Shrodinger tăng lên so với trƣờng hợp một
hạt. Hơn nữa một yếu tố quan trọng hơn, đó là việc có thêm thành phần thế
năng tƣơng tác trong hàm Hamilton hoặc toán tử Hamilton làm cho việc giải
chính xác các phƣơng trình Hamilton hoặc phƣơng trình Shrodinger thêm khó
khăn.Với phƣơng pháp tính số nhờ máy tính, khó khăn có tính kĩ thuật này
không phải là vấn đề nguyên tắc.

Tuy nhiên vấn đề sẽ trở nên khác hoàn toàn khi số hạt trong hệ tăng
đến mức làm thay đổi về chất các tính chất của hệ: các hạt trong hệ chuyển
động hỗn loạn, trạng thái của các hạt không cho biết các tính chất chung của
hệ. Với các hệ nhƣ vậy nhƣ chúng ta đã biết cần dùng đến phƣơng pháp của
Vật lý Thống kê và các tính chất vĩ mô của hệ đƣợc đặc trƣng bởi các giá trị
trung bình của các đại lƣợng vật lý .
1.1.2. Hệ nhiều hạt cơ học
Hệ nhiều hạt cơ học là hệ có số hạt nhiều nhƣng chƣa làm thay đổi tính
chất chuyển động của các hạt
Trường hợp hệ gồm hạt cổ điển (hệ cổ điển):
Tọa độ

(1.1a)

Và động lƣợng

(1.1b)

3


Của tất cả các hạt trong hệ đƣợc xác định bởi hệ phƣơng trình
Hamilton:
̇ =

; ̇ =-

(1.2a)

trong đó k = 1,2,….,3N; ̇ và ̇ lần lƣợt là đạo hàm theo thời gian t của

thành phần tọa độ và động lƣợng; còn H là hàm Hamilton của hệ:
=
với

=

+

là động năng và

(1.2b)

là thế năng của hệ .Nghiệm của hệ phƣơng

trình (2.2):
(t,q(0),p(0)) ,

(t,q(0),p(0)),…..,

(t,q(0),p(0))

(1.3a)

(t,q(0),p(0)) ,

(t, q(0),p(0)),….,

(t,q(0),p(0))

(1.3b)


xác định thái của hệ. Các kí hiệu q(0) và p(0) trong công thức (1.3) biểu thị
hai tập các đại lƣợng tƣơng ứng :
{

}

q(0) và {

}

(1.3c)

xác định các trạng thái ban đầu cả hệ.
Một cách tƣơng đƣơng trạng thái của hệ được mô tả bởi quỹ đạo của tất cả
các hạt đƣợc xác định từ (1.3)
Dùng khái niệm không gian pha ,tức không gian 2s = 6N chiều (p,q) đối với
hệ có s bậc tự do ,chúng ta thấy mỗi trạng thái của hệ được biểu diễn bằng
một điểm pha. Với thời gian các đại lƣợng q ,p thay đổi và do đó điểm pha vẽ
nên quĩ đạo pha. Nhƣ vậy quĩ đạo pha cho biết sự thay đổi trạng thái của hệ
theo thời gian .
Dùng khái niệm không gian pha ,tức không gian 2s =6N chiều (q,p) đối với
hệ có s bậc tự do, chúng ta thấy mỗi trạng thái của hệ đƣợc biểu diễn bằng
một điểm pha. Với thời gian các đại lƣợng q, p thay đổi và do đó điểm pha vẽ
nên quỹ đạo pha. Nhƣ vậy quỹ đạo pha cho biết sự thay đổi trạng thái của hệ
theo thời gian.
Trường hợp hệ gồm N hạt lượng tử ( hệ lượng tử ):

4



Trạng thái của hệ đƣợc xác định bởi hàm sóng trong trƣờng hợp năng
lƣợng E của hệ không đổi:
=

(q)exp[-iEt / ]

(1.4)

trong đó q là tập các biến xác định trạng thái của hệ .Hàm sóng (1.4) là
nghiệm của phƣơng trình Schrodinger.
Trung bình của một đại lƣợng vật lý tƣơng ứng với toán tử ̂ (q) khi đó
đƣợc xác định bởi
̅=∫

(q,t) ̂ (q) (q,t)dq

(1.5)

và là đại lƣợng không phụ thuộc thời gian.
1.1.3. Hệ nhiều hạt nhiệt động
Khi số hạt của hệ tăng đến mức đáng kể , thƣờng bằng hoặc lớn hơn số
các phần tử không khí ở điều kiện chuẩn (khoảng

phân tử /

), tính

chất chuyển động của các hạt trong hệ thay đổi: các hạt chuyển động hỗn
loạn. Hệ trở thành hệ nhiệt động, chuyển động hỗn loạn của các hạt gọi là

chuyển động nhiệt. Biểu hiện của chuyển động hỗn loạn không giống nhau
đối với hệ cổ điển và đối với hệ lƣợng tử.
Đối với hệ cổ điển, về nguyên tắc tọa độ và động lƣợng của các hạt có
thể xác định đƣợc bằng việc giải hệ phƣơng trình Hamilton (1.2). Với một hệ
nhiệt động xác định, hàm Hamilton (1.2b) H của hệ là xác định, do đó nghiệm
của hệ phƣơng trình (1.2) cũng có dạng xác định. Tuy nhiên vì hệ phƣơng
trình Hamilton là hệ các phƣơng trình vi phân nên nghiệm (1.3) của hệ
phƣơng trình này phụ thuộc vào các điều kiện ban đầu (1.3c): tùy theo điều
kiện ban đầu, ở mỗi thời điểm t chúng ta có các tập giá trị (1.3a) và (1.3b)
khác nhau; mỗi tập ứng với với một điều kiện ban đầu và một điểm pha, tức là
ứng với một trạng thái vi mô của hệ ở thời điểm t. Khi t biến thiên mỗi tập
này vẽ nên một quỹ đạo pha. Do tính đơn trị của nghiệm của hệ phƣơng trình
(1.2), các quỹ đạo pha ứng với các điều kiện ban đầu khác nhau không cắt

5


nhau; nghĩa là ở mỗi thời điểm chúng ta có một tập các trạng thái vi mô khác
nhau, số lƣợng các trạng thái vi mô không phụ thuộc vào số lƣợng các điều
kiện ban đầu. Nhƣ vậy bằng cơ học Hamilton về nguyên tắc chúng ta có thể
mô tả đƣợc hệ bằng cách xác định các tập trạng thái vi mô của nó. Tuy nhiên
trên thực tế, vì các hạt tạo nên hệ chuyển động hỗn loạn không ngừng nên các
điều kiện ban đầu (các giá trị tọa độ và động lƣợng của tất cả các hạt ở một
thời điểm nào đó coi là ban đầu (t=0)) không thể xác định đƣợc cả về giá trị
lẫn số lƣợng, nghĩa là các điều kiện ban đầu có tính ngẫu nhiên, và do đó số
lƣợng tập các trạng thái vi mô của hệ (các tập giá trị tọa độ và động lƣợng của
các hạt (1.3)) là vô cùng lớn và cũng có tính ngẫu nhiên. Điều đó có nghĩa là
chuyển động hỗn loạn của các hạt trong hệ đã dẫn đến tình trạng là chúng ta
không thể mô tả hệ bằng các trạng thái vi mô của hệ (tức là tập các tọa độ và
động lƣợng của các hạt) nhƣ trong trƣờng hợp hệ cơ học.

Bây giờ chúng ta sẽ xem đối với hệ lƣợng tử tính chất chuyển động
hỗn loạn của các hạt thể hiện nhƣ thế nào. Nhƣ đã biết do tính chất sóng của
hạt, trạng thái của hạt không đƣợc mô tả bằng tọa độ và động lƣợng của nó,
nên sự biểu hiện của tính chất chuyển động hỗn loạn của hạt lƣợng tử không
thể hiện ở tính ngẫu nhiên của các giá trị tọa độ và động lƣợng của hạt nhƣ
trong trƣờng hợp hệ cổ điển, vì bản thân tọa độ và động lƣợng của các hạt
ngay trong hệ lƣợng tử cơ học đã không đặc trƣng cho trạng thái của hệ.
Tƣơng ứng với tọa độ và động lƣợng của các hạt, trong hệ lƣợng tử cơ
học ngƣời ta dùng hàm sóng. Vậy tính ngẫu nhiên của tọa độ và động lƣợng
của các hạt trong hệ nhiệt động cổ điển sẽ thể hiện nhƣ thế nào trong hệ nhiệt
động lƣợng tử? Có thể chứng minh đƣợc rằng số mức năng lƣợng của hệ
nhiều hạt phụ thuộc vào số hạt N và tỷ lệ với

, nghĩa là khoảng cách giữa

hai mức năng lƣợng liền nhau cũng là một con số cực kì bé. Do tƣơng tác của
hệ với môi trƣờng xung quanh (trên thực tế không thế nào có đƣợc một hệ

6


tuyệt đối kín, cho dù năng lƣợng tƣơng tác của môi trƣờng với hệ khảo sát rất
nhỏ tới mức không hề ảnh hƣởng đến các tính chất khác của hệ, năng lƣợng
tƣơng tác này vẫn rất lớn so với khoảng cách giữa các mức năng lƣợng liền
nhau của hệ), do đó hệ luôn luôn chuyển từ trạng thái này sang trạng thái khác
ứng với các mức năng lƣợng và hàm sóng khác nhau, và chúng ta không thể
nói chính xác rằng ở một thời điểm t nào đó hệ đang ở trạng thái nào. Nói một
cách khác, những điều chúng ta biết về hệ không phù hợp với một tập đầy đủ
các điều cần biết để thiết lập một hàm sóng cho hệ, tức là trạng thái của toàn
hệ không thể mô tả bằng hàm sóng hoặc bằng trạng thái vi mô của hệ. Tình

hình tƣơng tự nhƣ đối với hệ nhiệt động cổ điển: do chúng ta không thể chú ý
đầy đủ các điều kiện ban đầu vì chúng có tính ngẫu nhiên nên cũng không thể
mô tả đơn thuần cơ học các trạng thái của toàn hệ, nghĩa là không thể mô tả
trạng thái của toàn hệ bằng tập các tọa độ và động lượng của các hạt hoặc
bằng trạng thái vi mô của hệ. Trạng thái của toàn hệ nhiệt động đƣợc gọi là
trạng thái vĩ mô để phân biệt với trạng thái vi mô xác định xác định bởi các
tập (q,p) hoặc bằng hàm sóng.
Qua những điều đã trình bày trên chúng ta thấy không thể chỉ dùng cơ
học đơn thuần để mô tả hệ nhiều hạt nhiệt động, mà phải dùng phƣơng pháp
của Vật lý Thống kê, nghĩa là kết hợp giữa mô tả cơ học với lý thuyết xác
xuất sẽ đƣợc trình bày ở các phần sau.
1.1.4. Hệ nhiều hạt ở nhiệt độ T = 0K
Đƣơng nhiên là đối với hệ nhiều hạt cơ học không có khái niệm nhiệt
độ, vì nhiệt nhiệt độ là một đại lƣợng vật lý đặc trƣng cho mức độ chuyển
động hỗn loạn của các hạt trong hệ, trong khi các hạt trong hệ cơ học không
chuyển động hỗn loạn. Vấn đề đặt ra là với hệ nhiệt động ở nhiệt độ T = 0K

7


W= năng lƣợng trung bình
Lƣợng tử
Cổ điển

O

T
Hình 1.1

các hạt có chuyển động hỗn loạn không? Từ sự phụ thuộc của năng lƣợng

trung bình W vào nhiệt độ tuyệt đối T trên hình 1.1 chúng ta thấy đối với hệ
cổ điển khi T = 0K thì W = 0, có nghĩa là không có chuyển động hỗn loạn
(trên thực tế không tồn tại hệ nhiệt động cổ điển ở 0K); trong khi đối với hệ
lƣợng tử năng lƣợng của hệ đạt giá trị cực tiểu

ở nhiệt độ T = 0K. Có

thể chứng minh đƣợc rằng trạng thái của hệ ở T = 0K là trạng thái cơ bản và
không suy biến, nghĩa là ứng với mức năng lƣợng cực tiểu chỉ có một trạng
thái và trạng thái của hệ ở 0K hoàn toàn đƣợc xác định bằng hàm sóng, nghĩa
là các hạt trong hệ không chuyển động hỗn loạn. Chúng ta có thể xem xét bài
toán đơn thuần cơ học lƣợng tử.
1.2. Hệ nhiều hạt đồng nhất
1.2.1. Nguyên lý không phân biệt các hạt đồng nhất trong cơ học lượng tử
Các hạt đồng nhất là các hạt giống hệt nhau về mọi phƣơng diện.
Trong cơ học cổ điển có thể phân biệt đƣợc các hạt giống hệt nhau vì chúng
chuyển động theo các quỹ đạo khác nhau. Trong cơ học lƣợng tử trạng thái
của hạt không đặc trƣng bằng quỹ đạo mà bằng hàm sóng nên các hạt giống
hệt nhau có cùng hàm sóng và chúng ta không thể phân biệt đƣợc chúng.

8


Nghĩa là về nguyên tắc không thể phân biệt đƣợc các hạt đồng nhất. Đó chính
là nguyên lý không phân biệt các hạt đồng nhất trong cơ học lƣợng tử.
1.2.2. Hàm sóng của hệ các hạt đồng nhất
1.2.2.1. Tính đối xứng của hàm sóng
Xét hệ N hạt đồng nhất. Trạng thái của hệ đặc trƣng bằng hàm sóng
(i= 1,2,…,N) là tập các biến của hạt thứ i. Gọi ̂ là toán tử


),
khi tác động lên
̂

) sẽ làm hoán vị các biến thứ i và thứ j:

(

)=

(1.6)

Tác động lên (1.6) toán tử ̂ ta thấy rằng trị riêng của ̂ bằng
Thực vậy: ̂

) = ̂ Ψ(

(

̂ bằng

bằng 1, do đó trị riêng của

. Hai hàm riêng tƣơng ứng là:
(

Và

)


) suy ra trị riêng của ̂

= Ψ(

.

)=

(
Hàm sóng

hoán vị các biến

)=-

(

)

(

(1.7)

)

(1.8)

xác định bởi (1.7) là hàm chẵn có tính đối xứng đối với sự
và


, còn hàm sóng

xác định bởi (1.8) là hàm lẻ có

tính phản đối xứng đối với sự hoán vị các biến

và

.

1.2.2.2. Đặc điểm tính đối xứng của hàm sóng
- Một đặc điểm quan trọng của tính chất này là tính đối xứng là nhƣ
nhau đối với tất cả các cặp biến, nghĩa là nếu hàm sóng là đối xứng đối với sự
hoán vị của một cặp biến ( , ) thì cũng là đối xứng đối với sự hoán vị của
tất cả các cặp biến khác, hoặc nếu hàm là phản đối xứng đối với sự hoán vị
của một cặp biến

, ) thì cũng là phản đối xứng đối với sự hoán vị của tất

cả các cặp biến khác. Có thể chứng minh khẳng định này bằng phản chứng:
giả dụ hàm sóng đối xứng đối với sự hoán vị các cặp biến (1;3) và (2;3),

9


nhƣng phản đối xứng đối với cặp biến (1;2), dễ dàng chứng minh rằng hàm
sóng này bằng 0:
Ψ(..a,..b,..c)= -Ψ(..b,..a,..c..)=-Ψ(..a,..c,..b..)= -Ψ(..a,..b,..c..)= 0
1 2 3


1 2 3

1 2 3

1 2 3

Vì các hạt là giống hệt nhau nên cặp biến ở đây chỉ khác nhau ở vị trí
của chúng, các vị trí này đƣợc đánh dấu bằng các dấu 1;2;3; còn sự hoán vị để
dễ theo dõi đƣợc đánh dấu bằng các chữ a,b,c. Các chữ a,b,c ký hiệu tên các
hạt đồng nhất trên thực tế là không phân biệt đƣợc, chúng ta dùng các chữ
khác nhau chỉ để theo dõi sự hoán vị mà thôi.
- Tính đối xứng của hàm sóng phụ thuộc vào spin: Ngƣời ta đã chứng
minh rằng spin của hạt xác định tính chẵn-lẻ của hàm sóng của hệ: Nếu hạt có
spin nguyên (0;1;2;…) thì hàm sóng là chẵn và hệ hạt đồng nhất tuân theo
phân bố Bose-Einstein.
Nếu hạt có spin bán nguyên (1/2;3/2;5/2;…) thì hàm sóng là lẻ và hệ hạt
đồng nhất tuân theo phân bố Fermi-Dirac
- Tính đối xứng của hàm sóng là vĩnh cửu: vì các hạt là đồng nhất nên


toán tử Hamilton H của hệ là bất biến đối với tất cả các hoán vị (

), có

nghĩa là ̂ giao hoán với H và do đó phép hoán vị ứng với toán tử ̂ là bảo
toàn, nói một cách khác nếu ̂ có trị riêng bằng 1 thì trị riêng này sẽ bằng
mãi, hoặc nếu ̂ có trị riêng bằng -1 thì trị riêng này sẽ bằng -1 mãi.
1.2.2.3. Dạng của hàm sóng của hệ hạt đồng nhất không tương tác
Để thiết lập dạng của hàm sóng của hệ hạt đồng nhất không tƣơng tác,
chúng ta kí hiệu


( ) là hàm sóng một hạt mô tả trạng thái

có một hạt thứ i tồn tại với tập các biến

trong đó chỉ

mô tả hạt i nào đó. Các hàm

) có dạng:
( )=

(⃗ )

( )

(1.9)

10


Trong đó

( ⃗ ) là hàm sóng phụ thuộc tọa độ xác định trạng thái một

hạt ni trong đó có một hạt thứ i, còn
trạng thái spin . Các biến lƣợng tử

( ) là hàm sóng spin với spin
= ( ⃗ , ) xác định trạng thái


ở

= (ni , )

của hạt thứ i. Hàm sóng một hạt (1.9) là trực chuẩn, thỏa mãn công thức
chuẩn hóa sau:
∫

( )d =∫ ⃗ ∑

( )

=
trong đó:

(⃗ )

(⃗ )

( )

( )

=

(1.10)

d⃗ = d d d .


Hàm sóng

(

) của toàn hệ là tổ hợp của các hàm sóng

( ). Về nguyên tắc hàm sóng của hệ gồm các hạt không tƣơng tác phải
đƣợc tổ hợp từ tích của tất cả các hàm của từng hạt

( ) vì xác xuất hiện

trạng thái của hệ chính là xác suất tồn tại đồng thời của tất cả các hạt trong hệ.
Ngoài ra hàm sóng còn phải thỏa mãn tính chất chẵn lẻ nhƣ đã viết ở trên.
Trƣờng hợp hệ các hạt boson, hàm sóng của hệ là hàm chẵn, nghĩa là
không đổi khi hoán vị bất kì hai hạt nào. Do đó hàm sóng có dạng:
(

) = c∑

( )…

( )

(

)

(1.11a)

tổng lấy theo tất cả hoán vị có thể có, hằng số c đƣợc xác định từ điều kiện

chuẩn hóa.
Với hệ có 2 hạt:
(

)=

√

[

( )

( )+

( )

( )]

(1.11b)

Trƣờng hợp các hạt fermion hàm sóng của hệ là hàm lẻ, nghĩa là đổi
dấu khi hoán vị bất kỳ hai hạt nào. Do đó hàm sóng có dạng định thức Slater:

11


(

)=


√

||

||

(1.12a)

Rõ ràng là việc hoán vị hai cột bất kỳ của định thức Slater đều làm đổi dấu
định thức.
Với hệ có 2 hạt:
(

)=

√

[

( )

( )-

( )

( )]

(1.12b)

Trạng thái của các hạt fermion xác định bằng định thức Slater chứa

đựng Nguyên lý loại trừ Pauli: nếu trong sô các

có hai số nào đó giống

nhau (định thức có hai hàng giống nhau) thì định thức bằng 0, do đó hàm sóng
của hệ bằng 0. Định thức có hai hàng giống nhau có nghĩa là có hai hạt khác
( ). Điều đó không thể xảy ra vì trái với nguyên

nhau trong một trạng thái

lý loại trừ Pauli: không có quá một hạt trong một trạng thái.
1.3. Các đại lƣợng bảo toàn của hệ nhiều hạt
1.3.1. Toán tử Hamilton của hệ nhiều hạt
Xét hệ có N hạt. Toán tử Hamilton của hệ có dạng :
∑

⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑⃗

( )

⃑⃑⃑⃑⃗

(1.13a)

hoặc trong các biến của hệ tọa độ cầu:
∑

(∑

)


(

)

(1.13b)
trong đó:
(

)

(

)

Toán tử thế năng tƣơng tác trong biểu diễn tọa độ bằng chính nó:
( ̂ ⃑⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃗

⃑⃑⃑⃑⃗

⃑⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃗

⃑⃑⃑⃑⃗ )

12


Nếu thế năng tƣơng tác giữa các hạt trong hệ V không chứa tƣờng minh
thời gian, năng lƣợng E của hệ có giá trị xác định, chúng ta có thể xét các đại
lƣợng bảo toàn.

1.3.2. Bảo toàn động lượng của hệ nhiều hạt
Toán tử động lƣợng của hệ N hạt có dạng:
⃑⃗̂
̂
do đó: ⃑⃗̇

⃑⃑⃑⃑⃗

∑

( ⃑⃗̂

⃑⃗̂)
∑

(1.14)
⃑⃑⃑⃑⃗

∑
⃑⃑⃑⃑⃗

∑

⃑⃑⃑⃑⃗

⃑⃑⃑⃑⃗

⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗

⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗


⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗

(1.15)

Trong đó ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗ là tổng các nội lực, còn ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗ là tổng các ngoại lực tác
dụng lên hệ. dễ dàng chứng minh đƣợc rằng tổng các nội lực ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗ triệt tiêu.
Thực vậy,

⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗

∑ ⃑⃑⃗

∑ ∑ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗

∑(⃑⃑⃑⃑⃗

)

∑(⃑⃑⃑⃑⃗

)

∑(⃑⃑⃑⃑⃗

∑(⃑⃑⃑⃗

)

∑(⃑⃑⃑⃑⃗


)

)

∑(⃑⃑⃑⃑⃗

)

Với ⃑⃑⃗ là tổng nội lực của các hạt khác tác dụng lên hạt i, còn ⃑⃑⃑⃑⃗ là lực
của hạt j tác dụng lên hạt i. kết quả là trong trƣờng hợp không có ngoại lực tác
dụng ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗

̂
, đạo hàm của tổng động lƣợng của hệ triệt tiêu ⃑⃗̇

, tức tổng

động lƣợng của hệ nhiều hạt đƣợc bảo toàn.
1.3.3. Bảo toàn mô men động lượng của hệ nhiều hạt
Toán tử mô men động lƣợng của hệ N hạt có dạng: ⃑⃗̂

∑

̂
̂
⃑⃑⃑⃗
, với ⃑⃑⃑⃗

là toán tử momen động lƣợng của hạt thứ k. Thành phần z của toán tử momen

động lƣợng của hệ có dạng ̂

∑

̂ thay ̂ =

13

, chúng ta đƣợc:


̂

∑

(1.16)

Mặt khác đạo hàm của thành phần z của toán tử momen động lƣợng của
hệ đƣợc tính theo công thức ̂̇

(̂

̂)

Thay Hamilton H từ biểu thức (1.13b) và ̂ từ biểu thức (1.16), chúng
ta đƣợc:
̂̇

(̂


̂)

∑

∑

+

(1.17)

và

tƣơng

với

là thành phần z của momen lực tác dụng lên hạt thứ k,

ứng là thành phần z của momen nội lực và ngoại lực tác dụng lên hệ, trong đó
thành phần z của mô men nội lực
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗

triệt tiêu. Thực vậy,

∑[⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗]

∑ [⃑⃑⃑⃗ ∑ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗]

∑


∑

∑
Vì (⃑⃑⃑⃗

(⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)

∑

(⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)

∑

(⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)

(⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)

(⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)

∑

(⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)

⃑⃗) ⃑⃑⃑⃑⃑⃗, suy ra

14

∑[(⃑⃑⃑⃗

⃑⃗) ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗


]


Nếu thế tƣơng tác V=0 hoặc có dạng đối xứng cầu ( tức
do đó

) thì

đƣợc bảo toàn.

và từ (1.17)

1.4. Các biểu diễn của toán tử và hàm sóng cho hệ nhiều hạt
Biểu diễn của toán tử và hàm sóng là một vấn đề rất quan trọng trong
việc giải quyết các bài toán cụ thể, đặc biệt là đối với hệ nhiều hạt. Trong cơ
học lƣợng tử thƣờng sử dụng ba biểu diễn là biểu diễn Schrodinger, biểu diễn
Heisenberg và biểu diễn tƣơng tác. Trong phần này chúng ta sẽ đề cập đến
các biểu diễn nói trên và tập trung chú ý nhiều đến biểu điễn tƣơng tác là biểu
diễn đƣợc sử dụng trong nghiên cứu hệ nhiều hạt có tƣơng tác, đặc biệt là
trong phƣơng pháp hàm Green lƣợng tử.
1.4.1. Biểu diễn Schrodinger
Xét phƣơng trình Schrodinger theo thời gian
(1.18)
Nghiệm phƣơng trình (1.18) có thể viết một cách hình thức dƣới dạng
sau:
*
trong đó

+


(1.19)

là hàm sóng không phụ thuộc vào thời gian.

Biểu thức (1.19) có thể suy ra đƣợc từ (1.18) vì toán tử Hamilton H
không phụ thuộc vào thời gian. Đây chính là biểu diễn Schrodinger , là biểu
diễn trong đó hàm sóng phụ thuộc vào thời gian, còn toán tử Haminlton
không phụ thuộc vào thời gian.
1.4.2. Biểu diễn Heisenberg
Thành phần ma trận của một toán tử ̂ đƣợc xác định bởi:
̂

〈
thay hàm sóng

〉

(t) từ (1.19) chúng ta có:
〈

̂

〉

15

(1.20a)



Đặt ̂

̂

chúng ta đƣợc:

(1.21)

̂

〈

〉

(1.20b)

Chúng ta đã chuyển sang một biểu diễn mới, gọi là biểu diễn
Heisenberg, trong đó toán tử ̂

phụ thuộc vào thời gian đƣợc xác định bởi
không phụ thuộc thời gian và đƣợc xác

công thức (1.21), còn hàm sóng
định từ (1.19):
[

]

(1.22)


1.4.1. Biểu diễn tƣơng tác
Để đi đến biểu diễn tƣơng tác chúng ta viết toán tử Hamilton H dƣới
dạng:
̂

(1.23)

trong đó ̂ là phần tƣơng tác của toán tử Haminlton H.
Chọn toán tử biến đổi là

chúng ta có:

[
và ̂

]

(1.24)

̂
và ̂

(1.25)

lần lƣợt là hàm sóng và toán tử trong biểu diễn mới gọi là biểu

diễn tƣơng tác, trong đó cả hàm sóng và toán tử đều phụ thuộc vào thời gian.
Để thấy rõ biểu diễn có tên là biểu diễn tƣơng tác, chúng ta lấy đạo hàm 2 vế
(1.24) :
[


=

]

chú ý (1.18) và (1.23) :
=(

(
Biểu thị

*

)

qua

)

+
[

(

̂)

]

theo (1.24) và (1.25) cuối cùng chúng ta đƣợc:
̂


(1.26)

16


Trong đó ̂

là phần tƣơng tác của toán tử Hamilton trong biểu diễn

tƣơng tác:
̂

̂

(1.27)

Biểu thức (1.26) cho biết sự biến đổi của hàm sóng theo thời gian trong
biểu diễn tƣơng tác, có dang giống nhƣ biểu thức (1.18), là biểu thức cho biết
sự biến đổi của hàm sóng trong biểu diễn Schrodinger, chỉ khác là trong biểu
diễn tƣơng tác phần tƣơng tác của toán tử Hamilton thay thế toán tử Hamilton
trong biểu diễn Schrodinger. Có nghĩa là sự biến thiên của hàm sóng trong
biểu diễn tƣơng tác chỉ phụ thuộc vào phần tƣơng tác của toán tử Hamilton.
Đó cũng là lý do biểu diễn đang xét có tên là biểu diễn tƣơng tác. Để thuận
tiện cho các tính toán về sau, chúng ta viết lại phƣơng trình (1.26) dƣới 1
dạng khác bằng cách lấy tích phân hai vế phƣơng trình này từ

đến t (t > ):

∫ ̂


(1.28)

Nghiệm của phƣơng trình (1.28) có thể viết dƣới dạng chuỗi theo lũy
thừa của ̂

:
(1.29)

trong đó gần đúng bậc không chọn hàm sóng tại t0
(1.30)
Thay hàm sóng
bậc không

dƣới dấu tích phân trong (1.28) bằng hàm sóng

xác định từ (1.30), chúng ta đƣợc gần đúng bậc một:
∫ ̂

Thay hàm sóng

(1.31)
dƣới dấu tích phân trong (1.28) bằng gần đúng

bậc một xác định bằng vế phải của (1.31) chúng ta đƣợc gần đúng bậc hai:
() ∫ ̂

∫ ̂

và gần đúng bậc n:


17

(1.32)


() ∫ ̂

∫ ̂

̂

∫

(1.33)

Chuỗi (1.33) có thể viết dƣới dạng:
̂

(1.34)

trong đó
̂

( )∫̂

+(

( ) ∫̂


) ∫ ̂

∫̂

∫ ̂

̂

∫

(1.35)

đƣợc gọi là ma trận S
Trong chuỗi (1.35) toán tử tƣơng tác ̂ ở thời điểm sớm hơn bao giờ
cũng đứng sau toán tử tƣơng tác ̂ ở thời điểm muộn hơn, vì
t >t1 > t2 >….> tn > t0
biểu thức (1.35) có thể viết dƣới dạng gọn hơn. Chẳng hạn chúng ta xét thành
phần bậc hai:
̂

() ∫

̂

∫

̂

(1.36a)


Sau khi thay đổi biến tích phân t1 t2 chúng ta đƣợc:
̂

() ∫

̂

∫

̂

(1.36b)

Kí hiêu ̂ là toán tử có tác động làm cho các toán tử đứng sau nó đƣợc
sắp xếp từ trái qua phải theo thứ tự thời gian giảm dần ,ví dụ
̂[̂

̂

̂

]

Trong đó

̂

̂

, khi x>0 ;


∫

(1.37)

, khi x<0 là hàm bậc thang. Chú

ý từ (1.37) chúng ta có thể viết:
∫

̂

̂[̂

18

̂

]


∫

̂

∫
∫

̂


∫

̂

∫

̂

∫

̂

∫

̂

∫

̂

̂

(1.38)

Kết hợp (1.36) và (1.38) chúng ta nhận đƣợc:
̂

()

∫


̂[̂

∫

̂

]

(1.39)

Với thành phần bậc 3 chúng ta có 3 biến tích phân, có 3! = 6 cách thay
đổi biến tích phân ti tj ; i,j=1,2,3, trong đó có 6 biểu thức loại (1.36) cho
̂

và 6 thành phần loại (1.38) trong biểu thức cho
∫

∫

̂[̂

∫

̂

̂

]


(1.40)

Lập luận một cách tƣơng tự trong thành phần bậc n chúng ta thay đổi
biến tích phân bằng cách thay đổi các kí hiệu t1 t2 ;…; ti tj ;…, tất nhiên là
giá trị tích phân không thay đổi. Thực hiện tất cả n! cách thay đổi biến có thể,
chúng ta có đƣợc n! tích phân bằng nhau, cộng tất cả các tích phân đó lại rồi
chia cho n! chúng ta đƣợc biểu thức cho thành phần bậc n của (1.35) sau khi
mở rộng khoảng lấy tích phân cho tất cả các biến từ

đến t bằng cách sử

dụng toán tử sắp xếp thứ tự thời gian ̂ . Kết quả là chúng ta có thể viết thành
phần bậc n của (1.35) nhƣ sau:
̂

()

∫

∫

̂[̂

∫

̂

̂

] (1.41)


Cuối cùng (1.35) có thể viết dƣới dạng:
̂

̂

,(

̂

∫

)-

Từ (1.42) có thể suy ra tính chất sau của toán tử ̂
̂

̂

̂

(1.42)
:
(1.43)

Hệ thức (1.43) cho phép xác định quan hệ của các toán tử và hàm sóng
của biểu diễn tƣơng tác với biểu diễn Heisenberg. Để tìm mối quan hệ này
chúng ta làm nhƣ sau:

19



Giả thiết ở thời điểm

xác định không có tƣơng tác (V=0), sau đó

tƣơng tác bắt đầu xuất hiện từ từ một cách đoạn nhiệt và đạt đƣợc giá trị của
tƣơng tác của hệ khảo sát ở thời điểm

coi là ban đầu, nghĩa là trạng thái

của hệ ứng với hàm riêng của toán tử Hamilton toàn phần với H với
Ký hiệu ̂

̂

.
(1.44)

Công thức (1.43) khi thay t tV, t2 t1; t3 t2 có thể viết dƣới dạng:
̂

̂

Trong đó

̂

(1.45)


.

Mặt khác từ (1.22) chúng ta có:
[

]

(1.46)

Do đó từ (1.24) suy ra
[

][

]

(1.47)

trong (1.47) chúng ta đƣợc:

Thay

(1.48)
Thay

trong (1.34) và chú ý (1.44) chúng ta có
̂

Suy ra:
̂

̂

̂

(1.49)
̂̂

(1.50)

Các công thức (1.43), (1.45), (1.49), (1.50) sẽ đƣợc sử dụng để nghiên cứu hàm
Green ở đoạn sau. Để chuẩn cho việc này chúng ta viết biểu thức tính giátrị
trung bình M ở trạng thái cơ bản của một tích các toán tử sắp xếp theo
trật tự thời gian giảm dần trong biểu diễn Heisenberg. Ký hiệu

là hàm sóng

ứng với trạng thái cơ bản trong biểu diễn Heisenberg chúng ta có:
〈

̂[ ̂

̂

̂

Giả thiết

20

]


〉

(1.51)